Hvis du følger definisjonen, er den deriverte av en funksjon i et punkt grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen Δ y til argumentøkningen Δ x:

Alt ser ut til å være klart. Men prøv å bruke denne formelen til å beregne for eksempel den deriverte av funksjonen f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synd x. Hvis du gjør alt per definisjon, vil du bare sovne etter et par sider med beregninger. Derfor finnes det enklere og mer effektive måter.

Til å begynne med merker vi at fra hele utvalget av funksjoner kan vi skille de såkalte elementære funksjonene. Det er relativt enkle uttrykk, hvis derivater lenge har vært beregnet og oppført i tabellen. Slike funksjoner er ganske enkle å huske - sammen med deres derivater.

Derivater av elementære funksjoner

Elementære funksjoner er alle de som er oppført nedenfor. Derivatene av disse funksjonene må være kjent utenat. Dessuten er det slett ikke vanskelig å huske dem - det er derfor de er elementære.

Så, derivater elementære funksjoner:

Navn	Funksjon	Derivat
Konstant	f(x) = C, C ∈ R	0 (ja, null!)
Kraft med rasjonell eksponent	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = synd x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−synd x(minus sinus)
Tangent	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangens	f(x) = ctg x	− 1/synd 2 x
Naturlig logaritme	f(x) = logg x	1/x
Vilkårlig logaritme	f(x) = logg en x	1/(x ln en)
Eksponentiell funksjon	f(x) = e x	e x(ingenting endret seg)

Hvis en elementær funksjon multipliseres med en vilkårlig konstant, beregnes også den deriverte av den nye funksjonen:

(C · f)’ = C · f ’.

Generelt kan konstanter tas ut av tegnet til den deriverte. For eksempel:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Det er klart at elementære funksjoner kan legges til hverandre, multipliseres, deles – og mye mer. Slik vil nye funksjoner fremstå, ikke lenger spesielt elementære, men også differensierbare mht visse regler. Disse reglene er omtalt nedenfor.

Derivert av sum og differanse

La funksjonene være gitt f(x) Og g(x), hvis derivater er kjent for oss. For eksempel kan du ta de elementære funksjonene som er diskutert ovenfor. Deretter kan du finne den deriverte av summen og differansen av disse funksjonene:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Så den deriverte av summen (forskjellen) av to funksjoner er lik summen (forskjellen) av de deriverte. Det kan være flere vilkår. For eksempel, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strengt tatt er det ikke noe begrep om "subtraksjon" i algebra. Det er et konsept " negativt element" Derfor forskjellen f − g kan skrives om som en sum f+ (−1) g, og da gjenstår bare én formel - den deriverte av summen.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksjon f(x) er summen av to elementære funksjoner, derfor:

f ’(x) = (x 2 + synd x)’ = (x 2)’ + (synd x)’ = 2x+ cos x;

Vi resonnerer tilsvarende for funksjonen g(x). Bare det er allerede tre begreper (fra algebras synspunkt):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Svar:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Avledet av produktet

Matematikk er en logisk vitenskap, så mange tror at hvis den deriverte av en sum er lik summen av deriverte, så er den deriverte av produktet streik">lik produktet av derivater. Men drit deg! Den derivative av et produkt beregnes ved hjelp av en helt annen formel. Nemlig:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formelen er enkel, men den blir ofte glemt. Og ikke bare skoleelever, men også studenter. Resultatet er feil løste problemer.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksjon f(x) er produktet av to elementære funksjoner, så alt er enkelt:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-synd x) = x 2 (3cos x − x synd x)

Funksjon g(x) den første faktoren er litt mer komplisert, men generell ordning dette endrer seg ikke. Åpenbart den første faktoren til funksjonen g(x) er et polynom og dens deriverte er den deriverte av summen. Vi har:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Svar:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synd x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Vær oppmerksom på at i siste trinn blir den deriverte faktorisert. Formelt sett trenger ikke dette å gjøres, men de fleste derivater beregnes ikke på egen hånd, men for å undersøke funksjonen. Dette betyr at videre vil den deriverte bli likestilt med null, dens fortegn vil bli bestemt, og så videre. For et slikt tilfelle er det bedre å få et uttrykk faktorisert.

Hvis det er to funksjoner f(x) Og g(x), og g(x) ≠ 0 på settet vi er interessert i, kan vi definere ny funksjon h(x) = f(x)/g(x). For en slik funksjon kan du også finne den deriverte:

Ikke svak, ikke sant? Hvor kom minuset fra? Hvorfor g 2? Og sånn! Dette er en av de mest komplekse formler- Du kan ikke finne ut av det uten en flaske. Derfor er det bedre å studere det på spesifikke eksempler.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner:

Telleren og nevneren for hver brøk inneholder elementære funksjoner, så alt vi trenger er formelen for den deriverte av kvotienten:

I følge tradisjonen, la oss faktorisere telleren - dette vil i stor grad forenkle svaret:

En kompleks funksjon er ikke nødvendigvis en halv kilometer lang formel. For eksempel er det nok å ta funksjonen f(x) = synd x og erstatte variabelen x, la oss si, på x 2 + ln x. Det ordner seg f(x) = synd ( x 2 + ln x) - dette er en kompleks funksjon. Den har også et derivat, men det vil ikke være mulig å finne det ved å bruke reglene diskutert ovenfor.

Hva burde jeg gjøre? I slike tilfeller hjelper det å erstatte variabelen og den deriverte formelen kompleks funksjon:

f ’(x) = f ’(t) · t', hvis x erstattes av t(x).

Som regel er situasjonen med å forstå denne formelen enda mer trist enn med den deriverte av kvotienten. Derfor er det også bedre å forklare det med konkrete eksempler, med Detaljert beskrivelse hvert steg.

Oppgave. Finn deriverte av funksjoner: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synd ( x 2 + ln x)

Merk at hvis i funksjonen f(x) i stedet for uttrykk 2 x+ 3 vil være enkelt x, så får vi en elementær funksjon f(x) = e x. Derfor gjør vi en erstatning: la 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Vi ser etter den deriverte av en kompleks funksjon ved å bruke formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Og nå - oppmerksomhet! Vi utfører omvendt erstatning: t = 2x+ 3. Vi får:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

La oss nå se på funksjonen g(x). Det er klart at det må skiftes ut x 2 + ln x = t. Vi har:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (synd t)’ · t’ = cos t · t ’

Omvendt erstatning: t = x 2 + ln x. Deretter:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Det er alt! Som man kan se av siste uttrykk, ble hele problemet redusert til å beregne den deriverte summen.

Svar:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) fordi ( x 2 + ln x).

Svært ofte i timene mine, i stedet for begrepet "derivat", bruker jeg ordet "prime". For eksempel en prime fra beløpet lik summen slag. Er det klarere? Vel, det er bra.

Dermed kommer beregning av derivatet ned til å bli kvitt de samme slagene i henhold til reglene diskutert ovenfor. Som siste eksempel La oss gå tilbake til den deriverte potensen med en rasjonell eksponent:

(x n)’ = n · x n − 1

De færreste vet det i rollen n kan godt handle et brøktall. For eksempel er roten x 0,5. Hva om det er noe fancy under roten? Igjen vil resultatet bli en kompleks funksjon – de gir gjerne slike konstruksjoner til tester oh og eksamener.

Oppgave. Finn den deriverte av funksjonen:

La oss først omskrive roten som en potens med en rasjonell eksponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nå gjør vi en erstatning: la x 2 + 8x − 7 = t. Vi finner den deriverte ved å bruke formelen:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

La oss gjøre omvendt erstatning: t = x 2 + 8x− 7. Vi har:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Til slutt, tilbake til røttene:

Derivat av en kompleks funksjon. Eksempler på løsninger

I denne leksjonen lærer vi hvordan du finner avledet av en kompleks funksjon. Leksjonen er en logisk fortsettelse av leksjonen Hvordan finne den deriverte?, hvor vi undersøkte de enkleste derivatene, og ble også kjent med reglene for differensiering og noen tekniske metoder finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med avledede funksjoner eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vær så snill å kom i seriøst humør - materialet er ikke enkelt, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.

I praksis må du forholde deg til den deriverte av en kompleks funksjon veldig ofte, jeg vil til og med si, nesten alltid, når du får oppgaver med å finne deriverte.

Vi ser på tabellen ved regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:

La oss finne ut av det. Først av alt, la oss ta hensyn til oppføringen. Her har vi to funksjoner – og , og funksjonen , billedlig talt, er nestet i funksjonen . En funksjon av denne typen (når en funksjon er nestet i en annen) kalles en kompleks funksjon.

Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – intern (eller nestet) funksjon.

! Disse definisjonene er ikke teoretiske og skal ikke fremkomme i den endelige utformingen av oppgavene. jeg søker uformelle uttrykk"ekstern funksjon", "intern" funksjon kun for å gjøre det lettere for deg å forstå materialet.

For å avklare situasjonen, vurder:

Eksempel 1

Finn den deriverte av en funksjon

Under sinusen har vi ikke bare bokstaven "X", men et helt uttrykk, så det vil ikke fungere å finne den deriverte med en gang fra tabellen. Vi legger også merke til at det er umulig å bruke de fire første reglene her, det ser ut til å være en forskjell, men faktum er at sinusen ikke kan "reves i stykker":

I i dette eksemplet Det er allerede intuitivt klart fra mine forklaringer at en funksjon er en kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og en ekstern funksjon.

Første skritt det du må gjøre når du finner den deriverte av en kompleks funksjon er å forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.

Når enkle eksempler Det virker klart at et polynom er innebygd under sinusen. Men hva om alt ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan gjøres mentalt eller i et utkast.

La oss forestille oss at vi må beregne verdien av uttrykket på en kalkulator (i stedet for en kan det være et hvilket som helst tall).

Hva skal vi beregne først? Først av alt du må utføre følgende handling: , derfor vil polynomet være en intern funksjon:

for det andre må finnes, så sinus – vil være en ekstern funksjon:

Etter vi UTSOLGT Med interne og eksterne funksjoner er det på tide å bruke regelen om differensiering av komplekse funksjoner.

La oss begynne å bestemme oss. Fra klassen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av en løsning til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:

Først vi finner den deriverte av den ytre funksjonen (sinus), ser på tabellen over avledede av elementære funksjoner og legger merke til at . Alle tabellformler kan også brukes hvis "x" erstattes med et komplekst uttrykk, V i dette tilfellet:

Vær oppmerksom på at den indre funksjonen har ikke endret seg, vi rører den ikke.

Vel, det er ganske åpenbart det

Det endelige resultatet av å bruke formelen ser slik ut:

Konstant multiplikator vanligvis plassert i begynnelsen av uttrykket:

Hvis det er noen misforståelser, skriv ned løsningen på papir og les forklaringene på nytt.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Som alltid skriver vi ned:

La oss finne ut hvor vi har en ekstern funksjon og hvor vi har en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller i et utkast) å beregne verdien av uttrykket ved . Hva bør du gjøre først? Først av alt må du beregne hva basen er lik: derfor er polynomet den interne funksjonen:

Og først da utføres eksponentieringen, derfor er potensfunksjonen en ekstern funksjon:

I henhold til formelen må du først finne den deriverte av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Leter etter i tabellen den nødvendige formelen: . Vi gjentar igjen: noen tabellformel gyldig ikke bare for "x", men også for komplekse uttrykk. Dermed er resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon som følger:

Jeg understreker igjen at når vi tar den deriverte av den eksterne funksjonen, endres ikke vår interne funksjon:

Nå gjenstår det bare å finne en veldig enkel avledning av den interne funksjonen og justere resultatet litt:

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel for uavhengig avgjørelse(svar på slutten av timen).

For å konsolidere din forståelse av den deriverte av en kompleks funksjon, vil jeg gi et eksempel uten kommentarer, prøve å finne ut av det på egen hånd, begrunne hvor den eksterne og hvor den interne funksjonen er, hvorfor oppgavene løses på denne måten?

Eksempel 5

a) Finn den deriverte av funksjonen

b) Finn den deriverte av funksjonen

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Her har vi en rot, og for å skille roten må den representeres som en kraft. Derfor bringer vi først funksjonen til den formen som passer for differensiering:

Ved å analysere funksjonen kommer vi til at summen av de tre leddene er en intern funksjon, og å heve til en potens er en ekstern funksjon. Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner:

Vi representerer igjen graden som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:

Klar. Du kan også gi uttrykket i parentes til fellesnevner og skriv alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig vakkert, men når du får tungvinte lange derivater, er det bedre å ikke gjøre dette (det er lett å bli forvirret, gjøre en unødvendig feil, og det vil være upraktisk for læreren å sjekke).

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Det er interessant å merke seg at noen ganger i stedet for regelen for å differensiere en kompleks funksjon, kan du bruke regelen for å differensiere en kvotient , men en slik løsning vil se ut som en morsom perversjon. Her er et typisk eksempel:

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten , men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:

Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi flytter minus ut av det deriverte tegnet, og hever cosinus til telleren:

Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel:

Vi finner den deriverte av den interne funksjonen og tilbakestiller cosinus:

Klar. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Prøv forresten å løse det ved å bruke regelen , må svarene samsvare.

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).

Så langt har vi sett på tilfeller der vi kun hadde én hekking i en kompleks funksjon. I praktiske oppgaver kan du ofte finne derivater, der, som hekkende dukker, den ene inne i den andre, 3 eller til og med 4-5 funksjoner er nestet samtidig.

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

La oss forstå vedleggene til denne funksjonen. La oss prøve å beregne uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?

Først må du finne , som betyr at arcsine er den dypeste innebyggingen:

Denne arcsinen til en skal da kvadrateres:

Og til slutt hever vi syv til en makt:

Det vil si at i dette eksemplet har vi tre ulike funksjoner og to embeddings, der den innerste funksjonen er arcsine og den ytterste funksjonen er den eksponentielle funksjonen.

La oss begynne å bestemme oss

I henhold til regelen må du først ta den deriverte av den eksterne funksjonen. Vi ser på tabellen over deriverte og finner den deriverte eksponentiell funksjon: Den eneste forskjellen er at i stedet for "X" har vi komplekst uttrykk, som ikke opphever gyldigheten av denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon er som følger:

Under slaget har vi igjen en kompleks funksjon! Men det er allerede enklere. Det er lett å verifisere at den indre funksjonen er arcsine, den ytre funksjonen er graden. I henhold til regelen for å differensiere en kompleks funksjon, må du først ta den deriverte av potensen.

Siden du kom hit, har du sannsynligvis allerede sett denne formelen i læreboken

og lag et ansikt som dette:

Venn, ikke bekymre deg! Faktisk er alt rett og slett opprørende. Du vil definitivt forstå alt. Bare en forespørsel - les artikkelen sakte, prøv å forstå hvert trinn. Jeg skrev så enkelt og tydelig som mulig, men du må fortsatt forstå ideen. Og sørg for å løse oppgavene fra artikkelen.

Hva er en kompleks funksjon?

Tenk deg at du flytter til en annen leilighet og derfor pakker ting i store esker. Tenk deg at du trenger å samle noen små gjenstander, for eksempel skoleskrivemateriell. Hvis du bare kaster dem i en diger boks, vil de blant annet gå seg vill. For å unngå dette legger du dem først for eksempel i en pose, som du så legger i en stor boks, hvorpå du forsegler den. Denne "komplekse" prosessen er presentert i diagrammet nedenfor:

Det ser ut til, hva har matematikk med det å gjøre? Ja, til tross for at en kompleks funksjon dannes på AKKURAT SAMME måte! Bare vi "pakker" ikke notatbøker og penner, men \(x\), mens "pakkene" og "boksene" er forskjellige.

La oss for eksempel ta x og "pakke" den inn i en funksjon:

Som et resultat får vi selvfølgelig \(\cos⁡x\). Dette er vår "bag of things". La oss nå legge den i en "boks" - pakke den for eksempel inn i en kubisk funksjon.

Hva vil skje til slutt? Ja, det stemmer, det vil være en "pose med ting i en boks", det vil si "kosinus med X i terninger."

Det resulterende designet er en kompleks funksjon. Det skiller seg fra det enkle ved det FLERE "påvirkninger" (pakker) brukes på én X på rad og det viser seg å være "funksjon fra funksjon" - "emballasje i emballasje".

I skolekurs Det er svært få typer av disse "pakkene", bare fire:

La oss nå "pakke" X først inn i en eksponentiell funksjon med grunntallet 7, og deretter inn i en trigonometrisk funksjon. Vi får:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

La oss nå "pakke" X to ganger inn trigonometriske funksjoner, først i , og deretter i:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Enkelt, ikke sant?

Skriv nå funksjonene selv, hvor x:
- først "pakkes" den inn i en cosinus, og deretter i en eksponentiell funksjon med grunntallet \(3\);
- først til femte potens, og deretter til tangenten;
- først til logaritmen til grunntallet \(4\) , deretter til makten \(-2\).

Finn svarene på denne oppgaven på slutten av artikkelen.

Kan vi "pakke" X ikke to, men tre ganger? Ikke noe problem! Og fire, og fem og tjuefem ganger. Her er for eksempel en funksjon der x er "pakket" \(4\) ganger:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4))))\)

Men slike formler skolepraksis vil ikke møtes (studenter er heldigere - ting kan være vanskeligere for dem☺).

"Utpakke" en kompleks funksjon

Se på forrige funksjon igjen. Kan du finne ut "pakke"-sekvensen? Hva X ble stappet inn i først, hva så, og så videre helt til slutten. Det vil si hvilken funksjon er nestet innenfor hvilken? Ta et stykke papir og skriv ned hva du synes. Du kan gjøre dette med en kjede med piler som vi skrev ovenfor eller på annen måte.

Nå er det riktige svaret: først ble x "pakket" inn i \(4\)te potens, deretter ble resultatet pakket inn i en sinus, det ble på sin side plassert i logaritmen til grunntallet \(2\) , og til slutt ble hele denne konstruksjonen fylt inn i en femmer.

Det vil si at du må slappe av sekvensen I OVERSIKTET. Og her er et hint om hvordan du gjør det enklere: se umiddelbart på X-en – du bør danse fra den. La oss se på noen få eksempler.

For eksempel, her er følgende funksjon: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Vi ser på X - hva skjer med den først? Tatt fra ham. Og så? Tangensen til resultatet tas. Rekkefølgen vil være den samme:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Et annet eksempel: \(y=\cos⁡((x^3))\). La oss analysere - først kuttet vi X, og tok deretter cosinus til resultatet. Dette betyr at sekvensen vil være: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Vær oppmerksom, funksjonen ser ut til å være lik den aller første (hvor den har bilder). Men dette er en helt annen funksjon: her i kuben er x (det vil si \(\cos⁡((x·x·x)))\), og der i kuben er cosinus \(x\) ( det vil si \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Denne forskjellen oppstår fra forskjellige "pakke"-sekvenser.

Det siste eksemplet (med viktig informasjon i den): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Det er tydelig hva de gjorde her først aritmetiske operasjoner med x, tok deretter sinusen til resultatet: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Og dette viktig poeng: til tross for at aritmetiske operasjoner ikke er funksjoner i seg selv, fungerer de også her som en måte å "pakke". La oss gå litt dypere inn i denne subtiliteten.

Som jeg sa ovenfor, i enkle funksjoner er x "pakket" en gang, og i komplekse funksjoner - to eller flere. Dessuten er enhver kombinasjon av enkle funksjoner (det vil si summen, differansen, multiplikasjonen eller divisjonen) også enkel funksjon. For eksempel er \(x^7\) en enkel funksjon og det samme er \(ctg x\). Dette betyr at alle kombinasjonene deres er enkle funksjoner:

\(x^7+ ctg x\) - enkel,
\(x^7· barneseng x\) – enkelt,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – enkelt osv.

Men hvis en funksjon til brukes på en slik kombinasjon, vil det bli en kompleks funksjon, siden det vil være to "pakker". Se diagram:

Ok, fortsett nå. Skriv sekvensen av "innpaknings"-funksjoner:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Svarene er igjen på slutten av artikkelen.

Interne og eksterne funksjoner

Hvorfor trenger vi å forstå funksjonshekking? Hva gir dette oss? Faktum er at uten en slik analyse vil vi ikke være i stand til pålitelig å finne derivater av funksjonene diskutert ovenfor.

Og for å komme videre, trenger vi ytterligere to konsepter: interne og eksterne funksjoner. Dette er veldig enkel ting, dessuten har vi faktisk allerede analysert dem ovenfor: hvis vi husker analogien vår helt i begynnelsen, er den interne funksjonen en "pakke", og den eksterne funksjonen er en "boks". De. det X først er "pakket inn" i er en intern funksjon, og det den interne funksjonen er "pakket inn" i er allerede ekstern. Vel, det er klart hvorfor - hun er utenfor, det betyr ekstern.

I dette eksemplet: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), er funksjonen \(\log_2⁡x\) intern, og
- ekstern.

Og i denne: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), er \(x^3+2x+1\) intern, og
- ekstern.

Fullfør den siste praksisen med å analysere komplekse funksjoner, og la oss til slutt gå videre til det vi alle ble startet for - vi vil finne derivater av komplekse funksjoner:

Fyll ut de tomme feltene i tabellen:

Derivat av en kompleks funksjon

Bravo til oss, vi kom endelig til "sjefen" for dette emnet - faktisk avledet av en kompleks funksjon, og spesifikt til den veldig forferdelige formelen fra begynnelsen av artikkelen.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Denne formelen lyder slik:

Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av den eksterne funksjonen med hensyn til en konstant intern funksjon og den deriverte av den interne funksjonen.

Og se umiddelbart på analysediagrammet, i henhold til ordene, slik at du forstår hva du skal gjøre med hva:

Jeg håper begrepene "derivat" og "produkt" ikke forårsaker noen vanskeligheter. "Kompleks funksjon" - vi har allerede ordnet det. Fangsten er i "deriverten av en ekstern funksjon med hensyn til en konstant intern funksjon." Hva det er?

Svar: Dette er den vanlige deriverte av en ekstern funksjon, der bare den eksterne funksjonen endres, og den interne forblir den samme. Fortsatt ikke klart? Ok, la oss bruke et eksempel.

La oss ha en funksjon \(y=\sin⁡(x^3)\). Det er tydelig at den interne funksjonen her er \(x^3\), og den eksterne
. La oss nå finne den deriverte av det ytre med hensyn til det konstante indre.

Komplekse derivater. Logaritmisk derivert.
Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Vi fortsetter å forbedre vår differensieringsteknikk. I denne leksjonen vil vi konsolidere materialet vi har dekket, se på mer komplekse derivater, og også bli kjent med nye teknikker og triks for å finne en derivat, spesielt med den logaritmiske derivater.

Til de leserne som har lavt nivå forberedelse, bør du referere til artikkelen Hvordan finne den deriverte? Eksempler på løsninger, som lar deg heve ferdighetene dine nesten fra bunnen av. Deretter må du studere siden nøye Derivat av en kompleks funksjon, forstå og løse Alle eksemplene jeg ga. Denne leksjonen er logisk den tredje i rekken, og etter å ha mestret den vil du trygt skille ganske komplekse funksjoner. Det er uønsket å innta posisjonen «Hvor ellers? Det er nok!”, siden alle eksempler og løsninger er hentet fra reelle tester og ofte møter i praksis.

La oss starte med repetisjon. På timen Derivat av en kompleks funksjon Vi så på en rekke eksempler med detaljerte kommentarer. Under studiet av differensialregning og andre seksjoner matematisk analyse– du må skille veldig ofte, og det er ikke alltid praktisk (og ikke alltid nødvendig) å beskrive eksempler i detalj. Derfor vil vi øve på å finne derivater muntlig. De mest egnede "kandidatene" for dette er derivater av de enkleste av komplekse funksjoner, for eksempel:

I henhold til regelen om differensiering av komplekse funksjoner :

Når man studerer andre matan-emner i fremtiden, er det oftest ikke nødvendig med en slik detaljert oversikt, at studenten vet hvordan man finner slike derivater på autopilot. La oss forestille oss at klokken 3 om morgenen var det en telefonsamtale, Og en hyggelig stemme spurte: "Hva er den deriverte av tangenten til to X-er?" Dette bør etterfølges av et nesten øyeblikkelig og høflig svar: .

Det første eksemplet vil umiddelbart være ment for uavhengig løsning.

Eksempel 1

Finn følgende derivater muntlig, i én handling, for eksempel: . For å fullføre oppgaven trenger du bare å bruke tabell over derivater av elementære funksjoner(hvis du ikke har husket det ennå). Hvis du har noen problemer, anbefaler jeg å lese leksjonen på nytt Derivat av en kompleks funksjon.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Svar på slutten av leksjonen

Komplekse derivater

Etter foreløpig artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 hekker av funksjoner være mindre skumle. Kanskje de følgende to eksemplene vil virke kompliserte for noen, men hvis du forstår dem (noen vil lide), så vil nesten alt annet i differensialregning Det vil virke som en barnespøk.

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon

Som allerede nevnt, når du finner derivatet av en kompleks funksjon, er det først og fremst nødvendig Ikke sant FORSTÅ investeringene dine. I tilfeller der det er tvil minner jeg deg på nyttig triks: vi tar for eksempel den eksperimentelle betydningen av "x", og prøver (mentalt eller i et utkast) å erstatte denne betydningen med det "forferdelige uttrykket".

1) Først må vi beregne uttrykket, som betyr at summen er den dypeste innebyggingen.

2) Deretter må du beregne logaritmen:

4) Deretter kuber cosinus:

5) På det femte trinnet er forskjellen:

6) Og til slutt, den mest eksterne funksjonen er Kvadratrot:

Formel for å differensiere en kompleks funksjon vil bli brukt i omvendt rekkefølge, fra den ytterste funksjonen til den innerste. Vi bestemmer:

Det ser ikke ut til å være noen feil...

(1) Ta den deriverte av kvadratroten.

(2) Vi tar den deriverte av differansen ved å bruke regelen

(3) Den deriverte av en trippel er null. I andre ledd tar vi den deriverte av graden (kuben).

(4) Ta derivatet av cosinus.

(5) Ta den deriverte av logaritmen.

(6) Og til slutt tar vi avledet av den dypeste innebyggingen.

Det kan virke for vanskelig, men dette er ikke det mest brutale eksemplet. Ta for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sette pris på all skjønnheten og enkelheten til det analyserte derivatet. Jeg la merke til at de liker å gi en lignende ting i en eksamen for å sjekke om en student forstår hvordan man finner den deriverte av en kompleks funksjon eller ikke forstår.

Følgende eksempel er for deg å løse på egen hånd.

Eksempel 3

Finn den deriverte av en funksjon

Hint: Først bruker vi linearitetsreglene og produktdifferensieringsregelen

Full løsning og svar på slutten av timen.

Det er på tide å gå videre til noe mindre og finere.
Det er ikke uvanlig at et eksempel viser produktet av ikke to, men tre funksjoner. Hvordan finne den deriverte av produkter av tre multiplikatorer?

Eksempel 4

Finn den deriverte av en funksjon

Først ser vi, er det mulig å gjøre produktet av tre funksjoner til produktet av to funksjoner? For eksempel, hvis vi hadde to polynomer i produktet, så kunne vi åpne parentesene. Men i eksemplet under vurdering er alle funksjonene forskjellige: grad, eksponent og logaritme.

I slike tilfeller er det nødvendig sekvensielt bruke produktdifferensieringsregelen to ganger

Trikset er at vi med "y" betegner produktet av to funksjoner: , og med "ve" betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette gjøres? Er det virkelig – dette er ikke et produkt av to faktorer og regelen fungerer ikke?! Det er ikke noe komplisert:

Nå gjenstår det å bruke regelen en gang til til brakett:

Du kan også bli vridd og sette noe ut av parentes, men i dette tilfellet er det bedre å la svaret nøyaktig i dette skjemaet - det vil være lettere å sjekke.

Det betraktede eksemplet kan løses på den andre måten:

Begge løsningene er helt like.

Eksempel 5

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning i utvalget det er løst ved hjelp av den første metoden.

La oss se på lignende eksempler med brøker.

Eksempel 6

Finn den deriverte av en funksjon

Det er flere måter du kan gå her:

Eller slik:

Men løsningen vil skrives mer kompakt hvis vi først bruker regelen om differensiering av kvotienten , tar for hele telleren:

I prinsippet er eksemplet løst, og hvis det blir stående som det er, vil det ikke være en feil. Men hvis du har tid, er det alltid lurt å sjekke et utkast for å se om svaret kan forenkles? La oss redusere uttrykket av telleren til en fellesnevner og la oss bli kvitt den tre-etasjers brøken:

Ulempen med ytterligere forenklinger er at det er en risiko for å gjøre feil ikke når man finner den deriverte, men under banale skoletransformasjoner. På den annen side avviser lærere ofte oppgaven og ber om å "minne det på det" avledet.

Et enklere eksempel å løse på egen hånd:

Eksempel 7

Finn den deriverte av en funksjon

Vi fortsetter å mestre metodene for å finne den deriverte, og nå vil vi vurdere et typisk tilfelle når den "forferdelige" logaritmen foreslås for differensiering

Eksempel 8

Finn den deriverte av en funksjon

Her kan du gå langt ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon:

Men det aller første skrittet kaster deg umiddelbart ut i motløshet - du må ta det ubehagelige avledet av brøkkraft, og da også fra brøken.

Derfor før hvordan ta den deriverte av en "sofistikert" logaritme, den forenkles først ved å bruke kjente skoleegenskaper:

! Hvis du har en øvelsesnotatbok for hånden, kopier disse formlene direkte dit. Hvis du ikke har en notatbok, kopier dem over på et stykke papir, siden de resterende eksemplene i leksjonen vil dreie seg om disse formlene.

Selve løsningen kan skrives slik:

La oss transformere funksjonen:

Finne den deriverte:

Forhåndskonvertering av selve funksjonen forenklet løsningen betraktelig. Når en lignende logaritme foreslås for differensiering, er det derfor alltid tilrådelig å "bryte den ned".

Og nå et par enkle eksempler som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 9

Finn den deriverte av en funksjon

Eksempel 10

Finn den deriverte av en funksjon

Alle transformasjoner og svar er på slutten av leksjonen.

Logaritmisk derivert

Hvis den deriverte av logaritmer er så søt musikk, oppstår spørsmålet: er det i noen tilfeller mulig å organisere logaritmen kunstig? Kan! Og til og med nødvendig.

Eksempel 11

Finn den deriverte av en funksjon

Vi har nylig sett på lignende eksempler. Hva å gjøre? Du kan sekvensielt bruke regelen for differensiering av kvotienten, og deretter regelen for differensiering av produktet. Ulempen med denne metoden er at du ender opp med en enorm tre-etasjers brøkdel, som du ikke ønsker å håndtere i det hele tatt.

Men i teori og praksis er det en så fantastisk ting som den logaritmiske deriverte. Logaritmer kan organiseres kunstig ved å "henge" dem på begge sider:

Nå må du "bryte opp" logaritmen til høyre side så mye som mulig (formler foran øynene dine?). Jeg vil beskrive denne prosessen i detalj:

La oss starte med differensiering.
Vi konkluderer begge deler under primtall:

Avledningen av høyresiden er ganske enkel, jeg vil ikke kommentere den, for hvis du leser denne teksten, bør du kunne håndtere den med trygghet.

Hva med venstre side?

På venstre side har vi kompleks funksjon. Jeg forutser spørsmålet: "Hvorfor, er det én bokstav "Y" under logaritmen?"

Faktum er at dette "en bokstav spillet" - ER SELV EN FUNKSJON(hvis det ikke er veldig tydelig, se artikkelen Derivert av en funksjon spesifisert implisitt). Derfor er logaritmen en ekstern funksjon, og "y" er en intern funksjon. Og vi bruker regelen for å differensiere en kompleks funksjon :

På venstre side, som ved magi tryllestav vi har en derivat. I henhold til proporsjonsregelen overfører vi deretter "y" fra nevneren på venstre side til toppen av høyre side:

Og la oss nå huske hva slags "spiller"-funksjon vi snakket om under differensiering? La oss se på tilstanden:

Endelig svar:

Eksempel 12

Finn den deriverte av en funksjon

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Eksempel på designeksempel av denne typen på slutten av leksjonen.

Ved å bruke den logaritmiske deriverte var det mulig å løse hvilket som helst av eksemplene nr. 4-7, en annen ting er at funksjonene der er enklere, og kanskje er bruken av den logaritmiske deriverte lite berettiget.

Derivert av en potens-eksponentiell funksjon

Vi har ikke vurdert denne funksjonen ennå. En potens-eksponentiell funksjon er en funksjon som både graden og grunntallet avhenger av "x". Klassisk eksempel, som vil bli gitt til deg i en hvilken som helst lærebok eller på en hvilken som helst forelesning:

Hvordan finne den deriverte av en potens-eksponentiell funksjon?

Det er nødvendig å bruke teknikken som nettopp er diskutert - den logaritmiske deriverte. Vi henger logaritmer på begge sider:

Som regel tas graden på høyre side ut fra logaritmen:

Som et resultat, på høyre side har vi produktet av to funksjoner, som vil bli differensiert med standard formel .

Vi finner den deriverte for å gjøre dette, vi omslutter begge deler under streker:

Ytterligere handlinger er enkle:

Endelig:

Hvis en konvertering ikke er helt klar, vennligst les forklaringene i eksempel #11 nøye på nytt.

I praktiske oppgaver Power-eksponentialfunksjonen vil alltid være mer kompleks enn eksemplet diskutert i forelesningen.

Eksempel 13

Finn den deriverte av en funksjon

Vi bruker den logaritmiske deriverte.

På høyre side har vi en konstant og produktet av to faktorer - "x" og "logaritmen av logaritmen x" (en annen logaritme er nestet under logaritmen). Når du differensierer, som vi husker, er det bedre å umiddelbart flytte konstanten ut av det deriverte tegnet slik at det ikke kommer i veien; og selvfølgelig bruker vi den kjente regelen :

Som du kan se, inneholder ikke algoritmen for bruk av den logaritmiske deriverte noen spesielle triks eller triks, og å finne den deriverte av en potenseksponentiell funksjon er vanligvis ikke assosiert med "pine."

Første nivå

Derivert av en funksjon. Omfattende guide (2019)

La oss forestille oss en rett vei som går gjennom et kupert område. Det vil si at den går opp og ned, men svinger ikke til høyre eller venstre. Hvis aksen er rettet horisontalt langs veien og vertikalt, vil veilinjen være veldig lik grafen til en kontinuerlig funksjon:

Aksen er et visst nivå av null høyde i livet, vi bruker havnivået som det.

Når vi beveger oss fremover langs en slik vei, beveger vi oss også opp eller ned. Vi kan også si: når argumentet endres (bevegelse langs abscisseaksen), endres verdien av funksjonen (bevegelse langs ordinataksen). La oss nå tenke på hvordan vi bestemmer "brattheten" på veien vår? Hva slags verdi kan dette være? Det er veldig enkelt: hvor mye høyden vil endre seg når du beveger deg en viss avstand fremover. Tross alt, på ulike områder veier som beveger seg fremover (langs x-aksen) med én kilometer, vil vi stige eller falle forbi forskjellige mengder meter i forhold til havnivået (langs ordinataksen).

La oss betegne fremgang (les "delta x").

Den greske bokstaven (delta) brukes ofte som et prefiks i matematikk, som betyr "forandring". Det vil si at dette er en endring i mengde, - en endring; så hva er det? Det stemmer, en endring i størrelsesorden.

Viktig: et uttrykk er en enkelt helhet, én variabel. Aldri skille "delta" fra "x" eller noen annen bokstav! Det er for eksempel.

Så vi har gått fremover, horisontalt, ved. Hvis vi sammenligner veiens linje med grafen til en funksjon, hvordan betegner vi da stigningen? Gjerne,. Det vil si at når vi beveger oss fremover, stiger vi høyere.

Verdien er lett å beregne: hvis vi i begynnelsen var i en høyde, og etter å ha flyttet vi befant oss i en høyde, da. Hvis endepunkt viste seg å være lavere enn den opprinnelige, vil den være negativ - dette betyr at vi ikke stiger opp, men synker.

La oss gå tilbake til "bratthet": dette er en verdi som viser hvor mye (bratt) høyden øker når du beveger deg en avstandsenhet fremover:

La oss anta at på en del av veien, når man beveger seg en kilometer fremover, stiger veien opp med en kilometer. Da er helningen på dette stedet lik. Og hvis veien, mens den beveget seg fremover med m, sank med km? Da er helningen lik.

La oss nå se på toppen av en ås. Hvis du tar begynnelsen av strekningen en halv kilometer før toppen, og slutten en halv kilometer etter den, kan du se at høyden er nesten den samme.

Det vil si, ifølge vår logikk viser det seg at helningen her er nesten lik null, noe som tydeligvis ikke stemmer. Litt over en strekning på kilometer kan mye endre seg. Mindre områder må vurderes for mer adekvate og nøyaktig vurdering bratthet. Hvis du for eksempel måler høydeendringen når du beveger deg én meter, vil resultatet bli mye mer nøyaktig. Men selv denne nøyaktigheten er kanskje ikke nok for oss - tross alt, hvis det er en stolpe midt på veien, kan vi ganske enkelt passere den. Hvilken avstand skal vi velge da? Centimeter? Millimeter? Mindre er bedre!

I det virkelige livÅ måle avstander til nærmeste millimeter er mer enn nok. Men matematikere streber alltid etter perfeksjon. Derfor ble konseptet oppfunnet uendelig liten, det vil si at den absolutte verdien er mindre enn et hvilket som helst tall vi kan navngi. For eksempel sier du: en trilliondel! Hvor mye mindre? Og du deler dette tallet på - og det blir enda mindre. Og så videre. Hvis vi vil skrive at en mengde er uendelig, skriver vi slik: (vi leser «x har en tendens til null»). Det er veldig viktig å forstå at dette tallet ikke er null! Men veldig nærme det. Dette betyr at du kan dele på det.

Konseptet motsatt til infinitesimal er uendelig stort (). Du har sikkert allerede kommet over det da du jobbet med ulikheter: dette tallet er modulo større enn noe tall du kan tenke deg. Hvis du kommer opp med det størst mulige tallet, multipliserer du det med to og du får et enda større tall. Og fortsatt uendelig Dessuten hva som vil skje. Faktisk er det uendelig store og det uendelig små det motsatte av hverandre, det vil si at, og omvendt: at.

La oss nå gå tilbake til veien vår. Den ideelt beregnede helningen er helningen beregnet for et infinitesimalt segment av banen, det vil si:

Jeg legger merke til at med en uendelig forskyvning vil høydeendringen også være uendelig. Men la meg minne deg på at infinitesimal ikke betyr lik null. Hvis du deler infinitesimale tall med hverandre, kan du få ganske vanlig nummer, For eksempel, . Det vil si at en liten verdi kan være nøyaktig ganger større enn en annen.

Hva er alt dette til for? Veien, brattheten... Vi skal ikke på bilrally, men vi underviser i matematikk. Og i matematikk er alt nøyaktig det samme, bare kalt annerledes.

Konseptet avledet

Den deriverte av en funksjon er forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig inkrement av argumentet.

Inkrementelt i matematikk kaller de endring. I hvilken grad argumentet () endres når det beveger seg langs aksen kalles argumentøkning og er betegnet hvor mye funksjonen (høyden) har endret seg når man beveger seg en avstand fremover langs aksen funksjonsøkning og er utpekt.

Så den deriverte av en funksjon er forholdet til når. Vi betegner den deriverte med samme bokstav som funksjonen, bare med et primtall øverst til høyre: eller ganske enkelt. Så la oss skrive den deriverte formelen ved å bruke disse notasjonene:

Som i analogien med veien, her når funksjonen øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ.

Kan den deriverte være lik null? Sikkert. For eksempel, hvis vi kjører på en flat horisontal vei, er brattheten null. Og det er sant, høyden endres ikke i det hele tatt. Slik er det med den deriverte: den deriverte av en konstant funksjon (konstant) er lik null:

siden økningen av en slik funksjon er lik null for en hvilken som helst.

La oss huske eksempelet på en bakketopp. Det viste seg at det var mulig å arrangere endene av segmentet langs forskjellige sider fra toppen, slik at høyden i endene er den samme, det vil si at segmentet er parallelt med aksen:

Men store segmenter er et tegn på unøyaktig måling. Vi vil heve segmentet vårt opp parallelt med seg selv, så vil lengden reduseres.

Til slutt, når vi er uendelig nær toppen, vil lengden på segmentet bli uendelig liten. Men samtidig forble den parallelt med aksen, det vil si at høydeforskjellen i endene er lik null (den pleier ikke, men er lik). Så den deriverte

Dette kan forstås slik: når vi står helt øverst, endrer en liten forskyvning til venstre eller høyre høyden vår ubetydelig.

Det er også en rent algebraisk forklaring: til venstre for toppunktet øker funksjonen, og til høyre reduseres den. Som vi fant ut tidligere, når en funksjon øker, er den deriverte positiv, og når den avtar, er den negativ. Men den endrer seg jevnt, uten hopp (siden veien ikke endrer helningen kraftig noe sted). Derfor, mellom negativ og positive verdier det må definitivt være. Det vil være der funksjonen verken øker eller minker - ved toppunktet.

Det samme gjelder for trauet (området der funksjonen til venstre avtar og til høyre øker):

Litt mer om økninger.

Så vi endrer argumentet til størrelsesorden. Vi endrer fra hvilken verdi? Hva har det (argumentet) blitt til nå? Vi kan velge hvilket som helst punkt, og nå skal vi danse fra det.

Tenk på et punkt med en koordinat. Verdien av funksjonen i den er lik. Så gjør vi det samme trinnet: vi øker koordinaten med. Hva er argumentet nå? Meget lett: . Hva er verdien av funksjonen nå? Der argumentet går, gjør også funksjonen: . Hva med funksjonsøkning? Ikke noe nytt: Dette er fortsatt beløpet som funksjonen har endret seg med:

Øv på å finne trinn:

1. Finn økningen til funksjonen på et punkt når økningen av argumentet er lik.
2. Det samme gjelder funksjonen på et punkt.

Løsninger:

I forskjellige punkter med samme argument inkrement vil funksjonen inkrement være annerledes. Dette betyr at den deriverte på hvert punkt er forskjellig (vi diskuterte dette helt i begynnelsen - brattheten til veien er forskjellig på forskjellige punkter). Derfor, når vi skriver en derivert, må vi indikere på hvilket tidspunkt:

Power funksjon.

En potensfunksjon er en funksjon der argumentet til en viss grad er (logisk, ikke sant?).

Dessuten - i noen grad: .

Den enkleste saken- dette er når eksponenten:

La oss finne dens deriverte på et punkt. La oss huske definisjonen av et derivat:

Så argumentasjonen endres fra til. Hva er økningen av funksjonen?

Inkrement er dette. Men en funksjon til enhver tid er lik argumentet. Derfor:

Den deriverte er lik:

Den deriverte av er lik:

b) Vurder nå kvadratisk funksjon (): .

La oss nå huske det. Dette betyr at verdien av økningen kan neglisjeres, siden den er uendelig liten, og derfor ubetydelig på bakgrunn av det andre begrepet:

Så vi kom opp med en annen regel:

c) Vi fortsetter den logiske rekken: .

Dette uttrykket kan forenkles på forskjellige måter: Åpne den første parentesen ved å bruke formelen for forkortet multiplikasjon av kuben av summen, eller faktoriser hele uttrykket ved å bruke formelen for forskjellen av terninger. Prøv å gjøre det selv ved å bruke en av de foreslåtte metodene.

Så jeg fikk følgende:

Og igjen la oss huske det. Dette betyr at vi kan neglisjere alle termer som inneholder:

Vi får: .

d) Lignende regler kan oppnås for store makter:

e) Det viser seg at denne regelen kan generaliseres for en potensfunksjon med en vilkårlig eksponent, ikke engang et heltall:

(2)

Regelen kan formuleres med ordene: "graden fremføres som en koeffisient, og deretter reduseres med ."

Vi vil bevise denne regelen senere (nesten helt på slutten). La oss nå se på noen få eksempler. Finn den deriverte av funksjonene:

1. (på to måter: ved formel og ved å bruke definisjonen av derivert - ved å beregne økningen av funksjonen);

1. . Tro det eller ei, dette er en kraftfunksjon. Hvis du har spørsmål som "Hvordan er dette? Hvor er graden?", husk emnet ""!
   Ja, ja, roten er også en grad, bare brøk: .
   Dette betyr at kvadratroten vår bare er en potens med en eksponent:
   .
   Vi ser etter den deriverte ved å bruke den nylig lærte formelen:

   Hvis det på dette tidspunktet blir uklart igjen, gjenta emnet ""!!! (omtrent grad med negativ indikator)

2. . Nå eksponenten:

   Og nå gjennom definisjonen (har du glemt ennå?):
   ;
   .
   Nå, som vanlig, neglisjerer vi begrepet som inneholder:
   .

3. . Kombinasjon av tidligere saker: .

Trigonometriske funksjoner.

Her skal vi bruke ett faktum fra høyere matematikk:

Med uttrykk.

Du vil lære beviset i det første året på instituttet (og for å komme dit må du bestå Unified State Exam godt). Nå skal jeg bare vise det grafisk:

Vi ser at når funksjonen ikke eksisterer - kuttes punktet på grafen ut. Men jo nærmere verdien, jo nærmere er funksjonen. Dette er det som "måler".

I tillegg kan du sjekke denne regelen ved hjelp av en kalkulator. Ja, ja, ikke vær sjenert, ta en kalkulator, vi er ikke på Unified State Exam ennå.

Så, la oss prøve: ;

Ikke glem å bytte kalkulatoren til Radians-modus!

etc. Vi ser at jo mindre, jo nærmere verdi forhold til

a) Vurder funksjonen. Som vanlig, la oss finne økningen:

La oss gjøre forskjellen på sinus til et produkt. For å gjøre dette bruker vi formelen (husk emnet ""): .

Nå den deriverte:

La oss gjøre en erstatning: . Så for infinitesimal er det også infinitesimal: . Uttrykket for har formen:

Og nå husker vi det med uttrykket. Og også, hva om en uendelig mengde kan neglisjeres i summen (det vil si at).

Så vi får neste regel:den deriverte av sinus er lik cosinus:

Dette er grunnleggende ("tabellform") derivater. Her er de i en liste:

Senere vil vi legge til noen flere til dem, men disse er de viktigste, siden de brukes oftest.

Øve på:

1. Finn den deriverte av funksjonen i et punkt;
2. Finn den deriverte av funksjonen.

Løsninger:

1. Først, la oss finne den deriverte i generelt syn, og erstatte deretter verdien:
   ;
   .
2. Her har vi noe lignende strømfunksjon. La oss prøve å bringe henne til
   normal visning:
   .
   Flott, nå kan du bruke formelen:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Hva er dette????

Ok, du har rett, vi vet ennå ikke hvordan vi finner slike derivater. Her har vi en kombinasjon av flere typer funksjoner. For å jobbe med dem, må du lære noen flere regler:

Eksponent og naturlig logaritme.

Det er en funksjon i matematikk hvis deriverte for en hvilken som helst verdi er lik verdien av selve funksjonen på samme tid. Det kalles "eksponent", og er en eksponentiell funksjon

Grunnlaget for denne funksjonen er en konstant - den er uendelig desimal, det vil si et irrasjonelt tall (som f.eks.). Det kalles "Euler-nummeret", og det er derfor det er angitt med en bokstav.

Så, regelen:

Veldig lett å huske.

Vel, la oss ikke gå langt, la oss se på det med en gang invers funksjon. Hvilken funksjon er inversen til eksponentialfunksjonen? Logaritme:

I vårt tilfelle er basen tallet:

En slik logaritme (det vil si en logaritme med en base) kalles "naturlig", og vi bruker en spesiell notasjon for den: vi skriver i stedet.

Hva er det lik? Selvfølgelig, .

Den deriverte av den naturlige logaritmen er også veldig enkel:

Eksempler:

1. Finn den deriverte av funksjonen.
2. Hva er den deriverte av funksjonen?

Svar: Utstiller og naturlig logaritme- funksjoner er unikt enkle når det gjelder derivater. Eksponentielle og logaritmiske funksjoner med en hvilken som helst annen base vil ha en annen derivert, som vi vil analysere senere, etter la oss gå gjennom reglene differensiering.

Regler for differensiering

Regler for hva? En gang til ny termin, en gang til?!...

Differensiering er prosessen med å finne den deriverte.

Det er alt. Hva annet kan du kalle denne prosessen med ett ord? Ikke derivert... Matematikere kaller differensialet det samme inkrementet til en funksjon ved. Dette begrepet kommer fra det latinske differentia - forskjell. Her.

Når vi utleder alle disse reglene, vil vi bruke to funksjoner, for eksempel og. Vi trenger også formler for trinnene deres:

Det er 5 regler totalt.

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet.

Hvis - noen konstant antall(konstant), da.

Selvfølgelig fungerer denne regelen også for forskjellen: .

La oss bevise det. La det være, eller enklere.

Eksempler.

Finn de deriverte av funksjonene:

1. på et tidspunkt;
2. på et tidspunkt;
3. på et tidspunkt;
4. på punktet.

Løsninger:

1. (Den deriverte er den samme på alle punkter, siden dette lineær funksjon, husker du?);

Avledet av produktet

Alt er likt her: la oss introdusere en ny funksjon og finne dens økning:

Derivat:

Eksempler:

1. Finn de deriverte av funksjonene og;
2. Finn den deriverte av funksjonen i et punkt.

Løsninger:

Derivert av en eksponentiell funksjon

Nå er kunnskapen din nok til å lære hvordan du finner den deriverte av en hvilken som helst eksponentiell funksjon, og ikke bare eksponenter (har du glemt hva det er ennå?).

Så, hvor er et tall.

Vi kjenner allerede den deriverte av funksjonen, så la oss prøve å redusere funksjonen vår til en ny base:

Til dette vil vi bruke enkel regel: . Deretter:

Vel, det fungerte. Prøv nå å finne den deriverte, og ikke glem at denne funksjonen er kompleks.

Skjedd?

Her, sjekk deg selv:

Formelen viste seg å være veldig lik den deriverte av en eksponent: som den var, forblir den den samme, bare en faktor dukket opp, som bare er et tall, men ikke en variabel.

Eksempler:
Finn de deriverte av funksjonene:

Svar:

Dette er bare et tall som ikke kan beregnes uten en kalkulator, det vil si at det ikke kan skrives ned mer i enkel form. Derfor lar vi det stå i denne formen i svaret.

Derivert av en logaritmisk funksjon

Det er likt her: du kjenner allerede den deriverte av den naturlige logaritmen:

Derfor, for å finne en vilkårlig logaritme med en annen base, for eksempel:

Vi må redusere denne logaritmen til basen. Hvordan endrer du basen til en logaritme? Jeg håper du husker denne formelen:

Først nå vil vi skrive i stedet:

Nevneren er ganske enkelt en konstant (et konstant tall, uten en variabel). Deriverten oppnås veldig enkelt:

Derivater av eksponentiell og logaritmiske funksjoner vises nesten aldri i Unified State Examination, men det ville ikke skade å kjenne dem.

Derivat av en kompleks funksjon.

Hva er en "kompleks funksjon"? Nei, dette er ikke en logaritme, og ikke en arctangent. Disse funksjonene kan være vanskelige å forstå (selv om du synes logaritmen er vanskelig, les emnet "Logarithms" så går det bra), men fra et matematisk synspunkt betyr ikke ordet "kompleks" "vanskelig".

Se for deg et lite transportbånd: to personer sitter og gjør noen handlinger med noen gjenstander. For eksempel pakker den første en sjokoladeplate inn i en innpakning, og den andre binder den med et bånd. Resultatet er en sammensatt gjenstand: en sjokoladeplate pakket inn og bundet med et bånd. For å spise sjokolade, må du gjøre reversere handlinger i omvendt rekkefølge.

La oss lage en lignende matematisk rørledning: først vil vi finne cosinus til et tall, og deretter kvadrere det resulterende tallet. Så vi får et tall (sjokolade), jeg finner dens cosinus (omslag), og deretter firer du det jeg har (bind det med et bånd). Hva skjedde? Funksjon. Dette er et eksempel på en kompleks funksjon: når vi, for å finne verdien, utfører den første handlingen direkte med variabelen, og deretter en andre handling med det som ble resultatet av den første.

Vi kan enkelt gjøre de samme trinnene i omvendt rekkefølge: først kvadrerer du det, og så ser jeg etter cosinus til det resulterende tallet: . Det er lett å gjette at resultatet nesten alltid vil være annerledes. Viktig funksjon komplekse funksjoner: når rekkefølgen av handlinger endres, endres funksjonen.

Med andre ord, en kompleks funksjon er en funksjon hvis argument er en annen funksjon: .

For det første eksemplet, .

Andre eksempel: (samme). .

Handlingen vi gjør sist vil bli kalt "ekstern" funksjon, og handlingen utført først - tilsvarende "intern" funksjon(dette er uformelle navn, jeg bruker dem kun for å forklare stoffet på et enkelt språk).

Prøv selv å finne ut hvilken funksjon som er ekstern og hvilken intern:

Svar:Å skille indre og ytre funksjoner er veldig likt å endre variabler: for eksempel i en funksjon

1. Hvilken handling vil vi utføre først? La oss først beregne sinusen, og først deretter kube den. Dette betyr at det er en intern funksjon, men en ekstern.
   Og den opprinnelige funksjonen er deres sammensetning: .
2. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
3. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
4. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.
5. Internt: ; ekstern: .
   Eksamen:.

Vi endrer variabler og får en funksjon.

Vel, nå skal vi trekke ut sjokoladebaren vår og se etter derivatet. Prosedyren er alltid omvendt: først ser vi etter den deriverte av den ytre funksjonen, deretter multipliserer vi resultatet med den deriverte av den indre funksjonen. I forhold til det originale eksemplet ser det slik ut:

Et annet eksempel:

Så la oss til slutt formulere den offisielle regelen:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

Det virker enkelt, ikke sant?

La oss sjekke med eksempler:

Løsninger:

1) Internt: ;

Ekstern: ;

2) Internt: ;

(Bare ikke prøv å kutte det nå! Ingenting kommer ut under kosinus, husker du?)

3) Internt: ;

Ekstern: ;

Det er umiddelbart klart at dette er en kompleks funksjon på tre nivåer: tross alt er dette allerede en kompleks funksjon i seg selv, og vi trekker også ut roten fra den, det vil si at vi utfører den tredje handlingen (vi legger sjokoladen i en innpakning og med et bånd i kofferten). Men det er ingen grunn til å være redd: vi vil fortsatt "pakke ut" denne funksjonen i samme rekkefølge som vanlig: fra slutten.

Det vil si at vi først differensierer roten, deretter cosinus, og først deretter uttrykket i parentes. Og så multipliserer vi det hele.

I slike tilfeller er det praktisk å nummerere handlingene. Det vil si, la oss forestille oss hva vi vet. I hvilken rekkefølge vil vi utføre handlinger for å beregne verdien av dette uttrykket? La oss se på et eksempel:

Jo senere handlingen utføres, jo mer "ekstern" vil den tilsvarende funksjonen være. Rekkefølgen av handlinger er den samme som før:

Her er hekkingen generelt 4-nivå. La oss bestemme handlingsrekkefølgen.

1. Radikalt uttrykk. .

2. Rot. .

3. Sinus. .

4. Firkantet. .

5. Sette det hele sammen:

DERIVAT. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

Derivert av en funksjon- forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet for en uendelig økning av argumentet:

Grunnleggende derivater:

Regler for differensiering:

Konstanten tas ut av det deriverte tegnet:

Avledet av summen:

Avledet av produktet:

Derivat av kvotienten:

Derivert av en kompleks funksjon:

Algoritme for å finne den deriverte av en kompleks funksjon:

1. Vi definerer den "interne" funksjonen og finner dens deriverte.
2. Vi definerer den "eksterne" funksjonen og finner dens deriverte.
3. Vi multipliserer resultatene av det første og andre punktet.