Що таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута допоможе зрозуміти прямокутний трикутник.
Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза - це сторона, яка лежить навпроти прямого кута (у нашому прикладі це сторона (AC)); катети - це дві сторони, що залишилися \(AB \) і \(BC \) (ті, що прилягають до прямого кута), причому, якщо розглядати катети щодо кута \(BC \) , то катет \(AB \) - це прилеглий катет, а катет (BC) - протилежний. Отже, тепер дамо відповідь на запитання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?
Синус кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.
У нашому трикутнику:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Косинус кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.
У нашому трикутнику:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Тангенс кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).
У нашому трикутнику:
\[ tg\beta = dfrac(BC)(AB) \]
Котангенс кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).
У нашому трикутнику:
\[ ctg\beta = dfrac(AB)(BC) \]
Ці визначення необхідні запам'ятати! Щоб було простіше запам'ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що в тангенсеі котангенсісидять тільки катети, а гіпотенуза з'являється тільки в синусіі косинус. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:
Косинус→торкатися→доторкнутися→прилежний;
Котангенс→торкатися→доторкнутися→прилежний.
Насамперед, необхідно запам'ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжин цих сторін (при одному вугіллі). Чи не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:
Розглянемо, наприклад, косинус кута (beta). За визначенням, із трикутника \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), але ми можемо обчислити косинус кута \(\beta \) і з трикутника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне й те саме. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать виключно від величини кута.
Якщо розібрався у визначеннях, то вперед закріплюйте їх!
Для трикутника \(ABC \), зображеного нижче на малюнку, знайдемо \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg \ \ alpha = \ dfrac (4) (3) \ \ ctg \ \ alpha = \ dfrac (3) (4) = 0,75 \ end (array) \)
Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те саме для кута (beta).
Відповіді: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Одиничне (тригонометричне) коло
Розбираючись у поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з радіусом, рівним (1). Таке коло називається одиничною. Вона дуже знадобиться щодо тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи докладніше.
Як можна помітити, це коло побудовано в декартовій системі координат. Радіус кола дорівнює одиниці, при цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі (x) (у нашому прикладі, це радіус (AB)).
Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі (x) і координата по осі (y). А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити цілих два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник (ACG). Він прямокутний, оскільки \(CG\) є перпендикуляром до осі \(x\).
Чому дорівнює \(\cos \ \alpha\) з трикутника \(ACG\)? Все правильно \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Крім того, нам відомо, що \(AC \) - це радіус одиничного кола, а значить, \(AC=1 \) . Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
А чому дорівнює \(\sin \ \alpha\) з трикутника \(ACG\)? Ну звісно, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Підставимо значення радіусу \(AC \) в цю формулу і отримаємо:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Так, а можеш сказати, які координати має точка (C), що належить колу? Ну що, аж ніяк? А якщо збагнути, що \(\cos\alpha\) і \(\sin\alpha\) - це просто числа? Який координаті відповідає \(\cos\alpha\)? Ну, звичайно, координаті (x)! А якій координаті відповідає \(\sin\alpha\)? Все правильно, координаті \ (y \)! Таким чином, точка \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
А чому тоді рівні \(tg \alpha\) і \(ctg \alpha\)? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу і отримаємо, що \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), а \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому рисунку:
Що ж змінилося у цьому прикладі? Давай розбиратись. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : кут (як прилеглий до кута \(\beta \) ). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кута \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
Ну от, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті \ (y \) ; значення косинуса кута - координаті (x); а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення можна застосовувати до будь-яких поворотів радіус-вектора.
Вже згадувалося, що початкове положення радіус-вектора - вздовж позитивного напрямку осі (x). Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути, а при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.
Отже, ми знаємо, що цілий оборот радіус-вектора по колу складає \(360()^\circ \) або \(2\pi \). А чи можна повернути радіус-вектор на \(390()^\circ \) або на \(-1140()^\circ \) ? Ну звісно, можна! У першому випадку, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), таким чином, радіус-вектор зробить один повний оборот і зупиниться в положенні \(30()^\circ \) або \(\dfrac(\pi)(6) \) .
У другому випадку, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), тобто радіус-вектор зробить три повні обороти і зупиниться в положенні \(-60()^\circ \) або \(-\dfrac(\pi)(3) \) .
Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на \(360()^\circ \cdot m \) або \(2\pi \cdot m \) (де \(m \) - будь-яке ціле число ), відповідають тому самому положенню радіус-вектора.
Нижче малюнку зображений кут \(\beta =-60()^\circ \) . Це ж зображення відповідає куту \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)і т.д. Цей список можна продовжити до безкінечності. Усі ці кути можна записати загальною формулою \(\beta +360()^\circ \cdot m \)або \(\beta +2\pi \cdot m \) (де \(m \) – будь-яке ціле число)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =? \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
Ось тобі на допомогу одиничне коло:
Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)
Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку в \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)відповідає точка з координатами \(\left(0;1 \right) \) , отже:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \);
\(\cos 90()^\circ =x=0 \);
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- не існує;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутам у \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )відповідають точки з координатами \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \)відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.
Відповіді:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- не існує
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- не існує
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- не існує
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- не існує
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:
Немає потреби пам'ятати всі ці значення. Достатньо пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:
\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\text(Треба запам'ятати або вміти виводити!! \) !}
А ось значення тригонометричних функцій кутів в і \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \), наведених нижче у таблиці, необхідно запам'ятати:
Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовування відповідних значень:
Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), а також значення тангенса кута \(30()^\circ \) . Знаючи ці \ (4 \) значення, досить просто відновити всю таблицю цілком - значення косинуса переносяться відповідно до стрілок, тобто:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)знаючи це можна відновити значення для \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Чисельник "\(1 \)" буде відповідати \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , а знаменник "\(\sqrt(\text(3)) \)" відповідає \(\text (tg) \ 60 () ^ \ circ \ \) . Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити та запам'ятати схему зі стрілочками, то буде достатньо пам'ятати всього \(4\) значення з таблиці.
Координати точки на колі
А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, його радіус та кут повороту? Ну, звісно, можна! Давай виведемо загальну формулу для знаходження координат точки. Ось, наприклад, перед нами таке коло:
Нам дано, що точка \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- Центр кола. Радіус кола дорівнює \ (1,5 \). Необхідно знайти координати точки \(P \), отриманої поворотом точки \(O \) на \(\delta \) градусів.
Як видно з малюнка, координаті (x) точки (P) відповідає довжина відрізка (TP = UQ = UK + KQ). Довжина відрізка \ (UK \) відповідає координаті \ (x \) центру кола, тобто дорівнює \ (3 \). Довжину відрізка (KQ) можна виразити, використовуючи визначення косинуса:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Тоді маємо, що для точки \(P \) координата \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки \(P \) . Таким чином,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Отже, у загальному вигляді координати точок визначаються за формулами:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), де
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - координати центру кола,
\ (r \) - радіус кола,
\(\delta \) - Кут повороту радіуса вектора.
Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, оскільки координати центру дорівнюють нулю, а радіус дорівнює одиниці:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)
У вашому браузері вимкнено Javascript.Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!
Середній рівень
Прямокутний трикутник. Повний ілюстрований гід (2019)
ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК. ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ.
У задачах прямий кут зовсім не обов'язково - лівий нижній, так що тобі потрібно навчитися впізнавати прямокутний трикутник і в такому вигляді,
і в такому,
і в такому 
Що ж хорошого є у прямокутному трикутнику? Ну, по-перше, є спеціальні красиві назви для його сторін.
Увага на малюнок!
Запам'ятай і не плутай: катетів – два, а гіпотенуза – всього одна(Єдина, неповторна і найдовша)!
Ну ось назви обговорили, тепер найважливіше: Теорема Піфагора.
Теорема Піфагор.
Ця теорема - ключик до вирішення багатьох завдань за участю прямокутного трикутника. Її довів Піфагор у зовсім незапам'ятні часи, і з того часу вона принесла багато користі тим, хто її знає. А найкраще в ній те, що вона проста.
Отже, Теорема Піфагора:
Пам'ятаєш жарт: «Піфагорові штани на всі боки рівні!»?
Давай намалюємо ці піфагорові штани і подивимося на них. 
Щоправда, схоже на якісь шорти? Ну і на які сторони, і де вона рівні? Чому і звідки виник жарт? А жарт цей пов'язаний саме з теоремою Піфагора, точніше з тим, як сам Піфагор формулював свою теорему. А формулював він її так:
«Сума площ квадратів, побудованих на катетах, дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі»
Щоправда, трохи по-іншому звучить? І ось, коли Піфагор намалював твердження своєї теореми, якраз і вийшла така картинка.
На цьому малюнку сума площ маленьких квадратів дорівнює площі великого квадрата. А щоб діти краще запам'ятовували, що сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, хтось дотепний і вигадав цей жарт про Піфагорові штани.
Чому ж ми зараз формулюємо теорему Піфагора
А Піфагор мучився і міркував про майдани?
Розумієш, у давнину не було… алгебри! Не було жодних позначень і таке інше. Не було написів. Уявляєш, як бідним древнім учням було жахливо запам'ятовувати все словами??! А ми можемо радіти, що ми маємо просте формулювання теореми Піфагора. Давай її ще раз повторимо, щоб краще запам'ятати:
Тепер уже має бути легко:
| Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. |
Ну ось, найголовнішу теорему про прямокутний трикутник обговорили. Якщо тобі цікаво, як вона доводиться, читай такі рівні теорії, а зараз підемо далі… у темний ліс… тригонометрії! До жахливих слів синус, косинус, тангенс та котангенс.
Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику.
Насправді все зовсім не таке страшно. Звичайно, «справжнє» визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу потрібно дивитися у статті. Але дуже не хочеться, правда? Можемо порадувати: для вирішення задач прямокутного трикутника можна просто заповнити наступні прості речі:
А чому все тільки про кут? Де ж кут? Щоб у цьому розібратися, треба зазначити, як твердження 1 - 4 записуються словами. Дивись, розумій та запам'ятай!
1.
Взагалі звучить це так:
А що ж кут? Чи є катет, який знаходиться навпроти кута, тобто катет, що протилежить (для кута)? Звісно, є! Це катет!
А як же кут? Подивися уважно. Який катет прилягає до кутка? Звісно ж, катет. Значить, для кута катет – прилеглий, та
А тепер, увага! Подивися, що в нас вийшло:
Бачиш, як чудово:
Тепер перейдемо до тангенсу та котангенсу.
Як це тепер записати словами? Катет яким є по відношенню до кута? Протилежним, звісно – він «лежать» навпроти кута. А катет? Прилягає до кутку. Виходить, що в нас вийшло?
Бачиш, чисельник та знаменник помінялися місцями?
І тепер знову кути і здійснили обмін:
Резюме
Давайте коротко запишемо все, що ми дізналися.
 |
Теорема Піфагора: |
Головна теорема про прямокутний трикутник - теорема Піфагора.
Теорема Піфагора
До речі, чи добре ти пам'ятаєш, що таке катети та гіпотенуза? Якщо не дуже, то дивись на малюнок – освіжай знання
Цілком можливо, що ти вже багато разів використовував теорему Піфагора, а ось чи ти замислювався, чому ж вірна така теорема. Як би її довести? А давай вчинимо, як давні греки. Намалюємо квадрат зі стороною.
Бачиш, як хитро ми поділили його сторони на відрізки довжин і!
А тепер з'єднаємо зазначені точки
Тут ми, щоправда, ще дещо відзначили, але ти сам подивися на малюнок і подумай, чому так.
Чому ж дорівнює площа більшого квадрата? Правильно, . А площа меншого? Звісно, . Залишилася сумарна площа чотирьох куточків. Уяви, що ми взяли їх по два і притулили один до одного гіпотенузами. Що вийшло? Два прямокутники. Значить, площа обрізків дорівнює.
Давай тепер зберемо все разом.
Перетворюємо:
Ось і побували ми Піфагором – довели його теорему давнім способом.
Прямокутний трикутник та тригонометрія
Для прямокутного трикутника виконуються такі співвідношення:
Синус гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи
Косинус гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи.
Тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого катета.
Котангенс гострого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до протилежного катета.
І ще раз все це у вигляді таблички:
Це дуже зручно!
Ознаки рівності прямокутних трикутників
I. За двома катетами
ІІ. По катету та гіпотенузі
ІІІ. По гіпотенузі та гострому куту
IV. По катету та гострому куту
a) 
b) 
Увага! Тут дуже важливо, щоб катети були «відповідні». Наприклад, якщо буде так:
То ТРИКУТНИКИ НЕ РІВНІ, незважаючи на те, що мають один однаковий гострий кут.
Потрібно, щоб в обох трикутниках катет був прилеглим, або в обох - протилежним.
Ти помітив чим відрізняються ознаки рівності прямокутних трикутників від звичайних ознак рівності трикутників? Заглянь у тему « і зверни увагу те що, що з рівності « рядових » трикутників потрібна рівність трьох їх елементів: дві сторони і кут з-поміж них, два кута і сторона з-поміж них чи три стороны. А ось для рівності прямокутних трикутників достатньо лише двох відповідних елементів. Здорово, правда?
Приблизно така сама ситуація і з ознаками подоби прямокутних трикутників.
Ознаки подоби прямокутних трикутників
I. По гострому кутку
ІІ. За двома катетами
ІІІ. По катету та гіпотенузі
Медіана у прямокутному трикутнику
Чому так?
Розглянемо замість прямокутного трикутника цілий прямокутник.
Проведемо діагональ і розглянемо точку – точку перетину діагоналей. Що відомо про діагоналі прямокутника?
І що з цього випливає?
Ось і вийшло, що
- - медіана:
Запам'ятай цей факт! Дуже допомагає!
А що ще дивовижніше, так це те, що вірне і зворотне твердження.
Що ж хорошого можна отримати з того, що медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи? А давай подивимося на картинку
Подивися уважно. У нас є: тобто відстані від точки до всіх трьох вершин трикутника виявилися рівними. Але в трикутнику є всього одна точка, відстані від якої про всі три вершини трикутника рівні, і це - ЦЕНТР ОПИСАНОГО ОКРУЖЕННЯ. Виходить, що вийшло?
Ось давай ми почнемо з цього «крім того...».
Подивимося на в.
Але у подібних трикутників усі кути рівні!
Те саме можна сказати і про і
А тепер намалюємо це разом:
Яку ж користь можна отримати з цієї «троїстої» подоби.
Ну, наприклад - дві формули для висоти прямокутного трикутника.
Запишемо відносини відповідних сторін:
Для знаходження висоти вирішуємо пропорцію та отримуємо першу формулу "Висота у прямокутному трикутнику":
Отже, застосуємо подібність: .
Що тепер вийде?
Знову вирішуємо пропорцію і отримуємо другу формулу:
Обидві ці формули потрібно дуже добре пам'ятати та застосовувати ту, яку зручніше. Запишемо їх ще раз
Теорема Піфагора:
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: .
Ознаки рівності прямокутних трикутників:
- по двох катетах:
- по катету та гіпотенузі: або
- по катету та прилеглому гострому кутку: або
- по катету та протилежному гострому куту: або
- з гіпотенузи та гострого кута: або.
Ознаки подоби прямокутних трикутників:
- одному гострому кутку: або
- із пропорційності двох катетів:
- з пропорційності катета та гіпотенузи: або.
Синус, косинус, тангенс, котангенс у прямокутному трикутнику
- Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
- Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
- Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:
- Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного: .
Висота прямокутного трикутника: або.
У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи: .
Площа прямокутного трикутника:
- через катети:
У житті нам часто доведеться стикатися з математичними завданнями: у школі, в університеті, а потім допомагаючи своїй дитині з виконанням домашнього завдання. Люди певних професій стикатимуться з математикою щодня. Тому корисно запам'ятовувати чи згадувати математичні правила. У статті ми розберемо одне з них: знаходження катета прямокутного трикутника.
Що таке прямокутний трикутник
Спочатку згадаємо, що таке прямокутний трикутник. Прямокутний трикутник – це геометрична фігура з трьох відрізків, які з'єднують точки, що не лежать на одній прямій, і один із кутів цієї фігури дорівнює 90 градусам. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що лежить навпроти прямого кута – гіпотенузою.
Знаходимо катет прямокутного трикутника
Існує кілька способів, що дозволяють дізнатися про довжину катета. Хотілося б розглянути їх детальніше.
Теорема Піфагора, щоб знайти катет прямокутного трикутника
Якщо нам відомі гіпотенуза і катет, ми можемо знайти довжину невідомого катета по теоремі Піфагора. Звучить вона так: "Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Формула: c²=a²+b², де c – гіпотенуза, a та b – катети. Перетворюємо формулу та отримуємо: a²=c²-b².
приклад. Гіпотенуза дорівнює 5 см, а катет – 3 см. Перетворюємо формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далі вирішуємо: a? = 5? -3?; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (см).
Тригонометричні співвідношення, щоб знайти катет прямокутного трикутника
Також можна знайти невідомий катет, якщо відомі будь-яка інша сторона та будь-який гострий кут прямокутного трикутника. Є чотири варіанти знаходження катета за допомогою тригонометричних функцій: по синусу, косінусу, тангенсу, котангенсу. Для розв'язання завдань нам допоможе таблиця, що знаходиться трохи нижче. Розглянемо ці варіанти.
Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою синусу
Синус кута (sin) – це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Формула: sin = a / c, де а - катет, що лежить проти даного кута, а з - гіпотенуза. Далі перетворимо формулу та отримуємо: a = sin * c.
приклад. Гіпотенуза дорівнює 10 см, кут А дорівнює 30 градусів. По таблиці обчислюємо синус кута А, він дорівнює 1/2. Потім за перетвореною формулою розв'язуємо: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).
Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою косинуса
Косинус кута (cos) – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Формула: cos=b/c, де b – катет, прилеглий до цього кутку, і з – гіпотенуза. Перетворимо формулу та отримаємо: b=cos*c.
приклад. Кут А дорівнює 60 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. По таблиці обчислюємо косинус кута А, він дорівнює 1/2. Далі вирішуємо: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (см).
Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою тангенсу
Тангенс кута (tg) - це відношення протилежного катета до прилеглого. Формула: tg=a/b, де а – катет, що протилежить до кута, а b – прилеглий. Перетворимо формулу та отримуємо: a=tg*b.
приклад. Кут А дорівнює 45 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. За таблицею обчислюємо тангенс кута А, він дорівнює Вирішуємо: a = tg∠A * b; a=1*10; a = 10 (см).
Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою котангенсу
Котангенс кута (ctg) - це відношення прилеглого катета до протилежного. Формула: ctg=b/a, де b – катет, що прилягає до кута, а – протилежний. Інакше висловлюючись, котангенс – це “перевернутий тангенс”. Отримуємо: b=ctg*a.
приклад. Кут А дорівнює 30 градусів, протилежний катет дорівнює 5 см. За таблицею тангенс кута А дорівнює √3. Обчислюємо: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).
Отже, тепер ви знаєте, як знаходити катет у прямокутному трикутнику. Як бачите, це не так уже й складно, головне – запам'ятати формули.
Тригонометрія - розділ математичної науки, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх використання у геометрії. Розвиток тригонометрії почався ще за часів античної Греції. За часів середньовіччя важливий внесок у розвиток цієї науки зробили вчені Близького Сходу та Індії.
Ця стаття присвячена базовим поняттям та визначенням тригонометрії. У ній розглянуто визначення основних тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Роз'яснено та проілюстровано їх зміст у контексті геометрії.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Спочатку визначення тригонометричних функцій, аргументом яких є кут, виражалися через співвідношення сторін прямокутного трикутника.
Визначення тригонометричних функцій
Синус кута (sin α) - відношення катета, що протилежить цьому куту, до гіпотенузи.
Косинус кута (cos α) – відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Тангенс кута (t g α) - відношення протилежного катета до прилеглого.
Котангенс кута (c t g α) - відношення прилеглого катета до протилежного.
Дані визначення дано для гострого кута прямокутного трикутника!
Наведемо ілюстрацію.
У трикутнику ABC з прямим кутом С синус кута дорівнює відношенню катета BC до гіпотенузи AB.
Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу дозволяють обчислювати значення цих функцій за відомими довжинами сторін трикутника.
Важливо пам'ятати!
Область значень синуса і косинуса: від -1 до 1. Іншими словами синус і косинус набувають значення від -1 до 1. Область значень тангенсу та котангенсу - вся числова пряма, тобто ці функції можуть набувати будь-яких значень.
Визначення, дані вище, відносяться до гострих кутів. У тригонометрії вводиться поняття кута повороту, величина якого, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусів.
У цьому контексті можна дати визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута довільної величини. Уявімо одиничне коло з центром на початку декартової системи координат.
Початкова точка A з координатами (1 , 0) повертається навколо центру одиничного кола на деякий кут і переходить в точку A 1 . Визначення дається через координати точки A 1 (x, y).
Синус (sin) кута повороту
Синус кута повороту - це ордината точки A 1 (x, y). sin α = y
Косинус (cos) кута повороту
Косинус кута повороту α - це абсцис точки A 1 (x, y). cos α = х
Тангенс (tg) кута повороту
Тангенс кута повороту - це відношення ординати точки A 1 (x, y) до її абсцисі. t g α = y x
Котангенс (ctg) кута повороту
Котангенс кута повороту - це відношення абсциси точки A 1 (x, y) до її ординаті. c t g α = x y
Синус та косинус визначені для будь-якого кута повороту. Це логічно, адже абсцису та ординату точки після повороту можна визначити за будь-якого вугілля. Інакше справа з тангенсом і котангенсом. Тангенс не визначено, коли точка після повороту перетворюється на точку з нульовою абсцисою (0 , 1) і (0 , - 1). У таких випадках вираз для тангенсу t g α = y x просто не має сенсу, оскільки в ньому є поділ на нуль. Аналогічно ситуація із котангенсом. Відмінністю у тому, що котангенс не визначено у випадках, як у нуль звертається ордината точки.
Важливо пам'ятати!
Синус та косинус визначені для будь-яких кутів α.
Тангенс визначений для всіх кутів, крім α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)
Котангенс визначений для всіх кутів, крім α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)
При вирішенні практичних прикладів не говорять "синус кута повороту". Слова "кут повороту" просто опускають, маючи на увазі, що з контексту і так зрозуміло, про що йдеться.
Числа
Як бути з визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа, а не кута повороту?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом числа tназивається число, яке відповідно дорівнює синусу, косинусу, тангенсу та котангенсу в tрадіан.
Наприклад, синус числа 10 π дорівнює синусу кута повороту величиною 10 π рад.
Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа. Розглянемо його докладніше.
Будь-якому дійсному числу tставиться у відповідність точка на одиничному колі з центром на початку прямокутної декартової системи координат. Синус, косинус, тангенс та котангенс визначаються через координати цієї точки.
Початкова точка на колі - точка A з координатами (1, 0).
Позитивного числа t
Негативному числу tвідповідає точка, в яку перейде початкова точка, якщо рухатиметься по колу проти годинникової стрілки та пройде шлях t .
Тепер, коли зв'язок числа та точки на колі встановлено, переходимо до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.
Синус (sin) числа t
Синус числа t- ордината точки одиничного кола, що відповідає числу t. sin t = y
Косинус (cos) числа t
Косинус числа t- абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t. cos t = x
Тангенс (tg) числа t
Тангенс числа t- відношення ординати до абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t. t g t = y x = sin t cos t
Останні визначення знаходяться у відповідності та не суперечать визначенню, даному на початку цього пункту. Крапка на колі, що відповідає числу t, збігається з точкою, в яку переходить початкова точка після повороту на кут tрадіан.
Тригонометричні функції кутового та числового аргументу
Кожному значенню кута відповідає певне значення синуса і косинуса цього кута. Також, як усім кутам α, відмінним від α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) відповідає певне значення тангенсу. Котангенс, як сказано вище, визначений для всіх α, крім α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).
Можна сказати, що sin α, cos α, t g α, c t g α - це функції кута альфа, або функції кутового аргументу.
Аналогічно можна говорити про синус, косинус, тангенс і котангенс, як про функції числового аргументу. Кожному дійсному числу tвідповідає певне значення синуса чи косинуса числа t. Усім числам, відмінним від π 2 + π · k, k ∈ Z відповідає значення тангенсу. Котангенс, аналогічно, визначено всім чисел, крім π · k , k ∈ Z.
Основні функції тригонометрії
Синус, косинус, тангенс та котангенс - основні тригонометричні функції.
З контексту зазвичай зрозуміло, з яким аргументом тригонометричної функції (кутовий аргумент чи числовий аргумент) ми маємо справу.
Повернемося до даних на самому початку визначенням та кутку альфа, що лежить у межах від 0 до 90 градусів. Тригонометричні визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу повністю узгоджуються з геометричними визначеннями, даними за допомогою співвідношень сторін прямокутного трикутника. Покажемо це.
Візьмемо одиничне коло з центром у прямокутній декартовій системі координат. Повернемо початкову точку A(1,0) на кут величиною до 90 градусів і проведемо з отриманої точки A1(x, y) перпендикуляр до осі абсцис. В отриманому прямокутному трикутнику кут A 1 O H дорівнює куту повороту α довжина катета O H дорівнює абсцисі точки A 1 (x , y) . Довжина катета, що протилежить куту, дорівнює ординаті точки A 1 (x , y), а довжина гіпотенузи дорівнює одиниці, оскільки вона є радіусом одиничного кола.
Відповідно до визначення з геометрії, синус кута α дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Значить, визначення синуса гострого кута в прямокутному трикутнику через співвідношення сторін еквівалентно визначенню синуса кута повороту α при альфа лежить в межах від 0 до 90 градусів.
Аналогічно відповідність визначень можна показати для косинуса, тангенсу та котангенсу.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Вивчення тригонометрії ми розпочнемо з прямокутного трикутника. Визначимо, що таке синус та косинус, а також тангенс та котангенс гострого кута. Це є основи тригонометрії.
Нагадаємо, що прямий кут- це кут, що дорівнює 90 градусів. Іншими словами, половина розгорнутого кута.
Гострий кут- менше 90 градусів.
Тупий кут- більший за 90 градусів. Стосовно такого кута «тупий» - не образа, а математичний термін:-)
Намалюємо прямокутний трикутник. Прямий кут зазвичай позначається. Звернімо увагу, що сторона, що лежить навпроти кута, позначається тією ж літерою, лише маленькою. Так, сторона, що лежить навпроти кута A, позначається .
Кут позначається відповідною грецькою літерою.
Гіпотенузапрямокутного трикутника - це сторона, що лежить навпроти прямого кута.
Катети- Сторони, що лежать навпроти гострих кутів.
Катет, що лежить навпроти кута, називається протилежним(По відношенню до кута). Інший катет, який лежить на одній із сторін кута, називається прилеглим.
Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:
Косінусгострого кута у прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
Тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення протилежного катета до прилеглого:
Інше (рівносильне) визначення: тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:
Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - відношення прилеглого катета до протилежного (або, що те саме, відношення косинуса до синуса):
Зверніть увагу на основні співвідношення для синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, які наведені нижче. Вони стануть у нагоді нам при вирішенні завдань.
Давайте доведемо деякі з них.
Добре, ми дали визначення та записали формули. А для чого ж потрібні синус, косинус, тангенс і котангенс?
Ми знаємо, що сума кутів будь-якого трикутника дорівнює.
Знаємо співвідношення між сторонамипрямокутний трикутник. Це теорема Піфагора: .
Виходить, що знаючи два кути в трикутнику можна знайти третій. Знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю. Значить, для кутів – своє співвідношення, для сторін – своє. А що робити, якщо у прямокутному трикутнику відомий один кут (крім прямого) та одна сторона, а знайти треба інші сторони?
З цим і зіткнулися люди в минулому, складаючи карти місцевості та зоряного неба. Адже не завжди можна безпосередньо виміряти усі сторони трикутника.
Синус, косинус та тангенс - їх ще називають тригонометричними функціями кута- дають співвідношення між сторонамиі кутамитрикутник. Знаючи кут, можна знайти всі його тригонометричні функції за спеціальними таблицями. А знаючи синуси, косинуси та тангенси кутів трикутника та одну з його сторін, можна знайти інші.
Ми також намалюємо таблицю значень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для «хороших» кутів від до .
Зверніть увагу на два червоні прочерки в таблиці. При відповідних значеннях кутів тангенс та котангенс не існують.
Розберемо кілька завдань із тригонометрії з Банку завдань ФІПД.
1. У трикутнику кут дорівнює . Знайдіть .
Завдання вирішується за чотири секунди.
Оскільки , .
2 . У трикутнику кут дорівнює , , . Знайдіть .
Знайдемо за теоремою Піфагора.
Завдання вирішено.
Часто в задачах зустрічаються трикутники з кутами або з кутами і . Основні співвідношення для них запам'ятовуйте напам'ять!
Для трикутника з кутами і катет, що лежить навпроти кута, дорівнює половині гіпотенузи.
Трикутник з кутами і рівнобедрений. У ньому гіпотенуза в раз більше катета.
Ми розглянули завдання розв'язання прямокутних трикутників - тобто перебування невідомих сторін чи кутів. Але ж це не все! У варіантах ЄДІ з математики безліч завдань, де фігурує синус, косинус, тангенс чи котангенс зовнішнього кута трикутника. Про це – у наступній статті.