Ми дізналися, що існує X- множина, на якій формула, якій задана функція, має сенс. У математичний аналізце безліч часто позначають як D (область визначення функції ). У свою чергу безліч Yпозначають як E (область значень функції ) і при цьому Dі Eназивають підмножинами R(Більшості дійсних чисел).

Якщо функція задана формулою, то за відсутності особливих застережень областю її визначення вважається найбільше безліч, на якому ця формула має сенс, тобто найбільше безліч значень аргументу, що призводить до дійсних значень функції . Інакше висловлюючись, безліч значень аргументу, у якому " функція працює " .

Для загального розумінняприклад поки що без формули. Функція задана як пар відносин:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Знайти область визначення цієї функції.

Відповідь. Перший елемент пар – це змінна x. Так як у завданні функції дано і другі елементи пар - значення змінної y, то функції має сенс лише тих значень ікса, яким відповідає певне значенняігрека. Тобто беремо всі ікси даних пар у порядку зростання та отримуємо з них область визначення функції:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Та ж логіка працює, якщо функція задана формулою. Тільки другі елементи парах (тобто значення грека) отримуємо, підставляючи у формулу ті чи інші значення икса. Однак, щоб знайти область визначення функції, нам не потрібно перебирати всі пари іксів та ігреків.

приклад 0.Як знайти область визначення функції ігор дорівнює квадратному кореню з ікса мінус п'ять (підкорене вираз ікс мінус п'ять) ()? Потрібно лише вирішити нерівність

x - 5 ≥ 0 ,

тому що для того, щоб ми отримали дійсне значенняігрека, підкорене вираз має бути більше або дорівнює нулю. Отримуємо рішення: область визначення функції - всі значення ікса більше або дорівнює п'яти (або ікс належить проміжку від п'яти включно до плюс нескінченності).

На кресленні зверху – фрагмент числової осі. На ній область визначення розглянутої функції заштрихована, при цьому в "плюсовому" напрямку штрихування триває нескінченно разом з самою віссю.

Якщо ви користуєтеся комп'ютерними програмами, які на підставі введених даних видають якусь відповідь, можете помітити, що при деяких значеннях введених даних програма видає повідомлення про помилку, тобто про те, що при таких даних відповідь не може бути обчислена. Таке повідомлення передбачено авторами програми, якщо вираз для обчислення відповіді досить складний або стосується якоїсь вузької предметної області, або передбачено авторами мови програмування, якщо справа стосується загальноприйнятих нормнаприклад, що не можна ділити на нуль.

Але і в тому і в іншому випадку відповідь (значення деякого виразу) не може бути обчислена з тієї причини, що вираз при деяких значеннях даних немає сенсу.

Приклад (поки не зовсім математичний): якщо програма видає назву місяця за номером місяця на рік, то, ввівши "15", ви отримаєте повідомлення про помилку.

Найчастіше обчислюване вираз якраз і є функцією. Тому такі неприпустимі значенняданих не входять до область визначення функції . І в обчисленнях від руки так само важливо представляти область визначення функції. Наприклад, ви обчислюєте деякий параметр деякого виробу за формулою, що є функцією. За певних значень аргументу на вході ви на виході не отримаєте нічого.

Область визначення постійної

Постійна (константа) визначена за будь-яких дійсних значень x R дійсних чисел. Це можна записати і так: областю визначення цієї функції є вся числова пряма ]- ∞; + ∞[.

Приклад 1. Знайти область визначення функції y = 2 .

Рішення. Область визначення функції не зазначена, отже, з вище наведеного визначення мають на увазі природна область визначення. Вираз f(x) = 2 визначено за будь-яких дійсних значень x, отже, дана функціявизначена на всій множині R дійсних чисел.

Тому на кресленні зверху числова пряма заштрихована протягом усього від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

Область визначення кореня n-го ступеня

У разі коли функція задана формулою і n- натуральне число:

Приклад 2. Знайти область визначення функції .

Рішення. Як випливає з визначення, корінь парного ступеня має сенс, якщо підкорене вираз невід'ємний, тобто, якщо - 1 ≤ x≤ 1 . Отже, область визначення цієї функції - [- 1; 1].

Заштрихована область числової прямої на кресленні зверху - це область визначення цієї функції.

Область визначення статечної функції

Область визначення статечної функції з цілим показником ступеня

якщо a- Позитивне, то областю визначення функції є безліч усіх дійсних чисел, тобто ] - ∞; + ∞[;

якщо a- негативне, то областю визначення функції є множина ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , тобто вся числова пряма за винятком нуля.

На відповідному кресленні зверху вся числова пряма заштрихована, а точка, що відповідає нулю, виколота (вона не входить у область визначення функції).

Приклад 3. Знайти область визначення функції .

Рішення. Перший доданок цілим ступенемікса, що дорівнює 3, а ступінь ікса у другому доданку можна у вигляді одиниці - як і цілого числа. Отже, область визначення цієї функції - вся числова пряма, тобто ]-∞; + ∞[.

Область визначення статечної функції з дробовим показником ступеня

У разі коли функція задана формулою :

якщо - позитивне, то областю визначення функції є множина 0; + ∞[.

Приклад 4. Знайти область визначення функції .

Рішення. Обидва доданки у виразі функції - статечні функціїіз позитивними дробовими показниками ступенів. Отже, область визначення цієї функції - множина - ∞; + ∞[.

Область визначення показової та логарифмічної функції

Область визначення показової функції

У разі коли функція задана формулою , областю визначення функції є вся числова пряма, тобто ]- ∞; + ∞[.

Область визначення логарифмічної функції

Логарифмічна функція визначена за умови, якщо її аргумент позитивний, тобто областю її визначення є безліч ]0; + ∞[.

Знайти область визначення функції самостійно, а потім переглянути рішення

Область визначення тригонометричних функцій

Область визначення функції y= cos( x) - так само безліч R дійсних чисел.

Область визначення функції y= tg ( x) - безліч R дійсних чисел, крім чисел .

Область визначення функції y= ctg ( x) - безліч R дійсних чисел, крім .

Приклад 8. Знайти область визначення функції .

Рішення. Зовнішня функція - десятковий логарифмі на область її визначення поширюються умови області визначення логарифмічної функціївзагалі. Тобто її аргумент має бути позитивним. Аргумент тут – синус "ікса". Повертаючи уявний циркуль по колу, бачимо, що умова sin x> 0 порушується при "іксі" рівним нулю, "пі", два, помноженому на "пі" і взагалі рівним добуткучисла "пі" та будь-якого парного або непарного цілого числа.

Таким чином, область визначення даної функції задається виразом

,

де k- ціле число.

Область визначення зворотних тригонометричних функцій

Область визначення функції y= arcsin( x) - безліч [-1; 1].

Область визначення функції y= arccos( x) - так само безліч [-1; 1].

Область визначення функції y= arctg( x) - безліч R дійсних чисел.

Область визначення функції y= arcctg( x) - так само безліч R дійсних чисел.

Приклад 9. Знайти область визначення функції .

Рішення. Вирішимо нерівність:

Отже, отримуємо область визначення цієї функції - відрізок [- 4; 4].

Приклад 10. Знайти область визначення функції .

Рішення. Вирішимо дві нерівності:

Розв'язання першої нерівності:

Розв'язання другої нерівності:

Таким чином, отримуємо область визначення цієї функції - відрізок.

Область визначення дробу

Якщо функція задана дробовим виразом, в якому змінна знаходиться в знаменнику дробу, то областю визначення функції є безліч R дійсних чисел, крім таких x, при яких знаменник дробу перетворюється на нуль.

Приклад 11. Знайти область визначення функції .

Рішення. Вирішуючи рівність нулю знаменника дробу, знаходимо область визначення цієї функції - безліч ]- ∞; - 2 [∪] - 2; + ∞ [.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Як знайти область визначення функції? Учням середніх класів доводиться часто стикатися з цим завданням.

Батькам слід допомогти своїм дітям розібратися у цьому питанні.

Завдання функції.

Нагадаємо основні терміни алгебри. Функцією в математиці називають залежність однієї змінної від іншої. Можна сказати, що це суворий математичний закон, який пов'язує два числа певним чином.

У математиці під час аналізу формул числові змінні замінюють буквеними символами. Найчастіше використовують ікс («х») та ігрек («у»). Змінну х називають аргументом, а змінну у — залежною змінною чи функцією від х.

Існують різні способизавдання залежностей змінних.

Перерахуємо їх:

1. аналітичний тип.
2. Таблічний вигляд.
3. Графічне відображення.

Аналітичний спосіб є формулою. Розглянемо приклади: у=2х+3, у=log(х), у=sin(х). Формула у=2х+3 є типовою для лінійної функції. Підставляючи в задану формулу числове значенняаргументу, одержуємо значення y.

Табличний спосіб є таблицею, що складається з двох стовпців. Перша колонка виділяється для значень ікса, а наступній графі записують дані грека.

Графічний метод вважається найбільш наочним. Графіком називають відображення множини всіх точок на площині.

Для побудови графіка застосовують декартову системукоординат. Система складається із двох перпендикулярних прямих. На осях відкладають однакові одиничні відрізки. Відлік роблять від центральної точкиперетину прямих ліній.

Незалежну змінну вказують на горизонтальній лінії. Її називають віссю абсцис. Вертикальна пряма (вісь ординат) відображає числове значення залежної змінної. Крапки відзначають на перетині перпендикулярів до цих осей. З'єднуючи точки між собою, отримуємо суцільну лінію. Вона є основою графіка.

Види залежностей змінних

Визначення.

У загальному виглядізалежність представляється як рівняння: y=f(x). З формули випливає, що для кожного значення числа х існує певна кількістьу. Величину грека, що відповідає числу ікс, називають значенням функції.

Усі можливі значення, які набуває незалежна змінна, утворюють область визначення функції. Відповідно, все безліч чисел залежної змінної визначає область значень функції. Областью визначення є значення аргументу, у якому f(x) має сенс.

Початкове завдання щодо математичних законівполягає у знаходженні області визначення. Слід чітко визначати цей термін. У в іншому випадкувсі подальші розрахунки будуть марними. Адже обсяг значень формується на основі елементів першої множини.

Область визначення функції знаходиться у прямій залежності від обмежень. Обмеження зумовлюються неможливістю виконання деяких операцій. Також є межі застосування числових значень.

За відсутності обмежень область визначення є все числове простір. Знак нескінченності має символ горизонтальної вісімки. Усі безліч чисел записується так: (-∞; ∞).

У певних випадкахмасив даних складається з кількох підмножин. Рамки числових проміжків або пробілів залежать від закону зміни параметрів.

Вкажемо список факторів, що впливають на обмеження:

• зворотна пропорційність;
• арифметичний корінь;
• зведення у ступінь;
• логарифмічна залежність;
• тригонометричні форми.

Якщо таких елементів кілька, пошук обмежень розбивають для кожного з них. Найбільшу проблемупредставляє виявлення критичних точокта проміжків. Розв'язанням завдання стане об'єднання всіх числових підмножин.

Безліч і підмножина чисел

Про множини.

Область визначення виражається як D(f), а знак об'єднання представлений символом ∪. Усі числові проміжкиукладають у дужки. Якщо межа ділянки не входить до множини, то ставлять напівкруглу дужку. В іншому випадку, коли число включається до підмножини, використовують дужки квадратної форми.

Зворотна пропорційність виражена формулою у=к/г. Графік функції є кривою лінією, що складається з двох гілок. Її прийнято називати гіперболою.

Оскільки функція виражена дробом, знаходження області визначення зводиться до аналізу знаменника. Загальновідомо, що у математиці розподіл на нуль заборонено. Розв'язання задачі зводиться до зрівнювання знаменника до нуля та знаходження коріння.

Наведемо приклад:

Задається: у=1/(х+4). Знайти область визначення.

1. Прирівнюємо знаменник до нуля.
   х+4=0
2. Знаходимо корінь рівняння.
   х=-4
3. Визначаємо безліч всіх можливих значеньаргументу.
   D(f)=(-∞ ; -4)∪(-4; +∞)

Відповідь: областю визначення функції є всі дійсні числакрім -4.

Значення числа під знаком квадратного кореня може бути негативним. І тут визначення функції з коренем зводиться до розв'язання нерівності. Підкорене вираз має бути більшим за нуль.

Область визначення кореня пов'язана з парністю показника кореня. Якщо показник ділиться на 2, то вираз має сенс лише за його позитивне значення. Непарне числопоказника свідчить про допустимість будь-якого значення підкореного висловлювання: як позитивного, і негативного.

Нерівність вирішують так само, як рівняння. Існує лише одна відмінність. Після перемноження обох частин нерівності на негативне числослід поміняти знак на протилежний.

Якщо квадратний корінь знаходиться у знаменнику, слід накласти додаткову умову. Значення числа не повинно дорівнювати нулю. Нерівність перетворюється на розряд суворих нерівностей.

Логарифмічні та тригонометричні функції

Логарифмічна форма має сенс при позитивних числах. Таким чином, область визначення логарифмічної функції аналогічна функції квадратного кореня, крім нуля.

Розглянемо приклад логарифмічної залежності: y = log (2x-6). Знайти область визначення.

• 2x-6>0
• 2x>6
• х>6/2

Відповідь: (3; +∞).

Області визначення y=sin x і y=cos x є безліч всіх дійсних чисел. Для тангенсу та котангенсу існують обмеження. Вони пов'язані з розподілом на косинус чи синус кута.

Тангенс кута визначають ставленням синуса до косінус. Вкажемо величини кутів, у яких значення тангенса немає. Функція у=tg x має сенс за всіх значеннях аргументу, крім x=π/2+πn, n∈Z.

Області визначення функції y=ctg x є всі безліч дійсних чисел, виключаючи x=πn, n∈Z. При рівності аргументу числу π або кратному π синус кута дорівнює нулю. У цих точках (асимптомах) котангенс не може існувати.

Перші завдання виявлення області визначення починаються під час уроків у 7 класі. При першому ознайомленні із цим розділом алгебри учень повинен чітко засвоїти тему.

Слід врахувати, що даний термінсупроводжуватиме школяра, а потім і студента протягом усього періоду навчання.

У математиці нескінченна безлічфункцій. І у кожної – свій характер.) Для роботи з найрізноманітнішими функціями потрібен єдинийпідхід. Інакше, яка це математика?!) І такий підхід є!

Працюючи з будь-якою функцією ми пред'являємо їй стандартний набірпитань. І перший, самий важливе питання- це область визначення функції.Іноді цю область називають безліччю допустимих значень аргументу, областю завдання функції тощо.

Що таке область визначення функції? Як її шукати? Ці питання часто видаються складними і незрозумілими ... Хоча, насправді, все дуже просто. У чому ви зможете переконатись особисто, прочитавши цю сторінку. Поїхали?)

Ну що тут сказати... Тільки респект.) Так! Природна сфера визначення функції (про яку тут йдеться) збігаєтьсяз ОДЗ виразів, які входять у функцію. Відповідно, і шукаються вони за одними й тими самими правилами.

А зараз розглянемо не зовсім природну область визначення.)

Додаткові обмеження на область визначення функції.

Тут мова піде про обмеження, що накладаються завданням. Тобто. у завданні присутні якісь додаткові умови, які вигадав укладач. Або обмеження випливають із самого способу завдання функції.

Щодо обмежень у завданні - тут все просто. Зазвичай, і шукати нічого не треба, все в завданні вже сказано. Нагадаю, що обмеження, написані автором завдання, ніяк не скасовують Важливі обмеження математики.Потрібно просто не забути врахувати умови завдання.

Наприклад, таке завдання:

Знайти область визначення функції:

на безлічі позитивних чисел.

Природну область визначення цієї функції знайшли вище. Ця область:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

У словесному способіЗавдання функції потрібно уважно читати умову та знаходити там обмеження на ікси. Іноді очі шукають формули, а слова свистять повз свідомість та...) Приклад з попереднього уроку:

Функція задана умовою: кожному значенню натурального аргументу х ставиться у відповідність сума цифр, у тому числі складається значення х.

Тут треба зауважити, що йдеться тількио натуральних значенняхікс. Тоді і D(f)миттєво записується:

D(f): х ∈ N

Як бачите, область визначення функції - не таке вже складне поняття. Знаходження цієї області зводиться до огляду функції, запису системи нерівностей та вирішення цієї системи. Звичайно, системи бувають усілякі, прості та складні. Але...

Відкрию маленький секрет. Іноді функція, для якої треба знайти область визначення, виглядає просто жахливо. Але варто записати систему нерівностей... І, раптом, системка виявляється елементарною! Причому, часто, що гірше функція, тим простіше система...

Мораль: очі бояться, голова вирішує!

Як?
Приклади рішень

Якщо десь немає чогось, значить, десь щось є

Продовжуємо вивчення розділу «Функції та графіки», а наступна станція нашої подорожі – . Активне обговорення даного поняттяпочалося у статті про безлічі і продовжилося на першому уроці про графіки функційде я розглянув елементарні функції, і, зокрема, їх області визначення. Тому чайникам рекомендую почати з азів теми, оскільки я не знову зупинятимуся на деяких базових моментах.

Передбачається, що читач знає область визначення наступних функцій: лінійної, квадратичної, кубічної функції, багаточленів, експоненти, синус, косинус. Вони визначені на (Багато всіх дійсних чисел). За тангенси, арксинуси, так і бути, прощаю =) – рідкісні графіки запам'ятовуються далеко не відразу.

Область визначення - начебто річ проста, і виникає закономірне питання, про що буде стаття? На цьому уроці я розгляну найпоширеніші завдання на знаходження області визначення функції. Крім того, ми повторимо нерівності з однією змінною, навички вирішення яких будуть потрібні і в інших завданнях вищої математики. Матеріал, до речі, весь шкільний, тож буде корисним не лише студентам, а й учням. Інформація, звичайно, не претендує на енциклопедичність, але тут не надумані «мертві» приклади, а смажені каштани, які взяті зі справжніх практичних робіт.

Почнемо з експрес-врубу у тему. Коротко про головне: йдеться про функцію однієї змінної. Її область визначення – це безліч значень «ікс», для яких існуютьзначення «Ігреків». Розглянемо умовний приклад:

Область визначення цієї функції є об'єднання проміжків:
(Для тих, хто забув: – значок об'єднання). Іншими словами, якщо взяти будь-яке значення «ікс» з інтервалу або з , або з , то для кожного такого «ікс» існуватиме значення «ігрок».

Грубо кажучи, де область визначення там є графік функції. А ось напівінтервал і точка «це» не входять до області визначення та графіка там немає.

Як знайти область визначення функції? Багато хто пам'ятає дитячу лічилку: «камінь, ножиці, папір», та даному випадкуїї можна сміливо перефразувати: «корінь, дріб та логарифм». Таким чином, якщо вам на життєвому шляхузустрічається дріб, корінь або логарифм, то слід відразу ж дуже насторожитися! Набагато рідше зустрічаються тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, і ми теж поговоримо. Але спочатку замальовки з життя мурах:

Область визначення функції, в якій є дріб

Припустимо, дана функція, що містить певний дріб. Як ви знаєте, на нуль ділити не можна: тому ті значення «ікс», які перетворюють знаменник на нуль – не входять у область визначення цієї функції.

Не зупинятимусь на самих простих функціяхначе і т.п., оскільки всі чудово бачать точки, які не входять до їхньої області визначення. Розглянемо більш змістовні дроби:

Приклад 1

Знайти область визначення функції

Рішення: у чисельнику нічого особливого немає, а ось знаменник повинен бути ненульовим Давайте прирівняємо його до нуля і спробуємо знайти погані точки:

Отримане рівняння має два корені: . Дані значення не входять у область визначення функції. Справді, підставте чи функцію і побачите, що знаменник звертається в нуль.

Відповідь: область визначення:

Запис читається так: «область визначення – всі дійсні числа за винятком множини, що складається зі значень ». Нагадую, що значок зворотного слеша в математиці позначає логічне віднімання, а фігурні дужки – безліч. Відповідь можна рівносильно записати як об'єднання трьох інтервалів:

Кому як до вподоби.

У точках функція терпить нескінченні розриви, А прямі, задані рівняннями є вертикальними асимптотамидля графіка цієї функції. Втім, це вже трохи інша тема, і далі я на цьому не особливо загострюватиму увагу.

Приклад 2

Знайти область визначення функції

Завдання, по суті, усне і багато хто з вас практично відразу знайдуть область визначення. Відповідь наприкінці уроку.

Чи завжди дріб буде «нехорошим»? Ні. Наприклад, функція визначена по всій числовій осі. Яке значення «ікс» ми не взяли, знаменник не звернеться в нуль, більше, буде завжди позитивний: . Отже, область визначення цієї функции: .

Усі функції на кшталт визначені та безперервніна .

Трохи складніша ситуація, коли знаменник окупував квадратний тричлен:

Приклад 3

Знайти область визначення функції

Рішення: спробуємо знайти точки, в яких знаменник звертається в нуль Для цього вирішимо квадратне рівняння:

Дискримінант вийшов негативним, отже, дійсних коренівні, і наша функція визначена на всій числовій осі.

Відповідь: область визначення:

Приклад 4

Знайти область визначення функції

Це приклад для самостійного рішення. Рішення та відповідь наприкінці уроку. Раджу не лінуватися з простими завданнями, оскільки до подальших прикладів накопичиться непорозуміння.

Область визначення функції з коренем

Функція з квадратним коренемвизначена лише за тих значень «ікс», коли підкорене вираз невід'ємно: . Якщо корінь розташувався у знаменнику , то умова явно посилюється: . Аналогічні викладки справедливі для будь-якого кореня позитивного парного ступеня: , Щоправда, корінь вже 4-го ступеня в дослідженнях функційне пригадую.

Приклад 5

Знайти область визначення функції

Рішення: підкорене вираз має бути невід'ємним:

Перед тим, як продовжити рішення, нагадаю основні правила роботи з нерівностями, відомі ще зі школи.

Звертаю особлива увага! Зараз розглядаються нерівності з однією змінною– тобто для нас існує лише одна розмірність по осі. Будь ласка, не плутайте з нерівностями двох змінних, де геометрично задіяна вся координатна площина. Однак є й приємні збіги! Отже, для нерівності рівносильні такі перетворення:

1) Доданки можна переносити з частини до частини, змінюючи у них (доданків) знаки.

2) Обидві частини нерівності можна помножити на позитивне число.

3) Якщо обидві частини нерівності помножити на негативнечисло, то необхідно змінити знак нерівності. Наприклад, якщо було "більше", то стане "менше"; якщо було «менше чи одно», то стане «більше чи одно».

У нерівності перенесемо «трійку» до правої частини зі зміною знака (правило №1):

Помножимо обидві частини нерівності на –1 (правило №3):

Помножимо обидві частини нерівності (правило №2):

Відповідь: область визначення:

Відповідь також можна записати еквівалентною фразою: "функція визначена при".
Геометрично область визначення зображується штрихуванням відповідних інтервалів на осі абсцис. В даному випадку:

Ще раз нагадую геометричний змістобласті визначення – графік функції існує тільки на заштрихованій ділянці та відсутня при .

Найчастіше годиться чисто аналітичне перебування області визначення, але коли функція сильно заморочена, слід креслити вісь і робити позначки.

Приклад 6

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення.

Коли під квадратним коренем знаходиться квадратний двочлен або тричлен, ситуація трохи ускладнюється, і зараз докладно розберемо техніку рішення:

Приклад 7

Знайти область визначення функції

Рішення: підкорене вираз має бути суворо позитивним, тобто нам необхідно вирішити нерівність. На першому кроці намагаємося розкласти квадратний тричлен на множники:

Дискримінант позитивний, шукаємо коріння:

Таким чином, парабола перетинає вісь абсцис у двох точках, а це означає, що частина параболи розташована нижче осі (нерівність), а частина параболи – вище осі (потрібна нам нерівність).

Оскільки коефіцієнт , то гілки параболи дивляться нагору. З вищесказаного випливає, що на інтервалах виконано нерівність (гілки параболи йдуть вгору на нескінченність), а вершина параболи розташована на проміжку нижче осі абсцис, що відповідає нерівності:

! Примітка: якщо вам не до кінця зрозумілі пояснення, будь ласка, накресліть другу вісь та параболу цілком! Доцільно повернутися до статті та методики Гарячі формули шкільного курсу математики.

Зверніть увагу, що самі точки виколоти (не входять у рішення), оскільки нерівність у нас сувора.

Відповідь: область визначення:

Взагалі, багато нерівностей (у тому числі розглянуте) вирішуються універсальним методом інтервалів, відомим знову ж таки з шкільної програми. Але у випадках квадратних дво-і тричленів, на мій погляд, набагато зручніше і швидше проаналізувати розташування параболи щодо осі. А основний спосіб – метод інтервалів ми детально розберемо у статті Нулі функції. Інтервали знакостійності.

Приклад 8

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. У зразку докладно закоментована логіка міркувань + другий спосіб вирішення та ще одне важливе перетвореннянерівності, без знання якої студент кульгатиме на одну ногу…, …хмм… на рахунок ноги, мабуть, погарячкував, швидше – на один палець. Великий палець.

Чи може функція з квадратним коренем бути визначена на всій числовій прямій? Звісно. Знайомі обличчя: . Або аналогічна сума з експонентою: . Дійсно, для будь-яких значення «ікс» і «ка»: тому подАвно і .

А ось менше очевидний приклад: . Тут дискримінант негативний (парабола не перетинає вісь абсцис), причому гілки параболи спрямовані вгору, отже, і область визначення: .

Питання протилежне: чи може область визначення функції бути порожній? Так, і відразу напрошується примітивний приклад , де підкорене вираз негативно за будь-якого значення «ікс», і область визначення: (значок порожньої множини). Така функція не визначена взагалі (зрозуміло, графік також ілюзорний).

З непарним корінням і т.д. все набагато краще - тут підкорене вираз може бути і негативним. Наприклад, функція визначена на всій числовій прямій. Однак у функції єдина точка все ж таки не входить в область визначення, оскільки звертають знаменник у нуль. З тієї ж причини для функції виключаються точки.

Область визначення функції з логарифмом

Третя поширена функція – логарифм. Як зразок я малюватиму натуральний логарифм, який трапляється приблизно 99 прикладах з 100. Якщо деяка функція містить логарифм , то її область визначення повинні входити ті значення «ікс», які задовольняють нерівності . Якщо логарифм перебуває у знаменнику: , то додатковонакладається умова (оскільки ).

Приклад 9

Знайти область визначення функції

Рішення: відповідно до сказаного вище складемо і вирішимо систему:

Графічне рішеннядля чайників:

Відповідь: область визначення:

Зупинюся ще на одному технічному моменті– адже в мене не вказано масштабу і не проставлено поділу по осі. Виникає питання: як виконувати подібні креслення у зошиті картатий папір? Чи відміряти відстань між точками за клітинами строго за масштабом? Канонічніше і суворіше, звичайно, масштабувати, але цілком припустимо і схематичний креслення, що принципово відображає ситуацію.

Приклад 10

Знайти область визначення функції

Для вирішення задачі можна використовувати метод попереднього параграфа – проаналізувати, як парабола розташована щодо осі абсцис. Відповідь наприкінці уроку.

Як бачите, у царстві логарифмів все дуже схоже на ситуацію із квадратним коренем: функція (квадратний тричлен із Прикладу №7) визначено на інтервалах , а функція (квадратний двочлен з Прімера №6) на інтервалі. Незручно вже й говорити, функції типу визначені на всій числовій прямій.

Корисна інформація : цікава типова функція, вона визначена по всій числовій прямій крім точки . Відповідно до властивості логарифму , «двійку» можна винести множником за межі логарифму, але щоб функція не змінилася, «ікс» необхідно укласти під знак модуля: . Ось вам і ще одне « практичне застосуваннямодуля =). Так необхідно чинити в більшості випадків, коли ви знесете парнуступінь, наприклад: . Якщо підстава ступеня свідомо позитивно, наприклад, , то знаку модуля відпадає необхідність і досить обійтися круглими дужками: .

Щоб не повторюватися, давайте ускладнимо завдання:

Приклад 11

Знайти область визначення функції

Рішення: у цій функції у нас присутній і корінь та логарифм.

Підкорене вираз має бути неотрицательным: , а вираз під знаком логарифму – суворо позитивним: . Таким чином, необхідно вирішити систему:

Багато хто з вас чудово знає або інтуїтивно здогадується, що рішення системи має задовольняти кожномуумовою.

Досліджуючи розташування параболи щодо осі, приходимо до висновку, що нерівності задовольняє інтервал (синя штрихування):

Нерівності, очевидно, відповідає «червоний» напівінтервал.

Оскільки обидві умови мають виконуватися одночасно, то рішенням системи є перетин даних інтервалів. « Загальні інтереси»Дотримані на напівінтервалі.

Відповідь: область визначення:

Типова нерівність, як демонструвалося в Прикладі №8, неважко вирішити і аналітично.

Знайдена область визначення не зміниться для схожих функцій, наприклад, для або . Також можна додати якісь безперервні функції, наприклад: , або так: , і навіть так: . Як кажуть, корінь та логарифм – річ уперта. Єдине, якщо одну з функцій «скинути» в знаменник, то область визначення зміниться (хоча в загальному випадкуце не завжди справедливо). Ну а в теорії матана з приводу цього словесного… ой… існують теореми.

Приклад 12

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. Використання креслення цілком доречно, тому що функція не найпростіша.

Ще кілька прикладів для закріплення матеріалу:

Приклад 13

Знайти область визначення функції

Рішення: складемо і вирішимо систему:

Усі дії вже розібрано під час статті. Зобразимо на числовий прямий інтервал, що відповідає нерівності і, згідно з другою умовою, виключимо дві точки:

Значення виявилося взагалі не при справах.

Відповідь: область визначення

Невеликий математичний каламбур на варіацію 13 прикладу:

Приклад 14

Знайти область визначення функції

Це приклад самостійного рішення. Хто пропустив, той у прольоті;-)

Завершальний розділ уроку присвячений більш рідкісним, але також «робочим» функціям:

Області визначення функцій
з тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами

Якщо в деяку функцію входить, то з її області визначення виключаютьсяточки , де Z- безліч цілих чисел. Зокрема, як зазначалося у статті Графіки та властивості елементарних функцій, У функції виколоти такі значення:

Тобто область визначення тангенсу: .

Вбиватись сильно не будемо:

Приклад 15

Знайти область визначення функції

Рішення: у разі і область визначення не увійдуть такі точки:

Скинемо «двійку» лівої частини у знаменник правої частини:

В результаті :

Відповідь: область визначення: .

У принципі, відповідь можна записати і як об'єднання нескінченної кількостіінтервалів, але конструкція вийде дуже громіздкою:

Аналітичне рішення повністю узгоджується з геометричним перетворенням графіка: якщо аргумент функції помножити на 2, її графік стиснеться до осі вдвічі. Зауважте, як у функції уполовинувся період, і точки розривупочастішали вдвічі. Тахікардія.

Схожа історіяз котангенсом. Якщо деяку функцію входить , то її області визначення виключаються точки . Зокрема, для функції автоматичної черги розстрілюємо такі значення:

Іншими словами: