Нека се дадени права L и точка A на рамнината. Тогаш се нарекува нејзината основа (точка О). ортогонална проекција на точката А на правата L. Ако правата L и точката A се дадени во просторот, тогаш во овој случај ортогоналната проекција на точката A на правата L е точката O на пресекот на правата L со рамнина нормална на неа што минува низ точката A (сл. 1.8 , б). Ако точката А лежи на правата L, тогаш таа се совпаѓа со нејзината ортогонална проекција на L.
За векторот - AB (на рамнината или во просторот), можете да конструирате ортогонални проекции на правата линија L од неа почеток и крај(Сл. 1.9). Векторот O A O B што ги поврзува овие проекции O A и O B и лежи на правата линија L се вика ортогонална проекција на векторот AB на праватаЛ.
Правата линија на која е дадена една од двете можни насоки се нарекува оска. Избраната насока на оската е означена со стрелка на соодветниот крај на оската. Ортогоналната проекција O A O B на векторот AB на оската l може целосно да се опише должинавектор O A O B, доделувајќи му знак,
покажувајќи ја насоката на векторот. Ако насоката O A O B се совпаѓа со дадената насока на оската, тогаш земете го знакот плус, а ако насоката на векторот е спротивна на насоката на оската, тогаш земете го знакот минус. Должината на векторот O A O B со знак кој ја одредува насоката на овој вектор се вика ортогонална проекција на векторот AB на оската l и означува pr l a.
Да забележиме дека ортогоналната проекција на вектор на оска е број, додека ортогоналната проекција на вектор на права е вектор. За да може векторот да одговара на број како негова проекција, мора да се избере една од двете можни насоки на права линија.
Секој ненулти вектор l уникатно ја дефинира оската: може да се смета дека се наоѓа на одредена права линија и ја одредува насоката на неа. Ортогоналната проекција на векторот на таква оска се нарекува ортогонална проекција на овој вектор на насокатавектор l.
Аголот помеѓу насоките на два вектори кои не се нула се нарекува аголот помеѓу овие вектори. Аголот може да варира од 0 до π. Екстремните вредности 0 и π одговараат колинеарни вектори, соодветно еднонасочно и спротивно насочено. Ако барем еден од двата вектори е нула, тогаш аголот помеѓу таквите вектори не е дефиниран. Сепак, погодно е да се претпостави дека во овој случај аголот има произволна вредност. Така, нултиот вектор е колинеарен со кој било друг, што формално одговара на аголот 0 (или π). Специфичната вредност доделена на аголот помеѓу нултиот вектор и некој друг вектор се избира врз основа на ситуацијата.
Теорема 1.1.Ортогоналната проекција на векторот a на правецот на ненултиот вектор l е еднаква на должината |a| помножена со косинусот на аголот φ помеѓу векторите a и l, т.е.
pr l = a|a| cos
каде е аголот помеѓу векторите a и l
◄ Нека векторот l лежи на правата L, а неговиот почеток е точката A. Да го порамниме почетокот на векторот a со точката A, а неговиот крај да биде точката B (сл. 1.10). Ајде да конструираме ортогонална проекција C на точката B на правата L. Тогаш векторот AC е ортогонална проекција на векторот a = AB на правата L.
Ако аголот φ помеѓу векторите a и l е остар (како што е прикажано на сл. 1.10, a), тогаш крајот на векторот l и точката C лежат на едната страна од точката A. Во овој случај, проекцијата на a на насоката на векторот l е еднаков на должината |AC| = |AB| cosφ крак AC на триаголникот ABC.
Ако аголот φ е тап (види слика 1.10, b), тогаш крајот на векторот l и точката C лежат на спротивните страни од точката A. Тоа значи дека векторите AC и l имаат спротивни насоки, а проекцијата на векторот a е еднакво на - |AC|. Во триаголникот ABC, аголот ψ во непосредна близина на страната AC е еднаков на π - φ, затоа |AC| = |AB| cos(π - φ) = - |AB| cosφ.
Ако φ = π/2 или a = 0, тогаш точката C се совпаѓа со точката A и векторот AC е нула вектор. Меѓутоа, cosπ/2 = 0, затоа, и во овој случај теоремата е валидна.
Теорема 1.2.Ортогоналната проекција на збирот на вектори на насоката на вектор кој не е нула е еднаква на збирот на нивните ортогонални проекции на насоката на овој вектор, а кога векторот се множи со број, неговата ортогонална проекција на насоката на вектор кој не е нула се множи со ист број:
pr l (a + b) = pr l a + pr l b, pr l (λa) - λpr l a.
◄ Доказот следи од сл. 1.11. Во случајот прикажан на сл. 1.11, a, имаме pr l a = |AB|, pr l b = -|BC|, pr l (a + b) = |AC| = |AB| - |П.н.е.|. Во случајот прикажан на сл. 1.11, b, pr l a = |AB| и, ако λ > 0, pr l (λa) = |AE| = λ|AB|. Останатите опции (точката C не припаѓа на отсечката AB во случајот a, λ ≤ 0 во случајот б) се разгледуваат слично.
Како што споменавме погоре, ортогоналната проекција е посебен случај на паралелна проекција. Со ортогонална проекција, проектираните зраци се нормални на проекциската рамнина.
Апаратот за таква проекција се состои од една проекција рамнина.
За да се добие ортогонална проекција на точката А, проекциониот зрак мора да се повлече низ него нормално на P1. Точката А1 се нарекува ортогонална или правоаголна проекција на точката А.
За да се добие правописна проекција А 1 Б 1сегмент АБ, до авионот P 1, неопходно преку точки АИ ВОнацртајте проектирани линии нормално P 1. Кога проектираните линии се сечат со рамнина P 1ќе добиете ортогонални проекции А 1И ВО 1поени АИ ВО. Со поврзување на ортогонални проекции А 1И ВО 1добиваме ортогонална проекција А 1 Б 1сегмент АБ.
Сите својства на паралелна проекција важат и за ортогонална проекција. Сепак, ортогоналните проекции имаат некои други својства.
Својства на правописната проекција:
1. Должината на отсечката е еднаква на должината на нејзината проекција поделена со косинус на аголот на наклонетост на отсечката кон проекциската рамнина.
Да земеме права линија АБи конструирај ја неговата ортогонална проекција А 1 Б 1до авионот P 1. Ако повлечете права линија AC || А 1 Б 1, потоа од триаголникот ABCследи тоа |AC| : |AB| = cos aили |AB| = |A 1 B 1 | :cos a, бидејќи |A 1 B 1 | = |AC|.
2. Покрај тоа, за ортогонална проекција ќе биде точно Теорема за проекција на прав агол:
Теорема:Ако барем едната страна од прав агол е паралелна со проекциската рамнина, а другата не е нормална на неа, тогаш аголот се проектира на оваа рамнина во целосна големина.
Доказ:
Даден е прав агол ABC, кој по услов има права линија BC ABИ Сонце ||проекциони рамнини P 1. По конструкција е исправен Сонцетодо проектираниот зрак ББ 1. Затоа, директно Сонцетодо авионот б (АВхВВ1), бидејќи е до две линии кои се пресекуваат што лежат во оваа рамнина. По услов, директно B 1 C 1 || Сонцето, затоа и до авионот бт.е. и директно А 1 Б 1овој авион. Затоа, аголот помеѓу линиите А 1 Б 1И B 1 C 1е еднакво на 90°, што требаше да се докаже.
Ортогоналната проекција обезбедува едноставност на геометриските конструкции при определување на ортогонални проекции на точките, како и можност за зачувување на обликот и димензиите на проектираната фигура на проекциите. Овие предности обезбедија дека ортогоналната проекција е широко користена во техничкото цртање.
Разгледаните методи на проекција овозможуваат да се реши директниот проблем на описната геометрија, односно да се конструира рамен цртеж од оригиналот. Вака добиените проекции на една рамнина даваат нецелосна идеја за објектот, неговата форма и положба во просторот, односно таквиот цртеж нема својство на реверзибилност.
За да се добие реверзибилен цртеж, т.е. се дополнува цртеж кој дава целосна слика за обликот, големината и положбата на оригиналот во просторот; Во зависност од додатокот, постојат различни типови на цртежи.
- Монге дијаграм или ортогонални проекции.Суштината на методот на ортогонална (правоаголна) проекција е дека оригиналот е ортогонално проектиран на 2 или 3 меѓусебно ортогонални проекциски рамнини, а потоа се комбинираат со рамнината на цртање.
- Аксонометриски цртеж.Суштината на аксонометрискиот цртеж е дека прво оригиналот е цврсто поврзан со Декартовиот координатен систем OXYZ, ортогонално проектирајте го на една од проекциските рамнини ОКСИ, или OXZ. Потоа, со паралелна проекција, се наоѓа паралелна проекција на добиената структура: координатни оски OX, OY, OZ,секундарна проекција и оригинал.
- Цртеж со перспектива.При конструирање на перспективен цртеж, прво се конструира една ортогонална проекција, а потоа на рамнината на сликата се наоѓа централната проекција на претходно конструираната правописна проекција и самиот оригинал.
- Проекции со нумерички ознаки и сл.За да се добијат проекции со нумерички ознаки, оригиналот е ортогонално проектиран на рамнината на нулта ниво и е означено растојанието од оригиналните точки до оваа рамнина.
Дозволете ни да се задржиме подетално на проучувањето на правоаголните проекции и аксонометриското цртање.
Ортогоналната проекција е посебен случај на паралелна проекција, кога насоката на проекцијата S е нормална (ортогонална) на проекциската рамнина S 1 (сл. 1.11).
Ориз. 1.11. Ортогонална проекција на прав агол
Ортогоналната проекција е широко користена во инженерската практика за прикажување на геометриски фигури на рамнина, бидејќи има голем број предности во однос на централната и паралелната (коса) проекција, кои вклучуваат:
а) едноставност на графички конструкции за определување на ортогонални проекции на точки;
б) способност, под одредени услови, да се зачува обликот и големината на проектираната фигура на проекциите.
Овие предности обезбедија широка употреба на ортогоналната проекција во технологијата, особено за изработка на машински инженерски цртежи.
За ортогонална проекција, сите девет непроменливи својства дискутирани погоре се валидни. Дополнително, потребно е да се забележи уште едно, десетто, непроменливо својство, кое важи само за ортогонална проекција.
10. Ако барем едната страна од правиот агол е паралелна со проекциската рамнина, тогаш правиот агол се проектира на оваа проекција рамнина без изобличување (сл. 1.11).
На сл. Слика 1.11 покажува прав агол ABD, чиишто две страни се паралелни со проекциската рамнина 1. Според непроменливото својство 9.2, овој агол е проектиран на рамнината 1 без изобличување, т.е. A 1 B 1 D 1 =90.
Да земеме произволна точка C на испакнатиот зрак DD 1, тогаш добиениот ABC ќе биде исправен, бидејќи ABBB 1 DD 1 .
Проекцијата на овој прав агол ABC, од кој само едната страна AB е паралелна со рамнината на проекции 1, ќе биде правиот агол A 1 B 1 D 1.
Зборувајќи за геометриските фигури и нивните проекции, неопходно е да се запамети дека проекцијата на фигурата е збир на проекции на сите нејзини точки.
1.6. Систем од три проекциски рамнини. Epure Monge.
Сите просторни геометриски фигури можат да се ориентираат во однос на Декартовиот правоаголен систем на координатни оски - систем од три меѓусебно нормални координатни рамнини (сл. 1.12).
Ориз. 1.12. Слика на систем за проекција со три рамнини
Овие координатни рамнини се означени:
хоризонтална проекција рамнина - 1;
фронтална рамнина на проекции - 2;
рамнина за проекција на профилот - 3.
Пресечните линии на овие рамнини формираат координатни оски: оска на апсциса – X; ординатна оска – Y; апликативна оска – Z. Точката O на пресекот на координатните оски се зема како почеток на координатите и се означува со буквата O. Се земаат позитивните насоки на оските: за оската x - лево од почетокот , за оската Y - кон гледачот од рамнината 2, за оската z - нагоре од рамнината 1; спротивни насоки се сметаат за негативни.
За да го поедноставиме понатамошното расудување, ќе го разгледаме само делот од просторот лоциран лево од профилната рамнина на проекции 3.
Со оваа претпоставка, три координатни рамнини на проекции формираат четири просторни агли - октанти (во општ случај - 8 октани).
Од Сл. 1.12 може да се види дека апсцисата X ја дели хоризонталната рамнина на проекции 1 на два дела: предната половина 1 (X и Y оски) и задната половина 1 (X и - Y оски).
X оската дели фронтална рамнина на проекции 2 исто така на два дела: горната половина 2 (X и Z оски) и долната половина 2 (X и - Z оски).
Ординатите Y и апликативната Z ја делат профилната рамнина на проекции 3 на четири дела:
горен преден кат 3 (оски Y и Z)
горен заден кат 3 (-Y и Z оски)
долен преден кат 3 (оски Y и –Z)
долен заден кат 3-ти (оски – Y и –Z)
За да се добие рамен (дводимензионален) модел на просторни координатни проекциски рамнини, хоризонталните 1 и профилот 3 рамнините се комбинираат со фронталната 2 по редоследот прикажан со стрелките на сл. 1.12.
П 
Во овој случај, хоризонталната проекциска рамнина 1 се ротира околу оската X за 90, а проекциската рамнина на профилот 3 ротира околу оската Z исто така за 90 (правецот на ротација е прикажан на сл. 1.12).
Комбинацијата од три проекциски рамнини добиени на овој начин (сл. 1.13) е рамен модел на систем од три просторни
До
Ориз. 1.13. Просторен модел на точка А
За да се конструира рамен модел на просторна геометриска фигура, секоја нејзина точка се проектира ортогонално на проекционите рамнини 1, 2 и 3, кои потоа се комбинираат во една рамнина. Рамниот модел на просторна геометриска фигура добиен на овој начин се нарекува Монге дијаграм.
Редоследот на конструирање на дијаграм на точка која се наоѓа во првиот октант.
На сл. На слика 1.13 е прикажана просторна точка А, чии координати (x, y, z) ги покажуваат растојанијата на кои точката се отстранува од проекционите рамнини.
Д 
За да се добијат ортогонални проекции на точката А, потребно е да се спуштат нормални од оваа точка на проекциската рамнина.
Пресечните точки на овие перпендикулари со проекционите рамнини ги формираат проекциите на точката А:
A 1 – хоризонтална проекција на точката;
A 2 – фронтална проекција на точката;
А
Ориз. 1.14. Дијаграм на точка А
На сл. 1,14 проекциони рамнини 1 и 3 се комбинираат со рамнината за цртање (со проекциската рамнина 2), и заедно со нив се комбинираат со рамнината на цртање и проекциите на точката A (A 1, A 2, A 3) и на тој начин се добиваат рамнински модел на координатни рамнини проекции и рамнински модел на просторната точка А - нејзиниот дијаграм.
Положбата на проекциите на точката А на дијаграмот е единствено определена со нејзините три координати (сл. 1.14).
На сл. 1.13 и сл. 1.14, исто така, јасно е дека на дијаграмот хоризонталните и фронталните проекции на точките лежат на истата нормално на оската X, како и фронталните и профилните проекции - на истата нормална на оската Z:
А 1 А 2 X, А 2 А 3 З.
Од сл. 1.12 е јасно дека точките лоцирани во различни октанти имаат одредени координатни знаци.
Во табелата се прикажани знаците на координатите на точките лоцирани во различни октанти
Табела на координатни знаци
|
Координатни знаци |
|||
Прашања за самоконтрола
Која е идејата зад методот на проекција?
Која е суштината на централната проекција и кои се нејзините главни својства?
Која е суштината на паралелната проекција и кои се нејзините главни својства?
Која е суштината на ортогоналната (правоаголна) проекција?
Како се формулира теоремата за проекција на прав агол?
Слични задачи:
Страната AB на ромбот ABCD е еднаква на a, еден од аглите е 60 степени. Низ страната AB се влече алфа рамнина на растојание a/2 од точката D.
а) најдете го растојанието од точката C до алфа рамнината.
б)покажете го на сликата линеарниот диедрален агол DABM. М припаѓа на алфа.
в) Најдете го синусот на аголот помеѓу рамнината на ромбот и алфа-рамнината.
Страната AB на ромбот ABCD е еднаква на a, еден од аглите е 60 степени. Низ страната AB се повлекува алфа рамнина на растојание a/2 од точката D. а) најдете го растојанието од точката C до алфа рамнината. б)покажете го на сликата линеарниот диедрален агол DABM. М припаѓа на алфа. в) Најдете го синусот на аголот помеѓу рамнината на ромбот и алфа-рамнината.
Страната AB на ромбот ABCD е еднаква на a, а еден од неговите агли е еднаков на 60 степени. Алфа рамнина е повлечена низ страната AB на растојание a2 од точката D.
а) Најдете го растојанието од точката C до алфа рамнината.
б) Покажете го на сликата линеарниот агол на диедралниот агол DABM, M припаѓа на pl. алфа.
в) Најдете го синусот на аголот помеѓу рамнината на ромбот и алфа-рамнината.
Размислете за авион стр и правата линија што ја пресекува . Нека А - произволна точка во просторот. Ајде да повлечеме права линија низ оваа точка , паралелно со линијата . Нека . Точка наречена проекција на точка Адо авионот стрсо паралелен дизајн по дадена права линија . Рамнина стр , на кој се проектирани точките на просторот се нарекува проекциона рамнина.
p - проекциска рамнина;
- директен дизајн; ;
; ; ;
Ортогонален дизајне посебен случај на паралелно проектирање. Ортогоналниот дизајн е паралелен дизајн во кој дизајнерската линија е нормална на проекциската рамнина. Ортогоналниот дизајн е широко користен во техничкиот цртеж, каде што фигурата се проектира на три рамнини - хоризонтални и две вертикални.
Дефиниција:
Ортогонална проекција на точка Мдо авионот стрнаречена основа М 1нормално ММ 1, падна од точка Мдо авионот стр.
Означување: , 
, .
Дефиниција: Ортогонална проекција на фигура Фдо авионот стре множество од сите точки на рамнината кои се ортогонални проекции на множеството точки на сликата Фдо авионот стр.
Ортогоналниот дизајн, како посебен случај на паралелен дизајн, ги има истите својства:
p - проекциска рамнина;
- директен дизајн; ;
1) ;
2) , .
- Проекциите на паралелните прави се паралелни.
ПРОЕКЦИСКО ПЛОШТИНА НА РАМНА ФИГУРА
Теорема: Областа на проекција на рамнински многуаголник на одредена рамнина е еднаква на плоштината на проектираниот многуаголник помножена со косинус на аголот помеѓу рамнината на многуаголникот и проекциската рамнина.
Фаза 1: Проектираната фигура е триаголник ABC, чија страна AC лежи во проекциската рамнина a (паралелно со проекциската рамнина a).
Со оглед на:
Доказ:
Доказ:
1. ; ;
2. ; ; ; ;
3. ; 
;
4. Со теорема за три нормални;
ВД – висина; B 1 D – висина;
5. – линеарен агол на диедралниот агол;
6. ; ; ; 
;
Фаза 2: Проектираната фигура е триаголник ABC, чиишто страни не се наоѓаат во проекциската рамнина a и не е паралелна со неа.
Со оглед на:
Доказ:
Доказ:
1. ; ;
2. ; ;
4. ; ; ;
(Фаза 1);
5. ; ; ;
(Фаза 1);
Фаза: Дизајнираната фигура е произволен многуаголник.
Доказ:
Многуаголникот е поделен со дијагонали извлечени од едно теме на конечен број триаголници, од кои за секој теоремата е вистинита. Според тоа, теоремата ќе биде точна и за збирот на плоштините на сите триаголници чии рамнини формираат ист агол со проекциската рамнина.
Коментар: Докажаната теорема е валидна за која било рамна фигура ограничена со затворена крива.
Вежби:
1. Најдете ја плоштината на триаголник чија рамнина е наклонета кон проекциската рамнина под агол, ако неговата проекција е правилен триаголник со страна a.
2. Најдете ја плоштината на триаголник чија рамнина е наклонета кон проекционата рамнина под агол, ако неговата проекција е рамнокрак триаголник со страна од 10 cm и основа од 12 cm.
3. Најдете ја плоштината на триаголник чија рамнина е наклонета кон проекциската рамнина под агол, ако неговата проекција е триаголник со страни 9, 10 и 17 cm.
4. Пресметајте ја плоштината на трапез, чија рамнина е наклонета кон проекциската рамнина под агол, ако неговата проекција е рамнокрак трапез, чијашто поголема основа е 44 cm, страната е 17 cm и дијагоналата е 39 см.
5. Пресметајте ја областа на проекцијата на правилен шестоаголник со страна од 8 cm, чија рамнина е наклонета кон проекциската рамнина под агол.
6. Ромб со страна од 12 cm и остар агол формира агол со дадена рамнина. Пресметајте ја областа на проекцијата на ромбот на оваа рамнина.
7. Ромб со страна од 20 cm и дијагонала од 32 cm формира агол со дадена рамнина. Пресметајте ја областа на проекцијата на ромбот на оваа рамнина.
8. Проекцијата на настрешница на хоризонтална рамнина е правоаголник со страни и . Најдете ја областа на настрешницата ако страничните страни се еднакви правоаголници наклонети кон хоризонталната рамнина под агол, а средниот дел на настрешницата е квадрат паралелен со проекциската рамнина.
11. Вежби на тема „Лини и рамнини во вселената“:
Страните на триаголникот се еднакви на 20 cm, 65 cm, 75 cm поголемата страна на триаголникот.
2. Од точка која се наоѓа на растојание од cm од рамнината, се цртаат две наклонети, формирајќи агли со рамнината еднаква на , и прав агол меѓу нив. Најдете го растојанието помеѓу точките на пресек на наклонетите рамнини.
3. Страната на правилен триаголник е 12 cm Точката М е избрана така што отсечките што ја поврзуваат точката М со сите темиња на триаголникот формираат агли со неговата рамнина. Најдете го растојанието од точката М до темињата и страните на триаголникот.
4. Низ страната на квадратот се повлекува рамнина под агол на дијагоналата на квадратот. Најдете ги аглите под кои двете страни на квадратот се наклонети кон рамнината.
5. Кракот на рамнокрак правоаголен триаголник е наклонет кон рамнината a што минува низ хипотенузата под агол . Докажете дека аголот помеѓу рамнината a и рамнината на триаголникот е еднаков на .
6. Диедралниот агол помеѓу рамнините на триаголниците ABC и DBC е еднаков на . Најдете AD ако AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.
Тест прашања на тема „Лини и рамнини во вселената“
1. Наброј ги основните поими на стереометријата. Формулирајте ги аксиомите на стереометријата.
2. Докажи последици од аксиомите.
3. Која е релативната положба на две прави во просторот? Дајте дефиниции за пресечни, паралелни и искривени линии.
4. Докажете го знакот на искривени линии.
5. Која е релативната положба на правата и рамнината? Дајте дефиниции за пресечни, паралелни прави и рамнини.
6. Докажи го знакот за паралелизам помеѓу права и рамнина.
7. Која е релативната положба на двете рамнини?
8. Дефинирајте паралелни рамнини. Докажете знак дека две рамнини се паралелни. Наведете теореми за паралелни рамнини.
9. Дефинирајте го аголот помеѓу прави линии.
10. Докажи го знакот за перпендикуларност на права и рамнина.
11. Дефинирајте ја основата на нормална, основата на наклонетата, проекцијата на наклонето на рамнина. Формулирајте ги својствата на нормални и наклонети линии паднати на рамнина од една точка.
12. Дефинирајте го аголот помеѓу права линија и рамнина.
13. Докажи ја теоремата за три нормални.
14. Дајте дефиниции за диедрален агол, линеарен агол на диедрален агол.
15. Докажи го знакот за перпендикуларност на две рамнини.
16. Дефинирајте го растојанието помеѓу две различни точки.
17. Дефинирајте го растојанието од точка до права.
18. Дефинирајте го растојанието од точка до рамнина.
19. Определи го растојанието помеѓу права линија и рамнина паралелна на неа.
20. Дефинирајте го растојанието помеѓу паралелните рамнини.
21. Дефинирајте го растојанието помеѓу линиите што се пресекуваат.
22. Дефинирајте ја ортогоналната проекција на точка на рамнина.
23. Дефинирајте ја ортогоналната проекција на фигурата на рамнина.
24. Формулирајте ги својствата на проекциите на рамнина.
25. Формулирајте и докажете теорема за проекционата површина на рамнински многуаголник.