Правильна трикутна призма площа та обсяг. Площа основи призми: від трикутної до багатокутної

У фізиці трикутна призма, зроблена зі скла, часто використовується для вивчення спектру білого світла, оскільки вона здатна розкладати його на окремі складові. У цій статті розглянемо формулу обсягу

Що таке трикутна призма?

Перед тим, як наводити формулу об'єму, розглянемо властивості цієї фігури.

Щоб отримати цей, необхідно взяти трикутник довільної форми і паралельно самому собі перенести його на деяку відстань. Вершини трикутника у початковому та кінцевому положенні слід з'єднати прямими відрізками. Отримана об'ємна фігураназивається трикутною призмою. Вона складається із п'яти сторін. Дві з них називаються основами: вони паралельні та рівні один одному. Підставами аналізованої призми є трикутники. Три сторони, що залишилися, - це паралелограми.

Крім сторін, призма, що розглядається, характеризується шістьма вершинами (по три для кожної основи) і дев'ятьма ребрами (6 ребер лежать у площинах основ і 3 ребра утворені перетином бічних сторін). Якщо бічні ребра перпендикулярні до основ, то така призма називається прямокутною.

Відмінність трикутної призмивід решти фігур цього класу полягає в тому, що вона завжди є опуклою (чотирьох-, п'яти-, ..., n-вугільні призмиможуть бути увігнутими).

Це прямокутна фігура, в основі якої лежить рівносторонній трикутник.

Об'єм трикутної призми загального типу

Як знайти обсяг трикутної призми? Формула в загальному виглядіаналогічна такою для призми будь-якого виду. Вона має такий математичний запис:

Тут h – це висота фігури, тобто відстань між її основами, S o – площа трикутника.

Величину S o можна знайти, якщо відомі деякі параметри для трикутника, наприклад, одна його сторона і два кути або дві сторони і один кут. Площа трикутника дорівнює половині добутку його висоти на довжину сторони, яку опущена ця висота.

Що стосується висоти h фігури, то її найпростіше знайти для прямокутної призми. У останньому випадку h збігається із довжиною бічного ребра.

Об'єм правильної трикутної призми

Загальну формулуобсягу трикутної призми, яка наведена у попередньому розділі статті, можна використовувати для обчислення відповідної величини для правильної трикутної призми. Оскільки у її основі лежить рівносторонній трикутник, його площа дорівнює:

Цю формулу може отримати кожен, якщо згадає, що в рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють один одному і становлять 60 o . Тут символ a – це довжина сторони трикутника.

Висота h є довжиною ребра. Вона ніяк не пов'язана з підставою правильної призми та може приймати довільні значення. У результаті формула обсягу трикутної призми правильного виглядувиглядає так:

Обчисливши корінь, можна переписати цю формулу так:

Таким чином, щоб знайти обсяг правильної призми з трикутною основою, необхідно звести у квадрат бік основи, помножити цю величину на висоту та отримане значення помножити на 0,433.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

У правильній трикутній призмі сторони основи ABCA_1B_1C_1 рівні 4 , а бічні ребрарівні 10 . Знайдіть площу перерізу призми площиною, що проходить через середини ребер AB, AC, A_1B_1 та A_1C_1.

Показати рішення

Рішення

Розглянемо наступний рисунок.

Відрізок MN є середньою лінієютрикутника A_1B_1C_1, тому MN = \frac12 B_1C_1=2.Аналогічно, KL=\frac12BC=2.Крім того, MK = NL = 10. Звідси випливає, що чотирикутник MNLK є паралелограмом. Так як MK parallel AA_1, то MK perp ABC і MK perp KL. Отже, чотирикутник MNLK є прямокутником. S_(MNLK) = MK\cdot KL = 10\cdot 2 = 20.

Відповідь

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

Об'єм правильної чотирикутної призми ABCDA_1B_1C_1D_1 дорівнює 24 . Крапка K - середина ребра CC_1. Знайдіть обсяг піраміди KBCD.

Показати рішення

Рішення

Згідно з умовою, KC є висотою піраміди KBCD . CC_1 є висотою призми ABCDA_1B_1C_1D_1.

Оскільки K є серединою CC_1, то KC = frac12CC_1.Нехай CC_1=H тоді KC=frac12H. Зауважимо також, що S_(BCD)=\frac12S_(ABCD).Тоді, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1).Отже, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, сторона основи якої дорівнює 6 , а висота — 8 .

Показати рішення

Рішення

Площу бічної поверхні призми знаходимо за формулою S бік. = P осн. · h = 6a \ cdot h, де P осн. і h - відповідно периметр основи і висота призми, рівна 8 і a - сторона правильного шестикутника, рівна 6 . Отже, S бік. = 6 cdot 6 cdot 8 = 288.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

У посудину, що має форму правильної трикутної призми, налили воду. Рівень води досягає 40 см. На якій висоті буде рівень води, якщо її перелити в іншу посудину такої ж форми, у якої сторона основи вдвічі більша, ніж у першої? Відповідь висловіть у сантиметрах.

Показати рішення

Рішення

Нехай a - сторона основи першої судини, тоді 2 a - сторона основи другої судини. За умовою обсяг рідини V у першому і другому посудині один і той же. Позначимо через рівень H, на який піднялася рідина в другій посудині. Тоді V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40,і, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H.Звідси \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40 = 4H, H=10.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

У правильній шестикутної призми ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 всі ребра рівні 2 . Знайдіть відстань між точками A і E_1.

Показати рішення

Рішення

Трикутник AEE_1 — прямокутний, тому що ребро EE_1 перпендикулярне площині основи призми, прямим кутом буде кут AEE_1.

Тоді за теоремою Піфагора AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Знайдемо AE із трикутника AFE за теоремою косінусів. Кожен внутрішній кутправильного шестикутника дорівнює 120 ^ (\ circ). Тоді AE^2= AF^2+FE^2-2cdot AFcdot FEcdotcos120^(circ)= 2^2+2^2-2cdot2cdot2cdotleft (-frac12right).

Звідси, AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1 = 4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 8
Тема: Призма

Умова

Знайдіть площу бічної поверхні прямої призми, в основі якої лежить ромб з діагоналями, рівними 4\sqrt5і 8 і бічним ребром, рівним 5 .

Показати рішення

Рішення

Площу бічної поверхні прямої призми знаходимо за формулою S бік. = P осн. · h = 4a \ cdot h, де P осн. h відповідно периметр основи і висота призми, рівна 5 , і a - сторона ромба. Знайдемо бік ромба, користуючись тим, що діагоналі ромба ABCD взаємно перпендикулярні і точкою перетину діляться навпіл.

Нехай потрібно знайти об'єм прямої трикутної призми, площа основи якої дорівнює S, а висота дорівнює h= AA' = BB' = CC' (рис. 306).

Накреслимо окремо підставу призми, тобто трикутник АВС (рис. 307 а), і добудуємо його до прямокутника, для чого через вершину В проведемо пряму КМ || АС та з точок A та С опустимо на цю пряму перпендикуляри АF та РЄ. Отримаємо прямокутник АСЕF. Провівши висоту ВD трикутника АВС, побачимо, що прямокутник АСЕF розбився на 4 прямокутні трикутники. Причому \(\Delta\)ВСЕ = \(\Delta\)BCD і \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Значить, площа прямокутника АСЕF вдвічі більше площітрикутника АВС, тобто дорівнює 2S.

До цієї призми з основою АВС прибудуємо призми з основами ВСЕ і ВАF і висотою h(Рис. 307, б). Отримаємо прямокутний паралелепіпед з основою АСЕF.

Якщо цей паралелепіпед розсічемо площиною, що проходить через прямі BD і BB', то побачимо, що прямокутний паралелепіпед складається з 4 призм з основами BCD, ВСІ, BAD і BAF.

Призми з основами BCD і ВСІ можуть бути поєднані, так як основи їх рівні (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BСЕ) і також рівні їх бічні ребра, що є перпендикулярами до однієї площини. Отже, обсяги цих призм є рівними. Також рівні обсяги призм із підставами BAD і BAF.

Таким чином, виявляється, що обсяг цієї трикутної призми з основою АВС вдвічі менший за обсяг прямокутного паралелепіпедаз основою АСЕF.

Нам відомо, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює творуплощі його основи на висоту, тобто в даному випадкудорівнює 2S h. Звідси обсяг цієї прямої трикутної призми дорівнює S h.

Обсяг прямої трикутної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

2. Обсяг прямої багатокутної призми.

Щоб знайти об'єм прямий багатокутної призминаприклад п'ятикутною, з площею основи Sі висотою h, Розіб'ємо її на трикутні призми (рис. 308).

Позначивши площі основи трикутних призм через S 1 , S 2 і S 3 а обсяг даної багатокутної призми через V, отримаємо:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, або

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

І остаточно: V = S h.

Таким же шляхом виводиться формула обсягу прямої призми, що має в основі будь-який багатокутник.

Значить, Обсяг будь-якої прямої призми дорівнює добутку площі її підстави на висоту.

Обсяг призми

Теорема. Обсяг призми дорівнює добутку площі основи висоту.

Спершу доведемо цю теорему для трикутної призми, а потім і для багатокутної.

1) Проведемо (чорт. 95) через ребро AA 1 трикутної призми АВСА 1 В 1 С 1 площину, паралельну грані ВР 1 С 1 С, а через ребро СС 1 - площину, паралельну грані AA 1 B 1 B; потім продовжимо площини обох підстав призми до перетину з проведеними площинами.

Тоді ми отримаємо паралелепіпед BD 1 , який діагональною площиною АА 1 С 1 С ділиться на дві трикутні призми (з них одна є дана). Доведемо, що ці призми є рівновеликими. Для цього проведемо перпендикулярний переріз abcd. У перетині вийде паралелограм, який діагоналлю асділиться на два рівних трикутника. Ця призма рівновелика такій прямій призмі, яка має основу \(\Delta\) аbcа висота - ребро АА 1 . Інша трикутна призма рівновелика такої прямої, у якої основа є (Delta) аdса висота - ребро АА 1 . Але дві прямі призми з рівними підставамиі рівними висотамирівні (бо при вкладенні вони поєднуються), отже, призми АВСА 1 В 1 С 1 і ADCA 1 D 1 C 1 рівновеликі. З цього випливає, що обсяг цієї призми становить половину обсягу паралелепіпеда BD 1 ; тому, позначивши висоту призми через H, отримаємо:

$$ V_(\Delta ін.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Проведемо через ребро АА 1 багатокутної призми (рис. 96) діагональні площини АА 1 З 1 З і AA 1 D 1 D.

Тоді ця призма розрахується на кілька трикутних призмів. Сума обсягів цих призм складає об'єм, що шукається. Якщо позначимо площі їх підстав через b 1 , b 2 , b 3 а загальну висоту через Н, то отримаємо:

обсяг багатокутної призми = b 1 H + b 2 H + b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (площі ABCDE) H.

Слідство. Якщо V, В і Н будуть числа, що виражають у відповідних одиницях об'єм, площу основи та висоту призми, то, за доведеним, можна написати:

Інші матеріали

Визначення.

Це шестигранник, основами якого є два рівних квадрата, а бічні грані є рівні прямокутники

Бокове ребро- це спільна сторонадвох суміжних бічних граней

Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми

Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані

Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра

Діагональний переріз - межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призмиє прямокутником

Перпендикулярний переріз (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:

  • Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
  • Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
  • Бічна поверхня- сума площ усіх бічних граней призми
  • Повна поверхня- сума площ усіх підстав та бічних граней (сума площі бічної поверхні та підстав)
  • Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
  • Діагональ B 1 D
  • Діагональ основи BD
  • Діагональний переріз BB 1 D 1 D
  • Перпендикулярний переріз A2B2C2D2.

Властивості правильної чотирикутної призми

  • Підставами є два рівні квадрати
  • Підстави паралельні одна одній
  • Боковими гранями є прямокутники
  • Бічні грані рівні між собою
  • Бічні грані перпендикулярні основам
  • Бічні ребра паралельні між собою та рівні
  • Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічним ребрам і паралельно основам
  • Кути перпендикулярного перерізу- Прямі
  • Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
  • Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

При вирішенні завдань на тему правильна чотирикутна призмамається на увазі, що:

Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутника бічні ребра перпендикулярні площинам основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореняу розв'язках задач використовується символ√ .

Завдання.

У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см 2 , а висота 14 см. Знайти діагональ призми та площу повної поверхні.

Рішення.
Правильний чотирикутник – це квадрат.
Відповідно, сторона основи дорівнюватиме

√144 = 12 см.
Звідки діагональ основи правильної прямокутної призми дорівнюватиме
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Відповідь: 22 см

Завдання

Визначте повну поверхню правильної чотирикутної призми, якщо її діагональ дорівнює 5 см, а діагональ бічної грані дорівнює 4 см.

Рішення.
Оскільки в основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі основи

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

ПРЯМА ПРИЗМА. ПОВЕРХНЯ І ОБСЯГ ПРЯМИЙ ПРИЗМИ.

§ 68. ОБСЯГ ПРЯМОГО ПРИЗМУ.

1. Об'єм прямої трикутної призми.

Нехай потрібно знайти об'єм прямої трикутної призми, площа основи якої дорівнює S, а висота дорівнює h= АА "= = ВВ" = СС" (чорт. 306).

Накреслимо окремо підставу призми, тобто трикутник АВС (чорт. 307 а), і добудуємо його до прямокутника, для чого через вершину В проведемо пряму КМ || АС та з точок A та С опустимо на цю пряму перпендикуляри АF та РЄ. Отримаємо прямокутник АСЕF. Провівши висоту ВD трикутника АВС, побачимо, що прямокутник АСЕF розбився на 4 прямокутні трикутники. Причому /\ ВСІ = /\ BCD та /\ ВАF = /\ ВАD. Значить, площа прямокутника АСЕF вдвічі більша за площу трикутника АВС, тобто дорівнює 2S.

До цієї призми з основою АВС прибудуємо призми з основами ВСЕ і ВАF і висотою h(чорт. 307, б). Отримаємо прямокутний паралелепіпед з основою
АСЕF.

Якщо цей паралелепіпед розсічемо площиною, що проходить через прямі BD і ВВ", то побачимо, що прямокутний паралелепіпед складається з 4 призм з основами
ВСD, ВСІ, BАD та ВАF.

Призми з основами ВСD і ВСІ можуть бути поєднані, оскільки основи їх рівні ( /\ ВСD = /\ BСЕ) і також рівні їх бічні ребра, що є перпендикулярами до однієї площини. Отже, обсяги цих призм є рівними. Також рівні обсяги призм із підставами BAD і BAF.

Таким чином, виявляється, що обсяг цієї трикутної призми з основою
АВС вдвічі менше обсягу прямокутного паралелепіпеда з основою АСЕF.

Нам відомо, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто в даному випадку дорівнює 2S h. Звідси обсяг цієї прямої трикутної призми дорівнює S h.

Обсяг прямої трикутної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

2. Обсяг прямої багатокутної призми.

Щоб знайти об'єм прямої багатокутної призми, наприклад п'ятикутної, з площею основи S та висотою h, Розіб'ємо її на трикутні призми (чорт. 308).

Позначивши площі основи трикутних призм через S 1 , S 2 і S 3 а обсяг даної багатокутної призми через V, отримаємо:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, або
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

І остаточно: V = S h.

Таким же шляхом виводиться формула обсягу прямої призми, що має в основі будь-який багатокутник.

Значить, Обсяг будь-якої прямої призми дорівнює добутку площі її підстави на висоту.

Вправи.

1. Обчислити обсяг прямої призми, що має на підставі паралелограм, за такими даними:

2. Обчислити обсяг прямої призми, що має в основі трикутник, за такими даними:

3. Обчислити об'єм прямої призми, що має в основі рівносторонній трикутник зі стороною 12 см (32 см, 40 см). Висота призми 60 див.

4. Обчислити обсяг прямої призми, що має в основі прямокутний трикутник з катетами в 12 см і 8 см (16 см і 7 ​​см; 9 м і 6 м). Висота призми 0,3м.

5. Обчислити обсяг прямої призми, що має в основі трапецію з паралельними сторонамив 18 см і 14 см і заввишки 7,5 см. Висота призми 40 см.

6. Обчислити обсяг вашої класної кімнати(Фізкультурного залу, своєї кімнати).

7. Повна поверхня куба дорівнює 150 см 2 (294 см 2, 864 см 2). Обчислити об'єм цього куба.

8. Довжина будівельної цегли - 25,0 см, ширина її - 12,0 см товщина - 6,5 см. а) Обчислити її об'єм, б) Визначити її вагу, якщо 1 кубічний сантиметрцеглини важить 1,6 г.

9. Скільки штук будівельної цегли потрібно для спорудження суцільної цегляної стіни, що має форму прямокутного паралелепіпеда довжиною 12 м, шириною 0,6 м і висотою 10м? (Розміри цегли із вправи 8.)

10. Довжина чисто обрізаної дошки дорівнює 4,5 м, ширина – 35 см товщина – 6 см. а) Обчислити об'єм б) Визначити її вагу, якщо кубічний дециметр дошки важить 0,6 кг.

11. Скільки тонн сіна можна вкласти в сінок, покритий двосхилим дахом (рис. 309), якщо довжина сінону дорівнює 12 м, ширина - 8 м, висота - 3,5 м і висота ковзана даху дорівнює 1,5 м? ( Питома вагасіна прийняти за 0,2.)

12. Потрібно викопати канаву завдовжки 0,8 км; у розрізі канава повинна мати форму трапеції з основами в 0,9 м та 0,4 м, і глибина канави повинна дорівнювати 0,5 м (чорт. 310). Скільки кубометрів землі доведеться при цьому вийняти?