Ова значи наоѓање на аголот помеѓу оваа линија и нејзината проекција на дадена рамнина.
Просторен модел кој ја илустрира задачата е претставен на сликата.
План за решавање на проблемот:
1. Од произволна точка А∈аспуштете ја нормалната на рамнината α
;
2. Определи ја точката на средба на оваа нормална со рамнината α
. Точка A α - правописна проекција Адо авионот α
;
3. Најдете ја точката на пресек на правата асо авион α
. Точка a α- права патека ана површината α
;
4. Ние спроведуваме ( A α a α) - проекција на права линија адо авионот α
;
5. Определи ја вистинската вредност ∠ Aa α A α, т.е. ∠ φ
.
Решението на проблемот најдете го аголот помеѓу права и рамнинаможе многу да се поедностави ако не го дефинираме ∠ φ помеѓу права линија и рамнина, и комплементарно на 90° ∠ γ . Во овој случај, нема потреба да се одредува проекцијата на точката Аи праволиниски проекции адо авионот α . Знаејќи ја големината γ , пресметано со формулата:
$ φ = 90° - γ $
аи авион α , дефинирани со паралелни линии мИ n.
а α
Ротирајќи околу хоризонталата дадени по поени 5 и 6 ја одредуваме вистинската големина ∠ γ
. Знаејќи ја големината γ
, пресметано со формулата:
$ φ = 90° - γ $
Одредување на аголот помеѓу права линија аи авион α , дадена со триаголник BCD.
Од произволна точка на линија аспуштете ја нормалната на рамнината α
Со ротирање околу хоризонталната линија наведена во точките 3 и 4, ја одредуваме природната големина ∠ γ
. Знаејќи ја големината γ
, пресметуваме користејќи ја формулата.
Нека се дадени правоаголен координатен систем и права линија 
. Нека 
И 
- две различни рамнини кои се сечат во права линија 
и соодветно дадени со равенки. Овие две равенки заеднички ја дефинираат правата линија 
ако и само ако не се паралелни и не се совпаѓаат едни со други, т.е. нормални вектори 
И 
овие рамнини не се колинеарни.
Дефиниција.Ако коефициентите на равенките
не се пропорционални, тогаш се нарекуваат овие равенки општи равенкиправа линија, дефинирана како линија на пресек на рамнини.
Дефиниција.Се нарекува секој ненулта вектор паралелен на права водич вектороваа права линија.
Да ја изведеме равенката на права линија 
поминувајќи низ дадена точка 
простор и имајќи даден вектор на насока 
.
Нека поентата 
- произволна точка на права линија 
. Оваа точка лежи на права ако и само ако векторот 
, имајќи координати 
, колинеарна со векторот на насоката 
директно. Според (2.28), условот за колинеарност на вектори 
И 
изгледа како
.
(3.18)
Се повикуваат равенките (3.18). канонски равенкиправа линија што минува низ точка 
и има вектор на насока 
.
Ако директно 
се дава со општи равенки (3.17), потоа векторот на насоката 
оваа линија е ортогонална на нормалните вектори 
И 
рамнини одредени со равенки. Вектор 
според својството на векторски производ, тој е ортогонален на секој од векторите 
И 
. Според дефиницијата, како вектор на насока 
директно 
можете да земете вектор 
, т.е. 
.
Да се најде точка 
разгледајте го системот на равенки 
. Бидејќи рамнините дефинирани со равенките не се паралелни и не се совпаѓаат, тогаш барем една од равенките не важи 
. Ова води до фактот дека барем една од детерминантите 
,
,
различен од нула. За дефинитивно, ќе го претпоставиме тоа 
. Потоа, земајќи произволна вредност
, добиваме систем од равенки за непознатите 
И 
:
.
Според теоремата на Крамер, овој систем има единствено решение дефинирано со формулите
,
.
(3.19)
Ако земете 
, тогаш правата линија дадена со равенките (3.17) поминува низ точката 
.
Така, за случајот кога 
, канонските равенки на правата (3.17) имаат форма
.
Канонските равенки на права линија (3.17) се напишани слично за случајот кога детерминантата е ненула 
или 
.
Ако права минува низ две различни точки 
И 
, тогаш неговите канонски равенки имаат форма
.
(3.20)
Ова произлегува од фактот дека правата линија минува низ точката 
и има вектор на насока.
Да ги разгледаме канонските равенки (3.18) на права линија. Да ја земеме секоја од релациите како параметар 
, т.е. 
. Еден од именителот на овие дропки не е нула, а соодветниот броител може да земе каква било вредност, па параметарот 
може да преземе какви било вистински вредности. Имајќи предвид дека секој од соодносите е еднаков 
, добиваме параметарски равенкидиректно:
,
,
.
(3.21)
Пушти го авионот 
е дадена со општа равенка, а права линија 
- параметарски равенки 
,
,
. Точка 
пресек на права линија 
и авиони 
мора истовремено да припаѓа на рамнина и линија. Ова е можно само ако параметарот 
ја задоволува равенката, т.е. 
. Така, точката на пресек на права линија и рамнина има координати
,
,
.
Пример 32.
Напиши параметарски равенки за права што минува низ точките 
И 
.
Решение.За насочувачкиот вектор на правата линија го земаме векторот 
. Права линија поминува низ точка 
, затоа, според формулата (3.21), бараните равенки на права линија ја имаат формата 
,
,
.
Пример 33.
Темиња на триаголникот 
имаат координати 
,
И 
соодветно. Состави параметарски равенки за медијаната извлечена од темето 
.
Решение.Нека 
- средината на страната 
, Потоа 
,
,
. Како водечки вектор на медијаната, го земаме векторот 
. Тогаш параметарските равенки на медијаната имаат форма 
,
,
.
Пример 34.
Составете ги канонските равенки на права што минува низ точка 
паралелно со линијата 
.
Решение.Правата линија се дефинира како линија на пресек на рамнините со нормални вектори 
И 
. Како водич вектор 
земете го векторот на оваа линија 
, т.е. 
. Според (3.18), бараната равенка ја има формата 
или 
.
3.8. Аголот помеѓу прави линии во просторот. Агол помеѓу права линија и рамнина
Нека две прави линии 
И 
во просторот се дадени со нивните канонски равенки 
И 
. Потоа еден од аглите 
помеѓу овие редови еднаков на аголотпомеѓу нивните вектори на насока 
И 
. Со помош на формулата (2.22), да се одреди аголот 
ја добиваме формулата
.
(3.22)
Втор агол 
помеѓу овие линии е еднаква 
И 
.
Услов за паралелни прави 
И 
е еквивалентно на условот за колинеарност на вектори 
И 
а лежи во пропорционалноста на нивните координати, односно условот за паралелни прави ја има формата
.
(3.23)
Ако директно 
И 
се нормални, тогаш нивните вектори на насока се ортогонални, т.е. условот за перпендикуларност се определува со еднаквоста
.
(3.24)
Размислете за авион 
, дадена со општата равенка и правата линија 
, дадени со канонските равенки 
.
Катче 
помеѓу права линија 
и авион 
е комплементарен на аголот 
помеѓу насочувачкиот вектор на права линија и нормалниот вектор на рамнината, т.е. 
И 
, или
.
(3.24)
Услов за паралелизам на права 
и авиони 
е еквивалентно на условот дека векторот на насоката на правата и нормалниот вектор на рамнината се нормални, т.е. скаларниот производ на овие вектори мора да биде еднаков на нула:
Ако правата е нормална на рамнината, тогаш векторот на насоката на правата и нормалниот вектор на рамнината мора да бидат колинеарни. Во овој случај, координатите на векторите се пропорционални, т.е.
.
(3.26)
Пример 35.
Најдете тап аголпомеѓу прави линии 
,
,
И 
,
,
.
Решение.Векторите на насоката на овие линии имаат координати 
И 
. Затоа еден агол 
помеѓу прави линии се определува со односот, т.е. 
. Според тоа, условот на проблемот е задоволен со вториот агол меѓу линиите, еднаков на 
.
3.9. Растојание од точка до линија во просторот
Нека 
точка во просторот со координати 
,
права линија дадена со канонски равенки 
. Ајде да ја најдеме растојанието 
од точка 
до права линија 
.
Ајде да примениме водич вектор 
до точка 
. Растојание 
од точка 
до права линија 
е висината на паралелограм изграден на вектори 
И 
. Ајде да ја најдеме плоштината на паралелограм користејќи го вкрстениот производ:
На другата страна, . Од еднаквоста на десните страни на последните две релации произлегува дека
.
(3.27)
3.10. Елипсоид
Дефиниција. Елипсоиде површина од втор ред, која во некој координатен систем се дефинира со равенката
.
(3.28)
Равенката (3.28) се нарекува канонска равенка на елипсоидот.
Од равенката (3.28) произлегува дека координатните рамнини се рамнини на симетрија на елипсоидот, а потеклото на координатите е центарот на симетријата. Броеви 
се нарекуваат полуоски на елипсоидот и ги претставуваат должините на отсечките од почетокот до пресекот на елипсоидот со координатните оски. Елипсоид е ограничена површина затворена во паралелепипед 
,
,
.
Да ја утврдиме геометриската форма на елипсоидот. За да го направите ова, дозволете ни да го дознаеме обликот на линиите на пресек на неговите рамнини паралелни со координатните оски.
Да бидеме конкретни, разгледајте ги линиите на пресек на елипсоидот со рамнините 
, паралелно со авионот 
. Равенка за проекција на линијата на пресек на рамнина 
се добива од (3.28) ако ставиме во него 
. Равенката на оваа проекција е
.
(3.29)
Ако 
, тогаш (3.29) е равенката на имагинарна елипса и точките на пресек на елипсоидот со рамнината 
бр. Го следи тоа 
. Ако 
, тогаш линијата (3.29) се дегенерира во точки, т.е. рамнини 
допрете го елипсоидот во точките 
И 
. Ако 
, Тоа 
и можете да ја воведете ознаката
,
.
(3.30)
Тогаш равенката (3.29) добива форма
,
(3.31)
односно проекција на авион 
линии на пресек на елипсоидот и рамнината 
е елипса со полуоски, кои се определуваат со еднаквости (3.30). Бидејќи линијата на пресек на површината со рамнини паралелни на координатните рамнини е проекција „подигната“ на висина 
, тогаш самата линија на пресек е елипса.
При намалување на вредноста 
осовините 
И 
се зголемуваат и ја достигнуваат својата најголема вредност во 
, односно во пресекот на елипсоидот со координатната рамнина 
се добива најголемата елипса со полуоски 
И 
.
Идејата за елипсоид може да се добие на друг начин. Размислете во авионот 
фамилија на елипси (3.31) со полуоски 
И 
, дефинирани со релации (3.30) и во зависност од 
. Секоја таква елипса е линија линија, односно линија во секоја точка на која вредноста 
исто. „Подигање“ на секоја таква елипса на висина 
, добиваме просторен приказ на елипсоидот.
Слична слика се добива кога дадена површина е пресечена со рамнини паралелни на координатните рамнини 
И 
.
Така, елипсоид е затворена елипсовидна површина. Кога 
Елипсоидот е сфера.
Линијата на пресек на елипсоид со која било рамнина е елипса, бидејќи таквата линија е ограничена линија од втор ред, а единствената ограничена линија од втор ред е елипса.
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Можеме да користиме и лични информации за внатрешни цели како што се ревизија, анализа на податоци и различни студиисо цел да ги подобриме услугите што ги нудиме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Доколку учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно, во согласност со закон, судска постапка, В судење, и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Доколку учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска процедура, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини органи на територијата на Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
АГОЛ ПОМЕЃУ АВИОНИТЕ
Размислете за две рамнини α 1 и α 2, дефинирани соодветно со равенките:
Под аголмеѓу две рамнини ќе разбереме еден од диедрални аглиформирани од овие рамнини. Очигледно е дека аголот помеѓу нормалните вектори и рамнините α 1 и α 2 е еднаков на еден од наведените соседни диедрални агли или 
. Затоа 
. Бидејќи 
И 
, Тоа
.
Пример.Одреди го аголот помеѓу рамнините x+2y-3z+4=0 и 2 x+3y+z+8=0.
Услов за паралелизам на две рамнини.
Две рамнини α 1 и α 2 се паралелни ако и само ако нивните нормални вектори се паралелни, и затоа 
.
Значи, две рамнини се паралелни една на друга ако и само ако коефициентите на соодветните координати се пропорционални:
или
Услов на перпендикуларност на рамнините.
Јасно е дека две рамнини се нормални ако и само ако нивните нормални вектори се нормални, и затоа, или .
Така,.
Примери.
ДИРЕМНО ВО ПРОСТОР.
ВЕКТОРСКА РАВЕНКА ЗА ЛИНИЈА.
ПАРАМЕТРИСКИ ДИРЕКТНИ РАВЕНКИ
Позицијата на линијата во просторот е целосно одредена со наведување на која било од нејзините фиксни точки М 1 и вектор паралелен на оваа права.
Се нарекува вектор паралелен на права водичивектор на оваа линија.
Па нека права линија лпоминува низ точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежи на линија паралелна на векторот.
Ајде да размислиме произволна точка M(x,y,z)на права линија. Од сликата е јасно дека 
.
Вектори и се колинеарни, па има таков број т, што , каде е множителот тможе да прифати било која нумеричка вредноство зависност од положбата на точката Мна права линија. Фактор тнаречен параметар. Означувајќи ги векторите на радиусот на точките М 1 и Мсоодветно, преку и , добиваме . Оваа равенка се нарекува векторравенка на права линија. Тоа покажува дека за секоја вредност на параметарот тодговара на векторот на радиусот на одредена точка М, лежејќи на права линија.
Ајде да ја напишеме оваа равенка во координатна форма. Забележете дека, 
и од тука
Добиените равенки се нарекуваат параметарскиравенки на права линија.
При промена на параметар тсе менуваат координатите x, yИ zи период Мсе движи во права линија.
КАНОНИЧКИ РАВЕНКИ НА ДИРЕКТОТ
Нека М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - точка што лежи на права линија л, И 
е неговиот вектор на насока. Ајде повторно да земеме произволна точка на линијата M(x,y,z)и разгледајте го векторот .
Јасно е дека векторите се исто така колинеарни, така што нивните соодветни координати мора да бидат пропорционални, затоа,
– канонскиравенки на права линија.
Забелешка 1.Забележете дека канонските равенки на правата може да се добијат од параметарските со елиминирање на параметарот т. Навистина, од параметарските равенки добиваме 
или .
Пример.Запишете ја равенката на правата 
во параметарска форма.
Да означиме 
, од тука x = 2 + 3т, y = –1 + 2т, z = 1 –т.
Забелешка 2.Нека правата е нормална на една од координатни оски, на пример секири Вол. Тогаш векторот на насоката на правата е нормален Вол, оттука, м=0. Следствено, параметарските равенки на линијата ќе ја добијат формата
Исклучувајќи го параметарот од равенките т, ги добиваме равенките на правата во форма
Меѓутоа, и во овој случај, се согласуваме формално да ги запишеме канонските равенки на линијата во форма 
. Така, ако именителот на една од дропките е нула, тоа значи дека правата линија е нормална на соодветната координатна оска.
Исто така, канонски равенки 
одговара на права линија нормално на оските ВолИ Ојили паралелно со оската Оз.
Примери.
ОПШТИ РАВЕНКИ НА ПРАВАТА КАКО ПРАВИ НА ПРЕСЕК НА ДВЕ РАМНИНИ
Низ секоја права линија во вселената има безброј рамнини. Било кои две од нив, вкрстувајќи се, го дефинираат во просторот. Следствено, равенките на кои било две такви рамнини, разгледани заедно, ги претставуваат равенките на оваа права.
Во принцип, кои било две не се паралелни рамнини, дадени со општи равенки
определи ја правата линија на нивното вкрстување. Овие равенки се нарекуваат општи равенкидиректно.
Примери.
Конструирај права дадена со равенките 
За да се изгради права линија, доволно е да се најдат било кои две нејзини точки. Најлесен начин е да се изберат точките на пресек на правата со координатни рамнини. На пример, точката на пресек со рамнината xOyдобиваме од равенките на права линија, под претпоставка z= 0:
Откако го решивме овој систем, ја наоѓаме поентата М 1 (1;2;0).
Слично, под претпоставка y= 0, ја добиваме точката на пресек на правата со рамнината xOz:
Од општите равенки на линијата може да се оди на нејзината канонска или параметарски равенки. За да го направите ова, треба да најдете одредена точка М 1 на права линија и векторот на насоката на права линија.
Точка координати М 1 добиваме од овој систем на равенки, давајќи на една од координатите произволна вредност. За да го пронајдете векторот на насоката, забележете дека овој вектор мора да биде нормален на двата нормални вектори 
И 
. Затоа, надвор од векторот на насоката на права линија лможете да го земете векторски производнормални вектори:
.
Пример.Олово општи равенкидиректно 
до канонската форма.
Ајде да најдеме точка што лежи на линија. За да го направите ова, ние избираме произволно една од координатите, на пример, y= 0 и решете го системот равенки:
Нормалните вектори на рамнините што ја дефинираат правата имаат координати 
Затоа, векторот на насоката ќе биде исправен
. Оттука, л: 
.
АГОЛ ПОМЕЃУ СТРАЈТИТЕ
Аголпомеѓу линиите во просторот ќе го наречеме било кој од соседните агли, формирана од две прави линии повлечени низ произволна точка паралелна со податоците.
Нека се дадени две линии во просторот:
Очигледно, аголот φ помеѓу правите линии може да се земе како агол помеѓу векторите на нивната насока и . Бидејќи , тогаш користејќи ја формулата за косинус на аголот помеѓу вектори ја добиваме