ఆన్టోలాజికల్ కేటగిరీగా ఏ పరిస్థితుల్లోనైనా ఏదైనా ఎంటిటీ ఆవిర్భవించే అవకాశం ఎంత ఉంటుందో ప్రతిబింబిస్తుంది. ఈ భావన యొక్క గణిత మరియు తార్కిక వివరణకు విరుద్ధంగా, ఆన్టోలాజికల్ గణితం పరిమాణాత్మక వ్యక్తీకరణ యొక్క బాధ్యతతో అనుబంధించబడదు. V. యొక్క అర్థం నిర్ణయాత్మకత మరియు సాధారణంగా అభివృద్ధి యొక్క స్వభావాన్ని అర్థం చేసుకునే సందర్భంలో తెలుస్తుంది.
అద్భుతమైన నిర్వచనం
అసంపూర్ణ నిర్వచనం ↓
సంభావ్యత
భావన క్యారెక్టరైజింగ్ పరిమాణాలు. ఒక నిర్దిష్ట సంఘటన ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో సంభవించే అవకాశం యొక్క కొలత పరిస్థితులు. శాస్త్రీయంగా జ్ఞానం V యొక్క మూడు వివరణలు ఉన్నాయి. V. యొక్క శాస్త్రీయ భావన గణితశాస్త్రం నుండి ఉద్భవించింది. జూదం యొక్క విశ్లేషణ మరియు B. పాస్కల్, J. బెర్నౌల్లి మరియు P. లాప్లేస్ ద్వారా పూర్తిగా అభివృద్ధి చేయబడింది, విజయాన్ని అనుకూలమైన కేసుల సంఖ్యకు సమానంగా సాధ్యమయ్యే మొత్తం సంఖ్యకు నిష్పత్తిగా పరిగణిస్తుంది. ఉదాహరణకు, 6 వైపులా ఉన్న పాచికలను విసిరేటప్పుడు, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి 1/6 విలువతో భూమిని ఆశించవచ్చు, ఎందుకంటే ఒక వైపు మరొకదానిపై ప్రయోజనాలు లేవు. ఆటలను నిర్వహించేటప్పుడు ప్రయోగాత్మక ఫలితాల యొక్క ఇటువంటి సమరూపత ప్రత్యేకంగా పరిగణనలోకి తీసుకోబడుతుంది, అయితే సైన్స్ మరియు ఆచరణలో లక్ష్య సంఘటనల అధ్యయనంలో ఇది చాలా అరుదు. క్లాసిక్ V. యొక్క వివరణ గణాంకాలకు దారితీసింది. V. యొక్క కాన్సెప్ట్‌లు, ఇవి వాస్తవమైన వాటిపై ఆధారపడి ఉంటాయి ఒక నిర్దిష్ట సంఘటన చాలా కాలం పాటు జరగడాన్ని గమనించడం. ఖచ్చితంగా స్థిర పరిస్థితులలో అనుభవం. ప్రాక్టీస్ చాలా తరచుగా ఒక సంఘటన సంభవిస్తుందని నిర్ధారిస్తుంది, దాని సంభవించే లక్ష్యం అవకాశం యొక్క డిగ్రీ ఎక్కువగా ఉంటుంది, లేదా B. అందువలన, గణాంక. V. యొక్క వివరణ సంబంధిత భావనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఫ్రీక్వెన్సీ, ఇది ప్రయోగాత్మకంగా నిర్ణయించబడుతుంది. సైద్ధాంతికంగా వి భావన అనుభావికంగా నిర్ణయించబడిన ఫ్రీక్వెన్సీతో ఎప్పుడూ ఏకీభవించదు, అయినప్పటికీ, బహువచనంలో. సందర్భాలలో, ఇది సాపేక్షంగా ఆచరణాత్మకంగా కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. వ్యవధి ఫలితంగా కనుగొనబడిన ఫ్రీక్వెన్సీ. పరిశీలనలు. చాలా మంది గణాంకవేత్తలు V.ని "డబుల్"గా సూచిస్తారు. ఫ్రీక్వెన్సీలు, అంచులు గణాంకపరంగా నిర్ణయించబడతాయి. పరిశీలన ఫలితాల అధ్యయనం
లేదా ప్రయోగాలు. పరిమితికి సంబంధించిన V. యొక్క నిర్వచనం తక్కువ వాస్తవికమైనది. R. మిసెస్ ప్రతిపాదించిన సామూహిక సంఘటనలు లేదా సమూహాల ఫ్రీక్వెన్సీలు. V.కి ఫ్రీక్వెన్సీ విధానం యొక్క మరింత అభివృద్ధిగా, V. యొక్క స్థానభ్రంశం లేదా ప్రోపెన్సిటివ్, వ్యాఖ్యానం ముందుకు తీసుకురాబడింది (K. పాప్పర్, J. హ్యాకింగ్, M. బంగే, T. సెటిల్). ఈ వివరణ ప్రకారం, V. ఉత్పాదక పరిస్థితుల యొక్క ఆస్తిని వర్గీకరిస్తుంది, ఉదాహరణకు. ప్రయోగం. భారీ యాదృచ్ఛిక సంఘటనల క్రమాన్ని పొందేందుకు సంస్థాపనలు. ఇది ఖచ్చితంగా ఈ దృక్పథమే భౌతికంగా ఉద్భవిస్తుంది స్వభావాలు, లేదా పూర్వస్థితి, V. బంధువులను ఉపయోగించి తనిఖీ చేయవచ్చు. తరచుదనం
స్టాటిస్టికల్ V. యొక్క వివరణ శాస్త్రీయ పరిశోధనలో ఆధిపత్యం చెలాయిస్తుంది. జ్ఞానం, ఎందుకంటే ఇది నిర్దిష్టంగా ప్రతిబింబిస్తుంది. యాదృచ్ఛిక స్వభావం యొక్క సామూహిక దృగ్విషయాలలో అంతర్లీనంగా ఉన్న నమూనాల స్వభావం. అనేక భౌతిక, జీవ, ఆర్థిక, జనాభా. మరియు ఇతర సామాజిక ప్రక్రియలు, అనేక యాదృచ్ఛిక కారకాల చర్యను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం, ఇవి స్థిరమైన ఫ్రీక్వెన్సీ ద్వారా వర్గీకరించబడతాయి. ఈ స్థిరమైన పౌనఃపున్యాలు మరియు పరిమాణాలను గుర్తించడం. V. సహాయంతో దాని అంచనా అనేక ప్రమాదాల యొక్క సంచిత చర్య ద్వారా దాని మార్గాన్ని రూపొందించే అవసరాన్ని బహిర్గతం చేయడం సాధ్యపడుతుంది. ఇక్కడే అవకాశాన్ని మార్చుకునే మాండలికం దాని అభివ్యక్తిని కనుగొంటుంది (F. ఎంగెల్స్, పుస్తకంలో: K. మార్క్స్ మరియు F. ఎంగెల్స్, వర్క్స్, వాల్యూం. 20, pp. 535-36 చూడండి).
తార్కిక, లేదా ప్రేరక, తార్కికం అనేది ప్రాంగణానికి మరియు నాన్-డెమోస్ట్రేటివ్ మరియు ప్రత్యేకించి, ప్రేరక తార్కికం యొక్క ముగింపు మధ్య సంబంధాన్ని వర్ణిస్తుంది. తగ్గింపు వలె కాకుండా, ఇండక్షన్ యొక్క ప్రాంగణము ముగింపు యొక్క సత్యానికి హామీ ఇవ్వదు, కానీ అది ఎక్కువ లేదా తక్కువ ఆమోదయోగ్యమైనదిగా చేస్తుంది. ఈ ఆమోదయోగ్యత, ఖచ్చితంగా రూపొందించబడిన ప్రాంగణాలతో, కొన్నిసార్లు V ఉపయోగించి అంచనా వేయవచ్చు. ఈ V. విలువ చాలా తరచుగా పోలిక ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. భావనలు (కంటే ఎక్కువ, తక్కువ లేదా సమానం), మరియు కొన్నిసార్లు సంఖ్యా పద్ధతిలో. లాజికల్ ప్రేరక తార్కికతను విశ్లేషించడానికి మరియు సంభావ్య తర్కం యొక్క వివిధ వ్యవస్థలను రూపొందించడానికి వ్యాఖ్యానం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది (R. కార్నాప్, R. జెఫ్రీ). అర్థశాస్త్రంలో తార్కిక భావనలు V. తరచుగా ఒక ప్రకటన ఇతరులచే నిర్ధారించబడిన స్థాయిగా నిర్వచించబడుతుంది (ఉదాహరణకు, దాని అనుభావిక డేటా ద్వారా ఒక పరికల్పన).
నిర్ణయం తీసుకోవడం మరియు ఆటల సిద్ధాంతాల అభివృద్ధికి సంబంధించి, అని పిలవబడేవి V. యొక్క వ్యక్తిగత వివరణ V. అదే సమయంలో విషయం యొక్క విశ్వాసం యొక్క స్థాయిని మరియు ఒక నిర్దిష్ట సంఘటన సంభవించడాన్ని వ్యక్తపరిచినప్పటికీ, V. యొక్క కాలిక్యులస్ యొక్క సిద్ధాంతాలు సంతృప్తి చెందే విధంగా V. వారినే ఎంచుకోవాలి. అందువల్ల, V. అటువంటి వివరణతో ఆత్మాశ్రయ స్థాయిని కాకుండా సహేతుకమైన విశ్వాసాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది. పర్యవసానంగా, అటువంటి V. ఆధారంగా తీసుకున్న నిర్ణయాలు హేతుబద్ధంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి మానసికంగా పరిగణనలోకి తీసుకోవు. విషయం యొక్క లక్షణాలు మరియు వంపులు.
ఎపిస్టెమోలాజికల్ తో t.zr గణాంక, తార్కిక మధ్య వ్యత్యాసం. మరియు V. యొక్క వ్యక్తిగత వివరణలు ఏమిటంటే, మొదటిది యాదృచ్ఛిక స్వభావం యొక్క సామూహిక దృగ్విషయం యొక్క లక్ష్యం లక్షణాలు మరియు సంబంధాలను వర్గీకరిస్తే, చివరి రెండు ఆత్మాశ్రయ, జ్ఞాన లక్షణాలను విశ్లేషిస్తాయి. అనిశ్చితి పరిస్థితుల్లో మానవ కార్యకలాపాలు.
సంభావ్యత
ప్రపంచం, దాని నిర్మాణం, పరిణామం మరియు జ్ఞానం యొక్క ప్రత్యేక దైహిక దృష్టిని వర్ణించే విజ్ఞానశాస్త్రం యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకటి. ప్రపంచం యొక్క సంభావ్య దృక్పథం యొక్క విశిష్టత ఉనికి యొక్క ప్రాథమిక భావనలలో యాదృచ్ఛికత, స్వాతంత్ర్యం మరియు సోపానక్రమం (వ్యవస్థల నిర్మాణం మరియు నిర్ణయంలో స్థాయిల ఆలోచన) యొక్క భావనలను చేర్చడం ద్వారా తెలుస్తుంది.
సంభావ్యత గురించిన ఆలోచనలు పురాతన కాలంలో ఉద్భవించాయి మరియు మన జ్ఞానం యొక్క లక్షణాలకు సంబంధించినవి, అయితే సంభావ్య జ్ఞానం యొక్క ఉనికి గుర్తించబడింది, ఇది నమ్మదగిన జ్ఞానం మరియు తప్పుడు జ్ఞానం నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది. శాస్త్రీయ ఆలోచన మరియు జ్ఞానం యొక్క అభివృద్ధిపై సంభావ్యత యొక్క ఆలోచన యొక్క ప్రభావం గణిత శాస్త్ర విభాగంగా సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అభివృద్ధికి నేరుగా సంబంధించినది. సంభావ్యత యొక్క గణిత సిద్ధాంతం యొక్క మూలం 17వ శతాబ్దానికి చెందినది, అప్పుడు భావనల యొక్క ప్రధాన అభివృద్ధి అనుమతించబడుతుంది. పరిమాణాత్మక (సంఖ్యా) లక్షణాలు మరియు సంభావ్య ఆలోచనను వ్యక్తీకరించడం.
జ్ఞానం యొక్క అభివృద్ధికి సంభావ్యత యొక్క ఇంటెన్సివ్ అప్లికేషన్లు 2వ సగంలో జరుగుతాయి. 19 - 1వ అంతస్తు 20 వ శతాబ్దం ప్రాబబిలిటీ అనేది క్లాసికల్ స్టాటిస్టికల్ ఫిజిక్స్, జెనెటిక్స్, క్వాంటం థియరీ మరియు సైబర్నెటిక్స్ (సమాచార సిద్ధాంతం) వంటి ప్రకృతి యొక్క ప్రాథమిక శాస్త్రాల నిర్మాణాలలోకి ప్రవేశించింది. దీని ప్రకారం, సంభావ్యత అనేది సైన్స్ అభివృద్ధిలో ఆ దశను వ్యక్తీకరిస్తుంది, ఇది ఇప్పుడు నాన్-క్లాసికల్ సైన్స్‌గా నిర్వచించబడింది. సంభావ్య ఆలోచనా విధానం యొక్క కొత్తదనం మరియు లక్షణాలను బహిర్గతం చేయడానికి, సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు దాని అనేక అనువర్తనాల పునాదుల విషయం యొక్క విశ్లేషణ నుండి కొనసాగడం అవసరం. సంభావ్యత సిద్ధాంతం సాధారణంగా కొన్ని పరిస్థితులలో సామూహిక యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాల నమూనాలను అధ్యయనం చేసే గణిత క్రమశిక్షణగా నిర్వచించబడుతుంది. యాదృచ్ఛికత అంటే మాస్ క్యారెక్టర్ యొక్క ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో, ప్రతి ప్రాథమిక దృగ్విషయం యొక్క ఉనికి ఇతర దృగ్విషయాల ఉనికిపై ఆధారపడి ఉండదు మరియు నిర్ణయించబడదు. అదే సమయంలో, దృగ్విషయం యొక్క సామూహిక స్వభావం స్థిరమైన నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు కొన్ని క్రమబద్ధతలను కలిగి ఉంటుంది. సామూహిక దృగ్విషయం చాలా ఖచ్చితంగా ఉపవ్యవస్థలుగా విభజించబడింది మరియు ప్రతి ఉపవ్యవస్థలో (సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ) ప్రాథమిక దృగ్విషయాల సాపేక్ష సంఖ్య చాలా స్థిరంగా ఉంటుంది. ఈ స్థిరత్వం సంభావ్యతతో పోల్చబడుతుంది. మొత్తంగా ఒక సామూహిక దృగ్విషయం సంభావ్యత పంపిణీ ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది, అంటే, ఉపవ్యవస్థలు మరియు వాటి సంబంధిత సంభావ్యతలను పేర్కొనడం ద్వారా. సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క భాష సంభావ్యత పంపిణీల భాష. దీని ప్రకారం, సంభావ్యత సిద్ధాంతం పంపిణీలతో పనిచేసే నైరూప్య శాస్త్రంగా నిర్వచించబడింది.
సంభావ్యత గణాంక నమూనాలు మరియు గణాంక వ్యవస్థల గురించి ఆలోచనలకు సైన్స్‌లో పుట్టుకొచ్చింది. తరువాతి స్వతంత్ర లేదా పాక్షిక-స్వతంత్ర సంస్థల నుండి ఏర్పడిన వ్యవస్థలు, వాటి నిర్మాణం సంభావ్యత పంపిణీల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. కానీ స్వతంత్ర సంస్థల నుండి వ్యవస్థలను ఏర్పరచడం ఎలా సాధ్యమవుతుంది? సమగ్ర లక్షణాలతో కూడిన వ్యవస్థల ఏర్పాటుకు, వ్యవస్థలను సిమెంట్ చేసే వాటి మూలకాల మధ్య తగినంత స్థిరమైన కనెక్షన్లు ఉండటం అవసరం అని సాధారణంగా భావించబడుతుంది. గణాంక వ్యవస్థల స్థిరత్వం బాహ్య పరిస్థితులు, బాహ్య వాతావరణం, బాహ్య కాకుండా అంతర్గత శక్తుల ఉనికి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. సంభావ్యత యొక్క చాలా నిర్వచనం ఎల్లప్పుడూ ప్రారంభ ద్రవ్యరాశి దృగ్విషయం ఏర్పడటానికి పరిస్థితులను సెట్ చేయడంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. సంభావ్యత నమూనాను వర్గీకరించే మరో ముఖ్యమైన ఆలోచన సోపానక్రమం (అధీనం) యొక్క ఆలోచన. ఈ ఆలోచన వ్యక్తిగత మూలకాల యొక్క లక్షణాలు మరియు వ్యవస్థల యొక్క సమగ్ర లక్షణాల మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది: రెండోది, మునుపటి వాటిపై నిర్మించబడింది.
జ్ఞానంలో సంభావ్య పద్ధతుల యొక్క ప్రాముఖ్యత ఏమిటంటే, క్రమానుగత, "రెండు-స్థాయి" నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉన్న వస్తువులు మరియు వ్యవస్థల నిర్మాణం మరియు ప్రవర్తన యొక్క నమూనాలను అధ్యయనం చేయడం మరియు సిద్ధాంతపరంగా వ్యక్తీకరించడం సాధ్యమవుతుంది.
సంభావ్యత యొక్క స్వభావం యొక్క విశ్లేషణ దాని ఫ్రీక్వెన్సీ, గణాంక వివరణపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అదే సమయంలో, చాలా కాలం పాటు, సంభావ్యత యొక్క అటువంటి అవగాహన సైన్స్‌లో ఆధిపత్యం చెలాయించింది, దీనిని తార్కిక లేదా ప్రేరక, సంభావ్యత అని పిలుస్తారు. తార్కిక సంభావ్యత నిర్దిష్ట పరిస్థితులలో ప్రత్యేక, వ్యక్తిగత తీర్పు యొక్క చెల్లుబాటుకు సంబంధించిన ప్రశ్నలపై ఆసక్తిని కలిగి ఉంటుంది. పరిమాణాత్మక రూపంలో ప్రేరక ముగింపు (ఊహాత్మక ముగింపు) యొక్క నిర్ధారణ (విశ్వసనీయత, నిజం) స్థాయిని అంచనా వేయడం సాధ్యమేనా? సంభావ్యత సిద్ధాంతం అభివృద్ధి సమయంలో, ఇటువంటి ప్రశ్నలు పదేపదే చర్చించబడ్డాయి మరియు వారు ఊహాత్మక ముగింపుల నిర్ధారణ స్థాయిల గురించి మాట్లాడటం ప్రారంభించారు. సంభావ్యత యొక్క ఈ కొలత ఇచ్చిన వ్యక్తికి అందుబాటులో ఉన్న సమాచారం, అతని అనుభవం, ప్రపంచంపై అభిప్రాయాలు మరియు మానసిక మనస్తత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. అటువంటి అన్ని సందర్భాలలో, సంభావ్యత యొక్క పరిమాణం ఖచ్చితమైన కొలతలకు అనుకూలంగా ఉండదు మరియు ఆచరణాత్మకంగా స్థిరమైన గణిత క్రమశిక్షణగా సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సామర్థ్యానికి వెలుపల ఉంటుంది.
సంభావ్యత యొక్క ఆబ్జెక్టివ్, తరచుగా చెప్పే వివరణ శాస్త్రంలో గణనీయమైన ఇబ్బందులతో స్థాపించబడింది. ప్రారంభంలో, సంభావ్యత యొక్క స్వభావం యొక్క అవగాహన శాస్త్రీయ విజ్ఞాన శాస్త్రానికి సంబంధించిన తాత్విక మరియు పద్దతిపరమైన అభిప్రాయాలచే బలంగా ప్రభావితమైంది. చారిత్రాత్మకంగా, భౌతిక శాస్త్రంలో సంభావ్యత పద్ధతుల అభివృద్ధి మెకానిక్స్ ఆలోచనల యొక్క నిర్ణయాత్మక ప్రభావంతో సంభవించింది: గణాంక వ్యవస్థలు కేవలం యాంత్రికంగా వివరించబడ్డాయి. మెకానిక్స్ యొక్క కఠినమైన పద్ధతుల ద్వారా సంబంధిత సమస్యలు పరిష్కరించబడనందున, సంభావ్య పద్ధతులు మరియు గణాంక చట్టాల వైపు తిరగడం మన జ్ఞానం యొక్క అసంపూర్ణత యొక్క ఫలితం అని వాదనలు తలెత్తాయి. క్లాసికల్ స్టాటిస్టికల్ ఫిజిక్స్ అభివృద్ధి చరిత్రలో, క్లాసికల్ మెకానిక్స్ ఆధారంగా దానిని నిరూపించడానికి అనేక ప్రయత్నాలు జరిగాయి, కానీ అవన్నీ విఫలమయ్యాయి. సంభావ్యత యొక్క ఆధారం ఏమిటంటే, ఇది యాంత్రిక వ్యవస్థలు కాకుండా నిర్దిష్ట తరగతి వ్యవస్థల యొక్క నిర్మాణ లక్షణాలను వ్యక్తపరుస్తుంది: ఈ వ్యవస్థల మూలకాల యొక్క స్థితి అస్థిరత మరియు ప్రత్యేక (మెకానిక్స్‌కు తగ్గించబడదు) పరస్పర చర్యల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది.
జ్ఞానంలోకి సంభావ్యత యొక్క ప్రవేశం కఠినమైన నిర్ణయాత్మక భావన యొక్క తిరస్కరణకు దారితీస్తుంది, శాస్త్రీయ శాస్త్రం ఏర్పడే ప్రక్రియలో అభివృద్ధి చేయబడిన ప్రాథమిక నమూనా మరియు జ్ఞానం యొక్క తిరస్కరణకు దారితీస్తుంది. గణాంక సిద్ధాంతాల ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహించే ప్రాథమిక నమూనాలు భిన్నమైన, మరింత సాధారణ స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటాయి: అవి యాదృచ్ఛికత మరియు స్వాతంత్ర్యం యొక్క ఆలోచనలను కలిగి ఉంటాయి. సంభావ్యత యొక్క ఆలోచన వస్తువులు మరియు వ్యవస్థల యొక్క అంతర్గత డైనమిక్స్ యొక్క బహిర్గతంతో ముడిపడి ఉంటుంది, ఇది బాహ్య పరిస్థితులు మరియు పరిస్థితుల ద్వారా పూర్తిగా నిర్ణయించబడదు.
స్వాతంత్ర్యం గురించి ఆలోచనల సంపూర్ణీకరణ ఆధారంగా (దృఢమైన నిర్ణయం యొక్క ఉదాహరణకి ముందు) ప్రపంచం యొక్క సంభావ్య దృష్టి యొక్క భావన ఇప్పుడు దాని పరిమితులను వెల్లడించింది, ఇది ఆధునిక విజ్ఞాన శాస్త్రాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి విశ్లేషణాత్మక పద్ధతులకు మార్చడంలో చాలా బలంగా ప్రతిబింబిస్తుంది. సంక్లిష్ట వ్యవస్థలు మరియు స్వీయ-సంస్థ దృగ్విషయం యొక్క భౌతిక మరియు గణిత పునాదులు.
అద్భుతమైన నిర్వచనం
అసంపూర్ణ నిర్వచనం ↓
ప్రతి సంఘటన దాని సంభవించే అవకాశం (దాని అమలు) యొక్క విభిన్న స్థాయిని కలిగి ఉందని స్పష్టమవుతుంది. ఈవెంట్‌లను వాటి సంభావ్యత స్థాయికి అనుగుణంగా ఒకదానితో ఒకటి పరిమాణాత్మకంగా పోల్చడానికి, స్పష్టంగా, ప్రతి ఈవెంట్‌తో నిర్దిష్ట సంఖ్యను అనుబంధించడం అవసరం, ఇది ఎక్కువ, ఈవెంట్ మరింత సాధ్యమవుతుంది. ఈ సంఖ్యను ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత అంటారు.
ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత- ఈ సంఘటన యొక్క ఆబ్జెక్టివ్ అవకాశం యొక్క డిగ్రీ యొక్క సంఖ్యా కొలత.
ఈ ప్రయోగంలో గమనించిన యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం మరియు యాదృచ్ఛిక సంఘటన Aని పరిగణించండి. ఈ ప్రయోగాన్ని n సార్లు పునరావృతం చేద్దాం మరియు m(A) అనేది ఈవెంట్ A సంభవించిన ప్రయోగాల సంఖ్య.
సంబంధం (1.1)
అని పిలిచారు సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీచేసిన ప్రయోగాల శ్రేణిలో ఈవెంట్స్ A.
లక్షణాల చెల్లుబాటును ధృవీకరించడం సులభం:
A మరియు B అస్థిరంగా ఉంటే (AB= ), అప్పుడు ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రయోగాల శ్రేణి తర్వాత మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది మరియు సాధారణంగా చెప్పాలంటే, సిరీస్ నుండి సిరీస్‌కు మారవచ్చు. అయినప్పటికీ, అనేక సందర్భాల్లో, ప్రయోగాల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ నిర్దిష్ట సంఖ్యకు చేరుకుంటుందని అనుభవం చూపిస్తుంది. సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క స్థిరత్వం యొక్క ఈ వాస్తవం పదేపదే ధృవీకరించబడింది మరియు ప్రయోగాత్మకంగా స్థాపించబడినదిగా పరిగణించబడుతుంది.
ఉదాహరణ 1.19.. ఒక్క నాణెం విసిరితే అది ఎటువైపు పడుతుందో ఎవరూ ఊహించలేరు. కానీ మీరు రెండు టన్నుల నాణేలను విసిరితే, ప్రతి ఒక్కరూ కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్‌తో ఒక టన్ను పైకి పడిపోతారని చెబుతారు, అనగా కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్ పడిపోవడం యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ సుమారు 0.5.
ఒకవేళ, ప్రయోగాల సంఖ్య పెరుగుదలతో, ఈవెంట్ ν(A) యొక్క సాపేక్ష పౌనఃపున్యం నిర్దిష్ట స్థిర సంఖ్యకు మొగ్గు చూపితే, అది చెప్పబడింది ఈవెంట్ A గణాంకపరంగా స్థిరంగా ఉంటుంది, మరియు ఈ సంఖ్యను ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యత అంటారు.
ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎకొన్ని స్థిర సంఖ్య P(A) అని పిలుస్తారు, ఈ సంఘటన యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ ν(A) ప్రయోగాల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ ఉంటుంది, అంటే, 
ఈ నిర్వచనం అంటారు సంభావ్యత యొక్క గణాంక నిర్ధారణ .
ఒక నిర్దిష్ట యాదృచ్ఛిక ప్రయోగాన్ని పరిశీలిద్దాం మరియు దాని ప్రాథమిక సంఘటనల స్థలం పరిమిత లేదా అనంతమైన (కానీ లెక్కించదగిన) ప్రాథమిక సంఘటనల ω 1, ω 2, ..., ω i, …. ప్రతి ఎలిమెంటరీ ఈవెంట్ ω iకి ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య కేటాయించబడిందని అనుకుందాం - р i, ఇచ్చిన ప్రాథమిక సంఘటన సంభవించే అవకాశం యొక్క డిగ్రీని వర్గీకరిస్తుంది మరియు క్రింది లక్షణాలను సంతృప్తిపరుస్తుంది:
ఈ సంఖ్య p i అని పిలుస్తారు ప్రాథమిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యతωi.
ఇప్పుడు A అనేది ఈ ప్రయోగంలో గమనించిన యాదృచ్ఛిక సంఘటనగా ఉండనివ్వండి మరియు అది ఒక నిర్దిష్ట సమితికి అనుగుణంగా ఉండనివ్వండి
ఈ సెట్టింగ్‌లో ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఎ A అనుకూలమైన ప్రాథమిక సంఘటనల సంభావ్యత మొత్తాన్ని కాల్ చేయండి(సంబంధిత సెట్ A లో చేర్చబడింది):
(1.4)
ఈ విధంగా ప్రవేశపెట్టిన సంభావ్యత సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీకి సమానమైన లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది, అవి:
మరియు AB = (A మరియు B అననుకూలంగా ఉంటే),
అప్పుడు P(A+B) = P(A) + P(B)
నిజానికి, (1.4) ప్రకారం
చివరి సంబంధంలో, ఒకే ప్రాథమిక సంఘటన కూడా ఒకే సమయంలో రెండు అననుకూల సంఘటనలకు అనుకూలంగా ఉండదనే వాస్తవాన్ని మేము సద్వినియోగం చేసుకున్నాము.
ప్రాబబిలిటీ థియరీ p i ని నిర్ణయించే పద్ధతులను సూచించదని మేము ప్రత్యేకంగా గమనించాము, అవి ఆచరణాత్మక కారణాల కోసం వెతకాలి లేదా సంబంధిత గణాంక ప్రయోగం నుండి పొందాలి.
ఉదాహరణగా, సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క శాస్త్రీయ పథకాన్ని పరిగణించండి. దీన్ని చేయడానికి, ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగాన్ని పరిగణించండి, ప్రాథమిక సంఘటనల స్థలం పరిమిత (n) మూలకాల సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది. ఈ ప్రాథమిక సంఘటనలన్నీ సమానంగా సాధ్యమని, అంటే, ప్రాథమిక సంఘటనల సంభావ్యత p(ω i)=p i =pకి సమానం అని మనం అదనంగా ఊహిద్దాం. ఇది దాన్ని అనుసరిస్తుంది
ఉదాహరణ 1.20. ఒక సుష్ట నాణెం విసిరినప్పుడు, తలలు మరియు తోకలను పొందడం సమానంగా సాధ్యమవుతుంది, వాటి సంభావ్యత 0.5కి సమానం.
ఉదాహరణ 1.21. ఒక సుష్ట డైని విసిరినప్పుడు, అన్ని ముఖాలు సమానంగా సాధ్యమవుతాయి, వాటి సంభావ్యత 1/6కి సమానంగా ఉంటుంది.
ఇప్పుడు ఈవెంట్ A కి m ప్రాథమిక సంఘటనలు అనుకూలంగా ఉండనివ్వండి, వాటిని సాధారణంగా అంటారు ఈవెంట్ Aకి అనుకూలమైన ఫలితాలు. అప్పుడు
వచ్చింది సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ నిర్వచనం: ఈవెంట్ A యొక్క సంభావ్యత P(A) మొత్తం ఫలితాల సంఖ్యకు ఈవెంట్ Aకి అనుకూలమైన ఫలితాల సంఖ్య నిష్పత్తికి సమానం
ఉదాహరణ 1.22. కలశంలో m తెలుపు బంతులు మరియు n నలుపు బంతులు ఉంటాయి. తెల్లటి బంతిని గీయడానికి సంభావ్యత ఏమిటి?
పరిష్కారం. ప్రాథమిక ఈవెంట్‌ల మొత్తం సంఖ్య m+n. అవన్నీ సమానంగా సంభావ్యమైనవి. అనుకూలమైన సంఘటన A వీటిలో m. అందుకే, 
.
సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనం నుండి క్రింది లక్షణాలు అనుసరించబడతాయి:
ఆస్తి 1. నమ్మదగిన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత ఒకదానికి సమానం.
నిజానికి, ఈవెంట్ నమ్మదగినది అయితే, పరీక్ష యొక్క ప్రతి ప్రాథమిక ఫలితం ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా ఉంటుంది. ఈ విషయంలో t=p,అందుచేత,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
ఆస్తి 2. అసాధ్యమైన సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సున్నా.
నిజానికి, ఒక ఈవెంట్ అసాధ్యం అయితే, పరీక్ష యొక్క ప్రాథమిక ఫలితాలు ఏవీ ఈవెంట్‌కు అనుకూలంగా లేవు. ఈ విషయంలో టి= 0, కాబట్టి, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
ఆస్తి 3.యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత సున్నా మరియు ఒకటి మధ్య ధనాత్మక సంఖ్య.
నిజానికి, పరీక్ష యొక్క మొత్తం ప్రాథమిక ఫలితాలలో కొంత భాగం మాత్రమే యాదృచ్ఛిక సంఘటనకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. అంటే, 0≤m≤n, అంటే 0≤m/n≤1, కాబట్టి, ఏదైనా సంఘటన యొక్క సంభావ్యత డబుల్ అసమానత 0≤ని సంతృప్తిపరుస్తుంది పి(ఎ) ≤1. (1.8)
సంభావ్యత (1.5) మరియు సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ (1.1) యొక్క నిర్వచనాలను పోల్చి, మేము ముగించాము: సంభావ్యత యొక్క నిర్వచనం పరీక్ష నిర్వహించాల్సిన అవసరం లేదునిజానికి; సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క నిర్వచనం దానిని ఊహిస్తుంది నిజానికి పరీక్షలు జరిగాయి. వేరే పదాల్లో, సంభావ్యత ప్రయోగానికి ముందు లెక్కించబడుతుంది మరియు సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ - ప్రయోగం తర్వాత.
అయితే, సంభావ్యతను లెక్కించడానికి, ఇచ్చిన ఈవెంట్‌కు అనుకూలమైన ప్రాథమిక ఫలితాల సంఖ్య లేదా సంభావ్యత గురించి ప్రాథమిక సమాచారం అవసరం. అటువంటి ప్రాథమిక సమాచారం లేనప్పుడు, సంభావ్యతను నిర్ణయించడానికి అనుభావిక డేటా ఉపయోగించబడుతుంది, అనగా, సంఘటన యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క ఫలితాల ఆధారంగా నిర్ణయించబడుతుంది.
ఉదాహరణ 1.23. సాంకేతిక నియంత్రణ విభాగం కనుగొన్నారు 3యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న 80 భాగాల బ్యాచ్‌లో ప్రామాణికం కాని భాగాలు. ప్రామాణికం కాని భాగాల సంభవించిన సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ r(A)= 3/80.
ఉదాహరణ 1.24. ప్రయోజనం ప్రకారం.ఉత్పత్తి 24 షాట్, మరియు 19 హిట్‌లు నమోదు చేయబడ్డాయి. సాపేక్ష లక్ష్య హిట్ రేటు. r(A)=19/24.
ఒకే విధమైన పరిస్థితులలో ప్రయోగాలు జరిగితే, ప్రతి దానిలో పరీక్షల సంఖ్య తగినంతగా ఉంటే, సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ స్థిరత్వం యొక్క ఆస్తిని ప్రదర్శిస్తుందని దీర్ఘకాలిక పరిశీలనలు చూపించాయి. ఈ ఆస్తి వివిధ ప్రయోగాలలో సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ కొద్దిగా మారుతుంది (తక్కువ, ఎక్కువ పరీక్షలు నిర్వహిస్తారు), నిర్దిష్ట స్థిరమైన సంఖ్య చుట్టూ హెచ్చుతగ్గులకు గురవుతుంది.ఈ స్థిరమైన సంఖ్యను సంభావ్యత యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువగా తీసుకోవచ్చని తేలింది.
సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంభావ్యత మధ్య సంబంధం మరింత వివరంగా మరియు మరింత ఖచ్చితంగా క్రింద వివరించబడుతుంది. ఇప్పుడు ఉదాహరణలతో స్థిరత్వం యొక్క ఆస్తిని ఉదహరిద్దాం.
ఉదాహరణ 1.25. స్వీడిష్ గణాంకాల ప్రకారం, నెలవారీగా 1935లో ఆడపిల్లల జననాల సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ క్రింది సంఖ్యల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది (సంఖ్యలు నెలల క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటాయి. జనవరి): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
సాపేక్ష పౌనఃపున్యం 0.481 సంఖ్య చుట్టూ హెచ్చుతగ్గులకు గురవుతుంది, ఇది బాలికలను కలిగి ఉండే సంభావ్యతకు సుమారుగా విలువగా తీసుకోబడుతుంది.
వివిధ దేశాల నుండి వచ్చిన గణాంక డేటా దాదాపు ఒకే సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ విలువను ఇస్తుందని గమనించండి.
ఉదాహరణ 1.26.నాణెం విసిరే ప్రయోగాలు చాలాసార్లు జరిగాయి, దీనిలో "కోట్ ఆఫ్ ఆర్మ్స్" యొక్క ప్రదర్శనల సంఖ్య లెక్కించబడుతుంది. అనేక ప్రయోగాల ఫలితాలు పట్టికలో చూపించబడ్డాయి.
కాబట్టి, చాలా మందికి ఆసక్తి కలిగించే అంశం గురించి మాట్లాడుకుందాం. ఈ ఆర్టికల్లో నేను ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను ఎలా లెక్కించాలనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇస్తాను. నేను అటువంటి గణన కోసం సూత్రాలను ఇస్తాను మరియు ఇది ఎలా జరుగుతుందో స్పష్టంగా చెప్పడానికి అనేక ఉదాహరణలను ఇస్తాను.
సంభావ్యత అంటే ఏమిటి
ఈ లేదా ఆ సంఘటన సంభవించే సంభావ్యత కొంత ఫలితం యొక్క ఆఖరి సంఘటనలో కొంత విశ్వాసం అనే వాస్తవంతో ప్రారంభిద్దాం. ఈ గణన కోసం, షరతులతో కూడిన సంభావ్యత అని పిలవబడే ద్వారా మీకు ఆసక్తి ఉన్న ఈవెంట్ జరుగుతుందో లేదో నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే మొత్తం సంభావ్యత ఫార్ములా అభివృద్ధి చేయబడింది. ఈ ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది: P = n/m, అక్షరాలు మారవచ్చు, కానీ ఇది సారాంశాన్ని ప్రభావితం చేయదు.
సంభావ్యత యొక్క ఉదాహరణలు
ఒక సాధారణ ఉదాహరణను ఉపయోగించి, ఈ సూత్రాన్ని విశ్లేషించి, దానిని వర్తింపజేద్దాం. మీకు ఒక నిర్దిష్ట సంఘటన (P) ఉందని అనుకుందాం, అది పాచికల విసరడం, అంటే సమబాహు డై. మరియు దానిపై 2 పాయింట్లను పొందే సంభావ్యత ఏమిటో మనం లెక్కించాలి. దీన్ని చేయడానికి, మీకు సానుకూల సంఘటనల సంఖ్య (n) అవసరం, మా విషయంలో - 2 పాయింట్ల నష్టం, మొత్తం ఈవెంట్‌ల సంఖ్య (m). 2 పాయింట్ల రోల్ ఒక సందర్భంలో మాత్రమే జరుగుతుంది, పాచికలపై 2 పాయింట్లు ఉంటే, లేకుంటే మొత్తం ఎక్కువగా ఉంటుంది, అది n = 1 అని అనుసరిస్తుంది. తర్వాత, మనం ఏదైనా ఇతర సంఖ్యల రోల్స్ సంఖ్యను గణిస్తాము. పాచికలు, 1 పాచికలు - ఇవి 1, 2, 3, 4, 5 మరియు 6, కాబట్టి, 6 అనుకూలమైన సందర్భాలు ఉన్నాయి, అంటే m = 6. ఇప్పుడు, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము P = 1/ అనే సాధారణ గణనను చేస్తాము. 6 మరియు డైస్‌పై 2 పాయింట్ల రోల్ 1/6 అని మేము కనుగొన్నాము, అంటే ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత చాలా తక్కువగా ఉంటుంది.
ఒక పెట్టెలో ఉన్న రంగు బంతులను ఉపయోగించి ఒక ఉదాహరణను కూడా చూద్దాం: 50 తెలుపు, 40 నలుపు మరియు 30 ఆకుపచ్చ. ఆకుపచ్చ బంతిని గీయడం యొక్క సంభావ్యత ఏమిటో మీరు గుర్తించాలి. కాబట్టి, ఈ రంగులో 30 బంతులు ఉన్నందున, అంటే 30 సానుకూల సంఘటనలు (n = 30) మాత్రమే ఉండవచ్చు, అన్ని ఈవెంట్‌ల సంఖ్య 120, m = 120 (మొత్తం బంతుల సంఖ్య ఆధారంగా), ఆకుపచ్చ బంతిని గీయడం యొక్క సంభావ్యత P = 30/120 = 0.25, అంటే 100లో 25%కి సమానంగా ఉంటుందని మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణిస్తాము. అదే విధంగా, మీరు ఒక బంతిని గీయడానికి సంభావ్యతను లెక్కించవచ్చు. వివిధ రంగులు (నలుపు 33%, తెలుపు 42%).
వాస్తవానికి, సూత్రాలు (1) మరియు (2) అనేది లక్షణాల యొక్క ఆకస్మిక పట్టిక ఆధారంగా షరతులతో కూడిన సంభావ్యత యొక్క చిన్న రికార్డు. చర్చించిన ఉదాహరణకి తిరిగి వద్దాం (Fig. 1). ఒక కుటుంబం వైడ్ స్క్రీన్ టెలివిజన్‌ని కొనుగోలు చేయాలని ఆలోచిస్తున్నట్లు మనకు తెలిసింది అనుకుందాం. ఈ కుటుంబం నిజంగా అలాంటి టీవీని కొనుగోలు చేసే సంభావ్యత ఎంత?
అన్నం. 1. వైడ్ స్క్రీన్ TV కొనుగోలు ప్రవర్తన
ఈ సందర్భంలో, మేము షరతులతో కూడిన సంభావ్యత P (కొనుగోలు పూర్తయింది | కొనుగోలు ప్రణాళిక) లెక్కించాలి. కుటుంబం కొనుగోలు చేయడానికి ప్లాన్ చేస్తుందని మాకు తెలుసు కాబట్టి, నమూనా స్థలం మొత్తం 1000 కుటుంబాలను కలిగి ఉండదు, కానీ వైడ్ స్క్రీన్ టీవీని కొనుగోలు చేయాలనుకునే వారు మాత్రమే. అలాంటి 250 కుటుంబాలలో 200 మంది ఈ టీవీని కొనుగోలు చేశారు. అందువల్ల, ఒక కుటుంబం వాస్తవానికి వైడ్ స్క్రీన్ టీవీని కొనుగోలు చేయడానికి ప్లాన్ చేసినట్లయితే సంభావ్యతను క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:
P (కొనుగోలు పూర్తయింది | కొనుగోలు ప్రణాళిక చేయబడింది) = వైడ్ స్క్రీన్ టీవీని ప్లాన్ చేసి కొనుగోలు చేసిన కుటుంబాల సంఖ్య / వైడ్ స్క్రీన్ టీవీని కొనుగోలు చేయాలనుకుంటున్న కుటుంబాల సంఖ్య = 200 / 250 = 0.8
ఫార్ములా (2) అదే ఫలితాన్ని ఇస్తుంది:
ఈవెంట్ ఎక్కడ ఉంది ఎకుటుంబం వైడ్ స్క్రీన్ TV మరియు ఈవెంట్‌ని కొనుగోలు చేయడానికి ప్లాన్ చేస్తోంది IN- ఆమె నిజంగా కొనుగోలు చేస్తుంది. ఫార్ములాలో నిజమైన డేటాను భర్తీ చేయడం ద్వారా, మేము పొందుతాము:
నిర్ణయ చెట్టు
అంజీర్లో. 1 కుటుంబాలు నాలుగు వర్గాలుగా విభజించబడ్డాయి: వైడ్ స్క్రీన్ టీవీని కొనుగోలు చేయాలని ప్లాన్ చేసిన వారు మరియు చేయని వారు, అలాగే అలాంటి టీవీని కొనుగోలు చేసిన వారు మరియు చేయని వారు. నిర్ణయం చెట్టు (Fig. 2) ఉపయోగించి ఇదే విధమైన వర్గీకరణను నిర్వహించవచ్చు. అంజీర్లో చూపిన చెట్టు. 2లో వైడ్ స్క్రీన్ టీవీని కొనుగోలు చేయాలని ప్లాన్ చేసిన కుటుంబాలు మరియు కొనుగోలు చేయని కుటుంబాలకు సంబంధించి రెండు శాఖలు ఉన్నాయి. ఈ శాఖలలో ప్రతి ఒక్కటి వైడ్ స్క్రీన్ టీవీని కొనుగోలు చేసిన మరియు కొనుగోలు చేయని కుటుంబాలకు అనుగుణంగా రెండు అదనపు శాఖలుగా విభజించబడింది. రెండు ప్రధాన శాఖల చివర్లలో వ్రాయబడిన సంభావ్యతలు సంఘటనల యొక్క షరతులు లేని సంభావ్యతలు. ఎమరియు ఎ'. నాలుగు అదనపు శాఖల చివర్లలో వ్రాయబడిన సంభావ్యత సంఘటనల యొక్క ప్రతి కలయిక యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత. ఎమరియు IN. షరతులతో కూడిన సంభావ్యత సంఘటనల ఉమ్మడి సంభావ్యతను వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సంబంధిత షరతులు లేని సంభావ్యతతో విభజించడం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది.
అన్నం. 2. నిర్ణయం చెట్టు
ఉదాహరణకు, ఒక కుటుంబం వైడ్-స్క్రీన్ టెలివిజన్‌ని కొనుగోలు చేయడానికి ప్లాన్ చేసినట్లయితే దానిని కొనుగోలు చేసే సంభావ్యతను లెక్కించడానికి, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను తప్పనిసరిగా నిర్ణయించాలి. కొనుగోలు ప్రణాళిక మరియు పూర్తయింది, ఆపై ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ద్వారా దానిని విభజించండి కొనుగోలు ప్రణాళిక. అంజీర్లో చూపిన నిర్ణయం చెట్టు వెంట కదులుతోంది. 2, మేము క్రింది (మునుపటి మాదిరిగానే) సమాధానం పొందుతాము:
గణాంక స్వాతంత్ర్యం
వైడ్-స్క్రీన్ టీవీని కొనుగోలు చేసే ఉదాహరణలో, యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన కుటుంబం వైడ్-స్క్రీన్ టీవీని కొనుగోలు చేసిన సంభావ్యత 200/250 = 0.8. యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన కుటుంబం వైడ్ స్క్రీన్ టీవీని కొనుగోలు చేసిన షరతులు లేని సంభావ్యత 300/1000 = 0.3 అని గుర్తుంచుకోండి. ఇది చాలా ముఖ్యమైన ముగింపుకు దారి తీస్తుంది. కుటుంబం కొనుగోలు చేయడానికి ప్లాన్ చేస్తున్నారనే ముందస్తు సమాచారం కొనుగోలు యొక్క సంభావ్యతను ప్రభావితం చేస్తుంది.మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఈ రెండు సంఘటనలు ఒకదానికొకటి ఆధారపడి ఉంటాయి. ఈ ఉదాహరణకి విరుద్ధంగా, సంభావ్యత ఒకదానిపై ఒకటి ఆధారపడని గణాంకపరంగా స్వతంత్ర సంఘటనలు ఉన్నాయి. గణాంక స్వాతంత్ర్యం గుర్తింపు ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది: P(A|B) = P(A), ఎక్కడ పి(ఎ|బి)- ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎసంఘటన జరిగినట్లు అందించారు IN, పి(ఎ)- ఈవెంట్ A యొక్క షరతులు లేని సంభావ్యత.
దయచేసి సంఘటనలను గమనించండి ఎమరియు IN P(A|B) = P(A). 2×2 పరిమాణాన్ని కలిగి ఉన్న లక్షణాల యొక్క ఆకస్మిక పట్టికలో ఉంటే, ఈ పరిస్థితి కనీసం ఒక ఈవెంట్‌ల కలయికకు సంతృప్తి చెందుతుంది ఎమరియు IN, ఇది ఏ ఇతర కలయికకైనా చెల్లుబాటు అవుతుంది. మా ఉదాహరణ సంఘటనలలో కొనుగోలు ప్రణాళికమరియు కొనుగోలు పూర్తయిందిగణాంకపరంగా స్వతంత్రంగా ఉండవు ఎందుకంటే ఒక సంఘటన గురించిన సమాచారం మరొకటి సంభావ్యతను ప్రభావితం చేస్తుంది.
రెండు సంఘటనల గణాంక స్వతంత్రతను ఎలా పరీక్షించాలో చూపే ఉదాహరణను చూద్దాం. వైడ్ స్క్రీన్ టీవీని కొనుగోలు చేసిన 300 కుటుంబాల వారు తమ కొనుగోలుతో సంతృప్తి చెందారా అని అడుగుదాం (Fig. 3). కొనుగోలుతో సంతృప్తి స్థాయి మరియు TV రకం సంబంధితంగా ఉందో లేదో నిర్ణయించండి.
అన్నం. 3. వైడ్ స్క్రీన్ టీవీల కొనుగోలుదారుల సంతృప్తి స్థాయిని వివరించే డేటా
ఈ డేటాను బట్టి చూస్తే,
అదే సమయంలో,
P (కస్టమర్ సంతృప్తి చెందారు) = 240 / 300 = 0.80
అందువల్ల, కస్టమర్ కొనుగోలుతో సంతృప్తి చెంది, కుటుంబం HDTVని కొనుగోలు చేసిన సంభావ్యత సమానంగా ఉంటుంది మరియు ఈ ఈవెంట్‌లు ఏ విధంగానూ సంబంధం లేని కారణంగా గణాంకపరంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి.
సంభావ్యత గుణకార నియమం
షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను లెక్కించడానికి సూత్రం ఉమ్మడి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ఎ మరియు బి. ఫార్ములా (1) పరిష్కరించబడింది
ఉమ్మడి సంభావ్యతకు సంబంధించి P(A మరియు B), సంభావ్యతలను గుణించడం కోసం మేము సాధారణ నియమాన్ని పొందుతాము. ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎ మరియు బిఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతకు సమానం ఎఈవెంట్ సంభవిస్తుందని అందించబడింది IN IN:
(3) P(A మరియు B) = P(A|B) * P(B)
వైడ్ స్క్రీన్ HDTV టెలివిజన్ (Fig. 3) కొనుగోలు చేసిన 80 కుటుంబాలను ఉదాహరణగా తీసుకుందాం. 64 కుటుంబాలు కొనుగోలుతో సంతృప్తి చెందాయని మరియు 16 కుటుంబాలు సంతృప్తి చెందలేదని పట్టిక చూపిస్తుంది. వాటిలో నుండి రెండు కుటుంబాలు యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడతాయని మనం అనుకుందాం. ఇద్దరు కస్టమర్‌లు సంతృప్తి చెందే సంభావ్యతను నిర్ణయించండి. ఫార్ములా (3) ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:
P(A మరియు B) = P(A|B) * P(B)
ఈవెంట్ ఎక్కడ ఉంది ఎరెండవ కుటుంబం వారి కొనుగోలు మరియు ఈవెంట్‌తో సంతృప్తి చెందింది IN- మొదటి కుటుంబం వారి కొనుగోలుతో సంతృప్తి చెందింది. మొదటి కుటుంబం వారి కొనుగోలుతో సంతృప్తి చెందే సంభావ్యత 64/80. అయితే, రెండవ కుటుంబం కూడా వారి కొనుగోలుతో సంతృప్తి చెందే అవకాశం మొదటి కుటుంబం యొక్క ప్రతిస్పందనపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మొదటి కుటుంబం సర్వే తర్వాత (రిటర్న్ లేకుండా ఎంపిక) నమూనాకు తిరిగి రాకపోతే, ప్రతివాదుల సంఖ్య 79కి తగ్గించబడుతుంది. మొదటి కుటుంబం వారి కొనుగోలుతో సంతృప్తి చెందితే, రెండవ కుటుంబం కూడా సంతృప్తి చెందే సంభావ్యత 63 /79, ఎందుకంటే వారి కొనుగోలుతో సంతృప్తి చెందిన నమూనా కుటుంబాలలో కేవలం 63 మంది మాత్రమే మిగిలి ఉన్నారు. కాబట్టి, నిర్దిష్ట డేటాను ఫార్ములా (3)కి ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, మేము ఈ క్రింది సమాధానాన్ని పొందుతాము:
P(A మరియు B) = (63/79)(64/80) = 0.638.
అందువల్ల, రెండు కుటుంబాలు వారి కొనుగోళ్లతో సంతృప్తి చెందే సంభావ్యత 63.8%.
సర్వే తర్వాత మొదటి కుటుంబం నమూనాకు తిరిగి వచ్చిందని అనుకుందాం. రెండు కుటుంబాలు వారి కొనుగోలుతో సంతృప్తి చెందే సంభావ్యతను నిర్ణయించండి. ఈ సందర్భంలో, రెండు కుటుంబాలు వారి కొనుగోలుతో సంతృప్తి చెందే సంభావ్యత 64/80కి సమానంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, P(A మరియు B) = (64/80)(64/80) = 0.64. అందువలన, రెండు కుటుంబాలు వారి కొనుగోళ్లతో సంతృప్తి చెందే సంభావ్యత 64.0%. రెండవ కుటుంబం యొక్క ఎంపిక మొదటి ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదని ఈ ఉదాహరణ చూపిస్తుంది. అందువలన, ఫార్ములా (3)లో షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను భర్తీ చేయడం పి(ఎ|బి)సంభావ్యత పి(ఎ), స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యతలను గుణించడం కోసం మేము ఒక సూత్రాన్ని పొందుతాము.
స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యతలను గుణించే నియమం.ఈవెంట్స్ ఉంటే ఎమరియు INగణాంకపరంగా స్వతంత్రంగా ఉంటాయి, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత ఎ మరియు బిఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతకు సమానం ఎ, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతతో గుణించబడుతుంది IN.
(4) P(A మరియు B) = P(A)P(B)
ఈవెంట్‌లకు ఈ నియమం నిజమైతే ఎమరియు IN, అంటే అవి గణాంకపరంగా స్వతంత్రమైనవి. ఈ విధంగా, రెండు సంఘటనల యొక్క గణాంక స్వతంత్రతను నిర్ణయించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి:
- ఈవెంట్స్ ఎమరియు INఒకదానికొకటి గణాంకపరంగా స్వతంత్రంగా ఉంటే మరియు మాత్రమే P(A|B) = P(A).
- ఈవెంట్స్ ఎమరియు బిఒకదానికొకటి గణాంకపరంగా స్వతంత్రంగా ఉంటే మరియు మాత్రమే P(A మరియు B) = P(A)P(B).
2x2 ఆకస్మిక పట్టికలో ఉంటే, కనీసం ఒక ఈవెంట్‌ల కలయిక కోసం ఈ షరతుల్లో ఒకటి నెరవేరుతుంది ఎమరియు బి, ఇది ఏ ఇతర కలయికకైనా చెల్లుబాటు అవుతుంది.
ప్రాథమిక సంఘటన యొక్క షరతులు లేని సంభావ్యత
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
ఇక్కడ ఈవెంట్‌లు B 1, B 2, ... B k పరస్పరం ప్రత్యేకమైనవి మరియు సమగ్రమైనవి.
అంజీర్ 1 యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఈ ఫార్ములా యొక్క అనువర్తనాన్ని ఉదహరిద్దాం. ఫార్ములా (5) ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
ఎక్కడ పి(ఎ)- కొనుగోలు ప్రణాళిక చేయబడిన సంభావ్యత, పి(బి 1)- కొనుగోలు చేసిన సంభావ్యత, పి(బి 2)- కొనుగోలు పూర్తికాని సంభావ్యత.
బేయెస్ సిద్ధాంతం
ఈవెంట్ యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత కొన్ని ఇతర ఈవెంట్ సంభవించిన సమాచారాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. కొత్తగా అందుకున్న సమాచారాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొని సంభావ్యతను మెరుగుపరచడానికి మరియు గమనించిన ప్రభావం ఒక నిర్దిష్ట కారణం యొక్క పర్యవసానంగా సంభావ్యతను లెక్కించడానికి ఈ విధానాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. ఈ సంభావ్యతలను శుద్ధి చేసే విధానాన్ని బేయస్ సిద్ధాంతం అంటారు. దీనిని మొదట 18వ శతాబ్దంలో థామస్ బేస్ అభివృద్ధి చేశారు.
పైన పేర్కొన్న కంపెనీ కొత్త టీవీ మోడల్ కోసం మార్కెట్‌పై పరిశోధన చేస్తోందని అనుకుందాం. గతంలో, కంపెనీ రూపొందించిన 40% టీవీలు విజయవంతమయ్యాయి, అయితే 60% మోడల్‌లకు గుర్తింపు లేదు. కొత్త మోడల్ విడుదలను ప్రకటించే ముందు, మార్కెటింగ్ నిపుణులు మార్కెట్‌ను జాగ్రత్తగా పరిశోధించి డిమాండ్‌ను నమోదు చేస్తారు. గతంలో, 80% విజయవంతమైన నమూనాలు విజయవంతమవుతాయని అంచనా వేయబడింది, అయితే 30% విజయవంతమైన అంచనాలు తప్పుగా మారాయి. మార్కెటింగ్ శాఖ కొత్త మోడల్‌కు అనుకూలమైన సూచనను ఇచ్చింది. కొత్త టీవీ మోడల్‌కు డిమాండ్ ఉండే అవకాశం ఏమిటి?
బేయెస్ సిద్ధాంతాన్ని షరతులతో కూడిన సంభావ్యత (1) మరియు (2) నిర్వచనాల నుండి తీసుకోవచ్చు. సంభావ్యత P(B|A)ని గణించడానికి, ఫార్ములా (2)ని తీసుకోండి:
మరియు P(A మరియు B)కి బదులుగా ఫార్ములా (3) నుండి విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:
P(A మరియు B) = P(A|B) * P(B)
P(A)కి బదులుగా ఫార్ములా (5)ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మేము బేయస్ సిద్ధాంతాన్ని పొందుతాము:
ఇక్కడ ఈవెంట్‌లు B 1, B 2, ... B k పరస్పరం ప్రత్యేకమైనవి మరియు సమగ్రమైనవి.
కింది సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం: ఈవెంట్ S - టీవీకి డిమాండ్ ఉంది, ఈవెంట్ S’ - టీవీకి గిరాకీ లేదు, ఈవెంట్ F - అనుకూలమైన రోగ నిరూపణ, ఈవెంట్ F’ - పేద రోగ నిరూపణ. P(S) = 0.4, P(S') = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S') = 0.3 అని అనుకుందాం. బేయెస్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది:
అనుకూలమైన సూచన ఇచ్చిన కొత్త టీవీ మోడల్‌కు డిమాండ్ సంభావ్యత 0.64. అందువల్ల, అనుకూలమైన సూచన ఇచ్చిన డిమాండ్ లేకపోవడం సంభావ్యత 1–0.64=0.36. గణన ప్రక్రియ అంజీర్లో చూపబడింది. 4.
అన్నం. 4. (ఎ) టెలివిజన్ల డిమాండ్ సంభావ్యతను అంచనా వేయడానికి బేయస్ ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కలు; (బి) కొత్త TV మోడల్ కోసం డిమాండ్‌ను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు నిర్ణయాత్మక వృక్షం
మెడికల్ డయాగ్నస్టిక్స్ కోసం బేయెస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించే ఉదాహరణను చూద్దాం. ఒక వ్యక్తి ఒక నిర్దిష్ట వ్యాధితో బాధపడే సంభావ్యత 0.03. ఇది నిజమో కాదో వైద్య పరీక్ష ద్వారా తెలుసుకోవచ్చు. ఒక వ్యక్తి నిజంగా అనారోగ్యంతో ఉంటే, ఖచ్చితమైన రోగనిర్ధారణ సంభావ్యత (వ్యక్తి నిజంగా అనారోగ్యంతో ఉన్నప్పుడు అనారోగ్యంతో ఉన్నాడని చెప్పడం) 0.9. ఒక వ్యక్తి ఆరోగ్యంగా ఉన్నట్లయితే, తప్పుడు సానుకూల నిర్ధారణ యొక్క సంభావ్యత (ఒక వ్యక్తి ఆరోగ్యంగా ఉన్నప్పుడు అనారోగ్యంతో ఉన్నాడని చెప్పడం) 0.02. వైద్య పరీక్ష సానుకూల ఫలితాన్ని ఇస్తుందని చెప్పండి. ఒక వ్యక్తి నిజంగా అనారోగ్యంతో ఉన్న సంభావ్యత ఏమిటి? ఖచ్చితమైన రోగ నిర్ధారణ యొక్క సంభావ్యత ఏమిటి?
కింది సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం: ఈవెంట్ D - వ్యక్తి అనారోగ్యంతో ఉన్నాడు, ఈవెంట్ D’ - వ్యక్తి ఆరోగ్యంగా ఉన్నాడు, ఈవెంట్ T - రోగ నిర్ధారణ సానుకూలంగా ఉంటుంది, ఈవెంట్ T’ - ప్రతికూల నిర్ధారణ. సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి P(D) = 0.03, P(D') = 0.97, P(T|D) = 0.90, P(T|D') = 0.02. ఫార్ములా (6) వర్తింపజేస్తే, మేము పొందుతాము:
సానుకూల రోగ నిర్ధారణతో ఒక వ్యక్తి నిజంగా అనారోగ్యంతో ఉన్న సంభావ్యత 0.582 (అంజీర్ 5 కూడా చూడండి). దయచేసి బేయస్ ఫార్ములా యొక్క హారం సానుకూల రోగ నిర్ధారణ యొక్క సంభావ్యతకు సమానం అని గమనించండి, అనగా. 0.0464.
ఈవెంట్‌లు H 1, H 2, ..., H n పూర్తి సమూహాన్ని ఏర్పరుచుకుంటే, ఏకపక్ష ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను లెక్కించడానికి మీరు మొత్తం సంభావ్యత సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:
P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H 2) P(H 2)
దీని ప్రకారం ఈవెంట్ A సంభవించే సంభావ్యతను ఈవెంట్ A యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తంగా సూచించవచ్చు, ఈ సంఘటనల H i యొక్క షరతులు లేని సంభావ్యత ద్వారా H i సంఘటనల సంభవానికి లోబడి ఉంటుంది. ఈ సంఘటనలు H iని పరికల్పనలు అంటారు.
టోటల్ ప్రాబబిలిటీ ఫార్ములా నుండి బేయస్ సూత్రాన్ని అనుసరిస్తుంది:
పరికల్పనల యొక్క P(H i) సంభావ్యతలను H i ప్రయోరి సంభావ్యత అంటారు - ప్రయోగాలు చేసే ముందు సంభావ్యత.
సంభావ్యత P(A/H i)ని పృష్ఠ సంభావ్యత అని పిలుస్తారు - పరికల్పనల సంభావ్యత H i, అనుభవం ఫలితంగా శుద్ధి చేయబడింది.
సేవ యొక్క ఉద్దేశ్యం. ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ వర్డ్ ఫార్మాట్‌లో వ్రాసిన మొత్తం పరిష్కార ప్రక్రియతో మొత్తం సంభావ్యతను లెక్కించడానికి రూపొందించబడింది (సమస్య పరిష్కారానికి ఉదాహరణలను చూడండి).
ఉదాహరణ సంఖ్య 1. స్టోర్ రెండు ఫ్యాక్టరీల నుండి లైట్ బల్బులను అందుకుంటుంది, మొదటి ఫ్యాక్టరీ వాటా 25%. ఈ కర్మాగారాలలో లోపాల శాతం వరుసగా అన్ని తయారు చేయబడిన ఉత్పత్తులలో 5% మరియు 10%కి సమానం అని తెలిసింది. విక్రేత యాదృచ్ఛికంగా ఒక లైట్ బల్బును తీసుకుంటాడు. ఇది లోపభూయిష్టంగా ఉండే సంభావ్యత ఏమిటి?
పరిష్కారం:సంఘటనను A ద్వారా సూచిస్తాము - "లైట్ బల్బ్ లోపభూయిష్టంగా మారుతుంది." ఈ లైట్ బల్బ్ యొక్క మూలం గురించి క్రింది పరికల్పనలు సాధ్యమే: H 1- "లైట్ బల్బ్ మొదటి ఫ్యాక్టరీ నుండి వచ్చింది." H 2- "లైట్ బల్బ్ రెండవ మొక్క నుండి వచ్చింది." మొదటి మొక్క యొక్క వాటా 25% కాబట్టి, ఈ పరికల్పనల సంభావ్యతలు వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి. 
; 
.
మొదటి ప్లాంట్ ద్వారా లోపభూయిష్ట లైట్ బల్బ్ ఉత్పత్తి చేయబడే షరతులతో కూడిన సంభావ్యత 
, రెండవ మొక్క - p(A/H 2)=
మొత్తం సంభావ్యత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి విక్రేత ఒక లోపభూయిష్ట లైట్ బల్బును తీసుకున్నట్లు అవసరమైన సంభావ్యతను మేము కనుగొన్నాము
0.25·0.05+0.75·0.10=0.0125+0.075=0.0875
సమాధానం: p(A)= 0,0875.
ఉదాహరణ సంఖ్య 2. స్టోర్ అదే పేరుతో ఉత్పత్తి యొక్క రెండు సమాన పరిమాణాలను పొందింది. మొదటి బ్యాచ్‌లో 25%, రెండవ బ్యాచ్‌లో 40% ఫస్ట్‌క్లాస్ వస్తువులే అని తెలిసింది. యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన వస్తువుల యూనిట్ మొదటి గ్రేడ్‌లో ఉండకపోవడానికి సంభావ్యత ఎంత?
పరిష్కారం:
A ఈవెంట్ ద్వారా సూచిస్తాము - "ఉత్పత్తి మొదటి తరగతి అవుతుంది." ఈ ఉత్పత్తి యొక్క మూలం గురించి క్రింది పరికల్పనలు సాధ్యమే: H 1- "మొదటి బ్యాచ్ నుండి ఉత్పత్తి." H 2- "రెండవ బ్యాచ్ నుండి ఉత్పత్తి." మొదటి బ్యాచ్ వాటా 25% కాబట్టి, ఈ పరికల్పనల సంభావ్యత వరుసగా సమానంగా ఉంటుంది. ; 
.
మొదటి బ్యాచ్ నుండి ఉత్పత్తి యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత 
, రెండవ బ్యాచ్ నుండి - 
యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన వస్తువుల యూనిట్ మొదటి తరగతికి కావలసిన సంభావ్యత
p(A) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2) (A/H 2)= 0.25·0.5+0.4·0.5=0.125+0.2=0.325
అప్పుడు, యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన వస్తువుల యూనిట్ మొదటి గ్రేడ్‌కు సమానం కాదు: 1- 0.325 = 0.675
సమాధానం:
.
ఉదాహరణ సంఖ్య 3. 5% పురుషులు మరియు 1% స్త్రీలు వర్ణాంధత్వం ఉన్నారని తెలిసింది. యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన వ్యక్తి రంగు అంధుడు కాదని తేలింది. ఇది పురుషుడు (పురుషులు మరియు స్త్రీలు సమాన సంఖ్యలో ఉన్నారని భావించండి) సంభావ్యత ఏమిటి.
పరిష్కారం.
ఈవెంట్ A - యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన వ్యక్తి రంగు అంధుడు కాదని తేలింది.
ఈ ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
P(A) = P(A|H=పురుషుడు) + P(A|H=స్త్రీ) = 0.95*0.5 + 0.99*0.5 = 0.475 + 0.495 = 0.97
అప్పుడు ఇది మనిషి అని సంభావ్యత: p = P(A|H=man) / P(A) = 0.475/0.97 = 0.4897
ఉదాహరణ సంఖ్య 4. 4 మొదటి-సంవత్సరం విద్యార్థులు, 6 రెండవ-సంవత్సరం విద్యార్థులు మరియు 5 మూడవ-సంవత్సరం విద్యార్థులు క్రీడా ఒలింపియాడ్‌లో పాల్గొంటారు, మొదటి-, రెండవ-, మూడవ-సంవత్సరం విద్యార్థి ఒలింపియాడ్‌ను గెలుచుకునే సంభావ్యత వరుసగా 0.9; 0.7 మరియు 0.8.
ఎ) యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన పాల్గొనేవారి ద్వారా గెలిచే సంభావ్యతను కనుగొనండి.
బి) ఈ సమస్య యొక్క పరిస్థితులలో, ఒక విద్యార్థి ఒలింపియాడ్‌ను గెలుచుకున్నాడు. అతను ఎక్కువగా ఏ సమూహానికి చెందినవాడు?
పరిష్కారం.
ఈవెంట్ A - యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన పాల్గొనేవారి విజయం.
ఇక్కడ P(H1) = 4/(4+6+5) = 0.267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0.4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0.333,
P(A|H1) = 0.9, P(A|H2) = 0.7, P(A|H3) = 0.8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.267*0.9 + 0.4*0.7 + 0.333*0.8 = 0.787
బి) ఈ కాలిక్యులేటర్ ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని పొందవచ్చు.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
p1, p2, p3 నుండి, గరిష్టంగా ఒకదాన్ని ఎంచుకోండి.
ఉదాహరణ సంఖ్య 5. కంపెనీకి ఒకే రకమైన మూడు యంత్రాలు ఉన్నాయి. వాటిలో ఒకటి మొత్తం ఉత్పత్తిలో 20%, రెండవది - 30%, మూడవది - 50% అందిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, మొదటి యంత్రం 5% లోపాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది, రెండవది 4%, మూడవది - 2%. యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన లోపభూయిష్ట ఉత్పత్తి మొదటి యంత్రం ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడే సంభావ్యతను కనుగొనండి.