Пропонуємо вам познайомитись з таким великим математиком, як Евклід. Біографія, короткий змістосновної його праці та деякі цікаві фактиПро це вченому представлені у нашій статті. Евклід (роки життя - 365-300 до н.е.) - математик, що відноситься до еллінської доби. Він працював в Олександрії при Птолемеї I Сотері. Існує дві основні версії того, де він народився. Згідно з першою – в Афінах, згідно з другою – у Тирі (Сирія).
Біографія Евкліда: цікаві факти
Про життя цього не так багато. Є повідомлення, що належить Паппа Олександрійського. Ця людина була математиком, який жив у 2-й половині 3 століття нашої ери. Він зазначив, що цікавий вчений був люб'язний і м'який з усіма тими, хто хоч якось міг сприяти розвитку тих чи інших математичних наук.
Існує також легенда, яку повідомив Архімед. Її головний герой- Евклід. Коротка біографіядля дітей зазвичай включає цю легенду, тому що вона дуже цікава і здатна викликати інтерес до цього математика у юних читачів. У ній говориться, що цар Птолемей захотів вивчити геометрію. Проте з'ясувалося, що це зробити непросто. Тоді цар закликав вченого Евкліда і запитав у нього, чи є якийсь легкий шляхдо розуміння цієї науки. Але Евклід відповів, що царської дороги до геометрії немає. Так цей вираз, що став крилатим, дійшов до нас у вигляді легенди.
На початку 3 століття до зв. е. заснував Олександрійський музей та Евклід. Коротка біографія та її відкриття пов'язані з цими двома закладами, які одночасно були і навчальними центрами.
Евклід - учень Платона
Цей вчений пройшов через Академію, засновану Платоном (портрет представлений нижче). Він засвоїв головну філософську ідею цього мислителя, яка полягала в тому, що існує самостійний світідей. Можна з упевненістю сказати, що Евклід, біографія якого скупа подробицями, був платоником у філософії. Така установка зміцнювала вченого у розумінні того, що все те, що створено та викладено ним у його "Початках", має вічне існування.
Цікавий мислитель народився на 205 років пізніше Піфагора, на 63 роки - Платона, на 33 - Евдокса, на 19 - Аристотеля. Він познайомився зі своїми філософськими і математичними працями або самостійно, або через посередників.
Зв'язок "Початок" Евкліда з працями інших вчених
Прокл Діадох, філософ-неоплатонік (роки життя - 412-485), автор коментарів до "Початків", висловив думку, що в цьому творі відображені космологія Платона і "Піфагорійська доктрина ...". У своїй праці Евклід виклав теорію золотого перерізу (книги 2-а, 6-а та 13-та) та (книга 13-та). Будучи прихильником платонізму, учений розумів, що його " Початки " роблять внесок у космологію Платона й у уявлення, розвинені його попередниками, про числової гармонії, якою характеризується світобудова.
Не один Прокл Діадох цінував платонові тіла і (роки життя - 1571-1630) також цікавився ними. Цей німецький астроном зазначив, що у геометрії є 2 скарби – це золотий перетин(Поділ відрізка в середньому та крайньому відношенні) та теорема Піфагора. Цінність останнього з них він порівняв із золотом, а першого – з дорогоцінним каменем. Йоганн Кеплер використовував платонові тіла у створенні своєї космологічної гіпотези.
Значення "Початок"
Книга "Початку" - це основний твір, який створив Евклід. Біографія цього вченого, звичайно, відзначена й іншими роботами, про які ми розповімо наприкінці статті. Слід зазначити, що праці з назвою "Початки", в яких викладено всі найважливіші фактитеоретичної арифметики та геометрії, складалися і його попередниками. Один із них - Гіппократ Хіоський, математик, який жив у 5 столітті до н. е. Февдій (2-я половина 4 століття е.) і Леонт (4 століття е.) також написали книжки з такою назвою. Однак з появою евклідових "Початків" усі ці праці виявилися витісненими з ужитку. Книга Евкліда була базовою навчальним посібникомз геометрії протягом понад 2 тисячі років. Вчений, створюючи свою працю, використав багато здобутків його попередників. Евклід обробив наявну інформацію і звів матеріал докупи.
У своїй книзі автор підбив підсумок розвитку математики в Стародавню Греціюі створив міцний фундамент для подальших відкриттів. У цьому полягає значення головної праці Евкліда для світової філософії, математики і всієї науки загалом. Невірно було б вважати, що воно полягає у зміцненні містики Платона і Піфагора в їхньому псевдомирозданні.
Багато вчених оцінили " Початки " Евкліда, зокрема і Альберт Ейнштейн. Він зазначив, що це дивовижний твір, що дав розуму людини впевненість у собі, необхідну для подальшої діяльності. Ейнштейн сказав, що та людина, яка не захоплювалась у молодості цим творінням, не народжена для теоретичних пошуків.
Аксіоматичний метод
Слід окремо відзначити значення праці вченого, що цікавить нас, у блискучій демонстрації в його "Початках". Цей метод у сучасній математиці є найсерйознішим із тих, що використовуються для обґрунтування теорій. У механіці він також знаходить широке застосування. Великий вчений Ньютонпобудував "Початки натуральної філософії" на зразок праці, який створив Евклід.
Основні положення "Початок"
У книзі "Початку" систематично викладено евклідову геометрію. Її система координат спирається такі поняття, як площина, пряма, точка, рух. Відносини, які використовуються в ній, такі: "точка розташована на прямій, що лежить на площині" і "точка розташована між двома іншими точками".
Систему положень евклідової геометрії, представлену в сучасному викладі, Розбивають зазвичай на 5 груп аксіом: руху, порядку, безперервності, поєднання та паралельності Евкліда.
У тринадцяти книгах "Початок" вчений представив і арифметику, стереометрію, планиметрію, відносини щодо Євдокса. Слід зазначити, що виклад у цій праці суворо дедуктивний. Визначеннями починається кожна книга Евкліда, а в першій з них слідують аксіоми і постулати. Далі йдуть пропозиції, що діляться завдання (де необхідно щось побудувати) і теореми (де потрібно щось довести).
Нестача математики Евкліда
Основний недолік полягає в тому, що аксіоматика цього вченого позбавлена повноти. Відсутні аксіоми руху, безперервності та порядку. Тому вченому нерідко доводилося довіряти оку, вдаватися до інтуїції. Книги 14-а та 15-та - це пізніші додавання до праці, автор якої - Евклід. Біографія його є лише дуже коротка, тому не можна точно сказати, чи були перші 13 книг створені однією людиною чи є плодом колективної праці школи, якою керував учений.
Подальший розвиток науки
Поява евклідової геометрії пов'язане з виникненням наочних уявлень про світ, що нас оточує (промені світла, натягнуті нитки як ілюстрація прямих ліній тощо). Далі вони поглиблювалися, завдяки чому виникло абстрактніше розуміння такої науки, як геометрія. М. І. Лобачевський (роки життя - 1792-1856) - російський математик, який зробив важливе відкриття. Він зазначив, що існує геометрія, яка відрізняється від евклідової. Це змінило уявлення вчених про простір. Виявилося, що вони аж ніяк не апріорні. Інакше кажучи, геометрія, викладена в " Початках " Евкліда, неспроможна вважатися єдиної описує властивості простору, що оточує нас. Розвиток природознавства (насамперед астрономії та фізики) показало, що вона описує його структуру лише з певною точністю. Крім того, її не можна застосовувати для всього простору загалом. Евклідова геометрія – це перше наближення до розуміння та опису його структури.
До речі, доля Лобачевського виявилася трагічною. Він не був прийнятий у науковому світіза свої сміливі думки. Однак і боротьба цього вченого була марною. Урочистість ідей Лобачевського забезпечив Гаус, листування якого було опубліковано у 1860 роки. Серед листів були захоплені відгуки вченого про геометрію Лобачевського.
Інші праці Евкліда
Дуже великий інтерес і в наш час є біографія Евкліда як вченого. У математиці він зробив важливі відкриття. Це підтверджується тим, що з 1482 року книга "Початку" витримала вже понад п'ятсот видань на різних мовахсвіту. Однак біографія математика Евкліда відзначена створенням цієї книги. Йому належить ряд праць з оптики, астрономії, логіки, музики. Один з них - книга "Дані", в якій описані ті умови, які дають можливість вважати "даним" той чи інший математичний максимальний образ. Інша праця Евкліда - книга з оптики, в якій містяться відомості про перспективу. Вчений, що цікавить нас, написав твір і з катоптрики (він виклав у цій праці теорію спотворень, що виникають у дзеркалах). Відома і книга Евкліда під назвою "Поділ фігур". Робота з математики “Про жаль, не збереглася.
Отже, ви познайомилися з великим ученим, як Евклид. Коротка біографія його, сподіваємося, виявилася вам корисною.
Протягом двох тисяч років геометрію дізнавалися або з "Початків" Евкліда, або з підручників, написаних на основі цієї книги. Лише професійні математики зверталися до праць інших великих грецьких геометрів: Архімеда, Аполлонія – і геометрів пізнішого часу. Класичну геометріюстали називати евклідовою на відміну від тих, що з'явилися в XIX ст. «Неевклідових геометрій».
Про цю разючу людину історія зберегла настільки мало відомостей, що нерідко висловлюються сумніви у самому її існуванні. Що ж дійшло до нас? Каталог грецьких геометрів Прокла Діадоха Візантійського, який жив у V ст. н.е., - перше серйозне джерело відомостей про грецьку геометрію. З каталогу випливає, що Евклід був сучасником царя Птолемея I, який царював з 306 до 283 р. до н.е.
Евклід має бути старшим за Архімеда, який посилався на «Початки». До наших часів дійшли відомості, що він викладав в Олександрії, столиці Птолемея I, яка починала перетворюватися на один із центрів наукового життя. Евклід був послідовником давньогрецького філософа Платона, і викладав він, мабуть, чотири науки, які, на думку Платона, повинні передувати заняттям філософією: арифметику, геометрію, теорію гармонії, астрономію. Окрім «Початків» до нас дійшли книги Евкліда, присвячені гармонії та астрономії.
Що стосується місця Евкліда в науці, то воно визначається не так власними його. науковими дослідженнями, Як педагогічними заслугами. Евкліду приписується кілька теорем і нових доказів, та їх значення може бути порівняно з досягненнями великих грецьких геометрів: Фалеса і Піфагора (VI в. е.), Евдокса і Теетета (IV в. е.). Найбільша заслуга Евкліда у цьому, що він підбив підсумок побудові геометрії і надав викладу настільки досконалу форму, що у дві тисячі років «Початку» стали енциклопедією геометрії.
Евклід з найбільшим мистецтвомрозташував матеріал за 13 книг так, щоб труднощі не виникали передчасно. Пізніше грецькі математики включили до «Початку» ще дві книги – XIV-у та XV-у, написані іншими авторами.
Перша книга Евкліда починається з 23 «визначень», у тому числі такі: крапка є те, що немає частин; лінія є довжиною без ширини; лінія обмежена точками; пряма є лінія, однаково розташована щодо всіх своїх точок; нарешті, дві прямі, що лежать в одній площині, називаються паралельними, якщо вони, як завгодно продовжені, не зустрічаються. Це скоріше наочні уявлення про основні об'єкти, і слово «визначення» в сучасному розумінні не точно передає сенс грецького слова"хорою", яким користувався Евклід.
У книзі I розглядаються основні властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів, порівнюються їхні площі. Тут з'являється теорема про суму кутів трикутника. Потім слідує п'ять геометричних постулатів: через дві точки можна провести одну пряму; кожна пряма може бути як завгодно продовжена; даним радіусом з цієї точки можна провести коло; усі прямі кути рівні; якщо дві прямі проведені до третьої під кутами, що становлять у сумі менше двох прямих, то вони зустрічаються з тієї ж сторони від цієї прямої. Всі ці постулати, крім одного, увійшли до сучасні курсиосновна геометрія. За постулатами наводяться загальні припущення, або аксіоми – вісім загальноматематичних тверджень про рівність та нерівність. Книга закінчується теоремою Піфагора (див. Піфагора теорема).
У книзі II викладається геометрична алгебра, за допомогою геометричних креслень даються розв'язання задач, що зводяться до квадратним рівнянням. Алгебраїчної символіки тоді не існувало.
У книзі III розглядаються властивості кола, властивості дотичних та хорд, у книзі IV – правильні багатокутники, З'являються основи вчення про подобу. У книгах VII-IX викладено початки теорії чисел (див. Чисел теорія), заснованої на алгоритмі знаходження найбільшого спільного дільника, наводиться алгоритм Евкліда (див. алгоритм Евкліда), сюди входить теорія ділимості і теорема про нескінченність безлічі простих чисел.
Останні книги присвячені стереометрії. У книзі XI викладаються початки стереометрії, у XII за допомогою методу вичерпання визначаються відношення площ двох кіл та відношення обсягів піраміди та призми, конуса та циліндра. Вершина стереометрії у Евкліда – теорія правильних багатогранників. У «Початки» не потрапило одне з найбільших досягненьгрецьких геометрів – теорія конічних перерізів. Про них Евклід написав окрему книгу «Початки конічних перерізів», яка не дійшла до нас, але її цитував у своїх творах Архімед.
«Початки» Евкліда не дійшли до нас у першотворі. Дванадцять століть відокремлюють від Евкліда найстаріші відомі списки, сім століть – докладні відомості про «Початки». У середньовічну епоху інтерес до математики було втрачено, деякі книги «Почав» зникли і потім важко відновлювалися латинськими і арабськими перекладами. А на той час тексти обросли «поліпшеннями» пізніших коментаторів.
У період відродження європейської математики (XVI ст.) «Початки» вивчали та відтворювали заново. Логічну побудову «Початок», аксіоматика Евкліда сприймалися математиками як щось бездоганне до ХІХ ст., коли почався період критичного ставлення до досягнутого, який закінчився новою аксіоматикою евклідової геометрії – аксіоматикою Д. Гільберта. Виклад геометрії в «Початках» вважався зразком, якого прагнули слідувати вчені та за межами математики.
Реферат
На тему:
Евклід та його “початку”
Виконав: Гордієнко Павло.
ЗОШ №31
2002.
План.
1. Евклід та його початок.
2. Евклід алгоритм.
1. Евклід та його “Початку”
Протягом двох тисяч років геометрію дізнавалися або з “Початків” Евкліда, або підручників, написаних на основі цієї книги. Лише професійні математики зверталися до праць інших великих грецьких геометрів: Архімеда, Аполлонія та геометрів пізнішого часу. Класичну геометрію стали називати евклідовою на відміну від тих, що з'явилися в XIX в "неевклідовий геометрій".
Про цю разючу людину історія зберегла настільки мало відомостей, що не рідко висловлюються сумніви в самому її існуванні. Що ж дійшло до нас? Каталог грецьких геометрів Прокла Діадоха Візантійського, який жив у V в н.е., - перше серйозне джерело відомостей про грецьку геометрію. З каталогу випливає, що Евклід був сучасником царя Птолемея I, який царював з 306-283 р. до н.
Евклід має бути старшим за Архімеда, який посилався на “Початок”. До наших часів дійшли відомості, що він викладав в Олександрії, столиця Птолемея I, який починав перетворюватися на один із центрів наукового життя. Евклід був послідовником давньогрецького філософа Платона, і викладав він, мабуть, чотири науки, які, на думку Платона, повинні передувати заняттям філософією: арифметику, геометрію, теорію гармонії, астрономію. Крім “Початків” до нас дійшли книги Евкліда, присвячені гармонії та астрономії.
Що ж до місця Евкліда у науці, воно визначається й не так власними його науковими дослідженнями, скільки педагогічними заслугами. Евкліду приписується кілька теорем і нових доказів, але їхнє значення не може бути порівняно з досягненнями великих грецьких геометрів: Фалеса і Піфагора (VI століття до н.е.), Євдокса та Теетета (IV століття до н.е.). Найбільша заслуга Евкліда у цьому, що він підбив підсумок побудові геометрії і надав викладу настільки досконалу форму, що у 2000 років “Початку” стали енциклопедією геометрії.
Евклід з найбільшим мистецтвом розташував матеріал з 13 книжок те щоб труднощі не виникали передчасно. Пізніше грецькі математики включили до “Початку” ще дві книги-XIV- і XV-ю, написані іншими авторами.
Перша книга Евкліда починається з 23 "визначень", серед них такі: точка є те, що не має частин; лінія є довжина без ширини; лінія обмежена точками; пряма лінія, однакова розташована щодо всіх своїх точок; нарешті, дві прямі, що лежать в одній площині, називаються паралельними, якщо вони, як завгодно продовжені, не зустрічаються. Це швидше наочні уявленняпро основні об'єкти і слово "визначення" у сучасному розумінні не точно передає сенс грецького слова "хорой", яким користувався Евклід.
У книзі I розглядаються основні властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів, порівнюються їх площі. Тут з'являється теорема про суму кутів трикутника. Потім слідує п'ять геометричних постулатів: через дві точки можна провести одну пряму; кожна пряма може бути як завгодно продовжена; даним радіусом з цієї точки можна провести коло; усі прямі кути рівні; якщо дві прямі проведені до третьої під кутами, що становлять у сумі менше двох прямих, то вони зустрічаються з тієї ж сторони від цієї прямої. Всі ці постулати, крім одного, увійшли до сучасних курсів основної геометрії. За постулатами наводяться загальні припущення, або аксіоми, - 8 загальноматематичних тверджень про рівність і нерівність. Книга закінчується теоремою Піфагора.
У книзі II викладається геометрична алгебра, за допомогою геометричних креслень даються розв'язки задач, що зводяться до квадратних рівнянь. Алгебраїчної символіки тоді не існувало.
У книзі III розглядаються властивості кола, властивості дотичних і хорд, у книзі IV-правильні багатокутники, з'являються основи вчення про подобу. У книгах VII-IX викладено початки теорій чисел, а заснованої на алгоритмі знаходження найбільшого спільного дільника, наводиться алгоритм Евкліда, сюди входить теорія ділимості та теорема про нескінченність безлічі простих чисел.
Останні книги присвячені стереометрії. У книзі XI викладаються початки стереометрії, у XII за допомогою методу вичерпання визначаються відносини площ двох кіл та відношення об'ємів піраміди та призми, конуса та циліндра. Вершина стереометрії у Евкліда – теорія правильних багатогранників. У “Початок” не потрапило одне з найбільших досягнень грецьких геометрів – теорія конічних перерізів.Про них Евклід написав окрему книгу "Початку конічних перерізів", яка не дійшла до нас, але її цитував у своїх творах Архімед.
"Початок" Евкліда не дійшли до нас у першотворі. Дванадцять століть відокремлюють від Евкліда найстаріші відомі списки, сім сторіч – дещо докладніші відомості про “Початки”. У середньовічну епоху інтерес до математики було втрачено, деякі книги "Почав" зникли і потім важко відновлювалися латинськими і арабськими перекладами. А на той час тексти обросли "покращеннями" пізніших коментаторів.
У період відродження європейської математики (XVI ст.) "Початки" вивчали і відтворювали заново. Логічну побудову “Початку”, аксіоматика Евкліда сприймалися математиками як бездоганну аж до ХІХ ст., коли почався період критичного ставлення до досягнутого, який закінчився новою аксіоматикою евклідової геометрії – аксіоматикою Д. Гільберта.Виклад геометрії у “Початках” вважалося взірцем, якому прагнули слідувати вчені поза математики.
2. Евкліда Алгоритм.
Алгоритм Евкліда – це спосіб знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел, а також найбільшої загальної міри двох порівнянних відрізків.
Щоб знайти найбільший спільний дільник двох цілих позитивних чиселпотрібно спочатку більша кількістьрозділити на менше, потім друге число поділити на залишок від першого поділу, потім перший залишок на другий і т.д. Останній ненульовий позитивний залишок у цьому процесі буде найбільшим загальним дільником даних чисел.
Позначивши вихідні числа через аі б, позитивні залишки, що виходять в результаті поділів, через r 1 ,r2
…, rn, а неповні приватні через q1 , q2, можна записати алгоритм Евкліда як ланцюжка рівностей:. . . . . . . . . .
Наведемо приклад. Нехай а = 777, b = 629. Тоді 777 = 629 * 1 +148, 629 = 148 * 4 +37, 148 = 37 * 4.
Останній ненульовий залишок 37 є найбільшим спільним дільником чисел 777 і 629.
Для знаходження найбільшого загального заходу двох відрізків надходять аналогічно. Операцію поділу із залишком замінюють його геометричним аналогом: менше відрізоквідкладають на великому стільки разів, скільки можливо: частину більшого відрізка, що залишилася (приймається за залишок відділення) відкладають на меншому відрізку і т.д.якщо відрізки a і b сумірні, то останній не нульовий залишок дасть найбільшу загальну міру цих відрізків. У разі несумірних відрізків одержувана послідовність ненульових залишків буде нескінченною.
Розглянемо приклад. Візьмемо як вихідні відрізки сторону AB і AC рівнобедреного трикутника ABC, У якого A = C = 72 °, B = 36 °. Як перший залишок ми отримаємо відрізок AD (CD-бісектриса кута C), і, як легко бачити, послідовність і нульові залишки буде нескінченною. Отже, відрізки AB і AC не можна порівняти.
Алгоритм Евкліда відомий давно. Йому вже понад 2000 років. Цей алгоритм сформульований у “Початках” Евкліда, де з нього виводяться властивості простих чисел, найменшого загального кратного тощо. Як спосіб знаходження найбільшої загальної міри двох відрізків алгоритм Евкліда (іноді званий методом поперемінного віднімання) був відомий піфагорійцям. До середині XVIв. алгоритм Евкліда був поширений на багаточлени, від одного змінного надалі вдалося визначити алгоритм Евкліда і на деяких інших алгебраїчних об'єктах.
Алгоритм Евкліда має багато застосувань. Рівності, що визначають його, дають змогу уявити найбільший дільник dчисел aі bу вигляді d = ax + by (x; y-цілі числа), а це дозволяє знаходити розв'язання Діофантових рівнянь 1-го ступеня з двома невідомими. Алгоритм Евкліда є засобом для подання раціонального числау вигляді ланцюгового дробу. Він часто використовується у програмах для електронних обчислювальних машин.
Використана література.
Енциклопедичний словник молодого математика.
(«Початку» Евкліда)
науковий твір, написане Евклідом у 3 ст. до зв. е., що містить основи античної математики: елементарної геометрії, теорії чисел, алгебри, загальної теоріївідносин та методу визначення площ та обсягів, що включав елементи теорії меж. Евклід підбив у цьому творі підсумок трьохсотрічного розвитку грецької математики і створив міцний фундамент для подальших математичних досліджень. "Н." Е. не є, проте, енциклопедією математичних знаньсвоєї епохи. Так, у «Н.» Е. не викладається теорія конічних перерізів, яка тоді була досить розвинена, відсутні тут і обчислювальні методи. "Н." Е. побудовані за дедуктивною системою: спочатку наводяться визначення, постулати та аксіоми, потім формулювання теорем та їх докази (див. Дедукція). Слідом за визначенням основних геометричних понятьта об'єктів (наприклад, точки, прямий) Евклід доводить існування інших об'єктів геометрії (наприклад, рівностороннього трикутника) шляхом їх побудови, що виконується на підставі п'яти постулатів. У постулатах стверджується можливість виконання деяких елементарних побудов, наприклад, «що від будь-якої точки до будь-якої точки (можна) провести пряму лінію» (1 постулат); "І що від будь-якого центру і всяким розчином (можливо) описаний коло" (III постулат). Особливе місцесеред постулатів займає V постулат (аксіома про паралельні): «І якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні і по один бік кути, менші від двох прямих, то продовжені ці прямі необмежено зустрінуться з тією стороною, де кути менші від двох прямих». Відносна складність формулювання призвела до прагнення багатьох математиків (протягом майже 2 тис. років) вивести його як теорему з інших основних положень геометрії. Спроби довести V постулат тривали аж до робіт М. І. Лобачевського. ,
який побудував першу систему неевклідової геометрії, в якій цей постулат не виконується (див. Лобачевського геометрія). За постулатами у «Н.» Е. наводяться аксіоми – пропозиції про властивості відносин рівності та нерівності між величинами. Наприклад: «Рівні одному й тому рівні і між собою» (1-я аксіома); «І все більше частини» (8-а аксіома). З сучасної точкизору система аксіом та постулатів «Н.» Е. недостатня для дедуктивної побудови геометрії. Так, тут немає ні аксіом руху, ні аксіом конгруентності (за винятком однієї). Відсутні також аксіоми розташування та безперервності. Фактично Евклід використовує при доказах і рух і безперервність. Логічні недоліки побудови "Н." Е. повністю з'ясувалися лише наприкінці 19 ст. після робіт Д. Гільберта (див. Евклідова геометрія) .
До цього протягом понад 2 тис. років "Н." Е. служили зразком наукової суворості; за цією книгою в повному або скороченому і переробленому вигляді вивчали геометрію. "Н." Е. складаються із тринадцяти книг (відділів, або частин). У книзі I розглядаються основні властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів та проводиться порівняння їх площ. Закінчується книга Піфагора теорема. У книзі II викладається так звана геометрична алгебра, тобто будується геометричний апарат для вирішення завдань, що зводяться до квадратних рівнянь (алгебраїчна символіка в Н. Е. відсутня). У книзі III розглядаються властивості кола, його дотичних і хорд (ці проблеми були досліджені Гіппократом Хіоським у 2-й половині 5 ст до н.е.), у книзі IV - правильні багатокутники. У книзі V дається загальна теорія відносин величин, створена Євдоксом Кнідським. ;
її можна розглядати як прообраз теорії дійсних чисел, розробленої лише у 2-й половині 19 ст. Загальна теорія відносин є основою вчення про подобу (книга VI) та методу вичерпування (книга VII), що також сягають Евдокса. У книгах VII-IX викладено початки теорії чисел, засновані на алгоритмі знаходження найбільшого загального дільника (Евкліда алгоритмі). У ці книги входить теорія ділимості, включаючи теореми про однозначність розкладання цілого числа прості множникиі про нескінченність числа простих чисел; тут викладається також вчення про відношення цілих чисел, еквівалентне, по суті, теорію раціональних (позитивних) чисел. У книзі Х дається класифікація квадратичних та біквадратичних ірраціональностей та обґрунтовуються деякі правила їх перетворення. Результати книги Х застосовують у книзі XIII знаходження довжин ребер правильних багатогранників. Значна частина книг Х і XIII (ймовірно і VII) належить Теетету (початок 4 ст до н. Е..). У книзі ХІ викладаються основи стереометрії. У книзі XII визначаються за допомогою методу вичерпування відношення площ двох кіл та відношення обсягів піраміди та призми, конуса та циліндра. Ці теореми вперше доведено Євдоксом. Нарешті, у книзі XIII визначається відношення обсягів двох куль, будуються п'ять правильних багатогранників і доводиться, що інших правильних тіл немає. Наступними грецькими математиками до "Н." Е. були приєднані книги XIV і XV, які не належали Евкліду. Вони часто й тепер видаються разом із основним текстом «Н.» е. "Н." Е. здобули широку популярність вже в давнину. Архімед, Аполлоній Пергський та ін. вчені спиралися на них при своїх дослідженнях у галузі математики та механіки. До нашого часу античний текст "Н." Е. не дійшов (найдавніша з збережених копій належить до 2-ї половини 9 ст). Наприкінці 8 ст. - На початку 9 ст. з'являються переклади "Н." Е. на арабська мова. Перший переклад на латинська мовабув зроблений з арабського Ателхардом Батським у 1-й чверті 12 ст. Стародавні списки відрізняються суттєвими різночитаннями; справжній текст "Н." Е. точно не відновлено. Перше друковане видання"Н." Е. в перекладі Дж. Кампано латинською мовою з'явилося у Венеції в 1482 з кресленнями на полях книги (переклад був виконаний близько 1250-1260; Кампано використовував як арабські джерела, так і переклад Ателхарда Батського). Найкращим нині вважається видання І. Гейберга (Euclidis Elementa, v. 1-5, Lipsiae, 1883-88), в якому наводиться як грец. текст, і його лат. переклад. Російською мовою «Н.» Е. видавалися багаторазово починаючи з 18 ст. Найкраще видання- "Початку Евкліда", пров. з грец. та коментарі Д. Д. Мордухай-Болтовського, т. 1-3, 1948-50. Літ.:Історія математики з найдавніших часів на початок нового часу, т. 1, М., 1970. І. Г. Башмакова, А. І. Маркушевич.
- - Спосіб знаходження найбільшого загального дільника двох цілих чисел, двох багаточленів або загальної міри двох відрізків. Описаний геометрич. формі в "Початках" Евкліда...
Математична енциклопедія
- - Про прості числа: безліч простих чисел є нескінченним. Більш точну кількісну інформацію про безліч простих чисел у натуральному ряді містить Чебишева теорема про прості числа і асимптотич...
Математична енциклопедія
- - твір з елементарної математикидавньогрецького вченого Евкліда, найпоширеніше видання у світі, що охоплює елементарну геометрію, теорію чисел, алгебру, теорію вимірювання геометричних величин,...
Початки сучасного Природознавства
- - у христ. представл. один із дев'яти ангельських чинів. Згадка. у Новому заповіті. За класифікацією Псевдо-Діонісія Ареопагіта - сьомий чин, що складає разом з архангелами та ангелами третю тріаду.
Стародавній світ. Енциклопедичний словник
- - спосіб знаходження найбільшого загального дільника двох цілих чисел, двох багаточленів або загального заходу двох відрізків.
- - науковий твір, написаний Евклідом у 3 ст. до зв. е., що містить основи античної математики: елементарної геометрії, теорії чисел, алгебри, загальної теорії відносин та методу визначення площ та...
Велика Радянська енциклопедія
- - Спосіб знаходження найбільшого загального дільника двох цілих чисел, двох багаточленів або загальної міри двох відрізків. Описаний у геометричній форміЕвклідом...
- - "ПОЧАТКУ" ЄВКЛІДА, науковий твір, написаний Евклідом у 3 ст. до зв. е., в якому підведено підсумок 300-річного розвитку грецької математики та створено фундамент для подальших математичних досліджень.
Великий енциклопедичний словник
- - для початку нареч. йдуть. часу розг. 1. Спочатку, спочатку. 2. На перший час...
Тлумачний словникЄфремової
- - Почала мн. 1. Основні положення, принципи чогось. 2...
Тлумачний словник Єфремової
- - ...
Орфографічний словник-довідник
- - Розг. Для почину; на перший час. він суворо організував працю, створив бригади. І він пообіцяв «доглянути» їй щось для початку...
Фразеологічний словникросійської літературної мови
- - Без початку, без кінця, а не Бог...
В.І. Даль. Прислів'я російського народу
- - Перш за все, спочатку, в першу чергу, перш за все, перш за все, в першу голову, першим боргом, спочатку, перш, спочатку, перша справа, спочатку, спочатку, спочатку, спочатку, спочатку, спочатку, спочатку.
Словник синонімів
- - Нареч, кількість синонімів: 1 на роззавод ...
Словник синонімів
- - знову, знову здорово, знову, знову, знову двадцять п'ять, з яєць леді, наново, від...
Словник синонімів
"Початку Евкліда" у книгах
Додаток 2. Доказ Евкліда ірраціональності числа √2
автора Сінгх СаймонДодаток 2. Доказ Евкліда ірраціональності числа?2 Мета Евкліда полягала в доказі того, що число?2 не є у вигляді дробу. Оскільки Евклід використав доказ протилежного, перший крок полягав у припущенні, що вірно протилежне
Додаток 5. Доказ Евкліда існування нескінченного числа піфагорових трійок
З книги Велика ТеоремаФерма автора Сінгх СаймонДодаток 5. Доказ Евкліда існування нескінченного числа піфагорових трійокПіфагорової трійкою називається такий набір із трьох цілих чисел, що сума квадратів двох із них дорівнює квадрату третього числа. Евклід зумів довести, що існує нескінченно
5-й постулат Евкліда
З книги Гіпотези та помилки, про які має знати сучасна людина автора Трибіс Олена Євгенівна5-й постулат Евкліда Знання основ геометрії стали необхідні людству з розвитком господарських відносин, що супроводжувалися поділом земельних угідь і будівництвом різних споруд. Яка зародилася як чисто прикладна наука, геометрія поступово
Критика механіки Ньютона та геометрії Евкліда
З книги Курс історії фізики автора Степанович Кудрявцев ПавлоКритика механіки Ньютона і геометрії Евкліда Електродинаміка середовищ, що рухаються, в теорії електронів вела до багатьох радикальних висновків, перш за все до краху уявлення про незмінні тверді частинки. Твердих тілі незмінних частиноку природі немає, форма та розміри тіл
Євдокс Кнідський, попередник Евкліда
З книги Історія Перської імперії автора Олмстед АльбертЄвдокс Кнідський, попередник Евкліда Євдокс Кнідський почав свою кар'єру як лікар. Він відвідав Афіни і там знайшов собі вчителя у Платоні, який після повернення з Єгипту став філософом. Євдокс отримав рекомендаційний листвід Агесилая до царя Некхт-хар-хебі та
У чому полягає принципова різниця між геометричною оптикою грека Евкліда та араба Альгазена?
З книги Новітня книгафактів. Том 3 [Фізика, хімія та техніка. Історія та археологія. Різне] автора Кондрашов Анатолій ПавловичУ чому полягає принципова різниця між геометричною оптикоюгрека Евкліда та араба Альгазена? Намагаючись пояснити феномен зору, давньогрецькі мислителі піфагорійської школи висунули гіпотезу про особливий флюїд, що випромінює очі і «обмацує» (як
«Початку» Евкліда
З книги Велика Радянська Енциклопедія(НА) автора ВікіпедіяЕвкліда алгоритм
З книги Велика Радянська Енциклопедія (ЄВ) автора ВікіпедіяГлава 3 Конкуренти Евкліда
З книги Коли прямі викривляються [Неевклідові геометрії] автора Гомес ЖуанГлава 3 Конкуренти Евкліда Протягом століть п'ятий постулат викликав рясні коментарі та критику у працях найвідоміших геометрів. Багато хто з них був переконаний, що цей постулат можна довести за допомогою інших постулатів, і зосередили свої зусилля на пошуку
Глава 1 До Евкліда – доісторичні часи
З книги У гонитві за красою автора Смілга Вольдемар ПетровичГлава 1 До Евкліда - доісторичні часи Істинний початок цієї історії втрачається в темряві часів апокрифічних.
§ 3. Алгоритм Евкліда
З книги Запрошення до теорії чисел автора Оре Ойстін§ 3. Алгоритм Евкліда Знову повернемося до наших дробів а/b. Якщо а > b, то дріб є числом, більшим за 1, і ми часто поділяємо його на цілу частину і правильний дріб, меншу одиниці. Ми пишем32/5 = 6 + 2/5 = 6 2/5, 63/7 = 9 + 0/7 = 9.В загальному випадкуми використовуємо поділ із залишком чисел а і
Закон Евкліда
З книги Агенти Росії автора Юрій Олександрович УдовенкоЗакон Евкліда Ще в третьому столітті до Різдва Христового давньогрецький математик Евклід вирік: кут падіння дорівнює кутувідбиття! Третій закон Ісаака Ньютона вторить: сила дії дорівнює силі протидії ... Ці закони актуальні у всьому, в тому числі і в агентурному
Дон Кіхот з вулиці Евкліда
З книги З Потомака на Міссісіпі: несентиментальна подорож Америкою автора Стуруа Мелор ГеоргійовичДон Кіхот з вулиці Евкліда (Хроніка одного страйку)
Розділ 10. Від Фалеса до Евкліда
автора Турчин Валентин ФедоровичРозділ 10. Від Фалеса до Евкліда 10.1. Доказ Ні в єгипетських, ні в вавилонських текстах ми не знаходимо нічого, що хоча б віддалено було схоже на математичний доказ. Поняття про доказ ввели греки, і це є їх найбільшою заслугою. Якимись
Розділ 11. Від Евкліда до Декарта
Із книги Феномен науки. Кібернетичний підхід до еволюції автора Турчин Валентин ФедоровичРозділ 11. Від Евкліда до Декарта 11.1. Число і величина За часів Піфагора та ранніх піфагорійців керівну висоту в грецькій математиці займало поняття числа. Піфагорійці вважали: Бог поклав числа основою світового порядку. Бог – це єдність, а світ – множинність.
Евклід народився близько 330 р. до н.е., ймовірно, в м. Олександрія. Деякі арабські автори вважають, що він походив із багатої сім'їіз Нократа. Є версія, що Евклід міг народитися в Тирі, а всю свою подальше життяпровести у Дамаску. Згідно з деякими документами, Евклід навчався у давній школі Платона в Афінах, що було під силу лише заможним людям. Вже після цього він переїде до м. Олександрія в Єгипті, де й започаткує розділ математики, нині відомий як «геометрія».
Життя Евкліда Олександрійського часто плутають із життям Евкліда з Мегуро, що робить складним виявлення будь-яких надійних джерелжиттєпису математика. Достовірно відомо лише те, що саме він привернув увагу громадськості до математики та вивів цю науку на абсолютно новий рівень, Здійснивши революційні відкриття в цій галузі і довівши безліч теорем. В ті часи Олександрія була не лише найбільшим містому західній частині світу, а й центром великої, процвітаючої галузі виробництва папірусу. Саме в цьому місті Евклід розробив, записав та представив світові свої праці з математики та геометрії.
Наукова діяльність
Евкліда обґрунтовано вважають «батьком геометрії». Саме він заклав основи цієї галузі знань і звів її на належний рівеньвідкривши суспільству закони одного з найскладніших розділів математики в той час. Після переїзду до Олександрії, Евклід, як і багато вчених того часу, розважливо проводить більшу частинучасу в Олександрійській бібліотеці. Цей музей, присвячений літературі, мистецтву та наукам, був заснований ще Птолемеєм. Тут Евклід починає поєднувати геометричні принципи, арифметичні теоріїі ірраціональні числав єдину наукугеометрію. Він продовжує доводити свої теореми та зводить їх у колосальну працю «Початку».
За весь час своєї малодослідженої наукової діяльності, вчений закінчив 13 видань «Початок», що охоплюють широкий спектрпитань, починаючи з аксіом і тверджень і закінчуючи стереометрією та теорією алгоритмів. Поряд із висуванням різних теорій, він починає розробляти методику доказу та логічне обґрунтування цих ідей, які доведуть запропоновані Евклідом твердження.
Його праця містить понад 467 тверджень щодо планиметрії та стереометрії, а також гіпотез та тез, що висувають та доводять його теорії щодо геометричних уявлень. Достеменно відомо, що як один із прикладів у своїх «Початках» Евклід використовував теорему Піфагора, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Евклід стверджував, що «теорема вірна всім випадків прямокутних трикутників».
Відомо, що за час існування «Початку», аж до XX століття, було продано більше екземплярів цієї книги, ніж Біблії. «Початки», видані та перевидані незліченну кількість разів, у своїй роботі використовували різні математики та автори наукових праць. Евклідова геометрія не знала кордонів, і вчений продовжував доводити все нові теореми в різних областях, як, наприклад, в області «простих чисел», а також в області основ арифметичних знань. Ланцюжком логічних міркувань Евклід прагнув відкрити таємні знаннялюдству. Система, яку вчений продовжував розробляти у своїх «Початках», стане єдиною геометрією, яку знатиме світ аж до ХІХ століття. Однак сучасні математикивідкрили нові теореми та гіпотези геометрії, і розділили предмет на «евклідову геометрію» та «неевклідову геометрію».
Сам учений називав це «узагальненим підходом», заснованим не так на методі спроб і помилок, але в поданні незаперечних фактів теорій. За часів, коли доступ до знань був обмежений, Евклід брався за вивчення питань зовсім різних областей, у тому числі і «арифметики та чисел». Він зробив висновок, що виявлення «найбільшого простого числафізично неможливо. Це твердження він обґрунтував тим, що, якщо до найбільшого відомого простого числа додати одиницю, це неминуче призведе до утворення нового простого числа. Цей класичний прикладє доказом ясності та точності думки вченого, незважаючи на його поважний вік та часи, в які він жив.
Аксіоми
Евклід говорив, що аксіоми – це твердження, які потребують доказів, але при цьому він розумів, що сліпе прийняття на віру цих тверджень не може використовуватися в побудові математичних теорій та формул. Він усвідомлював, що навіть аксіоми мають бути підкріплені незаперечними доказами. А тому вчений почав наводити логічні висновки, що підтверджували його геометричні аксіоми та теореми. Для кращого розуміння цих аксіом він розділив їх на дві групи, які назвав «постулатами». Перша група відома як « загальні поняття», Що складаються з визнаних наукових тверджень. Друга група постулатів є синонімом геометрії. Перша група включає такі поняття, як «ціле більше сумичастин» і «якщо дві величини порізно рівні однієї й тієї ж третьої, всі вони рівні між собою». Ось лише два з п'яти постулатів, записаних Евклідом. П'ять постулатів другої групи відносяться безпосередньо до геометрії, стверджуючи, що «всі прямі кути рівні між собою», і що «від будь-якої точки до кожної точки можна провести пряму».
Наукова діяльність математика Евкліда процвітала, і на початку 1570-х р.р. його «Початки» було переведено з грецької мовина арабську, а потім і на англійська моваДжоном Ді. З моменту свого написання, «Початки» були передруковані 1 000 разів і, зрештою, посіли почесне місце у навчальних класах XX сторіччя. Відомо безліч випадків, коли математики намагалися оскаржити і спростувати геометричні та математичні теоріїЕвкліда, але спроби незмінно закінчувалися провалом. Італійський математик Джироламо Саккері прагнув удосконалити праці Евкліда, але залишив свої спроби, не в змозі відшукати в них жодної вади. І лише через сторіччя нова групаматематиків зможе уявити новаторські теорії в галузі геометрії.
Інші роботи
Не перестаючи працювати над зміною теорії математики, Евклід встиг написати ряд робіт на іншу тематику, які використовуються і на які посилаються до цього дня. Ці праці були чистими припущеннями, заснованими на незаперечних доказах, які червоною ниткою проходять через усі «Початки». Вчений продовжив вивчення та відкрив нову областьоптики – катоптрику, яка значною мірою стверджувала математичну функціюдзеркал. Його роботи в галузі оптики, математичних співвідношень, систематизації даних та вивчення конічних перерізів загубились у глибині століть. Відомо, що Евклід успішно закінчив вісім видань, або книг, за теоремами, що стосуються конічних перерізів, але жодна з них не дійшла до наших днів. Він також сформулював гіпотези та припущення, що ґрунтуються на законах механіки та траєкторії руху тіл. Очевидно, всі ці роботи були взаємопов'язані, і висловлені у яких теорії виростали з єдиного кореня – його знаменитих «Начал». Він також розробив ряд евклідових «побудов» – основних інструментів, необхідних виконання геометричних побудов.
Особисте життя
Є свідчення, що Евклід відкрив при Олександрійській бібліотеці приватну школущоб мати можливість навчати математики таких же ентузіастів, як він сам. Також існує думка, що в пізній періодсвого життя він продовжував допомагати своїм учням у створенні власних теорій та написанні праць. У нас немає навіть чіткого уявлення про зовнішність вченого, а всі скульптури та портрети Евкліда, які ми бачимо сьогодні, є лише плодом уяви їхніх творців.
Смерть та спадщина
Рік та причини смерті Евкліда залишаються для людства таємницею. У літературі зустрічаються туманні натяки те що, що міг померти близько 260 р. е. Спадщина, залишена вченим після себе, куди більш значуща, ніж враження, яке він справляв за життя. Його книги та праці продавалися по всьому світу до самого ХІХ століття. Спадщина Евкліда пережила вченого на 200 століть, і служила джерелом натхнення для таких осіб, як, наприклад, Авраам Лінкольн. З чуток, Лінкольн завжди марновірно носив при собі «Початки», і у всіх своїх промовах цитував роботи Евкліда. Навіть після смерті вченого, математики різних країнпродовжували доводити теореми та видавати праці під його ім'ям. Загалом і в ті часи, коли знання були закриті для широких мас, Евклід логічним і науковим шляхом створив формат математики давнини, який у наші дні відомий світу під назвою «евклідової геометрії».
Оцінка з біографії
Нова функція! Середня оцінка, яку одержала ця біографія. Показати оцінку