មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃលំយោល។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធលំយោល។

កម្មវិធីសិក្សាទ្រឹស្តីលំយោលសម្រាប់សិស្ស ៤ វគ្គសិក្សា FACI


វិន័យគឺផ្អែកលើលទ្ធផលនៃវិញ្ញាសាដូចជា ពិជគណិតទូទៅបុរាណ ទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា ទ្រឹស្តីមេកានិច និងទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ។ លក្ខណៈពិសេសនៃការសិក្សាវិន័យគឺការប្រើឧបករណ៍ញឹកញាប់ ការវិភាគគណិតវិទ្យានិងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដែលពាក់ព័ន្ធផ្សេងទៀត ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង ឧទាហរណ៍សំខាន់ៗពី ប្រធានបទ មេកានិចទ្រឹស្តីរូបវិទ្យា វិស្វកម្មអគ្គិសនី សូរស័ព្ទ។


1. ការវិភាគគុណភាពនៃចលនានៅក្នុងប្រព័ន្ធអភិរក្សដែលមានកម្រិតមួយនៃសេរីភាព

  • វិធីសាស្រ្តយន្តហោះដំណាក់កាល
  • ភាពអាស្រ័យនៃរយៈពេលយោលលើទំហំ។ ប្រព័ន្ធទន់និងរឹង

2. សមីការ Duffing

  • កន្សោមសម្រាប់ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ Duffing នៅក្នុងមុខងាររាងអេលីប

3. ប្រព័ន្ធ Quasilinear

  • Van der Pol Variables
  • វិធីសាស្រ្តមធ្យម

4. លំយោលបន្ធូរអារម្មណ៍

  • សមីការ Van der Pol
  • ប្រព័ន្ធដែលរំខានដោយឯកវចនៈនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

5. ថាមវន្តនៃប្រព័ន្ធស្វយ័តមិនលីនេអ៊ែរ ទិដ្ឋភាពទូទៅជាមួយនឹងកម្រិតមួយនៃសេរីភាព

  • គំនិតនៃ "ភាពរដុប" នៃប្រព័ន្ធថាមវន្ត
  • Bifurcations នៃប្រព័ន្ធថាមវន្ត

6. ធាតុនៃទ្រឹស្តីរបស់ Floquet

  • ដំណោះស្រាយធម្មតា និងមេគុណ ប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយមេគុណតាមកាលកំណត់
  • អនុភាពប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

7. សមីការ Hill

  • ការវិភាគឥរិយាបថនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ Hill-type ជាការបង្ហាញពីការអនុវត្តទ្រឹស្តី Floquet ទៅនឹងប្រព័ន្ធ Hamiltonian លីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណតាមកាលកំណត់។
  • សមីការ Mathieu as ករណីពិសេសសមីការប្រភេទភ្នំ។ ដ្យាក្រាម Ines-Strett

8. លំយោលដោយបង្ខំនៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលមានកម្លាំងស្ដារឡើងវិញដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ

  • ទំនាក់ទំនងរវាងទំហំនៃលំយោល និងទំហំនៃកម្លាំងជំរុញដែលបានអនុវត្តចំពោះប្រព័ន្ធ
  • ការផ្លាស់ប្តូររបៀបបើកបរនៅពេលផ្លាស់ប្តូរប្រេកង់នៃកម្លាំងបើកបរ។ គំនិតនៃ hysteresis "ថាមវន្ត"

9. បំរែបំរួល Adiabatic

10. ថាមវន្តនៃប្រព័ន្ធថាមវន្តពហុវិមាត្រ

11. សមីការ Lorentz ។ អ្នកទាក់ទាញចម្លែក

  • សមីការ Lorentz ជាគំរូនៃ thermoconvection
  • Bifurcations នៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ Lorentz ។ ការផ្លាស់ប្តូរទៅភាពវឹកវរ
  • រចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគនៃវត្ថុទាក់ទាញចម្លែក

12. ការបង្ហាញមួយវិមាត្រ។ ភាពបត់បែនរបស់ Feigenbaum

  • ការធ្វើផែនទីបួនជ្រុង - ផែនទីមិនលីនេអ៊ែរសាមញ្ញបំផុត។
  • គន្លងតាមកាលកំណត់នៃផែនទី។ Bifurcations នៃគន្លងតាមកាលកំណត់

អក្សរសាស្ត្រ (សំខាន់)

1. Moiseev N.N. វិធីសាស្រ្ត asymptotic នៃមេកានិច nonlinear ។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៨១។

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. សេចក្តីផ្តើមអំពីទ្រឹស្តីនៃលំយោល និងរលក។ អេដ។ ទី 2 ។ មជ្ឈមណ្ឌលស្រាវជ្រាវ "ថាមវន្តទៀងទាត់ និងវឹកវរ" ឆ្នាំ 2000 ។

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. វិធីសាស្រ្ត asymptotic នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃលំយោល nonlinear ។ - M. : Nauka, 1974 ។

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. សេចក្តីផ្តើមនៃទ្រឹស្តីនៃលំយោលមិនមែនលីនេអ៊ែរ។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៨៧។

5. Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. សេចក្តីផ្តើមអំពីការរួមបញ្ចូលគ្នា។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៩០។

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. លំយោល រលក រចនាសម្ព័ន្ធ.. - M.: Fizmatlit, 2003 ។

អក្សរសាស្ត្រ (បន្ថែម)

7. Zhuravlev V.F., Klimov D.M. វិធីសាស្រ្តដែលបានអនុវត្តនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃលំយោល។ គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព "វិទ្យាសាស្ត្រ" ឆ្នាំ ១៩៨៨ ។

8. Stocker J. លំយោលមិនលីនេអ៊ែរនៅក្នុងប្រព័ន្ធមេកានិច និងអគ្គិសនី។ - អិមៈ អក្សរសិល្ប៍បរទេស, 1952.

9. Starzhinsky V.M. , វិធីសាស្រ្តអនុវត្តនៃលំយោល nonlinear ។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៧៧។

10. Hayashi T. លំយោលមិនលីនេអ៊ែរក្នុង ប្រព័ន្ធរាងកាយ. - អិមៈ Mir ឆ្នាំ 1968 ។

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. ទ្រឹស្ដី Oscillation ។ - អិមៈ Fizmatgiz ឆ្នាំ 1959 ។

គំនិតនៃលំយោល។ចូរយើងពិចារណាប្រព័ន្ធជាក់លាក់មួយ ពោលគឺសំណុំនៃវត្ថុដែលមានអន្តរកម្មគ្នាទៅវិញទៅមក និងជាមួយបរិស្ថានដោយយោងទៅតាមច្បាប់ជាក់លាក់មួយ។ វាអាចដូចជាប្រព័ន្ធមេកានិច ចំណុចសម្ភារៈពិត សារធាតុរឹងរាងកាយបត់បែន និងខូចទ្រង់ទ្រាយជាទូទៅ។ល។ ក៏ដូចជាប្រព័ន្ធអគ្គិសនី ជីវសាស្រ្ត និងចម្រុះ (ឧទាហរណ៍ អេឡិចត្រូនិច)។ អនុញ្ញាតឱ្យស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធនៅពេលនីមួយៗត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសំណុំប៉ារ៉ាម៉ែត្រជាក់លាក់។ ភារកិច្ចនៃទ្រឹស្ដីគឺដើម្បីទស្សន៍ទាយការវិវត្តនៃប្រព័ន្ធមួយតាមពេលវេលា ដោយបានផ្ដល់ឱ្យនូវស្ថានភាពដំបូងនៃប្រព័ន្ធ និងឥទ្ធិពលខាងក្រៅលើវា។

ចូរយើងយកប៉ារ៉ាម៉ែត្រលេខមួយនៃប្រព័ន្ធ បង្ហាញវាដោយ និង។ វាអាចជា បរិមាណមាត្រដ្ឋានដែល​ជា​សមាសធាតុ​មួយ​នៃ​វ៉ិចទ័រ ឬ tensor ជាដើម។​ ចូរ​យើង​ពិចារណា​អំពី​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​នេះ​ក្នុង​រយៈ​ពេល​ជាក់លាក់​មួយ​ ឧទាហរណ៍​ថា​នៅ​ក្នុង​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​នេះ​អាច​ជា monotonic មិន​ monotonic សំខាន់​ដែល​មិន​ monotonic (រូប​ទី 1 ។ ) ករណីចុងក្រោយគឺមានការចាប់អារម្មណ៍បំផុត។

ដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការកើនឡើង និងការថយចុះនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រឆ្លាស់គ្នាតាមពេលវេលា ត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការលំយោល ឬលំយោលធម្មតា ហើយប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃលំយោល។

វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតព្រំដែនច្បាស់លាស់ ដំណើរការ oscillatoryពីការមិនញ័រ។ ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ច ដំណើរការនៃប្រភេទដែលបង្ហាញក្នុងរូប។ 1b អាចត្រូវបានកំណត់គុណលក្ខណៈដំណើរការ oscillatory ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើតបន្ថែមទៀត និយមន័យទូទៅដំណើរការ oscillatory: ប៉ារ៉ាម៉ែត្រដំណើរការនៅលើ ផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យពេលវេលានៃការយោលទាក់ទងទៅនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ (និងផ្ទុយមកវិញ) ប្រសិនបើភាពខុសគ្នានៅក្នុងផ្នែកនេះផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាជាច្រើនដង (រូបភាពទី 1 ឃ) ។ ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចនិយាយអំពីការផ្លាស់ប្តូរលំយោលនៅក្នុងមុំនៃការបង្វិលរបស់ថាសដែលទាក់ទងទៅនឹងការបង្វិលឯកសណ្ឋានជាមួយនឹងថេរ។ ល្បឿនមុំ

ប្រសិនបើប៉ារ៉ាម៉ែត្រសំខាន់ៗទាំងអស់ ឬច្រើនបំផុតនៃប្រព័ន្ធគឺបរិមាណលំយោល នោះប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេនិយាយថាកំពុងជួបប្រទះនឹងលំយោល។ ប្រព័ន្ធដែលមានសមត្ថភាពយោលក្រោមលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនត្រូវបានគេហៅថា ប្រព័ន្ធលំយោល។ និយាយយ៉ាងតឹងរឹង ប្រព័ន្ធណាមួយសមនឹងនិយមន័យនេះ ចាប់តាំងពីសម្រាប់ប្រព័ន្ធណាមួយ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីជ្រើសរើសផលប៉ះពាល់ដែលវានឹងអនុវត្ត។ ចលនាលំយោល។. ដូច្នេះជាធម្មតាពួកគេប្រើច្រើន។ និយមន័យតូចចង្អៀត៖ ប្រព័ន្ធមួយត្រូវបានគេហៅថា oscillatory ប្រសិនបើវាមានសមត្ថភាពលំយោលនៅពេលអវត្ដមាននៃឥទ្ធិពលខាងក្រៅ (ដោយសារតែថាមពលបង្គរដំបូងប៉ុណ្ណោះ)។

កន្លែងនៃដំណើរការលំយោលក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា។ដំណើរការភាគច្រើនដែលបានសង្កេតនៅក្នុងធម្មជាតិ និងបច្ចេកវិទ្យាគឺ oscillatory ។ ដំណើរការ Oscillatory រួមមានបាតុភូតជាច្រើន៖ ពីចង្វាក់ខួរក្បាល និងចង្វាក់បេះដូង ដល់ការរំញ័រនៃផ្កាយ ណុបឡា និងផ្សេងៗទៀត។ វត្ថុអវកាស; ពីការរំញ័រនៃអាតូម ឬម៉ូលេគុលនៅក្នុងរឹង ទៅនឹងការប្រែប្រួលអាកាសធាតុនៅលើផែនដី ពីការរំញ័រនៃខ្សែសំលេងរហូតដល់ការរញ្ជួយដី។ រាល់បាតុភូតសូរស័ព្ទ និងការផ្សព្វផ្សាយ រលកអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិចក៏ត្រូវបានអមដោយដំណើរការលំយោលផងដែរ។

អង្ករ។ I. ការផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រ: a - monotonic; ខ - មិន monotonic; គ - សំខាន់មិនមែន monotonic; r - ការផ្លាស់ប្តូរដែលទាក់ទងនៅក្នុងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

IN បរិមាណនេះ។ភាគច្រើនប្រព័ន្ធមេកានិចនឹងត្រូវបានពិចារណា។ ដំណើរការលំយោលដែលកើតឡើងនៅក្នុងប្រព័ន្ធទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាលំយោលមេកានិច។ នៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យា ជាពិសេសនៅក្នុងវិស្វកម្មមេកានិច ពាក្យរំញ័រក៏ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយផងដែរ។ វាស្ទើរតែមានន័យដូចនឹងពាក្យ រំញ័រមេកានិចឬរំញ័រនៃប្រព័ន្ធមេកានិច។ ពាក្យរំញ័រត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់បំផុតដែលការរំញ័រមានអំព្លីទីតតូច និងប្រេកង់មិនទាបពេក (ឧទាហរណ៍ មនុស្សម្នាក់ស្ទើរតែមិនអាចទទួលយកពាក្យរំញ័រនៅពេលនិយាយអំពីលំយោលនៃប៉ោលនាឡិកា ឬការយោលនៃយោល)។

ទ្រឹស្តីអនុវត្តនៃរំញ័រ និងវិស្វកម្មរំញ័រ។សំណុំនៃវិធីសាស្រ្ត និងមធ្យោបាយសម្រាប់វាស់បរិមាណកំណត់លក្ខណៈរំញ័រត្រូវបានគេហៅថា vibrometry ។ សំណុំនៃវិធីសាស្រ្តនិងមធ្យោបាយដើម្បីកាត់បន្ថយ ផលប៉ះពាល់ដែលបង្កគ្រោះថ្នាក់ការរំញ័រលើមនុស្ស ឧបករណ៍ និងយន្តការត្រូវបានគេហៅថាការការពាររំញ័រ។ សំណុំនៃបច្ចេកទេសបច្ចេកវិជ្ជាផ្អែកលើការប្រើប្រាស់រំញ័រគោលដៅត្រូវបានគេហៅថាដំណើរការរំញ័រ ហើយការប្រើប្រាស់រំញ័រដើម្បីផ្លាស់ទីសម្ភារៈផលិតផលជាដើមត្រូវបានគេហៅថាការដឹកជញ្ជូនរំញ័រ។ ដើម្បីធានាបាននូវសមត្ថភាពរបស់វត្ថុដើម្បីអនុវត្តមុខងាររបស់ពួកគេ និងរក្សាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៅក្នុងដែនកំណត់ ស្តង់ដារដែលបានបង្កើតឡើងហើយដើម្បីរក្សាកម្លាំងនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌរំញ័រ ការគណនាសម្រាប់ភាពធន់នឹងរំញ័រ និងកម្លាំងរំញ័រ ឬក្នុងទម្រង់ទូទៅបន្ថែមទៀត សម្រាប់ភាពជឿជាក់នៃរំញ័រគឺត្រូវបានទាមទារ។ គោលបំណងនៃការធ្វើតេស្តរំញ័រគឺដើម្បីសិក្សាពីភាពធន់នឹងរំញ័រ កម្លាំងរំញ័រ និងប្រសិទ្ធភាពនៃវត្ថុនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌរំញ័រ ក៏ដូចជាសិក្សាពីប្រសិទ្ធភាពនៃការការពាររំញ័រ។ ភារកិច្ចនៃការវិនិច្ឆ័យរំញ័រគឺដើម្បីសិក្សាស្ថានភាពនៃវត្ថុមួយដោយផ្អែកលើការវិភាគនៃការរំញ័រដែលរំភើបដោយសិប្បនិម្មិត។

ការអភិវឌ្ឍន៍ បច្ចេកវិទ្យាទំនើបបង្កើតភារកិច្ចជាច្រើនសម្រាប់វិស្វករដែលទាក់ទងនឹងការគណនារចនាសម្ព័ន្ធផ្សេងៗ ការរចនា ការផលិត និងប្រតិបត្តិការម៉ាស៊ីន និងយន្តការគ្រប់ប្រភេទ។

ការសិក្សាអំពីឥរិយាបថនៃប្រព័ន្ធមេកានិចណាមួយតែងតែចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងជម្រើសនៃគំរូរូបវន្ត។ នៅពេលផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធពិតទៅគំរូរូបវន្តរបស់វា ជាធម្មតាប្រព័ន្ធមួយធ្វើឱ្យប្រព័ន្ធមានភាពសាមញ្ញ ដោយមិនយកចិត្តទុកដាក់លើកត្តាដែលមិនសំខាន់សម្រាប់បញ្ហាដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះនៅពេលសិក្សាប្រព័ន្ធដែលមានបន្ទុកព្យួរនៅលើខ្សែស្រឡាយទំហំនៃបន្ទុកម៉ាស់និងការអនុលោមតាមខ្សែស្រឡាយភាពធន់នៃឧបករណ៍ផ្ទុកការកកិតនៅចំណុចនៃការព្យួរជាដើមត្រូវបានគេមិនយកចិត្តទុកដាក់។

នេះបង្កើតគំរូរូបវិទ្យាដ៏ល្បីល្បាញ - ប៉ោលគណិតវិទ្យា។ ដែនកំណត់គំរូរាងកាយ ដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងការស្រាវជ្រាវបាតុភូត oscillatory

នៅក្នុងប្រព័ន្ធមេកានិច។ គំរូរូបវិទ្យាដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយមេគុណថេរ

ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរ។ ការជ្រើសរើសម៉ូដែលលីនេអ៊ែរ

ការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរគឺតាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា ជាកិច្ចការបឋម ហើយដូច្នេះវិស្វករស្រាវជ្រាវព្យាយាមពណ៌នាអំពីឥរិយាបថនៃប្រព័ន្ធដោយប្រើគំរូលីនេអ៊ែរនៅពេលណាដែលអាចធ្វើទៅបាន។

លំយោលនៃប្រព័ន្ធមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាតូច ប្រសិនបើគម្លាត និងល្បឿនអាចចាត់ទុកថាជាបរិមាណនៃលំដាប់ទីមួយនៃភាពតូច បើប្រៀបធៀបទៅនឹងទំហំលក្ខណៈ និងល្បឿននៃចំនុចនៃប្រព័ន្ធ។

ប្រព័ន្ធមេកានិចអាចដំណើរការលំយោលតូចៗបានតែនៅជិតទីតាំងលំនឹងថេរ។ លំនឹងនៃប្រព័ន្ធអាចមានស្ថេរភាព មិនស្ថិតស្ថេរ និងព្រងើយកណ្តើយ (រូបភាព 3. 8) ។

អង្ករ។ ៣.៨ ប្រភេទផ្សេងៗលំនឹង

ទីតាំងលំនឹងនៃប្រព័ន្ធមានស្ថេរភាព ប្រសិនបើប្រព័ន្ធដែលលំនឹងត្រូវបានរំខានដោយគម្លាតដំបូងតិចតួចបំផុត និង/ឬតូច ល្បឿនដំបូងធ្វើចលនាជុំវិញទីតាំងនេះ។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ស្ថេរភាពនៃទីតាំងលំនឹងនៃប្រព័ន្ធអភិរក្សជាមួយ holonomic និង ការតភ្ជាប់ថេរត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយប្រភេទនៃការពឹងផ្អែកនៃថាមពលសក្តានុពលនៃប្រព័ន្ធនៅលើកូអរដោនេទូទៅ។ សម្រាប់​ប្រព័ន្ធ​អភិរក្ស គ
ដឺក្រេនៃសេរីភាព សមីការលំនឹងមានទម្រង់

, i.e.
, កន្លែងណា
.

សមីការលំនឹងខ្លួនឯងមិនធ្វើឱ្យវាអាចវាយតម្លៃពីធម្មជាតិនៃស្ថេរភាព ឬអស្ថិរភាពនៃទីតាំងលំនឹងនោះទេ។

វាគ្រាន់តែធ្វើតាមពួកគេថាទីតាំងលំនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃខ្លាំងនៃថាមពលសក្តានុពល។

លក្ខខណ្ឌស្ថេរភាពសម្រាប់ទីតាំងលំនឹង (គ្រប់គ្រាន់) ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយទ្រឹស្តីបទ Lagrange-Dirichlet៖ ប្រសិនបើនៅក្នុងទីតាំងលំនឹងនៃប្រព័ន្ធថាមពលសក្តានុពល

មានអប្បបរមាបន្ទាប់មកស្ថានភាពនេះមានស្ថេរភាព។

.

លក្ខខណ្ឌសម្រាប់អប្បបរមានៃអនុគមន៍ណាមួយគឺថា ដេរីវេទី 2 របស់វាមានភាពវិជ្ជមាននៅពេលដែលដេរីវេទី 1 ស្មើនឹងសូន្យ។ នោះហើយជាមូលហេតុ

,

ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុទីពីរគឺសូន្យ នោះដើម្បីវាយតម្លៃស្ថិរភាព ចាំបាច់ត្រូវគណនានិស្សន្ទវត្ថុបន្តបន្ទាប់គ្នា ហើយប្រសិនបើទីមួយមិនមានស្មើនឹងសូន្យ
ដេរីវេទីវ មានលំដាប់ស្មើគ្នា និងជាវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកថាមពលសក្តានុពលនៅ
មានអប្បរមា ដូច្នេះហើយ ទីតាំងលំនឹងនៃប្រព័ន្ធនេះមានស្ថេរភាព។

ប្រសិនបើដេរីវេនេះមានលំដាប់សេស នោះពេលណា
មិនមានអតិបរមាឬអប្បបរមាទេ។ ការវាយតម្លៃស្ថានភាពលំនឹងនៃប្រព័ន្ធមួយនៅក្នុងទីតាំងដែលវាមិនមានថាមពលសក្តានុពលអប្បបរមាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទពិសេសដោយ A.M. Lyapunov ។ ក្រសួងអប់រំនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី

រដ្ឋ Ukhta
សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេស

V.K. Khegai, D.N. លេវីតស្គី,
ឯកឧត្តម Kharin, A.S. Popov
មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីរំញ័រ

ប្រព័ន្ធមេកានិច ការបង្រៀនទទួលយក
សមាគមអប់រំ និងវិធីសាស្រ្ត
សាកលវិទ្យាល័យ
ក្នុងការអប់រំប្រេង និងឧស្ម័នកម្រិតខ្ពស់ ជាការអប់រំ

សៀវភៅណែនាំសម្រាប់និស្សិតនៃសាកលវិទ្យាល័យប្រេងនិងឧស្ម័នដែលកំពុងសិក្សា
ដោយឯកទេស 090800, 170200, 553600
មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីរំញ័រនៃប្រព័ន្ធមេកានិច / V.K. ខេកៃ
D.N. Levitsky, O.N. Kharin, A.S. Popov ។ – Ukhta: USTU, 2002. – 108 ទំ។
ISBN 5-88179-285-8
សៀវភៅសិក្សាពិនិត្យលើមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីរំញ័រនៃប្រព័ន្ធមេកានិច ដែលផ្អែកលើ វគ្គសិក្សាទូទៅមេកានិចទ្រឹស្តី។ ការយកចិត្តទុកដាក់ពិសេសឧទ្ទិសដល់ការអនុវត្តសមីការទីពីររបស់ Lagrange
ជួរ។ សៀវភៅណែនាំមានប្រាំមួយជំពូក ដែលនីមួយៗត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ប្រភេទជាក់លាក់នៃលំយោល។ ជំពូកមួយត្រូវបានឧទ្ទិសដល់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃស្ថេរភាពនៃចលនា និងលំនឹងនៃប្រព័ន្ធមេកានិច។
សម្រាប់ ការអភិវឌ្ឍន៍កាន់តែប្រសើរ សម្ភារៈទ្រឹស្តីនៅក្នុងសៀវភៅណែនាំដែលបានផ្តល់ឱ្យ
មួយចំនួនធំនៃឧទាហរណ៍ និងបញ្ហាពីវិស័យផ្សេងៗនៃបច្ចេកវិទ្យា។
សៀវភៅសិក្សានេះគឺមានគោលបំណងសម្រាប់និស្សិតនៃជំនាញមេកានិចដែលកំពុងសិក្សាវគ្គសិក្សានៃទ្រឹស្តីមេកានិចពេញលេញ,
ក៏អាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សនៃឯកទេសផ្សេងទៀត។
អ្នកត្រួតពិនិត្យ៖ នាយកដ្ឋានទ្រឹស្តីនៃយន្តការនៃទីក្រុងសាំងពេទឺប៊ឺគ
បណ្ឌិតសភាព្រៃឈើរដ្ឋ (ប្រធាននាយកដ្ឋានបណ្ឌិតវិទ្យាសាស្ត្របច្ចេកទេសសាស្រ្តាចារ្យ Yu.A. Dobrynin); ប្រធានផ្នែកខួងរួមបញ្ចូលគ្នានៃ SeverNIPIGaz, Ph.D., Associate Professor Yu.M. Gerzhberg ។

© សាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេសរដ្ឋ Ukhta, 2002
©Khegai V.K., Levitsky D.N., Kharin O.N., Popov A.S., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
តារាងមាតិកា
បុព្វបទ ................................................................ ....................................................... ............ .............. ៤
ជំពូក I. ព័ត៌មានសង្ខេបពីមេកានិចវិភាគ …………………………………………………… .... ៥
1.1 ថាមពលសក្តានុពលនៃប្រព័ន្ធ .......................................... ........ ................................... ៥
១.២. ថាមពល Kinetic នៃប្រព័ន្ធ ................................................. ...................................... ៦
១.៣. មុខងាររំសាយ ……………………………………… ... ................................................... ៨
១.៤. សមីការ Langrange ................................................ ………………………………………. ៩
១.៥. ឧទាហរណ៍សម្រាប់ការតែងសមីការ Langrange នៃប្រភេទទីពីរ ...................................... ១១
ជំពូក II ។ ស្ថេរភាពនៃចលនា និងលំនឹងនៃប្រព័ន្ធអភិរក្ស .......... ២០
២.១. សេចក្តីផ្តើម ................................................... ....................................................... ............ ................... ២០
២.២. មុខងារ Lyapunov ។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរបស់ Sylvester ................................................ ............... ២១
២.៣. សមីការនៃចលនារំខាន ................................................. ..................................... ២៣
២.៤. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Lyapunov ស្តីពីស្ថេរភាពនៃចលនា ................................................ ........ .......... ២៦
២.៥. ទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange ស្តីពីស្ថេរភាពនៃលំនឹង
ប្រព័ន្ធអភិរក្ស……………………………………… ... ................................................... ......... ២៩
២.៦. ស្ថេរភាពនៃលំនឹងនៃប្រព័ន្ធអភិរក្សមួយដែលមានមួយ។
កម្រិតនៃសេរីភាព................................................ ......................................................... ............ .......... ៣០
២.៧. ឧទហរណ៍នៃស្ថេរភាពនៃលំនឹងនៃប្រព័ន្ធអភិរក្ស ……………………………………… ៣១
ជំពូក III ។ រំញ័រដោយសេរីនៃប្រព័ន្ធដែលមានសេរីភាពមួយកម្រិត………………………………………៣៩
៣.១. លំយោលដោយឥតគិតថ្លៃនៃប្រព័ន្ធអភិរក្ស
ជាមួយនឹងសេរីភាពមួយកម្រិត ................................................. ……………………………………………. .................. ៣៩
៣.២. រំញ័រដោយឥតគិតថ្លៃនៃប្រព័ន្ធមួយដែលមានកម្រិតមួយនៃសេរីភាពនៅក្នុងវត្តមាន
កម្លាំងតស៊ូ, សមាមាត្រទៅនឹងល្បឿន......................................................... 42
៣.៣. ឧទហរណ៍នៃការយោលដោយសេរីនៃប្រព័ន្ធមួយដែលមានកម្រិតនៃសេរីភាពមួយ.................................. ៤៦
ជំពូក IV ។ លំយោលដោយបង្ខំនៃប្រព័ន្ធដែលមានសេរីភាពមួយកម្រិត........... ៥៩
៤.១. លំយោលដោយបង្ខំនៃប្រព័ន្ធដែលមានសេរីភាពមួយកម្រិត
ក្នុងករណីមានកម្លាំងរំខានតាមកាលកំណត់ .......................................... ......................................... ៥៩
៤.២. បាតុភូត​សូរសព្ទ ................................................ ... ................................................... …………. ៦៣
៤.៣. បាតុភូតនៃការវាយតប់................................................ ..................................................... ........... ៦៦
៤.៤. មេគុណថាមវន្ត ………………………………………. ... .................................... ៦៨
៤.៥. ឧទាហរណ៍នៅលើ លំយោលបង្ខំប្រព័ន្ធ
ជាមួយនឹងសេរីភាពមួយកម្រិត ................................................. ……………………………………………. .............៧០
ជំពូក V. ការរំញ័រដោយសេរីនៃប្រព័ន្ធមួយដែលមានកម្រិតពីរនៃសេរីភាព................................... 78
៥.១. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំយោលសេរីនៃប្រព័ន្ធដែលមានពីរ
កម្រិតនៃសេរីភាពនិងរបស់ពួកគេ។ ដំណោះស្រាយទូទៅ........................................................................ 78
5.2. ទម្រង់ផ្ទាល់ខ្លួន.................................................................................................. 80
៥.៣. ឧទហរណ៍នៃការយោលដោយសេរីនៃប្រព័ន្ធដែលមានពីរដឺក្រេនៃសេរីភាព............................ ៨១
ជំពូក VI ។ លំយោលដោយបង្ខំនៃប្រព័ន្ធដែលមានសេរីភាពពីរដឺក្រេ........ ៩៣
៦.១. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំយោលបង្ខំនៃប្រព័ន្ធ និងរបស់ពួកគេ។
ដំណោះស្រាយទូទៅ ................................................ ........................................................ .............................. ៩៣
៦.២. ឧបករណ៍បំលែងរំញ័រថាមវន្ត ...................................................... .................................................... ៩៥
៦.៣. ឧទាហរណ៍នៃការរំញ័រដោយបង្ខំនៃប្រព័ន្ធមួយដែលមានកម្រិតពីរនៃសេរីភាព..... 98
គន្ថនិទ្ទេស ................................................. .............. ................................... ........ ១០៧

4
បុព្វបទ
បើក ដំណាក់កាលទំនើបការអភិវឌ្ឍន៍ វិទ្យាល័យមានបញ្ហានិង ទម្រង់ស្រាវជ្រាវការបណ្តុះបណ្តាល។
ដំណើរការថាមវន្តនៅក្នុងម៉ាស៊ីន និងយន្តការមានសារៈសំខាន់ជាការសម្រេចចិត្តទាំងសម្រាប់ការគណនានៅដំណាក់កាលរចនានៃរចនាសម្ព័ន្ធថ្មី និងសម្រាប់កំណត់របៀបបច្ចេកវិទ្យាអំឡុងពេលប្រតិបត្តិការ។ វាពិបាកក្នុងការដាក់ឈ្មោះតំបន់នៃបច្ចេកវិទ្យាដែលនៅទីនោះនឹងមិនមាន
បញ្ហាប្រធានបទនៃការសិក្សារំញ័រយឺត និងស្ថេរភាពនៃលំនឹង និងចលនានៃប្រព័ន្ធមេកានិក។ ពួកគេតំណាងឱ្យពិសេស
សារៈសំខាន់សម្រាប់វិស្វករមេកានិកដែលធ្វើការក្នុងវិស្វកម្មមេកានិច ការដឹកជញ្ជូន និងវិស័យបច្ចេកវិទ្យាផ្សេងទៀត។
សៀវភៅណែនាំពិភាក្សាមួយចំនួន បញ្ហាបុគ្គលពីទ្រឹស្តី
រំញ័រ និងស្ថេរភាពនៃប្រព័ន្ធមេកានិក។ ព័ត៌មានទ្រឹស្តី
ពន្យល់ជាមួយឧទាហរណ៍។
គោលបំណងសំខាន់នៃរឿងនេះ សៀវភៅណែនាំវិធីសាស្រ្ត- តំណភ្ជាប់
តំបន់នៃការអនុវត្តទ្រឹស្តី និងមេកានិចវិភាគដែលមានបញ្ហា
នាយកដ្ឋានពិសេសដែលបណ្តុះបណ្តាលវិស្វករមេកានិច។

5
ជំពូក I. ព័ត៌មានសង្ខេបពីការវិភាគ
មេកានិក
I.I. ថាមពលសក្តានុពលនៃប្រព័ន្ធ
ថាមពលសក្តានុពលនៃប្រព័ន្ធដែលមានកម្រិតសេរីភាព
ថាមពលទីតាំង អាស្រ័យតែលើកូអរដោនេទូទៅប៉ុណ្ណោះ។

P = P (q1, q2,....., qs),
ដែលជាកន្លែងដែល q j

(j = 1, 2, K, s) - កូអរដោណេទូទៅនៃប្រព័ន្ធ។

ពិចារណាគម្លាតតូចៗនៃប្រព័ន្ធពីទីតាំងស្ថេរភាព
លំនឹង កូអរដោណេទូទៅ qj អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាបរិមាណនៃលំដាប់ទីមួយនៃភាពតូច។ សន្មតថាទីតាំងលំនឹងនៃប្រព័ន្ធ
ត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រភពដើមនៃកូអរដោណេទូទៅ យើងពង្រីកការបង្ហាញនៃថាមពលសក្តានុពល P ទៅក្នុងស៊េរី Maclaurin នៅក្នុងអំណាចនៃ qj

∂П
1 អេស អេស ∂2 ភី
P = P (Ο) + ∑ (
)0 q j + ∑∑ (
) 0 qi q j + K .
∂
q
2
∂
q
∂
q
j = 1
i = 1 j = 1
j
ខ្ញុំ
j
ស

រក្សាទុកក្នុងចិត្តថាថាមពលសក្តានុពលត្រូវបានកំណត់ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ
រហូតដល់ថេរបន្ថែមមួយចំនួន ថាមពលសក្តានុពលនៅទីតាំងលំនឹងអាចត្រូវបានយកស្មើនឹងសូន្យ
P (0) = 0 ។

ក្នុងករណីកងកម្លាំងអភិរក្ស កម្លាំងទូទៅត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

∂П
∂q ច

(j = 1, 2, K , s) ។

ចាប់តាំងពីពេលដែលប្រព័ន្ធនៃកម្លាំងស្ថិតនៅក្នុងលំនឹង

(j = 1, 2, K , s) ,

បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌលំនឹងនៃប្រព័ន្ធអភិរក្សនៃកងកម្លាំងមានទម្រង់

⎛ ∂ ភី
⎜⎜
⎝ ∂q ច

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2, K , s) ,

⎛ ∂ ភី
∑⎜
j =1 ⎜ ∂q
⎝j

⎞
⎟⎟ q j = 0 ។
⎠0

អាស្រ័យហេតុនេះ
ស

6
បន្ទាប់មកសមភាព (1.2.), រហូតដល់លក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់ទីពីរនៃភាពតូច, យកទម្រង់

1 អេស S ⎛ ∂2 ភី
П = ∑∑⎜
2 i =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j .
⎠0

ចូរយើងសម្គាល់

⎛ ∂2 ភី
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q ច

⎞
⎟⎟ = cij = c ji ,
⎠0

កន្លែងដែល cij គឺជាមេគុណភាពរឹងទូទៅ។
កន្សោមចុងក្រោយសម្រាប់ថាមពលសក្តានុពលគឺ

១ ស
П = ∑∑cij qi q j ។
2 i = 1 j = 1

ពី (1.9.) វាច្បាស់ណាស់ថាថាមពលសក្តានុពលនៃប្រព័ន្ធគឺដូចគ្នា។ មុខងារបួនជ្រុងកូអរដោណេទូទៅ។
១.២. ថាមពល Kinetic នៃប្រព័ន្ធ
ថាមពល kinetic នៃប្រព័ន្ធដែលមានចំណុចសម្ភារៈ n គឺ
ស្មើនឹង

1 ន
T = ∑mk vk2 ,
2 k = 1

ដែល mk និង vк គឺជាម៉ាស់ និងល្បឿននៃចំនុច kth នៃប្រព័ន្ធ។
នៅពេលផ្លាស់ទីទៅកូអរដោនេទូទៅ យើងនឹងចងចាំវា។
_

(k = 1, 2, ... , n) ,

R k (q1, q2,..., qs)

ដែល r k ជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច kth នៃប្រព័ន្ធ។
−

ចូរយើងប្រើអត្តសញ្ញាណ vk2 = v k ⋅ v k ហើយជំនួសវ៉ិចទ័រល្បឿន
−

V k តម្លៃរបស់វា។
_

∂rk
∂q1

∂rk
∂q2

∂rk
∂qs

បន្ទាប់មកកន្សោមសម្រាប់ថាមពល kinetic (1.10) នឹងយកទម្រង់

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S), (1.13)
2

⎛ _
∂rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k=1
⎝
ន

⎛ _
∂rk
លា = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k=1
⎝
ន

⎞
⎛ _
ន
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k=1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ mk k ⋅ k ,... ,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

ជា −1,s = ∑ mk
k=1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

ការពង្រីកមេគុណទាំងនេះនីមួយៗនៅក្នុងស៊េរី Maclaurin នៅក្នុងអំណាចនៃកូអរដោនេទូទៅ យើងទទួលបាន

⎛ ∂ Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
ស

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2, ..., s) ។

សន្ទស្សន៍ 0 ត្រូវ​នឹង​តម្លៃ​នៃ​មុខងារ​ក្នុង​ទីតាំង​លំនឹង។ ចាប់តាំងពីគម្លាតតូចនៃប្រព័ន្ធពីទីតាំងត្រូវបានពិចារណា
លំនឹង បន្ទាប់មកនៅក្នុងសមភាព (1.14) យើងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងត្រឹមតែពាក្យថេរដំបូងប៉ុណ្ណោះ

(i = j = 1, 2, ..., s) ។

Aij = (Aij)0 = aij

បន្ទាប់មកកន្សោមសម្រាប់ថាមពល kinetic (1.13) នឹងយកទម្រង់
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

ឬជាទូទៅ

១ ស
T = ∑
2 i = 1

ថេរ aij គឺជាមេគុណនិចលភាពទូទៅ។
ពី (1.16) វាច្បាស់ណាស់ថាថាមពល kinetic នៃប្រព័ន្ធ T គឺដូចគ្នា។
មុខងារបួនជ្រុងនៃល្បឿនទូទៅ។

8
១.៣. មុខងារបែកញើស
IN លក្ខខណ្ឌពិតលំយោលដោយឥតគិតថ្លៃនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានសើមដូច្នេះ
របៀបដែលកម្លាំងតស៊ូធ្វើសកម្មភាពលើចំណុចរបស់វា។ នៅក្នុងវត្តមាននៃកម្លាំងតស៊ូថាមពលមេកានិចត្រូវបានរលាយ។
−

ចូរយើងសន្មតថាកម្លាំងតស៊ូ R k (k = 1, 2, ... , n) ធ្វើសកម្មភាព
ដល់ចំណុចនៃប្រព័ន្ធ សមាមាត្រទៅនឹងល្បឿនរបស់វា។
_

R k = − µk v k

(k = 1, 2, ... , n) ,

ដែល µ k ជាមេគុណសមាមាត្រ។
កម្លាំងតស៊ូទូទៅសម្រាប់ប្រព័ន្ធ holonomic ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
ន

Q j R = ∑ Rk
k=1

∂rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂q ច
∂q ច
k=1
ន

(j = 1, 2, ... , s) ។

ដោយសារតែ
_

∂rk
∂rk
∂rk
q1 +
q 2 + ... +
qS
∂q1
∂q2
∂qS

∂rk
.
∂q ច

ដោយចងចាំ (1.18) យើងសរសេរឡើងវិញនូវកម្លាំងតស៊ូទូទៅ (1.17) ក្នុងទម្រង់
ន

Q = −∑ µκ vκ
រ
j

(j = 1, 2, ... , s) ។

ចូរយើងណែនាំមុខងារ dissipative ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត
ន

បន្ទាប់មកកម្លាំងធន់ទ្រាំទូទៅត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

(j = 1, 2, ... , s) ។

អនុគមន៍ dissipative ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយថាមពល kinetic នៃប្រព័ន្ធ អាចត្រូវបានតំណាងថាជាមុខងារ quadratic ដូចគ្នា
ល្បឿនទូទៅ

១ ស
Φ = ∑∑ вij q i q j ,
2 i = 1 j = 1

ដែលជាកន្លែងដែល вij គឺជាមេគុណ dissipation ទូទៅ។
១.៤. សមីការ Lagrange នៃប្រភេទទីពីរ
ទីតាំងនៃប្រព័ន្ធ holonomic ដែលមានដឺក្រេនៃសេរីភាពត្រូវបានកំណត់ដោយ s កូអរដោណេទូទៅ qj (j = 1, 2, ... , s) ។
ដើម្បីទទួលបានសមីការ Lagrange នៃប្រភេទទីពីរ យើងប្រើទូទៅ
សមីការឌីណាមិក
ស

Q иj)δ q j = 0 ,

កន្លែងដែល Qj គឺជាកម្លាំងទូទៅនៃកងកម្លាំងសកម្មដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងកូអរដោនេ j-th generalized;
Q uj - កម្លាំងទូទៅនៃកម្លាំងនិចលភាពដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងកូអរដោនេ j-th generalized;
δ q j - ការកើនឡើងនៃកូអរដោនេ jth ទូទៅ។
ដោយចងចាំថា δ q j ទាំងអស់ (j = 1, 2, ..., s) គឺឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមក។
សមភាព (1.23) នឹងមានសុពលភាពតែក្នុងករណីដែលមេគុណនីមួយៗសម្រាប់ δ q j ដាច់ដោយឡែកនឹងមាន ស្មើនឹងសូន្យ, i.e.

Q j + Qиj = 0 (j = 1, 2, ... , s)
ឬ

(j = 1, 2, ... , s) ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញ Q uj នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃថាមពល kinetic នៃប្រព័ន្ធ។
តាមនិយមន័យនៃកម្លាំងទូទៅ យើងមាន

Q иj = ∑ Φ k
k=1

∂rk
d vk ∂ r k
= −∑ mk
⋅
1
=
k
∂q ច
dt ∂q j
ន

(j = 1, 2, K , s) ,

ឃ vk
ដែល Φ k = − mk a k = − mk
- កម្លាំងនិចលភាពនៅចំណុចទីនៃប្រព័ន្ធ។
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q ច
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ − vk ⋅ ឃ ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q ច
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1, q2,..., qs),
_

ឃ rk ∂ rk
∂rk
∂rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs
dt
∂q1
∂q2
∂qs
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q ច
⎝

_
_
⎞
∂
ឃ
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q ច
⎠

ការជំនួសតម្លៃ (1.27) និង (1.28) ទៅជាសមភាព (1.26) យើងរកឃើញ
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
∂vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂vk2
∂
v
ឃ
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂ vk ។
⎟⎟ 2∂q ច
⎠

ដោយគិតពីសមភាព (1.29) យើងសរសេរឡើងវិញនូវកន្សោម (1.25) ក្នុងទម្រង់

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
និង
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k=1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
ន

∂
−
∂q ច

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k=1
j
⎝
ន

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k=1
⎠
ន

11
នៅទីនេះវាត្រូវបានគេយកទៅក្នុងគណនីដែលផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃផលបូក។
n m v2
និង ∑ k k = T គឺជាថាមពល kinetic នៃប្រព័ន្ធ។
k=1
2
ដោយគិតពីសមភាព (1.24) ទីបំផុតយើងរកឃើញ

⎛
d⎜∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝j

⎞
⎟ − ∂Τ = Q
j
⎟⎟∂q j
⎠

(j = 1, 2, K , s) ។

សមីការ (1.30) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ Lagrange នៃប្រភេទទីពីរ។
ចំនួនសមីការទាំងនេះស្មើនឹងចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាព។
ប្រសិនបើកងកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើចំនុចនៃប្រព័ន្ធមានសក្តានុពលនោះ
សម្រាប់កម្លាំងទូទៅ រូបមន្តមានសុពលភាព

∂П
∂q ច

(j = 1, 2, K , s) ,

កន្លែងដែល P គឺជាថាមពលសក្តានុពលនៃប្រព័ន្ធ។
ដូច្នេះសម្រាប់ប្រព័ន្ធអភិរក្សនៃសមីការ Lagrange

ក្រសួងអប់រំនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី

KABARDINO-BALKARIAN រដ្ឋ

UNIVERSITY ដាក់ឈ្មោះតាម។ ឃ

មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃលំយោល។

មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តី, ភារកិច្ចសម្រាប់ការងារផ្ទះ,

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

សម្រាប់និស្សិតសាកលវិទ្យាល័យឯកទេសមេកានិច

Nalchik ឆ្នាំ 2003

អ្នកវាយតម្លៃ៖

- បណ្ឌិតវិទ្យាសាស្ត្ររូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា សាស្រ្តាចារ្យ នាយកវិទ្យាស្ថានស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាអនុវត្ត និងស្វ័យប្រវត្តិកម្មនៃបណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្ររុស្ស៊ី បានផ្តល់កិត្តិយស។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ីអ្នកសិក្សា AMAN ។

បណ្ឌិតវិទ្យាសាស្ត្ររូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា សាស្រ្តាចារ្យ ប្រធាននាយកដ្ឋានគណិតវិទ្យាអនុវត្ត នៃសាលាកសិកម្មរដ្ឋ Kabardino-Balkarian ។

ទ្រឹស្តី Kulterbaev នៃលំយោល។ ទ្រឹស្តីជាមូលដ្ឋាន បញ្ហាការងារផ្ទះ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ។

សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សាបច្ចេកទេសដែលកំពុងសិក្សាផ្នែកបណ្តុះបណ្តាល អ្នកឯកទេសដែលបានបញ្ជាក់ 657800 - ការរចនា និងការគាំទ្រផ្នែកបច្ចេកវិទ្យា ឧស្សាហកម្មសាងសង់ម៉ាស៊ីន, 655800 វិស្វកម្មចំណីអាហារ។ - Nalchik: គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ពផ្សាយរបស់ KBSU ដាក់ឈ្មោះតាម។ , 20s ។

សៀវភៅនេះរៀបរាប់អំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃលំយោលនៃប្រព័ន្ធមេកានិកលីនេអ៊ែរ ហើយក៏ផ្តល់នូវបញ្ហាកិច្ចការផ្ទះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។ ខ្លឹមសារនៃទ្រឹស្តី និងការចាត់តាំងគឺសំដៅលើនិស្សិតនៃជំនាញមេកានិច។

ទាំងប្រព័ន្ធដាច់ និងចែកចាយត្រូវបានពិចារណា។ ចំនួននៃជម្រើសដែលមិនផ្គូផ្គងសម្រាប់កិច្ចការផ្ទះអនុញ្ញាតឱ្យពួកគេត្រូវបានប្រើសម្រាប់លំហូរដ៏ធំនៃសិស្ស។

ការបោះពុម្ភផ្សាយក៏អាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់គ្រូបង្រៀន និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សា និងអ្នកឯកទេសក្នុងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យាផ្សេងៗ ដែលចាប់អារម្មណ៍លើការអនុវត្តទ្រឹស្តីនៃលំយោល។

© Kabardino-Balkarian សាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋពួកគេ។

បុព្វបទ

សៀវភៅនេះត្រូវបានសរសេរដោយផ្អែកលើវគ្គសិក្សា, អានដោយអ្នកនិពន្ធនៅមហាវិទ្យាល័យវិស្វកម្ម និងបច្ចេកវិទ្យានៃសាកលវិទ្យាល័យ Kabardino-Balkarian State សម្រាប់និស្សិតជំនាញមេកានិច។

យន្តការនិងរចនាសម្ព័ន្ធនៃបច្ចេកវិជ្ជាទំនើបតែងតែដំណើរការក្រោមលក្ខខណ្ឌផ្ទុកថាមវន្តស្មុគ្រស្មាញដូច្នេះចំណាប់អារម្មណ៍ថេរចំពោះទ្រឹស្តីនៃការរំញ័រត្រូវបានគាំទ្រដោយតម្រូវការជាក់ស្តែង។ ទ្រឹស្ដីនៃលំយោល និងកម្មវិធីរបស់វាមានគន្ថនិទ្ទេសទូលំទូលាយ រួមទាំងសៀវភៅសិក្សា និងជំនួយការបង្រៀនយ៉ាងច្រើនសន្ធឹកសន្ធាប់។ ពួកគេមួយចំនួនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងគន្ថនិទ្ទេសនៅចុងបញ្ចប់នៃសៀវភៅណែនាំនេះ។ អក្សរសិល្ប៍អប់រំដែលមានស្រាប់ស្ទើរតែទាំងអស់ត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់អ្នកអានដែលកំពុងសិក្សាវគ្គសិក្សានេះ។ បរិមាណធំនិងជំនាញក្នុងតំបន់ សកម្មភាពវិស្វកម្មវិធីមួយ ឬមធ្យោបាយផ្សេងទៀត ទាក់ទងយ៉ាងសំខាន់ទៅនឹងសក្ដានុពលនៃរចនាសម្ព័ន្ធ។ ទន្ទឹមនឹងនេះដែរ នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ វិស្វករមេកានិកទាំងអស់មានអារម្មណ៍ថា តម្រូវការដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់លើទ្រឹស្ដីនៃការរំញ័រក្នុងកម្រិតដ៏ធ្ងន់ធ្ងរមួយ។ ការប៉ុនប៉ងដើម្បីបំពេញតម្រូវការបែបនេះនាំទៅដល់ការដាក់បញ្ចូលសាកលវិទ្យាល័យខ្នាតតូចទៅក្នុងកម្មវិធីអប់រំនៃសាកលវិទ្យាល័យជាច្រើន។ វគ្គសិក្សាពិសេស. សៀវភៅសិក្សានេះត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីបំពេញនូវសំណើបែបនេះ ហើយមានមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តី បញ្ហាការងារផ្ទះ និងឧទាហរណ៍នៃវិធីដោះស្រាយវា។ នេះបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃបរិមាណមានកំណត់នៃសៀវភៅសិក្សា ជម្រើសនៃខ្លឹមសាររបស់វា និងចំណងជើង៖ "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃលំយោល"។ ពិតហើយ សៀវភៅសិក្សាបានគូសបញ្ជាក់តែបញ្ហាជាមូលដ្ឋាន និងវិធីសាស្រ្តនៃវិន័យប៉ុណ្ណោះ។ អ្នកអានដែលចាប់អារម្មណ៍អាចទាញយកអត្ថប្រយោជន៍នៃអក្សរកាត់វិទ្យាសាស្ត្រដ៏ល្បីល្បាញនិង ជំនួយការបង្រៀនផ្តល់ឱ្យនៅចុងបញ្ចប់ ការបោះពុម្ពលើកនេះ។, សម្រាប់ ការសិក្សាស៊ីជម្រៅទ្រឹស្តី និងកម្មវិធីជាច្រើនរបស់វា។

សៀវភៅនេះមានគោលបំណងសម្រាប់អ្នកអានដែលមានការបណ្តុះបណ្តាលក្នុងវិសាលភាពនៃវគ្គសិក្សានៅមហាវិទ្យាល័យធម្មតា។ គណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងមេកានិចទ្រឹស្តី និងកម្លាំងនៃសម្ភារៈ។

នៅក្នុងការសិក្សានៃវគ្គសិក្សាបែបនេះចំនួនដ៏សំខាន់មួយត្រូវបានកាន់កាប់ដោយកិច្ចការផ្ទះក្នុងទម្រង់នៃវគ្គសិក្សា, ការធ្វើតេស្ត, ការគណនានិងការរចនា, ការគណនានិងក្រាហ្វិកនិងការងារផ្សេងទៀតដែលត្រូវការពេលវេលាច្រើន។ សៀវភៅបញ្ហាដែលមានស្រាប់ និងជំនួយដោះស្រាយបញ្ហាមិនមានបំណងសម្រាប់គោលបំណងទាំងនេះទេ។ លើសពីនេះ មានការប្រឹក្សាយ៉ាងច្បាស់លាស់ក្នុងការផ្សំទ្រឹស្តី និងកិច្ចការផ្ទះនៅក្នុងការបោះពុម្ពតែមួយ រួមបញ្ចូលគ្នា មាតិកាទូទៅផ្តោតលើប្រធានបទ និងការបំពេញបន្ថែម។

នៅពេលបំពេញ និងបំពេញកិច្ចការផ្ទះ សិស្សត្រូវប្រឈមមុខនឹងសំណួរជាច្រើនដែលមិនត្រូវបានបញ្ជាក់ ឬពន្យល់មិនគ្រប់គ្រាន់នៅក្នុងផ្នែកទ្រឹស្តីនៃវិន័យ។ គាត់មានការលំបាកក្នុងការពិពណ៌នាអំពីវឌ្ឍនភាពនៃការដោះស្រាយបញ្ហា មធ្យោបាយនៃការសម្រេចចិត្តត្រឹមត្រូវ ការរៀបចំរចនាសម្ព័ន្ធ និងការសរសេរកំណត់ចំណាំ។

គ្រូបង្រៀនក៏ជួបប្រទះនឹងការលំបាកដែរ ប៉ុន្តែមានលក្ខណៈរៀបចំ។ ពួកគេត្រូវពិនិត្យឡើងវិញឱ្យបានញឹកញាប់នូវបរិមាណ ខ្លឹមសារ និងរចនាសម្ព័ន្ធនៃកិច្ចការផ្ទះ បង្កើតកំណែជាច្រើននៃកិច្ចការ ធានាឱ្យបានទាន់ពេលវេលានូវកិច្ចការដែលមិនផ្គូផ្គងជាទ្រង់ទ្រាយធំ ធ្វើការពិគ្រោះយោបល់ជាច្រើន ការបំភ្លឺ។ល។

សៀវភៅណែនាំនេះមានគោលបំណង ក្នុងចំណោមរបស់ផ្សេងទៀត ដើម្បីកាត់បន្ថយ និងលុបបំបាត់ការលំបាក និងការលំបាកនៃធម្មជាតិដែលបានរាយក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការអប់រំទ្រង់ទ្រាយធំ។ វា​មាន​កិច្ចការ​ពីរ​ដែល​គ្រប​ដណ្តប់​លើ​បញ្ហា​សំខាន់ៗ និង​មូលដ្ឋាន​បំផុត​នៃ​វគ្គ​សិក្សា៖

1. លំយោលនៃប្រព័ន្ធដែលមានសេរីភាពមួយកម្រិត។

2. Oscillations នៃប្រព័ន្ធដែលមានពីរដឺក្រេនៃសេរីភាព។

កិច្ចការទាំងនេះ តាមវិសាលភាព និងខ្លឹមសាររបស់ពួកគេ អាចក្លាយជាការងារគណនា និងរចនាសម្រាប់សិស្សពេញម៉ោង។ ទម្រង់ក្រៅម៉ោងការបណ្តុះបណ្តាល ឬការធ្វើតេស្តសម្រាប់សិស្ស ទម្រង់ការឆ្លើយឆ្លងការបណ្តុះបណ្តាល។

ដើម្បីភាពងាយស្រួលរបស់អ្នកអាន សៀវភៅនេះប្រើលេខស្វ័យប្រវត្តិនៃរូបមន្ត (សមីការ) និងតួលេខនៅក្នុងកថាខណ្ឌនីមួយៗដោយប្រើលេខធម្មតា លេខទសភាគនៅក្នុងតង្កៀប។ សេចក្តីយោងនៅក្នុងកថាខណ្ឌបច្ចុប្បន្នត្រូវបានធ្វើឡើងដោយគ្រាន់តែបង្ហាញពីលេខបែបនេះ។ ប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីយោងទៅលើរូបមន្តនៃកថាខណ្ឌមុន ចង្អុលបង្ហាញលេខនៃកថាខណ្ឌ ហើយបន្ទាប់មក បំបែកដោយចំនុចមួយ ចំនួននៃរូបមន្តខ្លួនឯង។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ សញ្ញាណ (៣.២.៤) ត្រូវគ្នានឹងរូបមន្ត (៤) ក្នុងកថាខណ្ឌ ៣.២ នៃជំពូកនេះ។ សេចក្តីយោងទៅលើរូបមន្តនៃជំពូកមុនៗ ត្រូវបានធ្វើឡើងតាមរបៀបដូចគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងលេខជំពូក និងចំណុចដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងកន្លែងដំបូង។

សៀវភៅគឺជាការប៉ុនប៉ងដើម្បីបំពេញតម្រូវការ ការបណ្តុះបណ្តាលវិជ្ជាជីវៈសិស្សនៃទិសដៅជាក់លាក់។ អ្នកនិពន្ធដឹងច្បាស់ថា វានឹងមិនរួចផុតពីចំណុចខ្វះខាតឡើយ ដូច្នេះហើយនឹងដឹងគុណទទួលយកការរិះគន់ និងយោបល់របស់អ្នកអានដែលអាចធ្វើទៅបាន ដើម្បីកែលម្អការបោះពុម្ពជាបន្តបន្ទាប់។

សៀវភៅនេះក៏អាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់អ្នកឯកទេសដែលចាប់អារម្មណ៍លើការអនុវត្តទ្រឹស្តីនៃលំយោលនៅក្នុង តំបន់ផ្សេងៗរូបវិទ្យា បច្ចេកវិទ្យា សំណង់ និងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃចំណេះដឹង និងសកម្មភាពផលិតកម្ម។

ជំពូកខ្ញុំ

ការណែនាំ

1. ប្រធានបទនៃទ្រឹស្តីរំញ័រ

ប្រព័ន្ធជាក់លាក់មួយផ្លាស់ទីក្នុងលំហ ដូច្នេះស្ថានភាពរបស់វានៅគ្រប់ពេលនៃពេលវេលា t ត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសំណុំនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រជាក់លាក់មួយ៖ https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" height="23 src="">.gif" width="48" height="24"> និង ឥទ្ធិពលខាងក្រៅ. ហើយបន្ទាប់មកភារកិច្ចគឺដើម្បីទស្សន៍ទាយ ការវិវត្តន៍បន្ថែមទៀតប្រព័ន្ធនៅក្នុងពេលវេលា: (រូបភាពទី 1) ។

អនុញ្ញាតឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរលក្ខណៈមួយនៃប្រព័ន្ធ , . អាចខុសគ្នា ពូជលក្ខណៈការផ្លាស់ប្តូររបស់វាតាមពេលវេលា៖ monotonic (រូបភាពទី 2) non-monotonic (រូបភាពទី 3) គួរឱ្យកត់សម្គាល់ដែលមិនមែនជា monotonic (រូបភាព 4) ។

ដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរប៉ារ៉ាម៉ែត្រដែលត្រូវបានកំណត់ដោយការកើនឡើងនិងការថយចុះនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រឆ្លាស់គ្នាតាមពេលវេលាត្រូវបានគេហៅថា ដំណើរការ oscillatoryឬគ្រាន់តែ ភាពប្រែប្រួល។ Oscillations គឺរីករាលដាលនៅក្នុងធម្មជាតិបច្ចេកវិទ្យានិង សកម្មភាពរបស់មនុស្ស: ចង្វាក់នៃខួរក្បាល, លំយោលនៃប៉ោល, ចង្វាក់បេះដូង, រំញ័រនៃផ្កាយ, រំញ័រនៃអាតូម និងម៉ូលេគុល, ភាពប្រែប្រួលនៃកម្លាំងបច្ចុប្បន្ន សៀគ្វីអគ្គិសនីការប្រែប្រួលនៃសីតុណ្ហភាពខ្យល់ ការប្រែប្រួលតម្លៃអាហារ ការរំញ័រនៃសំឡេង រំញ័រនៃខ្សែនៃឧបករណ៍ភ្លេង។

ប្រធានបទនៃការសិក្សា វគ្គសិក្សានេះ។គឺជារំញ័រមេកានិច ពោលគឺរំញ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធមេកានិក។

2. ចំណាត់ថ្នាក់ ប្រព័ន្ធ oscillatory

អនុញ្ញាតឱ្យ យូ(X, t) - វ៉ិចទ័រស្ថានភាពប្រព័ន្ធ, f(X, t) - វ៉ិចទ័រនៃឥទ្ធិពលលើប្រព័ន្ធពីខាងក្រៅ បរិស្ថាន(រូបទី 1) ។ ថាមវន្តនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការប្រតិបត្តិករ

អិល យូ(X, t) = f(X, t), (1)

ដែលប្រតិបត្តិករ L ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃការយោល និង លក្ខខណ្ឌបន្ថែម(ព្រំដែន, បឋម) ។ ក្នុងសមីការបែបនេះ u និង f ក៏អាចជាបរិមាណមាត្រដ្ឋានផងដែរ។

ភាគច្រើន ចំណាត់ថ្នាក់សាមញ្ញប្រព័ន្ធ oscillatory អាចត្រូវបានផលិតដោយយោងទៅតាមពួកគេ។ ចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាព. ចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពគឺជាចំនួននៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រលេខឯករាជ្យដែលកំណត់ការកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធនៃប្រព័ន្ធនៅពេលណាមួយ t ។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈពិសេសនេះ ប្រព័ន្ធ oscillatory អាចត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ជាថ្នាក់មួយក្នុងចំណោមថ្នាក់ទាំងបី៖

1)ប្រព័ន្ធដែលមានសេរីភាពមួយកម្រិត.

2)ប្រព័ន្ធជាមួយ ចំនួនកំណត់កម្រិតនៃសេរីភាព. ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ផងដែរ។ ប្រព័ន្ធដាច់ដោយឡែក.

3)ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពគ្មានកំណត់ (ប្រព័ន្ធចែកចាយបន្ត)។

នៅក្នុងរូបភព។ 2 ផ្តល់នូវឧទាហរណ៍មួយចំនួនសម្រាប់ថ្នាក់នីមួយៗរបស់ពួកគេ។ សម្រាប់គ្រោងការណ៍នីមួយៗចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញជារង្វង់។ បើក គ្រោងការណ៍ចុងក្រោយប្រព័ន្ធចែកចាយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ជាធ្នឹមដែលអាចបត់បែនបាន។ ដើម្បីពិពណ៌នាអំពីការកំណត់របស់វា មុខងារ u(x, t) ត្រូវបានទាមទារ ឧ. សំណុំគ្មានកំណត់គុណតម្លៃ។

ថ្នាក់នីមួយៗនៃប្រព័ន្ធលំយោលមានរបស់វា។ គំរូគណិតវិទ្យា. ឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធដែលមានកម្រិតសេរីភាពមួយត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាលំដាប់ទីពីរ ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនកំណត់នៃដឺក្រេនៃសេរីភាព - ដោយប្រព័ន្ធសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា ប្រព័ន្ធចែកចាយ - សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក។

អាស្រ័យលើប្រភេទនៃប្រតិបត្តិករ L ក្នុងគំរូ (1) ប្រព័ន្ធលំយោលត្រូវបានបែងចែកទៅជា លីនេអ៊ែរ និងមិនលីនេអ៊ែរ. ប្រព័ន្ធត្រូវបានពិចារណា លីនេអ៊ែរប្រសិនបើប្រតិបត្តិករដែលត្រូវគ្នានឹងវាជាលីនេអ៊ែរ មានន័យថា បំពេញលក្ខខណ្ឌ

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" width="20 height=24" height="24">.jpg" width="569" height="97">
មានសុពលភាពសម្រាប់ប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរ គោលការណ៍ superposition(គោលការណ៍ឯករាជ្យនៃសកម្មភាពរបស់កងកម្លាំង) ។ ខ្លឹមសាររបស់វាដោយប្រើឧទាហរណ៍ (Fig..gif" width="36" height="24 src="> មានដូចខាងក្រោម..gif" width="39" height="24 src=">..gif" width="88" height="24">។

ប្រព័ន្ធស្ថានី និងមិនមែនស្ថានី។យូ ប្រព័ន្ធស្ថានីក្នុងរយៈពេលដែលស្ថិតក្រោមការពិចារណា ទ្រព្យសម្បត្តិមិនផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលាទេ។ IN បើមិនដូច្នេះទេប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា មិនមែនស្ថានី។តួលេខពីរបន្ទាប់បង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីលំយោលនៅក្នុងប្រព័ន្ធបែបនេះ។ នៅក្នុងរូបភព។ រូបភាពទី 4 បង្ហាញពីលំយោលនៅក្នុងប្រព័ន្ធស្ថានីក្នុងស្ថានភាពស្ថិរភាព។ 5 - លំយោលនៅក្នុងប្រព័ន្ធមិនស្ថិតស្ថេរ។

ដំណើរការនៅក្នុងប្រព័ន្ធស្ថានីត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានមេគុណថេរក្នុងពេលវេលានៅក្នុងប្រព័ន្ធមិនមែនស្ថានី - ជាមួយមេគុណអថេរ។

ប្រព័ន្ធស្វយ័តនិងមិនស្វយ័ត។ IN ប្រព័ន្ធស្វយ័ត មិនមានឥទ្ធិពលខាងក្រៅទេ។ ដំណើរការ Oscillatory នៅក្នុងពួកវាអាចកើតឡើងបានតែដោយសារតែ ប្រភពផ្ទៃក្នុងថាមពល ឬដោយសារតែថាមពលដែលបានចែកចាយទៅប្រព័ន្ធនៅក្នុង ពេលចាប់ផ្តើមពេលវេលា។ នៅក្នុងសមីការប្រតិបត្តិករ (1) បន្ទាប់មកផ្នែកខាងស្តាំមិនអាស្រ័យលើពេលវេលាទេ i.e. f(x, t) = f(x) ប្រព័ន្ធដែលនៅសល់គឺ មិនស្វ័យភាព។

ប្រព័ន្ធអភិរក្សនិងមិនអភិរក្ស។ https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg" align="left hspace=12" width="144" height="55"> រំញ័រឥតគិតថ្លៃ។ រំញ័រឥតគិតថ្លៃកើតឡើងក្នុងអវត្ដមាននៃឥទ្ធិពលខាងក្រៅអថេរ ដោយគ្មានការហូរចូលនៃថាមពលពីខាងក្រៅ។ លំយោលបែបនេះអាចកើតឡើងតែនៅក្នុងប្រព័ន្ធស្វយ័តប៉ុណ្ណោះ (រូបភាពទី 1) ។

រំញ័រដោយបង្ខំ។ភាពប្រែប្រួលបែបនេះកើតឡើងនៅក្នុងប្រព័ន្ធមិនស្វយ័ត ហើយប្រភពរបស់ពួកគេគឺជាឥទ្ធិពលខាងក្រៅអថេរ (រូបភាពទី 2)។

លំយោលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃប្រព័ន្ធលំយោលអាចផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលា ហើយនេះអាចក្លាយជាប្រភពនៃលំយោល។ លំយោលបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ចំណុចទាញកំពូល ប៉ោលរាងកាយ(Fig..gif" width="28" height="23 src="> ដែលបណ្តាលឱ្យមានការរំញ័រនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រឆ្លងកាត់កើតឡើង (រូបភាពទី 5)។

ការរំកិលខ្លួនឯង(ភាពរំជើបរំជួលដោយខ្លួនឯង) ។ ប្រភព​នៃ​លំយោល​បែប​នេះ​គឺ​មាន​លក្ខណៈ​មិន​មាន​លំយោល​ទេ ហើយ​ប្រភព​ផ្ទាល់​ត្រូវ​បាន​បញ្ចូល​ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​លំយោល។ នៅក្នុងរូបភព។ រូបភាពទី 6 បង្ហាញពីម៉ាស់នៅលើនិទាឃរដូវដែលដេកលើខ្សែក្រវ៉ាត់ផ្លាស់ទី។ កម្លាំងពីរធ្វើសកម្មភាពលើវា៖ កម្លាំងកកិត និងកម្លាំងបត់បែននៃនិទាឃរដូវ ហើយពួកវាផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលា។ ទីមួយអាស្រ័យលើភាពខុសគ្នារវាងល្បឿននៃខ្សែក្រវ៉ាត់ និងម៉ាស់ ទីពីរនៅលើរ៉ិចទ័រ និងសញ្ញានៃការខូចទ្រង់ទ្រាយនៃនិទាឃរដូវ ដូច្នេះម៉ាស់គឺស្ថិតនៅក្រោមឥទ្ធិពលនៃកម្លាំងលទ្ធផលដែលដឹកនាំទៅខាងឆ្វេង ឬទៅខាងស្តាំ។ និងលំយោល។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីពីរ (រូបភាពទី 7) ចុងខាងឆ្វេងនៃនិទាឃរដូវផ្លាស់ទីទៅខាងស្តាំជាមួយ ល្បឿនថេរ v ជាលទ្ធផលដែលនិទាឃរដូវផ្លាស់ទីបន្ទុកតាមបណ្តោយផ្ទៃស្ថានី។ ស្ថានភាពស្រដៀងនឹងអ្វីដែលបានពិពណ៌នាសម្រាប់ករណីមុនកើតឡើង ហើយបន្ទុកចាប់ផ្តើមញ័រ។

4. Kinematics នៃដំណើរការលំយោលតាមកាលកំណត់

អនុញ្ញាតឱ្យដំណើរការត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយអថេរមាត្រដ្ឋានមួយ ដែលជាឧទាហរណ៍ ការផ្លាស់ទីលំនៅ។ បន្ទាប់មក - speed, - acceleration..gif" width="11 height=17" height="17">លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ

,

បន្ទាប់មកលំយោលត្រូវបានគេហៅថា តាមកាលកំណត់(រូបទី 1) ។ ក្នុងករណីនេះលេខតូចបំផុតនៃលេខបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា រយៈពេលនៃលំយោល។. ឯកតារង្វាស់សម្រាប់រយៈពេលនៃលំយោលគឺភាគច្រើនជាលើកទីពីរ តំណាងឱ្យ s ឬវិ។ ឯកតារង្វាស់ផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើជានាទី ម៉ោង។ល។ លក្ខណៈសំខាន់មួយទៀតនៃដំណើរការលំយោលតាមកាលកំណត់គឺ ប្រេកង់យោល។

ការគណនាបរិមាណ វដ្តពេញលេញលំយោលក្នុងមួយឯកតានៃពេលវេលា (ឧទាហរណ៍ក្នុងមួយវិនាទី) ។ ប្រេកង់នេះត្រូវបានវាស់ជាហឺត (Hz) ដូច្នេះវាមានន័យថា 5 វដ្តពេញលេញនៃការយោលក្នុងមួយវិនាទី។ នៅក្នុងការគណនាគណិតវិទ្យានៃទ្រឹស្តីនៃលំយោលវាប្រែទៅជាងាយស្រួលជាង ប្រេកង់មុំ

,

បានវាស់វែងជា https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 height=24" height="24">។

ភាពសាមញ្ញបំផុតនៃលំយោលតាមកាលកំណត់ ប៉ុន្តែមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់សម្រាប់ការសាងសង់ មូលដ្ឋានទ្រឹស្តីទ្រឹស្ដីនៃលំយោលគឺជាលំយោលអាម៉ូនិក (sinusoidal) ផ្លាស់ប្តូរយោងទៅតាមច្បាប់

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" width="17" height="17 src="> – amplitude, - ដំណាក់កាលលំយោល, - ដំណាក់កាលដំបូង..gif" width="196" height="24">,

ហើយបន្ទាប់មកបង្កើនល្បឿន

ជំនួសឱ្យ (1) សញ្ញាណជំនួសត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width="80" height="21 src=">។ ការពិពណ៌នា (1) និង (2) ក៏អាចត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់

មានទំនាក់ទំនងដែលអាចបញ្ជាក់បានយ៉ាងងាយស្រួលរវាងថេរនៅក្នុងរូបមន្ត (1), (2), (3)

ការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្ត និងគោលគំនិតនៃទ្រឹស្ដីមុខងារនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ ជួយសម្រួលដល់ការពិពណ៌នាអំពីលំយោល។ ទីតាំងកណ្តាលក្នុងករណីនេះវាត្រូវការ រូបមន្តអយល័រ

.

ទីនេះ https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" height="28">។ (4)

រូបមន្ត (1) និង (2) មាននៅក្នុង (4) ។ ឧទាហរណ៍ លំយោល sinusoidal (1) អាចត្រូវបានតំណាងជាសមាសធាតុស្រមើលស្រមៃ (4)

និង (2) - ក្នុងទម្រង់នៃសមាសធាតុពិត

លំយោល Polyharmonic ។ផលបូកនៃពីរ រំញ័រអាម៉ូនិកជាមួយនឹងប្រេកង់ដូចគ្នានឹងជាលំយោលអាម៉ូនិកដែលមានប្រេកង់ដូចគ្នា។

លក្ខខណ្ឌអាចមានប្រេកង់ខុសៗគ្នា

បន្ទាប់មកផលបូក (5) នឹងមាន មុខងារតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេល មានតែប្រសិនបើ , កន្លែងណា និងជាចំនួនគត់ និង ប្រភាគដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន។, ចំនួនសមហេតុផល. ជាទូទៅប្រសិនបើលំយោលអាម៉ូនិកពីរឬច្រើនមានប្រេកង់ដែលមានសមាមាត្រក្នុងទម្រង់ ប្រភាគសមហេតុផលបន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេគឺតាមកាលកំណត់ ប៉ុន្តែមិនមែនជាលំយោលអាម៉ូនិកទេ។ លំយោលបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ប៉ូលីអាម៉ូនិក.

ប្រសិនបើ យោលតាមកាលកំណត់មិន​មែន​អាម៉ូនិក​ទេ វា​នៅ​តែ​មាន​អត្ថប្រយោជន៍​ច្រើន​ក្នុង​ការ​តំណាង​ឱ្យ​ពួកវា​ជា​ផលបូក​នៃ​លំយោល​អាម៉ូនិក​ដោយ​ប្រើ ស៊េរី Fourier

នៅទីនេះ https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif" width="15" height="19">គឺជាលេខអាម៉ូនិក ដែលកំណត់លក្ខណៈតម្លៃមធ្យមនៃគម្លាត https://pandia ។ ru/text /78/502/images/image077_14.gif" width="139 height=24" height="24"> - អាម៉ូនិកមូលដ្ឋានទីមួយ (https://pandia.ru/text/78/502/ images/image080_11 gif" width="207" height="24">ទម្រង់ វិសាលគមប្រេកង់ការស្ទាក់ស្ទើរ។

ចំណាំ។ យុត្តិកម្មទ្រឹស្តីលទ្ធភាពនៃការតំណាងឱ្យមុខងារនៃដំណើរការលំយោលជាមួយនឹងស៊េរី Fourier គឺជាទ្រឹស្តីបទ Dirichlet សម្រាប់អនុគមន៍តាមកាលកំណត់៖

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយត្រូវបានផ្តល់នៅលើផ្នែកមួយ ហើយជាផ្នែកបន្តបន្ទាប់គ្នាជាដុំ និងកំណត់នៅលើវា នោះស៊េរី Fourier របស់វាបញ្ចូលគ្នានៅគ្រប់ចំនុចនៃផ្នែកនេះ https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif " width= "28" height="23 src="> – ចំនួន ស៊េរីត្រីកោណមាត្រអនុគមន៍ Fourier f(t) បន្ទាប់មកនៅគ្រប់ចំណុចនៃការបន្តនៃអនុគមន៍នេះ។

និងនៅគ្រប់ចំណុចនៃភាពមិនដំណើរការ

.

ក្រៅពីនេះ

.

វាច្បាស់ណាស់ថាដំណើរការលំយោលពិតប្រាកដបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ Dirichlet ។

នៅក្នុងវិសាលគមប្រេកង់ ប្រេកង់នីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងទំហំ Ak និងដំណាក់កាលដំបូង https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif" width="125" height="33">, .

ពួកគេបង្កើត វិសាលគមទំហំ https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" width="35" height="24">។ តំណាងដែលមើលឃើញអំពី វិសាលគមទំហំផ្តល់អង្ករ ២.

កំណត់វិសាលគមប្រេកង់ និងមេគុណ Fourier ត្រូវបានគេហៅថា ការវិភាគវិសាលគម . តាមទ្រឹស្តីនៃស៊េរី Fourier រូបមន្តខាងក្រោមត្រូវបានគេស្គាល់៖