Оваа статија зборува за одредување на растојанието од точка до рамнина. Ајде да го анализираме користејќи го методот на координати, кој ќе ни овозможи да го најдеме растојанието од дадена точка во тродимензионален простор. За да го зајакнеме ова, ајде да погледнеме примери на неколку задачи.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Растојанието од точка до рамнина се наоѓа преку познатото растојание од точка до точка, каде што е дадена едната од нив, а другата е проекција на дадена рамнина.
Кога точката M 1 со рамнина χ е наведена во просторот, тогаш низ точката може да се повлече права линија нормална на рамнината. H 1 е нивната заедничка точка на пресек. Од ова добиваме дека отсечката M 1 H 1 е нормална извлечена од точката M 1 до рамнината χ, каде што точката H 1 е основата на нормалната.
Дефиниција 1
Растојанието од дадена точка до основата на нормалната извлечена од дадена точка до дадена рамнина се вика.
Дефиницијата може да биде напишана во различни формулации.
Дефиниција 2
Растојание од точка до авионе должината на нормалната извлечена од дадена точка до дадена рамнина.
Растојанието од точката M 1 до χ рамнината се одредува на следниов начин: растојанието од точката M 1 до рамнината χ ќе биде најмалото од дадена точка до која било точка на рамнината. Ако точката H 2 се наоѓа во χ рамнината и не е еднаква на точката H 2, тогаш добиваме правоаголен триаголник од формата M 2 H 1 H 2 , кој е правоаголен, каде што има крак M 2 H 1, M 2 H 2 - хипотенуза. Тоа значи дека произлегува дека M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 се смета за наклонет, кој е извлечен од точката M 1 до рамнината χ. Имаме дека нормалната извлечена од дадена точка на рамнината е помала од наклонетата нацртана од точката до дадената рамнина. Да го погледнеме овој случај на сликата подолу.
Растојание од точка до рамнина - теорија, примери, решенија
Постојат голем број на геометриски проблеми чии решенија мора да го содржат растојанието од точка до рамнина. Може да има различни начини да се идентификува ова. За да решите, користете ја Питагоровата теорема или сличноста на триаголниците. Кога, според условот, е потребно да се пресмета растојанието од точка до рамнина, дадено во правоаголен координатен систем од тридимензионален простор, тоа се решава со координатен метод. Овој став го разгледува овој метод.
Според условите на задачата имаме дека е дадена точка во тродимензионален простор со координати M 1 (x 1, y 1, z 1) со рамнина χ, потребно е да се определи растојанието од M 1 до рамнината χ. За да се реши овој проблем се користат неколку методи за решение.
Првиот начин
Овој метод се заснова на наоѓање на растојанието од точка до рамнина со помош на координатите на точката H 1, кои се основата на нормалната од точката M 1 до рамнината χ. Следно, треба да го пресметате растојанието помеѓу M 1 и H 1.
За да ја решите задачата на вториот начин, користете ја нормалната равенка на дадена рамнина.
Втор начин
По услов, имаме дека H 1 е основата на нормалната, која беше спуштена од точката M 1 до рамнината χ. Потоа ги одредуваме координатите (x 2, y 2, z 2) на точката H 1. Потребното растојание од M 1 до χ рамнината се наоѓа со формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, каде што M 1 (x 1, y 1, z 1) и H 1 (x 2, y 2, z 2). За да решите, треба да ги знаете координатите на точката H 1.
Имаме дека H 1 е точка на пресек на χ рамнината со правата a, која минува низ точката M 1 која се наоѓа нормално на χ рамнината. Следи дека е неопходно да се состави равенка за права линија што минува низ дадена точка нормална на дадена рамнина. Тогаш ќе можеме да ги одредиме координатите на точката H 1. Неопходно е да се пресметаат координатите на точката на пресек на правата и рамнината.
Алгоритам за наоѓање на растојание од точка со координати M 1 (x 1, y 1, z 1) до рамнината χ:
Дефиниција 3
- состави равенка на права а која минува низ точката М 1 и во исто време
- нормално на χ рамнината;
- најдете и пресметајте ги координатите (x 2 , y 2 , z 2) од точката H 1, кои се точки
- пресек на правата a со рамнината χ;
- пресметајте го растојанието од M 1 до χ користејќи ја формулата M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.
Трет начин
Во даден правоаголен координатен систем O x y z има рамнина χ, тогаш добиваме нормална равенка на рамнината од формата cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. Од тука добиваме дека растојанието M 1 H 1 со точката M 1 (x 1 , y 1 , z 1) повлечена на рамнината χ, пресметано со формулата M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Оваа формула е валидна, бидејќи е воспоставена благодарение на теоремата.
Теорема
Ако точка M 1 (x 1, y 1, z 1) е дадена во тридимензионален простор, со нормална равенка на рамнината χ од формата cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, тогаш пресметувајќи го растојанието од точката до рамнината M 1 H 1 се добива од формулата M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, бидејќи x = x 1, y = y 1 , z = z 1.
Доказ
Доказот на теоремата се сведува на наоѓање на растојанието од точка до права. Од ова добиваме дека растојанието од M 1 до χ рамнината е модул на разликата помеѓу нумеричката проекција на векторот на радиусот M 1 со растојанието од почетокот до χ рамнината. Потоа го добиваме изразот M 1 H 1 = n p n → O M → - стр. Нормалниот вектор на рамнината χ има форма n → = cos α, cos β, cos γ, а неговата должина е еднаква на една, n p n → O M → е нумеричка проекција на векторот O M → = (x 1, y 1 , z 1) во насока определена со векторот n → .
Да ја примениме формулата за пресметување на скаларните вектори. Потоа добиваме израз за наоѓање вектор од формата n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , бидејќи n → = cos α , cos β , cos γ · z и O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Координатната форма на пишување ќе има форма n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , потоа M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Теоремата е докажана.
Оттука добиваме дека растојанието од точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до рамнината χ се пресметува со замена на cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 во левата страна на нормалната равенка на рамнината наместо x, y, z координатите x 1, y 1 и z 1, што се однесува на точката М 1, земајќи ја апсолутната вредност на добиената вредност.
Ајде да погледнеме примери за наоѓање на растојание од точка со координати до дадена рамнина.
Пример 1
Пресметај го растојанието од точката со координати M 1 (5, - 3, 10) до рамнината 2 x - y + 5 z - 3 = 0.
Решение
Ајде да го решиме проблемот на два начина.
Првиот метод започнува со пресметување на векторот на насоката на правата a. По услов, имаме дека дадената равенка 2 x - y + 5 z - 3 = 0 е равенка на општа рамнина, а n → = (2, - 1, 5) е нормалниот вектор на дадената рамнина. Се користи како вектор на насока на права линија a, која е нормална на дадена рамнина. Потребно е да се запише канонската равенка на права во просторот што минува низ M 1 (5, - 3, 10) со вектор на насока со координати 2, - 1, 5.
Равенката ќе стане x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.
Мора да се утврдат пресечните точки. За да го направите ова, нежно комбинирајте ги равенките во систем за да се преместите од канонската на равенките на две линии кои се пресекуваат. Да ја земеме оваа точка како H 1. Го добиваме тоа
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
После тоа треба да го овозможите системот
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
Да се свртиме кон правилото за решение на Гаусовиот систем:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1
Добиваме дека H 1 (1, - 1, 0).
Го пресметуваме растојанието од дадена точка до рамнината. Ги земаме точките M 1 (5, - 3, 10) и H 1 (1, - 1, 0) и добиваме
M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
Второто решение е прво да се доведе дадената равенка 2 x - y + 5 z - 3 = 0 во нормална форма. Го одредуваме факторот за нормализирање и добиваме 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Од тука ја изведуваме равенката на рамнината 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Левата страна на равенката се пресметува со замена на x = 5, y = - 3, z = 10, и треба да го земете растојанието од M 1 (5, - 3, 10) до 2 x - y + 5 z - 3 = 0 модул. Го добиваме изразот:
M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
Одговор: 2 30.
Кога рамнината χ е одредена со еден од методите во делот за методи за одредување рамнина, тогаш прво треба да ја добиете равенката на рамнината χ и да го пресметате потребното растојание користејќи кој било метод.
Пример 2
Во тродимензионалниот простор се наведени точките со координати M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Пресметај го растојанието од M 1 до рамнината A B C.
Решение
Прво треба да ја запишете равенката на рамнината што минува низ дадените три точки со координати M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1).
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Следи дека проблемот има решение слично на претходното. Тоа значи дека растојанието од точката M 1 до рамнината A B C има вредност 2 30.
Одговор: 2 30.
Наоѓањето на растојанието од дадена точка на рамнина или до рамнина на која тие се паралелни е попогодно со примена на формулата M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Од ова добиваме дека нормалните равенки на рамнините се добиваат во неколку чекори.
Пример 3
Најдете го растојанието од дадена точка со координати M 1 (- 3, 2, - 7) до координатната рамнина O x y z и рамнината дадена со равенката 2 y - 5 = 0.
Решение
Координатната рамнина O y z одговара на равенка од формата x = 0. За O y z рамнината е нормално. Затоа, неопходно е да се заменат вредностите x = - 3 во левата страна на изразот и да се земе апсолутната вредност на растојанието од точката со координати M 1 (- 3, 2, - 7) до рамнината. Добиваме вредност еднаква на - 3 = 3.
По трансформацијата, нормалната равенка на рамнината 2 y - 5 = 0 ќе добие форма y - 5 2 = 0. Потоа можете да го најдете потребното растојание од точката со координати M 1 (- 3, 2, - 7) до рамнината 2 y - 5 = 0. Заменувајќи и пресметувајќи, добиваме 2 - 5 2 = 5 2 - 2.
Одговор:Потребното растојание од M 1 (- 3, 2, - 7) до O y z има вредност 3, а до 2 y - 5 = 0 има вредност од 5 2 - 2.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини тела во Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Тип на работа: 14
Состојба
Во правилна триаголна пирамида DABC со основа ABC, страната на основата е 6\sqrt(3),а висината на пирамидата е 8. На рабовите AB, AC и AD, точките M, N и K се означени, соодветно, така што AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2)И AK=\frac(5)(2).
А)Докажете дека рамнините МНК и ДБЦ се паралелни.
б)Најдете го растојанието од точката К до рамнината DBC.
Прикажи решениеРешение
А)Рамнините MNK и DBC се паралелни ако две линии на една рамнина што се пресекуваат се соодветно паралелни со две пресечни права на друга рамнина. Да го докажеме тоа. Размислете за правата MN и KM на рамнината MNK и линиите BC и DB на рамнината DBC.
Во триаголникот AOD: \агол AOD = 90^\circ и според Питагоровата теорема AD=\sqrt(DO^2 +AO^2).
Да го најдеме AO користејќи го фактот дека \bigtriangleup ABC е точен.
AO=\frac(2)(3)AO_1,каде AO_1 е висината на \големиот триаголник ABC, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2),каде што a е страната на \големиот триаголник ABC.
AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9,тогаш AO=6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.
1. Бидејќи \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2): 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4)и \angle DAB е општо, тогаш \bigtriangleup AKM \sim ADB.
Од сличноста произлегува дека \агол AKM = \агол АДБ. Ова се соодветните агли за правите линии KM и BD и секантата AD. Значи КМ \паралелно БД.
2. Бидејќи \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4)и \агол CAB е вообичаен, тогаш \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.
Од сличноста произлегува дека \агол ANM = \агол ACB. Овие агли одговараат на правата MN и BC и секантата AC. Ова значи MN \паралелно п.н.е.
Заклучок: бидејќи две пресечни прави KM и MN на рамнината MNK се соодветно паралелни со две пресечни прави BD и BC на рамнината DBC, тогаш овие рамнини се паралелни - MNK \паралелно DBC.
б)Да го најдеме растојанието од точката К до рамнината BDC.
Бидејќи рамнината MNK е паралелна со рамнината DBC, растојанието од точката K до рамнината DBC е еднакво на растојанието од точката O_2 до рамнината DBC и е еднакво на должината на отсечката O_2 H. Да го докажеме ова.
BC \perp AO_1 и BC \perp DO_1 (како висини на триаголниците ABC и DBC), што значи BC е нормално на рамнината ADO_1, а потоа BC е нормално на која било линија од оваа рамнина, на пример, O_2 H. По конструкција , O_2H\perp DO_1, што значи O_2H е нормална две вкрстени права на BCD рамнината, а потоа отсечката O_2 H е нормална на BCD рамнината и еднаква на растојанието од O_2 до рамнината BCD.
Во триаголник O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\агол HO_(1)O_(2).
О_(2)О_(1)=АО_(1)-АО_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).
O_(2) O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).
\sin \агол DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73)).
O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).
Одговори
\frac(54)(\sqrt(73))
Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју Кулабухова.
Тип на работа: 14
Тема: Растојание од точка до рамнина
Состојба
ABCDA_1B_1C_1D_1 е правилна четириаголна призма.
а) Докажете дека рамнината BB_1D_1 \perp AD_1C .
б) Знаејќи AB = 5 и AA_1 = 6, пронајдете го растојанието од точката B_1 до рамнината AD_1C.
Прикажи решениеРешение
а) Бидејќи оваа призма е правилна, тогаш BB_1 \perp ABCD, па оттука и BB_1 \perp AC. Бидејќи ABCD е квадрат, тогаш AC \perp BD . Така AC \perp BD и AC \perp BB_1 . Бидејќи правите BD и BB_1 се сечат, тогаш, според знакот за перпендикуларност на права и рамнина, AC \perp BB_1D_1D. Сега врз основа на перпендикуларноста на рамнините AD_1C \perp BB_1D_1.
б) Да ја означиме со О пресечната точка на дијагоналите AC и BD на квадратот ABCD. Рамнините AD_1C и BB_1D_1 се сечат по права линија OD_1. Нека B_1H е нормална нацртана во рамнината BB_1D_1 на правата линија OD_1. Потоа B_1H \perp AD_1C . Нека E=OD_1 \капа BB_1 . За слични триаголници D_1B_1E и OBE (еднаквоста на соодветните агли произлегува од условот BO \паралела B_1D_1) имаме \frac (B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.
Ова значи B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. Бидејќи B_1D_1=5\sqrt(2) , тогаш хипотенузата D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194).Следно, го користиме методот на површина во триаголникот D_1B_1E за да ја пресметаме висината B_1H спуштена на хипотенузата D_1E:
S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;
B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).
Одговори
\frac(60\sqrt(97))(97)
Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2016 г. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју Кулабухова.
Тип на работа: 14
Тема: Растојание од точка до рамнина
Состојба
ABCDA_1B_1C_1D_1 е правоаголен паралелепипед. Рабови AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .
а) Докажете дека растојанијата од точките B и D до рамнината ACD_(1) се исти.
б) Најдете го ова растојание.
Прикажи решениеРешение
А)Размислете за триаголната пирамида D_1ACD.
Во оваа пирамида, растојанието од точката D до основната рамнина ACD_1-DH е еднакво на висината на пирамидата нацртана од точката D до основата ACD_1.
V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, од оваа еднаквост добиваме
DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).
Размислете за пирамидата D_1ABC. Растојанието од точката B до рамнината ACD_1 е еднакво на висината спуштена од врвот на B до основата на ACD_1. Да го означиме ова растојание BK. Потоа V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK, од ова добиваме BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\:Но, V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , бидејќи ако ги земеме ADC и ABC како основи во пирамидите, тогаш висината D_1D е вкупна и S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABCна две нозе). Значи BK=DH.
б) Најдете го волуменот на пирамидата D_1ACD.
Висина D_1D=4 .
S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.
V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.
Областа на лицето ACD_1 е \frac1(2)AC \cdot D_1P.
AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25
Знаејќи дека катетата на правоаголен триаголник е просечната пропорционална на хипотенузата и отсечката на хипотенузата затворена помеѓу кракот и висината извлечена од темето на правиот агол, во триаголникот ADC имаме AD^(2)=AC\cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).
Во правоаголен триаголник AD_1P според Питагоровата теорема D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\лево (\frac(49)(25) \десно)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25).
S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).
DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).
- Конструираме рамнина низ точката Аβ II α .
- Изградба на третиот авион, нормално на паралелни рамнини α И β
- На линијата на пресек на рамнините, изберете ја точката B и спуштете нормална од точката B.
- Сегмент BN - растојанието помеѓу рамнините е еднакво на растојанието од точката А до рамнинатаα . AH = BN.
2. Дадена е коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Должината на работ на коцката е 1. Најдете го растојанието од точката А до рамнината CB 1 D 1.
Решение [, 250 Kb]. Следниот алгоритам ќе ни помогне со оваа задача:
- Низ точката А конструираме рамнина нормална на рамнината α
- Ја спуштаме нормалната на линијата на пресек на рамнините AH. AR – потребното растојание од точката А до рамнината α .
На пример, во горната задача, го најдов растојанието од точката А до рамнината A 1 BT, изразувајќи двојно поголем волумен на пирамидата ABTA 1 со основата ABT.
Дадена е коцка ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со раб 1. Најдете го растојанието од точката A до рамнината A 1 BT, каде што T е средната точка на отсечката AD.
Решение [, 193Kb].
4. Во правилна четириаголна призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 со основна страна 12 и висина 21, точката M се зема на работ AA 1 така што AM = 8. Точката К се зема на работ BB 1 така што B 1 K=8. Најдете го растојанието од точката A 1 до рамнината D 1 MK.
Решение [, 347Kb].
5. Во правилна триаголна призма ABCA 1 B 1 C 1, страните на основата се еднакви на 2, а страничните рабови се еднакви на 3. Точката D е средината на работ CC 1. Најдете го растојанието од темето C до рамнината ADB 1.
Решение [, 285 Kb].
6. Основата на десната призма ABCA 1 B 1 C 1 е рамнокрак триаголник ABC, AB = AC = 5, BC = 6. Висината на призмата е 3. Најдете го растојанието од средината на работ B 1 C 1 до авионот BCA 1.
Решение [, 103 Kb].
7. Основата на десната призма ABCA 1 B 1 C 1 е правоаголен триаголник ABC со прав агол C. BC = 3. Висината на призмата е 4. Најдете го растојанието од точката B до рамнината ACB 1.
Решение [, 127 Kb].
8. Основата на призмата ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е ромб ABCD, AB = 10, ВD = 12. Висината на призмата е 6. Најдете го растојанието од центарот на лицето A 1 B 1 C 1 D 1 до рамнината BDC 1.
Решение [, 148Kb].
9. Во правилна шестоаголна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 сите рабови се еднакви на 1. Најдете го растојанието од точката B до рамнината DEA 1.
Решение [, 194Kb].
10. Даден е правилен тетраедар ABCD со раб . Најдете го растојанието од темето А до рамнината BDC.
Решение [, 119 Kb].
11. Во пирамидата DABC, сите рабови се еднакви на a. Нека O го означува центарот на основата ABC, а K средната точка на висината DO на пирамидата. Најдете го растојанието од точката K до работ ABD.
Решение [