Mwaka 2010 Stephen Strogatz aliandika mfululizo wa makala kuhusu misingi ya hisabati kwa Magazeti New York Times. Makala hizo zilisababisha dhoruba ya furaha. Kila safu ikawa hadithi maarufu zaidi kwenye gazeti na kuvutia mamia ya maoni. Wasomaji waliuliza zaidi, na Stefano hakukatisha tamaa - kitabu hiki kilionekana, ambacho kilijumuisha sehemu zote zilizochapishwa tayari na sura mpya kabisa.
Hisabati inaenea kila kitu katika ulimwengu huu, ikiwa ni pamoja na sisi wenyewe, lakini, kwa bahati mbaya, watu wachache wanaelewa hili. lugha ya ulimwengu wote nzuri sana kuthamini hekima na uzuri wake. Steven Strogatz ndiye mwalimu wa hesabu uliyemwota ukiwa shule ya upili. Mwalimu anayeweza kuwasha cheche ya kupendezwa na kusitawisha mapenzi ya kudumu kwa somo lake. Katika mwanga huu wa ajabu na kitabu cha kuvutia, inatupa sote nafasi ya pili ya kujua hisabati. Katika kila sura fupi, utagundua kitu kipya, kuanzia kwa nini nambari zinahitajika kwanza hadi mada kama vile jiometri, calculus muhimu, takwimu na infinity. Mwandishi anaelezea mawazo mazuri ya hisabati kwa urahisi na kifahari, na mifano nzuri ambayo kila mtu anaweza kuelewa. Kitabu hiki ni cha kila mtu. Wale ambao hawajui sana hisabati wataifahamu kwa ukaribu, na wale wanaopenda hesabu watafurahia kusoma kuhusu “malkia wa sayansi.”
Dibaji
Nina rafiki ambaye, licha ya ufundi wake (yeye ni msanii), anapenda sana sayansi. Kila tunapokutana, yeye huzungumza kwa shauku mafanikio ya hivi karibuni katika saikolojia au mechanics ya quantum. Lakini mara tu tunapoanza kuzungumza juu ya hisabati, anahisi kutetemeka kwa magoti yake, ambayo inamkasirisha sana. Analalamika kwamba haya ni ya ajabu alama za hisabati Sio tu kwamba ziko nje ya ufahamu wake, lakini wakati mwingine hajui hata jinsi ya kuzitamka.
Kwa kweli, sababu ya kukataa kwake hisabati ni ya kina zaidi. Hatakuwa na wazo la nini wanahisabati hufanya kwa ujumla na wanamaanisha nini wanaposema kwamba uthibitisho uliotolewa ni wa kifahari. Wakati mwingine tunatania kwamba ninahitaji tu kukaa chini na kuanza kumfundisha kutoka kwa mambo ya msingi, kihalisi 1 + 1 = 2, na kwenda kwa kina katika hesabu awezavyo.
Na ingawa wazo hili linaonekana kuwa la kichaa, hii ndio hasa nitajaribu kutekeleza katika kitabu hiki. Nitakuongoza kupitia matawi yote kuu ya sayansi, kutoka hesabu hadi hisabati ya juu ili wale wanaotaka nafasi ya pili hatimaye waweze kuitumia fursa hiyo. Na wakati huu hautalazimika kukaa kwenye dawati. Kitabu hiki hakitakufanya uwe mtaalamu wa hesabu. Lakini itakusaidia kuelewa nidhamu hii inasoma nini na kwa nini inavutia sana wale wanaoielewa.
Tutachunguza jinsi midundo ya Michael Jordan inavyoweza kusaidia kueleza hesabu za kimsingi. Nitakuonyesha njia rahisi na ya kushangaza ya kuelewa nadharia ya msingi ya jiometri ya Euclidean - Nadharia ya Pythagorean. Tutajaribu kupata undani wa baadhi ya mafumbo ya maisha, makubwa na madogo: je Jay Simpson alimuua mke wake; jinsi ya kuweka tena godoro ili iweze kudumu kwa muda mrefu iwezekanavyo; ni wenzi wangapi wanahitaji kubadilishwa kabla ya kuolewa - na tutaona kwa nini baadhi ya infinities ni kubwa kuliko wengine.
Hisabati iko kila mahali, unahitaji tu kujifunza kuitambua. Unaweza kuona wimbi la sine kwenye mgongo wa pundamilia, kusikia mwangwi wa nadharia za Euclid katika Tamko la Uhuru; naweza kusema nini, hata katika ripoti kavu zilizotangulia Vita vya Kwanza vya Dunia, zipo nambari hasi. Unaweza pia kuona jinsi maeneo mapya ya hisabati yanavyoathiri maisha yetu leo, kwa mfano, tunapotafuta migahawa kwa kutumia kompyuta au kujaribu angalau kuelewa, au bora zaidi, kustahimili mabadiliko ya kutisha ya soko la hisa.
— Soma kitabu “The Pleasure of X” cha Stephen Strogatz mtandaoni —
Msururu wa vifungu 15 chini ya jina la kawaida"Misingi ya Hisabati" ilionekana mtandaoni mwishoni mwa Januari 2010. Kujibu uchapishaji wao, barua na maoni yalimiminika kutoka kwa wasomaji wa kila kizazi, kutia ndani wanafunzi na walimu wengi. Pia kulikuwa na watu wadadisi ambao, kwa sababu moja au nyingine, "walipoteza njia" ya ufahamu. sayansi ya hisabati; sasa walihisi walikuwa wamekosa kitu cha maana na walitaka kujaribu tena. furaha maalum Nilipokea shukrani kutoka kwa wazazi kwa ukweli kwamba, kwa msaada wangu, waliweza kuelezea hisabati kwa watoto wao, na wao wenyewe walianza kuelewa vizuri zaidi. Ilionekana kwamba hata wenzangu na wandugu, wapendaji sana wa sayansi hii, walifurahia kusoma makala hizo, isipokuwa nyakati hizo ambapo walishindana kutoa kila aina ya mapendekezo ya kuboresha akili yangu.
Licha ya hekima ya kawaida, kuna shauku ya wazi katika hisabati katika jamii, ingawa umakini mdogo hulipwa kwa jambo hili. Tunachosikia tu ni kuogopa hesabu, na bado wengi wangependa kujaribu kuelewa vizuri zaidi. Na mara hii ikitokea, itakuwa ngumu kuwaondoa.
Kitabu hiki kitakuletea mawazo changamano na ya hali ya juu zaidi kutoka kwa ulimwengu wa hisabati. Sura hizo ni ndogo, rahisi kusoma na hazitegemei kila mmoja. Miongoni mwao ni yale yaliyojumuishwa katika mfululizo huo wa kwanza wa makala katika New York Times. Kwa hiyo, mara tu unapohisi njaa kidogo ya hisabati, usisite kuchukua sura inayofuata. Ikiwa unataka kuelewa kwa undani zaidi swali ambalo linakuvutia, basi mwisho wa kitabu kuna maelezo na Taarifa za ziada na mapendekezo juu ya nini kingine unaweza kusoma kuhusu hili.
Raha ya X - Steven Strogatz (pakua)
(toleo la utangulizi)
Na hatimaye, tunapendekeza uangalie video ya kuvutia
Kitabu hiki kimekamilishwa vyema na:
Quanta
Scott Patterson
Ubongo
Ken Jennings
Mpira wa pesa
Michael Lewis
Fahamu nyumbufu
Carol Dweck
Fizikia ya soko la hisa
James Weatherall
Furaha ya X
Ziara ya Kuongozwa ya Hisabati, kutoka Moja hadi Infinity
Stephen Strogatz
Raha ya X
Safari ya kuvutia katika ulimwengu wa hisabati kutoka kwa mmoja wa walimu bora katika dunia
Taarifa kutoka kwa mchapishaji
Ilichapishwa kwa Kirusi kwa mara ya kwanza
Imechapishwa kwa ruhusa kutoka kwa Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.
Strogatz, P.
Raha ya X. Safari ya kuvutia katika ulimwengu wa hisabati kutoka kwa mmoja wa walimu bora zaidi duniani / Stephen Strogatz; njia kutoka kwa Kiingereza - M.: Mann, Ivanov na Ferber, 2014.
ISBN 978-500057-008-1
Kitabu hiki kinaweza kubadilisha kwa kiasi kikubwa mtazamo wako kuelekea hisabati. Inajumuisha sura fupi, katika kila moja ambayo utagundua kitu kipya. Utajifunza jinsi nambari zinavyofaa kwa kusoma ulimwengu unaokuzunguka, utaelewa uzuri wa jiometri, na utafahamiana na neema. hesabu muhimu, kuwa na hakika ya umuhimu wa takwimu na kuwasiliana na infinity. Mwandishi anaelezea mawazo ya msingi ya hisabati kwa urahisi na kifahari, na mifano nzuri ambayo kila mtu anaweza kuelewa.
Haki zote zimehifadhiwa.
Hakuna sehemu ya kitabu hiki inayoweza kunakiliwa kwa namna yoyote bila kibali cha maandishi cha wenye hakimiliki.
Msaada wa kisheria kwa nyumba ya uchapishaji hutolewa na kampuni ya sheria"Vegas-Lex"
© Steven Strogatz, 2012 Haki zote zimehifadhiwa
© Tafsiri kwa Kirusi, uchapishaji katika Kirusi, muundo. Mann, Ivanov na Ferber LLC, 2014
Dibaji
Nina rafiki ambaye, licha ya ufundi wake (yeye ni msanii), anapenda sana sayansi. Wakati wowote tunapokutana, yeye huzungumza kwa shauku kuhusu maendeleo ya hivi punde katika saikolojia au mechanics ya quantum. Lakini mara tu tunapoanza kuzungumza juu ya hisabati, anahisi kutetemeka kwa magoti yake, ambayo inamkasirisha sana. Analalamika kwamba sio tu kwamba alama hizi za ajabu za hisabati zinapinga uelewa wake, lakini wakati mwingine hata hajui jinsi ya kuzitamka.
Kwa kweli, sababu ya kukataa kwake hisabati ni ya kina zaidi. Hatakuwa na wazo la nini wanahisabati hufanya kwa ujumla na wanamaanisha nini wanaposema kwamba uthibitisho uliotolewa ni wa kifahari. Wakati mwingine tunatania kwamba ninahitaji tu kukaa chini na kuanza kumfundisha kutoka kwa mambo ya msingi, kihalisi 1 + 1 = 2, na kwenda kwa kina katika hesabu awezavyo.
Na ingawa wazo hili linaonekana kuwa la kichaa, hii ndio hasa nitajaribu kutekeleza katika kitabu hiki. Nitakuongoza kupitia matawi yote makubwa ya sayansi, kutoka kwa hesabu hadi hisabati ya juu, ili wale waliotaka nafasi ya pili waweze kuchukua fursa hiyo. Na wakati huu hautalazimika kukaa kwenye dawati. Kitabu hiki hakitakufanya uwe mtaalamu wa hesabu. Lakini itakusaidia kuelewa nidhamu hii inasoma nini na kwa nini inavutia sana wale wanaoielewa.
Tutachunguza jinsi midundo ya Michael Jordan inavyoweza kusaidia kueleza hesabu za kimsingi. Nitakuonyesha njia rahisi na ya kushangaza ya kuelewa nadharia ya msingi ya jiometri ya Euclidean - Nadharia ya Pythagorean. Tutajaribu kupata undani wa baadhi ya mafumbo ya maisha, makubwa na madogo: je Jay Simpson alimuua mke wake; jinsi ya kuweka tena godoro ili iweze kudumu kwa muda mrefu iwezekanavyo; ni wenzi wangapi wanahitaji kubadilishwa kabla ya kuolewa - na tutaona kwa nini baadhi ya infinities ni kubwa kuliko wengine.
Hisabati iko kila mahali, unahitaji tu kujifunza kuitambua. Unaweza kuona wimbi la sine kwenye mgongo wa pundamilia, kusikia mwangwi wa nadharia za Euclid katika Tamko la Uhuru; naweza kusema nini, hata katika ripoti kavu zilizotangulia Vita vya Kwanza vya Kidunia, kuna nambari mbaya. Unaweza pia kuona jinsi maeneo mapya ya hisabati yanavyoathiri maisha yetu leo, kwa mfano, tunapotafuta migahawa kwa kutumia kompyuta au kujaribu angalau kuelewa, au bora zaidi, kustahimili mabadiliko ya kutisha ya soko la hisa.
Msururu wa makala 15 chini ya kichwa cha jumla "Misingi ya Hisabati" ilionekana mtandaoni mwishoni mwa Januari 2010. Kujibu uchapishaji wao, barua na maoni yalimiminika kutoka kwa wasomaji wa kila kizazi, kutia ndani wanafunzi na walimu wengi. Pia kulikuwa na watu wadadisi tu ambao, kwa sababu moja au nyingine, "walipoteza njia" katika kuelewa sayansi ya hisabati; sasa walihisi kwamba walikuwa wamekosa kitu O nzuri, na ningependa kujaribu tena. Nilifurahishwa hasa na shukrani kutoka kwa wazazi wangu kwa sababu, kwa msaada wangu, waliweza kueleza hisabati kwa watoto wao, na wao wenyewe walianza kuelewa vizuri zaidi. Ilionekana kwamba hata wenzangu na wandugu, wapendaji sana wa sayansi hii, walifurahia kusoma makala hizo, isipokuwa nyakati hizo ambapo walishindana kutoa kila aina ya mapendekezo ya kuboresha akili yangu.
Licha ya imani maarufu, kuna shauku ya wazi katika hisabati katika jamii, ingawa umakini mdogo hulipwa kwa jambo hili. Tunachosikia tu ni kuogopa hesabu, na bado wengi wangependa kujaribu kuelewa vizuri zaidi. Na mara hii ikitokea, itakuwa ngumu kuwaondoa.
Kitabu hiki kitakuletea mawazo changamano na ya hali ya juu zaidi kutoka kwa ulimwengu wa hisabati. Sura hizo ni ndogo, rahisi kusoma na hazitegemei kila mmoja. Miongoni mwao ni yale yaliyojumuishwa katika mfululizo huo wa kwanza wa makala katika New York Times. Kwa hiyo, mara tu unapohisi njaa kidogo ya hisabati, usisite kuchukua sura inayofuata. Ikiwa unataka kuelewa suala ambalo linakuvutia kwa undani zaidi, basi mwishoni mwa kitabu kuna maelezo na maelezo ya ziada na mapendekezo juu ya nini kingine unaweza kusoma kuhusu hilo.
Kwa urahisi wa wasomaji ambao wanapendelea mbinu ya hatua kwa hatua, nimegawanya nyenzo katika sehemu sita kwa mujibu wa utaratibu wa jadi wa kujifunza mada.
Sehemu ya I "Hesabu" huanza safari yetu na hesabu in shule ya chekechea Na Shule ya msingi. Inaonyesha jinsi nambari zinavyoweza kuwa muhimu na jinsi zinavyofaa sana katika kuelezea ulimwengu unaotuzunguka.
Sehemu ya II, "Uwiano," huhamisha umakini kutoka kwa nambari zenyewe hadi kwa uhusiano kati yao. Mawazo haya yamo katika kiini cha aljebra na ndiyo zana za kwanza za kueleza jinsi jambo moja linavyoathiri lingine, ikionyesha uhusiano wa sababu-na-athari ya mambo mbalimbali: usambazaji na mahitaji, kichocheo na mwitikio - kwa ufupi, kila aina ya mahusiano ambayo yanaifanya dunia kuwa tajiri na ya aina mbalimbali.
Sehemu ya Tatu "Takwimu" haiambii juu ya nambari na alama, lakini juu ya takwimu na nafasi - kikoa cha jiometri na trigonometry. Mada hizi, pamoja na maelezo ya vitu vyote vinavyoonekana kupitia fomu, hoja za kimantiki na uthibitisho, huongeza hisabati kwa ngazi mpya usahihi.
Katika Sehemu ya IV, Wakati wa Mabadiliko, tutaangalia calculus, tawi la hisabati linalosisimua zaidi na tofauti. Calculus hufanya iwezekane kutabiri mwelekeo wa sayari, mizunguko ya mawimbi na kufanya iwezekane kuelewa na kuelezea michakato na matukio yote yanayobadilika mara kwa mara katika Ulimwengu na ndani yetu. Mahali muhimu katika sehemu hii hutolewa kwa utafiti wa infinity, uboreshaji ambao ukawa mafanikio ambayo yaliruhusu mahesabu kufanya kazi. Mahesabu yalisaidia kutatua matatizo mengi yaliyotokea nyuma ulimwengu wa kale, na hii hatimaye ilisababisha mapinduzi katika sayansi na ulimwengu wa kisasa.
Sehemu ya V, “Nyuso Nyingi za Data,” inahusu uwezekano, takwimu, mitandao na sayansi ya data—bado ni nyanja mpya, zinazotokana na vipengele visivyokuwa na utaratibu wa maisha yetu, kama vile fursa na bahati, kutokuwa na uhakika, hatari. , kutofautiana, machafuko, kutegemeana. Kwa kutumia zana zinazofaa za hisabati na aina zinazofaa za data, tutajifunza kutambua ruwaza katika mtiririko wa nasibu.
Mwishoni mwa safari yetu katika Sehemu ya VI "Mipaka ya Yanayowezekana" tutakaribia mipaka maarifa ya hisabati, kwa eneo la mpaka kati ya kile kinachojulikana tayari na kile ambacho bado ni ngumu na haijulikani. Tutapitia tena mada kwa mpangilio ambao tayari tumezoea: nambari, uwiano, takwimu, mabadiliko na infinity - lakini wakati huo huo tutaangalia kila mmoja wao kwa undani zaidi, katika mwili wake wa kisasa.
Furaha ya X
Ziara ya Kuongozwa ya Hisabati, kutoka Moja hadi Infinity
Imechapishwa kwa ruhusa kutoka kwa Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.
© Steven Strogatz, 2012 Haki zote zimehifadhiwa
© Tafsiri kwa Kirusi, uchapishaji katika Kirusi, muundo. Mann, Ivanov na Ferber LLC, 2014
Haki zote zimehifadhiwa. Hakuna sehemu toleo la elektroniki Kitabu hiki hakiruhusiwi kunaswa tena kwa namna yoyote au kwa njia yoyote ile, ikiwa ni pamoja na kuchapisha kwenye mtandao na mitandao ya ushirika, kwa faragha na matumizi ya umma bila idhini iliyoandikwa ya mwenye hakimiliki.
Usaidizi wa kisheria kwa shirika la uchapishaji hutolewa na kampuni ya sheria ya Vegas-Lex.
* * *
Kitabu hiki kimekamilishwa vyema na:
Quanta
Scott Patterson
Ubongo
Ken Jennings
Mpira wa pesa
Michael Lewis
Fahamu nyumbufu
Carol Dweck
Fizikia ya soko la hisa
James Weatherall
Dibaji
Nina rafiki ambaye, licha ya ufundi wake (yeye ni msanii), anapenda sana sayansi. Wakati wowote tunapokutana, yeye huzungumza kwa shauku kuhusu maendeleo ya hivi punde katika saikolojia au mechanics ya quantum. Lakini mara tu tunapoanza kuzungumza juu ya hisabati, anahisi kutetemeka kwa magoti yake, ambayo inamkasirisha sana. Analalamika kwamba sio tu kwamba alama hizi za ajabu za hisabati zinapinga uelewa wake, lakini wakati mwingine hata hajui jinsi ya kuzitamka.
Kwa kweli, sababu ya kukataa kwake hisabati ni ya kina zaidi. Hatakuwa na wazo la nini wanahisabati hufanya kwa ujumla na wanamaanisha nini wanaposema kwamba uthibitisho uliotolewa ni wa kifahari. Wakati mwingine tunatania kwamba ninahitaji tu kukaa chini na kuanza kumfundisha kutoka kwa mambo ya msingi, kihalisi 1 + 1 = 2, na kwenda kwa kina katika hesabu awezavyo.
Na ingawa wazo hili linaonekana kuwa la kichaa, hii ndio hasa nitajaribu kutekeleza katika kitabu hiki. Nitakuongoza kupitia matawi yote makubwa ya sayansi, kutoka kwa hesabu hadi hisabati ya juu, ili wale waliotaka nafasi ya pili waweze kuchukua fursa hiyo. Na wakati huu hautalazimika kukaa kwenye dawati. Kitabu hiki hakitakufanya uwe mtaalamu wa hesabu. Lakini itakusaidia kuelewa nidhamu hii inasoma nini na kwa nini inavutia sana wale wanaoielewa.
Ili kufafanua ninachomaanisha na maisha ya idadi na tabia zao ambazo hatuwezi kuzidhibiti, turudi kwenye Hoteli ya Furry Paws. Tuseme kwamba Humphrey alikuwa karibu kukabidhi agizo hilo, lakini pengwini kutoka chumba kingine walimwita bila kutarajia na pia wakauliza kiasi sawa cha samaki. Ni mara ngapi lazima Humphrey apige kelele neno "samaki" baada ya kupokea maagizo mawili? Ikiwa hangejifunza chochote kuhusu nambari, angelazimika kupiga mayowe mara nyingi kama vile kuna pengwini katika vyumba vyote viwili. Au, kwa kutumia namba, angeweza kumweleza mpishi kwamba alihitaji samaki sita kwa nambari moja na sita kwa nyingine. Lakini anachohitaji sana ni dhana mpya- nyongeza. Mara tu atakapoijua vizuri, atasema kwa kiburi kwamba anahitaji samaki sita pamoja na sita (au, ikiwa ni pozi, kumi na mbili) samaki.
Hii ni sawa mchakato wa ubunifu, kama ile tulipokuwa tukija na nambari. Kama vile nambari hurahisisha kuhesabu kuliko kuorodhesha moja kwa wakati, kuongeza hurahisisha kukokotoa kiasi chochote. Wakati huo huo, yule anayefanya hesabu hukua kama mwanahisabati. Kisayansi, wazo hili linaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: kutumia vifupisho sahihi husababisha ufahamu wa kina juu ya kiini cha suala na nguvu kubwa zaidi katika kulitatua.
Hivi karibuni, labda, hata Humphrey atagundua kuwa sasa anaweza kuhesabu kila wakati.
Hata hivyo, licha ya mtazamo huo usio na mwisho, ubunifu wetu daima una vikwazo fulani. Tunaweza kuamua tunachomaanisha kwa 6 na +, lakini tukishafanya hivyo, matokeo ya semi kama 6 + 6 yako nje ya uwezo wetu. Hapa mantiki itatuacha bila chaguo. Kwa maana hii, hisabati daima inajumuisha uvumbuzi wote, hivyo na ufunguzi: sisi mzulia dhana, lakini wazi matokeo yao. Kama vile sura zinazofuata zitakavyoweka wazi, katika hisabati uhuru wetu unatokana na uwezo wa kuuliza maswali na kuendelea kutafuta majibu bila kujizua sisi wenyewe.
2. Hesabu ya mawe
Kama jambo lolote maishani, hesabu ina pande mbili: rasmi na ya kuburudisha (au ya kucheza).
Tulisoma sehemu rasmi shuleni. Huko walituelezea jinsi ya kufanya kazi na safu za nambari, kuziongeza na kuzipunguza, jinsi ya kuzipiga kwa koleo wakati wa kufanya mahesabu katika lahajedwali wakati wa kujaza mapato ya kodi na maandalizi ripoti za kila mwaka. Upande huu wa hesabu unaonekana kuwa muhimu kwa wengi kutoka kwa mtazamo wa vitendo, lakini hauna furaha kabisa.
Unaweza kufahamiana na upande wa burudani wa hesabu tu katika mchakato wa kusoma hesabu ya juu. Walakini, ni ya asili kama udadisi wa mtoto.
Katika insha "Maombolezo ya Mwanahisabati," Paul Lockhart anapendekeza kusoma nambari katika mifano thabiti zaidi kuliko kawaida: anatuuliza tufikirie kama idadi ya mawe. Kwa mfano, nambari ya 6 inalingana na seti ifuatayo ya kokoto:
Huna uwezekano wa kuona chochote kisicho cha kawaida hapa. Jinsi ilivyo. Hadi tunapoanza kudanganya nambari, zinaonekana sawa. Mchezo huanza tunapopokea jukumu.
Kwa mfano, hebu tuangalie seti zilizo na mawe 1 hadi 10 na jaribu kufanya mraba kutoka kwao. Hii inaweza kufanyika tu kwa seti mbili za mawe 4 na 9, tangu 4 = 2 × 2 na 9 = 3 × 3. Tunapata nambari hizi kwa kupiga namba nyingine (yaani, kupanga mawe katika mraba).
Hapa kuna kazi ambayo ina idadi kubwa zaidi suluhisho: unahitaji kujua ni seti gani zitafanya mstatili ikiwa utapanga mawe katika safu mbili na kiasi sawa vipengele. Seti za mawe 2, 4, 6, 8 au 10 zinafaa hapa; nambari lazima iwe sawa. Ikiwa tutajaribu kupanga seti zilizobaki na idadi isiyo ya kawaida ya mawe katika safu mbili, kila wakati tutamaliza na jiwe la ziada.
Lakini yote hayajapotea kwa nambari hizi mbaya! Ikiwa unachukua seti mbili hizo, basi vipengele vya ziada vitapata jozi, na jumla itakuwa hata: nambari isiyo ya kawaida + namba isiyo ya kawaida = hata namba.
Ikiwa tutapanua sheria hizi kwa nambari baada ya 10, na kudhani kuwa idadi ya safu katika mstatili inaweza kuwa zaidi ya mbili, basi zingine. nambari zisizo za kawaida itakuruhusu kukunja mistatili kama hiyo. Kwa mfano, nambari ya 15 inaweza kuunda mstatili 3 × 5.
Kwa hivyo, ingawa 15 bila shaka ni nambari isiyo ya kawaida, ni nambari ya mchanganyiko na inaweza kuwakilishwa kama safu tatu za mawe tano kila moja. Vile vile, ingizo lolote katika jedwali la kuzidisha hutoa kundi lake lenyewe la mstatili wa kokoto.
Lakini nambari zingine, kama 2, 3, 5 na 7, hazina tumaini kabisa. Huwezi kuweka chochote kutoka kwao isipokuwa kuwapanga kwa namna ya mstari rahisi (safu moja). Watu hawa wa ajabu wakaidi ndio nambari kuu maarufu.
Kwa hivyo tunaona kwamba nambari zinaweza kuwa na miundo ya ajabu ambayo huwapa tabia fulani. Lakini ili kuelewa anuwai kamili ya tabia zao, unahitaji kurudi nyuma kutoka kwa nambari za kibinafsi na uangalie kinachotokea wakati wa mwingiliano wao.
Kwa mfano, badala ya kuongeza nambari mbili tu zisizo za kawaida, wacha tuongeze mlolongo wote unaowezekana wa nambari zisizo za kawaida, tukianza na 1:
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Kwa kushangaza, hesabu hizi kila wakati zinageuka kuwa mraba kamili. (Tayari tulisema kwamba 4 na 9 zinaweza kuwakilishwa kama miraba, na kwa 16 = 4 × 4 na 25 = 5 × 5 hii pia ni kweli.) Hesabu ya haraka inaonyesha kwamba sheria hii pia ni kweli kwa nambari kubwa zisizo za kawaida na, inaonekana. , inaelekea kutokuwa na mwisho. Lakini kuna uhusiano gani kati ya nambari zisizo za kawaida na mawe yao ya "ziada" na nambari za ulinganifu wa kawaida zinazounda miraba? Kwa kuweka kokoto kwa usahihi, tunaweza kuifanya iwe wazi ni nini kipengele tofauti uthibitisho wa kifahari.
Jambo kuu kwake ni uchunguzi kwamba nambari zisizo za kawaida zinaweza kuwakilishwa kama pembe za usawa, mwingiliano unaofuatana ambao huunda mraba!
Njia kama hiyo ya kusababu imetolewa katika kitabu kingine kilichochapishwa hivi majuzi. Katika riwaya ya kupendeza ya Yoko Ogawa The Housekeeper na Profesa ni kuhusu mwanamke mjanja lakini asiye na elimu na mtoto wake wa kiume wa miaka kumi. Mwanamke aliajiriwa kumtunza mtaalamu wa hisabati mzee ambaye kumbukumbu yake ya muda mfupi, kutokana na jeraha la ubongo, huhifadhi tu habari kuhusu dakika 80 za mwisho za maisha yake. Aliyepotea kwa sasa, peke yake katika chumba chake kibaya, bila chochote isipokuwa nambari, profesa anajaribu kuwasiliana na mlinzi wa nyumba kwa njia pekee anayojua: kwa kuuliza juu ya saizi ya kiatu chake au tarehe ya kuzaliwa na kumuongoza. mazungumzo madogo kuhusu gharama zake. Profesa pia anapendezwa sana na mtoto wa mlinzi wa nyumba, ambaye anamwita Ruthu (Mzizi), kwa sababu mvulana huyo ana kichwa gorofa juu, na hii inamkumbusha nukuu katika hisabati. kipeo √.
Siku moja profesa anampa kijana huyo kazi rahisi- tafuta jumla ya nambari zote kutoka 1 hadi 10. Baada ya Ruthu kuongeza nambari zote kwa uangalifu na kurudisha jibu (55), profesa anamwomba atafute njia rahisi zaidi. Je, ataweza kupata jibu? bila nyongeza ya kawaida ya nambari? Ruth anapiga teke kiti na kupiga kelele, "Si sawa!"
Kidogo kidogo, mlinzi wa nyumba pia anavutiwa katika ulimwengu wa nambari na anajaribu kwa siri kutatua shida hii mwenyewe. "Sielewi kwa nini ninavutiwa sana na fumbo la watoto ambalo halina matumizi ya vitendo," asema. "Mwanzoni nilitaka kumfurahisha profesa, lakini polepole somo hili liligeuka kuwa vita kati yangu na nambari. Nilipoamka asubuhi, equation ilikuwa tayari ikinisubiri:
1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,
na ilinifuata siku nzima, kana kwamba imechomwa kwenye retina ya macho yangu, na hakuna jinsi ningeweza kuipuuza.” Kuna njia kadhaa za kutatua shida ya profesa (nashangaa ni ngapi unaweza kupata). Profesa mwenyewe anapendekeza njia ya hoja, ambayo tayari tumetumia hapo juu. Anafasiri jumla kutoka 1 hadi 10 kama pembetatu ya kokoto, na kokoto moja katika safu ya kwanza, mbili katika pili, na kadhalika, hadi kokoto kumi katika safu ya kumi.
Picha hii inatoa wazo wazi la nafasi hasi. Inatokea kwamba ni nusu tu kamili, ambayo inaonyesha mwelekeo mafanikio ya ubunifu. Ikiwa unakili pembetatu iliyotengenezwa kwa kokoto, igeuze na kuichanganya na ile iliyopo, unapata kitu rahisi sana: mstatili ulio na safu kumi za kokoto 11 katika kila moja, na jumla ya nambari mawe yatakuwa 110.
Kwa kuwa pembetatu ya asili ni nusu ya mstatili huu, jumla iliyohesabiwa ya nambari kutoka 1 hadi 10 lazima iwe nusu ya 110, ambayo ni, 55.
Kuwakilisha idadi kama kundi la kokoto kunaweza kuonekana kuwa jambo lisilo la kawaida, lakini kwa kweli ni ya zamani kama hisabati yenyewe. Neno "hesabu" hesabu) huonyesha urithi huu na imechukuliwa kutoka Kilatini hesabu, ikimaanisha " kokoto", ambayo Warumi walitumia wakati wa kufanya hesabu. Si lazima uwe Einstein (ambayo ina maana ya "jiwe moja" kwa Kijerumani) ili kufurahia kubadilisha nambari, lakini labda kuweza kugeuza kokoto itarahisisha kwako.
Slam dunk ni aina ya upigaji wa mpira wa vikapu ambapo mchezaji huruka juu na kurusha mpira kwenye hoop kutoka juu hadi chini kwa mkono mmoja au miwili. Kumbuka tafsiri
Jay Simpson ni mchezaji maarufu wa mpira wa miguu wa Amerika. Alicheza nafasi ya Detective Northberg katika trilogy maarufu ya "Naked Gun". Alishtakiwa kwa mauaji mke wa zamani na rafiki yake na anaachiliwa licha ya ushahidi. Kumbuka tafsiri
Ili kufahamiana na wazo la kuvutia kwamba nambari zinaishi maisha mwenyewe, na hisabati inaweza kuchukuliwa kuwa aina ya sanaa, tazama P. Lockhart, Maombolezo ya Mwanahisabati (Bellevue Literary Press, 2009). Kumbuka ed.: Kuna tafsiri nyingi za insha ya Lockhard "Kilio cha Mwanahisabati" kwenye Mtandao wa Kirusi. Hapa kuna mmoja wao: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Hapa na chini, maelezo ya chini katika mabano yaliyopinda hurejelea maelezo ya mwandishi.
Hii neno maarufu imechukuliwa kutoka katika insha ya E. Wigner, “Ufanisi usio na akili wa hisabati katika sayansi asilia,” Communications in Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, Na. 1, (Februari 1960), uk. 1–14. Toleo la mtandaoni linapatikana katika http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html. Kwa mawazo zaidi juu ya mada hii, na kama hisabati ilivumbuliwa au kugunduliwa, ona M. Livio, Je, Mungu ni Mwanahisabati? (Simon na Schuster, 2009) na R. W. Hamming, Ufanisi usio na maana wa hisabati, American Hisabati Monthly, Vol. 87, Na. 2 (Februari 1980).Ninadaiwa sehemu kubwa ya sura hii kwa vitabu viwili bora: Insha ya mzozo ya P. Lockhart, Maombolezo ya Mwanahisabati (Bellevue Literary Press, 2009) na riwaya ya Y. Ogawa, Mlinzi wa Nyumba na Profesa (Picador, 2009). Kumbuka ed.: Insha ya Lockhard "Kilio cha Mwanahisabati" imetajwa katika ufafanuzi 1. Hakuna tafsiri ya riwaya ya Yoko Ogawa katika Kirusi bado.
Kwa wasomaji wachanga wanaotaka kuchunguza nambari na miundo yao, tazama H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). Kumbuka ed.: Miongoni mwa vitabu vingi vya Kirusi kuhusu mwanzo wa hisabati, mbinu zisizo za kawaida za utafiti wake, maendeleo ya ubunifu wa hisabati kwa watoto na mada zinazofanana na sura zifuatazo za kitabu, tutaonyesha yafuatayo kwa sasa: Pukhnachev. Yu., Popov Yu. Hisabati bila fomula. M.: JSC "Stoletie", 1995; Oster G. Kitabu cha Tatizo. Mwongozo mpendwa wa hisabati. M.: AST, 2005; Ryzhik V.I. Masomo 30,000 ya hisabati: Kitabu cha walimu. M.: Elimu, 2003: Tuchnin N.P. Jinsi ya kuuliza swali? Kuhusu ubunifu wa hisabati wa watoto wa shule. Yaroslavl: Verkh. - Volzh. kitabu nyumba ya uchapishaji, 1989.
Bora, lakini zaidi mifano tata taswira picha za hisabati iliyotolewa katika R. B. Nelsen, Uthibitisho Bila Maneno (Chama cha Hisabati cha Amerika, 1997).
Furaha ya X
Ziara ya Kuongozwa ya Hisabati, kutoka Moja hadi Infinity
Imechapishwa kwa ruhusa kutoka kwa Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.
© Steven Strogatz, 2012 Haki zote zimehifadhiwa
© Tafsiri kwa Kirusi, uchapishaji katika Kirusi, muundo. Mann, Ivanov na Ferber LLC, 2014
Haki zote zimehifadhiwa. Hakuna sehemu ya toleo la kielektroniki la kitabu hiki inayoweza kunakiliwa kwa njia yoyote au kwa njia yoyote, ikijumuisha kuchapisha kwenye Mtandao au mitandao ya ushirika, kwa matumizi ya kibinafsi au ya umma bila idhini iliyoandikwa ya mwenye hakimiliki.
Usaidizi wa kisheria kwa shirika la uchapishaji hutolewa na kampuni ya sheria ya Vegas-Lex.
* * *
Kitabu hiki kimekamilishwa vyema na:
Quanta
Scott Patterson
Ubongo
Ken Jennings
Mpira wa pesa
Michael Lewis
Fahamu nyumbufu
Carol Dweck
Fizikia ya soko la hisa
James Weatherall
Dibaji
Nina rafiki ambaye, licha ya ufundi wake (yeye ni msanii), anapenda sana sayansi. Wakati wowote tunapokutana, yeye huzungumza kwa shauku kuhusu maendeleo ya hivi punde katika saikolojia au mechanics ya quantum. Lakini mara tu tunapoanza kuzungumza juu ya hisabati, anahisi kutetemeka kwa magoti yake, ambayo inamkasirisha sana. Analalamika kwamba sio tu kwamba alama hizi za ajabu za hisabati zinapinga uelewa wake, lakini wakati mwingine hata hajui jinsi ya kuzitamka.
Kwa kweli, sababu ya kukataa kwake hisabati ni ya kina zaidi. Hatakuwa na wazo la nini wanahisabati hufanya kwa ujumla na wanamaanisha nini wanaposema kwamba uthibitisho uliotolewa ni wa kifahari. Wakati mwingine tunatania kwamba ninahitaji tu kukaa chini na kuanza kumfundisha kutoka kwa mambo ya msingi, kihalisi 1 + 1 = 2, na kwenda kwa kina katika hesabu awezavyo.
Na ingawa wazo hili linaonekana kuwa la kichaa, hii ndio hasa nitajaribu kutekeleza katika kitabu hiki. Nitakuongoza kupitia matawi yote makubwa ya sayansi, kutoka kwa hesabu hadi hisabati ya juu, ili wale waliotaka nafasi ya pili waweze kuchukua fursa hiyo. Na wakati huu hautalazimika kukaa kwenye dawati. Kitabu hiki hakitakufanya uwe mtaalamu wa hesabu. Lakini itakusaidia kuelewa nidhamu hii inasoma nini na kwa nini inavutia sana wale wanaoielewa.
Ili kufafanua ninachomaanisha na maisha ya idadi na tabia zao ambazo hatuwezi kuzidhibiti, turudi kwenye Hoteli ya Furry Paws. Tuseme kwamba Humphrey alikuwa karibu kukabidhi agizo hilo, lakini pengwini kutoka chumba kingine walimwita bila kutarajia na pia wakauliza kiasi sawa cha samaki. Ni mara ngapi lazima Humphrey apige kelele neno "samaki" baada ya kupokea maagizo mawili? Ikiwa hangejifunza chochote kuhusu nambari, angelazimika kupiga mayowe mara nyingi kama vile kuna pengwini katika vyumba vyote viwili. Au, kwa kutumia namba, angeweza kumweleza mpishi kwamba alihitaji samaki sita kwa nambari moja na sita kwa nyingine. Lakini anachohitaji sana ni dhana mpya: nyongeza. Mara tu atakapoijua vizuri, atasema kwa kiburi kwamba anahitaji samaki sita pamoja na sita (au, ikiwa ni pozi, kumi na mbili) samaki.
Huu ni mchakato sawa wa ubunifu kama tulipopata nambari kwa mara ya kwanza. Kama vile nambari hurahisisha kuhesabu kuliko kuorodhesha moja kwa wakati, kuongeza hurahisisha kukokotoa kiasi chochote. Wakati huo huo, yule anayefanya hesabu hukua kama mwanahisabati. Kisayansi, wazo hili linaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: kutumia vifupisho sahihi husababisha ufahamu wa kina juu ya kiini cha suala na nguvu kubwa zaidi katika kulitatua.
Hivi karibuni, labda, hata Humphrey atagundua kuwa sasa anaweza kuhesabu kila wakati.
Hata hivyo, licha ya mtazamo huo usio na mwisho, ubunifu wetu daima una vikwazo fulani. Tunaweza kuamua tunachomaanisha kwa 6 na +, lakini tukishafanya hivyo, matokeo ya semi kama 6 + 6 yako nje ya uwezo wetu. Hapa mantiki itatuacha bila chaguo. Kwa maana hii, hisabati daima inajumuisha uvumbuzi wote, hivyo na ufunguzi: sisi mzulia dhana, lakini wazi matokeo yao. Kama vile sura zinazofuata zitakavyoweka wazi, katika hisabati uhuru wetu unatokana na uwezo wa kuuliza maswali na kuendelea kutafuta majibu bila kujizua sisi wenyewe.
2. Hesabu ya mawe
Kama jambo lolote maishani, hesabu ina pande mbili: rasmi na ya kuburudisha (au ya kucheza).
Tulisoma sehemu rasmi shuleni. Huko walitufafanulia jinsi ya kufanya kazi na safu za nambari, kuziongeza na kuzipunguza, jinsi ya kuzipunguza wakati wa kufanya hesabu kwenye lahajedwali wakati wa kujaza marejesho ya ushuru na kuandaa ripoti za kila mwaka. Upande huu wa hesabu unaonekana kuwa muhimu kwa wengi kutoka kwa mtazamo wa vitendo, lakini hauna furaha kabisa.
Unaweza tu kufahamiana na upande wa burudani wa hesabu katika mchakato wa kusoma hesabu ya juu. {3}. Walakini, ni ya asili kama udadisi wa mtoto {4}.
Katika insha "Maombolezo ya Mwanahisabati," Paul Lockhart anapendekeza kusoma nambari katika mifano thabiti zaidi kuliko kawaida: anatuuliza tufikirie kama idadi ya mawe. Kwa mfano, nambari ya 6 inalingana na seti ifuatayo ya kokoto:
Huna uwezekano wa kuona chochote kisicho cha kawaida hapa. Jinsi ilivyo. Hadi tunapoanza kudanganya nambari, zinaonekana sawa. Mchezo huanza tunapopokea jukumu.
Kwa mfano, hebu tuangalie seti zilizo na mawe 1 hadi 10 na jaribu kufanya mraba kutoka kwao. Hii inaweza kufanyika tu kwa seti mbili za mawe 4 na 9, tangu 4 = 2 × 2 na 9 = 3 × 3. Tunapata nambari hizi kwa kupiga namba nyingine (yaani, kupanga mawe katika mraba).
Hapa kuna tatizo ambalo lina idadi kubwa ya ufumbuzi: unahitaji kujua ni seti gani zitaunda mstatili ikiwa unapanga mawe katika safu mbili na idadi sawa ya vipengele. Seti za mawe 2, 4, 6, 8 au 10 zinafaa hapa; nambari lazima iwe sawa. Ikiwa tutajaribu kupanga seti zilizobaki na idadi isiyo ya kawaida ya mawe katika safu mbili, kila wakati tutamaliza na jiwe la ziada.
Lakini yote hayajapotea kwa nambari hizi mbaya! Ikiwa unachukua seti mbili hizo, basi vipengele vya ziada vitapata jozi, na jumla itakuwa hata: nambari isiyo ya kawaida + namba isiyo ya kawaida = hata namba.
Ikiwa tunapanua sheria hizi kwa nambari baada ya 10, na kudhani kuwa idadi ya safu katika mstatili inaweza kuwa zaidi ya mbili, basi nambari zingine zisizo za kawaida zitaruhusu mistatili kama hiyo kuongezwa. Kwa mfano, nambari ya 15 inaweza kuunda mstatili 3 × 5.
Kwa hivyo, ingawa 15 bila shaka ni nambari isiyo ya kawaida, ni nambari ya mchanganyiko na inaweza kuwakilishwa kama safu tatu za mawe tano kila moja. Vile vile, ingizo lolote katika jedwali la kuzidisha hutoa kundi lake lenyewe la mstatili wa kokoto.
Lakini nambari zingine, kama 2, 3, 5 na 7, hazina tumaini kabisa. Huwezi kuweka chochote kutoka kwao isipokuwa kuwapanga kwa namna ya mstari rahisi (safu moja). Watu hawa wa ajabu wakaidi ndio nambari kuu maarufu.
Kwa hivyo tunaona kwamba nambari zinaweza kuwa na miundo ya ajabu ambayo huwapa tabia fulani. Lakini ili kuelewa anuwai kamili ya tabia zao, unahitaji kurudi nyuma kutoka kwa nambari za kibinafsi na uangalie kinachotokea wakati wa mwingiliano wao.
Kwa mfano, badala ya kuongeza nambari mbili tu zisizo za kawaida, wacha tuongeze mlolongo wote unaowezekana wa nambari zisizo za kawaida, tukianza na 1:
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Kwa kushangaza, hesabu hizi kila wakati zinageuka kuwa mraba kamili. (Tayari tulisema kwamba 4 na 9 zinaweza kuwakilishwa kama miraba, na kwa 16 = 4 × 4 na 25 = 5 × 5 hii pia ni kweli.) Hesabu ya haraka inaonyesha kwamba sheria hii pia ni kweli kwa nambari kubwa zisizo za kawaida na, inaonekana. , inaelekea kutokuwa na mwisho. Lakini kuna uhusiano gani kati ya nambari zisizo za kawaida na mawe yao ya "ziada" na nambari za ulinganifu wa kawaida zinazounda miraba? Kwa kuweka kokoto kwa usahihi, tunaweza kuifanya iwe wazi, ambayo ni alama ya uthibitisho wa kifahari. {5}
Jambo kuu kwake ni uchunguzi kwamba nambari zisizo za kawaida zinaweza kuwakilishwa kama pembe za usawa, mwingiliano unaofuatana ambao huunda mraba!
Njia kama hiyo ya kusababu imetolewa katika kitabu kingine kilichochapishwa hivi majuzi. Riwaya ya kupendeza ya Yoko Ogawa The Housekeeper na Profesa inasimulia hadithi ya msichana mwerevu lakini asiye na elimu na mtoto wake wa kiume wa miaka kumi. Mwanamke aliajiriwa kumtunza mtaalamu wa hisabati mzee ambaye kumbukumbu yake ya muda mfupi, kutokana na jeraha la ubongo, huhifadhi tu habari kuhusu dakika 80 za mwisho za maisha yake. Akiwa amepotea kwa sasa, akiwa peke yake katika jumba lake mbovu, bila chochote isipokuwa nambari, profesa huyo anajaribu kuwasiliana na mlinzi wa nyumba kwa njia pekee anayojua: kwa kuuliza juu ya saizi ya kiatu chake au tarehe ya kuzaliwa na kuzungumza naye kidogo juu ya gharama zake. Profesa pia anapendezwa sana na mtoto wa mfanyakazi wa nyumbani, ambaye anamwita Ruthu (Mzizi) kwa sababu mvulana huyo ana kichwa gorofa juu, na hii inamkumbusha nukuu ya hisabati ya mzizi wa mraba √.
Siku moja, profesa anampa kijana kazi rahisi - kutafuta jumla ya nambari zote kutoka 1 hadi 10. Baada ya Ruth kuongeza kwa uangalifu nambari zote na kurudisha jibu (55), profesa anamwomba atafute nambari. njia rahisi. Je, ataweza kupata jibu? bila nyongeza ya kawaida ya nambari? Ruth anapiga teke kiti na kupiga kelele, "Si sawa!"
Kidogo kidogo, mlinzi wa nyumba pia anavutiwa katika ulimwengu wa nambari na anajaribu kwa siri kutatua shida hii mwenyewe. "Sielewi kwa nini ninavutiwa sana na fumbo la watoto ambalo halina matumizi ya vitendo," asema. "Mwanzoni nilitaka kumfurahisha profesa, lakini polepole somo hili liligeuka kuwa vita kati yangu na nambari. Nilipoamka asubuhi, equation ilikuwa tayari ikinisubiri:
1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,
Nambari zinafaa kwa kusoma ulimwengu unaotuzunguka, uzuri wa jiometri ni nini, nambari muhimu ni za kifahari na jinsi takwimu ni muhimu? Steven Strogatz anazungumza juu ya haya yote katika kitabu chake The Pleasure of X. Mwandishi anaelezea mawazo ya msingi ya hisabati kwa urahisi na kwa uzuri, akitoa mifano ambayo kila mtu anaweza kuelewa. tovuti inachapisha moja ya sura za kitabu kilichochapishwa na Mann, Ivanov na Ferber.
Takwimu ghafla zikawa uwanja wa kisasa. Pamoja na ujio wa mtandao, biashara ya mtandaoni, mitandao ya kijamii, mradi wa kuchambua jenomu la binadamu, na pia kuhusiana na maendeleo ya utamaduni wa kidijitali kwa ujumla, ulimwengu ulianza kuzama katika data. Wauzaji husoma ladha na tabia zetu. Huduma za ujasusi kukusanya taarifa kuhusu eneo letu, mawasiliano ya barua pepe na simu. Wataalamu wa takwimu za michezo huchanganya nambari ili kuamua ni wachezaji gani wa kununua, nani wa kumtayarisha na nani wa kuweka benchi. Kila mtu hujitahidi kuunganisha nukta kwenye grafu na kugundua mchoro katika mkusanyiko wa data uliochanganyikiwa.
Haishangazi kwamba mwelekeo huu unaonyeshwa katika ufundishaji. “Hebu tuangalie takwimu,” anashauri Greg Mankiw, mwanauchumi katika Chuo Kikuu cha Harvard, katika safu ya New York Times.
"IN mtaala katika hisabati sekondari Muda mwingi unatumika kwenye mada za kitamaduni kama vile jiometri ya Euclidean na trigonometry. Hizi ni muhimu kwa mtu wa kawaida Mazoezi ya kiakili, hata hivyo, hayatumiki sana Maisha ya kila siku. Wanafunzi wangefaidika sana kutokana na kujifunza zaidi kuhusu uwezekano na takwimu.” David Brooks huenda mbali zaidi. Katika makala yake kuhusu taaluma zinazostahili kuangaliwa ili kupata elimu nzuri, anaandika hivi: “Chukua takwimu. Utaona, ikawa kwamba kujua kupotoka kwa kiwango ni nini itakuwa muhimu sana kwako maishani.
Inawezekana kabisa, na pia ni wazo nzuri kuelewa usambazaji ni nini. Hili ndilo jambo la kwanza ninalokusudia kulizungumzia. Na ningependa kuzingatia hilo, kwa sababu hili ni mojawapo ya somo kuu la takwimu: mambo yanaonekana bila tumaini na hayatabiriki yanapotazamwa kibinafsi, lakini yakichukuliwa pamoja yanaonyesha muundo na utabiri.
Huenda umeona onyesho la kanuni hii kwa baadhi makumbusho ya sayansi(ikiwa sivyo, video zinaweza kupatikana mtandaoni). Onyesho la kawaida ni ukandamizaji unaoitwa ubao wa Galton, ambao unakumbusha kwa kiasi fulani mashine ya mpira wa pini isiyo na mapigo. Ndani yake, kuna hata safu za pini kwa vipindi vya kawaida.
Bodi ya Galton
Uzoefu huanza na sehemu ya juu Bodi ya Galton yazindua mamia ya mipira. Wanapoanguka, hugongana na pini na wana uwezekano sawa wa kuruka kulia au kushoto, na kisha husambazwa chini ya ubao, na kuanguka katika vyumba vya upana sawa. Urefu wa safu ya mipira unaonyesha jinsi uwezekano wa mpira kuingia hapa. Mipira mingi huwekwa takriban katikati, kuna wachache kwenye pande, na hata kidogo kwenye kando.
Kwa ujumla, picha inaweza kutabirika sana: mipira kila wakati huunda usambazaji wa umbo la kengele, ingawa haiwezekani kutabiri ni wapi kila mpira utaishia.
Ajali za pekee zinageukaje kuwa mifumo ya jumla? Lakini hivi ndivyo nafasi inavyofanya kazi. Safu ya kati ina mipira mingi kwa sababu, kabla ya kuteremka chini, wengi wao watafanya takriban idadi sawa ya kuruka kulia na kushoto na, kwa sababu hiyo, kuishia mahali fulani katikati. Mipira kadhaa ya upweke iliyo kwenye kingo huunda mikia ya usambazaji - hizi ni mipira ambayo, wakati wa kugongana na pini, daima hupigwa kwa mwelekeo sawa. Bounces vile haziwezekani, ndiyo sababu kuna mipira machache kwenye kingo.
Kama vile eneo la kila mpira limedhamiriwa na jumla ya seti matukio ya nasibu, matukio mengi katika ulimwengu huu ni matokeo ya hali nyingi ndogo na pia hutii mkunjo wenye umbo la kengele. Wanafanya kazi kwa kanuni hii Makampuni ya bima. Wao Na usahihi wa juu wanaweza kutaja idadi ya wateja wao wanaofariki kila mwaka. Hata hivyo, hawajui ni nani hasa atakuwa na bahati mbaya wakati huu.
Au chukua, kwa mfano, urefu wa mwanadamu. Inategemea ajali nyingi zinazohusiana na genetics, biochemistry, lishe na mazingira. Kwa hiyo, kuna nafasi nzuri kwamba, wakati wa kuzingatia pamoja, urefu wa wanaume na wanawake wazima utaunda curve ya umbo la kengele.
Katika chapisho la blogu linaloitwa "Misthings People Hujieleza Wenyewe Mtandaoni," huduma ya takwimu ya tovuti ya OkCupid ilichapisha hivi majuzi mchoro wa ukuaji wa wateja wake, au tuseme maadili yao ya kujiripoti. Ilibainika kuwa viwango vya ukuaji wa jinsia zote, kama inavyotarajiwa, huunda mkunjo wenye umbo la kengele. Kinachoshangaza, hata hivyo, ni kwamba usambazaji wote ulihamishwa kama inchi mbili kwa haki ya maadili yanayotarajiwa.
Strogatz S. Raha kutoka kwa H. - M.: Mann, Ivanov na Ferber, 2014.
Kwa hivyo ama wateja waliohojiwa na OkCupid ni warefu kuliko wastani au wanaongeza inchi chache zaidi kwa urefu wao wanapojieleza mtandaoni.
Toleo lililoboreshwa la mikunjo ya kengele kama hii ndilo wanahisabati huita usambazaji wa kawaida. Hii ni moja ya dhana muhimu zaidi katika takwimu, kuwa na msingi wa kinadharia. Inaweza kuthibitishwa hivyo usambazaji wa kawaida hutokea baada ya kuongeza kiasi kikubwa ndogo sababu za nasibu, na kila mmoja wao hufanya kazi kwa kujitegemea kutoka kwa wengine. Na matukio mengi hutokea kwa njia hii.
Lakini si wote. Na hili ni jambo la pili ambalo ningependa kulivutia. Usambazaji wa kawaida sio kama inavyoonekana. Kwa mamia ya miaka, na haswa katika miongo michache iliyopita, wanasayansi na wanatakwimu wamebaini uwepo wa matukio mengi ambayo yanapotoka kwenye mkondo huu na kufuata ratiba yao wenyewe. Inashangaza kwamba aina kama hizi za usambazaji hazijatajwa katika vitabu vya kiada kwenye takwimu za kimsingi, na ikiwa zinapatikana, kawaida huzingatiwa kama aina fulani ya ugonjwa.
Hii ni ajabu. Nitajaribu kuelezea matukio mengi maisha ya kisasa kupata maana zaidi mradi mgawanyiko huu wa "patholojia" unaeleweka. Hii ndio kawaida mpya. Chukua, kwa mfano, usambazaji wa ukubwa wa jiji nchini Marekani. Badala ya kukusanyika karibu na fulani ukubwa wa wastani kengele Curve, idadi kubwa ya miji ina ukubwa mdogo na kwa hiyo kujilimbikiza upande wa kushoto wa grafu.
Strogatz S. Raha kutoka kwa H. - M.: Mann, Ivanov na Ferber, 2014.
Na nini idadi kubwa ya watu miji, mara chache miji kama hiyo hupatikana. Kwa maneno mengine, katika jumla usambazaji utakuwa zaidi wa curve yenye umbo la L kuliko mkunjo wenye umbo la kengele.
Na hii haishangazi. Kila mtu anajua kuwa kuna megacities chache zaidi kuliko miji midogo. Ingawa sio dhahiri sana, saizi za jiji hufuata usambazaji mzuri rahisi - unapoziangalia kwa kiwango cha logarithmic.
Tutachukulia kuwa tofauti kati ya miji miwili ni sawa ikiwa idadi ya watu wake inatofautiana kwa idadi sawa ya nyakati (kama vile funguo zozote mbili za piano zinazotenganishwa na oktava kila mara hutofautiana kwa nusu katika mzunguko). Na tufanye vivyo hivyo kwenye mhimili wima.
Strogatz S. Raha kutoka kwa H. - M.: Mann, Ivanov na Ferber, 2014.
Data sasa iko kwenye curve ambayo ni karibu mstari ulionyooka kabisa. Kulingana na mali ya logarithms, ni rahisi kuamua kwamba curve ya awali ya umbo la L ni utegemezi wa sheria ya nguvu, ambayo inaelezwa na kazi ya fomu.
ambapo x ni idadi ya watu wa jiji, y ni idadi ya miji ya ukubwa huu, c ni mara kwa mara, na kielelezo a (kielelezo cha sheria-nguvu) huamua mteremko hasi wa mstari wa moja kwa moja.
Usambazaji wa nguvu una sifa zisizo na mantiki kutoka kwa mtazamo wa takwimu za jadi. Kwa mfano, tofauti na usambazaji wa kawaida, hali zao, wastani na njia haziwiani kwa sababu ya umbo lililopinda, lisilolingana la mikunjo yenye umbo la L.
Rais Bush alinufaika sana kutokana na hili, akisema mwaka 2003 kwamba kupunguzwa kwa kodi kuliokoa kila familia wastani wa $1,586. Ingawa hii ni sahihi kihisabati, alichukua fursa ya makato ya wastani, ambayo yalificha makato makubwa ya mamia ya maelfu ya dola zilizopokelewa na 0.1%. idadi ya watu matajiri zaidi nchi. Inajulikana kuwa "mkia" upande wa kulia wa usambazaji wa mapato hufuata sheria ya nguvu, na ndani hali sawa kutumia wastani ni kupotosha kwa sababu ni mbali na thamani yake halisi. Kwa kweli, familia nyingi zilipokea chini ya $ 650 nyuma. KATIKA kupewa usambazaji wastani ni kidogo sana kuliko wastani.
Mfano huu unaonyesha mali muhimu zaidi mgawanyo wa sheria-nguvu: zina mikia mizito ikilinganishwa na angalau mikia midogo ya kioevu ya usambazaji wa kawaida. Mikia mikubwa kama hii, ingawa ni nadra, ni ya kawaida zaidi katika usambazaji wa data kuliko curve za kawaida za umbo la kengele.
Mnamo Jumatatu Nyeusi, Oktoba 19, 1987, Wastani wa Viwanda wa Dow Jones ulipungua kwa 22%. Ikilinganishwa na kiwango cha kawaida cha kukosekana kwa utulivu katika soko la hisa, kushuka hii ilikuwa zaidi ya ishirini mikengeuko ya kawaida. Kulingana na takwimu za kitamaduni (ambazo hutumia usambazaji wa kawaida), tukio kama hilo ni karibu haliwezekani: uwezekano wake ni chini ya moja kati ya 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 hadi 500. Walakini, hii ilitokea - kwa sababu kushuka kwa bei katika soko la hisa hakufuata usambazaji wa kawaida.
Usambazaji wenye mkia mzito unafaa zaidi kuzielezea. Hii hutokea kwa matetemeko ya ardhi, moto na mafuriko, na kufanya kuwa vigumu kwa makampuni ya bima kudhibiti hatari.
Sawa mfano wa hisabati inaeleza idadi ya vifo kutokana na vita na mashambulizi ya kigaidi, pamoja na mambo mengine, yenye amani zaidi, kama vile idadi ya maneno katika riwaya au idadi ya wapenzi wa ngono ambao mtu anao.
Ijapokuwa vivumishi vinavyotumiwa kuelezea mikia mirefu havivipaka rangi katika mwanga mzuri, ugawaji wenye mkia huvaa mikia yao kwa fahari. Mafuta, nzito na ndefu? Kweli ni hiyo. Lakini katika kesi hii, nionyeshe ambayo ni ya kawaida?