На едноставното прашање „Како да се најде висината на трапезот? Има неколку одговори, сите затоа што може да се дадат различни почетни вредности. Затоа, формулите ќе се разликуваат.
Овие формули може да се запаметат, но не е тешко да се извлечат. Треба само да ги примените претходно научените теореми.
Ознаки кои се користат во формулите
Во сите математички ознаки подолу, овие читања на буквите се точни.
Во изворните податоци: сите страни
За да ја пронајдете висината на трапезот во општиот случај, ќе треба да ја користите следнава формула:
n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2).Број 1.
Не е најкраток, но исто така ретко се наоѓа во проблеми. Обично можете да користите други податоци.
Формулата што ќе ви каже како да ја пронајдете висината на рамнокрак трапез во истата ситуација е многу пократка:
n = √(c 2 - (a - c) 2 /4).Број 2.
Проблемот дава: странични страни и агли на долната основа
Се претпоставува дека аголот α е во непосредна близина на страната со ознака „c“, соодветно, аголот β е до страната d. Тогаш формулата за тоа како да се најде висината на трапезот ќе биде во општа форма:
n = c * sin α = d * sin β.Број 3.
Ако фигурата е рамнокрак, тогаш можете да ја користите оваа опција:
n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α.Број 4.
Познати: дијагонали и агли меѓу нив
Вообичаено, овие податоци се придружени со други познати количини. На пример, основите или средната линија. Ако се дадени причините, тогаш за да одговорите на прашањето како да ја пронајдете висината на трапезоидот, следнава формула ќе биде корисна:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + b) или n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + b).Број 5.
Ова е за општиот изглед на фигурата. Ако е даден рамнокрак, тогаш ознаката ќе се промени вака:
n = (d 1 2 * sin γ) / (a + b) или n = (d 1 2 * sin δ) / (a + b).Број 6.
Кога проблемот се однесува на средната линија на трапезоидот, формулите за наоѓање на неговата висина стануваат како што следува:
n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m или n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m.Број 5а.
n = (d 1 2 * sin γ) / 2m или n = (d 1 2 * sin δ) / 2m.Број 6а.
Меѓу познатите количини: површина со основи или средна линија
Ова се можеби најкратките и наједноставните формули за пронаоѓање на висината на трапезоидот. За произволна бројка ќе биде вака:
n = 2S / (a + b).Број 7.
Тоа е исто, но со позната средна линија:
n = S/m.Број 7а.
Чудно е доволно, но за рамнокрак трапез формулите ќе изгледаат исто.
Задачи
бр.1. За одредување на аглите на долната основа на трапезоидот.
Состојба.Даден е рамнокрак трапез чија страна е 5 cm Нејзините основи се 6 и 12 cm Треба да го пронајдете синусот на остар агол.
Решение.За погодност, треба да внесете ознака. Нека долниот лев теме е A, а остатокот во насока на стрелките на часовникот: B, C, D. Така, долната основа ќе биде означена AD, горната - BC.
Потребно е да се извлечат висини од темињата B и C. Точките што ги означуваат краевите на висините ќе бидат означени соодветно H 1 и H 2. Бидејќи сите агли на сликата BCH 1 H 2 се прави агли, тоа е правоаголник. Тоа значи дека отсечката H 1 H 2 е 6 cm.
Сега треба да разгледаме два триаголници. Тие се еднакви бидејќи се правоаголни со исти хипотенуси и вертикални краци. Од ова произлегува дека нивните помали нозе се еднакви. Затоа, тие можат да се дефинираат како количник на разликата. Вториот се добива со одземање на горниот од долната основа. Ќе се подели со 2. Тоа е, 12 - 6 мора да се подели со 2. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).
Сега од Питагоровата теорема треба да ја пронајдете висината на трапезот. Неопходно е да се најде синус на агол. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).
Користејќи го знаењето за тоа како синусот на остар агол се наоѓа во триаголник со прав агол, можеме да го запишеме следниот израз: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.
Одговори.Потребниот синус е 0,8.
бр.2. Да се најде висината на трапезот користејќи позната тангента.
Состојба.За рамнокрак трапез, треба да ја пресметате висината. Познато е дека неговите основи се 15 и 28 cm Дадена е тангентата на остриот агол: 11/13.
Решение.Означувањето на темињата е исто како и во претходниот проблем. Повторно треба да нацртате две висини од горните агли. По аналогија со решението на првиот проблем, треба да најдете AN 1 = N 2 D, што е дефинирано како разлика од 28 и 15 поделени со два. По пресметките излегува: 6,5 см.
Бидејќи тангентата е однос на две катети, можеме да ја запишеме следната еднаквост: tan α = AH 1 / VN 1 . Покрај тоа, овој сооднос е еднаков на 11/13 (според условот). Бидејќи AN 1 е познат, висината може да се пресмета: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Едноставните пресметки даваат резултат од 5,5 cm.
Одговори.Потребната висина е 5,5 см.
бр. 3. Да се пресмета висината користејќи познати дијагонали.
Состојба.За трапезоидот е познато дека неговите дијагонали се 13 и 3 cm.Висината треба да ја дознаете ако збирот на основите е 14 cm.
Решение.Означувањето на фигурата нека биде исто како порано. Да претпоставиме дека AC е помалата дијагонала. Од темето C треба да ја нацртате саканата висина и да ја назначите CH.
Сега треба да направите дополнителна конструкција. Од аголот C треба да нацртате права линија паралелна на поголемата дијагонала и да ја пронајдете точката на нејзиното пресекување со продолжувањето на страната АД. Ова ќе биде D 1. Резултатот е нов трапез, во кој е нацртан триаголник ASD 1. Ова е она што е потребно за понатамошно решавање на проблемот.
Во триаголникот ќе биде и посакуваната висина. Затоа, можете да ги користите формулите изучени во друга тема. Висината на триаголникот се дефинира како производ на бројот 2 и површината поделена со страната на која е нацртан. И страната излегува дека е еднаква на збирот на основите на оригиналниот трапез. Ова произлегува од правилото по кое е направена дополнителната градба.
Во разгледуваниот триаголник, сите страни се познати. За погодност, ја воведуваме ознаката x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.
Сега можете да ја пресметате областа користејќи ја теоремата на Херон. Полупериметарот ќе биде еднаков на p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Тогаш формулата за областа по замена на вредностите ќе изгледа вака: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).
Одговори.Висината е 6√10 / 7 cm.
бр. 4. За да ја пронајдете висината на страните.
Состојба.Даден е трапез, чии три страни се 10 см, а четвртата е 24 см.. Треба да ја дознаете неговата висина.
Решение.Бидејќи фигурата е рамнокрак, ќе ви треба формула број 2. Само треба да ги замените сите вредности во неа и да броите. Ќе изгледа вака:
n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).
Одговори. n = √51 cm.
Агли на рамнокрак трапез. Здраво! Оваа статија ќе се фокусира на решавање на проблеми со трапезоиди. Оваа група задачи е дел од испитот, проблемите се едноставни. Ќе ги пресметаме аглите на трапезот, основата и висината. Решавањето на голем број проблеми се сведува на решавање, како што велат: каде сме без Питагоровата теорема?
Ќе работиме со рамнокрак трапез. Има еднакви страни и агли на основите. На блогот има статија за трапезоидот.
Да забележиме мала и важна нијанса, која нема да ја опишеме детално во процесот на решавање на самите задачи. Види, ако ни се дадени две основи, тогаш поголемата основа со висини спуштени до неа е поделена на три сегменти - едната е еднаква на помалата основа (ова се спротивните страни на правоаголникот), другите две се еднакви на секој друго (ова се катети на еднакви правоаголни триаголници):
Едноставен пример: дадени две основи на рамнокрак трапез 25 и 65. Поголемата основа е поделена на сегменти на следниов начин:
*И понатаму! Симболите на буквите не се вклучени во проблемите. Ова е направено намерно за да не се преоптоварува решението со алгебарски доработки. Се согласувам дека ова е математички неписмено, но целта е да се пренесе поентата. И секогаш можете сами да ги направите ознаките за темињата и другите елементи и да запишете математички точно решение.
Ајде да ги разгледаме задачите:
27439. Основите на рамнокрак трапез се 51 и 65. Страните се 25. Најдете го синусот на остриот агол на трапезот.
За да го пронајдете аголот, треба да ги конструирате висините. Во скицата ги означуваме податоците во состојба на количина. Долната основа е 65, со висини е поделена на сегменти 7, 51 и 7:
Во правоаголен триаголник, ги знаеме хипотенузата и кракот, можеме да ја најдеме втората катета (висината на трапезот) и потоа да го пресметаме синусот на аголот.
Според Питагоровата теорема, наведената крак е еднаква на:
Така:
Одговор: 0,96
27440. Основите на рамнокрак трапез се 43 и 73. Косинусот на остар агол на трапезот е 5/7. Најдете ја страната.
Ајде да ги конструираме висините и да ги забележиме податоците во условот за големина; долната основа е поделена на сегменти 15, 43 и 15:
27441. Поголемата основа на рамнокрак трапез е 34. Страната е 14. Синусот на остар агол е (2√10)/7. Најдете ја помалата основа.
Ајде да градиме височини. За да ја најдеме помалата основа, треба да најдеме колку е еднаква отсечката што е кракот во правоаголен триаголник (означена со сино):
Можеме да ја пресметаме висината на трапезот и потоа да ја најдеме ногата:
Користејќи ја Питагоровата теорема, ја пресметуваме кракот:
Значи, помалата основа е:
27442. Основите на рамнокрак трапез се 7 и 51. Тангентата на остар агол е 5/11. Најдете ја висината на трапезот.
Да ги конструираме висините и да ги означиме податоците во условот за големина. Долната основа е поделена на сегменти:
Што да се прави? Ја изразуваме тангентата на аголот што го знаеме во основата во правоаголен триаголник:
27443. Помалата основа на рамнокрак трапез е 23. Висината на трапезот е 39. Тангентата на остар агол е 13/8. Најдете поголема основа.
Ги градиме височините и пресметуваме на што е еднаква ногата:
Така, поголемата основа ќе биде еднаква на:
27444. Основите на рамнокрак трапез се 17 и 87. Висината на трапезот е 14. Најдете ја тангентата на остриот агол.
Градиме висини и означуваме познати вредности на скицата. Долната основа е поделена на сегменти 35, 17, 35:
По дефиниција за тангента:
77152. Основите на рамнокрак трапез се 6 и 12. Синус на остар агол на трапез е 0,8. Најдете ја страната.
Ајде да изградиме скица, да конструираме висини и да означиме познати вредности, поголемата основа е поделена на сегменти 3, 6 и 3:
Да ја изразиме хипотенузата, означена како x, преку косинус:
Од главниот тригонометриски идентитет наоѓаме cosα
Така:
27818. Кој е поголем агол на рамнокрак трапез ако се знае дека разликата меѓу спротивните агли е 50 0? Дајте го вашиот одговор во степени.
Од курсот по геометрија знаеме дека ако имаме две паралелни прави и трансверзала, збирот на внатрешните еднострани агли е еднаков на 180 0. Во нашиот случај тоа е
Условот вели дека разликата помеѓу спротивните агли е 50 0, т.е
Инструкции
Ако се познати должините на двете основи (b и c) и на истите странични страни (а) по дефиниција, тогаш правоаголен триаголник може да се користи за да се пресмета вредноста на еден од неговите остри агли (γ). За да го направите ова, намалете ја висината од кој било агол во непосредна близина на кратката основа. Правоаголен триаголник ќе се формира со висина (), страна (хипотенуза) и отсечка од долгата основа помеѓу висината и блиската страна (вториот крак). Должината на овој сегмент може да се најде со одземање на должината на помалата од должината на поголемата основа и делење на резултатот на половина: (c-b)/2.
Откако ги добивте должините на две соседни страни на правоаголен триаголник, продолжете со пресметување на аголот меѓу нив. Односот на должината на хипотенузата (а) до должината на ногата ((c-b)/2) ја дава косинусната вредност на овој агол (cos(γ)), а аркозинската функција ќе помогне да се претвори во агол во степени: γ=arccos(2*a/(c-b )). Така ќе ја добиете вредноста на еден од акутните агли, а бидејќи е рамнокрак, и вториот остар агол ќе ја има истата вредност. Збирот на сите агли мора да биде 360°, што значи дека збирот на два агли ќе биде еднаков на разликата помеѓу овој и двојно повеќе од акутниот агол. Бидејќи и двата тапи агли ќе бидат исти, за да се најде вредноста на секој од нив (α), оваа разлика мора да се подели на половина: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* а/(в-б)) . Сега имате пресметки на сите агли на рамнокрак трапез со оглед на познатите должини на неговите страни.
Ако должините на страните на сликата се непознати, но неговата висина (h) е дадена, тогаш треба да продолжите според истата шема. Во овој случај, во правоаголен триаголник составен од , страна и краток сегмент на долга основа, ќе ги знаете должините на двете краци. Нивниот сооднос ја одредува тангентата на аголот што ви треба, а оваа тригонометриска функција има и свој антипод, кој ја претвора вредноста на тангентата во вредност на аголот - арктангента. Трансформирајте ги соодветно формулите за остри и тапи агли добиени во претходниот чекор: γ = arctg(2*h/(c-b)) и α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).
За да го решите овој проблем користејќи методи на векторска алгебра, треба да ги знаете следните концепти: геометриска векторска сума и скаларен производ на вектори, а исто така треба да се сеќавате на својството на збирот на внатрешните агли на четириаголник.
Ќе ви треба
- - хартија;
- - пенкало;
- - владетел.
Инструкции
Вектор е насочен сегмент, односно величина што се смета за целосно специфицирана ако се дадени неговата должина и насока (агол) кон дадена оска. Позицијата на векторот повеќе не е ограничена со ништо. Два вектори со должина и иста насока се сметаат за еднакви. Затоа, кога се користат координати, векторите се претставени со вектори на радиусот на точките на неговиот крај (почетокот е од почетокот на координатите).
По дефиниција: добиениот вектор на геометриски збир на вектори е вектор кој започнува од почетокот на првиот и го има крајот на вториот, под услов крајот на првиот да се комбинира со почетокот на вториот. Ова може да се продолжи понатаму, градејќи синџир од слично лоцирани вектори.
Нацртајте го даденото ABCD со векторите a, b, c и d на сл. 1. Очигледно, со овој распоред добиениот вектор е d=a+ b+c.
Во овој случај, скаларниот производ е попогоден врз основа на векторите a и d. Точка производ, означен со (a, d)= |a||d|cosф1. Овде φ1 е аголот помеѓу векторите a и d.
Производот на точки на вектори дадени со координати се дефинира со следново:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, потоа
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).