Додавання десяткових дробів виконується так само, як і додавання цілих чисел. Переконаємось у цьому на прикладах.
1) 0,132+2,354. Підпишемо доданки одне під одним.
Тут від складання 2 тисячних із 4 тисячними вийшло 6 тисячних;
від додавання 3 сотих з 5 сотими вийшло 8 сотих;
від додавання 1 десятої з 3 десятими -4 десятих і
від додавання 0 цілих з 2 цілими - 2 цілих.
2) 5,065 + 7,83.
У другому доданку немає тисячних часток, тому важливо не допускати помилки при підписуванні доданків один під одним.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Тут при складанні тисячних часток вийшла 21 тисячна; ми написали 1 під тисячними, а 2 додали до сотень, таким чином, у розряді сотих у нас вийшли такі доданки: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; у сумі вони дають 19 сотих, ми підписали 9 під сотими, а 1 зарахували до десятих і т.д.
Таким чином, при складанні десяткових дробів треба дотримуватися наступного порядку: дроби підписувати один під одним так, щоб у всіх складових однакові розряди знаходилися один під одним і всі коми стояли в тому самому вертикальному стовпці; праворуч від десяткових знаків деяких доданків приписують, хоча б подумки, таку кількість нулів, щоб усі доданки після коми мали однакове число цифр. Потім виконують додавання по розрядах, починаючи з правого боку, і в отриманій сумі ставлять кому в тому самому вертикальному стовпці, в якому вона знаходиться в даних доданків.
§ 108. Віднімання десяткових дробів.
Віднімання десяткових дробів виконується так само, як і віднімання цілих чисел. Покажемо на прикладах.
1) 9,87 – 7,32. Підпишемо віднімаємо під зменшуваним так, щоб одиниці одного розряду знаходилися один під одним:
2) 16,29 – 4,75. Підпишемо віднімання під зменшуваним, як у першому прикладі:
Щоб зробити віднімання десятих, треба було зайняти одну цілу одиницю від 6 і роздробити їх у десяті частки.
3) 14,0213-5,350712. Підпишемо віднімання під зменшуваним:
Віднімання було виконано наступним чином: так як ми не можемо відняти 2 мільйонних з 0, то слід звернутися до найближчого розряду, що стоїть зліва, тобто до стотисячних, але на місці стотисячних теж стоїть нуль, тому беремо з 3 десятитисячних 1 десятитисячну і роздробляємо її в стотисячні, отримуємо 10 стотисячних, з них 9 стотисячних залишаємо в розряді стотисячних, а 1 стотисячну роздробляємо в мільйонні, отримуємо 10 мільйонних. Таким чином, у трьох останніх розрядах у нас вийшло: мільйонних 10, стотисячних 9, десятитисячних 2. Ці числа для більшої ясності та зручності (щоб не забути) записані зверху над відповідними дробовими розрядами зменшуваного. Тепер можна приступити до віднімання. З 10 мільйонних віднімаємо 2 мільйонних, отримуємо 8 мільйонних; з 9 стотисячних віднімаємо 1 стотисячну, отримуємо 8 стотисячних і т.д.
Таким чином, при відніманні десяткових дробів дотримується наступний порядок: підписують віднімання під зменшуваним так, щоб однакові розряди знаходилися один під одним і всі коми стояли в тому самому вертикальному стовпці; праворуч приписують, хоча б подумки, в зменшуваному або віднімається стільки нулів, щоб вони мали однакову кількість цифр, потім виконують віднімання по розрядах, починаючи з правого боку, і в отриманій різниці ставлять кому в тому ж самому вертикальному стовпці, в якому вона знаходиться в що зменшується і віднімається.
§ 109. Множення десяткових дробів.
Розглянемо кілька прикладів множення десяткових дробів.
Щоб знайти добуток цих чисел, ми можемо розмірковувати так: якщо множник збільшити в 10 разів, то обидва співмножники будуть цілими числами і ми можемо їх тоді перемножити за правилами множення цілих чисел. Але ми знаємо, що при збільшенні одного із співмножників у кілька разів твір збільшується у стільки ж разів. Значить, число, яке вийде від множення цілих співмножників, тобто 28 на 23, у 10 разів більше за справжній твор, а щоб отримати справжній твір, потрібно знайдений твір зменшити в 10 разів. Отже, тут доведеться виконати один раз множення на 10 та один раз розподіл на 10, але множення та розподіл на 10 виконується шляхом перенесення коми вправо та вліво на один знак. Тому потрібно вчинити так: у множнику перенести кому вправо на один знак, від цього він дорівнюватиме 23, потім потрібно перемножити отримані цілі числа:
Цей твір у 10 разів більший за справжній. Отже, його треба зменшити в 10 разів, для чого перенесемо кому на один знак вліво. Таким чином, отримаємо
28 2,3 = 64,4.
З метою перевірки можна десятковий дріб написати зі знаменником і виконати дію за правилом множення звичайних дробів, тобто.
2) 12,27 0,021.
Відмінність цього прикладу від попереднього полягає в тому, що тут обидва співмножники представлені десятковими дробами. Але ми і тут у процесі множення не звертатимемо уваги на коми, тобто тимчасово збільшимо множимое в 100 разів, а множник у 1 000 разів, від чого твір збільшиться в 100 000 разів. Таким чином, помножуючи 1227 на 21, отримаємо:
1 227 21 = 25 767.
Беручи до уваги, що отриманий твір у 100 000 разів більший за справжній, ми повинні тепер зменшити його у 100 000 разів шляхом належної постановки в ньому коми, тоді отримаємо:
32,27 0,021 = 0,25767.
Перевіримо:
Таким чином, щоб перемножити два десяткові дроби, достатньо, не звертаючи уваги на коми, перемножити їх як цілі числа та у творі відокремити коми з правого боку стільки десяткових знаків, скільки їх було у множині та у множнику разом.
В останньому прикладі вийшов твір із п'ятьма десятковими знаками. Якщо така велика точність не потрібна, робиться округлення десяткового дробу. При округленні слід скористатися тим правилом, яке було вказано для цілих чисел .
§ 110. Множення за допомогою таблиць.
Розмноження десяткових дробів можна іноді виконувати за допомогою таблиць. Для цієї мети можна, наприклад, скористатися тими таблицями множення двоцифрових чисел, опис яких було дано раніше.
1) Помножимо 53 на 1,5.
Будемо перемножувати 53 на 15. У таблиці цей твір дорівнює 795. Ми знайшли твір 53 на 15, але у нас другий множник був у 10 разів менший, отже, і твір потрібно зменшити у 10 разів, тобто.
53 1,5 = 79,5.
2) Помножимо 5,3 на 4,7.
Спочатку знайдемо в таблиці твір 53 на 47, це буде 2491. Але так як ми збільшили множимое і множник загалом у 100 разів, то і отриманий твір у 100 разів більше, ніж слід; тому ми маємо зменшити цей твір у 100 разів:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Помножимо 0,53 на 7,4.
Спочатку знайдемо у таблиці добуток 53 на 74; це буде 3 922. Але оскільки ми збільшили множинне в 100 разів, а множник у 10 разів, то твір збільшився в 1 000 разів; тому ми тепер маємо його зменшити в 1 000 разів:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Розподіл десяткових дрібниць.
Розподіл десяткових дробів ми розглянемо так:
1. Розподіл десяткового дробу на ціле число,
1. Розподіл десяткового дробу на ціле число.
1) Розділимо 2,46 на 2.
Ми розділили на 2 спочатку цілі, потім десяті частки і, нарешті, соті частки.
2) Розділимо 32,46 на 3.
32,46: 3 = 10,82.
Ми розділили 3 десятки на 3, потім почали ділити 2 одиниці на 3; так як число одиниць діленого (2) менше від дільника (3), то довелося в приватному поставити 0; далі, до залишку ми знесли 4 десятих і розділили 24 десятих на 3; отримали в приватному вісім десятих і, нарешті, розділили шість сотих.
3) Розділимо 1,2345 на 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Тут у приватному першому місці вийшов нуль цілих, оскільки одна ціла не ділиться на 5.
4) Розділимо 13,58 на 4.
Особливість цього прикладу полягає в тому, що коли ми отримали в приватному 9 сотих, то виявився залишок, рівний 2 сотим, ми роздробили залишок в тисячні частки, отримали 20 тисячних і довели поділ до кінця.
Правило.Розподіл десяткового дробу на ціле число виконується так само, як і розподіл цілих чисел, причому залишки, що виходять, звертають у десяткові частки, все більш і більш дрібні; розподіл продовжують до тих пір, поки в залишку не вийде нуль.
2. Розподіл десяткового дробу на десятковий дріб.
1) Розділимо 2,46 на 0,2.
Ми вже вміємо ділити десятковий дріб на ціле число. Подумаємо, чи не можна і цей новий випадок поділу звести до попереднього? Свого часу ми розглядали чудову властивість приватного, що полягає в тому, що вона залишається без зміни при одночасному збільшенні або зменшенні дільника в ділянці в однакове число разів. Ми легко виконали б поділ запропонованих нам чисел, якби дільник був цілим числом. Для цього достатньо збільшити його в 10 разів, а для отримання правильного приватного необхідно в стільки ж разів, тобто в 10 разів, збільшити і подільне. Тоді розподіл цих чисел заміниться розподілом таких чисел:
причому ніяких поправок у приватному робити вже не доведеться.
Виконаємо цей поділ:
Отже, 2,46: 0,2 = 12,3.
2) Розділимо 1,25 на 1,6.
Збільшуємо дільник (1,6) у 10 разів; щоб приватне не змінилося, збільшуємо в 10 разів і поділяємо; 12 цілих не ділиться на 16, тому пишемо в приватному 0 і ділимо 125 десятих на 16, отримуємо в приватному 7 десятих і в залишку 13. Роздробляємо 13 десятих в соті шляхом приписування нуля і ділимо 130 сотих на 16. на наступне:
а) коли в приватному не виходить цілих, то на їхньому місці пишеться нуль цілих;
б) коли після знесення до залишку цифри діленого виходить число, яке ділиться на дільник, то приватному пишеться нуль;
в) коли після знесення останньої цифри ділення поділ не закінчується, то, приписуючи до залишків нулі, продовжують поділ;
г) якщо ділене - ціле число, то при розподілі його на десятковий дріб збільшення його здійснюється за допомогою приписування до нього нулів.
Таким чином, щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно відкинути в дільнику кому, а потім збільшити поділення в стільки разів, у скільки збільшився дільник при відкиданні в ньому комою, після чого виконати поділ за правилом розподілу десяткового дробу на ціле число.
§ 112. Наближене приватне.
У попередньому параграфі ми розглянули поділ десяткових дробів, причому у всіх наведених нами прикладах поділ доводилося остаточно, т. е. виходило точне приватне. Однак у більшості випадків точне приватне не може бути отримано, як би далеко ми не продовжували поділ. Ось один із таких випадків: розділимо 53 на 101.
Ми вже отримали п'ять цифр у приватному, а поділ ще не скінчився і немає надії, що воно коли-небудь скінчиться, тому що у залишках у нас починають з'являтися цифри, що зустрічалися вже раніше. У приватному також повторюватимуться числа: очевидно, що за цифрою 7 з'явиться цифра 5, потім 2 тощо. буд. без кінця. У разі переривають розподіл і обмежуються кількома першими цифрами приватного. Таке приватне називається наближеним.Як при цьому потрібно виконувати поділ, ми покажемо на прикладах.
Нехай потрібно розділити 25 на 3. Очевидно, що точного приватного, вираженого цілим числом або десятковим дробом, від такого поділу вийти не може. Тому ми шукатимемо наближене приватне:
25: 3 = 8 та залишок 1
Наближена частка дорівнює 8; воно, звичайно, менше точного приватного, тому що є залишок 1. Щоб отримати точне приватне, потрібно до знайденого наближеного приватного, тобто до 8, додати дріб, який вийде від поділу залишку, що дорівнює 1, на 3; це буде дріб 1/3. Значить, точне окреме виразиться змішаним числом 8 1 / 3 . Так як 1 / 3 являє собою правильний дріб, тобто дріб, меншу одиниці, то, відкидаючи її, ми припустимо похибка, яка менше одиниці. Приватне 8 буде наближеним приватним з точністю до одиниці з нестачею.Якщо ми замість 8 візьмемо в приватному 9, то теж припустимо похибку, яка менша за одиницю, тому що ми додамо не цілу одиницю, a 2 / 3 . Таке приватне буде наближеним приватним з точністю до одиниці з надлишком.
Візьмемо тепер інший приклад. Нехай потрібно 27 розділити на 8. Так як і тут не вийде точного приватного, вираженого цілим числом, ми шукатимемо наближене приватне:
27: 8 = 3 та залишок 3.
Тут похибка дорівнює 3/8, вона менше одиниці, отже, наближене приватне (3) знайдено з точністю до одиниці з недоліком. Продовжимо поділ: роздробимо залишок 3 у десяті частки, отримаємо 30 десятих; розділимо їх у 8.
Ми отримали в приватному на місці 3-х і в залишку б 10-их. Якщо в приватному обмежимося числом 3,3, а залишок 6 відкинемо, ми припустимо похибка, меншу однієї десятої. Чому? Тому що точне приватне вийшло б тоді, коли ми додали б до 3,3 ще результату поділу 6 десятих на 8; від цього поділу вийшло б 6/80, що становить менше однієї десятої. (Перевірте!) Таким чином, якщо у приватному ми обмежимося десятими частками, то можна буде сказати, що ми знайшли приватне з точністю до однієї десятої(З недоліком).
Продовжимо поділ, щоб знайти ще один десятковий знак. Для цього роздробимо 6 десятих у соті частки і отримаємо 60 сотих; розділимо їх у 8.
У приватному третьому місці вийшло 7 й у залишку 4 сотих; якщо ми їх відкинемо, то припустимо похибку, меншу за одну соту, тому що 4 сотих, поділені на 8, становлять менше однієї сотої. У таких випадках кажуть, що приватне знайдено з точністю до однієї сотої(З недоліком).
У прикладі, який ми зараз розглядаємо, можна отримати точне приватне, виражене десятковим дробом. Для цього досить останній залишок, 4 сотих, подрібнити в тисячні і виконати поділ на 8.
Однак у більшості випадків отримати точне приватне неможливо і доводиться обмежуватися його наближеними значеннями. Такий приклад ми зараз і розглянемо:
40: 7 = 5,71428571...
Крапки, поставлені в кінці числа, позначають, що розподіл не закінчено, тобто наближена рівність. Зазвичай наближену рівність записують так:
40: 7 = 5,71428571.
Ми взяли приватне з вісьмома десятковими знаками. Але якщо така велика точність не потрібна, можна обмежитися цілою частиною приватного, тобто числом 5 (точніше 6); для більшої точності можна було б врахувати десяті частки і взяти рівним 5,7; якщо і ця точність чомусь недостатня, то можна зупинитися на сотих і взяти 5,71 і т. д. Випишемо окремі приватні і назвемо їх.
Перше наближене окреме з точністю до одиниці 6.
Друге » » » до однієї десятої 5,7.
Третє до другої сотої 5,71.
Четверте» до другої тисячної 5,714.
Таким чином, щоб знайти наближене приватне з точністю до якогось, наприклад, 3-го десяткового знака (тобто до однієї тисячної), припиняють поділ, як знаходять цей знак. У цьому слід пам'ятати правило, викладене § 40 .
§ 113. Найпростіші завдання на відсотки.
Після вивчення десяткових дробів ми вирішимо ще кілька завдань на відсотки.
Ці завдання подібні до тих, які ми вирішували у відділі звичайних дробів; але тепер соті частки ми записуватимемо у вигляді десяткових дробів, т. е. без явно позначеного знаменника.
Насамперед потрібно вміти легко переходити від звичайного дробу до десяткового зі знаменником 100. Для цього треба чисельник розділити на знаменник:
У таблиці показано, яким чином число зі значком % (відсоток) замінюється десятковим дробом зі знаменником 100:
Розглянемо тепер кілька завдань.
1. Знаходження відсотків цього числа.
Завдання 1.В одному селі проживає лише 1 600 осіб. Число дітей шкільного віку становить 25% від загальної кількості мешканців. Скільки дітей шкільного віку у цьому селі?
У цьому завдання потрібно знайти 25%, або 0,25, від 1600. Завдання вирішується множенням:
1600 0,25 = 400 (дітей).
Отже, 25% від 1600 становлять 400.
Для розуміння цього завдання корисно нагадати, що у кожну сотню населення припадає 25 дітей шкільного віку. Отже, щоб знайти число всіх дітей шкільного віку, можна спочатку дізнатися, скільки сотень в числі 1600 (16), а потім 25 помножити на кількість сотень (25 х 16 = 400). Цим шляхом можна перевірити справедливість рішення.
Завдання 2.Ощадні каси дають вкладникам щороку 2% доходу. Скільки доходу за рік отримає вкладник, який поклав до каси: а) 200 руб.? б) 500 руб.? в) 750 руб. г) 1000руб.?
У всіх чотирьох випадках для вирішення завдання потрібно буде обчислити 0,02 від зазначених сум, тобто кожне з цих чисел доведеться помножити на 0,02. Зробимо це:
а) 200 0,02 = 4 (руб.),
б) 500 0,02 = 10 (руб.),
в) 750 0,02 = 15 (руб.),
г) 1000 0,02 = 20 (руб.).
Кожен із цих випадків може бути перевірений такими міркуваннями. Ощадні каси дають вкладникам 2% доходу, тобто 0,02 від покладеної на заощадження суми. Якби сума дорівнювала 100 руб., То 0,02 від неї становили б 2 руб. Значить, кожна сотня приносить вкладнику 2 руб. доходу. Тому в кожному з розглянутих випадків досить збагнути, скільки в цьому числі сотень, і на це число сотень множити 2 руб. У прикладі а) сотень 2, отже,
2 2 = 4 (крб.).
У прикладі г) сотень 10, отже,
2 10 = 20 (крб.).
2. Знаходження числа за його відсотками.
Завдання 1.Навесні школа випустила 54 учні, що становить 6% від загальної кількості учнів. Скільки всього учнів було в школі в минулому навчальному році?
Усвідомимо спочатку сенс цього завдання. Школа випустила 54 учні, що становить 6% від загальної кількості учнів, або, іншими словами, 6 сотих (0,06) від усіх учнів школи. Отже, нам відома частина учнів, виражена числом (54) і дробом (0,06), а цього дробу ми маємо знайти все число. Таким чином, перед нами звичайне завдання на знаходження числа за його дробом (§90 п.6). Завдання такого типу вирішуються розподілом:
Значить, у школі всього було 900 учнів.
Такі завдання корисно перевіряти розв'язанням зворотної задачі, тобто після розв'язання задачі слід, хоча б в розумі, вирішити задачу першого типу (знаходження відсотків даного числа): прийняти знайдене число (900) за дане і знайти від нього вказаний у вирішеному завданні відсоток , А саме:
900 0,06 = 54.
Завдання 2.Сім'я витрачає харчування протягом місяця 780 крб., що становить 65% місячного заробітку батька. Визначити його місячний заробіток.
Це завдання має такий самий сенс, що й попереднє. У ній дається частина місячного заробітку, виражена в рублях (780 руб.), І вказується, що ця частина становить 65%, або 0,65 від усього заробітку. А шуканим є весь заробіток:
780: 0,65 = 1 200.
Отже, шуканий заробіток становить 1200 руб.
3. Знаходження відсоткового відношення чисел.
Завдання 1.У шкільній бібліотеці лише 6 000 книг. Серед них 1200 книг з математики. Скільки відсотків математичні книги складають від числа всіх книг, які є у бібліотеці?
Ми вже розглядали (§ 97) такого роду завдання і дійшли висновку, що для обчислення відсоткового відношення двох чисел потрібно знайти відношення цих чисел та помножити його на 100.
У нашій задачі потрібно знайти відсоткове відношення чисел 1200 і 6000.
Знайдемо спочатку їхнє відношення, а потім помножимо його на 100:
Таким чином, відсоткове відношення чисел 1200 і 6000 дорівнює 20. Іншими словами, математичні книги становлять 20% від загальної кількості всіх книг.
Для перевірки вирішимо обернену задачу: знайти 20% від 6 000:
6 000 0,2 = 1 200.
Завдання 2.Завод має одержати 200 т вугілля. Вже привезли 80 т. Скільки відсотків вугілля доставлено на завод?
У цьому питанні запитується, скільки відсотків одне число (80) становить від іншого (200). Відношення цих чисел буде 80/200. Помножимо його на 100:
Отже, доставлено 40% вугілля.
Розподіл на десятковий дріб зводиться до поділу на натуральне число.
Правило розподілу числа на десятковий дріб
Щоб розділити число на десятковий дріб, треба і в ділимому, і в комі перенести на стільки цифр вправо, скільки їх у дільнику після коми. Після цього виконати поділ на натуральне число.
приклади.
Виконати поділ на десятковий дріб:
Щоб розділити на десятковий дріб, потрібно і в ділимому, і в дільнику перенести ком на стільки цифр вправо, скільки їх після коми в дільнику, тобто на один знак. Отримуємо: 35,1: 1,8 = 351: 18. Тепер виконуємо поділ куточком. У результаті одержуємо: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Щоб виконати розподіл десяткових дробів, і в ділимому, і в дільнику переносимо кому вправо на один знак: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Тепер виконуємо натуральне число. Результат: 14,76: 3,6 = 4,1.
Щоб виконати розподіл на десятковий дріб натурального числа, треба і в поділюваному, і в дільнику перенести на стільки знаків вправо, скільки їх у дільнику після коми. Оскільки в дільнику в цьому випадку кома не пишеться, брак знаків заповнюємо нулями: 70: 1,75 = 7000: 175. Ділимо куточком отримані натуральні числа: 70: 1,75 = 7000: 175 = 40.
4) 0,1218: 0,058
Щоб розділити один десятковий дріб на інший, переносимо кому вправо і в поділюваному, і в дільнику на стільки знаків, скільки їх у дільнику після коми, тобто на три знаки. Таким чином, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Розподіл на десятковий дріб замінили розподілом на натуральне число. Ділимо куточком. Маємо: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
Розглянемо приклади поділу десяткових дробів у цьому світлі.
приклад.
Виконайте розподіл десяткового дробу 1,2 на десятковий дріб 0,48.
Рішення.
Відповідь:
1,2:0,48=2,5 .
приклад.
Розділіть періодичний десятковий дріб 0,(504) на десятковий дріб 0,56 .
Рішення.
Перекладемо періодичний десятковий дріб у звичайний: . Також переведемо кінцевий десятковий дріб 0,56 у звичайний, маємо 0,56 = 56/100. Тепер ми можемо перейти від поділу вихідних десяткових дробів до поділу звичайних дробів і закінчити обчислення: .
Перекладемо отриманий звичайний дріб у десятковий дріб, виконавши розподіл чисельника на знаменник стовпчиком:
Відповідь:
0,(504):0,56=0,(900) .
Принцип поділу нескінченних неперіодичних десяткових дробіввідрізняється від принципу поділу кінцевих і періодичних десяткових дробів, тому що неперіодичні десяткові дроби не можуть бути переведені у звичайні дроби. Розподіл нескінченних неперіодичних десяткових дробів зводиться до поділу кінцевих десяткових дробів, для чого проводиться округлення чиселдо деякого розряду. Причому, якщо одним із чисел, з якими проводиться розподіл, є кінцевий або періодичний десятковий дріб, то він теж округляється до того ж розряду, що і неперіодичний десятковий дріб.
приклад.
Розділіть нескінченний неперіодичний десятковий дріб 0,779… на кінцевий десятковий дріб 1,5602 .
Рішення.
Спочатку потрібно округлити десяткові дроби, щоб від поділу нескінченного неперіодичного десяткового дробу перейти до поділу кінцевих десяткових дробів. Ми можемо провести округлення до сотих: 0,779 ... 0,78 і 1,5602 ≈ 1,56. Таким чином, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100: 156/100 = 78 / 100 · 100 / 156 = 78/156=1/2=0,5 .
Відповідь:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Поділ натурального числа на десятковий дріб і навпаки
Суть підходу до поділу натурального числа на десятковий дріб і до поділу десяткового дробу на натуральне число нічим не відрізняється від суті поділу десяткових дробів. Тобто, кінцеві та періодичні дроби замінюються звичайними дробами, а нескінченні неперіодичні дроби округляються.
Для ілюстрації розглянемо приклад поділу десяткового дробу на натуральне число.
приклад.
Виконайте розподіл десяткового дробу 25,5 на натуральне число 45 .
Рішення.
Замінивши десятковий дріб 25,5 звичайним дробом 255/10=51/2 , поділ зводиться до поділу звичайного дробу на натуральне число: . Отриманий дріб у десятковому записі має вигляд 0,5(6) .
Відповідь:
25,5:45=0,5(6) .
Розподіл десяткового дробу на натуральне число стовпчиком
Розподіл кінцевих десяткових дробів на натуральні числа зручно проводити стовпчиком за аналогією до розподілом стовпчиком натуральних чисел. Наведемо правило розподілу.
Щоб розділити десятковий дріб на натуральне число стовпчиком, Треба:
- дописати праворуч у поділеному десятковому дробі кілька цифр 0 , (у процесі поділу за необхідності можна дописати ще будь-яку кількість нулів, але ці нулі можуть і не знадобитися);
- виконати розподіл стовпчиком десяткового дробу на натуральне число за всіма правилами розподілу стовпчиком натуральних чисел, але коли закінчиться розподіл цілої частини десяткового дробу, то в приватному потрібно поставити кому і продовжити розподіл.
Відразу скажемо, що в результаті розподілу кінцевого десяткового дробу на натуральне число може вийти або кінцевий десятковий дріб або нескінченний періодичний десятковий дріб. Дійсно, після того, як закінчиться розподіл усіх відмінних від 0 десяткових знаків поділеного дробу, може вийти або залишок 0 , і ми отримаємо кінцевий десятковий дріб, або залишки почнуть періодично повторюватися, і ми отримаємо періодичний десятковий дріб.
Розберемося з усіма тонкощами поділу десяткових дробів на натуральні числа стовпчиком під час вирішення прикладів.
приклад.
Розділіть десятковий дріб 65,14 на 4 .
Рішення.
Виконаємо поділ десяткового дробу на натуральне число стовпчиком. Допишемо пару нулів праворуч у записі дробу 65,14, при цьому отримаємо рівний їй десятковий дріб 65,1400 (дивіться рівні та нерівні десяткові дроби). Тепер можна приступати до поділу стовпчиком цілої частини десяткового дробу 65,1400 на натуральне число 4: 
На цьому розподіл цілої частини десяткового дробу закінчено. Тут у приватному потрібно поставити десяткову кому і продовжити поділ: 
Ми прийшли до залишку 0, на цьому етапі поділ стовпчиком закінчується. У результаті маємо 65,14:4 = 16,285.
Відповідь:
65,14:4=16,285 .
приклад.
Виконайте поділ 164,5 на 27 .
Рішення.
Проведемо розподіл десяткового дробу на натуральне число стовпчиком. Після поділу цілої частини отримуємо наступну картину: 
Тепер ставимо в приватному кому і продовжуємо поділ стовпчиком: 
Зараз добре видно, що почали повторюватися залишки 25 7 і 16 при цьому в приватному повторюються цифри 9 2 і 5 . Таким чином, розподіл десяткового дробу 164,5 на 27 призводить до періодичного десяткового дробу 6,0(925) .
Відповідь:
164,5:27=6,0(925) .
Розподіл десяткових дробів стовпчиком
До поділу десяткового дробу на натуральне число стовпчиком можна звести розподіл десяткового дробу на десятковий дріб. Для цього ділимо і дільник потрібно помножити на таке число 10 або 100 або 1000 і т.д., щоб дільник став натуральним числом, після чого виконати розподіл на натуральне число стовпчиком. Це ми можемо робити з властивостей розподілу і множення, оскільки a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) тощо.
Іншими словами, щоб розділити кінцевий десятковий дріб на кінцевий десятковий дріб, потрібно:
- у ділимому та дільнику перенести кому вправо на стільки знаків, скільки їх після коми у дільнику, якщо при цьому в ділимому не вистачає знаків для перенесення коми, то потрібно дописати необхідну кількість нулів праворуч;
- після цього провести розподіл стовпчиком десяткового дробу на натуральне число.
Розглянемо при рішенні приклад застосування цього правила розподілу на десятковий дріб.
приклад.
Виконайте поділ стовпчиком 7,287 на 2,1.
Рішення.
Перенесемо ком у даних десяткових дробах на одну цифру вправо, це нам дозволить від розподілу десяткового дробу 7,287 на десятковий дріб 2,1 перейти до поділу десяткового дробу 72,87 на натуральне число 21 . Виконаємо поділ стовпчиком: 
Відповідь:
7,287:2,1=3,47 .
приклад.
Виконайте розподіл десяткового дробу 16,3 на десятковий дріб 0,021.
Рішення.
Перенесемо вправо на 3 знаки кому в діленому та дільнику. Очевидно, у дільнику не вистачає цифр для перенесення коми, тому допишемо необхідну кількість нулів праворуч. Тепер виконаємо поділ стовпчиком дробу 16300,0 на натуральне число 21: 
З цього моменту починають повторюватися залишки 4, 19, 1, 10, 16 і 13, а значить, повторюватимуться і цифри 1, 9, 0, 4, 7 та 6 у приватному. В результаті ми отримуємо періодичний десятковий дріб 776 (190476).
Відповідь:
16,3:0,021=776,(190476) .
Зауважимо, що озвучене правило дозволяє ділити стовпчиком натуральне число на кінцевий десятковий дріб.
приклад.
Розділіть натуральне число 3 на десятковий дріб 5,4.
Рішення.
Після перенесення коми на 1 цифру вправо, приходимо до поділу числа 30,0 на 54 . Виконаємо поділ стовпчиком: 
.
Це правило можна застосовувати і при розподілі нескінченних десяткових дробів на 10, 100, …. Наприклад, 3,(56):1 000=0,003(56) і 593,374…:100=5,93374… .
Розподіл десяткових дробів на 0,1, 0,01, 0,001 і т.д.
Так як 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100 і т.д., то з правила поділу на звичайний дріб слід, що розділити десятковий дріб на 0,1, 0,01, 0,001 і т.д. . це все одно, що помножити цей десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т.д. відповідно.
Іншими словами, щоб розділити десятковий дріб на 0,1, 0,01, … потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3, … цифр, при цьому якщо цифр у записі десяткового дробу недостатньо для перенесення коми, то праворуч потрібно дописати необхідну кількість нулів.
Наприклад, 5,739:0,1=57,39 та 0,21:0,00001=21 000 .
Це правило можна застосовувати при розподілі нескінченних десяткових дробів на 0,1 , 0,01 , 0,001 і т.д. При цьому слід бути дуже уважним з поділом періодичних дробів, щоб не помилитися з періодом дробу, що виходить внаслідок розподілу. Наприклад, 7,5(716):0,01=757,(167) , оскільки після перенесення коми в записі десяткового дробу 7,5716716716… на два знаки праворуч, маємо запис 757,167167… . З нескінченними неперіодичними десятковими дробами все простіше: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Розподіл звичайного дробу чи змішаного числа на десятковий дріб і навпаки
Розподіл звичайного дробу або змішаного числа на кінцевий або періодичний десятковий дріб, а також поділ кінцевого або періодичного десяткового дробу на звичайний дріб або змішане число зводиться до поділу звичайних дробів. Для цього десяткові дроби замінюються відповідними звичайними дробами, а змішане число подається у вигляді неправильного дробу.
При розподілі нескінченного неперіодичного десяткового дробу на звичайний дріб або змішане число і навпаки слід перейти до поділу десяткових дробів, замінивши звичайний дріб або змішане число відповідним десятковим дробом.
Список литературы.
- Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
Багато школярів до старших класів забувають, як виконувати розподіл у стовпчик. Комп'ютери, калькулятори, мобільні телефони та інші пристрої так щільно увійшли до нашого життя, що елементарні математичні дії іноді призводять до ступору. І щойно люди обходилися без усіх цих благ ще кілька десятків років тому? Для початку треба згадати головні математичні поняття, які необхідні поділу. Так, ділимим називають число, яке ділитимуть. Дільник - число, на яке ділитимуть. Те, що в результаті вийде, називається приватним. Для розподілу в рядок використовується символ, схожий на двокрапку - «:», а при розподілі в стовпчик використовують значок «∟», його ще інакше називають куточок.
Будь-який поділ можна перевірити множенням. Щоб перевірити результат поділу, достатньо помножити його на дільник, у результаті має вийти число, яке відповідає ділимому (а: b = с; отже, с * b = а). Тепер про те, що таке десятковий дріб. Десятковий дріб виходить після поділу одиниці на 0,0, 1000 і так далі частин. Запис цих чисел і математичні дії з ними, такі самі, як і з цілими числами. При розподілі десяткових дробів немає необхідності пам'ятати, де знаходиться знаменник. Все стає зрозумілим при записі числа. Спочатку пишеться ціле число, а після коми записуються її десяті, соті, тисячні частини. Перша цифра після коми відповідає десяткам, друга – сотням, третя – тисячам тощо.
Кожен школяр повинен знати, як ділити десяткові дроби на десятковий дріб. Якщо і ділене, і дільник помножити на однакове число, відповідь, тобто приватне не зміниться. Якщо десятковий дріб помножити на 0,0, 1000 і т. д., то кома, після цілого числа змінить своє положення - вона перенесеться вправо на стільки ж цифр, скільки нулів у числі, на яке помножили. Наприклад, при множенні десяткового дробу на 10 кома зміститься на одне число вправо. 2,9: 6,7 – множимо і дільник, і ділене на 100, отримуємо 6,9: 3687. тобто зробити хоча б одне число цілим. Ще кілька прикладів перенесення ком після цілого числа: 9,2: 1,5 = 2492: 2,5; 5,4: 4,8 = 5344: 74598.
Увага, десятковий дріб не змінить свого значення, якщо праворуч до нього приписати нулі, наприклад 3,8 = 3,0. Також значення дробу не зміниться, якщо у нього прибрати справа нулі, що стоять наприкінці числа: 3,0 = 3,3. Однак прибирати нулі, що стоять у середині числа, не можна – 3,3. Як ділити десятковий дріб на натуральне число у стовпчик? Щоб поділити десятковий дріб на натуральне число в стовпчик, потрібно зробити відповідний запис куточком, поділити. У приватному ком потрібно поставити тоді, коли закінчиться розподіл цілого числа. Наприклад, 5,4|2 14 7,2 18 18 0 4 4 0Якщо перша цифра числа в поділеному менше, ніж дільник, то використовуються наступні цифри, то поки не буде можливим зробити першу дію.
В даному випадку, перша цифра ділимого 1, її поділити на 2 не можна, тому для поділу використовується відразу дві цифри 1 і 5: 15 на 2 ділиться із залишком, виходить у приватному 7, а в залишку залишається 1. Потім використовуємо наступну цифру ділимого – 8. Її спускаємо вниз до 1 і ділимо 18 на 2. У приватному записуємо цифру 9. У залишку нічого не залишається, тому записуємо 0. Цифру 4, що залишилася, спускаємо вниз і проводимо поділ на дільник, тобто на 2. У приватне записуємо 2, а в залишку знову 0. Підсумком такого поділу виходить число 7,2. Воно називається приватним. Досить просто вирішити питання про те, як ділити десятковий дріб на десятковий дріб у стовпчик, якщо знати деякі хитрощі. Ділити десяткові дроби в умі іноді досить складно, тому для полегшення процесу використовується розподіл у стовпчик.
При такому розподілі діють ті самі правила, що і при розподілі десяткового дробу на ціле число або при розподілі в рядок. Зліва в рядку записують ділене, потім ставлять символ «куточка» і потім пишуть дільник і починають розподіл. Для полегшення поділу та перенесення у зручне місце комою після цілого числа можна зробити множення на десятки, сотні чи тисячі. Наприклад, 9,2: 1,5 = 24920: 125. Увага, на 0,0, 1000 множаться обидва дроби. Якщо ділене було помножено на 10, то і дільник також множиться на 10. У даному прикладі було зроблено множення і дільника і дільника на 100. Далі виконують розрахунок так само, як показано в прикладі розподілу десяткового дробу на натуральне число. Щоб зробити розподіл на 0,1; 0,1; 0,1 і т. д. необхідно помножити і дільник, і поділяється на 0,0, 1000.
Досить часто при розподілі у приватному, тобто у відповіді, виходять нескінченні дроби. У такому разі необхідно округлити число до десятих, сотих чи тисячних. При цьому діє правило, якщо після числа до якого потрібно округлити відповідь менше або дорівнює 5, відповідь округляється в меншу сторону, якщо ж більше 5 - у більшу. Наприклад, потрібно округлити результат 5,5 тисячних. Значить, відповідь після коми має закінчуватися на цифрі 6. Після 6 стоїть 9, отже, відповідь округляємо у бік і отримуємо 5,7. Але якби потрібно було відповідь 5,5 округлити не до тисячних, а до десятих, то відповідь виглядала б так – 5,2. В даному випадку 2 не округлили у велику сторону, тому що після неї йде 3, а вона менша за 5.