Отже, Велика теорема Ферма (нерідко звана останньою теоремою Ферма), сформульована в 1637 блискучим французьким математиком П'єром Ферма, дуже проста за своєю суттю і зрозуміла будь-якій людині із середньою освітою. Вона говорить, що формула а в ступені n + b у ступені n = c у ступені n не має натуральних (тобто не дробових) рішень для n > 2. Начебто все просто і зрозуміло, але найкращі вчені-математики та прості любителі билися над пошуком рішення понад три з половиною століть.
Чому вона така знаменита? Зараз дізнаємось...
Чи мало доведених, недоведених і доки не доведених теорем? Тут вся справа в тому, що Велика теорема Ферма є найбільшим контрастом між простотою формулювання і складністю доказу. Велика теорема Ферма – завдання неймовірно важке, проте її формулювання може зрозуміти кожен із 5-ма класами середньої школи, а ось доказ – навіть далеко не всякий математик-професіонал. Ні в фізиці, ні в хімії, ні в біології, ні в тій же математиці немає жодної проблеми, яка б формулювалася так просто, але залишалася невирішеною так довго. 2. У чому вона полягає?
Почнемо з піфагорових штанів Формулювання справді просте – на перший погляд. Як відомо нам з дитинства, «Піфагорові штани на всі боки рівні». Проблема виглядає настільки простою тому, що в її основі лежало математичне твердження, яке всім відомо, – теорема Піфагора: у будь-якому прямокутному трикутнику квадрат, побудований на гіпотенузі, дорівнює сумі квадратів, побудованих на катетах.
У V столітті до н. Піфагор заснував піфагорійське братство. Піфагорійці, крім іншого, вивчали цілі трійки, що задовольняють рівності x²+y²=z². Вони довели, що піфагорових трійок нескінченно багато, і отримали загальні формули для їхнього знаходження. Напевно, вони намагалися шукати трійки та вищих ступенів. Переконавшись, що це не виходить, піфагорійці залишили марні спроби. Члени братства були більше філософами та естетами, ніж математиками.
Тобто легко підібрати безліч чисел, які чудово задовольняють рівності x²+y²=z²
Починаючи з 3, 4, 5 – справді, молодшокласнику зрозуміло, що 9+16=25.
Або 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Чудово.
Ну і таке інше. А якщо взяти схоже рівняння x? + y? = z? Може, також є такі числа?
І так далі (рис.1).
Так от, виявляється, що їх немає. Ось тут починається каверза. Простота - здається, тому що важко довести не наявність чогось, а навпаки, відсутність. Коли треба довести, що рішення є, можна і потрібно просто навести це рішення.
Довести відсутність складніше: наприклад, хтось каже: таке рівняння не має рішень. Посадити його в калюжу? легко: бац - а ось воно, рішення! (Приведіть рішення). І все, опонент вражений. А як довести відсутність?
Сказати: "Я не знайшов таких рішень"? А може, ти погано шукав? А раптом вони є, тільки дуже великі, ну дуже такі, що навіть у надпотужного комп'ютера поки не вистачає сил? Ось це й складно.
У наочному вигляді це можна показати так: якщо взяти два квадратики відповідних розмірів і розібрати на одиничні квадратики, то з цієї купки одиничних квадратиків виходить третій квадратик (рис. 2):
А зробимо те саме з третім виміром (рис. 3) – не виходить. Бракує кубиків, або залишаються зайві:
А ось математик XVII століття француз П'єр де Ферма із захопленням досліджував загальне рівняння x n + y n = z n . І, нарешті, зробив висновок: при n>2 цілих рішень не існує. Доказ Ферма безповоротно втрачено. Рукописи палають! Залишилося лише його зауваження в «Арифметиці» Діофанта: «Я знайшов справді дивовижний доказ цієї пропозиції, але поля тут занадто вузькі для того, щоб вмістити його».
Взагалі теорема без доказу називається гіпотезою. Але за Ферма закріпилася слава, що він ніколи не помиляється. Навіть якщо він не залишав доказів будь-якого твердження, згодом воно підтверджувалося. До того ж Ферма довів свою тезу для n=4. Так гіпотеза французького математика увійшла до історії як Велика теорема Ферма.
Після Ферма над пошуком доказу працювали такі великі уми, як Леонард Ейлер (в 1770 їм було запропоновано рішення для n = 3),
Адрієн Лежандр і Йоган Діріхле (ці вчені в 1825 році спільно знайшли доказ для n = 5), Габріель Ламе (який знайшов доказ для n = 7) і багато інших. До середини 80-х років минулого століття стало зрозуміло, що вчений світ перебуває на шляху до остаточного вирішення Великої теореми Ферма, проте лише в 1993 математики побачили і повірили, що тривікова епопея з пошуку доказу останньої теореми Ферма практично закінчилася.
Легко показується, що теорему Ферма достатньо довести лише для простих n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При складових n доказ залишається чинним. Але й простих чисел нескінченно багато.
У 1825 році, застосувавши метод Софі Жермен, жінки-математика, Діріхле та Лежандр незалежно одна від одної довели теорему для n=5. У 1839 року тим самим методом француз Габріель Ламе показав істинність теореми для n=7. Поступово теорему довели майже всім n, менших ста.
Нарешті, німецький математик Ернст Куммер у блискучому дослідженні показав, що методами математики ХІХ століття теорему у вигляді довести не можна. Премія Французької Академії Наук, започаткована в 1847 році за доказ теореми Ферма, залишилася неврученою.
У 1907 році багатий німецький промисловець Пауль Вольфскель через нерозділене кохання вирішив звести рахунки з життям. Як справжній німець він призначив дату і час самогубства: рівно опівночі. В останній день він склав заповіт та написав листи друзям та родичам. Справи закінчилися раніше півночі. Слід сказати, що Пауль цікавився математикою. Від нічого робити він пішов у бібліотеку і почав читати знамениту статтю Куммера. Несподівано йому здалося, що Куммер у ході міркувань зробив помилку. Вольфскель став із олівцем у руках розбирати це місце статті. Опівночі минула, настав ранок. Пробіл у доказі було заповнено. Та й сам привід для самогубства тепер виглядав абсолютно безглуздим. Пауль розірвав прощальні листи та переписав заповіт.
Незабаром він помер природною смертю. Спадкоємці були неабияк здивовані: 100 000 марок (понад 1 000 000 нинішніх фунтів стерлінгів) передавалися на рахунок Королівського наукового товариства Геттінгена, яке того ж року оголосило про проведення конкурсу на здобуття премії Вольфскеля. 100 000 марок покладалися теорему Ферма, що доказав. За спростування теореми не належало ні пфеніг...
Більшість професійних математиків уважали пошук доказу Великої теореми Ферма безнадійною справою і рішуче відмовлялися витрачати час на таке марне заняття. Зате любителі повеселіли на славу. Через кілька тижнів після оголошення на Геттінгенському університеті обрушилася лавина «доказів». Професор Е. М. Ландау, в обов'язок якого входив розбір надісланих доказів, роздав своїм студентам картки:
Шановний(а) . . . . . . . .
Дякую Вам за надісланий Вами рукопис із доказом Великої теореми Ферма. Перша помилка знаходиться на стор. ... у рядку... . Через неї весь доказ втрачає чинність.
Професор Е. М. Ландау
1963 року Пауль Коен, спираючись на висновки Геделя, довів нерозв'язність однієї з двадцяти трьох проблем Гільберта — гіпотези континууму. А що, якщо Велика теорема Ферма теж нерозв'язна? Але справжніх фанатиків Великої теореми це не розчарувало. Поява комп'ютерів зненацька дала математикам новий спосіб підтвердження. Після Другої світової війни групи програмістів та математиків довели Велику теорему Ферма за всіх значень n до 500, потім до 1 000, а пізніше до 10 000.
У 80-ті роки Семюель Вагстафф підняв межу до 25 000, а в 90-ті математики заявили, що Велика теорема Ферма вірна при всіх значеннях n до 4 мільйонів. Але якщо від нескінченності відібрати навіть трильйон трильйонів, вона не стане меншою. Математиків не переконує статистика. Довести Велику теорему означало довести її ВСІХ n, які у нескінченність.
У 1954 році два молодих японських друга-математика зайнялися дослідженням модулярних форм. Ці форми породжують ряди чисел, кожна – свій ряд. Випадково Таніяма порівняв ці ряди із рядами, що породжуються еліптичними рівняннями. Вони збігалися! Але модулярні форми – геометричні об'єкти, а еліптичні рівняння – алгебраїчні. Між такими різними об'єктами ніколи не знаходили зв'язку.
Проте друзі після ретельної перевірки висунули гіпотезу: у кожного еліптичного рівняння існує двійник – модулярна форма, і навпаки. Саме ця гіпотеза стала фундаментом цілого напряму в математиці, але до тих пір, поки гіпотеза Таніями-Сімури не була доведена, вся будівля могла впасти в будь-який момент.
В 1984 Герхард Фрей показав, що рішення рівняння Ферма, якщо воно існує, можна включити в деяке еліптичне рівняння. Двома роками пізніше професор Кен Рібет довів, що це гіпотетичне рівняння не може мати двійника у модулярному світі. Відтепер Велика теорема Ферма була нерозривно пов'язана з гіпотезою Таніями-Сімури. Довівши, що будь-яка еліптична крива модулярна, робимо висновок, що еліптичного рівняння з рішенням рівняння Ферма немає, і Велика теорема Ферма було б відразу доведено. Але протягом тридцяти років довести гіпотезу Таніями-Сімури не вдавалося, і надій на успіх залишалося все менше.
У 1963 році, коли йому було всього десять років, Ендрю Вайлз вже був зачарований математикою. Коли він дізнався про Велику теорему, то зрозумів, що не зможе відмовитися від неї. Школярем, студентом, аспірантом він готував себе до цього завдання.
Дізнавшись про висновки Кена Рібета, Уайлз з головою пішов на доказ гіпотези Таніями-Сімури. Він вирішив працювати у повній ізоляції та таємності. «Я розумів, що все, що має якесь відношення до Великої теореми Ферма, викликає надто великий інтерес… Занадто багато глядачів наперед заважають досягненню мети». Сім років наполегливої роботи принесли плоди, Уайлс нарешті завершив доказ гіпотези Таніями-Сімури.
У 1993 році англійський математик Ендрю Уайлс представив світові свій доказ Великої теореми Ферма (Уайльс прочитав свою сенсаційну доповідь на конференції в Інституті сера Ісаака Ньютона в Кембриджі), робота над яким тривала понад сім років.
Поки в пресі продовжувався галас, розпочалася серйозна робота з перевірки доказу. Кожен фрагмент доказу повинен бути ретельно вивчений перш ніж доказ може бути визнаний суворим та точним. Уайлс провів неспокійне літо в очікуванні відгуків рецензентів, сподіваючись, що йому вдасться отримати їхнє схвалення. Наприкінці серпня експерти виявили недостатньо обґрунтоване судження.
Виявилося, що це рішення містить грубу помилку, хоча загалом і правильно. Уайлс не здався, закликав на допомогу відомого фахівця з теорії чисел Річарда Тейлора, і вже 1994 року вони опублікували виправлений і доповнений доказ теореми. Найдивовижніше, що ця робота зайняла цілих 130 (!) смуг у математичному журналі "Annals of Mathematics". Але й на цьому історія не закінчилася — останню точку було поставлено лише наступного, 1995 року, коли вийшов остаточний і «ідеальний», з математичної точки зору, варіант доказу.
«…через півхвилини після початку святкового обіду з нагоди її дня народження, я подарував Наді рукопис повного доказу» (Ендрю Уальс). Я ще не казав, що математики дивні люди?
На цей раз жодних сумнівів у доказі не було. Дві статті були піддані ретельному аналізу і в травні 1995 року були опубліковані в журналі «Annals of Mathematics».
З того моменту минуло чимало часу, однак у суспільстві досі існує думка про нерозв'язність Великої теореми Ферма. Але навіть ті, хто знає про знайдений доказ, продовжують роботу в цьому напрямі — мало кого влаштовує, що Велика теорема потребує вирішення 130 сторінок!
Тому зараз сили дуже багатьох математиків (переважно це любителі, а не професійні вчені) кинуті на пошуки простого та лаконічного доказу, проте цей шлях, швидше за все, не приведе нікуди.
ФЕРМА ВЕЛИКА ТЕОРЕМА - затвердження П'єра Ферма (французький юрист і за сумісництвом математик) про те, що діофантове рівняння X n + Y n = Z n , за показником ступеня n>2, де n = ціле число, не має рішень у цілих позитивних числах . Авторський текст: "Неможливо розкласти куб на два куби, або біквадрат на два біквадрати, або взагалі ступінь, більший за два, на два ступеня з тим же самим показником."
"Ферма та його теорема", Амадео Модільяні, 1920
П'єр вигадав цю теорему 29 березня 1636 року. А ще за якихось 29 років помер. Але тут все й почалося. Адже заможний німецький аматор математики на прізвище Вольфскель заповів сто тисяч марок тому, хто надасть повний доказ теореми Ферма! Але ажіотаж навколо теореми був пов'язаний не лише з цим, а й із професійним математичним азартом. Сам Ферма натякнув математичному співтовариству, що знає доказ - незадовго до смерті, в 1665-му році він залишив на полях книги Діофанта Олександрійського "Арифметика" наступний запис: "Я маю дуже разючий доказ, але воно занадто велике, щоб його можна було розмістити на полях."
Саме цей натяк (плюс, звичайно, грошова премія) змусив математиків безуспішно витрачати на пошуки докази свої найкращі роки (за підрахунками американських вчених, тільки професійними математиками було витрачено на це 543 роки).
У якийсь момент (1901-го) робота над теоремою Ферма набула сумнівної слави "роботи, схожої на пошук вічного двигуна" (з'явився навіть принизливий термін - "ферматисти"). І раптом 23 червня 1993 року на математичній конференції з теорії чисел у Кембриджі англійський професор математики з Прінстонського університету (Нью-Джерсі, США) Ендрю Вайлз оголосив, що нарешті довів Ферма!
Доказ, щоправда, був як складним, а й очевидно помилковим, потім Уайлсу було вказано його колегами. Але професор Вайлз все життя мріяв довести теорему, тому не дивно, що в травні 1994-го він представив на суд вченої спільноти новий доопрацьований варіант доказу. У ньому не було стрункості, краси, і воно, як і раніше, було дуже складним - той факт, що математики цілий рік (!) цей доказ аналізували, щоб зрозуміти, чи не є воно хибним, говорить сам за себе!
Однак у результаті підтвердження Уайлса було визнано вірним. А ось П'єру Ферма його цей натяк в "Арифметиці" математики не пробачили, і, фактично, стали вважати його брехуном. Власне, першим, хто ризикнув засумніватися в моральній охайності Ферма був сам Ендрю Уайлс, який зауважив, що "Ферма не міг мати такого доказу. Це доказ ХХ століття." Потім і серед інших учених зміцнилася думка, що Ферма "не міг довести свою теорему іншим шляхом, а довести її тим шляхом, яким пішов Уайлс, Ферма не міг з об'єктивних причин."
Насправді, Ферма, звичайно ж, міг довести її, і трохи пізніше цей доказ буде аналітиками "Нової Аналітичної Енциклопедії" відтворено. Але - що це за такі "об'єктивні причини"?
Така причина насправді лише одна: у ті роки, коли жив Ферма, не могла з'явитися гіпотеза Таніями, на якій і побудував свій доказ Ендрю Вайлз, адже модулярні функції, якими оперує гіпотеза Таніями, були відкриті лише наприкінці XIX століття.
Як довів теорему сам Вайлз? Питання непусте - це важливо для розуміння того, яким чином свою теорему міг довести сам Ферма. Уайлс побудував свій доказ на доказі гіпотези Таніями, висунутої 1955-го 28-річним японським математиком Ютакой Таніямою.
Гіпотеза звучить так: "кожній еліптичній кривій відповідає певна модулярна форма". Еліптичні криві, відомі з давніх-давен, мають двовимірний вигляд (розташовуються на площині), модулярні ж функції, мають чотиривимірний вигляд. Тобто гіпотеза Таніями поєднала зовсім різні поняття - прості плоскі криві та неймовірні чотиривимірні форми. Сам факт поєднання різномірних фігур у гіпотезі здався вченим абсурдним, саме тому 1955-го їй не надали значення.
Однак восени 1984 року про "гіпотезу Таніями" раптом знову згадали, і не просто згадали, але пов'язали її можливий доказ із доказом теореми Ферма! Це зробив математик із Саарбрюкена Герхард Фрей, який повідомив вченому співтовариству, що "якби комусь вдалося довести гіпотезу Таніями, то тим самим було б доведено і Велику теорему Ферма".
Що зробив Фрей? Він перетворив рівняння Ферма на кубічне, потім звернув увагу, що еліптична крива, отримана з допомогою перетвореного на кубічне рівняння Ферма може бути модулярной. Однак гіпотеза Таніями стверджувала, що будь-яка еліптична крива може бути модульною! Відповідно, еліптична крива, побудована з рівняння Ферма неспроможна існувати, отже може бути цілих рішень і теореми Ферма, отже вона вірна. Ну а 1993-го Ендрю Уайлс просто довів гіпотезу Таніями, а значить і теорему Ферма.
Однак, теорему Ферма можна довести значно простіше, на основі тієї ж багатовимірності, якою оперували і Таніяма, і Фрей.
Для початку звернемо увагу на умову, обумовлену самим П'єром Ферма - n>2. Для чого була потрібна ця умова? Та лише у тому, що з n=2 окремим випадком теореми Ферма стає традиційна теорема Піфагора Х 2 +Y 2 =Z 2 , яке має безліч цілих рішень - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 і таке інше. Отже, теорема Піфагора є винятком з теореми Ферма.
Але чому саме у випадку з n=2 виникає такий виняток? Все стає на свої місця, якщо побачити взаємозв'язок між ступенем (n=2) та мірністю самої фігури. Піфагорів трикутник - двомірна фігура. Не дивно, що Z (тобто гіпотенуза) може бути виражена через катети (X і Y), які можуть бути цілими числами. Розмір кута (90) дає можливість розглядати гіпотенузу як вектор, а катети - вектори, розташовані на осях і які йдуть із початку координат. Відповідно, можна виразити двовимірний вектор, що не лежить на жодній з осей, через вектори, що на них лежать.
Тепер, якщо перейти до третього виміру, а значить до n=3, для того щоб висловити тривимірний вектор, буде недостатньо інформації про два вектори, а отже, виразити Z у рівнянні Ферма можна буде як мінімум через три доданки (три вектори, що лежать, відповідно, на трьох осях системи координат).
Якщо n=4, отже, доданків має бути вже 4, якщо n=5, то доданків має бути 5 і так далі. У цьому випадку цілих рішень буде хоч греблю гати. Наприклад, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 і так далі (інші приклади для n = 3, n = 4 і так далі можете підібрати самостійно).
Що з цього слід? З цього випливає, що теорема Ферма справді не має цілих рішень при n>2 - але лише тому, що саме собою рівняння некоректне! З таким самим успіхом можна було б намагатися висловити обсяг паралелепіпеда через довжини двох його ребер - зрозуміло, це неможливо (цілих рішень ніколи не буде знайдено), але лише тому, що для знаходження обсягу паралелепіпеда потрібно знати довжини всіх трьох його ребер.
Коли знаменитого математика Давида Гілберта запитали, яке завдання зараз для науки найважливіше, він відповів "зловити муху на звороті Місяця". На резонне запитання "А кому це треба?" він відповів так: "Це нікому не треба. Але подумайте над тим, скільки важливих найскладніших завдань треба вирішити, щоб це здійснити".
Іншими словами, Ферма (юрист насамперед!) зіграв з усім математичним світом дотепний юридичний жарт, заснований на неправильній постановці завдання. Він, власне, запропонував математикам знайти відповідь, чому муха з іншого боку Місяця жити неспроможна, але в полях " Арифметики " хотів написати лише у тому, що у Місяці просто немає повітря, тобто. Цілих рішень його теореми при n>2 бути не може лише тому, що кожному значенню n має відповідати певну кількість членів у лівій частині його рівняння.
Але чи це був просто жарт? Не. Геніальність Ферма полягає саме в тому, що він фактично першим побачив взаємозв'язок між ступенем і мірністю математичної фігури - тобто, що абсолютно еквівалентно, кількістю членів у лівій частині рівняння. Сенс його знаменитої теореми був саме в тому, щоб не просто наштовхнути математичний світ на ідею цього взаємозв'язку, а й ініціювати доказ існування цього взаємозв'язку – інтуїтивно зрозумілого, але математично поки що не обґрунтованого.
Ферма як ніхто інший розумів, що встановлення взаємозв'язку між, начебто, різними об'єктами надзвичайно плідно у математиці, а й у будь-якій науці. Такий взаємозв'язок вказує на якийсь глибокий принцип, що лежить в основі обох об'єктів і дозволяє глибше зрозуміти їх.
Наприклад, спочатку фізики розглядали електрику та магнетизм як зовсім не пов'язані між собою явища, а в XIX столітті теоретики та експериментатори зрозуміли, що електрика та магнетизм тісно пов'язані між собою. В результаті було досягнуто глибшого розуміння і електрики, і магнетизму. Електричні струми породжують магнітні поля, а магніти можуть індукувати електрику в провідниках поблизу магнітів. Це призвело до винаходу динамомашин та електромоторів. Зрештою було відкрито, що світло є результатом узгоджених гармонійних коливань магнітного та електричного полів.
Математика часів Ферма складалася з островів знання у морі незнання. На одному острові жили геометри, що займаються вивченням форм, на іншому острові теорії ймовірностей математики вивчали ризики та випадковість. Мова геометрії сильно відрізнялася від мови теорії ймовірностей, а алгебраїчна термінологія була чужа тим, хто говорив лише про статистику. На жаль, математика та наших часів складається приблизно з таких самих островів.
Ферма першим зрозумів, що ці острови взаємопов'язані. І його знаменита теорема - ВЕЛИКА ТЕОРЕМА ФЕРМА - відмінне тому підтвердження.
У світі можна знайти не так багато людей, які жодного разу не чули про Великої теореми Ферма- мабуть, це єдина математична задача, що здобула настільки широку популярність і стала справжньою легендою. Про неї згадується в багатьох книгах і фільмах, при цьому головний контекст майже всіх згадок - неможливість довести теорему.
Так, ця теорема дуже відома і в певному сенсі стала «ідолом», якому поклоняються математики-аматори та професіонали, але мало кому відомо про те, що її доказ знайдено, а сталося це вже далекого 1995 року. Але про все по порядку.
Отже, Велика теорема Ферма (нерідко звана останньою теоремою Ферма), сформульована в 1637 блискучим французьким математиком П'єром Ферма, дуже проста за своєю суттю і зрозуміла будь-якій людині із середньою освітою. Вона говорить, що формула a n + b n = c n не має натуральних (тобто не дробових) рішень для n > 2. Начебто все просто і зрозуміло, але найкращі вчені-математики та прості любителі билися над пошуком рішення понад три з половиною століть.
Сам Ферма стверджував, що вивів дуже простий і лаконічний доказ своєї теорії, проте досі не знайдено жодних документальних свідчень цього факту. Тому зараз вважається, що сам Ферма так і не зміг знайти спільного рішення своєї теореми, хоча з-під його пера вийшов приватний доказ n = 4.
Після Ферма над пошуком доказу працювали такі великі уми, як Леонард Ейлер(1770 року їм було запропоновано рішення для n = 3), Адрієн Лежандр та Йоган Діріхле(ці вчені 1825 року спільно знайшли доказ для n = 5), Габріель Ламе(який знайшов доказ для n = 7) та багато інших. До середини 80-х років минулого століття стало зрозуміло, що вчений світ перебуває на шляху остаточного вирішення
Великої теореми Ферма, проте лише 1993 року математики побачили і повірили, що тривікова епопея з пошуку доказу останньої теореми Ферма практично закінчилася.
1993 року англійський математик Ендрю Вайлзпредставив світові своє доказ Великої теореми Ферма, робота над яким тривала понад сім років. Але виявилося, що це рішення містить грубу помилку, хоча загалом і правильно. Уайлс не здався, закликав на допомогу відомого фахівця з теорії чисел Річарда Тейлора, і вже 1994 року вони опублікували виправлений і доповнений доказ теореми. Найдивовижніше, що ця робота зайняла цілих 130 (!) смуг у математичному журналі "Annals of Mathematics". Але й на цьому історія не закінчилася - остання точка була поставлена лише наступного, 1995 року, коли вийшов остаточний і «ідеальний», з математичної погляду, варіант докази.
З того моменту минуло чимало часу, однак у суспільстві досі існує думка про нерозв'язність Великої теореми Ферма. Але навіть ті, хто знає про знайдений доказ, продовжують роботу в цьому напрямі – мало кого влаштовує, що Велика теорема потребує рішення на 130 сторінок! Тому зараз сили дуже багатьох математиків (переважно це любителі, а не професійні вчені) кинуті на пошуки простого та лаконічного доказу, проте цей шлях, швидше за все, не приведе нікуди.
НОВИНИ НАУКИ ТА ТЕХНІКИ
УДК 51:37;517.958
А.В. Коновка, к.т.н.
Академія державної протипожежної служби МНС Росії ВЕЛИКА ТЕОРЕМА ФЕРМА ДОКАЗАНА. ЧИ НІ?
Протягом кількох століть довести, що рівняння xn+yn=zn при n>2 не можна в раціональних, отже, і цілих числах не вдавалося. Народилося це завдання під авторством французького юриста П'єра Ферма, який паралельно професійно займався математикою. Її рішення визнається за американським учителем математики Ендрю Вайлсом. Це визнання тривало з 1993 по 1995 рік.
THE GREAT FERMA"S THEOREM IS PROVED. OR NO?
The dramatic history of Fermat's last theorem providing is considered. It took almost four hundred years. Pierre Fermat wrote little. He wrote in compressed style. на дошці рациональних номерів і integers, якщо n>2 був віднесений до Fermat"s commentary те, що ви знайдете необхідний remarkable proving to цей statement. The descendants були невідповідні до цього proving. Останній цей стан був названий Fermat's останній theorem. The world best mathematicians broke lance over this theorem without result. в 1993, на теорії номерів конференція в Cambridge, математичний Princeton University Andrew Whiles повідомила, що Fermat's останній theorem proving is gotten. However it був early to triumph.
У 1621 році французьким літератором та любителем математики Клодом Гаспаром Баше де Мезіріаком був виданий грецький трактат "Арифметики" Діофанта з латинським перекладом та коментарями. Розкішна, з надзвичайно широкими полями "Арифметика", потрапила до рук двадцятирічного Ферма і на довгі роки стала його настільною книгою. На її полях він залишив 48 зауважень, які містять відкриті факти про властивості чисел. Тут же, на полях "Арифметики" була сформульована велика теорема Ферма: "Неможливо розкласти куб на два куби або біквадрат на два біквадрати, або взагалі ступінь, більший за два, на два ступені з тим же показником; я знайшов цьому воістину чудовий доказ, який через нестачу місця не може поміститися на цих полях. До речі, на латині це виглядає таким чином: «Cubum autem in duos cubos, aut quadratum-quadratum in duos quadratum-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet».
Великий французький математик П'єр Ферма (1601-1665) розвинув метод визначення площ та обсягів, створив новий метод дотичних та екстремумів. Поряд з Декартом він став творцем аналітичної геометрії, разом з Паскалем стояв біля витоків теорії ймовірностей, в галузі методу нескінченно малих дав загальне правило диференціювання і довів у загальному вигляді правило інтегрування статечної функції... Але, головне, з цим ім'ям пов'язана одна з найбільш загадкових і драматичних історій, які коли-небудь приголомшували математику - історія доказу великої теореми Ферма. Нині цю теорему висловлюють як простого твердження: рівняння xn + yn = zn при n>2 нерозв'язне у раціональних, отже, і цілих числах. До речі, для випадку n = 3 цю теорему в X столітті намагався довести середньоазіатський математик Ал-Ходжанді, але його доказ не зберігся.
Уродженець півдня Франції, П'єр Ферма отримав юридичну освіту і з 1631 був радником парламенту міста Тулузи (тобто вищого суду). Після робочого дня у стінах парламенту, він приймався за математику і відразу занурювався у зовсім інший світ. Гроші, престиж, суспільне визнання - все це не мало для нього жодного значення. Наука ніколи не ставала для нього заробітком, не перетворювалася на ремесло, завжди залишаючись лише захоплюючою грою розуму, зрозумілою лише одиницям. З ними він і вів своє листування.
Ферма ніколи не писав наукових праць у нашому звичному розумінні. А в його листуванні з друзями завжди є певний виклик, навіть своєрідна провокація, а аж ніяк не академічний виклад проблеми та її вирішення. Тому багато хто з його листів згодом так і стали іменуватися: викликом.
Можливо, саме тому він так і не здійснив свого наміру написати спеціальний твір з теорії чисел. А тим часом це була його найулюбленіша область математики. Саме їй Ферма присвятив найнатхненніші рядки своїх листів. "Арифметика, - писав він, - має свою власну область, теорію цілих чисел. Ця теорія була лише злегка торкнута Евклідом і була досить розроблена його послідовниками (якщо тільки вона не містилася в тих роботах Діофанта, яких нас позбавило руйнівну дію часу). Арифметики, отже, мають її розвинути та відновити".
Чому ж сам Ферма не боявся руйнівної дії часу? Писав він мало і завжди дуже стисло. Але найголовніше, він не публікував свої роботи. За його життя вони циркулювали лише у рукописах. Тому не дивно, що результати Ферма з теорії чисел дійшли до нас у розрізненому вигляді. Але, мабуть, мав рацію Булгаков: великі рукописи не горять! Роботи Ферма залишились. Вони залишилися в його листах до друзів: ліонському вчителю математики Жаку де Біллі, співробітнику монетного двору Бернар Френікель де Бессі, Марсенні, Декарту, Блез Паскалю... Залишилася "Арифметика" Діофанта з його зауваженнями на полях, які після смерті Ферма увійшли разом з коментарями Баші у нове видання Діофанта, випущене старшим сином Самюелем у 1670 році. Не збереглося лише докази.
За два роки до смерті Ферма надіслав своєму другу Каркаві лист-заповіт, який увійшов до історії математики під назвою «Зведення нових результатів у науці про числа». У цьому листі Ферма довів своє знамените твердження для випадку п = 4. Але тоді його цікавило, швидше за все, не саме твердження, а відкритий ним метод доказів, названий самим Ферма нескінченним чи невизначеним спуском.
Рукописи не горять. Але, якби не самовідданість Самюеля, який зібрав після смерті батька всі його математичні нариси і невеликі трактати, а потім видав їх у 1679 під назвою «Різні математичні твори», вченим математикам багато б доводилося відкривати і перевідкривати заново. Але й після їх видання проблеми, поставлені великим математиком, пролежали без руху понад сімдесят років. І це не дивно. У тому вигляді, в якому вони з'явилися у пресі, теоретико-числові результати П. Ферма постали перед фахівцями у вигляді серйозних, далеко не завжди зрозумілих сучасникам проблем, майже без доказів та вказівок на внутрішні логічні зв'язки між ними. Можливо, без стрункої, продуманої теорії і криється у відповідь питання, чому сам Ферма не зібрався видати книжку з теорії чисел. Через сімдесят років цими роботами зацікавився Л. Ейлер, і це було справді їх другим народженням.
Математика дорого заплатила за своєрідну манеру Ферма викладати свої результати, начебто спеціально опускаючи їх докази. Але, якщо Ферма стверджував, що довів ту чи іншу теорему, то згодом цю теорему обов'язково доводили. Проте з великою теоремою вийшла затримка.
Загадка завжди хвилює уяву. Цілі континенти підкорила загадкова усмішка Джоконди; теорія відносності як ключ до загадки просторово-часових зв'язків стала найпопулярнішою фізичною теорією століття. І можна сміливо стверджувати, що не було іншої такої математичної проблеми, яка була б така популярна, як вели__93
Наукові та освітні проблеми цивільного захисту
ка теорема Ферма. Спроби довести її призвели до створення великого розділу математики - теорії чисел алгебри, але (на жаль!) сама теорема залишалася недоведеною. У 1908 році німецький математик Вольфскель заповідав 100 000 марок тому, хто доведе теорему Ферма. Це була величезна на той час сума! Одного разу можна було стати не лише знаменитим, а й казково розбагатіти! Тож не дивно, що гімназисти навіть далекої від Німеччини Росії навперебій кинулися доводити велику теорему. Що вже казати про професійних математиків! Але... марно! Після Першої світової війни гроші знецінилися, і потік листів із псевдодоказами почав вичерпуватися, хоча зовсім, звичайно, так і не припинився. Розповідають, що відомий німецький математик Едмунд Ландау заготовляв друковані формуляри для розсилки авторам доказів теореми Ферма: "На стор ... у рядку ... є помилка". (Знаходити помилку доручалося доценту.) Курйозів та анекдотів, пов'язаних з доказом цієї теореми, набралося стільки, що з них можна було б скласти книгу. Останнім анекдотом виглядає детектив О. Марініної «Збіг обставин», який екранізований і пройшов телеекранами країни в січні 2000 року. У ньому недоведену усіма своїми великими попередниками теорему доводить наш із вами співвітчизник і претендує на Нобелівську премію. Як відомо, винахідник динаміту проігнорував у своєму заповіті математиків, тож автор доказу міг претендувати хіба що на Філдсовську золоту медаль – найвищу міжнародну нагороду, затверджену самими математиками у 1936 році.
У класичній роботі видатного вітчизняного математика А.Я. Хінчина, присвяченій великій теоремі Ферма, даються відомості з історії цієї проблеми та приділяється увага методу, яким міг користуватися Ферма за доказом своєї теореми. Наводяться доказ для випадку п = 4 та короткий огляд інших найважливіших результатів.
Але на момент написання детектива, а тим більше, на момент його екранізації загальний доказ теореми було вже знайдено. 23 червня 1993 року на конференції з теорії чисел у Кембриджі математик з Прінстона Ендрю Уайлс анонсував, що доказ великої теореми Ферма отримано. Але зовсім не так, як обіцяв сам Ферма. Той шлях, яким пішов Ендрю Уайлс, грунтувався зовсім на методах елементарної математики. Він займався так званою теорією еліптичних кривих.
Щоб отримати уявлення про еліптичні криві, необхідно розглянути плоску криву, задану рівнянням третього ступеня
У(х,у) = а30Х + а21х2у + ... + а1х + а2у + а0 = 0. (1)
Усі такі криві розбиваються на два класи. До першого класу відносяться ті криві, які мають точки загострення (як, наприклад, напівкубічна парабола у2 = а2-Х з точкою загострення (0; 0)), точки самоперетину (як Декартов лист х3+у3-3аху = 0, у точці (0; 0)), а також криві, для яких многочлен Дх,у) подається у вигляді
f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),
де ^(х,у) та ^(х,у) - багаточлени менших ступенів. Криві цього класу називаються виродженими кривими третього ступеня. Другий клас кривих утворюють невироджені криві; ми називатимемо їх еліптичними. До таких може бути віднесений, наприклад, Локон Аньєзі (х2 + а2) у - а3 = 0). Якщо коефіцієнти многочлена (1) – раціональні числа, то еліптична крива може бути перетворена до так званої канонічної форми
у2 = х3 + ах + Ь. (2)
У 1955 року японському математику Ю. Танияме (1927-1958) у межах теорії еліптичних кривих вдалося сформулювати гіпотезу, що відкрила шлях доказу теореми Ферма. Але про це не підозрював тоді ні сам Таніяма, ні його колеги. Майже двадцять років ця гіпотеза не привертала до себе серйозної уваги і стала популярною лише в середині 70-х років. Відповідно до гіпотези Таніями будь-яка еліптична
крива з раціональними коефіцієнтами є модульною. Однак поки що формулювання гіпотези мало говорить допитливому читачеві. Тому будуть потрібні деякі визначення.
З кожною еліптичною кривою можна пов'язати важливу числову характеристику – її дискримінант. Для кривої, заданої у канонічній формі (2), дискримінант А визначається формулою
А = -(4а + 27b2).
Нехай Е – деяка еліптична крива, задана рівнянням (2), де а та b – цілі числа.
Для простого числа р розглянемо порівняння
y2 = х3 + ах + b(mod p), (3)
де а і b - залишки від розподілу цілих чисел а і b на р і позначимо через np число рішень цього порівняння. Числа пр дуже корисні при дослідженні питання про розв'язання рівнянь виду (2) у цілих числах: якщо якесь пр дорівнює нулю, то рівняння (2) не має цілих рішень. Однак обчислити числа видається лише в рідкісних випадках. (Водночас відомо, що р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).
Розглянемо прості числа р, які ділять дискримінант А еліптичної кривої (2). Можна довести, що для таких р багаточлен х3+ах+b можна записати одним із двох способів:
х3 + ах + b = (х + а) 2 (х + ß) (mod Р)
х3 + ах + b = (х + у) 3 (mod p),
де а, ß, у - деякі залишки від поділу на р. Якщо для всіх простих р, що ділять дискримінант кривою, реалізується перша з двох зазначених можливостей, то еліптична крива називається напівстабільною.
Прості числа, що ділять дискримінант, можна поєднати у так званий кондуктор еліптичної кривої. Якщо Е - напівстабільна крива, її кондуктор N задається формулою
де для всіх простих чисел p > 5, що ділять А, показник еР дорівнює 1. Показники 82 та 83 обчислюються за допомогою спеціального алгоритму.
Фактично - це, що потрібно розуміння суті докази. Однак у гіпотезі Таніями є непросте і в нашому випадку ключове поняття модулярності. Тому забудемо на час про еліптичних кривих і розглянемо аналітичну функцію f (тобто ту функцію, яка може бути представлена статечним рядом) комплексного аргументу z, заданого у верхній напівплощині.
Позначимо через Н верхню комплексну напівплощину. Нехай N - натуральне і до - ціле число. Модулярною параболічною формою ваги до рівня N називається аналітична функція f(z), задана у верхній напівплощині і задовольняє співвідношення
f = (cz + d)kf (z) (5)
для будь-яких цілих чисел а, b, с, d таких, що ае - bc = 1 і ділиться на N. Крім того, передбачається, що
lim f(r+it) = 0,
де r - раціональне число, і що
Простір модулярних параболічних форм ваги рівня N позначається через Sk(N). Можна показати, що вона має кінцеву розмірність.
Надалі нас особливо цікавитимуть модулярні параболічні форми ваги 2. Для малих N розмірність простору S2(N) представлена в табл. 1. Зокрема,
Розміри простору S2(N)
Таблиця 1
N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2
З умови (5) випливає, що % + 1) = кожної форми f е S2(N). Отже, f є періодичною функцією. Таку функцію можна подати у вигляді
Назвемо модулярну параболічну форму А^) в S2(N) власної, якщо її коефіцієнти - цілі числа, що задовольняють співвідношенням:
а г ■ а = а г+1 ■ р ■ з Г_1 для простого р, що не ділить число N; (8)
(ap) для простого р, що ділить число N;
атп = ат ап, якщо (т, п) = 1.
Сформулюємо тепер визначення, що відіграє ключову роль доказі теореми Ферма. Еліптична крива з раціональними коефіцієнтами та кондуктором N називається модулярною, якщо знайдеться така власна форма
f(z) = ^anq" g S2(N),
що ар = р - пр для багатьох простих чисел р. Тут пр – число рішень порівняння (3).
Важко повірити в існування хоча б однієї такої кривої. Уявити, що знайдеться функція А(г), що задовольняє переліченим жорстким обмеженням (5) і (8), яка б розкладалася в ряд (7), коефіцієнти якої були б пов'язані з практично необчислюваними числами Пр, досить складно. Але смілива гіпотеза Таніями аж ніяк не ставила під сумнів факт їхнього існування, а накопичений часом емпіричний матеріал блискуче підтвердив її справедливість. Після двох десятиліть майже повного забуття гіпотеза Таніями отримала у роботах французького математика, члена Паризької Академії наук Андре Вейля друге дихання.
А. Вейль, що народився в 1906 році, став згодом одним із засновників групи математиків, які виступали під псевдонімом Н. Бурбаки. З 1958 року А. Вейль стає професором Прінстонського інституту перспективних досліджень. І до цього періоду відноситься виникнення його інтересу до абстрактної алгебраїчної геометрії. У сімдесяті роки він звертається до еліптичних функцій та гіпотези Таніями. Монографія, присвячена еліптичних функцій, була перекладена у нас, в Росії. У своєму захопленні він не самотній. У 1985 році німецький математик Герхард Фрей припустив, що якщо теорема Ферма невірна, тобто якщо знайдеться така трійка цілих чисел а, Ь, с, що а + Ьп = = с (п > 3), то еліптична крива
у2 = х (х - а")-(х - сп)
не може бути модулярною, що суперечить гіпотезі Таніями. Самому Фрею не вдалося довести це твердження, проте незабаром доказ був отриманий американським математиком Кеннетом Рібетом. Інакше кажучи, Рібет показав, що теорема Ферма є наслідком гіпотези Таніями.
Він сформулював і довів таку теорему:
Теорема 1 (Рібет). Нехай Е - еліптична крива з раціональними коефіцієнтами, що має дискримінант
та кондуктор
Припустимо, що Е є модулярною, і нехай
/(г) = q + 2 аАп е^(N)
є відповідна власна форма рівня N. Фіксуємо просте число £, та
р: еР = 1; - "8 р
Тоді існує така параболічна форма
/(г) = 2 dnqn е N)
з цілими коефіцієнтами, що різниці ап - dn поділяються на I для всіх 1< п<ад.
Ясно, що якщо ця теорема доведена для деякого показника, то тим самим вона доведена і для всіх показників, кратних п. Оскільки всяке ціле число п > 2 ділиться або на 4, або на непарне просте число, то тому можна обмежитися випадком, коли показник дорівнює або 4, або непарному простому числу. Для п = 4 елементарне підтвердження теореми Ферма було отримано спочатку самим Ферма, та був Ейлером. Таким чином, достатньо вивчити рівняння
а1 + Ь1 = с1, (12)
у якому показник I є непарне просте число.
Тепер теорему Ферма можна здобути простими обчисленнями (2).
Теорема 2. З гіпотези Таніями для напівстабільних еліптичних кривих випливає остання теорема Ферма.
Доведення. Припустимо, що теорема Ферма невірна, і нехай є відповідний контрприклад (як і вище, тут I - непарне просте число). Застосуємо теорему 1 до еліптичної кривої
у2 = х (х - ае) (х - с1).
Нескладні обчислення показують, що кондуктор цієї кривої задається формулою
Порівнюючи формули (11) і (13), бачимо, що N = 2. Отже, за теоремою 1 знайдеться параболічна форма
що лежить у просторі 82(2). Але з співвідношення (6) це простір нульовий. Тому dn = 0 всім п. У той самий час а^ = 1. Отже, різниця аг - dl = 1 не ділиться на I і ми приходимо до суперечності. Отже, теорема доведена.
Ця теорема давала ключ до підтвердження великої теореми Ферма. І все ж таки сама гіпотеза залишалася все ще недоведеною.
Анонсувавши 23 червня 1993 року доказ гіпотези Таніями для напівстабільних еліптичних кривих, до яких належать і криві види (8), Ендрю Вайлз поквапився. Математикам було рано святкувати перемогу.
Швидко закінчилося тепле літо, залишилася позаду дощова осінь, настала зима. Уайлс писав і переписував набіло остаточний варіант свого доказу, але прискіпливі колеги знаходили в його роботі все нові й нові неточності. І ось, на початку грудня 1993 року, за кілька днів до того, як рукопис Уайлса мав піти до друку, у його доказі були знову виявлені серйозні прогалини. І тоді Уайлз зрозумів, що за день-два він уже не зможе нічого виправити. Тут була потрібна серйозна доробка. Публікацію роботи довелося відкласти. Уайлз звернувся по допомогу до Тейлора. «Робота над помилками» зайняла понад рік. Остаточний варіант доказу гіпотези Таніями, написаний Уайлсом у співпраці з Тейлором, побачив світ лише влітку 1995 року.
На відміну від героя А. Марініної Уайлс не претендував на Нобелівську премію, проте... якоюсь нагородою його мали відзначити. Ось тільки який? Уайлсу на той час уже перевалило на п'ятий десяток, а золоті медалі Філдса вручаються до сорока років, поки ще не пройдено пік творчої активності. І тоді для Уайлса вирішили заснувати спеціальну нагороду – срібний знак Філдсівського комітету. Цей знак і вручили йому на черговому конгресі з математики в Берліні.
З усіх проблем, здатних з більшою чи меншою ймовірністю зайняти місце великої теореми Ферма, найбільші шанси має проблема щільної упаковки куль. Проблему щільної упаковки куль можна сформулювати як завдання про те, як економно скласти з апельсинів піраміду. Молодим математикам таке завдання дісталося у спадок від Йоганна Кеплера. Проблема народилася 1611 року, коли Кеплер написав невеликий твір «Про шестикутні сніжинки». Інтерес Кеплера до розташування і самоорганізації частинок речовини і привів його до обговорення іншого питання - про щільну упаковку частинок, при якій вони займають найменший обсяг. Якщо припустити, що частинки мають форму куль, то ясно, що як би вони не розташовувалися в просторі, між ними неминуче залишаться проміжки, і питання полягає в тому, щоб об'єм зазорів звести до мінімуму. У роботі , наприклад, стверджується (але не доводиться), що такою формою є тетраедр, осі координат усередині якого визначають базисний кут ортогональності в 109о28", а не 90о. Ця проблема має величезне значення для фізики елементарних частинок, кристалографії та інших розділів природознавства .
Література
1. Вейль А. Еліптичні функції за Ейзенштейном та Кронекером. – М., 1978.
2. Соловйов Ю.П. Гіпотеза Таніями та остання теорема Ферма // Соросівський освітній журнал. - № 2. – 1998. – С. 78-95.
3. Сінгх С. Велика теорема Ферма. Історія загадки, яка займала найкращі уми світу протягом 358 років/Пер. з англ. Ю.А. Данилова. М: МЦНМО. 2000. – 260 с.
4. Мирмович Е.Г., Усачова Т.В. Алгебра кватерніонів та тривимірні обертання // Справжній журнал № 1(1), 2008. – С. 75-80.
Для цілих чисел n більше 2 рівняння x n + y n = z n немає ненульових рішень у натуральних числах.
Ви, мабуть, пам'ятаєте зі шкільних часів теорему Піфагора: Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів. Можливо, ви пам'ятаєте і класичний прямокутний трикутник зі сторонами, довжини яких співвідносяться як 3:4:5. Для нього теорема Піфагора виглядає так:
Це приклад рішення узагальненого рівняння Піфагора в ненульових цілих числах при n= 2. Велика теорема Ферма (її також називають «Великою теоремою Ферма» та «Останньою теоремою Ферма») полягає у твердженні, що при значеннях n> 2 рівняння виду x n + y n = z nне мають ненульових рішень у натуральних числах.
Історія Великої теореми Ферма дуже цікава і повчальна, і не лише для математиків. П'єр де Ферма зробив внесок у розвиток різних галузей математики, проте основна частина його наукової спадщини була опублікована лише посмертно. Справа в тому, що математика для Ферма була чимось подібним до хобі, а не професійним заняттям. Він листувався з провідними математиками свого часу, проте публікувати свої роботи не прагнув. Наукові праці Ферма в основному виявлені у формі приватного листування та уривчастих записів, часто зроблених на полях різних книг. Саме на полях (другого тому давньогрецької «Арифметики» Діофанта. - Прим. перекладача) Незабаром після смерті математика нащадки і виявили формулювання знаменитої теореми та приписку:
« Я знайшов цьому справді чудовий доказ, але ці поля для нього надто вузькі».
На жаль, судячи з усього, Ферма так і не спромігся записати знайдений ним «чудовий доказ», і нащадки безуспішно шукали його три з лишком століття. З усієї розрізненої наукової спадщини Ферма, що містить чимало дивовижних тверджень, саме Велика теорема вперто не піддавалася рішенню.
Хто тільки не брався за доказ Великої теореми Ферма – марно! Інший великий французький математик, Рене Декарт (René Descartes, 1596-1650), називав Ферма "хвалько", а англійський математик Джон Уолліс (John Wallis, 1616-1703) - і зовсім "чортовим французом". Сам Ферма, щоправда, таки залишив після себе доказ своєї теореми для випадку n= 4. З підтвердженням для n= 3 впорався великий швейцарсько-російський математик XVIII століття Леонард Ейлер (1707-83), після чого, не зумівши знайти доказів n> 4, жартома запропонував влаштувати обшук у будинку Ферма, щоб знайти ключ до втраченого доказу. У XIX столітті нові методи теорії чисел дозволили довести твердження для багатьох цілих чисел у межах 200, проте, знову ж таки, не для всіх.
У 1908 році було засновано премію у розмірі 100 000 німецьких марок за вирішення цього завдання. Призовий фонд був заповіданий німецьким промисловцем Паулем Вольфскелем (Paul Wolfskehl), який, за переказами, збирався покінчити життя самогубством, але так захопився Великою теоремою Ферма, що передумав помирати. З появою арифмометрів, а потім комп'ютерів планка значень nстала підніматися все вище - до 617 на початок Другої світової війни, до 4001 у 1954 році, до 125 000 у 1976 році. Наприкінці XX століття найпотужніші комп'ютери військових лабораторій у Лос-Аламосі (Нью-Мексико, США) були запрограмовані на вирішення завдання Ферма у фоновому режимі (за аналогією до режиму екранної заставки персонального комп'ютера). Таким чином вдалося показати, що теорема вірна для неймовірно великих значень x, y, zі nАле суворим доказом це послужити не могло, оскільки будь-які наступні значення nчи трійки натуральних чисел могли спростувати теорему загалом.
Нарешті 1994 року англійський математик Ендрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles, р. 1953), працюючи в Прінстоні, опублікував доказ Великої теореми Ферма, яке, після деяких доробок, було визнано вичерпним. Доказ зайняв понад сто журнальних сторінок та ґрунтувався на використанні сучасного апарату вищої математики, який у епоху Ферма розроблено не був. То що тоді мав на увазі Ферма, залишаючи на полях книги повідомлення про те, що доказ їм знайдено? Більшість математиків, з якими я розмовляв на цю тему, вказували, що за століття нагромадилося більш ніж досить некоректних доказів Великої теореми Ферма, і що, швидше за все, сам Ферма знайшов подібний доказ, проте не зміг побачити помилку. Втім, не виключено, що таки є якийсь короткий і витончений доказ Великої теореми Ферма, який ніхто досі не знайшов. З упевненістю можна стверджувати лише одне: сьогодні ми точно знаємо, що теорема вірна. Більшість математиків, я думаю, беззастережно погодяться з Ендрю Уайлсом, який помітив щодо свого доказу: «Тепер нарешті мій розум спокійний».