\(\blacktriangleright\) Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açı, doğru ile onun bu düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açıdır (yani açıdır) \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\blacktriangleright\) Düz çizgi \(a\) ile \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)) düzlemi arasındaki açıyı bulmak için ihtiyacınız olan:
Adım 1: \(A\in a\) noktasından \(\phi\) düzlemine dik bir \(AO\) çizin (\(O\) dikmenin tabanıdır);
Adım 2: o zaman \(BO\), eğimli \(AB\)'nin \(\phi\) düzlemine izdüşümüdür;
Adım 3: O halde \(a\) düz çizgisi ile \(\phi\) düzlemi arasındaki açı \(\angle ABO\)'ya eşittir.
Görev 1 #2850
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(l\) düz çizgisi \(\alpha\) düzlemiyle kesişiyor. Düz çizgi üzerinde \(l\) \(AB=25\) parçası işaretlenmiştir ve bu parçanın \(\alpha\) düzlemine izdüşümünün \(24\)'e eşit olduğu bilinmektedir. Düz çizgi \(l\) ile \(\alpha\) düzlemi arasındaki açının sinüsünü bulun
Resme bakalım:
\(A_1B_1=24\) \(AB\)'nin \(\alpha\) düzlemine izdüşümü olsun, bu da \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) anlamına gelir. Düzleme dik iki doğru aynı düzlemde bulunduğundan \(A_1ABB_1\) – dikdörtgen yamuk. Hadi \(AH\perp BB_1\) yapalım. Sonra \(AH=A_1B_1=24\) . Bu nedenle, Pisagor teoremine göre \ Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açının, doğru ile onun düzleme izdüşümü arasındaki açı olduğunu, dolayısıyla istenen açının \(AB\) ile \(A_1B_1) arasındaki açı olduğunu da not ediyoruz. \). \(AH\parallel A_1B_1\) olduğundan, \(AB\) ve \(A_1B_1\) arasındaki açı, \(AB\) ve \(AH\) arasındaki açıya eşittir.
Daha sonra \[\sin\angle BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]
Cevap: 0,28
Görev 2 #2851
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(ABC\) – düzgün üçgen\(3\) kenarı ile \(O\) üçgen düzleminin dışında kalan bir noktadır ve \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . \(OA, OB, OC\) doğrularının üçgenin düzlemiyle oluşturduğu açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Üçgenin düzlemine dik bir \(OH\) çizelim.
düşünelim \(\üçgen OAH, \üçgen OBH, \üçgen OCH\). Dikdörtgenlerdir ve kenar ve hipotenüsleri eşittir. Bu nedenle \(AH=BH=CH\) . Bu, \(H\)'nin \(ABC\) üçgeninin köşelerinden aynı uzaklıkta bulunan bir nokta olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, \(H\) etrafını çevreleyen dairenin merkezidir. \(\ABC üçgeni\) doğru olduğundan, \(H\) kenarortayların kesişme noktasıdır (bunlar aynı zamanda yükseklikler ve açıortaylardır).
Bir doğru ile düzlem arasındaki açı, doğru ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açı ve \(AH\), \(AO\)'nun üçgen düzlemine izdüşümü olduğuna göre, \( arasındaki açı AO\) ve üçgenin düzlemi \( \angle OAH\)'a eşittir.
\(AA_1\) \(\triangle ABC\)'deki medyan olsun, dolayısıyla, \
Medyanlar kesişme noktasına \(2:1\) oranında bölündüğü için, tepe noktasından sayılarak, \ Sonra dikdörtgenden \(\üçgen OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
\(OAH, OBH, OCH\) üçgenlerinin eşitliğinden şu sonucun çıktığına dikkat edin: \(\açı OAH=\açı OBH=\açı OCH=60^\circ\).
Cevap: 60
Görev 3 #2852
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
Düz çizgi \(l\) \(\pi\) düzlemine diktir. \(p\) doğrusu \(\pi\) düzleminde yer almıyor ve ona paralel değil, \(l\) doğrusuna da paralel değil. \(p\) ve \(l\) doğruları arasındaki ve \(p\) doğrusu ile \(\pi\) düzlemi arasındaki açıların toplamını bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Bu, \(p\) düz çizgisinin \(\pi\) düzlemini kesmesi koşulundan kaynaklanır. \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) olsun.
O halde \(\angle POL\), \(p\) ve \(l\) doğruları arasındaki açıdır.
Bir çizgi ile düzlem arasındaki açı, bir çizgi ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açı olduğundan, \(\angle OPL\), \(p\) ve \(\pi\) arasındaki açıdır. \(\triangle OPL\) öğesinin \(\angle L=90^\circ\) ile dikdörtgen olduğunu unutmayın. Dar açıların toplamı olduğundan dik üçgen\(90^\circ\)'a eşittir, o zaman \(\açı POL+\açı OPL=90^\circ\).
Yorum.
Eğer \(p\) doğrusu \(l\) doğrusuyla kesişmiyorsa, o zaman \(l\) ile kesişen bir \(p"\paralel p\) doğrusu çizeriz. Sonra \(p\) doğrusu arasındaki açı ) ve \(l\ ), \(p"\) ve \(l\) arasındaki açıya eşit olacaktır. Benzer şekilde, \(p\) ve \(\pi\) arasındaki açı, \(p"\) ve \(\pi\) arasındaki açıya eşit olacaktır. Ve \(p"\) doğrusu için önceki çözüm zaten doğru.
Cevap: 90
Görev 4 #2905
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kübik. \(N\) noktası \(BB_1\) kenarının orta noktasıdır ve \(M\) noktası \(BD\) doğru parçasının orta noktasıdır. \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(MN\) içeren çizgi ile \((A_1B_1C_1D_1)\) düzlemi arasındaki açıdır. Cevabınızı derece cinsinden verin.
\(NM\) – orta hat\(DBB_1\) üçgeninde \(NM \parallel B_1D\) ve \(\alpha\) \(B_1D\) ile \((A_1B_1C_1D_1)\) düzlemi arasındaki açıya eşittir.
\(DD_1\), \(A_1B_1C_1D_1\) düzlemine dik olduğundan, \(B_1D_1\), \(B_1D\)'nin \((A_1B_1C_1D_1)\) düzlemine ve \(B_1D\ arasındaki açıya) izdüşümüdür. ) ve \( (A_1B_1C_1D_1)\) düzlemi, \(B_1D\) ve \(B_1D_1\) arasındaki açıdır.
Küpün kenarı \(x\) olsun, sonra Pisagor teoremine göre \ \(B_1D_1D\) üçgeninde, \(B_1D\) ile \(B_1D_1\) arasındaki açının tanjantı şuna eşittir: \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), Neresi \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
Cevap: 0,5
Görev 5 #2906
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kübik. \(N\) noktası \(BB_1\) kenarının ortasıdır ve \(M\) noktası \(BD\) parçasını \(1:2\) oranında böler ve tepe noktasından sayar. \(B\) . \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) öğesini bulun; burada \(\alpha\), \(MN\) içeren çizgi ile \((ABC)\) düzlemi arasındaki açıdır. Cevabınızı derece cinsinden verin.
\(NB\) \(BB_1\) ve \(BB_1\perp (ABC)\) öğesinin bir parçası olduğundan, \(NB\perp (ABC)\) da öyle. Bu nedenle \(BM\), \(NM\)'nin \((ABC)\) düzlemine izdüşümüdür. Bu, \(\alpha\) açısının \(\angle NMB\) değerine eşit olduğu anlamına gelir.
Küpün kenarı \(x\)'e eşit olsun. Sonra \(NB=0,5x\) . Pisagor teoremine göre \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Koşul gereği \(BM:MD=1:2\) , o zaman \(BM=\frac13BD\) , dolayısıyla \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
Sonra dikdörtgen \(\üçgen NBM\)'den: \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]
Cevap: 8
Görev 6 #2907
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
Eğer \(\alpha\) küpün köşegeninin yüzlerinden birine olan eğim açısı ise \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) neye eşittir?
İstenilen açı, küpün köşegeni ile herhangi bir yüzünün köşegeni arasındaki açıyla çakışacaktır, çünkü V bu durumda küpün köşegeni eğimli olacak, yüzün köşegeni bu eğimli yüzün düzleme izdüşümü olacaktır. Böylece istenen açı örneğin \(C_1AC\) açısına eşit olacaktır. Küpün kenarını \(x\) olarak gösterirsek, o zaman \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), ardından istenen açının kotanjantının karesi: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
Cevap: 2
Görev 7 #2849
Görev seviyesi: Birleşik Devlet Sınavından daha zor
\(\angle BAH=\angle CAH=30^\circ\) .
Pisagor teoremine göre \
Buradan, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]\(OH\perp (ABC)\) olduğundan, \(OH\) bu düzlemden gelen herhangi bir düz çizgiye diktir, bu da \(\üçgen OAH\)'ın dikdörtgen olduğu anlamına gelir. Daha sonra \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0.4.\]
Cevap: 0,4
Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanan lise öğrencilerinin, düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı bulmaları gereken “Uzayda Geometri” bölümündeki görevlerle nasıl başa çıkacaklarını öğrenmeleri faydalı olacaktır. Geçmiş deneyimler gösteriyor ki benzer görevler mezunlar için bazı zorluklara neden olmaktadır. Aynı zamanda bil temel teori ve herhangi bir eğitim seviyesindeki lise öğrencileri, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının nasıl bulunacağını anlamalıdır. Ancak bu durumda makul puanlar alacaklarına güvenebilirler.
Ana nüanslar
Diğer stereometrik gibi Birleşik Devlet Sınavı görevleri Düz çizgiler ve düzlemler arasındaki açıları ve mesafeleri bulmanız gereken görevler iki yöntemle çözülebilir: geometrik ve cebirsel. Öğrenciler kendilerine en uygun olan seçeneği seçebilirler. Buna göre geometrik yöntem, düz bir çizgi üzerinde bulunmalıdır uygun nokta, ondan düzleme bir dik indirin ve bir çıkıntı oluşturun. Bundan sonra mezun sadece temel bilgileri uygulamak zorunda kalacak. teorik bilgi ve açının hesaplanmasına ilişkin planimetrik problemi çözün. Cebirsel yöntemİstenilen miktarı bulmak için bir koordinat sisteminin tanıtılmasını içerir. Düz bir çizgi üzerindeki iki noktanın koordinatlarını belirlemek, düzlemin denklemini doğru bir şekilde oluşturmak ve çözmek gerekir.
Shkolkovo ile etkili hazırlık
Dersleri kolay ve eşit hale getirmek için zor görevler herhangi bir zorluk yaratmadı, bizi seçin eğitim portalı. İşte bunun için gerekli tüm materyaller başarılı tamamlama sertifika testi. Doğru olan temel bilgiler“Teorik bilgiler” bölümünde bulacaksınız. Görevleri tamamlama alıştırması yapmak için matematik portalımızdaki “Katalog”a gitmeniz yeterli. Bu bölüm çok çeşitli alıştırmalar içerir değişen dereceler karmaşıklık. Katalogda düzenli olarak yeni görevler görünür.
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı bulma veya üzerinde görevler gerçekleştirme, Rus okul çocukları Moskova'da veya başka bir şehirdeyken çevrimiçi olabilir. Öğrenci dilerse herhangi bir alıştırmayı “Favoriler”e kaydedebilir. Bu, gerekirse onu hızlı bir şekilde bulmanızı ve çözümünün ilerleyişini öğretmenle tartışmanızı sağlayacaktır.
Makale, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının tanımıyla başlıyor. Bu makale size koordinat yöntemini kullanarak düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı nasıl bulacağınızı gösterecek. Örnekler ve sorunların çözümleri detaylı olarak ele alınacaktır.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Öncelikle uzayda düz çizgi kavramını ve düzlem kavramını tekrarlamak gerekir. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açıyı belirlemek için birkaç yardımcı tanımlar. Bu tanımlara ayrıntılı olarak bakalım.
Tanım 1
Bir doğru ile bir düzlem kesişir bir tanesine sahip olmaları durumunda ortak nokta yani bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktasıdır.
Bir düzlemi kesen bir doğru, düzleme dik olabilir.
Tanım 2
Düz bir çizgi bir düzleme diktir bu düzlemde bulunan herhangi bir çizgiye dik olduğunda.
Tanım 3
M noktasının bir düzleme izdüşümüγ eğer yatıyorsa noktanın kendisidir için Verilen uçak veya düzlemin çizgiyle kesişme noktasıdır, düzleme dikγ, γ düzlemine ait olmaması koşuluyla M noktasından geçiyor.
Tanım 4
A çizgisinin bir düzleme izdüşümüγ, belirli bir doğrunun tüm noktalarının düzlem üzerindeki izdüşümü kümesidir.
Bundan, γ düzlemine dik bir düz çizginin izdüşümünün bir kesişme noktasına sahip olduğunu elde ederiz. A doğrusu izdüşümünün γ düzlemine ait olan ve a doğrusu ile düzlemin kesişme noktasından geçen bir doğru olduğunu buluyoruz. Aşağıdaki şekle bakalım.
Açık şu anda her şeye sahibiz gerekli bilgiler ve düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının tanımını formüle etmek için veriler
Tanım 5
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı bu düz çizgi ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açıya denir ve düz çizgi ona dik değildir.
Yukarıda verilen açı tanımı, bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının, kesişen iki çizgi arasındaki açı, yani belirli bir çizginin düzlem üzerindeki izdüşümüyle birlikte olduğu sonucuna varmaya yardımcı olur. Bu, aralarındaki açının her zaman dar olacağı anlamına gelir. Aşağıdaki resme bir göz atalım.
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasında bulunan açının dik, yani 90 dereceye eşit olduğu kabul edilir, ancak paralel düz çizgiler arasında bulunan açı tanımlanmamıştır. Değerinin sıfıra eşit alındığı durumlar vardır.
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının bulunmasının gerekli olduğu problemlerin çözümünde birçok değişiklik vardır. Çözümün seyri, duruma ilişkin mevcut verilere bağlıdır. Çözümün sık sık eşlik edenleri, rakamların, kosinüslerin, sinüslerin, açıların teğetlerinin benzerliği veya eşitliğinin işaretleridir. Açıyı bulmak koordinat yöntemini kullanarak mümkündür. Gelin buna daha detaylı bakalım.
Eğer içindeyse üç boyutlu uzay tanıtıldı dikdörtgen sistem O x y z koordinatları varsa, içinde M noktasında γ düzlemini kesen ve düzleme dik olmayan bir a çizgisi belirtilir. Belirli bir düz çizgi ile düzlem arasında bulunan α açısını bulmak gerekir.
Öncelikle koordinat yöntemini kullanarak düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açının tanımını uygulamanız gerekir. Daha sonra aşağıdakileri elde ederiz.
O x y z koordinat sisteminde, uzaydaki düz çizginin denklemlerine ve γ düzlemi için uzaydaki düz çizginin yönlendirici vektörüne karşılık gelen bir düz çizgi a belirtilir; burada düzlemin ve normalin denklemi karşılık gelir; uçağın vektörü. O halde a → = (a x , a y , a z) verilen a çizgisinin yön vektörüdür ve n → (n x , n y , n z) γ düzleminin normal vektörüdür. A düz çizgisinin yönlendirici vektörünün ve γ düzleminin normal vektörünün koordinatlarına sahip olduğumuzu hayal edersek, denklemleri bilinir, yani koşulla belirtilirler, o zaman a vektörlerini belirlemek mümkündür. → ve n → denkleme göre.
Açıyı hesaplamak için, düz çizginin yönlendirici vektörünün ve normal vektörün mevcut koordinatlarını kullanarak bu açının değerini elde edecek formülü dönüştürmek gerekir.
a → ve n → vektörlerini, a düz çizgisinin γ düzlemiyle kesişme noktasından başlayarak çizmek gerekir. Bu vektörlerin verilen doğru ve düzlemlere göre konumu için 4 seçenek vardır. 4 varyasyonun tamamını gösteren aşağıdaki resme bakın.
Buradan a → ve n → vektörleri arasındaki açının a → , n → ^ olarak belirlendiğini ve dar olduğunu buluruz, ardından düz çizgi ile düzlem arasında bulunan istenen α açısı tamamlanır, yani bir ifade elde ederiz. a → , n → ^ = 90 ° - α formundadır. Koşul olarak a →, n → ^ > 90 ° olduğunda, o zaman a →, n → ^ = 90 ° + α'ya sahip oluruz.
Buradan kosinüsleri elde ederiz eşit açılar eşitse son eşitlikler bir sistem şeklinde yazılır
çünkü a → , n → ^ = çünkü 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°
İfadeleri basitleştirmek için indirgeme formüllerini kullanmalısınız. Sonra eşitlikleri elde ederiz çünkü yaz a → , n → ^ = sin α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°
Dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra sistem şunları elde eder: günah yazınα = çünkü a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = çünkü a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - çünkü a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
Buradan düz çizgi ile düzlem arasındaki açının sinüsünü elde ederiz. modüle eşit Düz çizginin yön vektörü ile verilen düzlemin normal vektörü arasındaki açının kosinüsü.
İki vektörün oluşturduğu açının bulunmasıyla ilgili bölüm bu açının şu değeri aldığını ortaya çıkardı: nokta çarpım vektörler ve bu uzunlukların çarpımı. Düz bir çizgi ile bir düzlemin kesişmesiyle elde edilen açının sinüsünü hesaplama işlemi formüle göre gerçekleştirilir.
sin α = çünkü a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Bu, düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açıyı, düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları ve dönüşümden sonra düzlemin normal vektörü ile hesaplamak için formülün şu şekilde olduğu anlamına gelir:
α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Bilinen bir sinüs ile kosinüsün bulunmasına, temel prensip uygulanarak izin verilir. trigonometrik özdeşlik. Düz bir çizgi ile bir düzlemin kesişimi oluşur dar açı. Bu, değerinin artacağını gösteriyor pozitif sayı ve hesaplaması şu şekilde yapılır: çünkü formüllerα = 1 - günah α.
Birkaç tane çözelim benzer örnekler Malzemeyi güvence altına almak için.
Örnek 1
x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 düz çizgisinin ve 2 x + z - 1 = 0 düzleminin oluşturduğu açının açısını, sinüsünü, kosinüsünü bulun.
Çözüm
Yön vektörünün koordinatlarını elde etmek için dikkate alınması gerekir. kanonik denklemler düz uzayda. O zaman a → = (3, - 2, 6)'nın x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 düz çizgisinin yön vektörü olduğunu elde ederiz.
Normal vektörün koordinatlarını bulmak için şunu dikkate almak gerekir: genel denklem uçakların varlığı önlerindeki katsayılar tarafından belirlendiğinden denklemin değişkenleri. Daha sonra 2 x + z - 1 = 0 düzlemi için normal vektörün n → = (2, 0, 1) biçiminde olduğunu buluruz.
Düz çizgi ile düzlem arasındaki açının sinüsünü hesaplamaya devam etmek gerekir. Bunu yapmak için a → ve b → vektörlerinin koordinatlarını yerine koymak gerekir. verilen formül. Formun bir ifadesini alıyoruz
sin α = çünkü a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + (- 2 ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
Buradan kosinüsün değerini ve açının değerini buluyoruz. Şunu elde ederiz:
çünkü α = 1 - sin α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5
Cevap: sin α = 12 7 5, çünkü α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.
Örnek 2
A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1 vektörlerinin değerleri kullanılarak oluşturulmuş bir piramit vardır. A D düz çizgisi ile A B C düzlemi arasındaki açıyı bulun.
Çözüm
İstenilen açıyı hesaplamak için düz çizginin yönlendirici vektörünün ve düzlemin normal vektörünün koordinatlarına sahip olmak gerekir. A D düz çizgisi için yön vektörünün koordinatları AD → = 4, 1, 1'dir.
Normal vektör n → , uçak ABC'dir vektöre dik A B → ve A C → . Bu, A B C düzleminin normal vektörünün dikkate alınabileceği anlamına gelir. vektör çarpımı A B → ve A C → vektörleri. Bunu formülü kullanarak hesaplıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
n → = A B → × A C → = ben → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · ben → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )
İstenilen açıyı hesaplamak için vektörlerin koordinatlarını değiştirmek gerekir, kesişme noktasının oluşturduğu düz ve düzlem. formun bir ifadesini elde ederiz:
α = a r c sin AD → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c sin 23 21 2
Cevap: a r c sin 23 21 2 .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Düz çizgi l ile düzlem 6 arasındaki açı a, belirli bir düz çizgi l ile düz çizgi üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen belirli bir düzleme dik olan n arasındaki ek açı p aracılığıyla belirlenebilir (Şekil 144). P açısı istenen a açısını 90°'ye kadar tamamlar. Düz çizgi l tarafından oluşturulan açının düzlem seviyesini ve dik ve düz çizgi etrafında döndürerek P açısının gerçek değerini belirledikten sonra, onu tamamlamaya devam eder. dik açı. Bu ek açı, l düz çizgisi ile 0 düzlemi arasındaki a açısının gerçek değerini verecektir.
27.İki düzlem arasındaki açının belirlenmesi.
Gerçek değer dihedral açı- iki Q ve l düzlemi arasında. - dihedral açının kenarını çıkıntılı bir çizgiye dönüştürmek için izdüşüm düzleminin değiştirilmesiyle (problem 1 ve 2) veya kenar belirtilmemişse, iki dik açı n1 ve n2 arasındaki açı olarak belirlenebilir. bu düzlemler, uzayın B düzleminin rastgele bir M noktasından, M noktasındaki bu diklerin düzlemi, sırasıyla iki doğrusal açıya eşit olan iki a ve P düzlem açısı elde ederiz. bitişik köşeler(dihedral) q ve l düzlemlerinin oluşturduğu. Seviyenin düz çizgisi etrafında dönerek n1 ve n2 dik açıları arasındaki açıların gerçek değerini belirledikten sonra şunu belirleriz: doğrusal açı q ve l düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açı.
Eğri çizgiler. Eğri çizgilerin özel noktaları.
Açık karmaşık çizim Bir eğrinin bükülme, geri dönüş, kırılma ve düğüm noktalarını içeren özel noktaları aynı zamanda izdüşümü üzerindeki özel noktalardır. Bu şu gerçeği ile açıklanmaktadır: tekil noktalar eğriler bu noktalardaki teğetlere bağlanır.
Eğrinin düzlemi çıkıntılı bir pozisyonda bulunuyorsa (Şek. A), o zaman bu eğrinin bir izdüşümü düz bir çizgi şeklindedir.
Uzaysal bir eğri için tüm projeksiyonları eğri çizgilerdir (Şekil 1). B).
Hangi eğrinin verildiğini (düzlemsel veya uzaysal) çizimden belirlemek için eğrinin tüm noktalarının aynı düzleme ait olup olmadığını bulmak gerekir. Şekil 2'de belirtilmiştir. B eğri uzaysaldır, çünkü nokta D eğri diğer üç nokta tarafından tanımlanan düzleme ait değildir A, B Ve e bu eğri.
Daire - dik izdüşümü bir daire ve bir elips olabilen ikinci dereceden bir düzlem eğrisi
Silindirik bir sarmal (sarmal), sarmal bir hareket gerçekleştiren bir noktanın yörüngesini temsil eden uzaysal bir eğridir. 
29.Düz ve uzaysal eğri çizgiler.
28. soruya bakın
30. Karmaşık yüzey çizimi. Temel hükümler.
Yüzey, uzayda hareket eden çizgilerin sıralı konumları kümesidir. Bu çizgi düz veya kavisli olabilir ve denir nesil yüzeyler. Generatrix bir eğri ise, sabit olabilir veya değişken görünüm. Generatrix birlikte hareket ediyor rehberler, jeneratörlerden farklı yöndeki hatları temsil eder. Kılavuz çizgileri jeneratörlerin hareket yasasını belirler. Generatrix'i kılavuzlar boyunca hareket ettirirken, çerçeve jeneriklerin ve kılavuzların birbirini takip eden birkaç konumundan oluşan bir dizi yüzey (Şekil 84). Çerçeveyi inceleyerek jeneratörlerin ben ve rehberler T değiştirilebilir ancak yüzey aynı kalır.
Herhangi bir yüzey çeşitli şekillerde elde edilebilir.
Generatrix'in şekline bağlı olarak tüm yüzeyler bölünebilir hükmetti,üretken bir düz çizgiye sahip olan ve yönetilmeyen, oluşturan kavisli bir çizgiye sahiptir.
Geliştirilebilir yüzeyler, tüm çokyüzlü, silindirik, konik ve gövde yüzeylerinin yüzeylerini içerir. Diğer tüm yüzeyler geliştirilemez. Kuralsız yüzeyler, sabit bir şekle sahip bir generatrise (dönüş yüzeyleri ve boru şeklindeki yüzeyler) ve değişken bir şekle (kanal ve çerçeve yüzeyleri) sahip olabilir.
Karmaşık bir çizimdeki bir yüzey, determinantının geometrik kısmının izdüşümleri ile belirlenir ve bu, üreteçlerinin yapım yöntemini gösterir. Bir yüzeyin çiziminde, uzaydaki herhangi bir noktanın belirli bir yüzeye ait olup olmadığı sorusu açık bir şekilde çözülür. Yüzey belirleyicinin elemanlarının grafiksel olarak belirtilmesi, çizimin tersine çevrilebilirliğini sağlar, ancak görselleştirmez. Netlik sağlamak için, oldukça yoğun bir genel çerçeve çerçevesinin projeksiyonlarını oluşturmaya ve yüzeyin ana hatlarını oluşturmaya başvuruyorlar (Şekil 86). Q yüzeyi projeksiyon düzlemine yansıtıldığında, çıkıntı yapan ışınlar bu yüzeye üzerinde belirli bir çizgi oluşturan noktalarda temas eder. ben, buna denir kontur astar. Kontur çizgisinin izdüşümüne denir makale yüzeyler. Karmaşık bir çizimde herhangi bir yüzey şunları içerir: P 1 - yatay taslak, P 2'de - ön taslak, P 3'te - yüzeyin profil taslağı. Çizim, kontur çizgisinin çıkıntılarına ek olarak kesim çizgilerinin çıkıntılarını da içerir.
Bir figürün düzleme izdüşümü kavramı
Bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı kavramını tanıtmak için, öncelikle rastgele bir şeklin bir düzleme izdüşümü gibi bir kavramı anlamanız gerekir.
Tanım 1
Bize keyfi bir $A$ noktası verilsin. $A_1$ noktasına, eğer $A$ noktasından $\alpha $ düzlemine çizilen bir dikmenin tabanı ise, $A$ noktasının $\alpha $ düzlemine izdüşümü denir (Şekil 1).
Şekil 1. Bir noktanın düzleme izdüşümü
Tanım 2
Bize keyfi bir rakam verilsin: $F$. $F_1$ şekline, $F$ şeklinin $\alpha $ düzlemine izdüşümü denir ve $F$ şeklinin tüm noktalarının $\alpha $ düzlemine izdüşümlerinden oluşur (Şekil 2).
Şekil 2. Bir figürün düzleme izdüşümü
Teorem 1
Düz bir çizginin düzlemine dik olmayan izdüşümü düz bir çizgidir.
Kanıt.
Bize bir $\alpha $ düzlemi ve onunla kesişen, ona dik olmayan bir $d$ düz çizgisi verilsin. $d$ doğrusu üzerinde bir $M$ noktası seçelim ve onun projeksiyonunu $H$ $\alpha $ düzlemine çizelim. $(MH)$ düz çizgisi boyunca $\beta $ düzlemini çizeriz. Açıkçası, bu düzlem $\alpha $ düzlemine dik olacaktır. $m$ düz çizgisi boyunca kesişmelerine izin verin. düşünelim keyfi nokta$d$ doğrusundan $M_1$ ve onun içinden $(MH)$ çizgisine paralel $(M_1H_1$) çizgisini çizin (Şekil 3).
Şekil 3.
$\beta $ düzlemi $\alpha $ düzlemine dik olduğundan, $M_1H_1$ $m$ doğrusuna diktir, yani $H_1$ noktası $M_1$ noktasının düzlem üzerindeki izdüşümüdür $\alfa $. $M_1$ noktası seçiminin keyfiliği nedeniyle, $d$ doğrusundaki tüm noktalar $m$ doğrusuna yansıtılır.
Benzer şekilde mantık yürütmek. İÇİNDE ters sıra$m$ doğrusu üzerindeki her noktanın $d$ doğrusu üzerindeki bir noktanın izdüşümü olduğunu elde edeceğiz.
Bu, $d$ satırının $m$ satırına yansıtıldığı anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı kavramı
Tanım 3
Bir düzlemi kesen düz bir çizgi ile onun bu düzleme izdüşümü arasındaki açıya, düz çizgi ile düzlem arasındaki açı denir (Şekil 4).
Şekil 4. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı
Buraya birkaç not düşelim.
Not 1
Çizgi düzleme dik ise. O halde düz çizgi ile düzlem arasındaki açı 90$^\circ$ olur.
Not 2
Çizgi paralelse veya bir düzlemde yer alıyorsa. O halde düz çizgi ile düzlem arasındaki açı $0^\circ$ olur.
Örnek problemler
Örnek 1
Bize bir $ABCD$ paralelkenarı ve paralelkenarın düzleminde yer almayan bir $M$ noktası verilsin. $B$ noktası, $M$ noktasının paralelkenar düzlemindeki izdüşümü ise, $AMB$ ve $MBC$ üçgenlerinin dik açılı olduğunu kanıtlayın.
Kanıt.
Sorunun durumunu şekil üzerinde gösterelim (Şekil 5).
Şekil 5.
$B$ noktası $M$ noktasının $(ABC)$ düzlemine izdüşümü olduğundan, $(MB)$ düz çizgisi $(ABC)$ düzlemine diktir. Açıklama 1'e göre, $(MB)$ düz çizgisi ile $(ABC)$ düzlemi arasındaki açının $90^\circ$'a eşit olduğunu buluyoruz. Buradan
\[\angle MBC=MBA=(90)^0\]
Bu, $AMB$ ve $MBC$ üçgenlerinin dik üçgen olduğu anlamına gelir.
Örnek 2
Bir $\alpha $ düzlemi verildiğinde. Bu düzleme $\varphi $ açısında bir doğru parçası çizilir ve bu doğrunun başlangıcı bu düzlemdedir. Bu segmentin izdüşümü, segmentin kendisinin yarısı kadardır. $\varphi$ değerini bulun.
Çözüm.
Şekil 6'yı düşünün.
Şekil 6.
Şart olarak elimizde
$BCD$ üçgeni dik açılı olduğundan, kosinüs tanımı gereği
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]