సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక చట్టాలు. సంభావ్యత సిద్ధాంతం

అని పిలవబడే వాటిని నియంత్రించే చట్టాల సిద్ధాంతం. యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాలు. నిఘంటువు విదేశీ పదాలు, రష్యన్ భాషలో చేర్చబడింది. చుడినోవ్ A.N., 1910 ... రష్యన్ భాష యొక్క విదేశీ పదాల నిఘంటువు

సంభావ్యత సిద్ధాంతం- - [L.G. సుమెంకో. సమాచార సాంకేతికతపై ఆంగ్ల-రష్యన్ నిఘంటువు. M.: స్టేట్ ఎంటర్‌ప్రైజ్ TsNIIS, 2003.] అంశాలు సమాచార సాంకేతికతసాధారణంగా EN సంభావ్యత సిద్ధాంతం సంభావ్యత గణన ... సాంకేతిక అనువాదకుని గైడ్

సంభావ్యత సిద్ధాంతం- వివిధ సంఘటనల సంభావ్యత (సంభావ్యత మరియు గణాంకాలు చూడండి) మధ్య సంబంధాలను అధ్యయనం చేసే గణితశాస్త్రంలో ఒక భాగం. ఈ శాస్త్రానికి సంబంధించిన అతి ముఖ్యమైన సిద్ధాంతాలను జాబితా చేద్దాం. అనేక వాటిలో ఒకటి కాదు సంభావ్యత ఉమ్మడి సంఘటనలుసమానం...... ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువుఎఫ్. బ్రోక్‌హాస్ మరియు I.A. ఎఫ్రాన్

సంభావ్యత సిద్ధాంతం- గణిత కొన్ని యాదృచ్ఛిక సంఘటనల సంభావ్యత నుండి (చూడండి), k.lతో అనుబంధించబడిన యాదృచ్ఛిక సంఘటనల సంభావ్యతలను కనుగొనడానికి అనుమతించే శాస్త్రం. మొదటి వాటితో మార్గం. ఆధునిక T.v. A. N. కోల్మోగోరోవ్ ద్వారా ఆక్సియోమాటిక్స్ (యాక్సియోమాటిక్ పద్ధతిని చూడండి) ఆధారంగా. న…… రష్యన్ సోషియోలాజికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా

సంభావ్యత సిద్ధాంతం- గణితం యొక్క ఒక విభాగం, దీనిలో కొన్ని యాదృచ్ఛిక సంఘటనల యొక్క అందించిన సంభావ్యత ఆధారంగా, మొదటి దానికి సంబంధించిన ఇతర సంఘటనల సంభావ్యత కనుగొనబడుతుంది. సంభావ్యత సిద్ధాంతం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మరియు యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియలను కూడా అధ్యయనం చేస్తుంది. ప్రధానమైన వాటిలో ఒకటి....... భావనలు ఆధునిక సహజ శాస్త్రం. ప్రాథమిక పదాల పదకోశం

సంభావ్యత సిద్ధాంతం- tikimybių teorija హోదాలు T స్రిటిస్ ఫిజికా atitikmenys: ఆంగ్లం. సంభావ్యత సిద్ధాంతం vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. సంభావ్యత సిద్ధాంతం, f ప్రాంక్. సిద్ధాంతాలు

సంభావ్యత సిద్ధాంతం- ... వికీపీడియా

సంభావ్యత సిద్ధాంతం- యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాల నమూనాలను అధ్యయనం చేసే గణిత క్రమశిక్షణ... ఆధునిక సహజ శాస్త్రానికి నాంది

సంభావ్యత సిద్ధాంతం- (సంభావ్యత సిద్ధాంతం) సంభావ్యత చూడండి... పెద్ద వివరణాత్మక సామాజిక నిఘంటువు

సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు దాని అప్లికేషన్లు- (“సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు దాని అప్లికేషన్లు”,) సైన్స్ మ్యాగజైన్ USSR అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్ యొక్క గణిత విభాగం. అసలు కథనాలను ప్రచురిస్తుంది మరియు సంక్షిప్త సందేశాలుసంభావ్యత సిద్ధాంతం ప్రకారం, సాధారణ సమస్యలుసహజ శాస్త్రంలో గణిత గణాంకాలు మరియు వాటి అప్లికేషన్లు మరియు... ... పెద్దది సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా

పుస్తకాలు

• సంభావ్యత సిద్ధాంతం. , Ventzel E.S.. ఈ పుస్తకం ఒక సాధారణ కళాశాల కోర్సు పరిధిలో గణిత శాస్త్రం గురించి తెలిసిన వ్యక్తుల కోసం ఉద్దేశించిన పాఠ్యపుస్తకం మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సాంకేతిక అనువర్తనాలపై ఆసక్తి ఉన్న వ్యక్తుల కోసం ఉద్దేశించబడింది... 1993 UAHకి కొనుగోలు చేయండి (ఉక్రెయిన్ మాత్రమే)
• సంభావ్యత సిద్ధాంతం. , Ventzel E.S.. ఈ పుస్తకం ప్రింట్-ఆన్-డిమాండ్ టెక్నాలజీని ఉపయోగించి మీ ఆర్డర్‌కు అనుగుణంగా ఉత్పత్తి చేయబడుతుంది. ఈ పుస్తకం సాధారణ పరిధిలో గణితం తెలిసిన వ్యక్తుల కోసం ఉద్దేశించిన పాఠ్యపుస్తకం...

సంఘటనల వర్గీకరణ సాధ్యమైన, సంభావ్య మరియు యాదృచ్ఛికంగా. సాధారణ మరియు సంక్లిష్టమైన ప్రాథమిక సంఘటనల భావనలు. సంఘటనలపై కార్యకలాపాలు. క్లాసిక్ నిర్వచనంయాదృచ్ఛిక సంఘటన మరియు దాని లక్షణాలు సంభావ్యత. సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో కాంబినేటరిక్స్ యొక్క మూలకాలు. రేఖాగణిత సంభావ్యత. సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రాలు.

ఈవెంట్ వర్గీకరణ

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో ఒకటి ఈవెంట్ యొక్క భావన. కింద సంఘటనఅనుభవం లేదా పరీక్ష ఫలితంగా సంభవించే ఏదైనా వాస్తవాన్ని అర్థం చేసుకోండి. కింద అనుభవం, లేదా పరీక్ష, నిర్దిష్ట షరతుల అమలును సూచిస్తుంది.

సంఘటనల ఉదాహరణలు:

- తుపాకీ నుండి కాల్చేటప్పుడు లక్ష్యాన్ని చేధించడం (అనుభవం - షాట్ చేయడం; ఈవెంట్ - లక్ష్యాన్ని చేధించడం);
– మూడు సార్లు ఒక నాణెం విసిరినప్పుడు రెండు చిహ్నాలను కోల్పోవడం (అనుభవం - మూడు సార్లు ఒక నాణెం విసరడం; ఈవెంట్ - రెండు చిహ్నాలను కోల్పోవడం);
– లక్ష్యానికి పరిధిని కొలిచేటప్పుడు పేర్కొన్న పరిమితుల్లో కొలత లోపం కనిపించడం (అనుభవం - పరిధి కొలత; ఈవెంట్ - కొలత లోపం).

లెక్కలేనన్ని ఉన్నాయి ఇలాంటి ఉదాహరణలు. ఈవెంట్‌లు నిర్దేశించబడ్డాయి పెద్ద అక్షరాలలో లాటిన్ వర్ణమాలమొదలైనవి

వేరు చేయండి ఉమ్మడి సంఘటనలుమరియు అననుకూలమైనది. వాటిలో ఒకటి సంభవించినప్పుడు మరొకటి సంభవించడాన్ని మినహాయించకపోతే సంఘటనలను ఉమ్మడి అంటారు. IN లేకుంటేసంఘటనలు అననుకూలమైనవిగా పిలువబడతాయి. ఉదాహరణకు, రెండు పాచికలు విసిరివేయబడతాయి. ఈవెంట్ - మొదటి మూడు పాయింట్లను పొందడం పాచికలు, ఈవెంట్ అనేది రెండవ డైలో మూడు పాయింట్లు కోల్పోవడం. మరియు - ఉమ్మడి సంఘటనలు. స్టోర్ అదే శైలి మరియు పరిమాణం యొక్క బూట్లు బ్యాచ్ అందుకోవడానికి లెట్, కానీ వివిధ రంగు. ఈవెంట్ - యాదృచ్ఛికంగా తీసిన పెట్టెలో నల్ల బూట్లు ఉంటాయి, ఈవెంట్ - పెట్టెలో బూట్లు ఉంటాయి గోధుమ రంగు, మరియు అననుకూల సంఘటనలు.

ఈవెంట్ అంటారు నమ్మదగిన, ఇచ్చిన ప్రయోగం యొక్క పరిస్థితులలో ఇది ఖచ్చితంగా సంభవిస్తే.

ఇచ్చిన అనుభవం యొక్క పరిస్థితులలో అది జరగకపోతే ఒక సంఘటన అసాధ్యం అంటారు. ఉదాహరణకు, ప్రామాణిక భాగాల బ్యాచ్ నుండి ప్రామాణిక భాగం తీసుకోబడిన సంఘటన నమ్మదగినది, కానీ ప్రామాణికం కాని భాగం అసాధ్యం.

ఈవెంట్ అంటారు సాధ్యం, లేదా యాదృచ్ఛికంగా, అనుభవం ఫలితంగా అది కనిపించవచ్చు, కానీ అది కనిపించకపోవచ్చు. యాదృచ్ఛిక సంఘటనకు ఉదాహరణ బ్యాచ్ తనిఖీ సమయంలో ఉత్పత్తి లోపాలను గుర్తించడం పూర్తి ఉత్పత్తులు, ప్రాసెస్ చేయబడిన ఉత్పత్తి పరిమాణం మరియు పేర్కొన్న దాని మధ్య వ్యత్యాసం, లింక్‌లలో ఒకదాని వైఫల్యం ఆటోమేటెడ్ సిస్టమ్నిర్వహణ.

ఈవెంట్స్ అంటారు సమానంగా సాధ్యం, ఒకవేళ, పరీక్ష పరిస్థితుల ప్రకారం, ఈ ఈవెంట్‌లలో ఏదీ నిష్పక్షపాతంగా ఇతరుల కంటే ఎక్కువ సాధ్యం కాదు. ఉదాహరణకు, ఒక దుకాణానికి లైట్ బల్బులు (మరియు లోపల సమాన పరిమాణంలో) అనేక ఉత్పాదక ప్లాంట్లు. ఈ కర్మాగారాల్లో ఏదైనా ఒక లైట్ బల్బ్ కొనుగోలుకు సంబంధించిన ఈవెంట్‌లు సమానంగా సాధ్యమే.

ఒక ముఖ్యమైన భావన సంఘటనల పూర్తి సమూహం. ఈ ప్రయోగ రూపంలో అనేక సంఘటనలు పూర్తి సమూహం, వాటిలో కనీసం ఒకటైనా ప్రయోగం ఫలితంగా ఖచ్చితంగా కనిపిస్తే. ఉదాహరణకు, ఒక పాత్రలో పది బంతులు ఉంటాయి, వాటిలో ఆరు ఎరుపు, నాలుగు తెలుపు మరియు ఐదు బంతుల్లో సంఖ్యలు ఉంటాయి. - ఒక డ్రాతో ఎర్ర బంతి రూపాన్ని, - రూపాన్ని తెల్లని బంతి, - సంఖ్యతో ఒక బంతి రూపాన్ని. ఈవెంట్‌లు ఉమ్మడి ఈవెంట్‌ల పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

వ్యతిరేక లేదా అదనపు సంఘటన యొక్క భావనను పరిచయం చేద్దాం. కింద ఎదురుగాఏదైనా సంఘటన జరగకపోతే తప్పనిసరిగా జరిగే సంఘటనగా ఒక సంఘటన అర్థం అవుతుంది. వ్యతిరేక సంఘటనలు అననుకూలమైనవి మరియు సాధ్యమయ్యేవి మాత్రమే. వారు సంఘటనల పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తారు. ఉదాహరణకు, ఉత్పత్తి చేయబడిన ఉత్పత్తుల యొక్క బ్యాచ్ మంచి మరియు లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తులను కలిగి ఉంటే, ఒక ఉత్పత్తిని తీసివేయబడినప్పుడు, అది మంచి-సంఘటన లేదా లోపభూయిష్ట-సంఘటనగా మారవచ్చు.

సంఘటనలపై కార్యకలాపాలు

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో యాదృచ్ఛిక సంఘటనలను అధ్యయనం చేయడానికి ఉపకరణం మరియు పద్దతిని అభివృద్ధి చేస్తున్నప్పుడు, సంఘటనల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తి యొక్క భావన చాలా ముఖ్యమైనది.

అనేక ఈవెంట్‌ల మొత్తం లేదా యూనియన్ ఈ ఈవెంట్‌లలో కనీసం ఒకదానిని కలిగి ఉన్న ఈవెంట్.

సంఘటనల మొత్తం క్రింది విధంగా సూచించబడింది:

ఉదాహరణకు, ఒక ఈవెంట్ మొదటి షాట్‌తో లక్ష్యాన్ని చేధిస్తున్నట్లయితే, ఒక ఈవెంట్ - రెండవదానితో, ఈవెంట్ సాధారణంగా లక్ష్యాన్ని చేధిస్తున్నట్లయితే, అది ఏ షాట్‌తో పట్టింపు లేదు - మొదటిది, రెండవది లేదా రెండూ.

అనేక ఈవెంట్‌ల ఉత్పత్తి లేదా ఖండన అనేది ఈ అన్ని ఈవెంట్‌ల ఉమ్మడి సంఘటనతో కూడిన సంఘటన.

సంఘటనల ఉత్పత్తి సూచించబడింది

ఉదాహరణకు, మొదటి షాట్‌తో లక్ష్యాన్ని కొట్టిన సంఘటన అయితే, రెండవ షాట్‌తో లక్ష్యాన్ని కొట్టిన సంఘటన అయితే, రెండు షాట్‌లతో లక్ష్యాన్ని కొట్టిన సంఘటన.

సంఘటనల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తి యొక్క భావనలు స్పష్టమైన రేఖాగణిత వివరణను కలిగి ఉంటాయి. ఈవెంట్ ప్రాంతంలోకి ప్రవేశించే పాయింట్‌ను కలిగి ఉండనివ్వండి, ఈవెంట్ ప్రాంతంలోకి ప్రవేశించడాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఆపై ఈవెంట్ అంజీర్‌లో షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతంలోకి వచ్చే పాయింట్‌ను కలిగి ఉంటుంది. 1, మరియు ఈవెంట్ అనేది అంజీర్‌లో షేడ్ చేయబడిన ప్రాంతాన్ని ఒక పాయింట్ తాకినప్పుడు. 2.

యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం

సంఘటనలు సంభవించే అవకాశం యొక్క స్థాయికి అనుగుణంగా పరిమాణాత్మకంగా సరిపోల్చడానికి, ఒక సంఖ్యాపరమైన కొలత ప్రవేశపెట్టబడింది, దీనిని ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అని పిలుస్తారు.

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అనేది ఒక సంఘటన యొక్క ఆబ్జెక్టివ్ అవకాశం యొక్క కొలతను వ్యక్తీకరించే సంఖ్య.

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత చిహ్నం ద్వారా సూచించబడుతుంది.

ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత దానికి అనుకూలమైన కేసుల సంఖ్య యొక్క నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది, మొత్తం సంఖ్యలో ప్రత్యేకంగా సాధ్యమయ్యే, సమానంగా సాధ్యమయ్యే మరియు అననుకూల కేసుల సంఖ్య.అనగా

ఇది సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం. అందువల్ల, ఒక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనడానికి, పరీక్ష యొక్క వివిధ ఫలితాలను పరిగణనలోకి తీసుకున్న తర్వాత, ప్రత్యేకంగా సాధ్యమయ్యే, సమానంగా సాధ్యమయ్యే మరియు అననుకూల కేసుల సమితిని కనుగొనడం, వాటి మొత్తం సంఖ్య, ఇచ్చిన వాటికి అనుకూలమైన కేసుల సంఖ్యను లెక్కించడం అవసరం. ఈవెంట్, ఆపై ఫార్ములా (1.1) ఉపయోగించి గణనను నిర్వహించండి.

ఫార్ములా (1.1) నుండి ఇది ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అని అనుసరిస్తుంది ప్రతికూల సంఖ్యమరియు మొత్తం కేసుల సంఖ్యకు అనుకూలమైన కేసుల సంఖ్య ఎంత నిష్పత్తిలో ఉందో బట్టి సున్నా నుండి ఒకటికి మారవచ్చు:

సంభావ్యత యొక్క లక్షణాలు

ఆస్తి 1. ఇచ్చిన ఈవెంట్‌కు అన్ని సందర్భాలు అనుకూలంగా ఉంటే, ఈ సంఘటన ఖచ్చితంగా జరుగుతుంది. పర్యవసానంగా, ప్రశ్నలోని సంఘటన నమ్మదగినది మరియు దాని సంభవించే సంభావ్యత , ఈ సందర్భంలో నుండి

ఆస్తి 2. ఇచ్చిన ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ఒక్క సందర్భం కూడా లేకుంటే, అనుభవం ఫలితంగా ఈ సంఘటన జరగదు. పర్యవసానంగా, ప్రశ్నలోని సంఘటన అసాధ్యం, మరియు దాని సంభవించే సంభావ్యత , ఈ సందర్భంలో నుండి:

ఆస్తి 3. పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరిచే సంఘటనల సంభావ్యత ఒకదానికి సమానం.

ఆస్తి 4. వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సంఘటన యొక్క సంభావ్యత వలె అదే విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది:

వ్యతిరేక సంఘటన సంభవించడానికి అనుకూలమైన కేసుల సంఖ్య ఎక్కడ ఉంది. అందువల్ల వ్యతిరేక సంఘటన సంభవించే సంభావ్యత ఐక్యత మరియు సంఘటన సంభవించే సంభావ్యత మధ్య వ్యత్యాసానికి సమానం:

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం యొక్క ముఖ్యమైన ప్రయోజనం ఏమిటంటే, దాని సహాయంతో ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను అనుభవాన్ని ఆశ్రయించకుండానే నిర్ణయించవచ్చు, కానీ తార్కిక తార్కికం ఆధారంగా.

ఉదాహరణ 1. ఫోన్ నంబర్‌ను డయల్ చేస్తున్నప్పుడు, చందాదారుడు ఒక అంకెను మరచిపోయి యాదృచ్ఛికంగా డయల్ చేశాడు. సరైన నంబర్ డయల్ చేయబడే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. అవసరమైన సంఖ్య డయల్ చేయబడిన సంఘటనను సూచిస్తాము. సబ్‌స్క్రైబర్ 10 అంకెలలో దేనినైనా డయల్ చేయవచ్చు మొత్తం సంఖ్యసాధ్యమయ్యే ఫలితాలు 10కి సమానం. ఈ ఫలితాలు మాత్రమే సాధ్యమయ్యేవి (సంఖ్యలలో ఒకదాన్ని తప్పనిసరిగా నమోదు చేయాలి) మరియు సమానంగా సాధ్యమవుతాయి (సంఖ్యను యాదృచ్ఛికంగా నమోదు చేయాలి). ఈవెంట్‌కు ఒక ఫలితం మాత్రమే అనుకూలంగా ఉంటుంది (అవసరమైన ఒక సంఖ్య మాత్రమే ఉంది). అవసరమైన సంభావ్యత అన్ని ఫలితాల సంఖ్యకు ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది:

కాంబినేటరిక్స్ యొక్క అంశాలు

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, ప్లేస్‌మెంట్‌లు, ప్రస్తారణలు మరియు కలయికలు తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి. ఒక సెట్ ఇచ్చినట్లయితే, అప్పుడు ప్లేస్‌మెంట్ (కలయిక)ద్వారా మూలకాలు సెట్ యొక్క మూలకాల యొక్క ఏదైనా ఆర్డర్ (క్రమం చేయని) ఉపసమితి. ఉంచినప్పుడు అంటారు పునర్వ్యవస్థీకరణమూలకాల నుండి.

ఉదాహరణకు, ఒక సెట్ ఇవ్వండి. ఈ రెండు సెట్లలోని మూడు మూలకాల యొక్క స్థానాలు , , , , , ; కలయికలు - , , .

రెండు కలయికలు కనీసం ఒక మూలకంలో విభిన్నంగా ఉంటాయి మరియు ప్లేస్‌మెంట్‌లు మూలకాలలో లేదా అవి కనిపించే క్రమంలో విభిన్నంగా ఉంటాయి. ద్వారా మూలకాల కలయికల సంఖ్య సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది

ద్వారా మూలకాల ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్య; - మూలకాల ప్రస్తారణల సంఖ్య.

ఉదాహరణ 2. 10 భాగాల బ్యాచ్‌లో 7 ప్రామాణికమైనవి ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న 6 భాగాలలో ఖచ్చితంగా 4 ప్రామాణికమైనవి ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. సాధ్యమయ్యే పరీక్ష ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య 10 నుండి 6 భాగాలను సంగ్రహించే మార్గాల సంఖ్యకు సమానం, అనగా 6 యొక్క 10 మూలకాల కలయికల సంఖ్యకు సమానం. ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య (6లో తీసుకున్న భాగాలు ఖచ్చితంగా 4 ప్రామాణికమైనవి) ఈ క్రింది విధంగా నిర్ణయించబడతాయి: 4 ప్రామాణిక భాగాలను 7 ప్రామాణిక భాగాల నుండి వివిధ మార్గాల్లో తీసుకోవచ్చు; ఈ సందర్భంలో, మిగిలిన భాగాలు తప్పనిసరిగా ప్రామాణికం కానివిగా ఉండాలి; ప్రామాణికం కాని భాగాల నుండి 2 ప్రామాణికం కాని భాగాలను తీసుకోవడానికి మార్గాలు ఉన్నాయి. కాబట్టి, అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది. ప్రారంభ సంభావ్యత అన్ని ఫలితాల సంఖ్యకు ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తికి సమానం:

సంభావ్యత యొక్క గణాంక నిర్వచనం

ఫార్ములా (1.1) ఉపయోగించబడుతుంది ప్రత్యక్ష గణనఅనుభవం కేసుల నమూనాకు తగ్గించబడినప్పుడు మాత్రమే సంఘటనల సంభావ్యత. ఆచరణలో, సంభావ్యత యొక్క సాంప్రదాయిక నిర్వచనం తరచుగా రెండు కారణాల వల్ల వర్తించదు: మొదటిది, సంభావ్యత యొక్క సాంప్రదాయిక నిర్వచనం మొత్తం కేసుల సంఖ్య పరిమితంగా ఉండాలి అని ఊహిస్తుంది. నిజానికి, ఇది తరచుగా పరిమితం కాదు. రెండవది, ఒక ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలను సమానంగా సాధ్యమయ్యే మరియు అననుకూల సంఘటనల రూపంలో ప్రదర్శించడం తరచుగా అసాధ్యం.

పునరావృతమయ్యే ప్రయోగాల సమయంలో సంఘటనల యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ కొంత స్థిరమైన విలువ చుట్టూ స్థిరీకరించబడుతుంది. అందువలన, కొన్ని స్థిరమైన విలువ, దీని చుట్టూ పౌనఃపున్యాలు సమూహం చేయబడ్డాయి మరియు ప్రయోగాలు నిర్వహించబడే పరిస్థితుల సెట్ మరియు ఈవెంట్ మధ్య లక్ష్య కనెక్షన్ యొక్క లక్షణం.

యాదృచ్ఛిక ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అనేది ట్రయల్స్ సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ ఈ ఈవెంట్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీలు సమూహం చేయబడే సంఖ్య.

సంభావ్యత యొక్క ఈ నిర్వచనం అంటారు గణాంకపరమైన.

అడ్వాంటేజ్ గణాంక పద్ధతిసంభావ్యత యొక్క నిర్వచనం ఏమిటంటే ఇది నిజమైన ప్రయోగంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అయినప్పటికీ, దాని ముఖ్యమైన లోపం ఏమిటంటే, సంభావ్యతను నిర్ణయించడానికి ఇది అవసరం పెద్ద సంఖ్యచాలా తరచుగా అనుబంధించబడిన అనుభవాలు పదార్థం ఖర్చులు. ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత యొక్క గణాంక నిర్వచనం, ఈ భావన యొక్క కంటెంట్‌ను పూర్తిగా బహిర్గతం చేసినప్పటికీ, వాస్తవానికి సంభావ్యతను లెక్కించడం సాధ్యం కాదు.

సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం పూర్తి సమూహాన్ని పరిగణిస్తుంది పరిమిత సంఖ్యసమానంగా సాధ్యమయ్యే సంఘటనలు. ఆచరణలో, చాలా తరచుగా సాధ్యమయ్యే పరీక్ష ఫలితాల సంఖ్య అనంతం. అటువంటి సందర్భాలలో, సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం వర్తించదు. అయితే, కొన్నిసార్లు అలాంటి సందర్భాలలో మీరు సంభావ్యతను లెక్కించే మరొక పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. నిశ్చయత కోసం, మేము రెండు డైమెన్షనల్ కేసుకు మమ్మల్ని పరిమితం చేస్తాము.

విస్తీర్ణంలోని ఒక నిర్దిష్ట ప్రాంతం , ఇది ప్రాంతం యొక్క మరొక ప్రాంతాన్ని కలిగి ఉంటుంది, విమానంలో ఇవ్వబడుతుంది (Fig. 3). యాదృచ్ఛికంగా ప్రాంతంలోకి ఒక చుక్క విసిరివేయబడుతుంది. ఒక పాయింట్ ప్రాంతంలోకి వచ్చే సంభావ్యత ఏమిటి? యాదృచ్ఛికంగా విసిరిన పాయింట్ ఈ ప్రాంతంలోని ఏదైనా బిందువును తాకగలదని భావించబడుతుంది మరియు ప్రాంతంలోని ఏదైనా భాగాన్ని కొట్టే సంభావ్యత భాగం యొక్క వైశాల్యానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది మరియు దాని స్థానం మరియు ఆకృతిపై ఆధారపడి ఉండదు. ఈ సందర్భంలో, ప్రాంతంలోకి ప్రవేశించే సంభావ్యత

అందువలన, లో సాధారణ కేసు, ఒక నిర్దిష్ట ప్రాంతం లోపల ఒక సరళ రేఖ, విమానం లేదా అంతరిక్షంలో ఒక బిందువు యాదృచ్ఛికంగా కనిపించే అవకాశం ఈ ప్రాంతం మరియు దాని సరిహద్దుల ద్వారా కాకుండా దాని పరిమాణం, అంటే పొడవు, వైశాల్యం లేదా వాల్యూమ్ ద్వారా మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది. అప్పుడు హిట్ సంభావ్యత యాదృచ్ఛిక పాయింట్ఒక నిర్దిష్ట ప్రాంతం లోపల ఈ ప్రాంతం యొక్క పరిమాణం మరియు అది కనిపించే మొత్తం ప్రాంతం యొక్క పరిమాణం యొక్క నిష్పత్తిగా నిర్వచించబడింది పాయింట్ ఇచ్చారు. అక్కడ ఉంది రేఖాగణిత నిర్వచనంసంభావ్యతలు.

ఉదాహరణ 3. ఒక రౌండ్ లక్ష్యం స్థిరంగా తిరుగుతుంది కోణీయ వేగం. లక్ష్యంలో ఐదవ వంతు ఆకుపచ్చగా పెయింట్ చేయబడింది మరియు మిగిలినది తెలుపు (Fig. 4). లక్ష్యాన్ని చేధించడం నమ్మదగిన సంఘటనగా భావించే విధంగా లక్ష్యంపై షాట్ కాల్చబడుతుంది. రంగులో ఉన్న లక్ష్య రంగాన్ని కొట్టే సంభావ్యతను గుర్తించడం అవసరం ఆకుపచ్చ రంగు.

పరిష్కారం. "షాట్ సెక్టార్ కలర్ గ్రీన్‌ను తాకింది" అని సూచిస్తాము. అప్పుడు . లక్ష్యం యొక్క మొత్తం ప్రాంతానికి ఆకుపచ్చ పెయింట్ చేయబడిన లక్ష్యం యొక్క భాగం యొక్క వైశాల్యం యొక్క నిష్పత్తిగా సంభావ్యత పొందబడుతుంది, ఎందుకంటే లక్ష్యం యొక్క ఏదైనా భాగంలో హిట్‌లు సమానంగా సాధ్యమవుతాయి.

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రాలు

నుండి గణాంక నిర్వచనంయాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఈ సంఘటన యొక్క ప్రయోగాత్మకంగా గమనించిన పౌనఃపున్యాలు సమూహం చేయబడిన సంఖ్యను ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అని అనుసరిస్తుంది. అందువల్ల, సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రాలు ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి, తద్వారా ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది.

సూత్రం 1. ప్రతి సంఘటనకు అనుగుణంగా ఉంటుంది నిర్దిష్ట సంఖ్య, పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచడం మరియు దాని సంభావ్యత అని పిలుస్తారు.

అమ్మ ఫ్రేమ్ కడుగుతారు

దీర్ఘ ముగింపులో వేసవి సెలవులుఇది నెమ్మదిగా ఉన్నత గణితానికి తిరిగి రావడానికి మరియు కొత్త విభాగాన్ని సృష్టించడం ప్రారంభించడానికి ఖాళీ వెర్డోవ్ ఫైల్‌ను గంభీరంగా తెరవడానికి సమయం ఆసన్నమైంది - . నేను అంగీకరిస్తున్నాను, మొదటి పంక్తులు సులభం కాదు, కానీ మొదటి అడుగు సగం మార్గం, కాబట్టి ప్రతి ఒక్కరూ జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేయాలని నేను సూచిస్తున్నాను పరిచయ వ్యాసం, దీని తర్వాత టాపిక్‌ను మాస్టరింగ్ చేయడం 2 రెట్లు సులభం అవుతుంది! నేను అస్సలు అతిశయోక్తి కాదు. …తదుపరి సెప్టెంబర్ 1వ తేదీ సందర్భంగా, నాకు మొదటి తరగతి మరియు ప్రైమర్ గుర్తుంది…. అక్షరాలు అక్షరాలుగా, అక్షరాలు పదాలుగా, పదాలుగా ఏర్పడతాయి చిన్న వాక్యాలు- అమ్మ ఫ్రేమ్ కడుగుతారు. టెర్వర్‌ను ఎదుర్కోవడం మరియు గణిత గణాంకాలుచదవడం నేర్చుకున్నంత సులభం! అయితే, దీని కోసం మీరు కీలక నిబంధనలు, భావనలు మరియు హోదాలు, అలాగే కొన్నింటిని తెలుసుకోవాలి నిర్దిష్ట నియమాలు, ఈ పాఠం అంకితం చేయబడింది.

అయితే ముందుగా, దయచేసి ప్రారంభంలో నా అభినందనలను అంగీకరించండి (కొనసాగింపు, పూర్తి, తగినట్లుగా గమనించండి) విద్యా సంవత్సరంమరియు బహుమతిని అంగీకరించండి. ఉత్తమ బహుమతి ఒక పుస్తకం, మరియు కోసం స్వతంత్ర పనినేను ఈ క్రింది సాహిత్యాన్ని సిఫార్సు చేస్తున్నాను:

1) గ్ముర్మాన్ V.E. సంభావ్యత మరియు గణిత గణాంకాల సిద్ధాంతం

లెజెండరీ ట్యుటోరియల్, ఇది పది కంటే ఎక్కువ పునర్ముద్రణల ద్వారా వెళ్ళింది. ఇది దాని తెలివితేటలు మరియు మెటీరియల్ యొక్క చాలా సరళమైన ప్రదర్శన ద్వారా వేరు చేయబడింది మరియు మొదటి అధ్యాయాలు పూర్తిగా అందుబాటులో ఉన్నాయి, ఇప్పటికే 6-7 తరగతుల విద్యార్థుల కోసం.

2) గ్ముర్మాన్ V.E. సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఒక గైడ్ మరియు గణిత గణాంకాలు

వివరణాత్మక ఉదాహరణలు మరియు సమస్యలతో అదే వ్లాదిమిర్ ఎఫిమోవిచ్ యొక్క పరిష్కార పుస్తకం.

తప్పనిసరిగారెండు పుస్తకాలను ఇంటర్నెట్ నుండి డౌన్‌లోడ్ చేసుకోండి లేదా వాటి పేపర్ ఒరిజినల్‌లను పొందండి! 60లు మరియు 70ల నాటి వెర్షన్ కూడా పని చేస్తుంది, ఇది డమ్మీస్‌కు మరింత మంచిది. "డమ్మీస్ కోసం సంభావ్యత సిద్ధాంతం" అనే పదబంధం చాలా హాస్యాస్పదంగా ఉన్నప్పటికీ, దాదాపు ప్రతిదీ ప్రాథమికంగా పరిమితం చేయబడింది. అంకగణిత కార్యకలాపాలు. అయినప్పటికీ, వారు కొన్ని ప్రదేశాలలో దాటవేస్తారు ఉత్పన్నాలుమరియు సమగ్రతలు, కానీ ఇది ప్రదేశాలలో మాత్రమే.

నేను ప్రెజెంటేషన్ యొక్క అదే స్పష్టతను సాధించడానికి ప్రయత్నిస్తాను, కానీ నా కోర్సు లక్ష్యంగా ఉందని నేను హెచ్చరించాలి సమస్య పరిష్కారంమరియు సైద్ధాంతిక లెక్కలు కనిష్టంగా ఉంచబడతాయి. అందువల్ల, మీకు వివరణాత్మక సిద్ధాంతం, సిద్ధాంతాల రుజువులు (సిద్ధాంతాలు-సిద్ధాంతాలు!) అవసరమైతే, దయచేసి పాఠ్యపుస్తకాన్ని చూడండి. బాగా, ఎవరికి కావాలి సమస్యలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోండిసంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు గణిత గణాంకాలలో గరిష్టంగా తక్కువ సమయం , నన్ను అనుసరించు!

ప్రారంభానికి ఇది సరిపోతుంది =)

మీరు కథనాలను చదివేటప్పుడు, మిమ్మల్ని మీరు (కనీసం క్లుప్తంగా) పరిచయం చేసుకోవడం మంచిది అదనపు పనులుపరిగణించబడిన జాతులు. పేజీలో ఉన్నత గణితానికి రెడీమేడ్ సొల్యూషన్స్పరిష్కారాల ఉదాహరణలతో సంబంధిత pdfలు పోస్ట్ చేయబడతాయి. గణనీయమైన సహాయం కూడా అందించబడుతుంది IDZ 18.1 ర్యాబుష్కో(సరళమైనది) మరియు Chudesenko సేకరణ ప్రకారం IDZ పరిష్కరించబడింది(మరింత కష్టం).

1) మొత్తంరెండు సంఘటనలు మరియు ఈవెంట్ అంటారు అంటే అది జరుగుతుంది లేదాసంఘటన లేదాసంఘటన లేదారెండు సంఘటనలు ఒకే సమయంలో. ఆ సంఘటనలలో అననుకూలమైనది, చివరి ఎంపికఅదృశ్యమవుతుంది, అంటే అది సంభవించవచ్చు లేదాసంఘటన లేదాసంఘటన .

నియమం కూడా వర్తిస్తుంది పెద్ద పరిమాణంనిబంధనలు, ఉదాహరణకు, ఈవెంట్ ఏమి జరుగుతుంది కనీసం ఒక్కటిసంఘటనల నుండి , ఎ సంఘటనలు విరుద్ధంగా ఉంటే – అప్పుడు ఒక విషయం మరియు ఒకే ఒక విషయంఈ మొత్తం నుండి ఈవెంట్: లేదాసంఘటన, లేదాసంఘటన, లేదాసంఘటన, లేదాసంఘటన, లేదాసంఘటన .

చాలా ఉదాహరణలు ఉన్నాయి:

ఈవెంట్స్ (పాచికలు విసిరినప్పుడు, 5 పాయింట్లు కనిపించవు) అనేది కనిపిస్తుంది లేదా 1, లేదా 2, లేదా 3, లేదా 4, లేదా 6 పాయింట్లు.

ఈవెంట్ (పడిపోతుంది ఇక లేదురెండు పాయింట్లు) అంటే 1 కనిపిస్తుంది లేదా 2పాయింట్లు.

ఈవెంట్ (చేస్తాను సరి సంఖ్యపాయింట్లు) రోల్ చేయబడుతుంది లేదా 2 లేదా 4 లేదా 6 పాయింట్లు.

ఈవెంట్ డెక్ నుండి రెడ్ కార్డ్ (గుండె) డ్రా అవుతుంది లేదాటాంబురైన్), మరియు ఈవెంట్ – “చిత్రం” సంగ్రహించబడుతుంది (జాక్ లేదాస్త్రీ లేదారాజు లేదాఏస్).

ఉమ్మడి సంఘటనల విషయంలో కొంచెం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది:

ఈవెంట్ డెక్ నుండి ఒక క్లబ్ డ్రా అవుతుంది లేదాఏడు లేదాఏడు క్లబ్బులు పైన ఇచ్చిన నిర్వచనం ప్రకారం, కనీసం ఏదో- లేదా ఏదైనా క్లబ్ లేదా ఏదైనా ఏడు లేదా వాటి “ఖండన” - ఏడు క్లబ్‌లు. ఈ ఈవెంట్ 12 ప్రాథమిక ఫలితాలకు (9 క్లబ్ కార్డ్‌లు + 3 మిగిలిన సెవెన్‌లు) అనుగుణంగా ఉన్నట్లు లెక్కించడం సులభం.

ఈవెంట్ రేపు 12.00 గంటలకు వస్తుంది సంగ్రహించదగిన ఉమ్మడి ఈవెంట్‌లలో కనీసం ఒకటి, అవి:

– లేదా వర్షం మాత్రమే ఉంటుంది / ఉరుము మాత్రమే ఉంటుంది / సూర్యుడు మాత్రమే ఉంటుంది;
– లేదా కొన్ని జంట సంఘటనలు మాత్రమే జరుగుతాయి (వర్షం + ఉరుములతో కూడిన వర్షం + సూర్యుడు / ఉరుములతో కూడిన వర్షం + సూర్యుడు);
- లేదా మూడు ఈవెంట్‌లు ఏకకాలంలో కనిపిస్తాయి.

అంటే, ఈవెంట్ 7 సాధ్యమైన ఫలితాలను కలిగి ఉంటుంది.

సంఘటనల బీజగణితం యొక్క రెండవ స్తంభం:

2) పనిరెండు సంఘటనలు మరియు ఈ సంఘటనల ఉమ్మడి సంఘటనను కలిగి ఉన్న ఈవెంట్‌ని పిలవండి, మరో మాటలో చెప్పాలంటే, గుణకారం అంటే కొన్ని పరిస్థితులలో ఉంటుంది మరియుసంఘటన, మరియుసంఘటన . ఇదే విధమైన ప్రకటన పెద్ద సంఖ్యలో ఈవెంట్‌లకు వర్తిస్తుంది, ఉదాహరణకు, ఒక పని కొన్ని పరిస్థితులలో అది జరుగుతుందని సూచిస్తుంది మరియుసంఘటన, మరియుసంఘటన, మరియుఈవెంట్,…, మరియుసంఘటన .

రెండు నాణేలు విసిరిన పరీక్షను పరిగణించండి మరియు క్రింది సంఘటనలు:

– 1వ నాణెంపై తలలు కనిపిస్తాయి;
– 1వ నాణెం తలలు దిగుతుంది;
- 2వ నాణెంపై తలలు కనిపిస్తాయి;
- 2వ నాణెం తలపైకి వస్తుంది.

అప్పుడు:
మరియు 2 వ తేదీన) తలలు కనిపిస్తాయి;
- ఈవెంట్ రెండు నాణేలపై (1వ తేదీన మరియు 2 వ తేదీన) అది తలలుగా ఉంటుంది;
- ఈవెంట్ ఏమిటంటే 1వ నాణెం తలపైకి వస్తుంది మరియు 2వ నాణెం తోకలు;
- ఈవెంట్ ఏమిటంటే 1వ నాణెం తలపైకి వస్తుంది మరియు 2వ నాణెం మీద డేగ ఉంది.

ఆ సంఘటనలను చూడటం చాలా సులభం అననుకూలమైనది (ఎందుకంటే, ఉదాహరణకు, ఇది ఒకే సమయంలో 2 తలలు మరియు 2 తోకలు ఉండకూడదు)మరియు రూపం పూర్తి సమూహం (పరిగణలోకి తీసుకున్నప్పటి నుండి అన్నీరెండు నాణేలను విసిరివేయడం వల్ల సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు). ఈ సంఘటనలను సంగ్రహిద్దాం: . ఈ ఎంట్రీని ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి? చాలా సులభం - గుణకారం అంటే తార్కిక కనెక్టివ్ మరియు, మరియు అదనంగా - లేదా. కాబట్టి మొత్తం చదవడం మరియు అర్థం చేసుకోవడం సులభం మానవ భాష: “రెండు తలలు కనిపిస్తాయి లేదారెండు తలలు లేదా 1వ నాణెం తలపైకి వస్తుంది మరియు 2 వ తోకల మీద లేదా 1వ నాణెం తలపైకి వస్తుంది మరియు 2వ నాణెం మీద డేగ ఉంది"

ఇది ఎప్పుడు ఒక ఉదాహరణ ఒక పరీక్షలోఅనేక వస్తువులు చేరి ఉన్నాయి, ఈ విషయంలో- రెండు నాణేలు. మరొక సాధారణం ఆచరణాత్మక సమస్యలుఓ రేఖాచిత్రం ఉంది తిరిగి పరీక్షించడం , ఉదాహరణకు, అదే డైని వరుసగా 3 సార్లు చుట్టినప్పుడు. ప్రదర్శనగా, ఈ క్రింది సంఘటనలను పరిగణించండి:

– 1వ త్రోలో మీరు 4 పాయింట్లు పొందుతారు;
- 2వ త్రోలో మీరు 5 పాయింట్లు పొందుతారు;
- 3వ త్రోలో మీరు 6 పాయింట్లు పొందుతారు.

తర్వాత ఈవెంట్ అంటే 1వ త్రోలో మీరు 4 పాయింట్లు పొందుతారు మరియు 2వ త్రోలో మీరు 5 పాయింట్లు పొందుతారు మరియు 3వ రోల్‌లో మీరు 6 పాయింట్లను పొందుతారు. సహజంగానే, ఒక క్యూబ్ విషయంలో మనం నాణెం విసిరే దానికంటే చాలా ఎక్కువ కలయికలు (ఫలితాలు) ఉంటాయి.

... బహుశా వారు బాగా అర్థం చేసుకోలేరని నేను అర్థం చేసుకున్నాను ఆసక్తికరమైన ఉదాహరణలు, కానీ ఇవి తరచుగా సమస్యలలో ఎదురయ్యే విషయాలు మరియు వాటి నుండి తప్పించుకోవడం లేదు. ఒక నాణెం, క్యూబ్ మరియు కార్డుల డెక్‌తో పాటు, బహుళ వర్ణ బంతులతో కూడిన గిన్నెలు, అనేక మంది అనామకులు లక్ష్యంగా కాల్పులు జరుపుతున్నారు మరియు నిరంతరం కొన్ని వివరాలను గ్రైండ్ చేసే అలసిపోని కార్మికుడు మీ కోసం వేచి ఉన్నారు =)

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత

ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క కేంద్ర భావన. ...కిల్లర్ తార్కిక విషయం, కానీ మనం ఎక్కడో ప్రారంభించవలసి వచ్చింది =) దాని నిర్వచనానికి అనేక విధానాలు ఉన్నాయి:

;
సంభావ్యత యొక్క రేఖాగణిత నిర్వచనం ;
సంభావ్యత యొక్క గణాంక నిర్వచనం .

ఈ వ్యాసంలో నేను సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనంపై దృష్టి పెడతాను, ఇది విద్యా పనులలో ఎక్కువగా ఉపయోగించబడుతుంది.

హోదాలు. కొన్ని సంఘటనల సంభావ్యత ఎక్కువగా సూచించబడుతుంది లాటిన్ అక్షరం, మరియు ఈవెంట్ కూడా బ్రాకెట్లలోకి తీసుకోబడుతుంది, ఇది ఒక రకమైన వాదనగా పనిచేస్తుంది. ఉదాహరణకి:

అలాగే, సంభావ్యతను సూచించడానికి చిన్న అక్షరం విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ప్రత్యేకించి, మీరు ఈవెంట్‌ల గజిబిజి హోదాలు మరియు వాటి సంభావ్యతలను వదిలివేయవచ్చు కింది శైలికి అనుకూలంగా::

- కాయిన్ టాస్ తలకు దారితీసే సంభావ్యత;
- ఒక పాచిక రోల్ 5 పాయింట్లకు దారితీసే సంభావ్యత;
- డెక్ నుండి క్లబ్ సూట్ యొక్క కార్డ్ డ్రా చేయబడే సంభావ్యత.

ఈ ఎంపికఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ప్రజాదరణ పొందింది, ఎందుకంటే ఇది పరిష్కారం యొక్క రికార్డింగ్‌ను గణనీయంగా తగ్గించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మొదటి సందర్భంలో వలె, ఇక్కడ "మాట్లాడటం" సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లు/సూపర్‌స్క్రిప్ట్‌లను ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

నేను పైన వ్రాసిన సంఖ్యలను అందరూ చాలా కాలంగా ఊహించారు మరియు ఇప్పుడు అవి ఎలా మారాయో మేము కనుగొంటాము:

సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం:

ఒక నిర్దిష్ట పరీక్షలో సంభవించే సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను నిష్పత్తి అంటారు, ఇక్కడ:

- మొత్తం మొత్తం సంఖ్య సమానంగా సాధ్యం, ప్రాథమికఈ పరీక్ష ఫలితాలు, ఏ రూపంలో ఉంటాయి సంఘటనల పూర్తి సమూహం;

- పరిమాణం ప్రాథమికఫలితాలను, అనుకూలమైన సంఘటన.

నాణెం విసిరేటప్పుడు, తలలు లేదా తోకలు బయటకు వస్తాయి - ఈ సంఘటనలు ఏర్పడతాయి పూర్తి సమూహం, అందువలన, మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య; అదే సమయంలో, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రాథమికమరియు సమానంగా సాధ్యం. ఈవెంట్ ఫలితం (హెడ్స్) ద్వారా అనుకూలంగా ఉంటుంది. సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం ప్రకారం: .

అదేవిధంగా, ఒక డైని విసిరే ఫలితంగా, ప్రాథమిక సమంగా సాధ్యమయ్యే ఫలితాలు కనిపించవచ్చు, పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది మరియు ఈవెంట్ ఒకే ఫలితం (ఐదును రోలింగ్ చేయడం) ద్వారా అనుకూలంగా ఉంటుంది. అందుకే: దీన్ని చేయడానికి అంగీకరించబడదు (అయితే మీ తలలోని శాతాలను అంచనా వేయడం నిషేధించబడలేదు).

యూనిట్ యొక్క భిన్నాలను ఉపయోగించడం ఆచారం, మరియు, స్పష్టంగా, సంభావ్యత లోపల మారవచ్చు. అంతేకాకుండా, ఉంటే, అప్పుడు ఈవెంట్ అసాధ్యం, ఉంటే - నమ్మదగిన, మరియు ఉంటే, అప్పుడు మేము గురించి మాట్లాడుతున్నారు యాదృచ్ఛికంగాసంఘటన.

! ఏదైనా సమస్యను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, మీరు ఏదైనా ఇతర సంభావ్యత విలువను పొందినట్లయితే, లోపం కోసం చూడండి!

వద్ద శాస్త్రీయ విధానంసంభావ్యతను నిర్ణయించడానికి, విపరీతమైన విలువలు (సున్నా మరియు ఒకటి) సరిగ్గా అదే తార్కికం ద్వారా పొందబడతాయి. 10 ఎర్రని బంతులను కలిగి ఉన్న ఒక నిర్దిష్ట పాత్ర నుండి 1 బంతిని యాదృచ్ఛికంగా డ్రా చేయనివ్వండి. కింది సంఘటనలను పరిగణించండి:

ఒకే ట్రయల్‌లో తక్కువ-సాధ్యత ఈవెంట్ జరగదు.

అందుకే ఈ ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత 0.00000001 అయితే మీరు లాటరీలో జాక్‌పాట్ కొట్టలేరు. అవును, అవును, ఇది మీరే - నిర్దిష్ట సర్క్యులేషన్‌లో ఉన్న ఏకైక టిక్కెట్‌తో. అయినప్పటికీ, ఎక్కువ సంఖ్యలో టిక్కెట్లు మరియు ఎక్కువ సంఖ్యలో డ్రాయింగ్‌లు మీకు పెద్దగా సహాయపడవు. ...నేను దీని గురించి ఇతరులకు చెప్పినప్పుడు, నేను దాదాపు ఎల్లప్పుడూ ప్రతిస్పందనగా వింటాను: "కానీ ఎవరైనా గెలుస్తారు." సరే, ఈ క్రింది ప్రయోగాన్ని చేద్దాం: దయచేసి ఈరోజు లేదా రేపు ఏదైనా లాటరీ కోసం టిక్కెట్‌ను కొనండి (ఆలస్యం చేయవద్దు!). మరియు మీరు గెలిస్తే ... బాగా, కనీసం 10 కిలోరూబుల్స్ కంటే ఎక్కువ, సైన్ అప్ చేయండి - ఇది ఎందుకు జరిగిందో నేను వివరిస్తాను. ఒక శాతం కోసం, కోర్సు =) =)

కానీ విచారంగా ఉండవలసిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఒక వ్యతిరేక సూత్రం ఉంది: ఏదైనా సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఒకదానికి చాలా దగ్గరగా ఉంటే, అది ఒకే ట్రయల్‌లో ఉంటుంది. దాదాపు ఖచ్చితంగాజరుగుతుంది. అందువల్ల, పారాచూట్‌తో దూకడానికి ముందు, భయపడాల్సిన అవసరం లేదు, దీనికి విరుద్ధంగా, చిరునవ్వు! అన్నింటికంటే, రెండు పారాచూట్‌లు విఫలమవడానికి పూర్తిగా ఊహించలేని మరియు అద్భుతమైన పరిస్థితులు తలెత్తాలి.

ఇదంతా సాహిత్యం అయినప్పటికీ, ఈవెంట్ యొక్క కంటెంట్‌పై ఆధారపడి, మొదటి సూత్రం ఉల్లాసంగా ఉండవచ్చు మరియు రెండవది - విచారంగా ఉంటుంది; లేదా రెండూ కూడా సమాంతరంగా ఉంటాయి.

బహుశా ప్రస్తుతానికి, తరగతిలో సరిపోతుంది సాంప్రదాయిక సంభావ్యత సమస్యలుమేము ఫార్ములా నుండి ఎక్కువ ప్రయోజనం పొందుతాము. ఈ ఆర్టికల్ చివరి భాగంలో మనం ఒకదాన్ని పరిశీలిస్తాము ముఖ్యమైన సిద్ధాంతం:

పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరిచే సంఘటనల సంభావ్యత మొత్తం ఒకదానికి సమానం. స్థూలంగా చెప్పాలంటే, ఈవెంట్‌లు పూర్తి సమూహంగా ఏర్పడితే, 100% సంభావ్యతతో వాటిలో ఒకటి జరుగుతుంది. చాలా లో సాధారణ కేసువ్యతిరేక సంఘటనల ద్వారా పూర్తి సమూహం ఏర్పడుతుంది, ఉదాహరణకు:

- కాయిన్ టాస్ ఫలితంగా, తలలు కనిపిస్తాయి;
- కాయిన్ టాస్ ఫలితం తలలు అవుతుంది.

సిద్ధాంతం ప్రకారం:

ఈ సంఘటనలు సమానంగా సాధ్యమేనని మరియు వాటి సంభావ్యతలు ఒకే విధంగా ఉన్నాయని ఖచ్చితంగా స్పష్టమవుతుంది .

సంభావ్యత యొక్క సమానత్వం కారణంగా, సమానంగా సాధ్యమయ్యే సంఘటనలను తరచుగా పిలుస్తారు సమానంగా సంభావ్య . మరియు మత్తు స్థాయిని నిర్ణయించడానికి ఇక్కడ నాలుక ట్విస్టర్ ఉంది =)

క్యూబ్‌తో ఉదాహరణ: ఈవెంట్‌లు వ్యతిరేకం, కాబట్టి .

పరిశీలనలో ఉన్న సిద్ధాంతం అనుకూలమైనది, ఇది వ్యతిరేక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను త్వరగా కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. కాబట్టి, ఐదు చుట్టబడిన సంభావ్యత తెలిసినట్లయితే, అది చుట్టబడని సంభావ్యతను లెక్కించడం సులభం:

ఐదు ప్రాథమిక ఫలితాల సంభావ్యతలను సంగ్రహించడం కంటే ఇది చాలా సులభం. ప్రాథమిక ఫలితాల కోసం, మార్గం ద్వారా, ఈ సిద్ధాంతంనిజం కూడా:
. ఉదాహరణకు, షూటర్ లక్ష్యాన్ని చేధించే సంభావ్యత అయితే, అతను తప్పిపోయే సంభావ్యత.

! సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, ఇతర ప్రయోజనాల కోసం అక్షరాలను ఉపయోగించడం అవాంఛనీయమైనది.

జ్ఞాన దినోత్సవాన్ని పురస్కరించుకుని, నేను అడగను ఇంటి పని=), కానీ మీరు సమాధానం చెప్పడం చాలా ముఖ్యం తదుపరి ప్రశ్నలు:

- ఏ రకమైన సంఘటనలు ఉన్నాయి?
- ఈవెంట్ యొక్క అవకాశం మరియు సమాన అవకాశం ఏమిటి?
– ఈవెంట్‌ల అనుకూలత/అనుకూలత అనే నిబంధనలను మీరు ఎలా అర్థం చేసుకున్నారు?
– సంఘటనల పూర్తి సమూహం, వ్యతిరేక సంఘటనలు అంటే ఏమిటి?
– సంఘటనల కూడిక మరియు గుణకారం అంటే ఏమిటి?
– సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం యొక్క సారాంశం ఏమిటి?
– పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరిచే ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతలను జోడించే సిద్ధాంతం ఎందుకు ఉపయోగపడుతుంది?

లేదు, మీరు దేనినీ క్రామ్ చేయవలసిన అవసరం లేదు, ఇవి సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు మాత్రమే - మీ తలపై త్వరగా సరిపోయే ఒక రకమైన ప్రైమర్. మరియు ఇది వీలైనంత త్వరగా జరగాలంటే, పాఠాలతో మిమ్మల్ని మీరు పరిచయం చేసుకోవాలని నేను సూచిస్తున్నాను

పరిచయం

మన భావనలు బలహీనంగా ఉన్నందున చాలా విషయాలు మనకు అర్థంకావు;
కానీ ఈ విషయాలు మన భావనల పరిధిలో చేర్చబడలేదు కాబట్టి.
కోజ్మా ప్రుత్కోవ్

సెకండరీ ప్రత్యేక విద్యా సంస్థలలో గణితాన్ని అధ్యయనం చేయడం యొక్క ప్రధాన లక్ష్యం ఏమిటంటే, విద్యార్థులకు ఒక డిగ్రీ లేదా మరొకటి గణితాన్ని ఉపయోగించే ఇతర ప్రోగ్రామ్ విభాగాలను అధ్యయనం చేయడానికి అవసరమైన గణిత జ్ఞానం మరియు నైపుణ్యాల సమితిని అందించడం, ఆచరణాత్మక గణనలను నిర్వహించే సామర్థ్యం, ​​నిర్మాణం మరియు అభివృద్ధి కోసం. తార్కిక ఆలోచన.

ఈ పనిలో, ప్రోగ్రామ్ మరియు సెకండరీ వొకేషనల్ ఎడ్యుకేషన్ యొక్క స్టేట్ ఎడ్యుకేషనల్ స్టాండర్డ్స్ (రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క విద్యా మంత్రిత్వ శాఖ. M., 2002) ద్వారా అందించబడిన "ఫండమెంటల్స్ ఆఫ్ ప్రాబబిలిటీ థియరీ అండ్ మ్యాథమెటికల్ స్టాటిస్టిక్స్" విభాగంలోని అన్ని ప్రాథమిక అంశాలు. ), స్థిరంగా పరిచయం చేయబడ్డాయి, ప్రధాన సిద్ధాంతాలు రూపొందించబడ్డాయి, వీటిలో చాలా వరకు నిరూపించబడలేదు. వాటిని పరిష్కరించడానికి ప్రధాన సమస్యలు మరియు పద్ధతులు మరియు ఆచరణాత్మక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఈ పద్ధతులను వర్తింపజేయడానికి సాంకేతికతలు పరిగణించబడతాయి. ప్రదర్శన వివరణాత్మక వ్యాఖ్యలు మరియు అనేక ఉదాహరణలతో కూడి ఉంటుంది.

మెథడాలాజికల్ సూచనలను అధ్యయనం చేయబడుతున్న మెటీరియల్‌తో ప్రాథమిక పరిచయం కోసం, ఉపన్యాసాలపై గమనికలు తీసుకునేటప్పుడు, సిద్ధం చేయడానికి ఉపయోగించవచ్చు. ఆచరణాత్మక తరగతులు, సంపాదించిన జ్ఞానం, నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాలను ఏకీకృతం చేయడానికి. అదనంగా, మాన్యువల్ అండర్ గ్రాడ్యుయేట్ విద్యార్థులకు రిఫరెన్స్ సాధనంగా కూడా ఉపయోగపడుతుంది, ఇది గతంలో అధ్యయనం చేసిన వాటిని త్వరగా గుర్తుకు తెచ్చుకోవడానికి వీలు కల్పిస్తుంది.

పని ముగింపులో విద్యార్థులు స్వీయ నియంత్రణ మోడ్‌లో నిర్వహించగల ఉదాహరణలు మరియు పనులు ఉన్నాయి.

మార్గదర్శకాలు పార్ట్ టైమ్ మరియు పూర్తి సమయం విద్యార్థుల కోసం ఉద్దేశించబడ్డాయి.

ప్రాథమిక భావనలు

సంభావ్యత సిద్ధాంతం సామూహిక యాదృచ్ఛిక సంఘటనల లక్ష్య నమూనాలను అధ్యయనం చేస్తుంది. ఆమె జరుగుతుంది సైద్ధాంతిక ఆధారంగణిత గణాంకాల కోసం, ఇది పరిశీలనా ఫలితాలను సేకరించడం, వివరించడం మరియు ప్రాసెస్ చేయడం కోసం పద్ధతుల అభివృద్ధితో వ్యవహరిస్తుంది. పరిశీలనల ద్వారా (పరీక్షలు, ప్రయోగాలు), అనగా. లో అనుభవం విస్తృత కోణంలోపదాలు, వాస్తవ ప్రపంచం యొక్క దృగ్విషయాల జ్ఞానం సంభవిస్తుంది.

ఆయన లో ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాలుమేము తరచుగా దృగ్విషయాలను ఎదుర్కొంటాము, దాని ఫలితాన్ని అంచనా వేయలేము, దాని ఫలితం అవకాశంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఒక యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాన్ని ట్రయల్స్ సంఖ్యకు దాని సంఘటనల సంఖ్య నిష్పత్తి ద్వారా వర్గీకరించవచ్చు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి, అన్ని ట్రయల్స్ యొక్క అదే పరిస్థితులలో, ఇది సంభవించవచ్చు లేదా జరగకపోవచ్చు.

సంభావ్యత సిద్ధాంతం అనేది గణితశాస్త్రంలో ఒక శాఖ, దీనిలో యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాలు (సంఘటనలు) అధ్యయనం చేయబడతాయి మరియు అవి సామూహికంగా పునరావృతం అయినప్పుడు నమూనాలు గుర్తించబడతాయి.

గణిత గణాంకాలు అనేది గణితశాస్త్రం యొక్క ఒక శాఖ, ఇది శాస్త్రీయంగా ఆధారిత తీర్మానాలను పొందడం మరియు నిర్ణయాలు తీసుకోవడం కోసం గణాంక డేటాను సేకరించడం, క్రమబద్ధీకరించడం, ప్రాసెస్ చేయడం మరియు ఉపయోగించడం వంటి పద్ధతులను అధ్యయనం చేస్తుంది.

ఈ సందర్భంలో, గణాంక డేటా అనేది మనకు ఆసక్తి కలిగించే అధ్యయనంలో ఉన్న వస్తువుల లక్షణాల యొక్క పరిమాణాత్మక లక్షణాలను సూచించే సంఖ్యల సమితిగా అర్థం చేసుకోబడుతుంది. ప్రత్యేకంగా రూపొందించిన ప్రయోగాలు మరియు పరిశీలనల ఫలితంగా గణాంక డేటా పొందబడుతుంది.

వారి సారాంశం ద్వారా గణాంక డేటా అనేక ఆధారపడి ఉంటుంది యాదృచ్ఛిక కారకాలుఅందువల్ల, గణిత గణాంకాలు సంభావ్యత సిద్ధాంతానికి దగ్గరి సంబంధం కలిగి ఉంటాయి, ఇది దాని సైద్ధాంతిక ఆధారం.

I. సంభావ్యత. సంభావ్యతలను జోడించడం మరియు గుణించడం యొక్క సిద్ధాంతాలు

1.1 కాంబినేటరిక్స్ యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు

కాంబినేటరిక్స్ అని పిలువబడే గణిత శాస్త్ర విభాగంలో, సెట్‌ల పరిశీలన మరియు ఈ సెట్‌ల మూలకాల యొక్క వివిధ కలయికల కూర్పుకు సంబంధించిన కొన్ని సమస్యలు పరిష్కరించబడతాయి. ఉదాహరణకు, మనం 10 వేర్వేరు సంఖ్యలను 0, 1, 2, 3,: , 9 తీసుకొని వాటి కలయికలను చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది వివిధ సంఖ్యలు, ఉదాహరణకు 143, 431, 5671, 1207, 43, మొదలైనవి.

ఈ కలయికలలో కొన్ని అంకెలు (ఉదాహరణకు, 143 మరియు 431), మరికొన్ని - వాటిలో చేర్చబడిన అంకెలలో (ఉదాహరణకు, 5671 మరియు 1207) మాత్రమే విభిన్నంగా ఉన్నాయని మేము చూస్తాము మరియు మరికొన్ని అంకెల సంఖ్యలో కూడా భిన్నంగా ఉంటాయి. (ఉదాహరణకు, 143 మరియు 43).

అందువలన, ఫలిత కలయికలు వివిధ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరుస్తాయి.

కూర్పు యొక్క నియమాలపై ఆధారపడి, మూడు రకాల కలయికలను వేరు చేయవచ్చు: ప్రస్తారణలు, నియామకాలు, కలయికలు.

మొదట కాన్సెప్ట్ గురించి తెలుసుకుందాం కారకమైన.

అందరి ఉత్పత్తి సహజ సంఖ్యలు 1 నుండి n వరకు కలుపుకొని అంటారు n-కారకం మరియు వ్రాయండి.

లెక్కించు: a); బి) ; V) .

పరిష్కారం. ఎ) .

బి) నుండి , అప్పుడు మనం దానిని బ్రాకెట్ల నుండి బయట పెట్టవచ్చు

అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

V) .

పునర్వ్యవస్థీకరణలు.

మూలకాల క్రమంలో మాత్రమే ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉండే n మూలకాల కలయికను ప్రస్తారణ అంటారు.

ప్రస్తారణలు గుర్తు ద్వారా సూచించబడతాయి పి ఎన్ , ఇక్కడ n అనేది ప్రతి ప్రస్తారణలో చేర్చబడిన మూలకాల సంఖ్య. ( ఆర్- ఫ్రెంచ్ పదం యొక్క మొదటి అక్షరం ప్రస్తారణ- పునర్వ్యవస్థీకరణ).

ఫార్ములా ఉపయోగించి ప్రస్తారణల సంఖ్యను లెక్కించవచ్చు

లేదా కారకాన్ని ఉపయోగించడం:

అది గుర్తుంచుకుందాం 0!=1 మరియు 1!=1.

ఉదాహరణ 2. ఒక షెల్ఫ్‌లో ఆరు వేర్వేరు పుస్తకాలను ఎన్ని విధాలుగా అమర్చవచ్చు?

పరిష్కారం. అవసరమైన మార్గాల సంఖ్య 6 మూలకాల ప్రస్తారణల సంఖ్యకు సమానం, అనగా.

ప్లేస్‌మెంట్స్.

నుండి పోస్టింగ్‌లు mలో అంశాలు nప్రతిదానిలో, అటువంటి సమ్మేళనాలను మూలకాల ద్వారా (కనీసం ఒకటి) లేదా వాటి అమరిక యొక్క క్రమం ద్వారా ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటాయి.

ప్లేస్‌మెంట్‌లు గుర్తు ద్వారా సూచించబడతాయి, ఎక్కడ m- అందుబాటులో ఉన్న అన్ని మూలకాల సంఖ్య, n- ప్రతి కలయికలోని మూలకాల సంఖ్య. ( A-మొదటి అక్షరం ఫ్రెంచ్ పదం అమరిక, అంటే "ప్లేస్‌మెంట్, క్రమంలో పెట్టడం").

అదే సమయంలో, ఇది నమ్ముతారు nm

ఫార్ములా ఉపయోగించి ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్యను లెక్కించవచ్చు

,

ఆ. నుండి సాధ్యమయ్యే అన్ని నియామకాల సంఖ్య mద్వారా అంశాలు nఉత్పత్తికి సమానం nవరుస పూర్ణాంకాలు, వీటిలో అతిపెద్దది m.

ఈ సూత్రాన్ని కారకం రూపంలో వ్రాస్దాం:

ఉదాహరణ 3. ఐదుగురు దరఖాస్తుదారుల కోసం వివిధ ప్రొఫైల్‌ల శానిటోరియంలకు మూడు వోచర్‌లను పంపిణీ చేయడానికి ఎన్ని ఎంపికలు సంకలనం చేయబడతాయి?

పరిష్కారం. అవసరమైన ఎంపికల సంఖ్య 3 మూలకాల యొక్క 5 మూలకాల ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్యకు సమానం, అనగా.

.

కలయికలు.

కలయికలు అన్ని సాధ్యం కలయికలు mద్వారా అంశాలు n, ఇది కనీసం ఒక మూలకం ద్వారా ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటుంది (ఇక్కడ mమరియు n-సహజ సంఖ్యలు, మరియు n m).

కలయికల సంఖ్య mద్వారా అంశాలు nద్వారా సూచించబడతాయి ( తో- ఫ్రెంచ్ పదం యొక్క మొదటి అక్షరం కలయిక- కలయిక).

సాధారణంగా, సంఖ్య mద్వారా అంశాలు nనుండి ప్లేస్‌మెంట్‌ల సంఖ్యకు సమానం mద్వారా అంశాలు n, నుండి ప్రస్తారణల సంఖ్యతో విభజించబడింది nఅంశాలు:

ప్లేస్‌మెంట్‌లు మరియు ప్రస్తారణల సంఖ్యల కోసం కారకాల సూత్రాలను ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:

ఉదాహరణ 4. 25 మంది వ్యక్తుల బృందంలో, మీరు ఒక నిర్దిష్ట ప్రాంతంలో పని చేయడానికి నలుగురిని కేటాయించాలి. దీన్ని ఎన్ని విధాలుగా చేయవచ్చు?

పరిష్కారం. ఎంచుకున్న నలుగురు వ్యక్తుల క్రమం పట్టింపు లేదు కాబట్టి, దీన్ని చేయడానికి మార్గాలు ఉన్నాయి.

మేము మొదటి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము

.

అదనంగా, సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, కలయికల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను వ్యక్తీకరించే క్రింది సూత్రాలు ఉపయోగించబడతాయి:

(నిర్వచనం ప్రకారం వారు ఊహిస్తారు మరియు);

.

1.2 కాంబినేటోరియల్ సమస్యలను పరిష్కరించడం

టాస్క్ 1. ఫ్యాకల్టీలో 16 సబ్జెక్టులు ఉన్నాయి. మీరు సోమవారం మీ షెడ్యూల్‌లో 3 సబ్జెక్ట్‌లను ఉంచాలి. దీన్ని ఎన్ని విధాలుగా చేయవచ్చు?

పరిష్కారం. మీరు 16 ఐటెమ్‌ల ప్లేస్‌మెంట్‌లను 3 ద్వారా ఏర్పాటు చేసుకోవచ్చు కాబట్టి 16లో మూడు ఐటెమ్‌లను షెడ్యూల్ చేయడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి.

టాస్క్ 2. 15 వస్తువులలో, మీరు 10 వస్తువులను ఎంచుకోవాలి. దీన్ని ఎన్ని విధాలుగా చేయవచ్చు?

టాస్క్ 3. పోటీలో నాలుగు జట్లు పాల్గొన్నాయి. వాటి మధ్య సీట్ల పంపిణీకి ఎన్ని ఎంపికలు సాధ్యమవుతాయి?

.

సమస్య 4. 80 మంది సైనికులు మరియు 3 అధికారులు ఉంటే ముగ్గురు సైనికులు మరియు ఒక అధికారితో కూడిన గస్తీని ఎన్ని విధాలుగా ఏర్పాటు చేయవచ్చు?

పరిష్కారం. మీరు పెట్రోలింగ్‌లో ఉన్న సైనికుడిని ఎంచుకోవచ్చు

మార్గాలు, మరియు అధికారులు మార్గాల్లో. సైనికుల ప్రతి బృందంతో ఏ అధికారి అయినా వెళ్ళవచ్చు కాబట్టి, చాలా మార్గాలు మాత్రమే ఉన్నాయి.

టాస్క్ 5. కనుగొనండి , అది తెలిసినట్లయితే .

నుండి, మేము పొందుతాము

,

,

కలయిక యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం అది అనుసరిస్తుంది, . ఆ. .

1.3 యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క భావన. సంఘటనల రకాలు. ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత

ఏదైనా చర్య, దృగ్విషయం, అనేక విభిన్న ఫలితాలతో కూడిన పరిశీలన, ఇచ్చిన షరతుల ప్రకారం గ్రహించబడుతుంది, అంటారు పరీక్ష.

ఈ చర్య లేదా పరిశీలన యొక్క ఫలితం అంటారు సంఘటన .

ఈవెంట్ అయితే ఇచ్చిన షరతులుజరగవచ్చు లేదా జరగకపోవచ్చు, దీనిని అంటారు యాదృచ్ఛికంగా . ఒక సంఘటన జరగాలని నిశ్చయమైనప్పుడు, దానిని అంటారు నమ్మదగిన , మరియు అది స్పష్టంగా జరగనప్పుడు, - అసాధ్యం.

ఈవెంట్స్ అంటారు అననుకూలమైనది , వాటిలో ఒకటి మాత్రమే ప్రతిసారీ కనిపించడం సాధ్యమైతే.

ఈవెంట్స్ అంటారు ఉమ్మడి , ఒకవేళ, ఇచ్చిన పరిస్థితులలో, ఈ సంఘటనలలో ఒకటి సంభవించినప్పుడు అదే పరీక్ష సమయంలో మరొకటి సంభవించడాన్ని మినహాయించదు.

ఈవెంట్స్ అంటారు ఎదురుగా , పరీక్ష పరిస్థితులలో అవి, ఫలితాలు మాత్రమే అయినందున, అవి అనుకూలంగా లేవు.

ఈవెంట్‌లు సాధారణంగా లాటిన్ వర్ణమాల యొక్క పెద్ద అక్షరాలతో సూచించబడతాయి: ఎ బి సి డి, : .

ఈవెంట్‌ల పూర్తి వ్యవస్థ A 1 , A 2 , A 3 , : , A n అనేది అననుకూల ఈవెంట్‌ల సమితి, ఇచ్చిన పరీక్ష సమయంలో కనీసం ఒకటి సంభవించడం తప్పనిసరి.

పూర్తి సిస్టమ్ రెండు అననుకూల సంఘటనలను కలిగి ఉంటే, అటువంటి సంఘటనలను వ్యతిరేకం అని పిలుస్తారు మరియు A మరియు .

ఉదాహరణ. పెట్టెలో 30 సంఖ్యల బంతులు ఉన్నాయి. కింది వాటిలో ఏవి అసాధ్యమైనవి, నమ్మదగినవి లేదా విరుద్ధమైనవి అని నిర్ణయించండి:

ఒక నంబరు గల బంతిని తీశాడు (A);

సరి సంఖ్యతో ఒక బంతి వచ్చింది (IN);

బేసి సంఖ్యతో బంతి వచ్చింది (తో);

నంబర్ లేని బంతి వచ్చింది (డి)

వాటిలో ఏది పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది?

పరిష్కారం . ఎ- నమ్మదగిన సంఘటన; డి- అసాధ్యమైన సంఘటన;

లో మరియు తో- వ్యతిరేక సంఘటనలు.

ఈవెంట్‌ల పూర్తి సమూహం వీటిని కలిగి ఉంటుంది ఎమరియు డి, విమరియు తో.

ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క ఆబ్జెక్టివ్ సంభావ్యత యొక్క కొలతగా పరిగణించబడుతుంది.

1.4 సంభావ్యత యొక్క క్లాసిక్ నిర్వచనం

ఒక సంఘటన సంభవించే ఆబ్జెక్టివ్ అవకాశం యొక్క కొలతను వ్యక్తీకరించే సంఖ్యను అంటారు సంభావ్యత ఈ సంఘటన మరియు చిహ్నం ద్వారా సూచించబడుతుంది R(A).

నిర్వచనం. ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎదాడికి అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తి అంటారు ఈ సంఘటన ఎ, సంఖ్యకు nఅన్ని ఫలితాలు (అస్థిరమైన, మాత్రమే సాధ్యం మరియు సమానంగా సాధ్యం), అనగా. .

అందువల్ల, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనడానికి, పరీక్ష యొక్క వివిధ ఫలితాలను పరిగణనలోకి తీసుకుని, సాధ్యమయ్యే అన్ని అస్థిరమైన ఫలితాలను లెక్కించడం అవసరం. n,మనకు ఆసక్తి ఉన్న ఫలితాల సంఖ్యను ఎంచుకోండి మరియు నిష్పత్తిని లెక్కించండి mకు n.

ఈ నిర్వచనం నుండి క్రింది లక్షణాలు అనుసరించబడతాయి:

ఏదైనా పరీక్ష యొక్క సంభావ్యత ప్రతికూల సంఖ్య ఒకటి మించకుండా ఉంటుంది.

నిజానికి, అవసరమైన ఈవెంట్‌ల సంఖ్య m లోపల ఉంది. రెండు భాగాలను విభజించడం n, మాకు దొరికింది

2. నమ్మదగిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఒకదానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే .

3. సంభావ్యత అసాధ్యమైన సంఘటనఎందుకంటే సున్నాకి సమానం.

సమస్య 1. 1000 టిక్కెట్ల లాటరీలో, 200 గెలిచినవి ఉన్నాయి. ఒక టికెట్ యాదృచ్ఛికంగా తీసుకోబడుతుంది. ఈ టికెట్ విజేతగా నిలిచే సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం. విభిన్న ఫలితాల మొత్తం సంఖ్య n=1000. గెలుపుకు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య m=200. సూత్రం ప్రకారం, మేము పొందుతాము

.

సమస్య 2. 18 భాగాల బ్యాచ్‌లో 4 లోపాలు ఉన్నాయి. 5 భాగాలు యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడ్డాయి. ఈ 5 భాగాలలో రెండు లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. అన్ని సమాన సాధ్యం స్వతంత్ర ఫలితాల సంఖ్య n 5 ద్వారా 18 కలయికల సంఖ్యకు సమానం, అనగా.

ఈవెంట్ Aకి అనుకూలంగా ఉండే m సంఖ్యను గణిద్దాం. యాదృచ్ఛికంగా తీసుకున్న 5 భాగాలలో, 3 మంచివి మరియు 2 లోపభూయిష్టమైనవి ఉండాలి. ఇప్పటికే ఉన్న 4 లోపభూయిష్ట భాగాల నుండి రెండు లోపభూయిష్ట భాగాలను ఎంచుకునే మార్గాల సంఖ్య 4 బై 2 కలయికల సంఖ్యకు సమానం:

అందుబాటులో ఉన్న 14 నాణ్యమైన భాగాల నుండి మూడు నాణ్యమైన భాగాలను ఎంచుకునే మార్గాల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది

.

మంచి భాగాల యొక్క ఏదైనా సమూహాన్ని ఏదైనా లోపభూయిష్ట భాగాల సమూహంతో కలపవచ్చు, కాబట్టి మొత్తం కలయికల సంఖ్య mమొత్తాలను

ఈవెంట్ A యొక్క అవసరమైన సంభావ్యత ఈ ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య యొక్క నిష్పత్తికి సమానంగా సాధ్యమయ్యే అన్ని స్వతంత్ర ఫలితాల సంఖ్య nకి సమానంగా ఉంటుంది:

.

పరిమిత సంఖ్యలో ఈవెంట్‌ల మొత్తం అనేది వాటిలో కనీసం ఒకదానికి సంబంధించిన సంఘటనను కలిగి ఉంటుంది.

రెండు సంఘటనల మొత్తాన్ని A+B గుర్తు మరియు మొత్తం ద్వారా సూచిస్తారు n A 1 +A 2 + : +A n గుర్తుతో ఈవెంట్‌లు.

సంభావ్యత జోడింపు సిద్ధాంతం.

రెండు అననుకూల సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం.

పరిణామం 1. ఈవెంట్ A 1 , A 2 , : ,A n ఫారమ్ అయితే పూర్తి వ్యవస్థ, అప్పుడు ఈ సంఘటనల సంభావ్యత మొత్తం ఒకదానికి సమానం.

పరిణామం 2. వ్యతిరేక సంఘటనల సంభావ్యత మొత్తం మరియు ఒకదానికి సమానం.

.

సమస్య 1. 100 లాటరీ టిక్కెట్లు ఉన్నాయి. 5 టిక్కెట్లు ఒక్కొక్కటి 20,000 రూబిళ్లు, 10 టిక్కెట్లు 15,000 రూబిళ్లు, 15 టిక్కెట్లు 10,000 రూబిళ్లు, 25 టిక్కెట్లు 2,000 రూబిళ్లు గెలుస్తాయని తెలుసు. మరియు మిగిలిన వాటికి ఏమీ లేదు. కొనుగోలు చేసిన టికెట్ కనీసం 10,000 రూబిళ్లు గెలుచుకునే సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. కొనుగోలు చేసిన టిక్కెట్‌కి వరుసగా 20,000, 15,000 మరియు 10,000 రూబిళ్లు సమానంగా గెలుపొందడం అనే వాస్తవాన్ని కలిగి ఉండే ఈవెంట్‌లను A, B మరియు C అనుకుందాం. A, B మరియు C ఈవెంట్‌లు అనుకూలంగా లేవు కాబట్టి

టాస్క్ 2. ఆన్ బాహ్యమైనసాంకేతిక పాఠశాల నగరాల నుండి గణితంలో పరీక్షలను అందుకుంటుంది ఎ, బిమరియు తో. నగరం నుండి పరీక్షను స్వీకరించే సంభావ్యత ఎనగరం నుండి 0.6కి సమానం IN- 0.1. తదుపరి సంభావ్యతను కనుగొనండి పరీక్షనగరం నుండి వస్తారు తో.

చాలా మంది, "సంభావ్యత సిద్ధాంతం" అనే భావనను ఎదుర్కొన్నప్పుడు, అది అఖండమైన, చాలా సంక్లిష్టమైన విషయం అని భావించి భయపడతారు. కానీ ప్రతిదీ నిజానికి అంత విషాదకరమైనది కాదు. ఈ రోజు మనం సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక భావనను పరిశీలిస్తాము మరియు నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకుంటాము.

సైన్స్

"సంభావ్యత సిద్ధాంతం" వంటి గణిత శాస్త్ర విభాగం ఏమి అధ్యయనం చేస్తుంది? ఆమె నమూనాలు మరియు పరిమాణాలను గమనిస్తుంది. శాస్త్రవేత్తలు మొదట పద్దెనిమిదవ శతాబ్దంలో అధ్యయనం చేసినప్పుడు ఈ సమస్యపై ఆసక్తి కనబరిచారు జూదం. సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక భావన ఒక సంఘటన. ఇది అనుభవం లేదా పరిశీలన ద్వారా స్థాపించబడిన ఏదైనా వాస్తవం. కానీ అనుభవం అంటే ఏమిటి? సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క మరొక ప్రాథమిక భావన. ఈ పరిస్థితుల సమితి యాదృచ్ఛికంగా సృష్టించబడలేదని అర్థం, కానీ నిర్దిష్ట ప్రయోజనం. పరిశీలన విషయానికొస్తే, ఇక్కడ పరిశోధకుడు స్వయంగా ప్రయోగంలో పాల్గొనడు, కానీ ఈ సంఘటనలకు కేవలం సాక్షి; అతను ఏమి జరుగుతుందో ఏ విధంగానూ ప్రభావితం చేయడు.

ఈవెంట్స్

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక భావన ఒక సంఘటన అని మేము తెలుసుకున్నాము, కానీ మేము వర్గీకరణను పరిగణించలేదు. అవన్నీ క్రింది వర్గాలుగా విభజించబడ్డాయి:

• విశ్వసనీయమైనది.
• అసాధ్యం.
• యాదృచ్ఛికంగా.

అవి ఎలాంటి సంఘటనలు, గమనించిన లేదా అనుభవం సమయంలో సృష్టించబడిన వాటితో సంబంధం లేకుండా, అవన్నీ ఈ వర్గీకరణకు లోబడి ఉంటాయి. ప్రతి రకంతో విడిగా పరిచయం పొందడానికి మేము మిమ్మల్ని ఆహ్వానిస్తున్నాము.

నమ్మదగిన సంఘటన

ఈ నేపథ్యంలో అవసరమైన చర్యలు తీసుకున్నారు. సారాంశాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, కొన్ని ఉదాహరణలు ఇవ్వడం మంచిది. ఫిజిక్స్, కెమిస్ట్రీ, ఎకనామిక్స్ మరియు ఉన్నత గణితం. సంభావ్యత సిద్ధాంతం దీనిని కలిగి ఉంటుంది ముఖ్యమైన భావననమ్మదగిన సంఘటనగా. ఇవి కొన్ని ఉదాహరణలు:

• మేం పనిచేసి వేతనాల రూపంలో పరిహారం అందుకుంటున్నాం.
• మేము పరీక్షలలో బాగా ఉత్తీర్ణత సాధించాము, పోటీలో ఉత్తీర్ణత సాధించాము, దీని కోసం మేము ప్రవేశ రూపంలో బహుమతిని అందుకుంటాము విద్యా సంస్థ.
• మేము బ్యాంకులో డబ్బు పెట్టుబడి పెట్టాము మరియు అవసరమైతే, మేము దానిని తిరిగి పొందుతాము.

ఇటువంటి సంఘటనలు నమ్మదగినవి. మేము ప్రతిదీ పూర్తి చేసినట్లయితే అవసరమైన పరిస్థితులు, అప్పుడు మేము ఖచ్చితంగా ఆశించిన ఫలితాన్ని పొందుతాము.

అసాధ్యమైన సంఘటనలు

ఇప్పుడు మనం సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అంశాలను పరిశీలిస్తున్నాము. మేము తదుపరి రకమైన ఈవెంట్ యొక్క వివరణకు వెళ్లాలని ప్రతిపాదిస్తున్నాము, అవి అసాధ్యం. ప్రారంభించడానికి, చాలా వరకు నిర్దేశిద్దాం ముఖ్యమైన నియమం- అసాధ్యమైన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సున్నా.

సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ సూత్రీకరణ నుండి తప్పుకోలేరు. వివరణ కోసం, అటువంటి సంఘటనల ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

• నీరు ప్లస్ టెన్ ఉష్ణోగ్రత వద్ద స్తంభింపజేసింది (ఇది అసాధ్యం).
• విద్యుత్ లేకపోవడం ఏ విధంగానూ ఉత్పత్తిని ప్రభావితం చేయదు (మునుపటి ఉదాహరణలో వలె అసాధ్యం).

మరిన్ని ఉదాహరణలు ఇవ్వడం విలువైనది కాదు, ఎందుకంటే పైన వివరించినవి ఈ వర్గం యొక్క సారాంశాన్ని చాలా స్పష్టంగా ప్రతిబింబిస్తాయి. ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ ప్రయోగ సమయంలో అసాధ్యమైన సంఘటన జరగదు.

యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అంశాలను అధ్యయనం చేయడం, ప్రత్యేక శ్రద్ధదృష్టి పెట్టారు విలువ ఈ జాతిసంఘటనలు. ఇవి ఆయన చదువుకునేవి ఈ శాస్త్రం. అనుభవం ఫలితంగా, ఏదైనా జరగవచ్చు లేదా జరగకపోవచ్చు. అదనంగా, పరీక్షను అపరిమిత సంఖ్యలో నిర్వహించవచ్చు. స్పష్టమైన ఉదాహరణలుసేవ చేయవచ్చు:

• నాణెం టాస్ ఒక అనుభవం లేదా పరీక్ష, తలలు దిగడం ఒక సంఘటన.
• గుడ్డిగా బ్యాగ్ నుండి బంతిని బయటకు తీయడం ఒక పరీక్ష; ఎరుపు బంతిని పొందడం ఒక సంఘటన, మొదలైనవి.

అటువంటి ఉదాహరణలు అపరిమిత సంఖ్యలో ఉండవచ్చు, కానీ, సాధారణంగా, సారాంశం స్పష్టంగా ఉండాలి. సంఘటనల గురించి పొందిన జ్ఞానాన్ని సంగ్రహించడానికి మరియు క్రమబద్ధీకరించడానికి, ఒక పట్టిక అందించబడుతుంది. సంభావ్యత సిద్ధాంతం అన్ని సమర్పించబడిన చివరి రకం మాత్రమే అధ్యయనం చేస్తుంది.

పేరు	నిర్వచనం
విశ్వసనీయమైనది	కొన్ని షరతులు నెరవేరినట్లయితే 100% హామీతో జరిగే ఈవెంట్‌లు.	ప్రవేశ పరీక్షలో ఉత్తీర్ణత సాధించిన తర్వాత విద్యా సంస్థలో ప్రవేశం.
అసాధ్యం	ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ జరగని సంఘటనలు.	ముప్పై డిగ్రీల సెల్సియస్‌తో కూడిన గాలి ఉష్ణోగ్రత వద్ద మంచు కురుస్తోంది.
యాదృచ్ఛికంగా	ప్రయోగం/పరీక్ష సమయంలో సంభవించే లేదా జరగని సంఘటన.	బాస్కెట్‌బాల్‌ను హోప్‌లోకి విసిరినప్పుడు హిట్ లేదా మిస్.

చట్టాలు

సంభావ్యత సిద్ధాంతం అనేది ఒక సంఘటన సంభవించే అవకాశాన్ని అధ్యయనం చేసే శాస్త్రం. ఇతరుల మాదిరిగానే దీనికి కొన్ని నియమాలు ఉన్నాయి. సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క క్రింది చట్టాలు ఉన్నాయి:

• యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ సీక్వెన్స్‌ల కలయిక.
• పెద్ద సంఖ్యల చట్టం.

సంక్లిష్టమైన ఏదైనా సంభావ్యతను లెక్కించేటప్పుడు, మీరు సులభంగా మరియు వేగవంతమైన మార్గంలో ఫలితాన్ని సాధించడానికి సాధారణ ఈవెంట్‌ల సమితిని ఉపయోగించవచ్చు. కొన్ని సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించి చట్టాలను సులభంగా నిరూపించవచ్చని గమనించండి. మీరు మొదట మొదటి చట్టంతో పరిచయం చేసుకోవాలని మేము సూచిస్తున్నాము.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ సీక్వెన్స్‌ల కలయిక

అనేక రకాల కలయికలు ఉన్నాయని గమనించండి:

• యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క క్రమం సంభావ్యతలో కలుస్తుంది.
• దాదాపు అసాధ్యం.
• మీన్ స్క్వేర్ కన్వర్జెన్స్.
• డిస్ట్రిబ్యూషన్ కన్వర్జెన్స్.

కాబట్టి, బ్యాట్‌లోనే, సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడం చాలా కష్టం. ఈ అంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయపడే నిర్వచనాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి. మొదటి వీక్షణతో ప్రారంభిద్దాం. క్రమం అంటారు సంభావ్యతలో కలుస్తుంది, కలిస్తే తదుపరి పరిస్థితి: n అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది, శ్రేణి సంఖ్య సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు ఒకదానికి దగ్గరగా ఉంటుంది.

మనం ముందుకు వెళ్దాం తదుపరి వీక్షణ,దాదాపు ఖచ్చితంగా. ఈ క్రమం కలుస్తుందని అంటున్నారు దాదాపు ఖచ్చితంగా n తో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌కు అనంతం మరియు P ఏకత్వానికి దగ్గరగా ఉండే విలువకు మొగ్గు చూపుతుంది.

తదుపరి రకం చతురస్రాకార కలయిక అని అర్థం. SC కన్వర్జెన్స్‌ని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, వెక్టర్‌ని అధ్యయనం చేస్తోంది యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియలువారి కోఆర్డినేట్ యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియలను అధ్యయనం చేయడానికి వస్తుంది.

చివరి రకం మిగిలి ఉంది, దానిని క్లుప్తంగా చూద్దాం, తద్వారా మేము నేరుగా సమస్యలను పరిష్కరించడానికి వెళ్లవచ్చు. పంపిణీలో కన్వర్జెన్స్‌కు మరొక పేరు ఉంది - “బలహీనమైనది” మరియు ఎందుకు అని మేము తరువాత వివరిస్తాము. బలహీనమైన కలయికపరిమితి పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు యొక్క అన్ని పాయింట్ల వద్ద పంపిణీ ఫంక్షన్ల కలయిక.

మేము ఖచ్చితంగా మా వాగ్దానాన్ని నిలబెట్టుకుంటాము: బలహీనమైన కలయిక పైన పేర్కొన్న అన్నింటికీ భిన్నంగా ఉంటుంది యాదృచ్ఛిక విలువసంభావ్యత స్థలంపై నిర్వచించబడలేదు. పంపిణీ ఫంక్షన్లను ఉపయోగించి పరిస్థితి ప్రత్యేకంగా ఏర్పడినందున ఇది సాధ్యమవుతుంది.

పెద్ద సంఖ్యల చట్టం

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సిద్ధాంతాలు, వంటివి:

• చెబిషెవ్ యొక్క అసమానత.
• చెబిషెవ్ సిద్ధాంతం.
• చెబిషెవ్ సిద్ధాంతాన్ని సాధారణీకరించారు.
• మార్కోవ్ సిద్ధాంతం.

మేము ఈ సిద్ధాంతాలన్నింటినీ పరిశీలిస్తే, అప్పుడు ఈ ప్రశ్నఅనేక డజన్ల షీట్ల వరకు ఉంటుంది. ఆచరణలో సంభావ్యత సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం మా ప్రధాన పని. మీరు ఇప్పుడే దీన్ని చేయాలని మేము సూచిస్తున్నాము. కానీ దానికి ముందు, సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సిద్ధాంతాలను చూద్దాం; వారు సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ప్రధాన సహాయకులుగా ఉంటారు.

సిద్ధాంతాలు

మేము అసాధ్యమైన సంఘటన గురించి మాట్లాడినప్పుడు మేము ఇప్పటికే మొదటిదాన్ని కలిశాము. గుర్తుంచుకోండి: అసాధ్యమైన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సున్నా. మేము చాలా స్పష్టమైన మరియు చిరస్మరణీయ ఉదాహరణ ఇచ్చాము: ముప్పై డిగ్రీల సెల్సియస్ గాలి ఉష్ణోగ్రత వద్ద మంచు పడిపోయింది.

రెండోది వినిపిస్తోంది క్రింది విధంగా: ఒక నిర్దిష్ట సంఘటన సంభావ్యతతో సంభవిస్తుంది, ఒకరికి సమానం. ఇప్పుడు మనం గణిత భాషను ఉపయోగించి దీన్ని ఎలా వ్రాయాలో చూపుతాము: P(B)=1.

మూడవది: యాదృచ్ఛిక సంఘటనజరగవచ్చు లేదా జరగకపోవచ్చు, కానీ అవకాశం ఎల్లప్పుడూ సున్నా నుండి ఒకటి వరకు ఉంటుంది. ఎలా దగ్గరి విలువఒకరికి, ఎక్కువ అవకాశాలు; విలువ సున్నాకి చేరుకుంటే, సంభావ్యత చాలా తక్కువగా ఉంటుంది. దీన్ని గణిత భాషలో వ్రాద్దాం: 0<Р(С)<1.

చివరి, నాల్గవ సిద్ధాంతాన్ని పరిశీలిద్దాం, ఇది ఇలా అనిపిస్తుంది: రెండు సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యత వాటి సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం. మేము దానిని గణిత భాషలో వ్రాస్తాము: P(A+B)=P(A)+P(B).

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రాలు గుర్తుంచుకోవడం కష్టం కాదు సరళమైన నియమాలు. మనం ఇప్పటికే సంపాదించిన జ్ఞానం ఆధారంగా కొన్ని సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

లాటరీ టిక్కెట్

మొదట, సరళమైన ఉదాహరణను చూద్దాం - లాటరీ. మీరు అదృష్టం కోసం ఒక లాటరీ టికెట్ కొన్నారని ఊహించుకోండి. మీరు కనీసం ఇరవై రూబిళ్లు గెలుచుకునే సంభావ్యత ఏమిటి? మొత్తంగా, వెయ్యి టిక్కెట్లు సర్క్యులేషన్‌లో పాల్గొంటున్నాయి, వాటిలో ఒకటి ఐదు వందల రూబిళ్లు, వాటిలో పదికి వంద రూబిళ్లు, యాభైకి ఇరవై రూబిళ్లు మరియు వందకు ఐదు బహుమతి ఉన్నాయి. సంభావ్యత సమస్యలు అదృష్టం యొక్క అవకాశాన్ని కనుగొనడంపై ఆధారపడి ఉంటాయి. ఇప్పుడు మనం కలిసి పై పనికి పరిష్కారాన్ని విశ్లేషిస్తాము.

మేము ఐదు వందల రూబిళ్లు విజయాన్ని సూచించడానికి A అక్షరాన్ని ఉపయోగిస్తే, A పొందే సంభావ్యత 0.001కి సమానంగా ఉంటుంది. మేము దీన్ని ఎలా పొందాము? మీరు "లక్కీ" టిక్కెట్ల సంఖ్యను వాటి మొత్తం సంఖ్యతో విభజించాలి (ఈ సందర్భంలో: 1/1000).

B వంద రూబిళ్లు విజయం, సంభావ్యత 0.01 ఉంటుంది. ఇప్పుడు మేము మునుపటి చర్యలో (10/1000) అదే సూత్రంపై పని చేసాము

సి - విజయాలు ఇరవై రూబిళ్లు. మేము సంభావ్యతను కనుగొంటాము, అది 0.05కి సమానం.

మిగిలిన టిక్కెట్‌లపై మాకు ఆసక్తి లేదు, ఎందుకంటే వారి ప్రైజ్ ఫండ్ షరతులో పేర్కొన్న దానికంటే తక్కువగా ఉంది. నాల్గవ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేద్దాం: కనీసం ఇరవై రూబిళ్లు గెలుచుకునే సంభావ్యత P(A)+P(B)+P(C). P అక్షరం ఇచ్చిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను సూచిస్తుంది; మేము వాటిని మునుపటి చర్యలలో ఇప్పటికే కనుగొన్నాము. అవసరమైన డేటాను జోడించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది మరియు మనకు వచ్చే సమాధానం 0.061. ఈ సంఖ్య టాస్క్ ప్రశ్నకు సమాధానంగా ఉంటుంది.

కార్డ్ డెక్

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో సమస్యలు మరింత క్లిష్టంగా ఉంటాయి; ఉదాహరణకు, కింది పనిని తీసుకుందాం. మీ ముందు ముప్పై ఆరు కార్డుల డెక్ ఉంది. మీ పని స్టాక్‌ను షఫుల్ చేయకుండా వరుసగా రెండు కార్డులను గీయడం, మొదటి మరియు రెండవ కార్డులు ఏసెస్‌గా ఉండాలి, దావా పట్టింపు లేదు.

మొదట, మొదటి కార్డు ఏస్‌గా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి, దీని కోసం మనం ముప్పై ఆరు ద్వారా నాలుగుని భాగిస్తాము. వారు దానిని పక్కన పెట్టారు. మేము రెండవ కార్డును తీసుకుంటాము, ఇది మూడు ముప్పై-ఐదవ వంతుల సంభావ్యతతో ఏస్ అవుతుంది. రెండవ ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత మనం మొదట ఏ కార్డ్ గీసాము అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఇది ఏస్ కాదా అని మేము ఆశ్చర్యపోతాము. దీని నుండి ఈవెంట్ B ఈవెంట్ A పై ఆధారపడి ఉంటుంది.

తదుపరి దశ ఏకకాలంలో సంభవించే సంభావ్యతను కనుగొనడం, అంటే, మేము A మరియు B లను గుణిస్తాము. వాటి ఉత్పత్తి క్రింది విధంగా కనుగొనబడింది: మేము ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను మరొకదాని యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యతతో గుణిస్తాము, దానిని మేము లెక్కించాము, మొదటిది సంఘటన జరిగింది, అంటే, మేము మొదటి కార్డుతో ఏస్ గీసాము.

ప్రతిదీ స్పష్టం చేయడానికి, ఈవెంట్‌ల వంటి మూలకానికి హోదాను ఇద్దాం. సంఘటన A సంభవించిందని భావించి లెక్కించబడుతుంది. ఇది క్రింది విధంగా లెక్కించబడుతుంది: P(B/A).

మన సమస్యను పరిష్కరించడాన్ని కొనసాగిద్దాం: P(A * B) = P(A) * P(B/A) లేదా P(A * B) = P(B) * P(A/B). సంభావ్యత (4/36) * ((3/35)/(4/36)కి సమానం. మేము సమీప వందవ వంతుకు చుట్టుముట్టడం ద్వారా గణిస్తాము. మనకు ఇవి ఉన్నాయి: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09. మనం వరుసగా రెండు ఏస్‌లను గీసే సంభావ్యత తొమ్మిది వందల వంతు. విలువ చాలా చిన్నది, ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యత చాలా తక్కువగా ఉంటుంది.

మర్చిపోయిన నంబర్

సంభావ్యత సిద్ధాంతం ద్వారా అధ్యయనం చేయబడిన అనేక రకాల టాస్క్‌లను విశ్లేషించాలని మేము ప్రతిపాదిస్తున్నాము. ఈ వ్యాసంలో వాటిలో కొన్నింటిని పరిష్కరించే ఉదాహరణలను మీరు ఇప్పటికే చూశారు. ఈ క్రింది సమస్యను పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం: బాలుడు తన స్నేహితుడి ఫోన్ నంబర్ యొక్క చివరి అంకెను మరచిపోయాడు, కానీ కాల్ చాలా ముఖ్యమైనది కాబట్టి, అతను ప్రతిదానిని ఒక్కొక్కటిగా డయల్ చేయడం ప్రారంభించాడు. . అతను మూడు సార్లు కంటే ఎక్కువ కాల్ చేయని సంభావ్యతను మనం లెక్కించాలి. సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క నియమాలు, చట్టాలు మరియు సిద్ధాంతాలు తెలిస్తే సమస్యకు పరిష్కారం చాలా సులభం.

పరిష్కారాన్ని చూసే ముందు, దాన్ని మీరే పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి. చివరి అంకె సున్నా నుండి తొమ్మిది వరకు ఉంటుందని మాకు తెలుసు, అంటే మొత్తం పది విలువలు. సరైనదాన్ని పొందే సంభావ్యత 1/10.

తరువాత, మేము ఈవెంట్ యొక్క మూలం కోసం ఎంపికలను పరిగణించాలి, బాలుడు సరిగ్గా ఊహించాడు మరియు వెంటనే సరైనదాన్ని టైప్ చేసాడని అనుకుందాం, అటువంటి సంఘటన యొక్క సంభావ్యత 1/10. రెండవ ఎంపిక: మొదటి కాల్ మిస్ అవుతుంది మరియు రెండవది లక్ష్యంలో ఉంది. అటువంటి సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను గణిద్దాం: 9/10ని 1/9తో గుణించండి మరియు ఫలితంగా మనకు 1/10 కూడా వస్తుంది. మూడవ ఎంపిక: మొదటి మరియు రెండవ కాల్‌లు తప్పు చిరునామాలో ఉన్నాయని తేలింది, మూడవ దానితో మాత్రమే బాలుడు అతను కోరుకున్న చోటికి చేరుకున్నాడు. మేము అటువంటి సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను గణిస్తాము: 9/10ని 8/9 మరియు 1/8తో గుణిస్తే, 1/10 వస్తుంది. సమస్య యొక్క పరిస్థితులకు అనుగుణంగా ఇతర ఎంపికలపై మాకు ఆసక్తి లేదు, కాబట్టి మేము పొందిన ఫలితాలను జోడించాలి, చివరికి మనకు 3/10 ఉంటుంది. సమాధానం: బాలుడు మూడు సార్లు కంటే ఎక్కువ కాల్ చేసే సంభావ్యత 0.3.

సంఖ్యలతో కార్డులు

మీ ముందు తొమ్మిది కార్డులు ఉన్నాయి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కదానిపై ఒకటి నుండి తొమ్మిది వరకు సంఖ్య వ్రాయబడుతుంది, సంఖ్యలు పునరావృతం కావు. వారు ఒక పెట్టెలో ఉంచారు మరియు పూర్తిగా కలపాలి. మీరు సంభావ్యతను లెక్కించాలి

• సరి సంఖ్య కనిపిస్తుంది;
• రెండు అంకెలు.

పరిష్కారానికి వెళ్లే ముందు, m అనేది విజయవంతమైన కేసుల సంఖ్య మరియు n అనేది మొత్తం ఎంపికల సంఖ్య అని నిర్దేశిద్దాం. సంఖ్య సమానంగా ఉండే సంభావ్యతను కనుగొనండి. నాలుగు సరి సంఖ్యలు ఉన్నాయని లెక్కించడం కష్టం కాదు, ఇది మన m అవుతుంది, మొత్తం తొమ్మిది ఎంపికలు ఉన్నాయి, అంటే m=9. అప్పుడు సంభావ్యత 0.44 లేదా 4/9.

రెండవ సందర్భాన్ని పరిశీలిద్దాం: ఎంపికల సంఖ్య తొమ్మిది, మరియు ఎటువంటి విజయవంతమైన ఫలితాలు ఉండవు, అంటే, m సున్నాకి సమానం. డ్రా చేసిన కార్డ్‌లో రెండు అంకెల సంఖ్య ఉండే సంభావ్యత కూడా సున్నా.