A pamoja na c. "Nadharia ya Mifumo na Uchambuzi wa Mfumo

A=< , , >

Kutatua baadhi ya matatizo ya hisabati hukulazimu kupata makutano na umoja wa seti za nambari. Tayari tumefahamiana na nukuu iliyokubaliwa ya seti za nambari, na katika nakala hii tutaelewa kwa uangalifu na kwa mifano jinsi ya kupata makutano na umoja. seti za nambari. Ujuzi huu utakuwa muhimu, hasa, katika mchakato ufumbuzi wa kutofautiana na tofauti moja na mifumo yao.

Urambazaji wa ukurasa.

Kesi rahisi zaidi

Kwa hali rahisi zaidi tutamaanisha kupata makutano na umoja wa seti za nambari, ambazo ni seti ya nambari za kibinafsi. Katika kesi hii, inatosha kutumia ufafanuzi wa makutano na umoja wa seti.

Hebu tuwakumbushe hilo

Ufafanuzi.

umoja seti mbili ni seti, kila kipengele ambacho ni kipengele cha seti yoyote ya awali, na makutano seti ni seti inayojumuisha vipengele vyote vya kawaida vya seti za awali.

Kutoka kwa ufafanuzi huu ni rahisi kupata kufuata sheria kupata makutano na umoja wa seti:

• Ili kuunda umoja wa seti mbili za nambari zilizo na nambari ya mwisho vipengele, unahitaji kuandika vipengele vyote vya seti moja na kuongeza kwao vipengele vilivyopotea kutoka kwa pili.
• Ili kufanya makutano ya seti mbili za nambari, unahitaji kuchukua sequentially vipengele vya seti ya kwanza na uangalie ikiwa ni ya seti ya pili;

Hakika, seti iliyopatikana kwa kanuni ya kwanza itajumuisha vipengele vyote vya angalau moja ya seti za awali, na kwa hiyo itakuwa muungano wa seti hizi kwa ufafanuzi. Na seti iliyokusanywa kulingana na sheria ya pili itakuwa na kila kitu vipengele vya kawaida ya seti asili, yaani, itakuwa makutano ya seti asili.

Hebu tuangalie mifano maalum matumizi ya sheria zilizotajwa ili kupata makutano na umoja wa seti.

Kwa mfano, tuseme tunahitaji kupata muungano wa nambari seti A=(3, 5, 7, 12) na B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) . Tunaandika vitu vyote, kwa mfano, seti A, tuna 3, 5, 7, 12, na kwao tunaongeza vitu vilivyokosekana vya seti B, ambayo ni, 2, 8, 11 na 13, kama matokeo. tuna seti ya nambari (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13) . Hainaumiza kuagiza vipengele vya seti inayosababisha, tunapata umoja unaohitajika: A∪B=(2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).

Sasa hebu tutafute makutano ya seti mbili za nambari kutoka kwa mfano uliopita A=(3, 5, 7, 12) na B=(2, 5, 8, 11, 12, 13). Kulingana na sheria, tutapitia vipengele vya seti ya kwanza A na kuangalia ikiwa imejumuishwa kwenye seti B. Tunachukua kipengele cha kwanza cha 3, sio cha kuweka B, kwa hiyo, haitakuwa kipengele cha makutano unayotaka. Wacha tuchukue kipengee cha pili cha seti A, hii ndio nambari 5. Ni ya seti B, kwa hivyo pia ni ya makutano ya seti A na B. Hivi ndivyo kipengee cha kwanza cha makutano unayotaka kinapatikana - nambari 5. Wacha tuendelee kwenye sehemu ya tatu ya seti A, hii ndio nambari 7. Sio ya B, ambayo inamaanisha kuwa sio ya makutano. Mwishowe, sehemu ya mwisho ya seti A inabaki - nambari 12. Ni ya kuweka B, kwa hiyo, pia ni kipengele cha makutano. Kwa hivyo, makutano ya seti A=(3, 5, 7, 12) na B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) ni seti inayojumuisha vitu viwili 5 na 12, ambayo ni, A∩. B =(5, 12) .

Kama ulivyoona, hapo juu tulizungumza juu ya kupata makutano na umoja wa seti mbili za nambari. Kwa ajili ya makutano na muungano wa seti tatu au zaidi, kuipata kunaweza kupunguzwa ili kupata mlolongo wa makutano na muungano wa seti mbili. Kwa mfano, kupata makutano ya seti tatu A, B na D, unaweza kupata kwanza makutano ya A na B, na kisha kupata makutano ya matokeo yanayotokana na seti D. Na sasa haswa: wacha tuchukue seti za nambari A=(3, 9, 4, 3, 5, 21), B=(2, 7, 9, 21) na D=(7, 9, 1, 3) na tupate makutano yao. Tunayo A∩B=(9, 21) , na makutano ya seti inayotokana na seti D ni (9) . Kwa hivyo, A∩B∩D=(9) .

Walakini, kwa mazoezi, kupata makutano ya tatu, nne, nk. Kwa seti rahisi zaidi za nambari, zinazojumuisha idadi ndogo ya nambari za mtu binafsi, ni rahisi kutumia sheria zinazofanana na sheria zilizoonyeshwa hapo juu.

Kwa hivyo, kupata umoja wa seti tatu au zaidi aina maalum, tunahitaji kuongeza nambari zinazokosekana za pili kwa nambari za seti ya kwanza ya nambari, ongeza nambari zinazokosekana za seti ya tatu kwa nambari zilizoandikwa, na kadhalika. Ili kufafanua jambo hili, hebu tuchukue seti za nambari A=(1, 2) , B=(2, 3) na D=(1, 3, 4, 5) . Kwa vipengele 1 na 2 vya seti ya nambari A tunaongeza nambari inayokosekana 3 ya seti B, tunapata 1, 2, 3, na kwa nambari hizi tunaongeza nambari zinazokosekana 4 na 5 za seti D, kama matokeo pata muunganisho wa seti tatu tunazohitaji: A∪B∪C= (1, 2, 3, 4, 5) .

Kuhusu kupata makutano ya tatu, nne, nk. seti za nambari zinazojumuisha nambari maalum ya nambari za kibinafsi, unahitaji kupitia nambari za seti ya kwanza kwa mlolongo na uangalie ikiwa nambari inayoangaliwa ni ya kila moja ya seti zilizobaki. Ikiwa ndiyo, basi nambari hii ni kipengele cha makutano, ikiwa sivyo, basi sivyo. Hapa tunaona tu kwamba ni vyema kuchukua kuweka na idadi ndogo zaidi vipengele. Kwa mfano, hebu tuchukue seti nne za nambari A=(3, 1, 7, 12, 5, 2) , B=(1, 0, 2, 12) , D=(7, 11, 2, 1, 6) , E =(1, 7, 15, 8, 2, 6) na kupata makutano yao. Kwa wazi, seti B ina vipengele vichache zaidi, ili kupata makutano ya seti nne za awali, tutachukua vipengele vya kuweka B na kuangalia ikiwa vimejumuishwa katika seti zilizobaki. Kwa hiyo, tunachukua 1, nambari hii ni vipengele vya seti zote mbili A, na D na E, hivyo hii ni kipengele cha kwanza cha makutano ya taka. Hebu tuchukue kipengele cha pili cha kuweka B - ni sifuri. Nambari hii sio kipengele cha kuweka A, kwa hiyo haitakuwa kipengele cha makutano. Tunaangalia kipengele cha tatu cha seti B - nambari 2. Nambari hii ni kipengele cha seti nyingine zote, kwa hiyo, ni kipengele cha pili cha makutano kilichopatikana. Hatimaye, kipengele cha nne cha kuweka B kinabakia. Nambari hii ni 12, sio kipengele cha kuweka D, kwa hiyo, sio kipengele cha makutano ya taka. Kwa hivyo, tuna A∩B∩D∩E=(1, 2) .

Mstari wa kuratibu na vipindi vya nambari kama umoja wa sehemu zao

Katika mfano wetu tuna rekodi

NA

kwa makutano na umoja wa seti za nambari, kwa mtiririko huo.

Ifuatayo, mstari mwingine wa kuratibu hutolewa; ni rahisi kuiweka chini ya zilizopo. Itaonyesha makutano au muungano unaotaka. Pointi zote za mipaka ya seti za nambari za asili zimewekwa alama kwenye mstari huu wa kuratibu. Katika kesi hii, pointi hizi ni alama ya kwanza na dashes baadaye, wakati asili ya pointi na kuratibu hizi inafafanuliwa, dashes itabadilishwa na pointi zilizopigwa au zisizopigwa. Kwa upande wetu, hizi ni alama zilizo na kuratibu -3 na 7.
Tuna

Na

Pointi zilizoonyeshwa kwenye mstari wa chini wa kuratibu katika hatua ya awali ya algorithm huturuhusu kuzingatia mstari wa kuratibu kama seti. vipindi vya nambari na pointi, ambazo tulizungumzia ndani. Kwa upande wetu, tunazingatia mstari wa kuratibu kama seti ya seti tano zifuatazo za nambari: (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) .

Na yote iliyobaki ni kuangalia, moja kwa moja, ikiwa kila seti iliyoandikwa imejumuishwa kwenye makutano au umoja unaotaka. Hitimisho zote zilizotolewa zimewekwa alama hatua kwa hatua kwenye mstari wa chini wa kuratibu: ikiwa muda umejumuishwa kwenye makutano au umoja, basi hatch hutolewa juu yake, ikiwa hatua imejumuishwa kwenye makutano au muungano, basi kiharusi kinachoashiria ni. kubadilishwa na hatua imara, ikiwa haijajumuishwa, basi tunaifanya kuchomwa. Katika kesi hii, sheria zifuatazo zinapaswa kuzingatiwa:

• pengo ni pamoja na katika makutano ikiwa ni pamoja na wakati huo huo katika kuweka A na kuweka B (kwa maneno mengine, ikiwa kuna kivuli juu ya pengo hili juu ya mistari yote ya juu ya kuratibu inayofanana na seti A na B);
• hatua imejumuishwa kwenye makutano ikiwa imejumuishwa wakati huo huo katika kuweka A na kuweka B (kwa maneno mengine, ikiwa hatua hii ni hatua isiyo ya kuchomwa au ya ndani ya muda wowote wa seti zote mbili za nambari A na B);
• muda umejumuishwa katika muungano ikiwa imejumuishwa katika angalau moja ya seti A au B (kwa maneno mengine, ikiwa kuna hatch juu ya muda huu juu ya angalau moja ya mistari ya kuratibu inayolingana na seti A na B) ;
• hoja imejumuishwa katika muungano ikiwa imejumuishwa katika angalau moja ya seti A au B (kwa maneno mengine, ikiwa hatua hii haijachomwa au hatua ya ndani muda wowote wa angalau moja ya seti A na B).

Kwa ufupi, makutano ya seti za nambari A na B ni muunganisho wa vipindi vyote vya nambari za seti A na B ambazo huanguliwa kwa wakati mmoja, na pointi zote za kibinafsi ambazo ni za A na B kwa wakati mmoja. Na umoja wa seti mbili za nambari ni umoja wa vipindi vyote vya nambari ambayo angalau moja ya seti A au B ina shading, pamoja na pointi zote za mtu binafsi zisizopigwa.

Turudi kwenye mfano wetu. Hebu tumalize kutafuta makutano ya seti. Ili kufanya hivyo, tutaangalia sequentially seti (−∞, -3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) . Tunaanza na (−∞, −3), kwa uwazi tunaangazia kwenye mchoro:

Hatujumuishi pengo hili kwenye makutano yanayohitajika, kwani haijajumuishwa katika A au B (hakuna kivuli juu ya pengo hili). Kwa hivyo katika hatua hii hatuweke alama kwenye mchoro wetu na inabaki na mwonekano wake wa awali:

Wacha tuendelee kwenye seti inayofuata (−3). Nambari -3 ni ya seti B (hii ni sehemu isiyo na alama), lakini ni wazi sio ya seti A, kwa hivyo sio ya makutano unayotaka. Kwa hivyo, kwenye mstari wa chini wa kuratibu tunatoa hoja na kuratibu -3 kuchomwa:

Tunaangalia seti ifuatayo (-3, 7) .

Imejumuishwa katika kuweka B (kuna hatch juu ya muda huu), lakini haijajumuishwa katika kuweka A (hakuna hatch juu ya muda huu), kwa hiyo, haitajumuishwa kwenye makutano. Kwa hivyo, hatuweke alama kwenye mstari wa chini wa kuratibu:

Wacha tuendelee kuweka (7). Imejumuishwa katika seti B (hatua iliyo na kuratibu 7 ni sehemu ya mambo ya ndani ya muda [-3, +∞)), lakini haijajumuishwa katika seti A (hatua hii imechomwa), kwa hivyo haitajumuishwa kwenye taka. makutano. Weka alama kwa kuratibu 7 kama ilivyochomwa:

Inabakia kuangalia muda (7, +∞) .

Imejumuishwa katika kuweka A na kuweka B (kuna kivuli juu ya pengo hili), kwa hiyo pia imejumuishwa kwenye makutano. Tunaweka kivuli juu ya pengo hili:

Matokeo yake, kwenye mstari wa chini wa kuratibu tulipokea picha ya makutano ya taka ya seti A=(7, +∞) na B=[−3, +∞) . Kwa wazi, inawakilisha seti ya wote nambari za kweli, kubwa kuliko saba, yaani, A∩B=(7, +∞) .

Sasa hebu tupate muungano wa seti A na B. Tunaanza ukaguzi wa mfululizo wa seti (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) kwa kuingizwa kwao katika muungano unaotaka wa seti mbili za nambari A. na B.

Seti ya kwanza (−∞, -3) haijajumuishwa katika A au B (hakuna kivuli juu ya muda huu), kwa hivyo seti hii haitajumuishwa katika muungano unaotaka:

Seti (−3) imejumuishwa katika seti B, kwa hivyo itajumuishwa pia katika umoja wa seti A na B:

Muda (−3, 7) pia umejumuishwa katika B (kuna hatch juu ya muda huu), kwa hivyo itakuwa sehemu muhimu muungano unaotaka:

Seti (7) pia itajumuishwa katika umoja unaotaka, kwani imejumuishwa katika seti ya nambari B:

Hatimaye, (7, +∞) imejumuishwa katika seti A na B, kwa hivyo, itajumuishwa pia katika muungano unaotaka:

Kulingana na picha inayotokana ya muungano wa seti A na B, tunahitimisha kuwa A∩B=[−3, +∞) .

Baada ya kupata uzoefu wa vitendo, kuangalia ujumuishaji wa vipindi vya mtu binafsi na nambari kwenye makutano au umoja kunaweza kufanywa kwa mdomo. Shukrani kwa hili, unaweza kurekodi matokeo haraka sana. Wacha tuonyeshe suluhisho la mfano litakuwaje ikiwa hatutatoa maelezo.

Mfano.

Pata makutano na umoja wa seti A=(−∞, −15)∪(−5)∪∪(12) Na B=(−20, −10)∪(−5)∪(2, 3)∪(17).

Suluhisho.

Wacha tuonyeshe seti hizi za nambari kwenye mistari ya kuratibu, hii itaturuhusu kupata picha za makutano na umoja wao:

Jibu:

A∩B=(−20, −15)∪(−5)∪(2, 3) Na A∪B=(−∞, −10)∪(−5)∪∪(12, 17).

Ni wazi kuwa kwa ufahamu sahihi, algorithm hapo juu inaweza kuboreshwa. Kwa mfano, wakati wa kupata makutano ya seti, hakuna haja ya kuangalia vipindi vyote na seti zinazojumuisha nambari za kibinafsi ambazo alama za mipaka ya seti za asili zimegawanywa katika mstari wa kuratibu. Unaweza kujiwekea kikomo kwa kuangalia vipindi na nambari hizo pekee zinazounda seti A au B. Vipindi vilivyosalia bado havitajumuishwa kwenye makutano, kwa vile si vya mojawapo ya seti za awali. Hebu tuonyeshe hili kwa kuchambua suluhisho la mfano.

Mfano.

Je, makutano ya nambari seti A=(−2)∪(1, 5) na B=[−4, 3] ni nini?

Suluhisho.

Wacha tujenge picha za kijiometri za seti za nambari A na B:

Pointi za mipaka seti zilizopewa gawa mstari wa nambari katika seti zifuatazo: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (-2, 1) , (1) , (1, 3) ) , (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

Ni rahisi kuona kwamba seti ya nambari A inaweza "kukusanyika" kutoka kwa seti zilizoandikwa tu kwa kuchanganya (-2) , (1, 3) , (3) na (3, 5) . Ili kupata makutano ya seti A na B, inatosha kuangalia ikiwa seti za mwisho zimejumuishwa kwenye seti B. Wale ambao wamejumuishwa katika B wataunda makutano unayotaka. Wacha tufanye ukaguzi unaofaa.

Kwa wazi, (−2) imejumuishwa katika seti B (kwani hatua iliyo na kuratibu -2 ni sehemu ya ndani ya sehemu [-4, 3]). Muda (1, 3) pia umejumuishwa katika B (kuna hatch juu yake). Weka (3) pia imejumuishwa katika B (hatua iliyo na kuratibu 3 ni sehemu ya mpaka na isiyo ya kuchomwa ya seti B). Na muda (3, 5) haujajumuishwa katika seti ya nambari B (hakuna shading juu yake). Baada ya kuashiria hitimisho lililofanywa kwenye mchoro, itachukua fomu hii

Kwa hivyo, makutano yanayotakikana ya seti mbili za awali za nambari A na B ni muunganiko wa seti zifuatazo (-2) , (1, 3) , (3) , ambazo zinaweza kuandikwa kama (-2)∪(1, 3) .

Jibu:

{−2}∪(1, 3] .

Kilichobaki ni kujadili jinsi ya kupata makutano na umoja wa tatu na zaidi seti za nambari. Tatizo hili linaweza kupunguzwa kwa kutafuta sequentially makutano na umoja wa seti mbili: kwanza ya kwanza na ya pili, kisha matokeo yaliyopatikana na ya tatu, kisha matokeo yaliyopatikana na ya nne, na kadhalika. Au unaweza kutumia algoriti sawa na ile iliyotangazwa tayari. Tofauti yake pekee ni kwamba kuangalia tukio la vipindi na seti zinazojumuisha nambari za mtu binafsi lazima zifanyike si kwa mbili, lakini kwa seti zote za awali. Hebu fikiria mfano wa kutafuta makutano na muungano wa seti tatu.

Mfano.

Tafuta makutano na muungano wa seti tatu za nambari A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Suluhisho.

Kwanza, kama kawaida, tunaonyesha seti za nambari kwenye mistari ya kuratibu, na kushoto kwao tunaweka bracket ya curly inayoonyesha makutano na mabano ya mraba ya umoja, na chini tunaonyesha mistari ya kuratibu na alama za mpaka za seti za nambari zilizowekwa alama na viboko:

Kwa hivyo mstari wa kuratibu unageuka kuwakilishwa na seti za nambari (-∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) ) , (40) , (40, ∞) .

Tunaanza kutafuta makutano; kufanya hivi, tunaangalia kwa zamu ili kuona kama seti zilizorekodiwa zimejumuishwa katika kila moja ya seti A, B na D. Seti zote tatu za awali za nambari zinajumuisha muda (-3, 12) na seti (12) . Zinajumuisha makutano unayotaka ya seti A, B na D. Tuna A∩B∩D=(−3, 12] .

Kwa upande mwingine, muungano unaotakikana utajumuisha seti (−∞, -3) (iliyojumuishwa katika A), (-3) (iliyojumuishwa katika A), (-3, 12) (iliyojumuishwa katika A), (12) ( imejumuishwa katika A ), (12, 25) (imejumuishwa katika B ), (25) (imejumuishwa katika B ) na (40) (imejumuishwa katika D). Kwa hivyo, A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Jibu:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

Kwa kumalizia, tunaona kwamba makutano ya seti za nambari ni mara nyingi seti tupu. Hii inalingana na kesi wakati seti za asili hazina vipengele ambavyo wakati huo huo ni vya wote.

(10, 27) , (27) , (27, +∞) . Hakuna kati ya seti zilizoandikwa ambazo zimejumuishwa kwa wakati mmoja katika seti nne za asili, ambayo ina maana kwamba makutano ya seti A, B, D na E ni seti tupu.

Jibu:

A∩B∩D∩E=∅.

Bibliografia.

• Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljebra. daraja la 9. Saa 2 usiku Sehemu ya 1. Kitabu cha kiada kwa wanafunzi taasisi za elimu/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. Toleo la 13, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01752-3.

Suluhisho la baadhi matatizo ya hisabati inahusisha kutafuta makutano na muungano wa seti za nambari. Katika makala hapa chini tutazingatia vitendo hivi kwa undani, ikiwa ni pamoja na mifano maalum. Ujuzi uliopatikana utatumika katika kutatua kukosekana kwa usawa kwa kigezo kimoja na mifumo ya ukosefu wa usawa.

Kesi rahisi zaidi

Tunapozungumza juu ya kesi rahisi zaidi katika mada inayozingatiwa, tunamaanisha kutafuta makutano na umoja wa seti za nambari, ambazo ni seti ya nambari za mtu binafsi. Katika hali hiyo, itakuwa ya kutosha kutumia ufafanuzi wa makutano na umoja wa seti.

Ufafanuzi 1

Muungano wa seti mbili ni seti ambayo kila kipengele ni kipengele cha mojawapo ya seti asili.

Makutano ya wengi ni seti ambayo inajumuisha vipengele vyote vya kawaida vya seti asili.

Kutoka ufafanuzi hapo juu Sheria zifuatazo kimantiki hufuata:

Ili kuunda umoja wa seti mbili za nambari na idadi ndogo ya vipengele, ni muhimu kuandika vipengele vyote vya seti moja na kuongeza kwao vipengele vilivyopotea kutoka kwa seti ya pili;

Ili kuunda makutano ya seti mbili za nambari, ni muhimu kuangalia vipengele vya seti ya kwanza moja kwa moja ili kuona ikiwa ni ya seti ya pili. Wale ambao watageuka kuwa wa seti zote mbili wataunda makutano.

Seti iliyopatikana kulingana na sheria ya kwanza itajumuisha vipengele vyote vya angalau moja ya seti za awali, i.e. itakuwa muungano wa seti hizi kwa ufafanuzi.

Seti iliyopatikana kulingana na sheria ya pili itajumuisha vipengele vyote vya kawaida vya seti za awali, i.e. itakuwa makutano ya seti asili.

Hebu fikiria matumizi ya sheria zinazosababisha kwa kutumia mifano ya vitendo.

Mfano 1

Data ya awali: seti za nambari A = (3, 5, 7, 12) na B = (2, 5, 8, 11, 12, 13). Inahitajika kupata umoja na makutano ya seti za asili.

Suluhisho

1. Hebu tufafanue umoja wa seti za awali. Wacha tuandike vitu vyote, kwa mfano, seti A: 3, 5, 7, 12. Wacha tuwaongezee vitu vilivyokosekana vya seti B: 2, 8, 11 na 13. Hatimaye, tuna seti ya nambari: (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). Hebu tuagize vipengele vya seti inayosababisha na kupata umoja unaohitajika: A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).
2. Hebu tufafanue makutano ya seti za awali. Kulingana na sheria, tutapitia vitu vyote vya seti ya kwanza A moja baada ya nyingine na angalia ikiwa imejumuishwa kwenye seti B. Hebu fikiria kipengele cha kwanza - namba 3: sio ya kuweka B, ambayo ina maana haitakuwa kipengele cha makutano ya taka. Hebu tuangalie kipengele cha pili cha kuweka A, i.e. nambari ya 5: ni ya seti B, ambayo inamaanisha kuwa itakuwa sehemu ya kwanza ya makutano unayotaka. Sehemu ya tatu ya seti A ni nambari 7. Sio kipengele cha kuweka B, na, kwa hiyo, sio kipengele cha makutano. Fikiria kipengele cha mwisho cha seti A: nambari 1. Pia ni ya seti B, na ipasavyo itakuwa moja ya vitu vya makutano. Kwa hivyo, makutano ya seti za awali ni seti inayojumuisha vipengele viwili: 5 na 12, i.e. A ∩ B = (5, 12).

Jibu: muungano wa seti za awali - A ∪ B = (2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13); makutano ya seti za awali - A ∩ B = (5, 12).

Yote hapo juu inatumika kwa kufanya kazi na seti mbili. Kuhusu kutafuta makutano na muungano wa seti tatu au zaidi, suluhisho la tatizo hili linaweza kupunguzwa ili kupata mlolongo wa makutano na muungano wa seti mbili. Kwa mfano, kuamua makutano ya seti tatu A, B, na C, inawezekana kwanza kuamua makutano ya A na B, na kisha kupata makutano ya matokeo yanayotokana na seti C. Kwa mfano, inaonekana kama hii: acha seti za nambari zipewe: A = (3, 9, 4, 3, 5, 21), B = (2, 7, 9, 21) na C = (7, 9). , 1, 3). Makutano ya seti mbili za kwanza itakuwa: A ∩ B = (9, 21), na makutano ya seti inayosababisha na kuweka A ∩ B = (9, 21). Matokeo yake: A ∩ B ∩ C = ( 9 ) .

Walakini, katika mazoezi, ili kupata umoja na makutano ya seti tatu au zaidi za nambari rahisi ambazo zina idadi ndogo ya nambari za mtu binafsi, ni rahisi zaidi kutumia sheria zinazofanana na zile zilizoonyeshwa hapo juu.

Hiyo ni, kupata umoja wa seti tatu au zaidi za aina maalum, ni muhimu kuongeza vipengele vya kukosa vya seti ya pili kwa vipengele vya seti ya kwanza, kisha ya tatu, nk. Kwa ufafanuzi, hebu tuchukue seti za nambari: A = (1, 2), B = (2, 3), C = (1, 3, 4, 5). Nambari ya 3 kutoka kwa seti B itaongezwa kwa vitu vya seti ya kwanza A, na kisha nambari zinazokosekana 4 na 5 kutoka kwa seti C. Kwa hivyo, umoja wa seti za asili: A ∪ B ∪ C = (1, 2, 3, 4, 5).

Kuhusu kutatua shida ya kupata makutano ya seti tatu au zaidi za nambari ambazo zina idadi ndogo ya nambari za mtu binafsi, ni muhimu kupitia nambari za seti ya kwanza moja kwa moja na hatua kwa hatua angalia ikiwa nambari inayohusika. ni ya kila moja ya seti zilizobaki. Kwa ufafanuzi, fikiria seti za nambari:

A = (3, 1, 7, 12, 5, 2) B = (1, 0, 2, 12) C = (7, 11, 2, 1, 6) D = (1, 7, 15, 8, 2, 6).

Wacha tupate makutano ya seti za asili. Ni wazi, seti B ina vipengee vichache zaidi, kwa hivyo hivi ndivyo tutakagua ili kubaini ikiwa vimejumuishwa katika seti zilizosalia. Nambari ya 1 ya kuweka B ni kipengele cha seti nyingine, na kwa hiyo ni kipengele cha kwanza cha makutano ya taka. Nambari ya pili ya kuweka B - nambari 0 - sio kipengele cha kuweka A, na, kwa hiyo, haitakuwa kipengele cha makutano. Tunaendelea kuangalia: nambari ya 2 ya kuweka B ni kipengele cha seti nyingine na inakuwa sehemu nyingine ya makutano. Hatimaye, kipengele cha mwisho cha kuweka B - namba 12 - sio kipengele cha kuweka D na sio kipengele cha makutano. Kwa hivyo, tunapata: A ∩ B ∩ C ∩ D = ( 1, 2).

Mstari wa kuratibu na vipindi vya nambari kama umoja wa sehemu zao

Wacha tuweke alama ya kiholela kwenye mstari wa kuratibu, kwa mfano, na kuratibu - 5, 4. Hatua iliyoainishwa itagawanya mstari wa kuratibu katika vipindi viwili vya nambari - miale miwili wazi (-∞, -5,4) na (-5,4, +∞) na uhakika yenyewe. Ni rahisi kuona kwamba, kwa mujibu wa ufafanuzi wa muungano wa seti, nambari yoyote halisi itakuwa ya muungano (- ∞, - 5, 4) ∪ (- 5, 4) ∪ (- 5, 4, + ∞). Wale. seti ya nambari zote halisi R = (- ∞ ; + ∞) inaweza kuwakilishwa katika mfumo wa muungano uliopatikana hapo juu. Kinyume chake, muungano unaosababishwa utakuwa seti ya nambari zote halisi.

Tutambue hilo kwa hatua hii inawezekana kushikamana na yoyote ya mihimili iliyo wazi, basi itakuwa rahisi boriti ya nambari(- ∞ , - 5 , 4 ] au [- 5 , 4 , + ∞) . Katika kesi hii, seti ya R itaelezewa na vyama vya wafanyakazi vifuatavyo: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) au (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞). .

Hoja kama hiyo ni halali sio tu kwa heshima na nukta kwenye mstari wa kuratibu, lakini pia kwa heshima na hatua kwenye muda wowote wa nambari. Hiyo ni, ikiwa tutachukua hatua yoyote ya ndani ya muda wowote wa kiholela, inaweza kuwakilishwa kama muungano wa sehemu zake zilizopatikana baada ya mgawanyiko. kupewa point, na hatua yenyewe. Kwa mfano, nusu ya muda (7, 32] na nukta 13 inayomilikiwa na muda huu wa nambari imetolewa. Kisha nusu ya muda iliyotolewa inaweza kuwakilishwa kama muungano (7, 13) ∪ (13) ∪ (13, 32) ] na kinyume chake Tunaweza kujumuisha nambari 13 katika vipindi vyovyote na kisha seti iliyotolewa ( 7 , 32 ] inaweza kuwakilishwa kama ( 7 , 13 ] ∪ ( 13 , 32 ] au ( 7 , 13 ] ∪ ( 13 . , 32 ] , 32 ] Pia hatuwezi kuchukua hatua ya ndani ya kipindi cha nusu, na mwisho wake (hatua iliyo na kuratibu 32), basi muda wa nusu uliopewa unaweza kuwakilishwa kama muungano wa muda (7, 32) na seti ya kipengele kimoja (32) Hivyo: (7, 32] = (7, . 32) ∪ (32).

Chaguo jingine: wakati sio moja, lakini pointi kadhaa zinachukuliwa kwenye mstari wa kuratibu au muda wa namba. Pointi hizi zitagawanya mstari wa kuratibu au muda wa nambari katika vipindi kadhaa vya nambari, na umoja wa vipindi hivi utaunda seti za asili. Kwa mfano, pointi kwenye mstari wa kuratibu hutolewa na kuratibu - 6, 0, 8, ambayo itaigawanya katika vipindi: (- ∞, - 6), (- 6, 0), (0, 8), (8, + ∞). Katika kesi hii, seti ya nambari zote halisi, ambazo zinaonyeshwa na mstari wa kuratibu, zinaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa vipindi vinavyotokana na nambari zilizoonyeshwa:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

Mada ya kupata makutano na umoja wa seti inaweza kueleweka wazi ikiwa unatumia picha za seti zilizopewa kwenye mstari wa kuratibu (isipokuwa tunazungumza juu ya kesi rahisi zilizojadiliwa mwanzoni mwa kifungu).

Tutazingatia mbinu ya jumla, ambayo inakuwezesha kuamua matokeo ya makutano na umoja wa seti mbili za nambari. Hebu tueleze mbinu kwa namna ya algorithm. Tutazingatia hatua zake hatua kwa hatua, kila wakati tukitaja hatua inayofuata ya kutatua mfano maalum.

Mfano 2

Data ya awali: iliyotolewa seti za nambari A = (7, + ∞) na B = [ - 3, + ∞). Inahitajika kupata makutano na umoja wa seti hizi.

Suluhisho

1. Wacha tuonyeshe seti za nambari zilizopewa kwenye mistari ya kuratibu. Wanahitaji kuwekwa moja juu ya nyingine. Kwa urahisi, inakubaliwa kwa ujumla kuwa pointi za asili za seti zilizopewa zinapatana, na eneo la pointi zinazohusiana na kila mmoja hubakia kuhifadhiwa: hatua yoyote iliyo na kuratibu kubwa iko kwa haki ya uhakika na kuratibu ndogo. Zaidi ya hayo, ikiwa tuna nia ya umoja wa seti, basi mistari ya kuratibu imeunganishwa upande wa kushoto mabano ya mraba aggregates; ikiwa una nia ya makutano, basi tumia brace ya curly ya mfumo.

Katika mfano wetu, kuandika makutano na umoja wa seti za nambari tunayo: na

Hebu tuchore mstari mwingine wa kuratibu, tukiweka chini ya zilizopo. Itahitajika kuonyesha makutano au umoja unaotaka. Kwenye mstari huu wa kuratibu, pointi zote za mipaka ya seti za nambari za awali zimewekwa alama: kwanza na dashes, na baadaye, baada ya kufafanua asili ya pointi na kuratibu hizi, dashes itabadilishwa na pointi zilizopigwa au zisizopigwa. Katika mfano wetu, hizi ni alama zilizo na kuratibu - 3 na 7.

Na

Pointi ambazo zimeonyeshwa kwenye mstari wa chini wa kuratibu katika hatua ya awali ya algorithm hufanya iwezekanavyo kuzingatia mstari wa kuratibu kama seti ya vipindi vya nambari na pointi (tulizungumza juu ya hili hapo juu). Katika mfano wetu, tunawakilisha mstari wa kuratibu kama seti ya seti tano za nambari: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 7), (7), (7, + ∞).

Sasa unahitaji kuangalia moja baada ya nyingine ikiwa kila seti zilizorekodiwa ni za makutano au muungano unaotaka. Hitimisho linalotokana ni alama katika hatua kwenye mstari wa chini wa kuratibu: wakati pengo ni sehemu ya makutano au umoja, hatch hutolewa juu yake. Wakati hatua inapoingia kwenye makutano au umoja, kiharusi kinabadilishwa na uhakika imara; ikiwa hatua si sehemu ya makutano au muungano, imechomwa. Katika vitendo hivi lazima ufuate sheria zifuatazo:

Pengo linakuwa sehemu ya makutano ikiwa ni sehemu ya wakati huo huo ya kuweka A na kuweka B (au kwa maneno mengine, ikiwa kuna kivuli juu ya pengo hili kwenye mistari yote ya kuratibu inayowakilisha seti A na B);

Hatua inakuwa sehemu ya makutano ikiwa ni wakati huo huo sehemu ya kila moja ya seti A na B (kwa maneno mengine, ikiwa hatua ni hatua isiyo ya kuchomwa au ya ndani ya muda wowote wa seti zote mbili za nambari A na B);

Pengo linakuwa sehemu ya muungano ikiwa ni sehemu ya angalau moja ya seti A au B (kwa maneno mengine, ikiwa kuna utiaji kivuli juu ya pengo hili kwenye angalau moja ya mistari ya kuratibu inayowakilisha seti A na B.

Hoja inakuwa sehemu ya muungano ikiwa ni sehemu ya angalau moja ya seti A na B (kwa maneno mengine, uhakika ni sehemu isiyotobolewa au ya ndani ya muda wowote wa angalau moja ya seti A na B) .

Kwa kifupi: makutano ya seti za nambari A na B ni makutano ya vipindi vyote vya nambari za seti A na B, ambayo kivuli kinapatikana kwa wakati mmoja, na alama zote za kibinafsi za seti A na B. Muungano wa seti za nambari A. na B ​​ni muunganisho wa vipindi vyote vya nambari , ambapo kuna kivuli katika angalau moja ya seti A au B, pamoja na pointi zote za kibinafsi ambazo hazijapigwa.

1. Wacha turudi kwa mfano na tufafanue makutano ya seti zilizopewa. Ili kufanya hivyo, hebu tuangalie seti moja kwa moja: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) . Wacha tuanze na seti (- ∞, - 3), tukiangazia wazi kwenye mchoro:

Pengo hili halitajumuishwa kwenye makutano kwa sababu si sehemu ya seti A au seti B (hakuna kivuli). Na kwa hivyo mchoro wetu unabaki na mwonekano wake wa asili:

Fikiria seti ifuatayo (-3). Nambari - 3 ni sehemu ya kuweka B (sio hatua iliyopigwa), lakini si sehemu ya kuweka A, na kwa hiyo haitakuwa sehemu ya makutano unayotaka. Ipasavyo, kwenye mstari wa chini wa kuratibu tunatoa hoja na kuratibu - 3:

Tunatathmini seti ifuatayo (- 3, 7).

Ni sehemu ya seti B (kuna kivuli juu ya muda), lakini haijajumuishwa katika seti A (hakuna kivuli juu ya muda): haitajumuishwa kwenye makutano unayotaka, ambayo inamaanisha kuwa hakuna alama mpya zinazoonekana. mstari wa chini wa kuratibu:

Seti inayofuata ya kuangalia ni (7). Ni sehemu ya seti B (hatua iliyo na kuratibu 7 ni sehemu ya ndani ya muda [- 3, + ∞)), lakini sio sehemu ya seti A (hatua iliyochomwa), kwa hivyo, muda unaohusika hautakuwa. kuwa sehemu ya makutano unayotaka Wacha tuweke alama kwa kuratibu 7 kama ilivyopigwa nje:

Na hatimaye, tunaangalia pengo iliyobaki (7, + ∞).

Pengo limejumuishwa katika seti zote mbili A na B (hatching iko juu ya pengo), kwa hiyo, inakuwa sehemu ya makutano. Tunaweka kivuli mahali hapo juu ya pengo linalozingatiwa:

Hatimaye, picha ya makutano ya taka ya seti iliyotolewa iliundwa kwenye mstari wa chini wa kuratibu. Kwa wazi, ni seti ya nambari zote halisi kubwa kuliko nambari 7, yaani: A ∩ B = (7, + ∞).

1. Hatua ifuatayo Wacha tufafanue muungano wa seti zilizopewa A na B. Tutaangalia seti kwa mpangilio (- ∞ , - 3), ( - 3), (- 3, 7), ( 7), (7, + ∞), kuthibitisha ukweli wa kuingizwa au kutojumuishwa katika taka. muungano.

Seti ya kwanza (- ∞, - 3) sio sehemu ya seti zozote za asili A na B (hakuna vivuli juu ya vipindi), kwa hivyo, seti (- ∞, - 3) haitajumuishwa kwenye taka. muungano:

Seti ( - 3) imejumuishwa katika seti B, ambayo inamaanisha kuwa itajumuishwa katika umoja unaotaka wa seti A na B:

Seti (- 3, 7) ni sehemu muhimu ya seti B (kuna kivuli juu ya muda) na inakuwa kipengele cha muungano wa seti A na B:

Seti 7 imejumuishwa katika seti ya nambari B, kwa hivyo itajumuishwa pia katika umoja unaotaka:

Seti (7, + ∞), ikiwa ni kipengele cha seti zote mbili A na B kwa wakati mmoja, inakuwa sehemu nyingine ya muungano unaotaka:

Kulingana na picha ya mwisho ya umoja wa seti za awali A na B, tunapata: A ∩ B = [ - 3 , + ∞) .

Kuwa na uzoefu wa vitendo katika kutumia sheria za kutafuta makutano na vyama vya wafanyakazi, ukaguzi ulioelezewa unafanywa kwa urahisi kwa mdomo, ambayo hukuruhusu kuandika haraka. matokeo ya mwisho. Tutaonyesha saa mfano wa vitendo suluhisho lake linaonekanaje bila maelezo ya kina.

Mfano 3

Data ya awali: seti A = (- ∞ , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7) ∪ ( 12 ) na B = (- 20 , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ (2 , 3) ​​​∪ (17). Inahitajika kuamua makutano na umoja wa seti zilizopewa.

Suluhisho

Wacha tuweke alama kwenye seti za nambari zilizopewa kwenye mistari ya kuratibu ili kuweza kupata kielelezo cha makutano na umoja unaohitajika:

Jibu: A ∩ B = (- 20, - 15) ∪ (- 5) ∪ (2, 3); A ∪ B = (- ∞ , - 10) ∪ (-5) ∪ [0, 7] ∪ (12, 17).

Pia ni wazi kwamba kwa uelewa wa kutosha wa mchakato, algorithm maalum inaweza kuboreshwa. Kwa mfano, katika mchakato wa kutafuta makutano, huna kupoteza muda kuangalia vipindi na seti zote zinazowakilisha nambari za mtu binafsi, ukijiwekea kikomo kwa kuzingatia tu vipindi na nambari zinazounda seti A au B. Vipindi vingine. haitajumuishwa katika makutano kwa hali yoyote, i.e. Kwa. si sehemu ya seti asili. Hebu tuonyeshe yale ambayo yamesemwa kwa kutumia mfano halisi.

Mfano 4

Data ya awali: huweka A = (- 2) ∪ [1, 5] na B = [- 4, 3].

Inahitajika kuamua makutano ya seti za asili.

Suluhisho

Wacha tuwakilishe seti za nambari A na B kijiometri:

Sehemu za mpaka za seti za asili zitagawanya mstari wa nambari katika seti kadhaa:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

Ni rahisi kuona kwamba seti ya nambari A inaweza kuandikwa kwa kuchanganya baadhi ya seti zilizoorodheshwa, yaani: ( - 2), (1, 3), (3) na (3, 5). Itatosha kuangalia seti hizi kwa kuingizwa kwao pia katika seti B ili kupata makutano unayotaka. Wale ambao watajumuishwa katika kuweka B na kuwa vipengele vya makutano. Hebu tuangalie.

Ni wazi kabisa kwamba ( - 2) ni sehemu ya kuweka B, kwa sababu hatua na kuratibu - 2 ni hatua ya ndani ya sehemu [ - 4, 3). Muda (1, 3) na seti (3) pia hujumuishwa katika kuweka B (kuna kivuli juu ya muda, na hatua iliyo na kuratibu 3 ni mpaka na haijachomwa kwa kuweka B). Seti (3, 5) haitakuwa kipengele cha makutano, kwa sababu haijajumuishwa katika kuweka B (hakuna kivuli juu yake). Wacha tuangalie yote hapo juu kwenye mchoro:

Matokeo yake, makutano ya taka ya seti mbili zilizopewa itakuwa muungano wa seti, ambayo tutaandika kama ifuatavyo: ( - 2 ) ∪ ( 1 , 3 ] .

Jibu: A ∩ B = ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Mwishoni mwa kifungu, tutajadili pia jinsi ya kutatua shida ya kupata makutano na umoja wa seti kadhaa (zaidi ya 2). Wacha tuipunguze, kama ilivyopendekezwa hapo awali, kwa hitaji la kuamua makutano na umoja wa seti mbili za kwanza, kisha matokeo yanayotokana na seti ya tatu, na kadhalika. Au unaweza kutumia algorithm iliyoelezwa hapo juu na tofauti pekee ambayo kuangalia tukio la vipindi na seti zinazowakilisha nambari za mtu binafsi lazima zifanyike si kwa mbili, lakini kwa seti zote zilizotolewa. Hebu tuangalie mfano.

Mfano 5

Data ya awali: seti A = (- ∞, 12], B = (- 3, 25], D = (- ∞, 25) ꓴ (40) Ni muhimu kuamua makutano na muungano wa seti zilizotolewa.

Suluhisho

Tunaonyesha seti za nambari zilizopewa kwenye mistari ya kuratibu na kuweka bracket ya curly upande wa kushoto wao, inayoashiria makutano, pamoja na bracket ya mraba, inayoashiria umoja. Hapo chini tunaonyesha mistari ya kuratibu iliyo na alama za mpaka za seti za nambari zilizo na alama za viboko:

Kwa hivyo, mstari wa kuratibu unawakilishwa na seti zifuatazo: (- ∞, - 3), (- 3), (- 3, 12), (12), (12, 25), (25), (25, 40). ), ( 40 ) , (40 , + ∞).

Tunaanza kutafuta makutano, tukiangalia seti zilizoandikwa ili kuona ikiwa ni za kila moja ya zile za asili. Seti zote tatu zilizopewa ni pamoja na muda (- 3, 12) na seti (- 12): zitakuwa vipengele vya makutano ya taka. Kwa hivyo, tunapata: A ∩ B ∩ D = (- 3, 12] .

Muungano wa seti zilizopewa utaunda seti zifuatazo: (- ∞ , - 3) - kipengele cha kuweka A; ( - 3 ) - kipengele cha kuweka A; (- 3, 12) - kipengele cha kuweka A; ( 12 ) - kipengele cha kuweka A; (12, 25) - kipengele cha kuweka B; (25) ni kipengele cha seti B na (40) ni kipengele cha seti D. Kwa hivyo, tunapata: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40).

Jibu: A ∩ B ∩ D = (- 3, 12 ]; A ∪ B ∪ D = (- ∞, 25 ] ∪ ( 40).

Kumbuka pia kwamba makutano unayotaka ya seti za nambari mara nyingi ni seti tupu. Hii hutokea katika hali ambapo seti zilizotolewa hazijumuishi vipengele ambavyo ni vya wote kwa wakati mmoja.

Mfano 6

Data ya awali: A = [- 7, 7]; B = ( - 15) ∪ [- 12, 0) ∪ ( 5); D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞); E = (0, 27) . Amua makutano ya seti zilizopewa.

Suluhisho

Hebu tuonyeshe seti za awali kwenye mistari ya kuratibu na pointi za mipaka ya seti hizi kwenye mstari wa ziada na viboko.

Alama zilizowekwa alama zitagawanya mstari wa nambari katika seti: (- ∞ , - 15) , ( - 15 ) , (- 15 , - 12) , ( - 12 ) , (- 12 , - 10) , ( - 10 ) , (- 10 , - 7) , ( - 7 ) , ( - 7 , 0) , ( 0 ) , (0 , 5) , ( 5 ) , (5 , 7) , ( 7 ) , (7 , 10) , ( 10 ) , (10, 27) , (27) , (27, + ∞) .

Hakuna hata moja kati yao ambayo ni kipengele cha seti zote za awali kwa wakati mmoja; kwa hivyo, makutano ya seti zilizotolewa ni seti tupu.

Jibu: A ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.

Ni rahisi kuwakilisha seti kwa namna ya miduara, ambayo huitwa miduara ya Euler.

Katika takwimu, seti ya makutano ya seti X na Y ni rangi ya machungwa.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Malengo ya Somo:

• kielimu: kukuza uwezo wa kutambua seti na sehemu ndogo; kukuza ustadi katika kutafuta eneo la makutano na umoja wa seti kwenye picha na vitu vya kutaja kutoka eneo hili, kutatua shida;
• kuendeleza: maendeleo nia ya utambuzi wanafunzi; maendeleo nyanja ya kiakili utu, ukuzaji wa ujuzi wa kulinganisha na kujumlisha.
• kielimu: kukuza usahihi na usikivu wakati wa kufanya maamuzi.

Wakati wa madarasa.

1. Wakati wa shirika.

2. Mwalimu anatangaza mada ya somo na, pamoja na wanafunzi, kuunda malengo na malengo.

3. Mwalimu, pamoja na wanafunzi, anakumbuka nyenzo zilizosomwa juu ya mada "Seti" katika daraja la 7, huanzisha dhana mpya na ufafanuzi, kanuni za kutatua matatizo.

"Vitu vingi ni vitu vingi ambavyo tunafikiria kama kitu kimoja" (mwanzilishi wa nadharia ya kuweka - Georg Cantor). CANTOR Georg (1845-1918) - Mwanahisabati wa Ujerumani, mwanamantiki, mwanatheolojia, muundaji wa nadharia ya seti zisizo na kikomo (zisizo na kikomo), ambazo zilikuwa na ushawishi mkubwa juu ya maendeleo ya sayansi ya hisabati mwanzoni mwa karne ya 19 na 20.

Seti ni moja ya dhana za kimsingi hisabati ya kisasa, inayotumika karibu sehemu zake zote.

Kwa bahati mbaya, dhana ya msingi ya nadharia-dhana ya kuweka-haiwezi kupewa ufafanuzi mkali. Bila shaka, tunaweza kusema kwamba seti ni "jumla", "mkusanyiko", "mkusanyiko", "mkusanyiko", "familia", "mfumo", "darasa", nk. hata hivyo, yote haya hayatakuwa. ufafanuzi wa hisabati, lakini badala ya matumizi mabaya ya utajiri wa msamiati wa lugha ya Kirusi.

Ili kufafanua dhana yoyote, ni muhimu, kwanza kabisa, kuonyesha ni kesi gani ni zaidi dhana ya jumla, ni, kwa dhana ya kuweka hii haiwezekani, kwa sababu hakuna dhana ya jumla zaidi kuliko kuweka katika hisabati.

Mara nyingi tunapaswa kuzungumza juu ya mambo kadhaa yaliyounganishwa na tabia fulani. Kwa hiyo, tunaweza kuzungumza juu ya seti ya viti vyote katika chumba, seti ya seli zote mwili wa binadamu, kuhusu seti ya viazi zote kwenye mfuko uliopewa, kuhusu seti ya samaki wote katika bahari, kuhusu seti ya mraba wote kwenye ndege, kuhusu seti ya pointi zote kwenye mduara uliopewa, nk.

Vitu vinavyounda seti fulani huitwa vipengele vyake.

Kwa mfano, siku nyingi za juma zinajumuisha vipengele: Jumatatu, Jumanne, Jumatano, Alhamisi, Ijumaa, Jumamosi, Jumapili.

Miezi mingi - kutoka kwa vipengele: Januari, Februari, Machi, Aprili, Mei, Juni, Julai, Agosti, Septemba, Oktoba, Novemba, Desemba.

Kundi la shughuli za hesabu- kutoka kwa vipengele: kuongeza, kutoa, kuzidisha, mgawanyiko.

Kwa mfano, ikiwa A inamaanisha seti ya zote nambari za asili, basi 6 ni ya A, na 3 sio ya A.

Ikiwa A ni seti ya miezi yote ya mwaka, basi Mei ni ya A, lakini Jumatano sio ya A.

Ikiwa seti ina idadi ya mwisho ya vipengele, basi inaitwa finite, na ikiwa ina vipengele vingi, basi inaitwa usio. Kwa hivyo seti ya miti msituni haina mwisho, lakini seti ya alama kwenye duara haina mwisho.

Kitendawili katika mantiki- huu ni ukinzani ambao una hadhi ya hitimisho sahihi la kimantiki na, wakati huo huo, unawakilisha hoja zinazoongoza kwa hitimisho la kipekee.

Kama ilivyoelezwa tayari, wazo la kuweka ni msingi wa hisabati. Kwa kutumia seti rahisi zaidi na miundo mbalimbali ya hisabati, unaweza kuunda karibu kitu chochote cha hisabati. Wazo la kujenga hisabati zote kwa misingi ya nadharia iliyowekwa liliendelezwa kikamilifu na G. Cantor. Walakini, kwa unyenyekevu wake wote, wazo la kuweka limejaa hatari ya utata au, kama wanasema, paradoksia. Kuonekana kwa paradoksi ni kwa sababu ya ukweli kwamba sio ujenzi wote na sio seti zote zinaweza kuzingatiwa.

Kitendawili rahisi zaidi ni " kinyozi kitendawili".

Askari mmoja aliamriwa kuwanyoa wale askari na wale tu katika kikosi chake ambao hawakujinyoa. Kukosa kutii amri katika jeshi, kama inavyojulikana, ni uhalifu mkubwa. Hata hivyo, swali likazuka iwapo askari huyu anapaswa kujinyoa mwenyewe. Akinyoa basi aainishwe miongoni mwa askari wengi wanaojinyoa, na hana haki ya kuwanyoa watu wa aina hiyo. Asipojinyoa ataishia kuwa miongoni mwa askari wengi wasiojinyoa, na kwa mujibu wa amri analazimika kuwanyoa askari hao. Kitendawili.

Juu ya seti, na vile vile juu ya wengine wengi vitu vya hisabati, unaweza kufanya shughuli mbalimbali, ambazo wakati mwingine huitwa shughuli za kuweka-theoretic au shughuli za kuweka. Kama matokeo ya shughuli, seti mpya hupatikana kutoka kwa seti za asili. Seti huteuliwa kwa herufi kubwa na herufi za Kilatini, na vipengele vyake ni vidogo. Rekodi a R ina maana kwamba kipengele A ni ya seti R, hiyo ni A R. KATIKA vinginevyo, Lini A sio ya seti R, wanaandika a R .

Seti mbili A Na KATIKA zinaitwa sawa (A =KATIKA), ikiwa zinajumuisha vipengele sawa, yaani, kila kipengele cha seti A ni kipengele cha seti KATIKA na kinyume chake, kila kipengele cha seti KATIKA ni kipengele cha seti A .

Ulinganisho wa seti.

Seti A iko katika seti B (seti B inajumuisha seti A) ikiwa kila kipengele cha A ni kipengele cha B:

Wanasema kuwa wapo wengi A zilizomo katika nyingi KATIKA au nyingi A ni kikundi kidogo seti KATIKA(katika kesi hii wanaandika A KATIKA), ikiwa kila kipengele cha seti A ni wakati huo huo kipengele cha kuweka KATIKA. Utegemezi huu kati ya seti huitwa kuwasha . Kwa seti yoyote A majumuisho hutokea: Ø A Na A A

Kwa kesi hii A kuitwa kikundi kidogo B, B - superset A. Ikiwa , basi A kuitwa kitengo kidogo KATIKA. taarifa, hiyo ,

A-kipaumbele,

Seti mbili zinaitwa sawa, ikiwa ni sehemu ndogo za kila mmoja

Weka Uendeshaji

Makutano.

Muungano.

Mali.

1.Uendeshaji wa seti za kuchanganya ni za kubadilisha

2. Uendeshaji wa seti za kuchanganya ni za mpito

3. Seti tupu X ni kipengele cha neutral cha uendeshaji wa umoja uliowekwa

1. Hebu A = (1,2,3,4),B = (3,4,5,6,7). Kisha

2. A = (2,4,6,8,10), B = (3,6,9,12). Wacha tupate muungano na makutano ya seti hizi:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Seti ya watoto ni kikundi kidogo cha watu wote

4. Makutano ya seti ya nambari na seti ya nambari nzuri ni seti ya nambari za asili.

5. Kwa kuchanganya seti ya nambari za busara na seti nambari zisizo na mantiki ni seti ya nambari chanya.

6.Sifuri ni kijalizo cha seti ya nambari asilia inayohusiana na nambari kamili zisizo hasi.

Michoro ya Venn(Michoro ya Venn) - jina la kawaida idadi ya mbinu za taswira na mbinu za vielelezo vya picha zinazotumika sana katika maeneo mbalimbali sayansi na hisabati: kuweka nadharia, sahihi "Mchoro wa Venn" inaonyesha uhusiano wote unaowezekana kati ya seti au matukio kutoka kwa familia fulani; aina Mchoro wa Venn tumikia: michoro ya Euler,

Mchoro wa Venn wa seti nne.

Kwa kweli "Mchoro wa Venn" inaonyesha uhusiano wote unaowezekana kati ya seti au matukio kutoka kwa familia fulani. Mchoro wa kawaida wa Venn una seti tatu. Venn mwenyewe alijaribu kupata njia ya kifahari na takwimu linganifu , akiwakilisha idadi kubwa ya seti kwenye mchoro, lakini aliweza tu kufanya hivyo kwa seti nne (tazama takwimu upande wa kulia) kwa kutumia duaradufu.

Michoro ya Euler

Michoro ya Euler ni sawa na michoro ya Venn inaweza kutumika kutathmini usadikisho wa vitambulisho vya kinadharia.

Jukumu la 1. Kuna watu 30 darasani, ambao kila mmoja anaimba au kucheza. Inajulikana kuwa watu 17 wanaimba, na watu 19 wanaweza kucheza. Ni watu wangapi wanaimba na kucheza kwa wakati mmoja?

Suluhisho: Kwanza, hebu tukumbuke kwamba kati ya watu 30, 30 - 17 = watu 13 hawawezi kuimba.

Wote wanajua kucheza, kwa sababu ... Kulingana na hali hiyo, kila mwanafunzi darasani anaimba au kucheza. Kwa jumla, watu 19 wanaweza kucheza, 13 kati yao hawawezi kuimba, ambayo ina maana kwamba 19-13 = watu 6 wanaweza kucheza na kuimba kwa wakati mmoja.

Matatizo yanayohusisha makutano na muungano wa seti.

1. Kutokana na seti A = (3.5, 0, 11, 12, 19), B = (2.4, 8, 12, 18.0).
   Pata seti AU B,
2. Tunga angalau maneno saba ambayo herufi zake huunda vikundi vidogo vya seti
   A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
3. Acha A iwe seti ya nambari za asili zinazoweza kugawanywa kwa 2, na B seti ya nambari za asili zinazogawanywa kwa 4. Ni hitimisho gani linaweza kutolewa kuhusu seti hizi?
4. Kampuni hiyo inaajiri watu 67. Kati ya hawa, 47 wanajua Lugha ya Kiingereza, 35 ni Kijerumani, na 23 ni lugha zote mbili. Ni watu wangapi katika kampuni hawajui Kiingereza au Lugha za Kijerumani?
5. Kati ya wanafunzi 40 katika darasa letu, 32 wanapenda maziwa, 21 wanapenda limau, na 15 wanapenda maziwa na limau. Ni watoto wangapi katika darasa letu hawapendi maziwa au limau?
6. Wanafunzi wenzangu 12 wanapenda kusoma hadithi za upelelezi, 18 za hadithi za sayansi za mapenzi, watatu wanafurahia kusoma zote mbili, na mmoja hasomi chochote kabisa. Je! kuna wanafunzi wangapi katika darasa letu?
7. Kati ya wale wanafunzi wenzangu 18 wanaopenda kutazama filamu za kusisimua, ni 12 tu ambao hawachukii kutazama katuni. Je! ni wanafunzi wenzangu wangapi wanaotazama "katuni" pekee, ikiwa kwa jumla kuna wanafunzi 25 katika darasa letu, kila mmoja wao anapenda kutazama filamu za kusisimua, au katuni, au zote mbili?
8. Kati ya wavulana 29 katika uwanja wetu, ni wawili tu ambao hawachezi michezo, na wengine huhudhuria sehemu za mpira wa miguu au tenisi, au hata zote mbili. Wavulana 17 wanacheza mpira wa miguu, na wavulana 19 wanacheza tenisi Je! Ni wachezaji wangapi wa tenisi wanacheza mpira wa miguu?
9. 65% ya sungura za bibi hupenda karoti, 10% hupenda karoti na kabichi. Ni asilimia ngapi ya sungura wangependa kula kabichi?
10. Kuna wanafunzi 25 katika darasa moja. Kati ya hizi, pears 7 za upendo, cherries 11 za upendo. Pears mbili za upendo na cherries; 6 - pears na apples; 5 - apples na cherries. Lakini kuna wanafunzi wawili darasani ambao wanapenda kila kitu na wanne ambao hawapendi matunda kabisa. Ni wanafunzi wangapi katika darasa hili wanapenda tufaha?
11. Wasichana 22 walishiriki katika shindano la urembo. Kati ya hawa, 10 walikuwa warembo, 12 walikuwa smart na 9 walikuwa wema. Wasichana 2 tu walikuwa warembo na werevu; Wasichana 6 walikuwa smart na wema kwa wakati mmoja. Amua ni wasichana wangapi wazuri na wakati huo huo kulikuwa na wasichana wazuri ikiwa nitakuambia kuwa kati ya washiriki hakukuwa na mtu mmoja mwenye akili, mkarimu na wakati huo huo. mrembo?
12. Kuna wanafunzi 35 katika darasa letu. Katika robo ya kwanza, wanafunzi 14 walikuwa na alama A katika Kirusi; katika hisabati - 12; katika historia - 23. Katika Kirusi na hisabati - 4; katika hisabati na historia - 9; katika lugha ya Kirusi na historia - 5. Je! ni wanafunzi wangapi walio na A katika masomo yote matatu ikiwa hakuna mwanafunzi hata mmoja darasani ambaye hana A katika angalau moja ya masomo haya?
13. Kati ya watu 100, 85 wanajua Kiingereza, 80 wanazungumza Kihispania, 75 wanazungumza Kijerumani. Kila mtu anazungumza angalau lugha moja ya kigeni. Miongoni mwao hakuna wanaojua lugha mbili za kigeni, lakini kuna wale wanaozungumza lugha tatu. Je, ni watu wangapi kati ya hawa 100 wanaozungumza lugha tatu?
14. Kati ya wafanyakazi wa kampuni hiyo, 16 walitembelea Ufaransa, 10 - Italia, 6 - Uingereza; nchini Uingereza na Italia - 5; nchini Uingereza na Ufaransa - 6; katika nchi zote tatu - wafanyakazi 5. Ni watu wangapi walitembelea Italia na Ufaransa, ikiwa jumla ya watu 19 wanafanya kazi katika kampuni, na kila mmoja wao alitembelea angalau moja ya nchi hizi?

5. Muhtasari wa somo.

6. Tafakari.

• Nilifanikiwa zaidi ...
• Ilikuwa ugunduzi kwangu kwamba ...
• Unaweza kujisifu kwa nini?
• Unafikiri ni nini hakijafanya kazi? Kwa nini? Nini cha kuzingatia kwa siku zijazo?
• Mafanikio yangu katika somo.

7. Kazi ya nyumbani.

1. Makarychev. Kifungu cha 13. Nambari 263, No. 264, No. 265, No. 266, No. 271, No. 272.
2. Unda matatizo kwa kutumia nadharia iliyowekwa.
3. Katika vikundi, tayarisha mawasilisho juu ya mada "Seti."

Mchanganuo wa hisabati ni tawi la hisabati ambalo hushughulikia uchunguzi wa kazi kulingana na wazo la kazi isiyo na kikomo.

Dhana za kimsingi uchambuzi wa hisabati ni ukubwa, kuweka, kazi, usio kazi ndogo, kikomo, derivative, muhimu.

Ukubwa Kitu chochote kinachoweza kupimwa na kuonyeshwa kwa nambari kinaitwa.

Nyingi ni mkusanyiko wa baadhi ya vipengele vilivyounganishwa na baadhi kipengele cha kawaida. Vipengele vya seti vinaweza kuwa nambari, takwimu, vitu, dhana, nk.

Seti zinaashiria kwa herufi kubwa, na kuna vipengele vingi herufi ndogo. Vipengele vya seti vimefungwa kwa braces curly.

Ikiwa kipengele x ni ya seti X, kisha andika x∈X (∈ - ni mali).
Ikiwa seti A ni sehemu ya B, basi andika A ⊂ B (⊂ - iliyomo).

Seti inaweza kufafanuliwa kwa moja ya njia mbili: kwa kuhesabu na kwa kutumia sifa inayofafanua.

• A=(1,2,3,5,7) - seti ya nambari
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - seti ya baadhi ya vipengele x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) - seti ya nambari asilia
• Z=(0,±1,±2,...,±n) - seti ya nambari kamili

Seti (-∞;+∞) inaitwa mstari wa nambari, na nambari yoyote ni hatua kwenye mstari huu. Acha a- hatua ya kiholela mstari wa nambari naδ - nambari chanya. Muda (a-δ; a+δ) unaitwa δ-kitongoji cha uhakika a.

Seti ya X imefungwa kutoka juu (kutoka chini) ikiwa kuna nambari c kiasi kwamba kwa x ∈ X yoyote usawa x≤с (x≥c) inashikilia. Nambari c katika kesi hii inaitwa makali ya juu (chini). kuweka X. Seti iliyofungwa juu na chini inaitwa mdogo. Nyuso ndogo zaidi (kubwa) ya juu (chini) ya seti inaitwa makali ya juu kabisa (chini). ya umati huu.

Seti za nambari za msingi

Ikiwa seti haina kipengele kimoja, basi inaitwa seti tupu na imerekodiwa Ø .

Vipengele vya ishara za kimantiki

Nukuu ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

Quantifiers hutumiwa mara nyingi wakati wa kuandika maneno ya hisabati.

Kikadiriaji inaitwa ishara ya kimantiki inayobainisha vipengele vinavyoifuata kwa wingi.

• ∀- jumla quantifier, hutumiwa badala ya maneno "kwa kila mtu", "kwa mtu yeyote".
• ∃- quantifier kuwepo, hutumiwa badala ya maneno "ipo", "inapatikana". Mchanganyiko wa ishara ∃ pia hutumiwa, ambayo inasomwa kama kuna moja tu.

Weka Uendeshaji

Mbili seti A na B ni sawa(A=B) ikiwa zinajumuisha vipengele sawa.
Kwa mfano, ikiwa A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) basi A=B.

Kwa muungano (jumla) seti A na B ni seti A ∪ B ambazo vipengele vyake ni vya angalau mojawapo ya seti hizi.
Kwa mfano, ikiwa A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), basi A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Kwa makutano (bidhaa) seti A na B inaitwa seti A ∩ B, vipengele ambavyo ni vya seti A na B seti.
Kwa mfano, ikiwa A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), basi A ∩ B = (2,4)

Kwa tofauti Seti A na B huitwa seti AB, vipengele ambavyo ni vya seti A, lakini si vya B.
Kwa mfano, ikiwa A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), basi AB = (1,2)

Tofauti ya ulinganifu seti A na B inaitwa seti A Δ B, ambayo ni muungano wa tofauti za seti AB na BA, yaani, A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Kwa mfano, ikiwa A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), basi A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

Tabia za shughuli zilizowekwa

A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Seti zinazoweza kuhesabika na zisizohesabika

Ili kulinganisha seti mbili A na B, mawasiliano yanaanzishwa kati ya vipengele vyao.

Ikiwa mawasiliano haya ni ya moja kwa moja, basi seti huitwa sawa au nguvu sawa, A B au B A.

Seti ya pointi kwenye mguu BC na hypotenuse AC ya pembetatu ABC zina nguvu sawa.