ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ. మోనోటోనిసిటీపై రెండు ముఖ్యమైన సిద్ధాంతాలు

మేము మొదట 7వ తరగతి ఆల్జీబ్రా కోర్సులో కలుసుకున్నాము. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను చూస్తే, మేము సంబంధిత సమాచారాన్ని తీసివేసాము: గ్రాఫ్‌తో పాటు ఎడమ నుండి కుడికి కదులుతున్నట్లయితే, అదే సమయంలో మేము దిగువ నుండి పైకి కదులుతాము (కొండ ఎక్కినట్లుగా), అప్పుడు మేము ఫంక్షన్‌ను ప్రకటించాము పెరుగుతున్నాయి (Fig. 124); మేము పై నుండి క్రిందికి తరలించినట్లయితే (కొండపైకి వెళ్లండి), అప్పుడు మేము ఫంక్షన్ తగ్గుతున్నట్లు ప్రకటించాము (Fig. 125).

అయినప్పటికీ, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలను అధ్యయనం చేసే ఈ పద్ధతిని ఎక్కువగా ఇష్టపడరు. భావనల నిర్వచనాలు డ్రాయింగ్‌పై ఆధారపడి ఉండకూడదని వారు విశ్వసిస్తారు - డ్రాయింగ్ దానిలోని ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఒకటి లేదా మరొక ఆస్తిని మాత్రమే వివరించాలి. గ్రాఫిక్స్. ఫంక్షన్‌లను పెంచడం మరియు తగ్గించడం అనే భావనలకు ఖచ్చితమైన నిర్వచనాలు ఇద్దాం.

నిర్వచనం 1. y = f(x) ఫంక్షన్ అసమానత x 1 నుండి ఉంటే X విరామంలో పెరుగుతుందని చెప్పబడింది.< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

నిర్వచనం 2. అసమానత x 1 అయితే y = f(x) ఫంక్షన్ విరామం Xపై తగ్గుతుందని చెప్పబడింది.< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует అసమానత f(x 1) > f(x 2).

ఆచరణలో, కింది సూత్రీకరణలను ఉపయోగించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:

ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క పెద్ద విలువకు అనుగుణంగా ఉంటే ఒక ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది;
ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క పెద్ద విలువ ఫంక్షన్ యొక్క చిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉంటే ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది.

ఈ నిర్వచనాలు మరియు § 33లో స్థాపించబడిన లక్షణాలను ఉపయోగించడం సంఖ్యా అసమానతలు, గతంలో అధ్యయనం చేసిన ఫంక్షన్‌ల పెరుగుదల లేదా తగ్గింపు గురించి మేము తీర్మానాలను సమర్థించగలుగుతాము.

1. లీనియర్ ఫంక్షన్ y = kx +m

k > 0 అయితే, ఫంక్షన్ అంతటా పెరుగుతుంది (Fig. 126); కె అయితే< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

రుజువు. f(x) = kx +m లెట్. x 1 అయితే< х 2 и k >ఓహ్, అప్పుడు, 3 సంఖ్యా అసమానతల ఆస్తి ప్రకారం (§ 33 చూడండి), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

కాబట్టి, అసమానత x 1 నుండి< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. సరళవిధులు y = kx+ m.

x 1 అయితే< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , మరియు ఆస్తి 2 ప్రకారం, kx 1 > kx 2 నుండి kx 1 + m> kx 2 + అనగా.

కాబట్టి, అసమానత x 1 నుండి< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). దీని అర్థం y = f(x) ఫంక్షన్‌లో తగ్గుదల, అనగా. సరళ ఫంక్షన్ y = kx + m.

ఒక ఫంక్షన్ డెఫినిషన్ మొత్తం డొమైన్‌లో పెరిగితే (తగ్గుతుంది), అప్పుడు దానిని విరామాన్ని సూచించకుండా పెంచడం (తగ్గడం) అని పిలుస్తారు. ఉదాహరణకు, y = 2x - 3 ఫంక్షన్ గురించి ఇది మొత్తం సంఖ్య రేఖ వెంట పెరుగుతోందని మనం చెప్పగలం, కానీ మనం దానిని మరింత క్లుప్తంగా కూడా చెప్పవచ్చు: y = 2x - 3 - పెరుగుతోంది
ఫంక్షన్.

2. ఫంక్షన్ y = x2

1. రేపై y = x 2 ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి. x 1 అనే రెండు నాన్-పాజిటివ్ సంఖ్యలను x 1 మరియు x 2 తీసుకుందాం< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. సంఖ్యలు - x 1 మరియు - x 2 ప్రతికూలంగా లేనందున, చివరి అసమానత యొక్క రెండు వైపులా వర్గీకరించడం ద్వారా, మేము అదే అర్థం (-x 1) 2 > (-x 2) 2 యొక్క అసమానతను పొందుతాము, అనగా. దీని అర్థం f(x 1) > f(x 2).

కాబట్టి, అసమానత x 1 నుండి< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

కాబట్టి, y = x 2 ఫంక్షన్ రేపై తగ్గుతుంది (- 00, 0] (Fig. 128).

1. విరామం (0, + 00)పై ఒక ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి.
x1ని లెట్< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

కాబట్టి, అసమానత x 1 నుండి< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). దీని అర్థం ఓపెన్ రే (0, + 00) (Fig. 129) పై ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది.

2. విరామం (-oo, 0)పై ఒక ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి. x 1ని లెట్< х 2 , х 1 и х 2 - ప్రతికూల సంఖ్యలు. అప్పుడు - x 1 > - x 2, మరియు చివరి అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సానుకూల సంఖ్యలు, అందువలన (మేము మళ్లీ § 33 నుండి ఉదాహరణ 1లో నిరూపించబడిన అసమానతని ఉపయోగించాము). తరువాత మనకు ఉంది, మనం ఎక్కడ నుండి పొందుతాము.

కాబట్టి, అసమానత x 1 నుండి< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) అనగా. ఓపెన్ రేపై ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది (- 00 , 0)

సాధారణంగా "పెరుగుతున్న ఫంక్షన్" మరియు "క్షీణించే ఫంక్షన్" అనే పదాలు సాధారణ పేరు మోనోటోనిక్ ఫంక్షన్ క్రింద మిళితం చేయబడతాయి మరియు పెంచడం మరియు తగ్గించడం కోసం ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనాన్ని మోనోటోనిసిటీ కోసం ఒక ఫంక్షన్ అధ్యయనం అంటారు.

పరిష్కారం.

1) y = 2x2 ఫంక్షన్‌ని ప్లాట్ చేసి, ఈ పారాబొలా యొక్క శాఖను x వద్ద తీసుకుందాం< 0 (рис. 130).

2) సెగ్మెంట్లో దాని భాగాన్ని నిర్మించండి మరియు ఎంచుకోండి (Fig. 131).

3) హైపర్బోలాను నిర్మిస్తాము మరియు ఓపెన్ రే (4, + 00) (Fig. 132) పై దాని భాగాన్ని ఎంచుకుందాం.
4) ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో మూడు “ముక్కలను” వర్ణిద్దాం - ఇది y = f(x) (Fig. 133) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్.

y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ని చదువుదాం.

1. ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మొత్తం సంఖ్య రేఖ.

2. x = 0 వద్ద y = 0; x > 0కి y > 0.

3. రేపై ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది (-oo, 0], సెగ్మెంట్‌పై పెరుగుతుంది, రేపై తగ్గుతుంది, సెగ్మెంట్‌పై పైకి కుంభాకారంగా ఉంటుంది, కిరణంపై కుంభాకారంగా ఉంటుంది)