Mfano 1. Kadi 2 huondolewa kwa mtiririko kutoka kwa staha ya kadi 32 bila kurudi. Tafuta uwezekano kwamba zote mbili ni aces.

Suluhisho. Kwa kuwa kadi ya kwanza inaweza kutolewa kutoka kwa staha kwa njia 32, na ya pili - 31 (kwa kuwa kuna kadi 31 zilizoachwa kwenye staha), basi idadi ya matokeo iwezekanavyo ya jaribio ni . Wacha tuamue idadi ya matokeo mazuri. Ace ya kwanza inaweza kuchaguliwa kutoka kwa nne kwenye staha, ya pili - kutoka kwa tatu iliyobaki. Hii ina maana kwamba idadi ya matokeo mazuri na uwezekano unaotakiwa ni sawa na

Mfano 2. Keki tano zilitolewa kwenye sanduku lililokuwa na eclairs tano na Napoleon saba. Pata uwezekano kwamba kati yao kuna "éclairs" mbili na "Napoleons" tatu.

Suluhisho. Idadi ya matokeo yanayowezekana ya jaribio ni idadi ya mchanganyiko wa 12 kwa 5:

Idadi ya matokeo mazuri ni bidhaa ya idadi ya njia ambazo "éclairs" mbili zinaweza kuchaguliwa kutoka tano zinazopatikana, na idadi ya seti za "Napoleons" tatu kutoka kwa saba:

Kwa hiyo, uwezekano unaohitajika ni sawa na

Mfano 3. Kitone hutupwa kwenye duara bila mpangilio. Pata uwezekano kwamba haitaanguka kwenye pembetatu ya kawaida iliyoandikwa kwenye mduara huu.

Suluhisho. Katika kesi hii, kipimo cha seti ya matokeo yanayowezekana ni eneo la duara: na kipimo cha seti ya matokeo mazuri ni tofauti kati ya maeneo ya duara na pembetatu: . Kwa hiyo, uwezekano wa tukio fulani ni sawa na

Mfano 4. Wapiga risasi wawili kila mmoja walifyatua risasi moja kwenye shabaha. Uwezekano wa hit yao ni 0.6 na 0.9, kwa mtiririko huo. Tafuta uwezekano wa matukio yafuatayo:

Wote wawili walipiga shabaha;

Angalau moja ilifikia lengo.

Suluhisho. Wacha tuite kugonga kwa lengo na mpiga risasi wa kwanza na wa pili, kwa mtiririko huo, matukio na kumbuka kuwa na ni matukio ya pamoja lakini ya kujitegemea (kwa maneno mengine, wapiga risasi wote wanaweza kugonga lengo, na uwezekano wa kupiga kila mmoja hautegemei matokeo ya nyingine). Tukio ni zao la matukio na kwa hivyo

Tukio ni jumla na kubainisha uwezekano wake tunatumia aina ya jumla ya nadharia ya nyongeza:

Mfano 5. Urns tatu zinazofanana zina mipira: ya kwanza ina 5 nyeupe na 3 nyeusi, ya pili ina 2 nyeupe na 6 nyeusi, ya tatu ina 3 nyeupe na 1 nyeusi. Mpira hutolewa kutoka kwa urn iliyochaguliwa kwa nasibu. Tafuta uwezekano kwamba yeye ni mzungu.

Uwezekano wa masharti wa tukio, ambayo ni, kuchora mpira mweupe kutoka kwenye mkojo, imedhamiriwa na ufafanuzi wa classical wa uwezekano (idadi ya matokeo mazuri ni idadi ya mipira nyeupe, na idadi ya matokeo iwezekanavyo ni jumla ya mipira kwenye mkojo). Ndiyo maana

Kwa kutumia formula ya jumla ya uwezekano, tunapata:

Mfano 6. Kuna wanafunzi 20 katika kikundi cha wanafunzi. Kati ya hao, 5 ni wanafunzi bora wanaojua maswali yote ya mtihani, wanafunzi 8 wanajua majibu ya 70% ya maswali na 7 wanajua majibu kwa 50%. Mwanafunzi wa kwanza aliyeitwa alijibu swali la kwanza kwenye karatasi ya mtihani. Tafuta uwezekano kwamba yeye ni mwanafunzi bora.

UWEZEKANO- jumla ya kisayansi na falsafa. kategoria inayoashiria kiwango cha kiasi cha uwezekano wa kutokea kwa matukio mengi ya nasibu chini ya hali zisizobadilika za uchunguzi, zinazoonyesha uthabiti wa masafa yao ya jamaa. Katika mantiki, shahada ya semantiki...... Encyclopedia ya Falsafa

FALSAFA NI NINI?- 'FALSAFA NI NINI?' ('Qu est ce que la philosophie?', Les Editions de Minuit, 1991) kitabu cha Deleuze na Guattari. Kulingana na mawazo ya waandishi, yaliyoonyeshwa katika Utangulizi, ‘falsafa ni nini’ ni swali ambalo ‘huulizwa, kuficha wasiwasi, karibu na... ...

FALSAFA NI NINI?- (Qu est ce que la philosophie?, Les Editions de Minuit, 1991) kitabu cha Deleuze na Guattari. Kulingana na mawazo ya waandishi, yaliyoainishwa katika Utangulizi, falsafa ni nini ni swali linaloulizwa, kuficha wasiwasi, karibu na usiku wa manane, wakati zaidi ... ... Historia ya Falsafa: Encyclopedia

Uwezekano- tabia ya hisabati, nambari ya kiwango cha uwezekano wa tukio la tukio lolote maalum katika hali fulani ambazo zinaweza kurudiwa kwa idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Kama kitengo cha maarifa ya kisayansi, wazo la "V" ... ... Encyclopedia kubwa ya Soviet

UWEZEKANO- tabia ya nambari ya hisabati ya kiwango cha uwezekano wa kuonekana kwa cosmic l. tukio fulani katika hali fulani ambayo inaweza kurudiwa idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Kama kategoria ya maarifa ya kisayansi, dhana ya V. huakisi aina maalum... ... Encyclopedia ya hisabati

Nyangumi wa kulia-? Nyangumi wa Kusini ... Wikipedia

Scrubs (mfululizo wa TV)- Kifungu hiki au sehemu hii inahitaji kurekebishwa. Tafadhali boresha makala kwa mujibu wa sheria za kuandika makala... Wikipedia

Uwezekano unaonyesha uwezekano wa tukio fulani kutokana na idadi fulani ya marudio. Ni idadi ya matokeo yanayowezekana yenye matokeo moja au zaidi ikigawanywa na jumla ya idadi ya matukio yanayowezekana. Uwezekano wa matukio mengi huhesabiwa kwa kugawanya tatizo katika uwezekano wa mtu binafsi na kisha kuzidisha uwezekano huu.

Hatua

Uwezekano wa tukio moja la nasibu

1. Chagua tukio lenye matokeo ya kipekee. Uwezekano unaweza tu kuhesabiwa ikiwa tukio linalohusika ama hutokea au halifanyiki. Haiwezekani kupata wakati huo huo tukio na matokeo yake kinyume. Mifano ya matukio kama haya ni kukunja 5 kwenye kete au kushinda farasi fulani kwenye mbio. Watano watakuja au hautatokea; farasi fulani atakuja kwanza au la.

   • Kwa mfano, haiwezekani kuhesabu uwezekano wa tukio hilo: kwa kutupa moja ya kufa, 5 na 6 itaonekana kwa wakati mmoja.

2. Tambua matukio na matokeo yote yanayoweza kutokea. Tuseme unahitaji kuamua uwezekano kwamba wakati wa kutupa mchezo kufa na nambari 6 utapata tatu. "Kuzungusha tatu" ni tukio, na kwa kuwa tunajua kwamba nambari yoyote kati ya 6 inaweza kuzungushwa, idadi ya matokeo iwezekanavyo ni sita. Kwa hivyo, tunajua kwamba katika kesi hii kuna matokeo 6 iwezekanavyo na tukio moja, uwezekano ambao tunataka kuamua. Ifuatayo ni mifano miwili zaidi.

   • Mfano 1. Katika kesi hiyo, tukio hilo ni "kuchagua siku inayoanguka mwishoni mwa wiki," na idadi ya matokeo iwezekanavyo ni sawa na idadi ya siku za juma, yaani, saba.
   • Mfano 2. Tukio hilo ni "chora mpira nyekundu", na idadi ya matokeo iwezekanavyo ni sawa na jumla ya idadi ya mipira, yaani, ishirini.

3. Gawanya idadi ya matukio kwa idadi ya matokeo iwezekanavyo. Kwa njia hii utaamua uwezekano wa tukio moja. Ikiwa tunazingatia kisa cha kukunja kifo kama 3, idadi ya matukio ni 1 (ya 3 iko upande mmoja tu wa kufa) na jumla ya matokeo ni 6. Matokeo yake ni uwiano wa 1/6, 0.166, au 16.6%. Uwezekano wa tukio kwa mifano miwili hapo juu unapatikana kama ifuatavyo:

   • Mfano 1. Je, kuna uwezekano gani kwamba utachagua siku ambayo itakuwa wikendi bila mpangilio? Idadi ya matukio ni 2, kwa kuwa kuna siku mbili za mapumziko katika wiki moja, na jumla ya matokeo ni 7. Hivyo, uwezekano ni 2/7. Matokeo yaliyopatikana yanaweza pia kuandikwa kama 0.285 au 28.5%.
   • Mfano 2. Sanduku lina mipira 4 ya bluu, 5 nyekundu na 11 nyeupe. Ukichukua mpira bila mpangilio nje ya kisanduku, kuna uwezekano gani kwamba utakuwa mwekundu? Idadi ya matukio ni 5, kwa kuwa kuna mipira 5 nyekundu kwenye sanduku, na jumla ya matokeo ni 20. Tunapata uwezekano: 5/20 = 1/4. Matokeo yaliyopatikana yanaweza pia kuandikwa kama 0.25 au 25%.

4. Ongeza uwezekano wa matukio yote yanayowezekana na uone kama jumla ni 1. Uwezekano wa jumla wa matukio yote yanayowezekana lazima iwe 1, au 100%. Usipopata 100%, kuna uwezekano mkubwa ulifanya makosa na ukakosa tukio moja au zaidi linalowezekana. Angalia mahesabu yako na uhakikishe kuwa umezingatia matokeo yote yanayowezekana.

   • Kwa mfano, uwezekano wa kupata 3 wakati wa kukunja kete ni 1/6. Katika kesi hii, uwezekano wa nambari nyingine yoyote kuanguka nje ya tano iliyobaki pia ni sawa na 1/6. Matokeo yake, tunapata 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, yaani, 100%.
   • Ikiwa, kwa mfano, umesahau kuhusu nambari 4 kwenye kufa, kuongeza uwezekano utakupa 5/6 tu, au 83%, ambayo si sawa na moja na inaonyesha kosa.

5. Eleza uwezekano wa matokeo yasiyowezekana kama 0. Hii ina maana kwamba tukio lililotolewa haliwezi kutokea na uwezekano wake ni 0. Kwa njia hii unaweza kuhesabu matukio yasiyowezekana.

   • Kwa mfano, ikiwa ungehesabu uwezekano kwamba Pasaka itaangukia Jumatatu mwaka wa 2020, utapata 0 kwa sababu Pasaka huadhimishwa kila Jumapili.

   Uwezekano wa matukio kadhaa ya nasibu

   1. Unapozingatia matukio huru, hesabu kila uwezekano kando. Mara tu unapoamua uwezekano wa matukio ni nini, yanaweza kuhesabiwa tofauti. Tuseme tunataka kujua uwezekano wa kuviringisha kufa mara mbili mfululizo na kupata 5. Tunajua kwamba uwezekano wa kupata 5 ni 1/6, na uwezekano wa kupata 5 wa pili pia ni 1/6. Matokeo ya kwanza hayahusiani na ya pili.

      • Rolls kadhaa za tano huitwa matukio ya kujitegemea, kwani kile kinachotokea mara ya kwanza hakiathiri tukio la pili.

   2. Fikiria ushawishi wa matokeo ya awali wakati wa kuhesabu uwezekano wa matukio tegemezi. Ikiwa tukio la kwanza linaathiri uwezekano wa matokeo ya pili, tunazungumzia kuhusu kuhesabu uwezekano matukio tegemezi. Kwa mfano, ukichagua kadi mbili kutoka kwa kadi ya 52, baada ya kuchora kadi ya kwanza, muundo wa mabadiliko ya staha, ambayo huathiri uteuzi wa kadi ya pili. Ili kuhesabu uwezekano wa pili wa matukio mawili tegemezi, unahitaji kuondoa 1 kutoka kwa idadi ya matokeo iwezekanavyo wakati wa kuhesabu uwezekano wa tukio la pili.

      • Mfano 1. Fikiria tukio lifuatalo: Kadi mbili hutolewa kwa nasibu kutoka kwa staha, moja baada ya nyingine. Kuna uwezekano gani kwamba kadi zote mbili zitakuwa za vilabu? Uwezekano kwamba kadi ya kwanza itakuwa suti ya klabu ni 13/52, au 1/4, kwa kuwa kuna kadi 13 za suti sawa kwenye staha.
        • Baada ya hayo, uwezekano kwamba kadi ya pili itakuwa suti ya klabu ni 12/51, kwani kadi moja ya klabu haipo tena. Hii ni kwa sababu tukio la kwanza huathiri la pili. Ukichora Vilabu Tatu na usiirudishe, kutakuwa na kadi moja ndogo kwenye sitaha (51 badala ya 52).
      • Mfano 2. Kuna mipira 4 ya bluu, 5 nyekundu na 11 nyeupe kwenye sanduku. Ikiwa mipira mitatu inatolewa kwa nasibu, kuna uwezekano gani kwamba ya kwanza ni nyekundu, ya pili ni ya bluu, na ya tatu ni nyeupe?
        • Uwezekano kwamba mpira wa kwanza utakuwa nyekundu ni 5/20, au 1/4. Uwezekano kwamba mpira wa pili utakuwa wa bluu ni 4/19, kwani kuna mpira mmoja mdogo uliobaki kwenye sanduku, lakini bado 4. bluu mpira. Hatimaye, uwezekano kwamba mpira wa tatu utakuwa mweupe ni 11/18 kwani tayari tumetoa mipira miwili.

   3. Zidisha uwezekano wa kila tukio la mtu binafsi. Bila kujali kama unashughulika na matukio huru au tegemezi, au idadi ya matokeo (kunaweza kuwa 2, 3, au hata 10), unaweza kuhesabu uwezekano wa jumla kwa kuzidisha uwezekano wa matukio yote yanayohojiwa kwa kila mmoja. Matokeo yake, utapata uwezekano wa matukio kadhaa, yafuatayo mmoja baada ya mwingine. Kwa mfano, kazi ni Tafuta uwezekano kwamba wakati wa kugeuza kufa mara mbili mfululizo utapata 5. Haya ni matukio mawili ya kujitegemea, uwezekano wa kila mmoja ambayo ni 1/6. Kwa hivyo, uwezekano wa matukio yote mawili ni 1/6 x 1/6 = 1/36, yaani, 0.027, au 2.7%.

      • Mfano 1. Kadi mbili hutolewa kutoka kwa staha bila mpangilio, moja baada ya nyingine. Kuna uwezekano gani kwamba kadi zote mbili zitakuwa za vilabu? Uwezekano wa tukio la kwanza ni 13/52. Uwezekano wa tukio la pili ni 12/51. Tunapata uwezekano wa jumla: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, yaani, 0.058, au 5.8%.
      • Mfano 2. Sanduku lina mipira 4 ya bluu, 5 nyekundu na 11 nyeupe. Ikiwa mipira mitatu imetolewa kwa nasibu kutoka kwa sanduku moja baada ya nyingine, kuna uwezekano gani kwamba ya kwanza ni nyekundu, ya pili ni ya bluu, na ya tatu ni nyeupe? Uwezekano wa tukio la kwanza ni 5/20. Uwezekano wa tukio la pili ni 4/19. Uwezekano wa tukio la tatu ni 11/18. Kwa hivyo uwezekano wa jumla ni 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0.032, au 3.2%.

Jibu: 0.7157

2.

3.

4. nambari haiwezi kugawanywa na 5

Suluhisho: P(A) = m/n; m=1/

Ni sawa na 90 na uondoe kutoka kwa nambari hizi zile ambazo zinagawanywa na 5 (10,15,20,25...90,95). Nambari yao ni 18 => n=90-18=72

Jibu: 1/72

Suluhisho: P(A)=m/n

a) P(A)=6/36 =1/6

Suluhisho: C m = n! /m!(n-m)!

m = C 3 7 = 7! 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

b) unaweza kupata nyekundu 3 kati ya 7 kwa njia 7, na nyeusi 3 kati ya 5 =>

Na njia 35.

P (A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Jibu:

Suluhisho:

Jibu: 0.3.

Suluhisho:

A - toka kwenye maze.

P (A/H3) =0.2 - kutoka kwa labyrinth ya 3

P (A/H4) = 0.1 - kutoka kwa labyrinths 4

Jibu: 1/3; 2/5

9.

10.

11. .

Suluhisho:

Suluhisho:

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

13.

Suluhisho:

Acha B isiwe na vibao

P(C)= 1 - 0.216 = 0.784

Jibu: 0.784

Suluhisho:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

Jibu: 15/48 = 0.3125

16.

Suluhisho:

17.

Suluhisho:

P(H2/A)=0.7/1.6=0.42

Suluhisho:

Jibu: P (A) = 0.925

Mwanafunzi anatembelea maktaba 3 kutafuta kitabu. Uwezekano kwamba wako kwenye maktaba ni 0.4; 0.5; 0.1; na ukweli kwamba zilitolewa au la ni matukio yanayowezekana sawa. Je, kuna uwezekano gani kwamba kitabu unachohitaji kitapatikana?

Suluhisho: Kitabu kiko maktaba, B - kitabu hakijatolewa.

P(B) = P(B -) = ½

P(A1) = 0.4 P(A2) = 0.5 P(A3) = 0.1

Wacha tuamue uwezekano kwamba kitabu kinachohitajika kinapatikana:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) ) = 1/2 * (0.4 + 0.5 +0.1) = 1/2 * 1 = ½

Jibu: 1/2

23. Pata uwezekano kwamba siku za kuzaliwa za watu 12 zitaanguka katika miezi tofauti ya mwaka.

Suluhisho: P(A)= m/n

n = --- A 12 = 12 12

P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / (12*12*12*12*12 7) = (11*5*7*5* 1) / 12 7 = 7*8*25 / 12 7 = 1925 / 12 7

Jibu: 1925/12 7

24. Mkojo una mipira 10 nyeupe, 5 nyeusi na 15 nyekundu. Mipira 2 huchorwa kwa mfuatano. Matukio mawili yanazingatiwa: A - angalau moja ya mipira miwili inayotolewa ni nyekundu, B - angalau mpira mmoja uliotolewa ni nyeupe. Tafuta uwezekano wa tukio C = A + B.

25. Nambari iliyopigwa bila mpangilio ina tarakimu 5. Amua uwezekano kwamba nambari zote ndani yake ni tofauti.

26. Duka la nguo za knitwear lilipokea soksi, 60% ambazo zilitoka kwa kiwanda kimoja, 25% kutoka kwa kingine na 15% kutoka kwa theluthi. Pata uwezekano kwamba soksi zilizonunuliwa na mnunuzi zinafanywa katika kiwanda cha pili au cha tatu.

Suluhisho. A1-kutoka kiwanda 1, P (A1) = 0.6;

A2 - kutoka kiwanda 2; P(A2) = 0.25

A3 - kutoka kwa viwanda 3; P(A3) = 0.15

P (A2 + A3) = 0.25 + 0.15 = 0.4

Jibu: 0.4

Abiria anaweza kutuma maombi kwenye mojawapo ya ofisi za tikiti ili kupata tikiti. Uwezekano wa kwenda kwenye dawati la kwanza la pesa ni 0.4; katika pili 0.35; na 3 0.25. Uwezekano kwamba wakati abiria anafika tikiti zinazopatikana kwenye ofisi ya tikiti zitauzwa ni sawa na 0.3 kwa ofisi ya 1 ya tikiti; kwa 2 0.4, kwa 3 0.6. Tafuta uwezekano kwamba abiria atanunua tikiti.

P (A) - uwezekano wa kutonunua tikiti.

P(A) =0.4*0.3 + 0.35*0.4 + 0.25*0.6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P (A1) - uwezekano wa kununua tiketi = 1-P (A) = 1 - 0.41 = 0.59.

Jibu: P(A1) = 0.59.

28. Kete 4 zimeviringishwa. Tafuta uwezekano kwamba: a) angalau mmoja wao atakuwa na alama 2, b) watakuwa na idadi sawa ya alama.

Suluhisho:

29. Kutoka kwa ishara 9 zilizohesabiwa na nambari tofauti za tarakimu moja, 3 huchaguliwa. Pata uwezekano kwamba kurekodi kwa mfululizo wa nambari zao kutaonyesha ongezeko la maadili ya tarakimu.

Suluhisho:

30. Uwezekano wa kushinda kwenye tikiti ya bahati nasibu ni 0.1. Kuna uwezekano gani kwamba angalau tikiti moja kati ya tatu zilizonunuliwa itashinda?

31. Kutoka kwenye staha kamili ya kadi (karatasi 52), kadi 4 zinachukuliwa mara moja. Tafuta uwezekano kwamba kadi hizi zote zitakuwa za suti tofauti.

Suluhisho: Uwezekano wa kuchora suti maalum ni C 1 13

C 1 13 = 13 (idadi ya njia zinazowezekana).

Uwezekano wa kuteka kadi kutoka 52 = C 4 52 = 52! 4!* 48! = 48!*49*50*51* 52 / 2*3*4*48! = 270725
P (A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 / 270725 = 0.1054982

Jibu: P(A) = 0.1054982.

32. Kuna 3 urns. Wa kwanza ana mipira 5 nyeupe na 6 nyeusi, ya pili ina mipira 4 nyeupe na 3 nyeusi, ya tatu ina mipira 5 nyeupe na 3 nyeusi. Mtu anachagua moja ya mikojo bila mpangilio na kuchora mpira kutoka kwayo. Mpira huu uligeuka kuwa mweupe. Tafuta uwezekano kwamba mpira huu umetolewa kutoka kwa urn ya pili.

Suluhisho:

Jibu: 0.9125

52. Je, kuna uwezekano gani wa kupata Ese 1, Ace na mfalme wakati wa kushughulika na kadi 6 kutoka kwa staha ya kadi 52?

Magari yalipelekwa kwenye kituo cha huduma. Kwa kuongezea, 5 kati yao walikuwa na hitilafu ya chasi, 8 walikuwa na hitilafu za injini, na 10 walikuwa wanafanya kazi kikamilifu. Je, kuna uwezekano gani kwamba gari yenye chasi mbovu pia ina motor mbovu?

Suluhisho:

11111111 8 na motor mbovu

5 iliyo na sehemu ya hatua zisizofaa 11111 1111111111 10 wanafanya kazi

11111111111111111111 jumla 20

3 yenye hitilafu ya motor na sehemu ya kiharusi 111

P = m / n m-idadi ya magari yenye chasi mbaya na motor mbaya; m=3

n - idadi ya magari yenye chasi mbaya; n=5

P = 3/5 - uwezekano kwamba gari yenye chasi mbaya ina motor mbaya.

Jibu: 3/5

Jibu: 21/625; 219/625; 247/625

67. Katika brigade ya kwanza ya matrekta 8, 2 yanahitaji matengenezo, kwa pili, kati ya 6-1. Trekta moja huchaguliwa kwa nasibu kutoka kwa kila brigade. Amua uwezekano kwamba a) zote mbili zinafanya kazi, b) angalau moja inafanya kazi, c) ni moja tu inayofanya kazi.

a)P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

b)P(A) = 1-P(--- A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

c) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. Shirika limeajiri wanaume 12 na wanawake 8. Zawadi 3 zimetengwa kwa ajili yao. Amua uwezekano kwamba bonasi itapokelewa na: a) wanaume wawili na mwanamke mmoja; b) wanawake pekee; c) angalau mwanaume mmoja.

Suluhisho: a) Mwanaume A-1

B - 2 wanaume

S-1 mwanamke

P (A) = 12/20; P (B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0.154

b) Mwanamke A-1

B-2 wanawake

S-3 wanawake

P(A) = 8/20; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0.049

c) A-angalau mtu 1

A wanawake wote

P(A)=1- P(---A)

P(---A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0.049

69. Kati ya wafanyakazi 25, makampuni 10 yana elimu ya juu: Amua uwezekano kwamba kati ya watu watatu waliochaguliwa bila mpangilio wana elimu ya juu; a) watu watatu; b) mtu mmoja; c) angalau mtu mmoja.

Suluhisho:

70. Herufi "K", "A", "P", "T", "O", "Ch", "K", "A" zimeandikwa kwenye kadi. Kadi hizo huchanganyika na kuwekwa kwa mpangilio zilivyochorwa. Je, ni uwezekano gani unaopata: a) neno "KADI"; b) neno "MAP"; c) neno "SASA".

71. Kuna bidhaa 15 za ubora wa juu kwenye sanduku la vitu 25. Vipengee 3 huchorwa bila mpangilio. Amua uwezekano kwamba: a) mmoja wao ni wa ubora ulioongezeka; b) bidhaa zote tatu ni za ubora ulioboreshwa; c) angalau bidhaa moja ya ubora ulioboreshwa.

Suluhisho:

72. Kete tatu zinatupwa. Kuna uwezekano gani kwamba: a) angalau mmoja wao ataonyesha alama 5; b) kila mtu atapata nambari zisizo za kawaida; c) kete zote zitaonyesha nambari sawa

73. Sanduku la kwanza la mipira 6 lina 4 nyekundu na 2 nyeusi, sanduku la pili la mipira 7 lina 2 nyekundu na 5 nyeusi. Mpira mmoja ulihamishwa kutoka kisanduku cha kwanza hadi cha pili, kisha mpira mmoja ukahamishwa kutoka la pili hadi la kwanza. Tafuta uwezekano kwamba mpira uliotolewa kutoka kwa sanduku la kwanza ni nyeusi.

74. Biashara mbili zinazalisha aina moja ya bidhaa. Kwa kuongezea, ya pili inazalisha 55% ya bidhaa za biashara zote mbili. Uwezekano wa biashara ya kwanza kutoa bidhaa isiyo ya kawaida ni 0.1, na ya pili ni 0.15. a) Amua uwezekano kwamba bidhaa iliyochukuliwa bila mpangilio itageuka kuwa isiyo ya kawaida, b) Bidhaa iliyochukuliwa itageuka kuwa isiyo ya kawaida. Kuna uwezekano gani kwamba ilitolewa kwenye mmea wa pili.

Suluhisho:

75. Kuna urns tatu. Ya kwanza ina mipira 3 nyeupe na 2 nyeusi, ya pili na ya tatu ina mipira 4 nyeupe na 3 nyeusi. Mpira hutolewa kutoka kwa urn iliyochaguliwa kwa nasibu. Aligeuka kuwa mweupe. Kuna uwezekano gani kwamba mpira hutolewa kutoka kwa urn wa tatu?

Suluhisho: P(H1) = 1/3; P(H2) =1/3; P(H3) = 1/3.

P (A) - uwezekano wa kuchora mpira mweupe.

Ikiwa urn ya 1 imechaguliwa P (A/H1) = 3/5

2 P(A/H2) = 4/7

P ya tatu (A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Jibu: 1/3

76. Mbegu za kupanda hutolewa kwa shamba kutoka kwa mashamba matatu ya mbegu. Aidha, shamba la kwanza na la pili kila moja hutuma 40% ya mbegu zote. Kiwango cha kuota kwa mbegu kutoka shamba la kwanza ni 90%, pili ni 85%, na tatu ni 95%. a) Bainisha uwezekano kwamba mbegu iliyochukuliwa bila mpangilio haitaota, b) Mbegu iliyochukuliwa bila mpangilio haitaota Je, kuna uwezekano gani kwamba ilitoka katika shamba la pili?

77. Mpango wa mtihani una maswali 30. Kati ya wanafunzi 20 katika kikundi, watu 8 walijifunza maswali yote, watu 6 walijifunza maswali 25, watu 5 walijifunza maswali 20, na mtu mmoja alijifunza maswali 10. Amua uwezekano kwamba mwanafunzi aliyeitwa bila mpangilio atajibu maswali mawili kwenye tikiti.

Suluhisho: H1 ni chaguo la mwanafunzi aliyejifunza kila kitu, H2 ni chaguo la mwanafunzi aliyejifunza maswali 25, H3 ni chaguo la mwanafunzi aliyejifunza maswali 20, H4 ni chaguo la mwanafunzi aliyejifunza maswali 10. .

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-wale ambao wamejifunza maswali yote, n-wanafunzi wote.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(A/H1) = 1 – Uwezekano kwamba mwanafunzi ambaye amejifunza kila kitu alijibu maswali 2 kwenye tikiti kati ya maswali 25 aliyojifunza.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 – uwezekano kwamba mwanafunzi atajibu maswali 2 kwenye tikiti kati ya maswali 25 aliyojifunza.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 - uwezekano kwamba mwanafunzi ambaye amejifunza maswali 20 atajibu maswali 2 kwenye tiketi.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 – uwezekano kwamba mwanafunzi ambaye amejifunza maswali 10 atajibu maswali 2 kwenye tikiti.

Kwa kutumia fomula ya jumla ya uwezekano, tunapata uwezekano kwamba mwanafunzi aliyeitwa bila mpangilio atajibu maswali 2 kwenye tikiti:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) ) ) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Jibu: 5/6

78. Kabla ya kupanda, 95% ya mbegu hutibiwa na suluhisho maalum. Kuota kwa mbegu baada ya matibabu ni 99%, bila kutibiwa 85%. A) Je, kuna uwezekano gani kwamba mbegu iliyochaguliwa bila mpangilio itaota? B) Mbegu iliyochukuliwa bila mpangilio iliota. Kuna uwezekano gani kwamba ilitoka kwa mbegu iliyotibiwa?

Suluhisho: Mbegu zilizotiwa dawa ya H1, H2 - mbegu ambazo hazijatibiwa, A - mbegu iliyoota.

95% + 5% = 100% => P(H1) = 0.95; P(H2) = 0.05

P(A/H1) = 0.99 - uwezekano kwamba mbegu iliyochukuliwa bila mpangilio itaota ikiwa itachakatwa.

P(A/H2) = 0.85 - Uwezekano kwamba mbegu iliyochaguliwa kwa nasibu itaota ikiwa haijatibiwa.

A) kwa kutumia fomula ya jumla ya uwezekano, tunapata uwezekano kwamba mbegu iliyochukuliwa bila mpangilio itachipuka:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P( A/H2)

P(A) = 0.95*0.99 + 0.05*0.85 = 0.9405 +0.0425 = 0.983

Jibu: 0.983

79. Duka hilo hupokea televisheni kutoka kwa viwanda vinne. Uwezekano kwamba TV haitakuwa na malfunction wakati wa mwaka ni: kwa mmea wa kwanza 0.9, kwa pili 0.8, kwa tatu 0.8 na kwa nne 0.99. Runinga iliyochaguliwa kwa nasibu imeshindwa ndani ya mwaka mmoja. Kuna uwezekano gani kwamba ilitengenezwa katika mmea wa kwanza?

80. Mnunuzi ana uwezekano sawa wa kutembelea kila moja ya maduka hayo matatu. Uwezekano kwamba mteja atanunua bidhaa katika duka la kwanza ni 0.4, la pili ni 0.6 na la tatu ni 0.8. Amua uwezekano kwamba mteja atanunua bidhaa katika duka fulani. Mnunuzi alinunua bidhaa. Tafuta uwezekano kwamba aliinunua kwenye duka la pili.

Jibu: 0.7157

2. Mfanyikazi anaendesha mashine 3. Uwezekano wa operesheni ya kutofaulu ya wa kwanza wao ni 0.75, ya pili ni 0.85,
ya tatu 0.95. Tafuta uwezekano kwamba a) mashine mbili zitashindwa, b) mashine zote tatu zitafanya kazi bila kushindwa, c) angalau mashine moja itashindwa.

3. Kutoka kwa sitaha iliyo na kadi 52, 3 huchorwa bila mpangilio. Tafuta uwezekano kuwa ni tatu, saba, na ase.

4. Tafuta uwezekano kwamba mteja atapiga nambari sahihi ya tarakimu mbili ikiwa anajua hiyo aliyopewa nambari haiwezi kugawanywa na 5

Suluhisho: P(A) = m/n; m=1/

Wacha tuhesabu jumla ya nambari za nambari mbili. Ni sawa na 90 na uondoe kutoka kwa nambari hizi zile ambazo zinagawanywa na 5 (10,15,20,25...90,95). Nambari yao ni 18 => n=90-18=72

Jibu: 1/72

5. Kifa kinapigwa mara 2: a) Pata uwezekano kwamba jumla ya pointi kwenye nyuso za juu itakuwa 7. b) pata uwezekano kwamba angalau pointi 2 zitaonekana wakati wa toss moja.

Suluhisho: P(A)=m/n

a) P(A)=6/36 =1/6

b) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. Kuna mipira 5 nyeusi na 7 nyekundu kwenye mkojo. Mipira mitatu hutolewa kwa mlolongo (bila kurudi). Tafuta uwezekano kwamba a) mipira yote mitatu itakuwa nyekundu, b) mipira mitatu itakuwa nyekundu au nyeusi.

Suluhisho: C m = n! /m!(n-m)!

C 3 12 = 220 - chaguzi za kuchora mipira mitatu.

a) Unaweza kupata nyekundu 3 kati ya 7 kwa njia 7.

m = C 3 7 = 7! 3!*4! = 35

P (A1) = m/n = 35/220 = 7/44

b) unaweza kupata nyekundu 3 kati ya 7 kwa njia 7, na nyeusi 3 kati ya 5 =>

Na njia 35.

m = C 3 7 + C 3 5 = 35 + 5! 3!*2! = 35 + 10 = 45

P (A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Jibu: a) P(A) = 7/44; b) P(A2) = 9/44

Katika kundi la watu 15, watu 6 wanacheza michezo. Tafuta uwezekano kwamba kati ya watu 7 waliochaguliwa bila mpangilio, watu 5 wanaingia kwa michezo.

Suluhisho: P (A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7 !*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = ( 5*36*12) / (15*13*11*3) = 4/143 =0.03

Jibu: 0.3.

Panya inaweza kuchagua moja ya maze 5 bila mpangilio. Inajulikana kuwa uwezekano wa kuondoka kwake labyrinths mbalimbali katika dakika 3 ni 0.5; 0.6; 0.2; 0.1; 0.1. Wacha igeuke kuwa panya ilitoka kwenye maze katika dakika 3. Kuna uwezekano gani kwamba alichagua maze ya kwanza? Labyrinth ya pili?

Suluhisho: Hapo awali, uwezekano wa kuchagua maze na panya ni sawa na:

P (H1) = P (H2) = P (H3) = P (H4) = P (H5) = 1/5 - uwezekano wa kuchagua maze 1,2,3,4,5, kwa mtiririko huo.

A - toka kwenye maze.

P(A/H1) = 0.5 – Uwezekano wa kipanya kuondoka kwenye mlolongo 1

P (A/H2) = 0.6 - kutoka kwa labyrinths 2.

P (A/H3) =0.2 - kutoka kwa labyrinth ya 3

P (A/H4) = 0.1 - kutoka kwa labyrinths 4

P (A/H5) = 0.1 - kutoka 5 maze

Kulingana na formula ya jumla ya uwezekano:

P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3) ) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0.5 + 1/5*0.6 + 1/5*0.2 + 1/5*0.1 +1/5*0.1 = 1/5 (0 .5+0.6+0.2+0.1+0.1 )=1/5*1.5=1.5*3/2 = 3/10 – uwezekano wa panya kuondoka kwenye mpangilio baada ya dakika 3.

A) Tafuta uwezekano kwamba panya ilichagua maze ya kwanza (kwa kutumia formula ya Bayes):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0.5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /( 3/ 10) = 1/10*10/3 = 1/3

B) Tafuta uwezekano kwamba panya ilichagua maze ya pili (kwa kutumia formula ya Bayes)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0.6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3 /25* 10/3 = 10/25 = 2/5

Jibu: 1/3; 2/5

9. Kati ya tikiti 10, 2 wanashinda. Tafuta uwezekano kwamba kati ya tikiti 5, moja inashinda.

10. Mnamo Septemba, uwezekano wa siku ya mvua ni 0.3. Timu ya "Mtakwimu" itashinda kwa siku isiyo na uwazi na uwezekano wa 0.8, na siku ya mvua uwezekano huu ni 0.3. Inajulikana kuwa mnamo Septemba walishinda mchezo fulani. Kuna uwezekano gani kwamba siku hiyo: a) mvua ilinyesha; b) ilikuwa siku ya wazi.

11. Uwezekano wa mpiga risasi wa kwanza kugonga lengo ni 0.7, wa pili - 0.5, na wa tatu -0.4. Tafuta uwezekano kwamba angalau mpiga risasi mmoja atafikia lengo .

Suluhisho:

Sanduku la kwanza lina sehemu 20, ambazo 10 ni za kawaida, sanduku la pili lina sehemu 30, ambazo 25 ni za kawaida, sanduku la tatu lina sehemu 10, ambazo 8 ni za kawaida. Sehemu moja ilichukuliwa kwa nasibu kutoka kwa sanduku lililochaguliwa kwa nasibu, ambalo liligeuka kuwa la kawaida. Pata uwezekano kwamba ilichukuliwa kutoka kwa sanduku la pili.

Suluhisho: P(H i) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0.39

13. Kila moja ya kadi tano zinazofanana ina mojawapo ya herufi zifuatazo: A, E, N, C, T. Kadi.
mchanganyiko. Tambua uwezekano kwamba kutoka kwa kadi zilizochukuliwa na kuwekwa kwenye mstari a) inawezekana kufanya
neno "UKUTA", b) kutoka kwa kadi tatu unaweza kufanya neno "HAPANA".

Ili kufikia lengo, angalau projectile moja inatosha kuipiga. Salvo mbili zilifyatuliwa kutoka kwa bunduki mbili. Tafuta uwezekano wa kugonga shabaha ikiwa uwezekano wa kupiga shabaha kwa risasi moja kutoka kwa bunduki ya kwanza ni 0.46, ya pili ni 0.6.

Suluhisho:

Acha B isiwe na vibao

A1 - hits kwenye risasi ya 1.

A2 - piga kwenye risasi ya 2.

P(B) = -- A1 - A2 = 0.54* 0.4 = 0.216

Kisha C - angalau hit moja.

P(C)= 1 - 0.216 = 0.784

Jibu: 0.784

Kuna 3 urns. Mkojo wa kwanza una weusi 6 na weupe 4, wa pili una wazungu 5 na weusi 5, wa tatu una wazungu 7 na weusi 3. Urn huchaguliwa kwa nasibu na mpira hutolewa kutoka kwake, ambayo inageuka kuwa nyeupe. Tafuta uwezekano kwamba urn ya pili imechaguliwa.

Suluhisho:

H1=1/3; H2=1/3; H3=1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/ (8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Jibu: 15/48 = 0.3125

16. Sarafu inatupwa mara 3. Pata uwezekano kwamba kanzu ya mikono itaonekana: a) mara zote 3, b) mara moja tu, c) angalau mara moja.

Suluhisho:

17. Nambari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 zimeandikwa kwenye kadi za kibinafsi. Amua uwezekano kwamba nambari 1 2 0 3 5 itapatikana. (Tatua tatizo kwa kutumia ufafanuzi wa uwezekano wa tukio na nadharia za nadharia ya uwezekano)

Wanauchumi watatu mashuhuri walipendekeza wakati huo huo nadharia zao, ambazo zilizingatiwa kuwa zinawezekana. Baada ya kuchunguza hali ya uchumi, ikawa kwamba uwezekano wa maendeleo ambayo kwa kweli ilipokea kwa mujibu wa nadharia ya kwanza ni 0.5; kutoka kwa pili - 0.7; kutoka tatu - 0.4. Je, hii itabadilisha vipi uwezekano wa usahihi wa nadharia tatu.

Suluhisho:

P(A/H1)=0.5; P(A/H2)=0.7; P(A/H3)=0.4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0.5+1/3*0.7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0.5)/(1/3*1.6)=0.5/1.6=0.32.

P(H2/A)=0.7/1.6=0.42

Duka huuza rekodi 4 za kanda. Uwezekano kwamba watahimili kipindi cha udhamini ni sawa na: 0.91; 0.9; 0.95; 0.94. Pata uwezekano kwamba kinasa sauti kilichonunuliwa kwa nasibu kitadumu katika kipindi cha udhamini.

Suluhisho: Uwezekano wa kununua rekodi ya tepi 1 -1/4; 2 – 1/4; 3 - 1/4; 4 -1/4.

P(A) = 1/4 * 0.91 + ¼ * 0.9 + ¼ * 0.95 + ¼ * 0.94 = 0.2275 + 0.225 + 0.2375 + 0.235 = 0.925

Jibu: P (A) = 0.925

Tatizo namba 1.26

Nambari ya gari ina nambari nne, ambayo kila moja inaweza kuchukua maadili kutoka 0 hadi 9 (nambari 0000 inawezekana). Tambua uwezekano kwamba tarakimu ya pili ya nambari ni nne.

Wacha tupate nambari ya mchanganyiko wote unaowezekana wa nambari ya gari:

Nambari ya 2 ya nambari ni 4 ikiwa mchanganyiko wake ni seti ya fomu: X 4 XX, ambapo X ni tarakimu yoyote kutoka 0 hadi 9.

Kwa hivyo, idadi ya nambari kama hizo ni sawa na:

Uwezekano kwamba tarakimu ya pili ya nambari ni nne.

Jibu:

Tatizo namba 2.11

Mchoro wa uunganisho wa vipengele vinavyotengeneza mzunguko na pembejeo moja na pato moja hutolewa (Mchoro 1). Inachukuliwa kuwa kushindwa kwa vipengele ni matukio huru kwa pamoja. Kushindwa kwa yoyote ya vipengele husababisha usumbufu wa ishara katika tawi la mzunguko ambapo kipengele hiki iko. Uwezekano wa kushindwa kwa vipengele 1, 2, 3, 4, 5 ni sawa na q1=0.1; q2=0.2; q3=0.3; q4=0.4; q5=0.5. Pata uwezekano kwamba ishara itapita kutoka kwa pembejeo hadi pato.

Picha 1

Kwa mujibu wa Kielelezo 1, vipengele 1, 2, 3 vimeunganishwa kwa sambamba na kwa mfululizo na kipengele cha 4.

Wacha tuingize matukio: A­ 1 - kipengele cha 1 ni sawa, A­ 2 - kipengele cha 2 ni sawa, A­ 3 - kipengele cha 3 ni sawa, A­ 4 - kipengele cha 4 ni sawa, B- ishara hupita kutoka kwa uhakika a kwa uhakika b, C- ishara hupita kutoka kwa uhakika a kwa uhakika c(kutoka mlango hadi kutoka).

Tukio B itatokea ikiwa kipengele cha 1, au kipengele cha 2, au kipengele cha 3 kitafanya kazi:

B :

Tukio C itatokea ikiwa tukio litatokea B na tukio A 4 :

Uwezekano wa tukio kutokea C :

Jibu:

Tatizo namba 3.28

Vifaa vya jina moja vinatengenezwa katika viwanda vitatu. Kiwanda cha kwanza hutoa 45% ya bidhaa zote zinazoingia kwenye uzalishaji, pili - 30% na tatu - 25%. Uwezekano wa uendeshaji usio na kushindwa wa kifaa kilichotengenezwa kwenye mmea wa kwanza ni 0.8, kwa pili - 0.85 na kwa tatu - 0.9. Kifaa kilichoingia kwenye uzalishaji kiligeuka kuwa katika utaratibu mzuri wa kufanya kazi. Amua uwezekano kwamba ilitengenezwa kwenye mmea wa pili.

Wacha tuonyeshe kwa A tukio - kifaa kilichopokelewa kwa uzalishaji kiko katika mpangilio mzuri wa kufanya kazi.

Wacha tufanye mawazo kadhaa:

Kifaa kilitoka kwa kiwanda cha 1:

Kifaa kilitoka kwa kiwanda cha 2:

Kifaa kilitoka kwa kiwanda cha 3:

Uwezekano wa masharti unaolingana kwa kila nadharia ni:

Kwa kutumia fomula ya jumla ya uwezekano, tunapata uwezekano wa tukio A:

Wacha tuhesabu uwezekano kwamba kifaa kinachofanya kazi kilitoka kwa mmea wa 2:

Jibu:

Tatizo namba 4.26

Sarafu inarushwa mara 100. Je, kuna uwezekano gani kwamba haitatua kamwe na nembo ya silaha ikitazama juu?

Tukio - sarafu haijawahi kutua uso kwa uso katika tosses 100.

Uwezekano kwamba sarafu haikutua usoni uk=0,5 na kwa hivyo, uwezekano kwamba sarafu ilianguka na koti ya mikono juu q=0,5 :

Wacha tuamue uwezekano wa tukio hilo A kulingana na formula ya Bernoulli ( n = 100; k =100 )

Jibu:

Tatizo namba 5.21

Tofauti isiyo ya kawaida ya X inaweza kuchukua moja ya thamani tano zisizohamishika x1, x2, x3, x4, x5 na uwezekano p1, p2, p3, p4, p5, mtawaliwa. Kokotoa matarajio ya hisabati na tofauti ya thamani X. Kokotoa na kupanga kitendakazi cha usambazaji.

Jedwali 1 - data ya awali

Matarajio ya hisabati na mtawanyiko wa thamani ya X:

Wacha tuunda safu ya usambazaji wa SV X:

Jedwali la 2 - Msururu wa usambazaji SV X

Wacha tupange kazi ya usambazaji (Mchoro 2):

Kielelezo 2 - grafu ya chaguo za kukokotoa za usambazaji F(X i)

Tatizo namba 6.3

Thamani ya nasibu X inayotolewa na msongamano wa uwezekano:

Kufafanua mara kwa mara NA, matarajio ya hisabati, mtawanyiko, utendaji wa usambazaji wa thamani X, pamoja na uwezekano wa kuanguka kwa muda.

Kwa hivyo mara kwa mara:

Wacha tuamue matarajio ya kihesabu ya SV X:

Wacha tuamue mtawanyiko wa SV X:

Wacha tufafanue kazi ya usambazaji ya thamani X:

Jibu:

Tatizo namba 7.15

Thamani ya nasibu X kusambazwa kwa usawa kwa muda [ a,b]. Panga kibadilishaji nasibu Y= (X) na kuamua msongamano wa uwezekano g (y).

hakuna vitendaji kinyume

Kielelezo 3 - grafu ya kazi

Tangu kutofautiana kwa nasibu X inasambazwa kwa usawa kwa muda, basi wiani wake wa uwezekano ni sawa na:

Wacha tuamue uwezekano wa wiani wa wingi:

Tatizo namba 8.30

Vekta ya 2D nasibu ( X, Y) inasambazwa kwa usawa ndani ya eneo B iliyoangaziwa kwa mistari iliyonyooka iliyokolea kwenye Mchoro 4. Uzani wa uwezekano wa pande mbili. f(x,y) ni sawa kwa hatua yoyote katika eneo hili B:

Kokotoa mgawo wa uunganisho kati ya thamani za X na Y.

Jedwali 3 - Data ya awali

Kielelezo cha 4

Hebu tujenge eneo B kulingana na kuratibu kutoka Jedwali 5 na Kielelezo 4.

Kielelezo cha 5

Hebu tuchambue Kielelezo 5: eneo B juu ya muda imefungwa upande wa kushoto na mstari wa moja kwa moja, upande wa kulia, juu ya muda umefungwa upande wa kushoto na mstari wa moja kwa moja, upande wa kulia -

Kwa hivyo, wiani wa uwezekano wa pamoja utachukua fomu:

Hivyo:

Wacha tuangalie matokeo yaliyopatikana kijiometri. Kiasi cha mwili kilichopunguzwa na uso wa usambazaji KATIKA na ndege xOy ni sawa na 1, yaani:

Kwa hiyo, mara kwa mara ilihesabiwa kwa usahihi.

Wacha tuhesabu matarajio ya hisabati:

Wacha tuhesabu tofauti:

Wacha tuhesabu wakati wa uunganisho:

Wacha tuhesabu mgawo wa uunganisho kati ya maadili ya X na Y:

Jibu:

Tatizo namba 9

Kulingana na sampuli ya utofauti wa nasibu wenye mwelekeo mmoja:

Pata mfululizo wa tofauti;

Panga chaguo za kukokotoa za usambazaji wa majaribio F * (x) ;

Tengeneza histogram kwa kutumia njia ya muda sawa;

Tengeneza histogram kwa kutumia njia sawa ya uwezekano;

Kuhesabu makadirio ya uhakika ya matarajio na tofauti;

Kuhesabu makadirio ya muda ya matarajio ya hisabati na tofauti (γ = 0.95);

Weka mbele dhana kuhusu sheria ya usambazaji ya kigezo bila mpangilio na uijaribu kwa kutumia jaribio la wema-wa-fit  2 na kigezo cha Kolmogorov (  = 0,05).

Sampuli zisizobadilika:

Saizi ya sampuli

Suluhisho

1. Tunapata safu tofauti kutoka kwa ile ya asili:

Hebu tujenge histogram kwa kutumia njia ya muda sawa (Mchoro 7).

Ili kuunda histogram, tutaunda mfululizo wa takwimu za muda, kwa kuzingatia kwamba urefu wa vipindi vyote lazima iwe sawa.

Idadi ya vipindi;

- upana wa muda;

Mzunguko wa SV X kupiga muda wa j-th;

Msongamano wa takwimu katika kipindi cha jth.

Jedwali la 4 - Msururu wa takwimu za muda

f * (x)

Kielelezo cha 7

Hebu tujenge histogram kwa kutumia njia sawa ya uwezekano (Mchoro 8).

Ili kuunda histogram, tutakusanya mfululizo wa takwimu za muda, kwa kuzingatia kwamba marudio ya SV X kupiga katika kila kipindi cha j-th inapaswa kuwa sawa (Jedwali la 5).

Jedwali la 5 - Msururu wa takwimu za muda

f * (x)

Kielelezo cha 8

Wacha tuhesabu makadirio ya uhakika ya matarajio ya kihesabu na tofauti:

Hebu tuhesabu makadirio ya muda ya matarajio ya hisabati na mtawanyiko (γ = 0.95):

H 0 - thamani ya X inasambazwa kulingana na sheria ya kielelezo:

H 1 - thamani ya X haijasambazwa kwa mujibu wa sheria ya kielelezo

Kwa hivyo, tunapata kitendakazi cha usambazaji dhahania kilichobainishwa kikamilifu:

Wacha tuangalie dhana kuhusu sheria ya kawaida kwa kutumia kigezo cha Pearson. Hebu tuhesabu thamani ya kigezo kulingana na mfululizo wa takwimu wa muda sawa:

Tunahesabu uwezekano wa kinadharia wa kuanguka katika vipindi kwa kutumia formula:

Jedwali 6 - Matokeo ya hesabu

Wacha tuangalie usahihi wa mahesabu:

Wacha tuhesabu kigezo cha Pearson:

Wacha tuamue idadi ya digrii za uhuru:

Tunachagua thamani muhimu ya kigezo cha Pearson kutoka kwa jedwali kwa kiwango cha uhuru na kiwango kilichotolewa cha umuhimu:

Kwa kuwa hali hiyo imefikiwa, dhana H 0 kuhusu sheria ya usambazaji wa kielelezo inakubaliwa (hakuna sababu ya kuikataa).

8) Hebu tuangalie hypothesis kwa kutumia kigezo cha Kolmogorov. Ili kufanya hivyo, tutapanga kazi ya usambazaji wa dhahania katika mfumo sawa wa kuratibu na kazi ya majaribio (Mchoro 6). Tunatumia thamani 10 kutoka kwenye Jedwali la 6 kama pointi za marejeleo. Kwa kutumia grafu, tunabainisha upeo wa juu kabisa wa kupotoka kati ya chaguo za kukokotoa na :

Wacha tuhesabu thamani ya kigezo cha Kolmogorov:

Kutoka kwa jedwali la Kolmogorov, kulingana na kiwango fulani cha umuhimu, tunachagua thamani muhimu ya kigezo:

Kwa kuwa hali imeridhika, hypothesis H 0 kuhusu sheria ya usambazaji wa kielelezo inakubaliwa (hakuna sababu ya kuikataa).