\(\црн триаголник\) Аголот помеѓу права и рамнина е аголот помеѓу правата и нејзината проекција на оваа рамнина (т.е. тоа е аголот \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).
\(\црн триаголник\) За да го пронајдете аголот помеѓу правата \(a\) и рамнината \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)), потребно е:
Чекор 1: од некоја точка \(A\in a\) нацртајте нормална \(AO\) на рамнината \(\phi\) (\(O\) е основата на нормалната);
Чекор 2: тогаш \(BO\) е проекцијата на наклонетото \(AB\) на рамнината \(\phi\) ;
Чекор 3: Тогаш аголот помеѓу права линија \(a\) и рамнината \(\phi\) е еднаков на \(\агол ABO\) .
Задача 1 #2850
Ниво на задача: Потешко од обединетиот државен испит
Правата линија \(l\) ја сече рамнината \(\алфа\) . На правата линија \(l\) е означен отсечката \(AB=25\) и се знае дека проекцијата на оваа отсечка на рамнината \(\алфа\) е еднаква на \(24\) . Најдете го синусот на аголот помеѓу правата линија \(l\) и рамнината \(\алфа\)
Ајде да ја погледнеме сликата:
Нека \(A_1B_1=24\) е проекцијата на \(AB\) на рамнината \(\alpha\), што значи \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Бидејќи две прави нормални на рамнината лежат во иста рамнина, тогаш \(A_1ABB_1\) - правоаголен трапез. Ајде да направиме \(AH\perp BB_1\) . Потоа \(AH=A_1B_1=24\) . Затоа, според Питагоровата теорема \ Ние исто така забележуваме дека аголот помеѓу правата и рамнината е аголот помеѓу правата и нејзината проекција на рамнината, затоа, саканиот агол е аголот помеѓу \(AB\) и \(A_1B_1 \) . Бидејќи \(AH\паралелно A_1B_1\) , тогаш аголот помеѓу \(AB\) и \(A_1B_1\) е еднаков на аголот помеѓу \(AB\) и \(AH\) .
Потоа \[\sin\агол BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]
Одговор: 0,28
Задача 2 #2851
Ниво на задача: Потешко од обединетиот државен испит
\(ABC\) - правилен триаголниксо страна \(3\) , \(O\) е точка што лежи надвор од рамнината на триаголникот, и \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Најдете го аголот формиран од правите \(OA, OB, OC\) со рамнината на триаголникот. Дајте го вашиот одговор во степени.
Дозволете ни да нацртаме нормална \(OH\) на рамнината на триаголникот.
Ајде да размислиме \(\триаголник OAH, \триаголник OBH, \триаголник OCH\). Тие се правоаголни и еднакви по ногата и хипотенузата. Затоа, \(AH=BH=CH\) . Ова значи дека \(H\) е точка која се наоѓа на исто растојание од темињата на триаголникот \(ABC\) . Следствено, \(H\) е центарот на кругот опкружен околу него. Бидејќи \(\триаголникот ABC\) е точен, тогаш \(H\) е точката на пресек на медијаните (тие се и висини и симетрали).
Бидејќи аголот помеѓу правата и рамнината е аголот помеѓу правата и нејзината проекција на оваа рамнина, а \(AH\) е проекцијата на \(AO\) на рамнината на триаголникот, тогаш аголот помеѓу \( AO\) и рамнината на триаголникот е еднаква на \( \агол OAH\) .
Нека \(AA_1\) е медијаната во \(\триаголникот ABC\) , затоа, \
Бидејќи медијаните се поделени со пресечната точка во односот \(2:1\) , сметајќи од темето, потоа \ Потоа од правоаголниот \(\триаголник OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]
Забележете дека од еднаквоста на триаголниците \(OAH, OBH, OCH\) следува дека \(\агол OAH=\агол OBH=\агол OCH=60^\circ\).
Одговор: 60
Задача 3 #2852
Ниво на задача: Потешко од обединетиот државен испит
Правата линија \(l\) е нормална на рамнината \(\pi\) . Правата \(p\) не лежи во рамнината \(\pi\) и не е паралелна со неа, ниту е паралелна со правата \(l\). Најдете го збирот на аглите помеѓу правите \(p\) и \(l\) и помеѓу правата \(p\) и рамнината \(\pi\) . Дајте го вашиот одговор во степени.
Следи од условот правата линија \(p\) да ја пресекува рамнината \(\pi\) . Нека \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .
Тогаш \(\агол POL\) е аголот помеѓу правите \(p\) и \(l\) .
Бидејќи аголот помеѓу права и рамнина е аголот помеѓу правата и нејзината проекција на оваа рамнина, тогаш \(\агол OPL\) е аголот помеѓу \(p\) и \(\pi\) . Забележете дека \(\триаголникот OPL\) е правоаголен со \(\агол L=90^\circ\) . Бидејќи збирот на остри агли правоаголен триаголнике еднакво на \(90^\circ\) , тогаш \(\агол POL+\агол OPL=90^\circ\).
Коментар.
Ако правата \(p\) не ја пресекува правата \(l\), тогаш цртаме права \(p"\паралелно p\) што се сече \(l\). Потоа аголот помеѓу правата \(p\ ) и \(l\ ) ќе бидат еднакви на аголот помеѓу \(p"\) и \(l\) . Слично на тоа, аголот помеѓу \(p\) и \(\pi\) ќе биде еднаков на аголот помеѓу \(p"\) и \(\pi\). А за правата \(p"\) претходната решението е веќе точно.
Одговор: 90
Задача 4 #2905
Ниво на задача: Потешко од обединетиот државен испит
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – кубни. Точката \(N\) е средната точка на работ \(BB_1\) , а точката \(M\) е средната точка на отсечката \(BD\) . Најдете \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , каде што \(\alpha\) е аголот помеѓу правата што содржи \(MN\) и рамнината \((A_1B_1C_1D_1)\) . Дајте го вашиот одговор во степени.
\(NM\) - средна линијаво триаголникот \(DBB_1\) , тогаш \(NM \паралелно B_1D\) и \(\алфа\) е еднакво на аголот помеѓу \(B_1D\) и рамнината \((A_1B_1C_1D_1)\) .
Бидејќи \(DD_1\) е нормално на рамнината \(A_1B_1C_1D_1\) , тогаш \(B_1D_1\) е проекцијата на \(B_1D\) на рамнината \((A_1B_1C_1D_1)\) и аголот помеѓу \(B_1D\ ) и рамнината \( (A_1B_1C_1D_1)\) е аголот помеѓу \(B_1D\) и \(B_1D_1\) .
Нека работ на коцката е \(x\), потоа според Питагоровата теорема \ Во триаголникот \(B_1D_1D\), тангентата на аголот помеѓу \(B_1D\) и \(B_1D_1\) е еднаква на \(\mathrm(tg)\,\агол DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\алфа\), каде \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).
Одговор: 0,5
Задача 5 #2906
Ниво на задача: Потешко од обединетиот државен испит
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – кубни. Точката \(N\) е средината на работ \(BB_1\) , а точката \(M\) го дели сегментот \(BD\) во однос \(1:2\) , сметајќи од темето \(Б\) . Најдете \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , каде што \(\alpha\) е аголот помеѓу правата што содржи \(MN\) и рамнината \((ABC)\) . Дајте го вашиот одговор во степени.
Бидејќи \(NB\) е дел од \(BB_1\) , и \(BB_1\perp (ABC)\) , тогаш е и \(NB\perp (ABC)\) . Според тоа, \(BM\) е проекцијата на \(NM\) на рамнината \((ABC)\) . Ова значи дека аголот \(\алфа\) е еднаков на \(\агол NMB\) .
Нека работ на коцката е еднаков на \(x\) . Потоа \(NB=0,5x\) . Според Питагоровата теорема \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Бидејќи по услов \(BM:MD=1:2\) , тогаш \(BM=\frac13BD\) , значи, \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .
Потоа од правоаголниот \(\триаголник NBM\) : \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\алфа=8.\]
Одговор: 8
Задача 6 #2907
Ниво на задача: Потешко од обединетиот државен испит
Што е \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\) еднакво ако \(\алфа\) е аголот на наклонетост на дијагоналата на коцката кон една од нејзините лица?
Посакуваниот агол ќе се совпадне со аголот помеѓу дијагоналата на коцката и дијагоналата на кое било нејзино лице, бидејќи В во овој случајдијагоналата на коцката ќе биде наклонета, дијагоналата на лицето ќе биде проекцијата на ова наклонето лице на рамнината. Така, саканиот агол ќе биде еднаков, на пример, со аголот \(C_1AC\) . Ако работ на коцката го означиме како \(x\), тогаш \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), тогаш квадратот на котангенсот на саканиот агол: \[\mathrm(ctg^2)\,\алфа =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]
Одговор: 2
Задача 7 #2849
Ниво на задача: Потешко од обединетиот државен испит
\(\агол BAH=\агол CAH=30^\circ\) .
Според Питагоровата теорема \
Оттука, \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\]Бидејќи \(OH\perp (ABC)\), тогаш \(OH\) е нормално на која било права линија од оваа рамнина, што значи дека \(\триаголникот OAH\) е правоаголен. Потоа \[\cos \агол OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0,4.\]
Одговор: 0,4
Ќе биде корисно за средношколците кои се подготвуваат за обединет државен испит по математика да научат како да се справат со задачите од делот „Геометрија во просторот“, во кој треба да го најдат аголот помеѓу права линија и рамнина. Тоа го покажува минатото искуство слични задачипредизвикуваат одредени потешкотии за матурантите. Во исто време, знајте основна теоријаи да разберат како да го најдат аголот помеѓу права линија и рамнина, треба да разберат средношколците со кое било ниво на обука. Само во овој случај можат да сметаат на добивање пристојни оценки.
Главните нијанси
Како и другите стереометриски Задачи за унифициран државен испит, задачите во кои треба да најдете агли и растојанија помеѓу прави и рамнини може да се решат со два методи: геометриски и алгебарски. Студентите можат да ја изберат опцијата што е најзгодна за нив. Според геометриски метод, мора да се најде на права линија соодветна точка, спуштете нормална од него на рамнината и конструирајте проекција. По ова, матурантот ќе треба само да го примени основното теоретско знаењеи решете ја планиметриската задача за пресметување на аголот. Алгебарски методвклучува воведување на координатен систем за наоѓање на саканата количина. Потребно е да се одредат координатите на две точки на права линија, правилно да се состави равенката на рамнината и да се реши.
Ефективна подготовка со Школково
Да се направат часовите лесни и рамномерни тешки задачине предизвика никакви тешкотии, изберете ја нашата едукативен портал. Еве го целиот потребен материјал за успешно завршувањетест за сертификација. Вистинскиот основни информацииќе најдете во делот „Теоретски информации“. И за да вежбате да ги исполнувате задачите, само одете во „Каталогот“ на нашиот математички портал. Овој дел содржи голем избор на вежби различни степенитешкотии. Новите задачи се појавуваат редовно во Каталогот.
Извршете задачи за наоѓање на аголот помеѓу права линија и рамнина или на, Руски ученициможе онлајн, додека сте во Москва или во друг град. Доколку ученикот сака, секоја вежба може да се зачува во „Омилени“. Ова ќе ви овозможи брзо да го најдете доколку е потребно и да разговарате за напредокот на неговото решение со наставникот.
Статијата започнува со дефиниција на аголот помеѓу права линија и рамнина. Оваа статија ќе ви покаже како да го пронајдете аголот помеѓу права линија и рамнина користејќи го методот на координати. Решенијата на примерите и проблемите ќе бидат детално разгледани.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Прво, неопходно е да се повтори концептот на права линија во просторот и концептот на рамнина. За да се одреди аголот помеѓу права линија и рамнина, неколку помошни дефиниции. Ајде да ги разгледаме овие дефиниции во детали.
Дефиниција 1
Права линија и рамнина се сечатво случај кога имаат еден заедничка точка, односно тоа е пресечна точка на права линија и рамнина.
Правата линија што ја пресекува рамнината може да биде нормална на рамнината.
Дефиниција 2
Правата линија е нормална на рамнинатакога е нормална на која било линија која се наоѓа во оваа рамнина.
Дефиниција 3
Проекција на точката М на рамнинаγ е самата точка ако лежи во зад себе даден авион, или е точката на пресек на рамнината со правата, нормално на рамнинатаγ поминува низ точката М, под услов да не припаѓа на рамнината γ.
Дефиниција 4
Проекција на линијата a на рамнинаγ е збир на проекции на сите точки на дадена права на рамнината.
Од ова добиваме дека проекцијата на права линија нормална на рамнината γ има пресечна точка. Откриваме дека проекцијата на правата a е права која припаѓа на рамнината γ и минува низ пресечната точка на правата a и рамнината. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.
На овој моментимаме се потребни информациии податоци за формулирање на дефиницијата на аголот помеѓу права линија и рамнина
Дефиниција 5
Аголот помеѓу права линија и рамнинасе нарекува аголот помеѓу оваа права линија и нејзината проекција на оваа рамнина, а правата не е нормална на неа.
Дефиницијата на аголот дадена погоре помага да се дојде до заклучок дека аголот помеѓу права и рамнина е аголот помеѓу две линии што се пресекуваат, односно дадена линија заедно со нејзината проекција на рамнината. Ова значи дека аголот меѓу нив секогаш ќе биде акутен. Ајде да ја погледнеме сликата подолу.
Аголот лоциран помеѓу права линија и рамнина се смета за правилен, односно еднаков на 90 степени, но аголот што се наоѓа помеѓу паралелните прави линии не е дефиниран. Има случаи кога неговата вредност се зема еднаква на нула.
Проблемите каде што е неопходно да се најде аголот помеѓу права линија и рамнина имаат многу варијации во решението. Текот на самото решение зависи од достапните податоци за состојбата. Честите придружници на решението се знаци на сличност или еднаквост на фигурите, косинусите, синусите, тангентите на аглите. Пронаоѓањето на аголот е можно со помош на методот на координати. Ајде да го разгледаме подетално.
Доколку во тродимензионален просторвоведена правоаголен системкоординати O x y z, тогаш во неа е наведена права a, која ја пресекува рамнината γ во точката M и не е нормална на рамнината. Потребно е да се најде аголот α лоциран помеѓу дадена права линија и рамнината.
Прво треба да ја примените дефиницијата на аголот помеѓу права линија и рамнина користејќи го методот на координати. Потоа го добиваме следново.
Во координатниот систем O x y z, наведена е права линија a, која одговара на равенките на права линија во просторот и насочувачкиот вектор на права линија во просторот; за рамнината γ одговара равенката на рамнината и нормалната вектор на авионот. Тогаш a → = (a x , a y , a z) е векторот на насоката на дадената права a, а n → (n x , n y , n z) е нормалниот вектор за рамнината γ. Ако замислиме дека ги имаме координатите на насочувачкиот век на правата а и нормалниот вектор на рамнината γ, тогаш нивните равенки се познати, односно се специфицирани по услов, тогаш е можно да се одредат векторите a → и n → врз основа на равенката.
За да се пресмета аголот, неопходно е да се трансформира формулата за да се добие вредноста на овој агол користејќи ги постојните координати на векторот за насочување на права линија и нормалниот вектор.
Потребно е да се исцртаат векторите a → и n →, почнувајќи од точката на пресек на правата a со рамнината γ. Постојат 4 опции за локацијата на овие вектори во однос на дадените линии и рамнини. Погледнете ја сликата подолу, која ги прикажува сите 4 варијации.
Од тука добиваме дека аголот помеѓу векторите a → и n → е означен како → , n → ^ и е остар, тогаш саканиот агол α што се наоѓа помеѓу правата линија и рамнината се надополнува, односно добиваме израз од формата a → , n → ^ = 90 ° - α. Кога, по услов, a →, n → ^ > 90 °, тогаш имаме →, n → ^ = 90 ° + α.
Од тука имаме дека косинусите еднакви аглисе еднакви, тогаш последните еднаквости се запишуваат во форма на систем
cos a → , n → ^ = cos 90 ° - α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = cos 90 ° + α , a → , n → ^ >90°
Мора да користите формули за намалување за да ги поедноставите изразите. Потоа ги добиваме еднаквостите тип cos a → , n → ^ = грев α , a → , n → ^< 90 ° cos a → , n → ^ = - s i n α , a → , n → ^ >90°
Откако ги изврши трансформациите, системот се стекнува тип гревα = cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 90 ° sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^ >90 ° ⇔ sin α = cos a → , n → ^ , a → , n → ^ > 0 sin α = - cos a → , n → ^ , a → , n → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n → ^
Од тука добиваме дека синусот на аголот помеѓу правата линија и рамнината еднаков на модулкосинус на аголот помеѓу векторот на насоката на правата линија и нормалниот вектор на дадената рамнина.
Делот за наоѓање на аголот формиран од два вектори откри дека овој агол ја зема вредноста производ со точкивектори и производот од овие должини. Процесот на пресметување на синусот на аголот добиен со пресек на права линија и рамнина се изведува според формулата
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Тоа значи дека формулата за пресметување на аголот помеѓу права линија и рамнина со координатите на насочувачкиот вектор на правата линија и нормалниот вектор на рамнината по трансформацијата е од формата
α = a r c sin a → , n → ^ a → n → = a r c sin a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2
Дозволено е наоѓање на косинус со познат синус со примена на основната тригонометриски идентитет. Се формира пресекот на права линија и рамнина остар агол. Ова сугерира дека неговата вредност ќе биде позитивен број, а неговата пресметка е направена од cos формулиα = 1 - грев α.
Ајде да решиме неколку слични примериза да се обезбеди материјалот.
Пример 1
Најдете го аголот, синусот, косинусот на аголот формиран од права линија x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6 и рамнината 2 x + z - 1 = 0.
Решение
За да се добијат координатите на векторот на насоката, потребно е да се разгледаат канонски равенкидиректно во вселената. Тогаш добиваме дека a → = (3, - 2, 6) е векторот на насоката на правата линија x 3 = y + 1 - 2 = z - 11 6.
За да се најдат координатите на нормалниот вектор, потребно е да се разгледаат општа равенкаавиони, бидејќи нивното присуство се определува со коефициентите достапни пред променливи на равенката. Тогаш откриваме дека за рамнината 2 x + z - 1 = 0 нормалниот вектор има форма n → = (2, 0, 1).
Неопходно е да се продолжи со пресметување на синусот на аголот помеѓу права линија и рамнината. За да го направите ова, потребно е да се заменат координатите на векторите a → и b → во дадена формула. Добиваме израз на формата
sin α = cos a → , n → ^ = a → , n → ^ a → n → = a x n x + a y n y + a z n z a x 2 + a y 2 + a z 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 = = 3 2 + ( ) 0 + 6 1 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 2 2 + 0 2 + 1 2 = 12 7 5
Од тука ја наоѓаме вредноста на косинусот и вредноста на самиот агол. Добиваме:
cos α = 1 - грев α = 1 - 12 7 5 2 = 101 7 5
Одговор: sin α = 12 7 5, cos α = 101 7 5, α = a r c cos 101 7 5 = a r c sin 12 7 5.
Пример 2
Постои пирамида изградена со помош на вредностите на векторите A B → = 1, 0, 2, A C → = (- 1, 3, 0), A D → = 4, 1, 1. Најдете го аголот помеѓу правата A D и рамнината A B C.
Решение
За да се пресмета саканиот агол, потребно е да се имаат координатите на векторот за насочување на права линија и нормалниот вектор на рамнината. за права линија A D векторот на насока има координати A D → = 4, 1, 1.
Нормален вектор n → , рамнина A B C е нормално на векторот A B → и A C → . Ова имплицира дека може да се разгледа нормалниот вектор на рамнината A B C векторски производвектори A B → и A C → . Ние го пресметуваме ова користејќи ја формулата и добиваме:
n → = A B → × A C → = i → j → k → 1 0 2 - 1 3 0 = - 6 · i → - 2 · j → + 3 · k → ⇔ n → = (- 6 , - 2 , 3 )
Потребно е да се заменат координатите на векторите за да се пресмета саканиот агол, формирана од раскрсницатадиректно и рамно. добиваме израз на формата:
α = a r c sin A D → , n → ^ A D → · n → = a r c sin 4 · - 6 + 1 · - 2 + 1 · 3 4 2 + 1 2 + 1 2 · - 6 2 + - 2 2 + 3 2 = a r c грев 23 21 2
Одговор: a r c грев 23 21 2 .
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Аголот a помеѓу права линија l и рамнината 6 може да се определи преку дополнителниот агол p помеѓу дадена права линија l и нормална n на дадена рамнина нацртана од која било точка на правата линија (сл. 144). Аголот P го надополнува саканиот агол a до 90°. Откако ја утврдивме вистинската вредност на аголот P со ротирање на рамнината на аголот формиран од правата линија l и нормалната и околу правата линија, останува да се надополни со прав агол. Овој дополнителен агол ќе ја даде вистинската вредност на аголот a помеѓу права линија l и рамнина 0.
27. Одредување на аголот помеѓу две рамнини.
Вистинска вредност диедрален агол- помеѓу две рамнини Q и l. - може да се определи или со замена на проекциската рамнина со цел да се трансформира работ на диедрален агол во испакната линија (проблеми 1 и 2), или ако работ не е наведен, како аголот помеѓу две нормални n1 и n2 нацртан на овие рамнини од произволна точка M од просторот B рамнина на овие нормални во точката M добиваме два рамни агли a и P, кои се соодветно еднакви на линеарните агли од два соседните агли(диедрални) формирани од рамнините q и l. Откако ја одредивме вистинската вредност на аглите помеѓу нормалните n1 и n2 со ротирање околу права линија на нивото, со тоа одредуваме линеарен аголдиедрален агол формиран од рамнините q и l.
Заоблени линии. Посебни точки на криви линии.
На комплексен цртежна кривата, нејзините посебни точки, кои вклучуваат точки на флексија, враќање, прекин и нодални точки, се исто така посебни точки на нејзината проекција. Ова се објаснува со еднина точкикривите се поврзани со тангентите на овие точки.
Ако рамнината на кривата зазема испакната позиција (Сл. А),тогаш една проекција на оваа крива има форма на права линија.
За просторна крива, сите нејзини проекции се криви линии (Сл. б).
За да се одреди од цртежот која крива е дадена (рамнина или просторна), потребно е да се открие дали сите точки на кривата припаѓаат на иста рамнина. Наведено на сл. бкривата е просторна, бидејќи точката Дкривата не припаѓа на рамнината дефинирана со три други точки А, БИ Еоваа крива.
Круг - рамна крива од втор ред, чија ортогонална проекција може да биде круг и елипса
Цилиндрична спирална линија (спирала) е просторна крива што ја претставува траекторијата на точка која врши спирално движење. 
29.Рамни и просторни криви линии.
Види прашање 28
30. Комплексно цртање на површината. Основни одредби.
Површината е збир на последователни позиции на линии кои се движат во просторот. Оваа линија може да биде права или крива и се нарекува генератриксповршини. Ако генератриксот е крива, може да има константа или променлив приказ. Генератријата се движи заедно водичи,што претставува линии со различна насока од генераторите. Водичките линии го поставуваат законот за движење на генераторите. При поместување на генератриксот по водилките, a рамкаповршина (сл. 84), која е збир од неколку последователни позиции на генератриците и водилките. Испитувајќи ја рамката, може да се убеди дека генераторите ли водичи Т може да се замени, но површината останува иста.
Секоја површина може да се добие на различни начини.
Во зависност од обликот на генератриксот, сите површини може да се поделат на пресуди,кои имаат генеративна права линија и неуправуван,кои имаат формирана крива линија.
Површините што може да се развијат ги вклучуваат површините на сите полиедри, цилиндрични, конусни и торзо површини. Сите други површини не се развиваат. Површините кои не се управувани може да имаат генератрикс со постојан облик (површини на вртење и цевчести површини) и генератрица со променлива форма (површини на канали и рамки).
Површината во сложениот цртеж е специфицирана со проекции на геометрискиот дел од нејзината детерминанта, што укажува на методот на конструирање на нејзините генератори. Во цртежот на површина, за која било точка во просторот недвосмислено се решава прашањето дали припаѓа на дадена површина. Графичкото специфицирање на елементите на површинската одредница обезбедува реверзибилност на цртежот, но не го прави визуелен. За јасност, тие прибегнуваат кон конструирање на проекции на прилично густа рамка на генератрики и кон конструирање на контури на површината (сл. 86). При проектирање на површината Q на проекциската рамнина, проектираните зраци ја допираат оваа површина во точките што формираат одредена линија на неа л, кој се нарекува контуралинија. Проекцијата на контурната линија се нарекува есејповршини. Во сложениот цртеж, секоја површина има: П 1 - хоризонтален преглед, на P 2 - фронтален преглед, на P 3 - профилен преглед на површината. Скицата вклучува, покрај проекции на контурната линија, и проекции на линиите за сечење.
Концептот на проекција на фигура на рамнина
За да го воведете концептот на агол помеѓу права и рамнина, прво треба да разберете таков концепт како проекција на произволна фигура на рамнина.
Дефиниција 1
Дозволете ни да ни се даде произволна точка $A$. Точката $A_1$ се нарекува проекција на точката $A$ на рамнината $\alpha $ ако е основата на нормалната нацртана од точката $A$ до рамнината $\alpha $ (сл. 1).
Слика 1. Проекција на точка на рамнина
Дефиниција 2
Дозволете ни да ни се даде произволна бројка $F$. Фигурата $F_1$ се нарекува проекција на фигурата $F$ на рамнината $\alpha $, составена од проекциите на сите точки на сликата $F$ на рамнината $\alpha $ (сл. 2).
Слика 2. Проекција на фигура на рамнина
Теорема 1
Проекција што не е нормална на рамнината на права линија е права линија.
Доказ.
Дозволете ни да ни се даде рамнина $\alpha $ и права линија $d$ што ја пресекува, не нормална на неа. Дозволете ни да избереме точка $M$ на правата $d$ и да ја нацртаме нејзината проекција $H$ на рамнината $\alpha $. Преку права линија $(MH)$ ја цртаме рамнината $\beta $. Очигледно, оваа рамнина ќе биде нормална на $\alpha $ рамнината. Нека се сечат по права линија $m$. Ајде да размислиме произволна точка$M_1$ од правата $d$ и повлечете низ неа линијата $(M_1H_1$) паралелна со правата $(MH)$ (сл. 3).
Слика 3.
Бидејќи рамнината $\beta $ е нормална на рамнината $\alpha $, тогаш $M_1H_1$ е нормална на правата линија $m$, односно точката $H_1$ е проекцијата на точката $M_1$ на авион $\алфа $. Поради произволноста на изборот на точката $M_1$, сите точки од линијата $d$ се проектирани на линијата $m$.
Расудување на сличен начин. ВО обратен редослед, ќе добиеме дека секоја точка на правата $m$ е проекција на одредена точка на правата $d$.
Ова значи дека линијата $d$ се проектира на линијата $m$.
Теоремата е докажана.
Концептот на аголот помеѓу права линија и рамнина
Дефиниција 3
Аголот помеѓу права линија што ја пресекува рамнината и нејзината проекција на оваа рамнина се нарекува агол помеѓу права линија и рамнината (сл. 4).
Слика 4. Агол помеѓу права линија и рамнина
Ајде да направиме неколку белешки овде.
Забелешка 1
Ако правата е нормална на рамнината. Тогаш аголот помеѓу права линија и рамнината е $90^\circ$.
Забелешка 2
Ако правата е паралелна или лежи во рамнина. Тогаш аголот помеѓу права линија и рамнината е $0^\circ$.
Примерок проблеми
Пример 1
Да ни биде даден паралелограм $ABCD$ и точка $M$ што не лежи во рамнината на паралелограмот. Докажете дека триаголниците $AMB$ и $MBC$ се правоаголни ако точката $B$ е проекцијата на точката $M$ на паралелограмската рамнина.
Доказ.
Дозволете ни да ја прикажеме проблемската состојба на сликата (сл. 5).
Слика 5.
Бидејќи точката $B$ е проекција на точката $M$ на рамнината $(ABC)$, тогаш правата линија $(MB)$ е нормална на рамнината $(ABC)$. Со Забелешка 1, откриваме дека аголот помеѓу права линија $(MB)$ и рамнината $(ABC)$ е еднаков на $90^\circ$. Оттука
\[\агол MBC=MBA=(90)^0\]
Ова значи дека триаголниците $AMB$ и $MBC$ се правоаголни триаголници.
Пример 2
Даден е авион $\alpha $. Отсечка е нацртана под агол $\varphi $ на оваа рамнина, чиј почеток лежи во оваа рамнина. Проекцијата на овој сегмент е половина од големината на самиот сегмент. Најдете ја вредноста на $\varphi$.
Решение.
Размислете за слика 6.
Слика 6.
По услов имаме
Бидејќи триаголникот $BCD$ е правоаголен, тогаш, според дефиницијата за косинус
\ \[\varphi =arccos\frac(1)(2)=(60)^0\]