ផលិតផល និងផលគុណនៃប្រភាគសនិទាន។ ប្រភាគសនិទាន

កន្សោមប្រភាគណាមួយ (ប្រយោគ ៤៨) អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ ដែល P និង Q គឺជាកន្សោមសមហេតុផល ហើយ Q ចាំបាច់មានអថេរ។ ប្រភាគបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាប្រភាគសមហេតុផល។

ឧទាហរណ៍នៃប្រភាគសមហេតុផល៖

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគត្រូវបានបង្ហាញដោយអត្តសញ្ញាណដែលមានសុពលភាពក្រោមលក្ខខណ្ឌនៅទីនេះ - ទាំងមូល ការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល. នេះមានន័យថា ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទានអាចត្រូវបានគុណ ឬចែកដោយចំនួនមិនសូន្យដូចគ្នា ឯកតា ឬពហុនាម។

ឧទាហរណ៍ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃប្រភាគអាចប្រើដើម្បីផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃលក្ខខណ្ឌនៃប្រភាគ។ ប្រសិនបើភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគត្រូវបានគុណនឹង -1 យើងទទួលបាន ដូច្នេះតម្លៃនៃប្រភាគនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើសញ្ញានៃភាគយក និងភាគបែងត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ ប្រសិនបើអ្នកប្តូរសញ្ញានៃតែភាគយក ឬតែភាគបែង នោះប្រភាគនឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វា៖

ឧ.

60. កាត់បន្ថយប្រភាគសមហេតុផល។

ដើម្បីកាត់បន្ថយប្រភាគ មានន័យថា ចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយកត្តារួម។ លទ្ធភាពនៃការកាត់បន្ថយបែបនេះគឺដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប្រភាគ។

ដើម្បីកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានមួយ អ្នកត្រូវកត្តាភាគយក និងភាគបែង។ ប្រសិនបើវាបង្ហាញថា ភាគយក និងភាគបែងមានកត្តារួម នោះប្រភាគអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ ប្រសិនបើមិនមានកត្តាទូទៅទេ ការបំប្លែងប្រភាគតាមរយៈការកាត់បន្ថយគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ឧទាហរណ៍។ កាត់បន្ថយប្រភាគ

ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន

ការកាត់បន្ថយប្រភាគត្រូវបានអនុវត្តក្រោមលក្ខខណ្ឌ។

61. កាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានទៅជាភាគបែងរួម។

ភាគបែង​ទូទៅ​នៃ​ប្រភាគ​សនិទានភាព​មួយ​ចំនួន​គឺ​កន្សោម​សនិទានភាព​ទាំងមូល ដែល​ត្រូវ​បាន​បែងចែក​ដោយ​ភាគបែង​នៃ​ប្រភាគ​នីមួយៗ (មើល​កថាខណ្ឌ​ទី 54)។

ឧទាហរណ៍ ភាគបែងទូទៅនៃប្រភាគគឺជាពហុនាម ដោយសារវាត្រូវបានបែងចែកដោយទាំងពីរ និងដោយ និងពហុធា និងពហុធា និងពហុធា។ ភាគបែងសាមញ្ញបំផុតនេះជួនកាលត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងធម្មតាទាបបំផុត។

ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ ភាគបែងរួមគឺយើងមាន

កាត់បន្ថយប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យ ភាគបែងរួមសម្រេចបានដោយការគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគទីមួយដោយ 2។ ហើយភាគបែង និងភាគបែងនៃប្រភាគទីពីរដោយពហុនាមត្រូវបានគេហៅថាកត្តាបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគទីមួយ និងទីពីររៀងគ្នា។ កត្តាបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងកូតានៃការបែងចែកភាគបែងទូទៅដោយភាគបែងនៃប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដើម្បីកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានមួយចំនួនទៅជាភាគបែងរួម អ្នកត្រូវការ៖

1) កត្តាភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗ;

2) បង្កើតភាគបែងរួមដោយរួមបញ្ចូលជាកត្តា កត្តាទាំងអស់ដែលទទួលបានក្នុងជំហាន 1) នៃការពង្រីក; ប្រសិនបើកត្តាជាក់លាក់មួយមានវត្តមាននៅក្នុងការពង្រីកជាច្រើន នោះវាត្រូវបានគេយកជាមួយនិទស្សន្តស្មើនឹងចំនួនធំបំផុតដែលមាន។

3) ស្វែងរកកត្តាបន្ថែមសម្រាប់ប្រភាគនីមួយៗ (សម្រាប់នេះ ភាគបែងរួមត្រូវបានបែងចែកដោយភាគបែងនៃប្រភាគ);

4) ដោយគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗដោយកត្តាបន្ថែម នាំប្រភាគទៅជាភាគបែងធម្មតា។

ឧទាហរណ៍។ កាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាភាគបែងរួម

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងបែងចែកភាគបែង៖

កត្តាខាងក្រោមត្រូវតែបញ្ចូលក្នុងភាគបែងរួម៖ និងផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃលេខ 12, 18, 24, i.e. នេះមានន័យថាភាគបែងរួមមានទម្រង់

កត្តាបន្ថែម៖ សម្រាប់ប្រភាគទីមួយ សម្រាប់ទីពីរ សម្រាប់ទីបី ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖

62. ការបូកនិងដកនៃប្រភាគសនិទាន។

ផលបូកនៃពីរ (ហើយជាទូទៅណាមួយ។ ចំនួនកំណត់) ប្រភាគសមហេតុផលជាមួយ ភាគបែងដូចគ្នា។គឺដូចគ្នាបេះបិទនឹងប្រភាគដែលមានភាគបែង និងភាគយកដូចគ្នា ស្មើនឹងបរិមាណលេខភាគនៃប្រភាគបន្ថែម៖

ស្ថានភាពគឺស្រដៀងគ្នាក្នុងករណីដកប្រភាគដែលមានភាគបែងដូចជា៖

ឧទាហរណ៍ទី 1៖ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ

ដំណោះស្រាយ។

ដើម្បីបន្ថែមឬដកប្រភាគសមហេតុផលជាមួយ ភាគបែងផ្សេងគ្នាដំបូងអ្នកត្រូវតែកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាភាគបែងរួម ហើយបន្ទាប់មកធ្វើប្រតិបត្តិការលើប្រភាគលទ្ធផលជាមួយនឹងភាគបែងដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ទី 2៖ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ

ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន

63. គុណនិងការបែងចែកប្រភាគសនិទាន។

ផលិតផលនៃចំនួនពីរ (ហើយជាទូទៅចំនួនកំណត់ណាមួយ) ប្រភាគសមហេតុផលគឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងប្រភាគដែលភាគយក ស្មើនឹងផលិតផលភាគបែង និងភាគបែង - ផលិតផលនៃភាគបែងនៃប្រភាគគុណ៖

កូតានៃការបែងចែកប្រភាគសនិទានពីរគឺដូចគ្នាបេះបិទនឹងប្រភាគដែលភាគយកស្មើនឹងផលគុណនៃភាគយកនៃប្រភាគទីមួយ និងភាគបែងនៃប្រភាគទីពីរ ហើយភាគបែងគឺជាផលនៃភាគបែងនៃប្រភាគទីមួយ និង លេខភាគនៃប្រភាគទីពីរ៖

ក្បួនបង្កើតនៃគុណ និងចែកក៏អនុវត្តចំពោះករណីគុណ ឬចែកដោយពហុនាម៖ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការសរសេរពហុនាមនេះក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគដែលមានភាគបែងនៃ ១។

ដោយមើលឃើញពីលទ្ធភាពនៃការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការគុណ ឬបែងចែកប្រភាគសនិទាន ពួកគេជាធម្មតាខិតខំធ្វើកត្តាភាគ និងភាគបែងនៃប្រភាគដើម មុនពេលអនុវត្តប្រតិបត្តិការទាំងនេះ។

ឧទាហរណ៍ 1: អនុវត្តការគុណ

ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន

ដោយប្រើក្បួនសម្រាប់គុណប្រភាគ យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ទី 2: អនុវត្តការបែងចែក

ដំណោះស្រាយ។ យើងមាន

ដោយប្រើក្បួនបែងចែកយើងទទួលបាន:

64. ការបង្កើនប្រភាគសមហេតុផលទៅជាអំណាចទាំងមូល។

ដើម្បីលើកប្រភាគសមហេតុផល - ទៅ សញ្ញាបត្រធម្មជាតិអ្នកត្រូវបង្កើនចំនួនភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគទៅថាមពលនេះដោយឡែកពីគ្នា។ កន្សោមទីមួយគឺជាភាគយក ហើយកន្សោមទីពីរគឺជាភាគបែងនៃលទ្ធផល៖

ឧទាហរណ៍ទី១៖ បំប្លែងទៅជាប្រភាគនៃថាមពល ៣.

ដំណោះស្រាយដំណោះស្រាយ។

នៅពេលបង្កើនប្រភាគទៅចំនួនទាំងមូល សញ្ញាបត្រអវិជ្ជមានអត្តសញ្ញាណត្រូវបានប្រើដែលមានសុពលភាពសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរដែល .

ឧទាហរណ៍ទី ២៖ បំប្លែងកន្សោមទៅជាប្រភាគ

65. ការផ្លាស់ប្តូរនៃការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល។

ការបំប្លែងកន្សោមសមហេតុសមផលណាមួយមកលើការបូក ដក គុណ និងបែងចែកប្រភាគសនិទាន ក៏ដូចជាការបង្កើនប្រភាគទៅជាថាមពលធម្មជាតិ។ កន្សោមសមហេតុផលណាមួយអាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាប្រភាគ ភាគយក និងភាគបែងដែលជាកន្សោមសមហេតុសមផលទាំងមូល។ នេះជាក្បួនគឺជាគោលដៅនៃការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទនៃការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល។

ឧទាហរណ៍។ សម្រួលការបញ្ចេញមតិ

66. ការបំប្លែងដ៏សាមញ្ញបំផុតនៃឫសនព្វន្ធ (រ៉ាឌីកាល់) ។

នៅពេលបំប្លែងនព្វន្ធ korias លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកវាត្រូវបានប្រើប្រាស់ (សូមមើលកថាខណ្ឌទី 35)។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិ ឫសនព្វន្ធសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូររ៉ាឌីកាល់សាមញ្ញបំផុត។ ក្នុងករណីនេះ យើងនឹងពិចារណាអថេរទាំងអស់ ដើម្បីយកតែតម្លៃដែលមិនអវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

ឧទាហរណ៍ 1. ស្រង់ឫសនៃផលិតផល

ដំណោះស្រាយ។ ការ​អនុវត្ត​លក្ខណៈ 1° យើង​ទទួល​បាន៖

ឧទាហរណ៍ 2. ដកមេគុណចេញពីក្រោមសញ្ញាឫស

ដំណោះស្រាយ។

ការផ្លាស់ប្តូរនេះត្រូវបានគេហៅថាការដកកត្តាចេញពីក្រោមសញ្ញាឫស។ គោលបំណងនៃការផ្លាស់ប្តូរគឺដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់។

ឧទាហរណ៍ទី 3៖ ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។

ដំណោះស្រាយ។ តាមលក្ខណសម្បត្តិនៃ 3° យើងមានជាធម្មតា ពួកគេព្យាយាមសម្រួលការបញ្ចេញមតិរ៉ាឌីកាល់ ដែលពួកគេបានយកកត្តាចេញពីសញ្ញា corium ។ យើងមាន

ឧទាហរណ៍ទី 4: ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ

ដំណោះស្រាយ។ ចូរបំប្លែងកន្សោមដោយណែនាំកត្តានៅក្រោមសញ្ញានៃឫស៖ តាមលក្ខណសម្បត្តិ 4° យើងមាន

ឧទាហរណ៍ 5: ធ្វើឱ្យសាមញ្ញ

ដំណោះស្រាយ។ តាមលក្ខណសម្បត្តិនៃ 5° យើងមានសិទ្ធិបែងចែកនិទស្សន្តនៃឫស និងនិទស្សន្តនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ទៅជាវត្ថុដូចគ្នា លេខធម្មជាតិ. ប្រសិនបើនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណាយើងបែងចែកសូចនាករដែលបានចង្អុលបង្ហាញដោយ 3 យើងទទួលបាន .

ឧទាហរណ៍ 6. សម្រួលកន្សោម៖

ដំណោះស្រាយ ក) តាមលក្ខណសម្បត្តិ 1° យើងរកឃើញថា ដើម្បីគុណឫសនៃដឺក្រេដូចគ្នា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគុណកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ និងស្រង់ឫសនៃដឺក្រេដូចគ្នាពីលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ មានន័យថា

ខ) ជាដំបូងយើងត្រូវកាត់បន្ថយរ៉ាឌីកាល់ទៅជាសូចនាករមួយ។ យោងតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃ 5° យើងអាចគុណនិទស្សន្តនៃឫស និងនិទស្សន្តនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ដោយចំនួនធម្មជាតិដូចគ្នា។ ដូច្នេះ បន្ទាប់ ពេលនេះយើងមានលទ្ធផលដែលបែងចែកនិទស្សន្តនៃឫស និងកម្រិតនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ដោយ 3 យើងទទួលបាន។

សរសេរប្រធានបទនៃមេរៀននៅក្នុងសៀវភៅកត់ត្រារបស់អ្នក។

"ប្រភាគសនិទាន".

តើវាជាអ្វី?
ទាំងនេះគឺជាកន្សោមពិជគណិតដែលមានការបែងចែកដោយកន្សោមដែលមានអថេរ។

ឧទាហរណ៍៖
- កន្សោមប្រភាគ។

ចំនួនគត់ ព្រោះវាស្មើនឹង , i.e. កន្សោមទាំងមូលជាមួយនឹងមេគុណសនិទាន។

ទាំងមូលនិង កន្សោមប្រភាគត្រូវបានគេហៅថាការបញ្ចេញមតិសមហេតុផល។

ទាំងនេះគឺជារបស់ដែលយើងនឹងត្រូវធ្វើការជាមួយនាពេលអនាគត!

កន្សោមទាំងមូលមានន័យសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ ប៉ុន្តែកន្សោមប្រភាគ... មិនអាចបែងចែកដោយ 0 បានទេ!

ឧទាហរណ៍៖
កំណត់សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរ a និងសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ b លើកលែងតែ b=3 ។

សម្រាប់​អ្វី​ដែល​តម្លៃ​នៃ​អថេរ​ធ្វើ​កន្សោម 
?

ចងចាំ៖
ចំពោះតម្លៃណាមួយនៃ a, b និង c, កន្លែងណា និង , សមភាពគឺពិត

ប្រសិនបើយើងគុណប្រភាគដោយចំនួនមួយ (ឧ. គុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយចំនួនដូចគ្នា) យើងទទួលបាន ប្រភាគស្មើគ្នាប៉ុន្តែជាមួយនឹងភាគបែងផ្សេងគ្នា។

ប្រសិនបើយើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយចំនួនដូចគ្នា យើងកាត់បន្ថយប្រភាគ។
ឧទាហរណ៍៖
1) ចូរកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាប្រភាគដែលមានភាគបែងនៃ 35у3។
តោះចែកគ្នាសិន ភាគបែងថ្មី។ 35y3 ទៅ 7y ចាស់ ហើយយើងទទួលបានមេគុណបន្ថែមនៃ 5y2 ។
ហើយបន្ទាប់មកគុណភាគយក និងភាគបែងដោយកត្តាបន្ថែមនេះ៖
.

2) ចូរកាត់បន្ថយប្រភាគ។
ដំណោះស្រាយ៖

ចងចាំ៖
ដើម្បីកាត់បន្ថយប្រភាគមួយ អ្នកត្រូវដាក់ភាគយក និងភាគបែង ហើយបន្ទាប់មកចែកពួកវាដោយកត្តាស្មើគ្នា ពោលគឺឧ។ កាត់បន្ថយ។

មាន​វិធី​សាស្ត្រ​ជា​ច្រើន​សម្រាប់​ការ​បង្កើត​កន្សោម។
យើងធ្លាប់ស្គាល់ពួកគេពីរនាក់កន្លងមក៖
1 វិធីសាស្រ្ត
តង្កៀប មេគុណទូទៅ.
វិធីសាស្រ្ត 2
ការអនុវត្តរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់។

មធ្យោបាយដំបូង និងសាមញ្ញបំផុតក្នុងការបង្កើតកត្តាគឺ
ការដាក់កត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប។

Ac + bc = (a + b) គ

ឧទាហរណ៍ 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)

ច្បាប់៖

ប្រសិនបើសមាជិកទាំងអស់នៃពហុនាមមានកត្តារួម (ឬកត្តាទូទៅមួយចំនួន) នោះកត្តានេះ (កត្តាទាំងនេះ) អាចត្រូវបានយកចេញពីតង្កៀប។
ក្នុងករណីនេះ យើងបែងចែកពាក្យនីមួយៗដោយកន្សោមដែលយើងដាក់ចេញពីតង្កៀប៖ 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 និងចុងក្រោយ 15a3bc2: 5abc = 3a2c (មើលសញ្ញា!!!)

ហើយ​យើង​ត្រូវ​ចាំ​ថា កម្រិត​ដែល​មាន​សន្ទស្សន៍​ទាប​ត្រូវ​បាន​យក​ចេញ​ពី​តង្កៀប។

ដោយខ្លួនឯង៖
យកកត្តាទូទៅចេញពីតង្កៀប

ពិនិត្យ៖

ពេលខ្លះសមាជិកទាំងអស់។ កន្សោមពិជគណិតខ្ញុំ​មិន​មាន​កត្តា​រួម​ទេ ប៉ុន្តែ​ក្នុង​ក្រុម​ផ្សេង​គ្នា​នៃ​ពាក្យ​មាន​មួយ​ឧទាហរណ៍

ah + ay + bx + ដោយ។

ពហុនាមនេះអាចត្រូវបានកត្តាដោយការរួមបញ្ចូលលក្ខខណ្ឌរបស់វាទៅក្នុង ក្រុមដាច់ដោយឡែក

(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b) ។

ឧទាហរណ៍៖

ដោយ​ប្រើ​វិធី​នៃ​ការ​ដាក់​ពាក្យ​ជា​ក្រុម កត្តា​កន្សោម
3x + xy2 − x2y − 3y

ដំណោះស្រាយ៖
3x + xy2 − x2y − 3y = 3(x − y) + xy(y −x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y)។

តោះ​អនុវត្ត​មួយ​ចំនួន​ទៀត៖
1) a3 - ab - a2b + a2,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 − x ។

ដំណោះស្រាយ៖
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - ខ)
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1)។

ហើយឥឡូវនេះអំពីវិធីសាស្រ្តទី 2 ។
ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃកន្សោមពិជគណិតមិនមានកត្តាដដែលៗទេនោះ អ្នកអាចព្យាយាមអនុវត្តរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់...

ឧទាហរណ៍
ក) ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ៖
0.49x4 - 121y2 = (0.7x2)2 - (11y)2 = (0.7x2 - 11y)(0.7x2 + 11y),

ខ) ភាពខុសគ្នានៃគូប៖
1 - 27s3 = 13 - (3s)3 = (1 - 3s)(1 + 3s + 9s2),

ខ) ភាពខុសគ្នានៃការ៉េ៖
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 ឬ (2a - 3b)(2a - 3b),

ឃ) ភាពខុសគ្នានៃគូប៖
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 ឬ (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .e. មេគុណបីស្មើគ្នា!

ក្បួនដោះស្រាយ៖
- ដំបូងយើង "កែសម្រួល" រូបរាងកន្សោម" ក្រោមរូបមន្តដែលអាច...
- ប្រសិនបើវាដំណើរការ យើងបន្តទៅមុខទៀត ដូចដែលវា (រូបមន្ត) ទាមទារ...
- ប្រសិនបើវាមិនដំណើរការទេនោះយើងចាប់ផ្តើម "សាកល្បង" រូបមន្តមួយផ្សេងទៀត ...
- ហើយដូច្នេះនៅលើរហូតដល់អ្នកអាច decompose កន្សោមទៅជាផលិតផលនៃកត្តាមួយ!

ពីវគ្គសិក្សាពិជគណិត កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាចូរយើងចុះទៅជាក់លាក់។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះយើងនឹងសិក្សាលម្អិត ប្រភេទពិសេសកន្សោមសមហេតុផល - ប្រភាគសមហេតុផលហើយពិចារណាផងដែរនូវអ្វីដែលមានលក្ខណៈដូចគ្នាបេះបិទ ការបម្លែងប្រភាគសមហេតុផលយកកន្លែង។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកត់សម្គាល់ភ្លាមៗថាប្រភាគសមហេតុផលក្នុងន័យដែលយើងកំណត់ពួកវាខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថាប្រភាគពិជគណិតនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាពិជគណិតមួយចំនួន។ នោះ​គឺ​នៅ​ក្នុង​អត្ថបទ​នេះ យើង​នឹង​យល់​អំពី​ប្រភាគ​សនិទាន និង​ពិជគណិត ដើម្បី​មាន​ន័យ​ដូច​គ្នា។

ដូចធម្មតា ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនិយមន័យ និងឧទាហរណ៍។ បន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយអំពីការនាំយកប្រភាគសមហេតុផលទៅភាគបែងថ្មី និងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃសមាជិកនៃប្រភាគ។ បន្ទាប់ពីនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលវិធីកាត់បន្ថយប្រភាគ។ ជាចុងក្រោយ សូមក្រឡេកមើលការតំណាងឱ្យប្រភាគសនិទាន ជាផលបូកនៃប្រភាគជាច្រើន។ យើងនឹងផ្តល់ព័ត៌មានទាំងអស់ជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ ការពិពណ៌នាលម្អិតការសម្រេចចិត្ត។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យ និងឧទាហរណ៍នៃប្រភាគសនិទាន

ប្រភាគសនិទានត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងមេរៀនពិជគណិតថ្នាក់ទី 8 ។ យើងនឹងប្រើនិយមន័យនៃប្រភាគសនិទានដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8 ដោយ Yu.N. Makarychev et al ។

IN និយមន័យនេះ។វាមិនត្រូវបានបញ្ជាក់ថាតើពហុនាមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទានត្រូវតែជាពហុនាមទេ ទិដ្ឋភាពស្តង់ដារឬអត់។ ដូច្នេះ យើងនឹងសន្មត់ថា សញ្ញាណសម្រាប់ប្រភាគសនិទានអាចមានទាំងពហុនាមស្តង់ដារ និងមិនមែនស្តង់ដារ។

នេះគឺជាមួយចំនួន ឧទាហរណ៍នៃប្រភាគសមហេតុផល. ដូច្នេះ x/8 និង - ប្រភាគសមហេតុផល។ និងប្រភាគ និងមិនសមនឹងនិយមន័យដែលបានបញ្ជាក់នៃប្រភាគសនិទានទេ ចាប់តាំងពីក្នុងទីមួយនៃពួកវា ភាគយកមិនមានពហុនាមទេ ហើយនៅក្នុងទីពីរ ទាំងភាគយក និងភាគបែងមានកន្សោមដែលមិនមែនជាពហុនាម។

ការបំប្លែងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទាន

ភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគណាមួយគឺគ្រប់គ្រាន់ដោយខ្លួនឯង។ កន្សោមគណិតវិទ្យានៅក្នុងករណីនៃប្រភាគសនិទាន ទាំងនេះគឺជាពហុនាម នៅក្នុងករណីជាក់លាក់មួយ monomials និងលេខ។ ដូច្នេះ ការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទានមួយ ដូចនឹងកន្សោមណាមួយ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត កន្សោមនៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគសនិទានអាចត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមស្មើគ្នាដូចគ្នាទៅនឹងភាគបែងដែរ។

អ្នកអាចធ្វើការបំប្លែងដូចគ្នានៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទាន។ ឧទាហរណ៍ ក្នុង​លេខ​ភាគ អ្នក​អាច​ដាក់​ជា​ក្រុម និង​កាត់​បន្ថយ ពាក្យស្រដៀងគ្នាហើយនៅក្នុងភាគបែង ជំនួសផលគុណនៃលេខជាច្រើនជាមួយនឹងតម្លៃរបស់វា។ ហើយដោយសារភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទានគឺជាពហុនាម វាអាចអនុវត្តការបំប្លែងលក្ខណៈនៃពហុនាមជាមួយពួកវា ឧទាហរណ៍ ការកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ ឬតំណាងក្នុងទម្រង់នៃផលិតផល។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ ចូរយើងពិចារណាដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។

បំប្លែងប្រភាគសមហេតុផល ដូច្នេះ ភាគយកមានពហុនាមនៃទម្រង់ស្តង់ដារ ហើយភាគបែងមានផលគុណនៃពហុនាម។

ដំណោះស្រាយ។

ការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានទៅជាភាគបែងថ្មីត្រូវបានប្រើជាចម្បងក្នុងការបន្ថែម និងដកប្រភាគសនិទាន។

ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពីមុខប្រភាគ ក៏ដូចជានៅក្នុងភាគបែង និងភាគបែងរបស់វា។

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប្រភាគអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃសមាជិកនៃប្រភាគ។ ជាការពិត ការគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទានដោយ -1 គឺស្មើនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់ពួកគេ ហើយលទ្ធផលគឺប្រភាគដែលដូចគ្នាទៅនឹងប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការបំប្លែងនេះត្រូវប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលធ្វើការជាមួយប្រភាគសនិទាន។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគក្នុងពេលដំណាលគ្នានោះ អ្នកនឹងទទួលបានប្រភាគស្មើនឹងលេខដើម។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានឆ្លើយដោយសមភាព។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយ។ ប្រភាគសមហេតុផលអាចត្រូវបានជំនួសដោយប្រភាគស្មើគ្នាដែលដូចគ្នាបេះបិទជាមួយនឹងសញ្ញាដែលបានផ្លាស់ប្តូរនៃភាគយក និងភាគបែងនៃទម្រង់។

អ្នកអាចធ្វើរឿងមួយបន្ថែមទៀតដោយប្រើប្រភាគ៖ ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណដែលសញ្ញានៃភាគយក ឬភាគបែងផ្លាស់ប្តូរ។ ចូរយើងប្រាប់ពីច្បាប់ដែលត្រូវគ្នា។ ប្រសិនបើអ្នកជំនួសសញ្ញានៃប្រភាគរួមជាមួយនឹងសញ្ញានៃភាគបែង ឬភាគបែង អ្នកនឹងទទួលបានប្រភាគដែលដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងលេខដើម។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាលាយលក្ខណ៍អក្សរត្រូវគ្នាទៅនឹងសមភាព និង .

ការបញ្ជាក់ពីសមភាពទាំងនេះមិនពិបាកទេ។ ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការគុណលេខ។ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ពី​ពួក​គេ​មុន​គេ៖ . ដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរស្រដៀងគ្នា សមភាពត្រូវបានបង្ហាញ។

ឧទាហរណ៍ ប្រភាគអាចត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោម ឬ។

ដើម្បី​បញ្ចប់​ចំណុច​នេះ យើង​បង្ហាញ​ពី​សមភាព​ដែល​មាន​ប្រយោជន៍​ពីរ​ទៀត និង . នោះគឺប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃតែភាគយកឬតែភាគបែងនោះប្រភាគនឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វា។ ឧ. និង .

ការបំប្លែងដែលបានពិចារណា ដែលអនុញ្ញាតឱ្យផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃលក្ខខណ្ឌនៃប្រភាគមួយ ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលបំប្លែងកន្សោមសនិទានប្រភាគ។

កាត់បន្ថយប្រភាគសមហេតុផល

ការបំប្លែងប្រភាគសនិទានខាងក្រោម ហៅថា ការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទាន គឺផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិមូលដ្ឋានដូចគ្នានៃប្រភាគ។ ការបំប្លែងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងសមភាព ដែល a, b និង c គឺជាពហុនាមមួយចំនួន ហើយ b និង c មិនមែនជាសូន្យ។

ពីសមភាពខាងលើវាច្បាស់ថាការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានមានន័យថាការកម្ចាត់កត្តាទូទៅនៅក្នុងភាគបែង និងភាគបែងរបស់វា។

ឧទាហរណ៍។

បោះបង់ប្រភាគសមហេតុផល។

ដំណោះស្រាយ។

កត្តាទូទៅ 2 អាចមើលឃើញភ្លាមៗ ចូរយើងអនុវត្តការកាត់បន្ថយដោយវា (នៅពេលសរសេរចុះ វាងាយស្រួលក្នុងការឆ្លងកាត់កត្តាទូទៅដែលការកាត់បន្ថយត្រូវបានធ្វើឡើង) ។ យើងមាន . ចាប់តាំងពី x 2 = x x និង y 7 = y 3 y 4 (សូមមើលប្រសិនបើចាំបាច់) វាច្បាស់ណាស់ថា x គឺជាកត្តាទូទៅនៃភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគលទ្ធផល ដូចទៅនឹង y 3 ។ ចូរកាត់បន្ថយដោយកត្តាទាំងនេះ៖ . នេះបញ្ចប់ការកាត់បន្ថយ។

ខាងលើយើងបានអនុវត្តការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទានតាមលំដាប់លំដោយ។ ឬអាចអនុវត្តការកាត់បន្ថយក្នុងមួយជំហាន ដោយកាត់បន្ថយប្រភាគភ្លាមៗដោយ 2 x y 3 ។ ក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយនឹងមើលទៅដូចនេះ: .

ចម្លើយ៖

.

នៅពេលកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទាន បញ្ហាចម្បងគឺថា កត្តាទូទៅនៃភាគយក និងភាគបែងមិនតែងតែអាចមើលឃើញទេ។ លើសពីនេះទៅទៀតវាមិនតែងតែមានទេ។ ដើម្បីស្វែងរកកត្តារួមមួយ ឬផ្ទៀងផ្ទាត់អវត្តមានរបស់វា អ្នកត្រូវដាក់កត្តាភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទាន។ ប្រសិនបើមិនមានកត្តារួមទេ នោះប្រភាគសនិទានដើម មិនចាំបាច់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ នៅក្នុង បើមិនដូច្នេះទេ- ការកាត់បន្ថយកំពុងត្រូវបានអនុវត្ត។

nuances ផ្សេងៗអាចកើតឡើងនៅក្នុងដំណើរការនៃការកាត់បន្ថយប្រភាគសមហេតុផល។ subtleties សំខាន់ៗត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងអត្ថបទកាត់បន្ថយប្រភាគពិជគណិតដោយប្រើឧទាហរណ៍ និងលម្អិត។

បញ្ចប់ការសន្ទនាអំពីការកាត់បន្ថយប្រភាគសនិទាន យើងកត់សំគាល់ថាការបំប្លែងនេះគឺដូចគ្នាបេះបិទ ហើយការលំបាកចម្បងក្នុងការអនុវត្តរបស់វាស្ថិតនៅក្នុងការបង្វែរពហុនាមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង។

តំណាងនៃប្រភាគសមហេតុផលជាផលបូកនៃប្រភាគ

ជាក់លាក់ណាស់ ប៉ុន្តែក្នុងករណីខ្លះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ គឺការបំប្លែងប្រភាគសនិទាន ដែលមាននៅក្នុងតំណាងរបស់វាជាផលបូកនៃប្រភាគជាច្រើន ឬផលបូកនៃកន្សោមទាំងមូល និងប្រភាគ។

ប្រភាគសមហេតុផល ដែលជាភាគយកដែលមានពហុនាមតំណាងឱ្យផលបូកនៃ monomials ជាច្រើន តែងតែអាចសរសេរជាផលបូកនៃប្រភាគដែលមានភាគបែងដូចគ្នា ដែលជាភាគយកដែលមាន monomials ដែលត្រូវគ្នា។ ឧ. . ការតំណាងនេះត្រូវបានពន្យល់ដោយច្បាប់សម្រាប់ការបន្ថែម និងដកប្រភាគពិជគណិតជាមួយភាគបែង។

ជាទូទៅ ប្រភាគសមហេតុផលណាមួយអាចត្រូវបានបង្ហាញជាផលបូកនៃប្រភាគតាមវិធីផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន។ ឧទាហរណ៍ ប្រភាគ a/b អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃប្រភាគពីរ - ប្រភាគតាមអំពើចិត្ត c/d និងប្រភាគស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងប្រភាគ a/b និង c/d ។ សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​នេះ​គឺ​ជា​ការ​ពិត​ចាប់​តាំង​ពី​សមភាព​មាន​ . ឧទាហរណ៍ ប្រភាគសមហេតុផលអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃប្រភាគ នៅក្នុងវិធីផ្សេងៗ: ចូរយើងស្រមៃមើលប្រភាគដើមជាផលបូកនៃកន្សោមចំនួនគត់ និងប្រភាគ។ ដោយបែងចែកភាគយកដោយភាគបែងជាមួយជួរឈរមួយ យើងទទួលបានសមភាព . តម្លៃនៃកន្សោម n 3 +4 សម្រាប់ចំនួនគត់ n គឺជាចំនួនគត់។ ហើយតម្លៃនៃប្រភាគគឺជាចំនួនគត់ប្រសិនបើ ហើយប្រសិនបើភាគបែងរបស់វាគឺ 1, −1, 3 ឬ −3 ។ តម្លៃទាំងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃ n=3, n=1, n=5 និង n=−1 រៀងគ្នា។

ចម្លើយ៖

−1 , 1 , 3 , 5 .

ឯកសារយោង។

• ពិជគណិត៖សៀវភៅសិក្សា សម្រាប់ថ្នាក់ទី ៨ ។ ការអប់រំទូទៅ ស្ថាប័ន / [យូ។ N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; កែសម្រួលដោយ S.A. Telyakovsky ។ - ទី 16 ed ។ - M. : ការអប់រំ, 2008. - 271 ទំ។ ៖ ឈឺ។ - ISBN 978-5-09-019243-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី 7 ។ ម៉ោង 2 រសៀល វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្ស ស្ថាប័នអប់រំ/ A.G. Mordkovich ។ - ទី 13 ed ។, rev ។ - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 pp.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9 ។
• Mordkovich A.G.ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ ក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង ផ្នែកទី 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានអប់រំទូទៅ / A.G. Mordkovich ។ - ទី 11 ed ។ , លុប។ - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2 ។
• Gusev V.A., Mordkovich A.G.គណិតវិទ្យា (សៀវភៅណែនាំសម្រាប់អ្នកចូលសាលាបច្ចេកទេស): Proc. ប្រាក់ឧបត្ថម្ភ។- M.; ខ្ពស់ជាង សាលា, ១៩៨៤.-៣៥១ ទំ., ឈឺ។

នាងមើលទៅដូចជា

ដែល P(x) និង Q(x) គឺជាពហុនាមមួយចំនួន។

បែងចែករវាងប្រភាគសមហេតុផល និងមិនត្រឹមត្រូវ ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយប្រភាគធម្មតា ប្រភាគជាលេខ. ប្រភាគសមហេតុផលត្រូវបានគេហៅថាត្រឹមត្រូវប្រសិនបើលំដាប់នៃភាគបែងគឺ លំដាប់បន្ថែមទៀតលេខភាគ និងមិនត្រឹមត្រូវប្រសិនបើផ្ទុយមកវិញ។

ប្រភាគសមហេតុសមផលណាមួយអាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាផលបូកនៃពហុនាមមួយចំនួន និងប្រភាគសមហេតុផលត្រឹមត្រូវ

ប្រភាគសមហេតុផលណាមួយនៃពហុនាមដែលមានមេគុណពិតអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃប្រភាគសនិទានដែលភាគបែងគឺជាកន្សោម (x − ក) k (a គឺជាឫសពិតនៃ Q(x)) ឬ (x 2 + ទំx + q) k (កន្លែងណា x 2 + ទំx + q មិនមាន ឫសពិត) ហើយដឺក្រេ k មិនធំជាងពហុគុណទេ។ ឫសដែលត្រូវគ្នា។នៅក្នុងពហុនាម Q(x) ។ ដោយផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ទ្រឹស្តីបទស្តីពីការរួមបញ្ចូលនៃប្រភាគសនិទានគឺផ្អែកលើ។ យោងទៅតាមវា ប្រភាគសមហេតុផលណាមួយអាចត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុង មុខងារបឋមដែលធ្វើឱ្យថ្នាក់នៃប្រភាគសនិទានមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា។

សូមមើលផងដែរ។

មូលនិធិវិគីមេឌា។

ឆ្នាំ ២០១០។

សូមមើលអ្វីដែល "ប្រភាគសនិទាន" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖

ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើលប្រភាគ។ 8/13 ភាគយកភាគបែងភាគបែងភាគបែង ធាតុពីរនៃប្រភាគដូចគ្នា ប្រភាគក្នុងគណិតវិទ្យាគឺជាចំនួនដែលមានផ្នែកមួយ ឬច្រើន...... វិគីភីឌា

Wiktionary មានធាតុសម្រាប់ “ប្រភាគ” ឈ្មោះនិមិត្តសញ្ញា “⁄” (មួយផ្សេងទៀត ជាទូទៅភាគច្រើននៅក្នុង ភាសាអង់គ្លេសឈ្មោះនៃនិមិត្តសញ្ញារឹង (ភាសាអង់គ្លេស) ឬសញ្ញា) ឧទាហរណ៍នៅក្នុងលេខផ្ទះ។ ដូច្នេះ ផ្ទះលេខ “5/17” អានថា “ប្រាំ... ... វិគីភីឌា

1) R. f. អនុគមន៍ w=R(z) ដែល R(z) គឺជាកន្សោមសមហេតុផលសម្រាប់ z ពោលគឺកន្សោមដែលទទួលបានពីអថេរ z ឯករាជ្យ និងសំណុំជាក់លាក់នៃលេខ (ពិត ឬស្មុគស្មាញ) ដោយមធ្យោបាយនៃចំនួននព្វន្ធកំណត់។ . សកម្មភាព។ R. f ...... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

ត្រីមាស ចំនួនសនិទាន(lat. ratio ratio, division, fraction) ចំនួនតំណាង ប្រភាគធម្មតា។ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ ក្នុងករណីនេះលេខ m ត្រូវបានគេហៅថាភាគយកហើយលេខ n ត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃប្រភាគ។ តាគុ ... វិគីភីឌា

ត្រីមាស លេខសមហេតុផល (សមាមាត្រ lat. ratio, division, fraction) គឺជាលេខដែលតំណាងដោយប្រភាគធម្មតា ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ ក្នុងករណីនេះលេខ m ត្រូវបានគេហៅថាភាគយកហើយលេខ n ត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃប្រភាគ។ តាគុ ... វិគីភីឌា

ពាក្យនេះមានអត្ថន័យផ្សេងទៀត សូមមើលប្រភាគ។ ប្រភាគសាមញ្ញបំផុត។អូដឺក្រេត្រូវបានគេហៅថា មុខងារសមហេតុផលប្រភេទនៃកន្លែងដែលគាត់យក តម្លៃធម្មជាតិហើយចំនុចដែលជាបង្គោលនៃអនុគមន៍ មិនចាំបាច់មានធរណីមាត្រច្បាស់លាស់ទេ.... ... Wikipedia

លេខដែលបង្ហាញជាប្រភាគសមហេតុផល។ ទ្រឹស្តីផ្លូវការចំនួនពិតត្រូវបានបង្កើតដោយប្រើគូនៃចំនួនគត់។ ប្រភាគសមហេតុផលត្រូវបានគេហៅថា។ គូលំដាប់ (a, b) នៃចំនួនគត់ a និង b កាត់ b # 0 ។ ប្រភាគសមហេតុផលពីរហើយហៅថា។ e k v i v a l e n... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា

ត្រីមាស លេខសមហេតុផល (សមាមាត្រ lat. ratio, division, fraction) គឺជាលេខដែលតំណាងដោយប្រភាគធម្មតា ដែល m ជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ ក្នុងករណីនេះលេខ m ត្រូវបានគេហៅថាភាគយកហើយលេខ n ត្រូវបានគេហៅថាភាគបែងនៃប្រភាគ។ តាគុ ... វិគីភីឌា

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងនិយមន័យមួយចំនួន។ ពហុនាម សញ្ញាបត្រទី(ឬលំដាប់ទី) យើងនឹងហៅកន្សោមនៃទម្រង់ $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n) )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$ ។ ឧទាហរណ៍ កន្សោម $4x^(14)+87x^2+4x-11$ គឺជាពហុនាមដែលមានសញ្ញាបត្រគឺ $14$។ វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម៖ $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$ ។

សមាមាត្រនៃពហុនាមពីរ $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ត្រូវបានហៅ មុខងារសមហេតុផលឬ ប្រភាគសមហេតុផល. ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត វាគឺជាអនុគមន៍សមហេតុផលនៃអថេរមួយ (នោះគឺជាអថេរ $x$)។

ប្រភាគសមហេតុផលត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើ $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, សញ្ញាបត្រតិចជាងពហុនាមក្នុងភាគបែង។ បើមិនដូច្នោះទេ (ប្រសិនបើ $n ≥ m$) ប្រភាគត្រូវបានគេហៅថា ខុស.

ឧទាហរណ៍លេខ 1

ចង្អុលបង្ហាញថាប្រភាគណាមួយខាងក្រោមនេះសមហេតុផល។ ប្រសិនបើប្រភាគគឺសមហេតុផល នោះត្រូវរកមើលថាតើវាត្រឹមត្រូវឬអត់។

1. $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
2. $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
3. $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
4. $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$។

1) ប្រភាគនេះមិនសមហេតុផលទេព្រោះវាមាន $\sin x$ ។ ប្រភាគសមហេតុផលមិនអនុញ្ញាតឱ្យមានរឿងនេះទេ។

2) យើងមានសមាមាត្រនៃពហុនាមពីរ៖ $5x^2+3x-8$ និង $11x^9+25x^2-4$។ ដូច្នេះយោងទៅតាមនិយមន័យ កន្សោម $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ គឺជាប្រភាគសមហេតុផល។ ចាប់តាំងពីដឺក្រេនៃពហុនាមនៅក្នុងភាគយកគឺ $2$ ហើយកម្រិតនៃពហុនាមនៅក្នុងភាគបែងគឺ $9 ដូច្នេះ ប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រឹមត្រូវ (ព្រោះ ២ ដុល្លារ< 9$).

3) ទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនេះមានពហុនាម (កត្តា)។ វាមិនសំខាន់ចំពោះយើងទាល់តែសោះក្នុងទម្រង់ណាដែលជាភាគយក និងពហុនាមភាគបែងត្រូវបានបង្ហាញ៖ ថាតើពួកវាត្រូវបានបែងចែកឬអត់។ ដោយសារយើងមានសមាមាត្រនៃពហុនាមពីរ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យកន្សោម $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x ^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ គឺជាប្រភាគសមហេតុផល។

ដើម្បីឆ្លើយសំណួរថាតើប្រភាគដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រឹមត្រូវ ត្រូវតែកំណត់អំណាចនៃពហុនាមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែង។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយលេខភាគ i.e. ពីកន្សោម $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$ ។ ដើម្បីកំណត់កម្រិតនៃពហុនាមនេះ អ្នកអាចបើកតង្កៀបបាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាជាការសាមញ្ញជាងក្នុងការធ្វើសកម្មភាពប្រកបដោយហេតុផល ពីព្រោះយើងចាប់អារម្មណ៍តែប៉ុណ្ណោះ សញ្ញាបត្រដ៏អស្ចារ្យបំផុត។អថេរ $x$ ។ ពីតង្កៀបនីមួយៗ យើងជ្រើសរើសអថេរ $x$ ទៅកម្រិតដ៏អស្ចារ្យបំផុត។ ពីតង្កៀប $(2x^3+8x+4)$ យើងយក $x^3$ ពីតង្កៀប $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ យើងយក $(x^4) ^9=x^(4\cdot9)=x^(36)$ ហើយពីតង្កៀប $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ យើងជ្រើសរើស $x^7$។ បន្ទាប់មក បន្ទាប់ពីបើកវង់ក្រចក ថាមពលធំបំផុតនៃអថេរ $x$ នឹងមានលក្ខណៈដូចនេះ៖

$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46) ។ $$

ដឺក្រេនៃពហុនាមដែលមាននៅក្នុងភាគយកគឺ $46 ។ ឥឡូវនេះសូមងាកទៅរកភាគបែង i.e. ទៅកន្សោម $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$ ។ កម្រិតនៃពហុនាមនេះត្រូវបានកំណត់តាមវិធីដូចគ្នានឹងភាគយក ពោលគឺឧ។

$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41) ។ $$

ភាគបែងមានពហុនាមនៃដឺក្រេ 41 ។ ដោយសារដឺក្រេនៃពហុនាមនៅក្នុងភាគយក (ឧ. 46) មិនតិចជាងដឺក្រេនៃពហុនាមក្នុងភាគបែង (ឧ. 41) នោះប្រភាគសនិទានគឺ $\frac((2x^3+8x+4)(8x ^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ មិនត្រឹមត្រូវទេ។

4) ភាគយកនៃប្រភាគ $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ មានលេខ $3$, i.e. ពហុនាម សូន្យដឺក្រេ. ជាផ្លូវការ លេខភាគអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖ $3x^0=3\cdot1=3$ ។ នៅក្នុងភាគបែង យើងមានពហុនាមដែលសញ្ញាបត្រស្មើនឹង $6\cdot 4=24$។ សមាមាត្រនៃពហុនាមពីរគឺជាប្រភាគសនិទាន។ ចាប់តាំងពី $0< 24$, то данная дробь является правильной.

ចម្លើយ: 1) ប្រភាគមិនសមហេតុផល; 2) ប្រភាគសមហេតុផល (ត្រឹមត្រូវ); 3) ប្រភាគសមហេតុផល (មិនទៀងទាត់); 4) ប្រភាគសមហេតុផល (ត្រឹមត្រូវ) ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅគោលគំនិតនៃប្រភាគបឋម (ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាប្រភាគសមហេតុផលសាមញ្ញបំផុត)។ ប្រភាគសមហេតុផលបឋមមានបួនប្រភេទ៖

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

ចំណាំ (ចង់បានសម្រាប់ការយល់ដឹងពេញលេញនៃអត្ថបទ): បង្ហាញ\លាក់

ហេតុអ្វីបានជាលក្ខខណ្ឌ $p^2-4q ត្រូវការ?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим សមីការ​ការ៉េ$x^2+px+q=0$ ។ ការរើសអើងនៃសមីការនេះគឺ $D=p^2-4q$។ សំខាន់លក្ខខណ្ឌ $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់កន្សោម $x^2+5x+10$ យើងទទួលបាន៖ $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$។ ចាប់តាំងពី $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

ដោយវិធីនេះ សម្រាប់ការត្រួតពិនិត្យនេះ វាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះ ដែលមេគុណនៃ $x^2$ ស្មើនឹង 1។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ $5x^2+7x-3=0$ យើងទទួលបាន៖ $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3) = $109 ។ ចាប់តាំងពី $D > 0$ កន្សោម $5x^2+7x-3$ គឺអាចបំបែកបាន។

ភារកិច្ចមានដូចខាងក្រោម: ផ្តល់ឱ្យ ត្រឹមត្រូវ។តំណាងឱ្យប្រភាគសមហេតុផលជាផលបូកនៃប្រភាគសនិទានបឋម។ សម្ភារៈដែលបានបង្ហាញនៅលើទំព័រនេះគឺឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ ដំបូងអ្នកត្រូវធ្វើឱ្យប្រាកដថាអ្នកបានបញ្ចប់ លក្ខខណ្ឌបន្ទាប់៖ ពហុនាមនៅក្នុងភាគបែងនៃប្រភាគសនិទានត្រឹមត្រូវមួយត្រូវបានបែងចែកតាមរបៀបដែលការពង្រីកនេះមានតង្កៀបនៃទម្រង់ $(x-a)^n$ ឬ $(x^2+px+q)^n$ ($p ^2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

1. តង្កៀបនីមួយៗនៃទម្រង់ $(x-a)$ ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងភាគបែងត្រូវគ្នានឹងប្រភាគ $\frac(A)(x-a)$ ។
2. តង្កៀបនីមួយៗនៃទម្រង់ $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងភាគបែងត្រូវគ្នាទៅនឹងផលបូកនៃប្រភាគ $n$៖ $\frac(A_1)(x-a)+ \frac(A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$ ។
3. តង្កៀបនីមួយៗនៃទម្រង់ $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
4. តង្កៀបនីមួយៗនៃទម្រង់ $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

ប្រសិនបើប្រភាគមិនត្រឹមត្រូវ នោះមុនពេលអនុវត្តគ្រោងការណ៍ខាងលើ អ្នកគួរតែបែងចែកវាទៅជាផលបូកនៃផ្នែកចំនួនគត់ (ពហុធា) និងប្រភាគសមហេតុផលត្រឹមត្រូវ។ យើង​នឹង​ពិនិត្យ​មើល​ថាតើ​វា​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​យ៉ាង​ណា​បន្ថែម​ទៀត (សូម​មើល​ឧទាហរណ៍ លេខ ២ ចំណុច ៣)។ ពាក្យពីរបីអំពីការកំណត់អក្សរក្នុងលេខភាគ (ឧ. $A$, $A_1$, $C_2$ និងផ្សេងទៀត)។ អ្នកអាចប្រើអក្សរណាមួយដើម្បីបំពេញរសជាតិរបស់អ្នក។ វាមានសារៈសំខាន់តែមួយគត់ដែលអក្សរទាំងនេះមាន ផ្សេងៗនៅក្នុងប្រភាគបឋមទាំងអស់។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រទាំងនេះសូមប្រើវិធីសាស្ត្រ មេគុណមិនច្បាស់លាស់ឬវិធីសាស្រ្តនៃការជំនួសតម្លៃផ្នែក (សូមមើលឧទាហរណ៍លេខ 3 លេខ 4 និងលេខ 5) ។

ឧទាហរណ៍លេខ 2

បំបែកប្រភាគសមហេតុផលដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាបឋម (ដោយមិនស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រ):

1. $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
2. $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
3. $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$។

1) យើងមានប្រភាគសមហេតុផល។ ភាគយកនៃប្រភាគនេះមានពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រទី 4 ហើយភាគបែងមានពហុនាមដែលមានសញ្ញាបត្រស្មើនឹង $17 $ (របៀបកំណត់សញ្ញាបត្រនេះត្រូវបានពន្យល់យ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងចំណុចទី 3 នៃឧទាហរណ៍លេខ 1) ។ ដោយសារកម្រិតនៃពហុធានៅក្នុងភាគយកគឺតិចជាងកម្រិតនៃពហុធានៅក្នុងភាគបែង ប្រភាគនេះគឺត្រឹមត្រូវ។ ចូរយើងងាកទៅរកភាគបែងនៃប្រភាគនេះ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយតង្កៀប $(x-5)$ និង $(x+2)^4$ ដែលស្ថិតនៅក្រោមទម្រង់ $(x-a)^n$ ទាំងស្រុង។ លើសពីនេះ វាក៏មានតង្កៀប $(x^2+3x+10)$ និង $(x^2+11)^5$ ផងដែរ។ កន្សោម $(x^2+3x+10)$ មានទម្រង់ $(x^2+px+q)^n$ ដែល $p=3$; $q=10$, $n=1$។ ចាប់តាំងពី $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем ទិន្នផលបន្ទាប់៖ ពហុនាមនៅក្នុងភាគបែងត្រូវបានបែងចែកតាមរបៀបដែលកត្តានេះមានតែតង្កៀបនៃទម្រង់ $(x-a)^n$ ឬ $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$

លទ្ធផលអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

$$3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$

បន្ទាប់មកប្រភាគ $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ អាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់មួយផ្សេងទៀត៖

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2) +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) ។ $$

ប្រភាគ $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ គឺជាប្រភាគសមហេតុសមផល ពីព្រោះកម្រិតនៃពហុនាមក្នុងភាគយក (ឧ. 2) គឺតិចជាង កម្រិតនៃពហុនាមក្នុងភាគបែង (ឧ. ៣)។ ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលភាគបែងនៃប្រភាគនេះ។ ភាគបែង​មាន​ពហុនាម​ដែល​ត្រូវ​ធ្វើ​ជា​កត្តា។ ជួនកាលគ្រោងការណ៍របស់ Horner មានប្រយោជន៍សម្រាប់ការធ្វើកត្តា ប៉ុន្តែក្នុងករណីរបស់យើងវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ "សាលា" ស្តង់ដារនៃពាក្យដាក់ជាក្រុម៖

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដូចគ្នានឹងនៅក្នុង កថាខណ្ឌមុន។, យើងទទួលបាន:

$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$

ដូច្នេះទីបំផុតយើងមាន៖

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$

ប្រធានបទនេះនឹងត្រូវបានបន្តនៅក្នុងផ្នែកទីពីរ។