Basit soruya "Yamuğun yüksekliği nasıl bulunur?" Birkaç cevap var çünkü farklı başlangıç değerleri verilebiliyor. Bu nedenle formüller farklılık gösterecektir.
Bu formüller ezberlenebilir ancak elde edilmesi zor değildir. Daha önce öğrendiğiniz teoremleri uygulamanız yeterlidir.
Formüllerde kullanılan gösterimler
Aşağıdaki tüm matematiksel gösterimlerde harflerin bu okumaları doğrudur.
Kaynak verilerde: her taraf
Genel durumda yamuğun yüksekliğini bulmak için aşağıdaki formülü kullanmanız gerekecektir:
n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). 1 numara.
En kısa değil, aynı zamanda problemlerde oldukça nadiren bulunur. Genellikle diğer verileri kullanabilirsiniz.
Aynı durumda ikizkenar yamuğun yüksekliğini nasıl bulacağınızı anlatacak formül çok daha kısadır:
n = √(c 2 - (a - c) 2/4). 2 numara.
Sorun şunu veriyor: alt tabandaki yan kenarlar ve açılar
α açısının sırasıyla “c” işaretli tarafa bitişik olduğu, β açısının d tarafına olduğu varsayılmaktadır. O zaman yamuğun yüksekliğinin nasıl bulunacağına ilişkin formül genel biçimde olacaktır:
n = c * sin α = d * sin β. 3 numara.
Şekil ikizkenar ise, bu seçeneği kullanabilirsiniz:
n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. 4 numara.
Bilinen: aralarındaki köşegenler ve açılar
Tipik olarak bu verilere diğer bilinen miktarlar da eşlik eder. Örneğin, tabanlar veya orta çizgi. Sebepler verilirse, yamuğun yüksekliğinin nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermek için aşağıdaki formül faydalı olacaktır:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + b) veya n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + b). 5 numara.
Bu şeklin genel görünümü içindir. Bir ikizkenar verilirse gösterim şu şekilde değişecektir:
n = (d 1 2 * sin γ) / (a + b) veya n = (d 1 2 * sin δ) / (a + b). 6 numara.
Sorun bir yamuğun orta çizgisiyle ilgili olduğunda, yüksekliğini bulma formülleri şu şekilde olur:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m veya n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. 5a numara.
n = (d 1 2 * sin γ) / 2m veya n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. 6 numara.
Bilinen büyüklükler arasında: tabanları veya orta hattı olan alan
Bunlar belki de bir yamuğun yüksekliğini bulmak için en kısa ve en basit formüllerdir. Rasgele bir rakam için şöyle olacaktır:
n = 2S / (a + b). 7 numara.
Aynıdır, ancak bilinen bir orta çizgiye sahiptir:
n = S/m. 7a numara.
Garip bir şekilde, ikizkenar yamuk için formüller aynı görünecektir.
Görevler
1 numara. Yamuğun alt tabanındaki açıları belirlemek.
Durum. Kenarı 5 cm olan ikizkenar yamuk verildiğinde tabanları 6 ve 12 cm olan bir dar açının sinüsünü bulmanız gerekir.
Çözüm. Kolaylık sağlamak için bir atama girmelisiniz. Sol alt köşe A olsun, geri kalanı saat yönünde olsun: B, C, D. Böylece, alt taban AD, üst taban ise BC olarak adlandırılacaktır.
B ve C köşelerinden yükseklik çizmek gerekir. Yüksekliklerin uçlarını gösteren noktalar sırasıyla H 1 ve H 2 olarak adlandırılacaktır. BCH 1 H 2 şeklindeki açıların tümü dik açı olduğundan dikdörtgendir. Bu, H 1 H 2 segmentinin 6 cm olduğu anlamına gelir.
Şimdi iki üçgeni düşünmemiz gerekiyor. Eşittirler çünkü aynı hipotenüslere ve dikey bacaklara sahip dikdörtgenlerdir. Bundan, daha küçük bacaklarının eşit olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle farkın bölümü olarak tanımlanabilirler. İkincisi, üsttekinin alt tabandan çıkarılmasıyla elde edilir. 2'ye bölünecektir. Yani 12 - 6'nın 2'ye bölünmesi gerekir. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).
Şimdi Pisagor teoreminden yamuğun yüksekliğini bulmanız gerekiyor. Bir açının sinüsünü bulmak gerekir. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).
Akut açının sinüsünün dik açılı bir üçgende nasıl bulunduğu bilgisini kullanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.
Cevap. Gerekli sinüs 0,8'dir.
2 numara. Bilinen bir tanjantı kullanarak yamuğun yüksekliğini bulmak.
Durum.İkizkenar yamuk için yüksekliği hesaplamanız gerekir. Tabanlarının 15 ve 28 cm olduğu bilinmektedir. Dar açının tanjantı 11/13 olarak verilmiştir.
Çözüm. Köşelerin belirlenmesi önceki problemdekiyle aynıdır. Yine üst köşelerden iki yükseklik çizmeniz gerekiyor. İlk problemin çözümüne benzeterek, 28 ile 15'in farkının ikiye bölünmesiyle tanımlanan AN 1 = N 2 D'yi bulmanız gerekir. Hesaplamalardan sonra ortaya çıkıyor: 6,5 cm.
Teğet iki bacağın oranı olduğundan şu eşitliği yazabiliriz: tan α = AN 1 / VN 1 . Üstelik bu oran 11/13'e (koşullara göre) eşittir. AN 1 bilindiğinden yükseklik hesaplanabilir: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Basit hesaplamalar 5,5 cm sonuç verir.
Cevap. Gerekli yükseklik 5,5 cm'dir.
3 numara. Bilinen köşegenleri kullanarak yüksekliği hesaplamak.
Durum. Yamuğun köşegenlerinin 13 ve 3 cm olduğu bilinmektedir. Tabanların toplamı 14 cm ise yüksekliğini bulmanız gerekir.
Çözüm.Şeklin tanımının öncekiyle aynı olmasına izin verin. AC'nin daha küçük köşegen olduğunu varsayalım. C köşesinden istediğiniz yüksekliği çizmeniz ve onu CH olarak belirtmeniz gerekir.
Şimdi bazı ek inşaatlar yapmanız gerekiyor. C köşesinden daha büyük köşegene paralel düz bir çizgi çizmeniz ve bunun AD tarafının devamı ile kesişme noktasını bulmanız gerekir. Bu D 1 olacak. Sonuç, içine ASD 1 üçgeninin çizildiği yeni bir yamuktur. Sorunu daha da çözmek için gereken şey budur.
İstenilen yükseklik de üçgenin içinde olacaktır. Bu nedenle başka bir konuda çalışılan formülleri kullanabilirsiniz. Bir üçgenin yüksekliği, 2 sayısı ile alanın çizildiği kenara bölünmesinin çarpımı olarak tanımlanır. Ve kenar, orijinal yamuğun tabanlarının toplamına eşit çıkıyor. Bu, ek inşaatın yapıldığı kuraldan kaynaklanmaktadır.
Söz konusu üçgende tüm taraflar bilinmektedir. Kolaylık olması açısından x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm gösterimini ekledik.
Artık alanı Heron teoremini kullanarak hesaplayabilirsiniz. Yarı çevre p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm)'ye eşit olacaktır. Daha sonra değerleri değiştirdikten sonra alanın formülü şu şekilde görünecektir: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm2).
Cevap. Yükseklik 6√10 / 7 cm'dir.
4 numara. Yanlardaki yüksekliği bulmak için.
Durum.Üç tarafı 10 cm, dördüncüsü 24 cm olan bir yamuk verildiğinde yüksekliğini bulmanız gerekir.
Çözüm.Şekil ikizkenar olduğundan 2 numaralı formüle ihtiyacınız olacak. Sadece tüm değerleri yerine koyup saymanız yeterli. Şunun gibi görünecek:
n = √(10 2 - (10 - 24) 2/4) = √51 (cm).
Cevap. n = √51cm.
Bir ikizkenar yamuğun açıları. Merhaba! Bu makale yamuklarla ilgili sorunların çözümüne odaklanacaktır. Bu görev grubu sınavın bir parçasıdır; problemler basittir. Yamuğun açılarını, tabanını ve yüksekliğini hesaplayacağız. Bir takım problemleri çözmek, dedikleri gibi, çözmekten geçiyor: Pisagor teoremi olmadan neredeyiz?
İkizkenar yamuk ile çalışacağız. Tabanlarda eşit kenarlara ve açılara sahiptir. Blogda yamuk ile ilgili bir yazı var.
Görevleri çözme sürecinde ayrıntılı olarak açıklamayacağımız küçük ve önemli bir nüansı not edelim. Bakın, eğer bize iki taban verilirse, o zaman yükseklikleri alçaltılmış olan daha büyük taban üç parçaya bölünür - biri daha küçük tabana eşittir (bunlar dikdörtgenin zıt kenarlarıdır), diğer ikisi birbirine eşittir diğer (bunlar eşit dik üçgenlerin bacaklarıdır):
Basit bir örnek: İkizkenar yamuk 25 ve 65'in iki tabanı verilmiştir. Daha büyük olan taban aşağıdaki gibi parçalara ayrılır:
*Ve daha fazlası! Harf sembolleri problemlere dahil edilmemiştir. Bu, çözümü cebirsel iyileştirmelerle aşırı yüklememek için kasıtlı olarak yapıldı. Bunun matematik açısından cahil olduğu konusunda hemfikirim, ancak amaç, konuyu anlatmaktır. Ve her zaman köşelerin ve diğer elemanların tanımlarını kendiniz yapabilir ve matematiksel olarak doğru bir çözümü yazabilirsiniz.
Görevleri ele alalım:
27439. İkizkenar yamuğun tabanları 51 ve 65'tir. Kenarları 25'tir. Yamuğun dar açısının sinüsünü bulun.
Açıyı bulmak için yükseklikleri oluşturmanız gerekir. Çizimde verileri miktar koşulunda belirtiyoruz. Alt taban 65'tir ve yükseklikleri 7, 51 ve 7 numaralı bölümlere ayrılmıştır:
Bir dik üçgende hipotenüsü ve kenarı biliyoruz, ikinci kenarı (yamuğun yüksekliğini) bulabilir ve ardından açının sinüsünü hesaplayabiliriz.
Pisagor teoremine göre belirtilen bacak şuna eşittir:
Böylece:
Cevap: 0,96
27440. İkizkenar yamuğun tabanları 43 ve 73'tür. Bir yamuğun dar açısının kosinüsü 5/7'dir. Tarafı bulun.
Yükseklikleri oluşturalım ve büyüklük koşulundaki verileri not edelim; alt taban 15, 43 ve 15 numaralı bölümlere ayrılmıştır:
27441. İkizkenar yamuğun büyük tabanı 34'tür. Kenarı 14'tür. Dar açının sinüsü (2√10)/7'dir. Daha küçük tabanı bulun.
Yükseklikler inşa edelim. Daha küçük tabanı bulmak için sağ üçgenin bacağı olan parçanın neye eşit olduğunu bulmamız gerekir (mavi ile gösterilir):
Yamuğun yüksekliğini hesaplayabilir ve ardından bacağı bulabiliriz:
Pisagor teoremini kullanarak ayağı hesaplıyoruz:
Yani daha küçük olan taban:
27442. İkizkenar yamuğun tabanları 7 ve 51'dir. Dar açının tanjantı 5/11'dir. Yamuğun yüksekliğini bulun.
Yükseklikleri oluşturalım ve verileri büyüklük koşulunda işaretleyelim. Alt taban bölümlere ayrılmıştır:
Ne yapalım? Tabanda bildiğimiz açının tanjantını bir dik üçgende ifade ederiz:
27443. İkizkenar yamuğun daha küçük tabanı 23'tür. Yamuğun yüksekliği 39'dur. Dar açının tanjantı 13/8'dir. Daha büyük bir taban bulun.
Yükseklikleri oluşturuyoruz ve bacağın neye eşit olduğunu hesaplıyoruz:
Böylece daha büyük taban şuna eşit olacaktır:
27444. İkizkenar yamuğun tabanları 17 ve 87'dir. Yamuğun yüksekliği 14'tür. Dar açının tanjantını bulun.
Yükseklikleri oluşturuyoruz ve bilinen değerleri çizim üzerinde işaretliyoruz. Alt taban 35, 17, 35 numaralı bölümlere ayrılmıştır:
Teğet tanımı gereği:
77152. İkizkenar yamuğun tabanları 6 ve 12'dir. Bir yamuğun dar açısının sinüsü 0,8'dir. Tarafı bulun.
Bir taslak oluşturalım, yükseklikleri oluşturalım ve bilinen değerleri işaretleyelim, daha büyük olan taban 3, 6 ve 3 numaralı bölümlere bölünür:
x olarak gösterilen hipotenüsü kosinüs aracılığıyla ifade edelim:
Ana trigonometrik özdeşlikten cosα'yı buluyoruz
Böylece:
27818. Karşıt açılar arasındaki farkın 50 0 olduğu bilinen bir ikizkenar yamuğun en büyük açısı nedir? Cevabınızı derece cinsinden verin.
Geometri dersinden biliyoruz ki, iki paralel çizgimiz ve bir çapraz çizgimiz varsa, iç tek taraflı açıların toplamı 180 0'a eşittir. Bizim durumumuzda öyle
Koşul, zıt açılar arasındaki farkın 50 0 olduğunu söylüyor, yani
Talimatlar
Bir ikizkenarın her iki tabanının (b ve c) ve tanım gereği aynı yan kenarlarının (a) uzunlukları biliniyorsa, o zaman bir dik üçgen, dar açılarından birinin (γ) değerini hesaplamak için kullanılabilir. Bunu yapmak için kısa tabana bitişik herhangi bir köşeden yüksekliği indirin. Bir dik üçgen, bir yükseklik (), bir kenar (hipotenüs) ve uzun tabanın yükseklik ile yakın kenar (ikinci bacak) arasındaki bir bölümünden oluşacaktır. Bu parçanın uzunluğu, büyük tabanın uzunluğundan küçük olanın uzunluğunu çıkararak ve sonucu ikiye bölerek bulunabilir: (c-b)/2.
Bir dik üçgenin bitişik iki tarafının uzunluğunu elde ettikten sonra aralarındaki açıyı hesaplamaya devam edin. Hipotenüs uzunluğunun (a) kenarın uzunluğuna ((c-b)/2) oranı bu açının kosinüs değerini (cos(γ)) verir ve arkkosinüs fonksiyonu bunu dönüştürmeye yardımcı olur. derece cinsinden açı: γ=arccos(2*a/(c-b )). Bu şekilde dar açılardan birinin değerini elde edeceksiniz ve ikizkenar olduğundan ikinci dar açı da aynı değere sahip olacaktır. Tüm açıların toplamı 360° olmalıdır, yani iki açının toplamı dar açının iki katı ile bunun arasındaki farka eşit olacaktır. Her iki geniş açı da aynı olacağından her birinin değerini (α) bulmak için bu farkın ikiye bölünmesi gerekir: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* a/(c-b)) . Artık bilinen kenar uzunlukları verilen bir ikizkenar yamuğun tüm açılarının hesaplamalarına sahipsiniz.
Şeklin kenar uzunlukları bilinmiyor ancak yüksekliği (h) verilmişse aynı şemaya göre ilerlemeniz gerekir. Bu durumda, bir kenarı ve uzun bir tabanın kısa bir parçasından oluşan bir dik üçgende, iki bacağın uzunluğunu bileceksiniz. Oranları, ihtiyacınız olan açının tanjantını belirler ve bu trigonometrik fonksiyonun ayrıca teğet değerini açı değerine - arktanjanta dönüştüren kendi antipodu vardır. Önceki adımda elde edilen dar ve geniş açı formüllerini buna göre dönüştürün: γ = arctg(2*h/(c-b)) ve α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).
Bu sorunu vektör cebiri yöntemlerini kullanarak çözmek için şu kavramları bilmeniz gerekir: geometrik vektör toplamı ve vektörlerin skaler çarpımı ve ayrıca bir dörtgenin iç açılarının toplamı özelliğini de hatırlamanız gerekir.
İhtiyacın olacak
- - kağıt;
- - dolma kalem;
- - cetvel.
Talimatlar
Bir vektör yönlendirilmiş bir parçadır, yani belirli bir eksene olan uzunluğu ve yönü (açı) verildiğinde tam olarak belirlenmiş olduğu kabul edilen bir miktardır. Vektörün konumu artık hiçbir şeyle sınırlı değil. Uzunlukları ve yönü aynı olan iki vektör eşit kabul edilir. Bu nedenle, koordinatlar kullanılırken vektörler, uç noktalarının yarıçap vektörleri ile temsil edilir (köken, koordinatların kökenindedir).
Tanım gereği: vektörlerin geometrik toplamının ortaya çıkan vektörü, birincinin başından itibaren başlayan ve birincinin sonunun ikincinin başlangıcıyla birleştirilmesi şartıyla ikincinin sonuna sahip olan bir vektördür. Bu, benzer konumdaki vektörlerden oluşan bir zincir oluşturularak daha da devam ettirilebilir.
Verilen ABCD'yi Şekil 2'de a, b, c ve d vektörleriyle çizin. 1. Açıkçası, bu düzenlemeyle elde edilen vektör d=a+ b+c'dir.
Bu durumda a ve d vektörlerine göre skaler çarpım daha uygundur. (a, d)= |a||d|cosф1 ile gösterilen nokta çarpım. Burada φ1 a ve d vektörleri arasındaki açıdır.
Koordinatlarla verilen vektörlerin skaler çarpımı aşağıdaki şekilde tanımlanır:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, sonra
çünkü Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).