Линеарна функција
Линеарна функцијае функција која може да се специфицира со формулата y = kx + b,
каде што x е независна променлива, k и b се некои броеви.
Графикот на линеарна функција е права линија.
Се нарекува бројот k наклон на права линија– график на функцијата y = kx + b.
Ако k > 0, тогаш аголот на наклонетост на правата линија y = kx + b кон оската Xзачинета; ако к< 0, то этот угол тупой.
Ако наклоните на правите што се графикони на две линеарни функции се различни, тогаш овие линии се сечат. И ако аголните коефициенти се исти, тогаш линиите се паралелни.
График на функција y =kx +б, каде k ≠ 0, е права паралелна на правата y = kx.
Директна пропорционалност.
Директна пропорционалносте функција која може да се специфицира со формулата y = kx, каде што x е независна променлива, k е број што не е нула. Се нарекува бројот k коефициент на директна пропорционалност.
Графикот на директна пропорционалност е права линија што минува низ потеклото на координатите (види слика).
Директната пропорционалност е посебен случај на линеарна функција.
Својства на функцииy =kx:
Обратна пропорционалност
Обратна пропорционалностсе нарекува функција која може да се определи со формулата:
к
y = -
x
Каде xе независната променлива, и к– број кој не е нула.
Графикот на обратна пропорционалност е крива наречена хипербола(види слика).
За крива што е графикот на оваа функција, оската xИ yдејствуваат како асимптоти. Асимптота- ова е права линија до која се приближуваат точките на кривата додека се оддалечуваат до бесконечноста.
к
Својства на функцииy = -:
x
Концептот на директна пропорционалност
Замислете дека планирате да ги купите вашите омилени бонбони (или нешто што навистина ви се допаѓа). Слатките во продавницата имаат своја цена. Да речеме 300 рубли за килограм. Колку повеќе бонбони купувате, толку повеќе пари плаќате. Односно, ако сакате 2 килограми, платите 600 рубли, а ако сакате 3 килограми, платите 900 рубли. Се чини дека сето ова е јасно, нели?
Ако да, тогаш сега ви е јасно што е директна пропорционалност - ова е концепт кој ја опишува врската на две големини зависни една од друга. И односот на овие количини останува непроменет и константен: за колку делови еден од нив се зголемува или намалува, за ист број делови вториот се зголемува или намалува пропорционално.
Директната пропорционалност може да се опише со следнава формула: f(x) = a*x, а a во оваа формула е константна вредност (a = const). Во нашиот пример за бонбоните, цената е константна вредност, константа. Не се зголемува или намалува, без разлика колку бонбони ќе одлучите да купите. Независната променлива (аргумент) x е колку килограми бонбони ќе купите. А зависната променлива f(x) (функција) е колку пари на крајот плаќате за купувањето. Така, можеме да ги замениме броевите во формулата и да добиеме: 600 рубли. = 300 рубли. * 2 кг.
Средниот заклучок е овој: ако аргументот се зголемува, функцијата исто така се зголемува, ако аргументот се намалува, функцијата исто така се намалува
Функција и нејзините својства
Директно пропорционална функцијае посебен случај на линеарна функција. Ако линеарната функција е y = k*x + b, тогаш за директна пропорционалност таа изгледа вака: y = k*x, каде што k се нарекува коефициент на пропорционалност и секогаш е број кој не е нула. Лесно се пресметува k - се наоѓа како количник на функција и аргумент: k = y/x.
За да биде појасно, да земеме уште еден пример. Замислете дека автомобил се движи од точка А до точка Б. Неговата брзина е 60 km/h. Ако претпоставиме дека брзината на движење останува константна, тогаш таа може да се земе како константа. А потоа ги запишуваме условите во форма: S = 60*t, и оваа формула е слична на функцијата на директна пропорционалност y = k *x. Да повлечеме паралела понатаму: ако k = y/x, тогаш брзината на автомобилот може да се пресмета знаејќи го растојанието помеѓу A и B и времето поминато на патот: V = S /t.
И сега, од применетата примена на знаењето за директната пропорционалност, да се вратиме на неговата функција. Чии својства вклучуваат:
неговиот домен на дефиниција е множеството од сите реални броеви (како и неговите подмножества);
функцијата е непарна;
промената на променливите е правопропорционална по целата должина на бројната права.
Директна пропорционалност и нејзиниот график
Графикот на функцијата на директна пропорционалност е права линија што го пресекува потеклото. За да го изградите, доволно е да означите само уште една точка. И поврзете го и потеклото на координатите со права линија.
Во случај на график, k е наклонот. Ако наклонот е помал од нула (к< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), графикот и х-оската формираат остар агол, а функцијата се зголемува.
И уште едно својство на графикот на функцијата на директна пропорционалност е директно поврзано со наклонот k. Да претпоставиме дека имаме две неидентични функции и, соодветно, два графика. Значи, ако коефициентите k на овие функции се еднакви, нивните графикони се наоѓаат паралелно со координатната оска. И ако коефициентите k не се еднакви еден со друг, графиконите се сечат.
Примерок проблеми
Сега да решиме пар проблеми со директна пропорционалност
Да почнеме со нешто едноставно.
Проблем 1: Замислете дека 5 кокошки снеле 5 јајца за 5 дена. И ако има 20 кокошки, колку јајца ќе снесат за 20 дена?
Решение: Да ја означиме непознатата со kx. И ќе резонираме на следниов начин: колку пати повеќе пилиња станаа? Поделете 20 на 5 и дознајте дека е 4 пати. Колку пати повеќе јајца ќе снесат 20 кокошки во истите 5 дена? Исто така 4 пати повеќе. Значи, нашата ја наоѓаме вака: 5*4*4 = 80 јајца ќе снесат 20 кокошки за 20 дена.
Сега примерот е малку покомплициран, ајде да го парафразираме проблемот од „Општата аритметика“ на Њутн. Задача 2: Писателот може да состави 14 страници од нова книга за 8 дена. Кога би имал асистенти, колку луѓе би биле потребни за да напишат 420 страници за 12 дена?
Решение: Размислуваме дека бројот на луѓе (писател + асистенти) се зголемува со обемот на работата, ако таа треба да се направи во исто време. Но, колку пати? Поделувајќи 420 со 14, дознаваме дека се зголемува за 30 пати. Но, бидејќи, според условите на задачата, се дава повеќе време за работата, бројот на асистенти се зголемува не за 30 пати, туку на овој начин: x = 1 (писател) * 30 (пати): 12/8 ( денови). Ајде да се трансформираме и да дознаеме дека x = 20 луѓе ќе напишат 420 страници за 12 дена.
Ајде да решиме уште еден проблем сличен на оние во нашите примери.
Проблем 3: Два автомобили тргнаа на исто патување. Едниот се движел со брзина од 70 км/ч и го поминал истото растојание за 2 часа колку што на другиот му биле потребни 7 часа. Најдете ја брзината на вториот автомобил.
Решение: Како што се сеќавате, патеката се одредува преку брзината и времето - S = V *t. Бидејќи двата автомобили поминаа исто растојание, можеме да ги изедначиме двата израза: 70*2 = V*7. Како да откриеме дека брзината на вториот автомобил е V = 70*2/7 = 20 km/h.
И уште неколку примери на задачи со функции на директна пропорционалност. Понекогаш проблемите бараат да се најде коефициентот k.
Задача 4: Со оглед на функциите y = - x/16 и y = 5x/2, определи ги нивните коефициенти на пропорционалност.
Решение: Како што се сеќавате, k = y/x. Тоа значи дека за првата функција коефициентот е еднаков на -1/16, а за втората k = 5/2.
Може да наидете и на задача како Задача 5: Запишете ја директната пропорционалност со формула. Неговиот график и графикот на функцијата y = -5x + 3 се наоѓаат паралелно.
Решение: Функцијата што ни е дадена во условот е линеарна. Знаеме дека директната пропорционалност е посебен случај на линеарна функција. Исто така, знаеме дека ако коефициентите на k функции се еднакви, нивните графикони се паралелни. Ова значи дека се што е потребно е да се пресмета коефициентот на позната функција и да се постави директна пропорционалност користејќи ја формулата позната нам: y = k *x. Коефициент k = -5, директна пропорционалност: y = -5*x.
Заклучок
Сега научивте (или се сетивте, ако веќе сте ја опфатиле оваа тема претходно) како се нарекува директна пропорционалност, и го погледна примери. Разговаравме и за функцијата на директна пропорционалност и нејзиниот график и решивме неколку примери на задачи.
Ако овој напис беше корисен и ви помогна да ја разберете темата, кажете ни за тоа во коментарите. За да знаеме дали можеме да ви користиме.
blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.
Трихлеб Даниил, ученик во 7-мо одделение
запознавање со правопропорционалноста и коефициентот на директна пропорционалност (воведување на концептот аголен коефициент“);
конструирање график на директна пропорционалност;
разгледување на релативната положба на графикони со директна пропорционалност и линеарни функции со идентични аголни коефициенти.
Преземи:
Преглед:
За да користите прегледи на презентации, креирајте сметка на Google и најавете се на неа: https://accounts.google.com
Наслов на слајд:
Директна пропорционалност и нејзиниот график
Кој е аргументот и вредноста на функцијата? Која променлива се нарекува независна или зависна? Што е функција? ПРЕГЛЕД Кој е доменот на функцијата?
Методи за одредување функција. Аналитички (со користење на формула) Графички (со користење на график) Табеларен (со користење на табела)
Графикот на функцијата е збир на сите точки на координатната рамнина, чии апсциси се еднакви на вредностите на аргументот, а ординатите се соодветните вредности на функцијата. РАСПОРЕД НА ФУНКЦИИ
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
ПОВРШИ ЈА ЗАДАЧАТА Конструирај график на функцијата y = 2 x +1, каде што 0 ≤ x ≤ 4. Направете маса. Користејќи го графикот, пронајдете ја вредноста на функцијата на x=2,5. При која вредност на аргументот вредноста на функцијата е еднаква на 8?
Дефиниција Директната пропорционалност е функција која може да се определи со формула од формата y = k x, каде што x е независна променлива, k е број што не е нула. (к-коефициент на директна пропорционалност) Директна пропорционалност
8 График на директна пропорционалност - права линија што минува низ потеклото на координатите (точка O(0,0)) За да се конструира график на функцијата y= kx, доволни се две точки, од кои едната е O (0,0) За k > 0, графикот се наоѓа на I и III координатни четвртини. На к
Графикони на функции со права пропорционалност y x k>0 k>0 k
Задача Определи кој од графиконите ја прикажува функцијата на права пропорционалност.
Задача Определи кој графикон на функции е прикажан на сликата. Изберете формула од трите понудени.
Усна работа. Може ли графикот на функцијата даден со формулата y = k x, каде што k
Определи кои од точките A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) припаѓаат на графикот на директна пропорционалност даден со формулата y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - неточно. Точката А не припаѓа на графикот на функцијата y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - точно. Точката Б припаѓа на графикот на функцијата y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - неточна Точката C не припаѓа на графикот на функцијата y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5 0 0 = 0 - точно. Точката Е припаѓа на графикот на функцијата y=5x
ТЕСТ 1 опција 2 опција бр. 1. Кои од функциите дадени со формулата се правопропорционални? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D. y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
бр.2. Запишете ги броевите на правите y = kx, каде k > 0 1 опција k
бр. 3. Определи кои од точките припаѓаат на графикот на директна пропорционалност, даден со формулата Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 опција C (1, -1), E (0.0 ) Опција 2
y =5x y =10x III A VI и IV E 1 2 3 1 2 3 Бр Точен одговор Точен одговор Бр.
Заврши ја задачата: Шематски прикажи како се наоѓа графикот на функцијата дадена со формулата: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x
ЗАДАЧА Од следните графикони изберете само графикони со директна пропорционалност.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Функции y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Изберете функции од формата y = k x (директна пропорционалност) и запишете ги
Функции на директна пропорционалност Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x
y Линеарни функции кои не се функции со директна пропорционалност 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5
Домашна задача: став 15 стр.65-67, бр.307; бр.308.
Да го повториме повторно. Кои нови работи научивте? Што научивте? Што ви беше особено тешко?
Ми се допадна лекцијата и темата е разбрана: ми се допадна лекцијата, но сепак не разбирам сè: не ми се допадна лекцијата и темата не е јасна.
Во 7 и 8 одделение се изучува графикот на директна пропорционалност.
Како да се изгради графикон за директна пропорционалност?
Да го погледнеме графикот на директна пропорционалност користејќи примери.
Формула за графикон за директна пропорционалност
Графикот на директна пропорционалност претставува функција.
Генерално, директната пропорционалност ја има формулата
Аголот на наклон на графиконот на директна пропорционалност во однос на оската x зависи од големината и знакот на коефициентот на директна пропорционалност.
Графикот на директна пропорционалност поминува низ
График на директна пропорционалност поминува низ потеклото.
Графикот на директна пропорционалност е права линија. Правата линија е дефинирана со две точки.
Така, кога се конструира графикон со директна пропорционалност, доволно е да се одреди позицијата на две точки.
Но, ние секогаш знаеме еден од нив - ова е потеклото на координатите.
Останува само да се најде вториот. Ајде да погледнеме пример за конструирање график на директна пропорционалност.
Директна пропорционалност на графиконот y = 2x
Задача .
Нацртај график на директна пропорционалност даден со формулата
Решение .
Сите бројки се таму.
Земете кој било број од доменот на директна пропорционалност, нека биде 1.
Најдете ја вредноста на функцијата кога x е еднаква на 1
Y=2x=
2 * 1 = 2
односно за x = 1 добиваме y = 2. Точката со овие координати припаѓа на графикот на функцијата y = 2x.
Знаеме дека графикот на директна пропорционалност е права линија, а права линија се дефинира со две точки.
Пропорционалноста е однос помеѓу две величини, во кои промената на едната од нив повлекува промена на другата за иста количина.
Пропорционалноста може да биде директна или инверзна. Во оваа лекција ќе го разгледаме секој од нив.
Содржина на лекцијатаДиректна пропорционалност
Да претпоставиме дека автомобилот се движи со брзина од 50 km/h. Се сеќаваме дека брзината е поминатото растојание по единица време (1 час, 1 минута или 1 секунда). Во нашиот пример, автомобилот се движи со брзина од 50 km/h, односно за еден час ќе помине растојание од педесет километри.
Дозволете ни да го прикажеме на сликата растојанието поминато со автомобилот за 1 час.
Нека вози автомобилот уште еден час со иста брзина од педесет километри на час. Потоа излегува дека автомобилот ќе помине 100 км
Како што може да се види од примерот, удвојувањето на времето доведе до зголемување на поминатото растојание за иста количина, односно двапати.
Количините како што се времето и растојанието се нарекуваат директно пропорционални. И односот помеѓу таквите количини се нарекува директна пропорционалност.
Директната пропорционалност е односот помеѓу две величини во кои зголемувањето на едната од нив повлекува зголемување на другата за иста количина.
и обратно, ако едното количество се намалува за одреден број пати, тогаш и другото се намалува за ист број пати.
Да претпоставиме дека првичниот план бил автомобилот да се вози 100 километри за 2 часа, но откако извозил 50 километри, возачот решил да се одмори. Потоа излегува дека со намалување на растојанието за половина, времето ќе се намали за иста количина. Со други зборови, намалувањето на поминатото растојание ќе доведе до намалување на времето за исто толку.
Интересна карактеристика на директно пропорционалните величини е тоа што нивниот однос е секогаш константен. Односно, кога се менуваат вредностите на директно пропорционалните количини, нивниот сооднос останува непроменет.
Во разгледуваниот пример, растојанието првично беше 50 km, а времето беше еден час. Односот на растојанието до времето е бројот 50.
Но, го зголемивме времето на патување за 2 пати, што го прави еднакво на два часа. Како резултат на тоа, поминатото растојание се зголеми за иста количина, односно стана еднакво на 100 км. Односот од сто километри до два часа е повторно бројот 50
Се вика бројот 50 коефициент на директна пропорционалност. Тоа покажува колку растојание има на час движење. Во овој случај, коефициентот ја игра улогата на брзина на движење, бидејќи брзината е односот на поминатото растојание до времето.
Пропорциите можат да се направат од директно пропорционални количини. На пример, соодносите ја сочинуваат пропорцијата:
Педесет километри се до еден час како што сто километри се до два часа.
Пример 2. Трошокот и количината на купените стоки се директно пропорционални. Ако 1 кг слатки чини 30 рубли, тогаш 2 кг од истите слатки ќе чинат 60 рубли, 3 кг 90 рубли. Како што се зголемува цената на купениот производ, неговата количина се зголемува за истиот износ.
Бидејќи цената на чинење на производот и неговата количина се директно пропорционални количини, нивниот однос е секогаш константен.
Ајде да запишеме кој е односот од триесет рубли до еден килограм
Сега да запишеме колкав е односот од шеесет рубли до два килограми. Овој сооднос повторно ќе биде еднаков на триесет:
Овде коефициентот на директна пропорционалност е бројот 30. Овој коефициент покажува колку рубли има за килограм слатки. Во овој пример, коефициентот ја игра улогата на цената на еден килограм стока, бидејќи цената е односот на цената на стоката со нејзината количина.
Обратна пропорционалност
Размислете за следниот пример. Растојанието меѓу двата града е 80 километри. Мотоциклистот го напуштил првиот град и со брзина од 20 км/ч стигнал до вториот град за 4 часа.
Ако брзината на мотоциклист била 20 km/h, тоа значи дека секој час поминувал растојание од дваесет километри. Дозволете ни да го прикажеме на сликата растојанието што го поминал мотоциклистот и времето на неговото движење:
На враќање, брзината на мотоциклистот била 40 km/h, а на истото патување поминал 2 часа.
Лесно е да се забележи дека кога се менува брзината, времето на движење се менува за иста количина. Покрај тоа, се промени во спротивна насока - односно, брзината се зголеми, но времето, напротив, се намали.
Количините како што се брзината и времето се нарекуваат обратно пропорционални. И односот помеѓу таквите количини се нарекува обратна пропорционалност.
Обратна пропорционалност е односот помеѓу две величини во кои зголемувањето на едната од нив повлекува намалување на другата за иста количина.
и обратно, ако едната количина се намали за одреден број пати, тогаш другата се зголемува за ист број пати.
На пример, ако на враќање, брзината на мотоциклистот била 10 km/h, тогаш тој би ги поминал истите 80 km за 8 часа:
Како што може да се види од примерот, намалувањето на брзината доведе до зголемување на времето на движење за иста количина.
Особеноста на обратно пропорционалните величини е тоа што нивниот производ е секогаш константен. Односно, кога се менуваат вредностите на обратно пропорционалните количини, нивниот производ останува непроменет.
Во разгледуваниот пример, растојанието помеѓу градовите беше 80 km. Кога се менувале брзината и времето на движење на мотоциклистот, ова растојание секогаш останувало непроменето
Мотоциклист може да го помине ова растојание со брзина од 20 km/h за 4 часа, а со брзина од 40 km/h за 2 часа и со брзина од 10 km/h за 8 часа. Во сите случаи, производот на брзината и времето беше еднаков на 80 km
Дали ви се допадна лекцијата?
Придружете се на нашата нова група VKontakte и започнете да добивате известувања за нови лекции