ស៊េរីនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន ពោលគឺស៊េរីនៃទម្រង់
ឬក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ
កន្លែងណា ក,b kឬតាមនោះ គ កហៅ មេគុណ T.r
ជាលើកដំបូង T.r. បានរកឃើញនៅក្នុង L. Euler (L. Euler, 1744)។ គាត់បានទទួលការរលួយ
នៅពាក់កណ្តាល។ សតវត្សទី 18 នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងការសិក្សាអំពីបញ្ហានៃការរំញ័រដោយឥតគិតថ្លៃនៃខ្សែមួយសំណួរបានកើតឡើងអំពីលទ្ធភាពនៃការតំណាងឱ្យមុខងារកំណត់ទីតាំងដំបូងនៃខ្សែនៅក្នុងទម្រង់នៃផលបូកនៃ tr ។ បញ្ហានេះបណ្តាលឱ្យមានការជជែកដេញដោលយ៉ាងក្តៅគគុកដែលអូសបន្លាយពេលជាច្រើនទសវត្សរ៍ ក្នុងចំណោមអ្នកវិភាគដ៏ល្អបំផុតនាពេលនោះ - D. Bernoulli, J. D'Alembert, J. Lagrange, L. Euler (L. Eu1er) ។ វិវាទទាក់ទងនឹងខ្លឹមសារនៃគោលគំនិតនៃមុខងារ។ នៅពេលនោះ មុខងារជាធម្មតាត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងមុខងារវិភាគរបស់ពួកគេ។ កិច្ចការដែលនាំទៅដល់ការពិចារណាតែមុខងារវិភាគ ឬផ្នែកវិភាគ។ ហើយនៅទីនេះវាបានក្លាយជាការចាំបាច់សម្រាប់មុខងារដែលក្រាហ្វគឺជាខ្សែកោងតាមអំពើចិត្តដើម្បីសាងសង់ TR ដែលតំណាងឱ្យមុខងារនេះ។ ប៉ុន្តែសារៈសំខាន់នៃជម្លោះទាំងនេះគឺធំជាង។ ជាការពិត សំណួរទាក់ទងនឹងគោលគំនិត និងគំនិតសំខាន់ៗជាច្រើននៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងពួកគេ ឬកើតឡើងទាក់ទងនឹងពួកគេ។ ការវិភាគជាទូទៅ - តំណាងនៃមុខងារដោយស៊េរី Taylor និងការវិភាគ។ ការបន្តនៃអនុគមន៍ ការប្រើប្រាស់ស៊េរីផ្សេងគ្នា ការរៀបចំឡើងវិញនៃដែនកំណត់ ប្រព័ន្ធគ្មានកំណត់នៃសមីការ ការបញ្ចូលអនុគមន៍ដោយពហុធា។ល។
ហើយនៅពេលអនាគតដូចនៅក្នុងរយៈពេលដំបូងនេះ ទ្រឹស្តីនៃ tr ។ បានបម្រើជាប្រភពនៃគំនិតថ្មីៗនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ សំណួរដែលនាំឱ្យមានជម្លោះក្នុងចំណោមគណិតវិទូនៃសតវត្សទី 18 ត្រូវបានដោះស្រាយនៅឆ្នាំ 1807 ដោយ J. Fourier ដែលបានបង្ហាញរូបមន្តសម្រាប់គណនាមេគុណនៃទែរម៉ូឌីណាមិក។ (១) ដែលគួរ។ តំណាងឱ្យអនុគមន៍ f(x)៖
និងអនុវត្តពួកវាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃចរន្តកំដៅ។ រូបមន្ត (2) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត Fourier ទោះបីជាពួកគេត្រូវបានរកឃើញពីមុននៅក្នុង A. Clairaut (1754) ហើយ L. Euler (1777) បានមកដល់ពួកគេដោយប្រើការរួមបញ្ចូលតាមកាលកំណត់។ T.r. (1) មេគុណដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត (2) ហៅថា។ ស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f និងលេខ a k, b k- មេគុណ Fourier ។
ធម្មជាតិនៃលទ្ធផលដែលទទួលបានគឺអាស្រ័យលើរបៀបដែលការតំណាងនៃអនុគមន៍ដោយស៊េរីមួយត្រូវបានយល់ របៀបដែលអាំងតេក្រាលក្នុងរូបមន្ត (2) ត្រូវបានយល់។ ទិដ្ឋភាពសម័យទំនើបនៃទ្រឹស្តីនៃ tr ។ ទទួលបានបន្ទាប់ពីការលេចឡើងនៃអាំងតេក្រាល Lebesgue ។
ទ្រឹស្តីរបស់ T. r. អាចត្រូវបានបែងចែកជាពីរផ្នែកធំ - ទ្រឹស្តី ស៊េរី Fourier,ដែលវាត្រូវបានសន្មត់ថាស៊េរី (1) គឺជាស៊េរី Fourier នៃមុខងារជាក់លាក់មួយ និងទ្រឹស្តីនៃទែម៉ូឌីណាមិចទូទៅ ដែលការសន្មត់បែបនេះមិនត្រូវបានធ្វើឡើង។ ខាងក្រោមនេះគឺជាលទ្ធផលចម្បងដែលទទួលបាននៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃទែម៉ូឌីណាមិកទូទៅ។ (ក្នុងករណីនេះ រង្វាស់នៃសំណុំ និងការវាស់វែងនៃមុខងារត្រូវបានយល់យោងទៅតាម Lebesgue)។
ជាប្រព័ន្ធដំបូង ការសិក្សារបស់ TR ដែលវាមិនត្រូវបានគេសន្មត់ថាស៊េរីទាំងនេះជាស៊េរី Fourier គឺជាការបកស្រាយរបស់ W. Riemann (W. Riemann, 1853) ។ ដូច្នេះទ្រឹស្តីទូទៅ T. r. ហៅ ពេលខ្លះទ្រឹស្តី Riemannian នៃ T. r.
ដើម្បីសិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ TR បំពាន។ (1) ជាមួយនឹងមេគុណទំនោរទៅសូន្យ Riemann បានចាត់ទុកមុខងារបន្ត F(x)។ ,
ដែលជាផលបូកនៃស៊េរីបង្រួបបង្រួមស្មើៗគ្នា។
ទទួលបានបន្ទាប់ពីការរួមបញ្ចូលរយៈពេលពីរដងនៃស៊េរី (1) ប្រសិនបើស៊េរី (1) បង្រួបបង្រួមនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ x ទៅលេខ s នោះនៅចំណុចនេះមាន ហើយស្មើនឹង s ស៊ីមេទ្រីទីពីរ។ ដេរីវេនៃមុខងារ F:
បន្ទាប់មកវានាំទៅដល់ការបូកសរុបនៃស៊េរី (1) ដែលបង្កើតដោយកត្តា 
ហៅ វិធីសាស្រ្តសង្ខេប Riemann ។ ដោយប្រើអនុគមន៍ F គោលការណ៍ធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្ម Riemann ត្រូវបានរៀបចំឡើង យោងទៅតាមឥរិយាបថនៃស៊េរី (1) នៅចំណុច x អាស្រ័យតែលើឥរិយាបថនៃអនុគមន៍ F នៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយតាមអំពើចិត្តនៃចំណុចនេះ។
ប្រសិនបើ T. r. បង្រួបបង្រួមលើសំណុំនៃវិធានការវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកមេគុណរបស់វាមានទំនោរទៅសូន្យ (ទ្រឹស្តីបទ Cantor-Lebesgue) ។ ព្យាយាមរកមេគុណសូន្យនៃ TR ។ ក៏ធ្វើតាមពីការបញ្ចូលគ្នារបស់វាទៅលើសំណុំនៃប្រភេទទីពីរ (W. Young, W. Young, 1909)។
បញ្ហាកណ្តាលមួយនៃទ្រឹស្តីទូទៅ tr ។ គឺជាបញ្ហានៃការតំណាងឱ្យមុខងារបំពាននៃ TR ។ ដោយបានពង្រឹងលទ្ធផលនៃ N. N. Luzin (1915) លើការតំណាងនៃមុខងាររបស់ TR ដែលសង្ខេបស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែងដោយវិធីសាស្រ្ត Abel-Poisson និង Riemann D. E. Menshov បានបង្ហាញឱ្យឃើញ (1940) ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម ដែលទាក់ទងនឹងករណីសំខាន់បំផុតនៅពេលតំណាងនៃ អនុគមន៍ f ត្រូវបានយល់ថាជាការបញ្ចូលគ្នានៃ T. r ។ ទៅ f(x) ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង។ សម្រាប់រាល់អនុគមន៍ f ដែលអាចវាស់វែងបាន និងកំណត់បានស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង មានសមីការលីនេអ៊ែរដែលបញ្ចូលគ្នាជាមួយវាស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង (ទ្រឹស្តីបទរបស់ Menshov)។ គួរកត់សំគាល់ថា ទោះបីជាអនុគមន៍ f អាចរួមបញ្ចូលបានក៏ដោយ បើនិយាយជាទូទៅ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការយកស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ f ជាស៊េរីបែបនេះ ពីព្រោះមានស៊េរី Fourier ដែលខុសគ្នានៅគ្រប់ទីកន្លែង។
ទ្រឹស្តីបទរបស់ Menshov ខាងលើអនុញ្ញាតឱ្យមានការបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោមៈ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f អាចវាស់វែងបាន និងកំណត់ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង នោះមានមុខងារបន្តបែបនេះ 
ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង ហើយស៊េរី Fourier នៃអនុគមន៍ j ដែលត្រូវបានបែងចែកទៅជា f(x) ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង (N.K. Bari, 1952)។
វាមិនត្រូវបានគេដឹងទេ (1984) ថាតើនៅក្នុងទ្រឹស្តីបទ Menshov វាអាចទៅរួចក្នុងការលុបចោលលក្ខខណ្ឌដែលមុខងារ f ត្រូវបានកំណត់ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង។ ជាពិសេសវាមិនត្រូវបានគេដឹង (1984) ថាតើ T. r. បង្រួបបង្រួមស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង
ដូច្នេះបញ្ហានៃការតំណាងឱ្យមុខងារដែលអាចយកតម្លៃគ្មានកំណត់នៅលើសំណុំនៃវិធានការវិជ្ជមានត្រូវបានពិចារណាសម្រាប់ករណីនៅពេលដែលការបញ្ចូលគ្នាស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែងត្រូវបានជំនួសដោយតម្រូវការខ្សោយជាង - ការបញ្ចូលគ្នាជារង្វាស់។ ការបង្រួបបង្រួមក្នុងរង្វាស់ទៅមុខងារដែលអាចយកតម្លៃគ្មានកំណត់ត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម: លំដាប់នៃផលបូកផ្នែក T. p ។ s ន(x) បំប្លែងជារង្វាស់ទៅជាអនុគមន៍ f(x) .
ប្រសិនបើកន្លែងណា fn(x) បង្រួបបង្រួមទៅ / (x) ស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង ហើយលំដាប់បង្រួបបង្រួមទៅសូន្យក្នុងរង្វាស់។ នៅក្នុងការបង្កើតនេះ សំណួរនៃការតំណាងឱ្យមុខងារត្រូវបានដោះស្រាយទាំងស្រុង៖ សម្រាប់រាល់មុខងារដែលអាចវាស់វែងបាន មាន TR ដែលបង្រួបបង្រួមវាទៅជារង្វាស់ (D. E. Menshov, 1948) ។
ការសិក្សាជាច្រើនត្រូវបានឧទ្ទិសដល់បញ្ហានៃភាពប្លែកនៃ TRs: ថាតើ TRs ពីរផ្សេងគ្នាអាចបង្វែរទៅមុខងារដូចគ្នាដែរឬទេ។ នៅក្នុងរូបមន្តមួយផ្សេងទៀត: ប្រសិនបើ T. r. បង្រួបបង្រួមទៅជាសូន្យ បន្ទាប់មកវាធ្វើតាមថាមេគុណទាំងអស់នៃស៊េរីគឺស្មើនឹងសូន្យ។ នៅទីនេះ យើងអាចមានន័យថា ការបញ្ចូលគ្នានៅគ្រប់ចំណុច ឬគ្រប់ចំណុចនៅខាងក្រៅសំណុំជាក់លាក់មួយ។ ចំលើយចំពោះសំណួរទាំងនេះ អាស្រ័យទៅលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសំណុំនោះ ដែលក្រៅពីការបញ្ចូលគ្នាមិនត្រូវបានសន្មត់។
វាក្យសព្ទខាងក្រោមត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ឈ្មោះជាច្រើន។ ភាពប្លែកពីគេជាច្រើន។ឬ យូ-កំណត់ប្រសិនបើពីការបញ្ចូលគ្នានៃ T. r. ទៅសូន្យនៅគ្រប់ទីកន្លែង លើកលែងតែ ប្រហែលជាចំណុចនៃសំណុំ អ៊ីវាដូចខាងក្រោមថាមេគុណទាំងអស់នៃស៊េរីនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។ បើមិនដូច្នោះទេ Yenaz ។ M-សំណុំ។
ដូចដែល G. Cantor បានបង្ហាញ (G. Cantor, 1872) សំណុំទទេ ក៏ដូចជាសំណុំកំណត់ណាមួយគឺជា U-sets ។ សំណុំដែលអាចរាប់បានតាមអំពើចិត្តក៏ជាឈុត U (W. Jung, 1909)។ ម៉្យាងវិញទៀតរាល់សំណុំនៃវិធានការវិជ្ជមានគឺជាសំណុំ M ។
អត្ថិភាពនៃ M-សំណុំរង្វាស់សូន្យត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ D. E. Menshov (1916) ដែលបានសាងសង់ឧទាហរណ៍ដំបូងនៃសំណុំល្អឥតខ្ចោះដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ។ លទ្ធផលនេះគឺមានសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋាននៅក្នុងបញ្ហានៃភាពឯកា។ ពីអត្ថិភាពនៃ M-សំណុំរង្វាស់សូន្យ វាកើតឡើងថានៅពេលដែលមុខងារនៃស៊េរីត្រីកោណត្រូវបានតំណាងថាជាការបង្រួបបង្រួមស្ទើរតែគ្រប់ទីកន្លែង ស៊េរីទាំងនេះត្រូវបានកំណត់តាមវិធីតែមួយគត់ជាក់ស្តែង។
ឈុតល្អឥតខ្ចោះក៏អាចជាឈុត U (N.K. Bari; A. Rajchman, A. Rajchman, 1921)។ នៅក្នុងបញ្ហានៃភាពប្លែក លក្ខណៈតិចតួចនៃសំណុំរង្វាស់សូន្យដើរតួយ៉ាងសំខាន់។ សំណួរទូទៅអំពីការចាត់ថ្នាក់នៃសំណុំរង្វាស់សូន្យទៅក្នុង ម-ហើយ U-set នៅតែបើក (1984) ។ វាមិនត្រូវបានដោះស្រាយសូម្បីតែសម្រាប់សំណុំល្អឥតខ្ចោះ។
បញ្ហាខាងក្រោមគឺទាក់ទងនឹងបញ្ហាឯកតា។ ប្រសិនបើ T. r. បម្លែងទៅជាមុខងារមួយ។ 
បន្ទាប់មកគួរតែស៊េរីនេះជាស៊េរី Fourier នៃមុខងារ / ។ P. Du Bois-Reymond (1877) បានផ្តល់ចម្លើយជាវិជ្ជមានចំពោះសំណួរនេះ ប្រសិនបើ f គឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នារវាង Riemannian ហើយស៊េរីបង្រួបបង្រួមទៅជា f(x) នៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់។ ពីលទ្ធផលនៃ III ។ J. La Vallee Poussin (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) ធ្វើតាមថា ចំលើយគឺវិជ្ជមាន ទោះបីជាក្នុងករណីនៅគ្រប់ទីកន្លែង លើកលែងតែសំណុំពិន្ទុដែលអាចរាប់បាន ស៊េរីនឹងបញ្ចូលគ្នា ហើយផលបូករបស់វាមានកំណត់។
ប្រសិនបើស៊េរីស៊េរីមួយបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ x 0 នោះចំនុចនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនេះ ក៏ដូចជាចំណុចនៃការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតរបស់វាមានទីតាំងនៅស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងចំនុច x 0 ។
(P. Fatou, P. Fatou, 1906)។
នេះបើយោងតាម Denjoy - ទ្រឹស្តីបទ Luzinពីការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតនៃ TR ។ (1) នៅលើសំណុំនៃរង្វាស់វិជ្ជមាន ស៊េរីបញ្ចូលគ្នា 
ហើយជាលទ្ធផល ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតនៃស៊េរី (1) សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា X.សំណុំនៃប្រភេទទីពីរ ក៏ដូចជាសំណុំជាក់លាក់នៃរង្វាស់សូន្យ ក៏មានទ្រព្យសម្បត្តិនេះផងដែរ។
ការពិនិត្យឡើងវិញនេះគ្របដណ្តប់តែ TRs មួយវិមាត្រប៉ុណ្ណោះ។ (1). មានលទ្ធផលដាច់ដោយឡែកទាក់ទងនឹងទូទៅ T. r. ពីអថេរជាច្រើន។ នៅទីនេះក្នុងករណីជាច្រើនវានៅតែចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរករូបមន្តធម្មជាតិនៃបញ្ហា។
ពន្លឺ។: Bari N.K., trigonometric series, M., 1961; Zygmund A., ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ, trans ។ ពីភាសាអង់គ្លេស, លេខ 1-2, M. , 1965; Luzin N.N., ស៊េរីអាំងតេក្រាល និងត្រីកោណមាត្រ, M.-L., 1951; Riemann B., Soch., trans ។ ពីអាល្លឺម៉ង់, M.-L., 1948, ទំ។ ២២៥-៦១។
S.A. Telyakovsky ។
- - ផលបូកត្រីកោណមាត្រកំណត់ - កន្សោមនៃទម្រង់ដែលមានមេគុណពិត a 0 និង k, bk, k = l, ។ . ., n; លេខ n ហៅ។ បញ្ជាទិញ T. 0)...
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- - ស៊េរីនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន ពោលគឺ ស៊េរីនៃទម្រង់ ឬក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ ដែល ak, bk ឬ រៀងគ្នា ck ត្រូវបានគេហៅថា។ មេគុណ T.r ជាលើកដំបូង T.r. ជួបជាមួយ L. Euler...
សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
- - ចំណុចត្រីកោណមាត្រ - ចំណុចភូមិសាស្ត្រ ទីតាំងដែលនៅលើផ្ទៃផែនដីត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្ត្រត្រីកោណ...
វចនានុក្រមពហុបច្ចេកទេស សព្វវចនាធិប្បាយធំ
- - មើលត្រីកោណ...
វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយរបស់ Brockhaus និង Euphron
- - នៅក្នុង geodesy រចនាសម្ព័ន្ធដែលបានដំឡើងនៅលើដីនៅចំណុចត្រីកោណមាត្រ។ T. z. មានពីរផ្នែក - ខាងក្រៅនិងក្រោមដី ...
សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
- - ស៊េរីមុខងារនៃទម្រង់ នោះគឺជាស៊េរីដែលមានទីតាំងនៅតាមស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃធ្នូច្រើន។ ជាញឹកញាប់ T.r. សរសេរក្នុងទម្រង់ស្មុគស្មាញ...
ក្នុងករណីមួយចំនួន ដោយការពិនិត្យមើលមេគុណនៃស៊េរីនៃទម្រង់ (C) វាអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងដែលស៊េរីទាំងនេះបញ្ចូលគ្នា (លើកលែងតែ ប្រហែលជាចំណុចបុគ្គល) និងជាស៊េរី Fourier សម្រាប់ផលបូករបស់ពួកគេ (សូមមើលឧទាហរណ៍ មុន កថាខណ្ឌ) ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីទាំងអស់នេះ សំណួរកើតឡើងដោយធម្មជាតិ។
របៀបស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីទាំងនេះ ឬ - កាន់តែច្បាស់ - របៀបបង្ហាញពួកវាក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយតាមរយៈអនុគមន៍បឋម ប្រសិនបើពួកវាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នេះទាល់តែសោះ។ អយល័រ (និង Lagrange) បានប្រើដោយជោគជ័យនូវមុខងារវិភាគនៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ ដើម្បីបូកសរុបស៊េរីត្រីកោណមាត្រក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយ។ គំនិតនៃវិធីសាស្រ្តរបស់អយល័រមានដូចខាងក្រោម។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាសម្រាប់សំណុំមេគុណជាក់លាក់មួយ ស៊េរី (C) និងបម្លែងទៅជាមុខងារនៅគ្រប់ទីកន្លែងក្នុងចន្លោះពេល ដោយមិនរាប់បញ្ចូលប្រហែលជាចំណុចនីមួយៗប៉ុណ្ណោះ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាអំពីស៊េរីថាមពលដែលមានមេគុណដូចគ្នា ដែលត្រូវបានរៀបចំនៅក្នុងអំណាចនៃអថេរស្មុគស្មាញ
នៅលើបរិមាត្រនៃរង្វង់ឯកតា ពោលគឺនៅស៊េរីនេះ ដោយការសន្មត បង្រួបបង្រួម ដោយមិនរាប់បញ្ចូលចំណុចនីមួយៗ៖
ក្នុងករណីនេះ យោងទៅតាមទ្រព្យសម្បត្តិដ៏ល្បីនៃស៊េរីថាមពល ស៊េរី (5) ច្បាស់ជាបញ្ចូលគ្នានៅ ពោលគឺនៅខាងក្នុងរង្វង់ឯកតា ដោយកំណត់មុខងារជាក់លាក់នៃអថេរស្មុគស្មាញមួយ។ ការប្រើប្រាស់អ្វីដែលយើងដឹង [សូមមើល § 5 នៃជំពូកទី XII] ការពង្រីកអនុគមន៍បឋមនៃអថេរស្មុគ្រស្មាញ ជាញឹកញាប់អាចធ្វើទៅបានដើម្បីកាត់បន្ថយអនុគមន៍ទៅពួកវា។
ហើយយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់អេបិល ដរាបណាស៊េរី (6) ចូលគ្នា ផលបូករបស់វាត្រូវបានទទួលតាមដែនកំណត់។
ជាធម្មតាដែនកំណត់នេះគឺស្មើនឹងដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាមុខងារក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយរបស់វា។
អនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍ស៊េរីដែលបានស្នើឡើង
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុននាំឱ្យមានការសន្និដ្ឋានថាស៊េរីទាំងពីរនេះបញ្ចូលគ្នា (ទីមួយ - មិនរាប់បញ្ចូលចំណុច 0 និង
បម្រើជាស៊េរី Fourier សម្រាប់មុខងារដែលពួកគេកំណត់ ប៉ុន្តែមុខងារទាំងនេះជាអ្វី? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ សូមបង្កើតស៊េរីមួយ។
ដោយផ្អែកលើភាពស្រដៀងគ្នារបស់វាទៅនឹងស៊េរីលោការីត ផលបូករបស់វាអាចត្រូវបានកំណត់យ៉ាងងាយស្រួល៖
ហេតុនេះ
ឥឡូវនេះការគណនាងាយស្រួលផ្តល់ឱ្យ:
ដូច្នេះម៉ូឌុលនៃកន្សោមនេះគឺ ហើយអាគុយម៉ង់គឺ .
ដូច្នេះហើយទីបំផុត
លទ្ធផលទាំងនេះគឺស៊ាំនឹងយើង ហើយសូម្បីតែទទួលបានម្តងដោយប្រើការពិចារណា "ស្មុគស្មាញ" ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីដំបូងដែលយើងបានចាប់ផ្តើមពីមុខងារនិងហើយនៅក្នុងទីពីរ - ពីមុខងារវិភាគនៅទីនេះជាលើកដំបូងស៊េរីខ្លួនឯងបានបម្រើជាចំណុចចាប់ផ្តើមរបស់យើង។ អ្នកអាននឹងរកឃើញឧទាហរណ៍បន្ថែមទៀតនៃប្រភេទនេះនៅកថាខណ្ឌបន្ទាប់។
យើងសង្កត់ធ្ងន់ម្តងទៀតថា អ្នកត្រូវប្រាកដជាមុនអំពីការបង្រួបបង្រួមនៃស៊េរី (C) ហើយមានសិទ្ធិកំណត់ផលបូករបស់ពួកគេដោយប្រើសមភាពដែនកំណត់ (7) ។ អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់មួយនៅខាងស្តាំនៃសមភាពនេះមិនទាន់អនុញ្ញាតឱ្យនរណាម្នាក់ធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីដែលបានរៀបរាប់នោះទេ។ ដើម្បីបង្ហាញវាជាមួយឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាស៊េរី
នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា ជារឿយៗយើងត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងដំណើរការតាមកាលកំណត់៖ ចលនាលំយោលនៃផ្នែកម៉ាស៊ីន ឧបករណ៍ ចលនានៃរូបកាយសេឡេស្ទាល និងភាគល្អិតបឋម លំយោលអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិច។ល។ តាមគណិតវិទ្យា ដំណើរការបែបនេះត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអនុគមន៍តាមកាលកំណត់។
មុខងារf(x) ដែលកំណត់លើអ័ក្សលេខទាំងមូល លើកលែងតែចំណុចមួយចំនួន ត្រូវបានគេហៅថាតាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល T ប្រសិនបើមានលេខ T≠0 នោះសម្រាប់តម្លៃណាមួយ x ពីដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារ សមភាពខាងក្រោមមាន៖
f(x + ធ) = f(x).
ប្រសិនបើលេខ ធគឺជារយៈពេលនៃមុខងារ f(x), លេខនោះ។ T·ទំសម្រាប់ទាំងមូល ននឹងជារយៈពេលនៃមុខងារនេះផងដែរ។
រយៈពេលវិជ្ជមានតូចបំផុតនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា រយៈពេលសំខាន់នៃមុខងារ។
ឧទាហរណ៍ ថេរណាមួយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេលណាមួយ។ មុខងារតាមកាលកំណត់ដ៏ល្បីល្បាញបំផុតជាមួយនឹងរយៈពេលមួយ។ T = 2πគឺជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ y =អំពើបាប x, y = cos X..
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃមុខងារតាមកាលកំណត់
ផលបូក ភាពខុសគ្នា ផលិតផល និងកូតានៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល ធមានមុខងារតាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេលដូចគ្នា។
2. ប្រសិនបើមុខងារ f(x) មានរដូវ Tបន្ទាប់មកមុខងារ f(ក· x) មានរយៈពេលមួយដែល a ≠0, a =const.
ឧទាហរណ៍ចាប់តាំងពីមុខងារ y
=
អំពើបាប x,
y
=
cos x
មានរយៈពេលតាមកាលកំណត់ T=2π,បន្ទាប់មកមុខងារ y=
អំពើបាប kx
និង y=
cos kx
ក៏មានរដូវ និងមានរដូវផងដែរ។ 
. មុខងារ y
=
អំពើបាប kx
និង នៅ=
cos kx
ហៅ "សន្លឹកគឺអាម៉ូនិក" ។
3. អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់លើផ្នែកដែលស្មើនឹងរយៈពេលមិនអាស្រ័យលើទីតាំងនៃផ្នែករួមបញ្ចូលនៅលើអ័ក្ស i.e. ប្រសិនបើ f(x)
=
f(x
+
ធ),
បន្ទាប់មក 
.
តាមធរណីមាត្រ សម្រាប់មុខងារមិនអវិជ្ជមាន ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានន័យថាសមភាពនៃតំបន់នៃតំបន់ដែលមានស្រមោលនៃតួលេខ (រូបភាព 2).
រូបភាពទី 2
៤.២. ប្រព័ន្ធមុខងារ Orthogonal
ចូរយើងពិចារណាអំពីគំនិតជំនួយមួយចំនួន , ដែលយើងនឹងត្រូវការនៅពេលក្រោយ។
មុខងារf(x) និង φ(x) ត្រូវបានគេហៅថា orthogonal នៅលើផ្នែក[កខ]ប្រសិនបើពួកវាត្រូវបានកំណត់ រួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលនេះ ហើយសមភាពទទួលបាន
.
ឧទាហរណ៍ពិចារណាមុខងារ f(x) = xនិង 
នៅលើផ្នែក .
ពួកវាត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើផ្នែក .
ចូរយើងស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃផលិតផលនៃមុខងារទាំងនេះនៅលើផ្នែកដែលបានចង្អុលបង្ហាញ៖
.
ដូច្នេះមុខងារ f(x)
=
x
និង 
orthogonal នៅលើផ្នែក។
ប្រព័ន្ធមុខងារf,(x), f 2 (x),…, f ន (x) ត្រូវបានគេហៅថា orthogonal នៅលើផ្នែក[ក, ខ],ប្រសិនបើមុខងារពីរផ្សេងគ្នាគឺ orthogonal, i.e.
ជាឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់ប្រព័ន្ធ (១ , cos x, អំពើបាប x, cos2 x , បាប ២ x ,..., cos nx, អំពើបាប nx,... }, នZ, ដែលជាប្រព័ន្ធ orthogonal នៃមុខងារនៅលើចន្លោះពេល [-π, π], i.e. គឺជាប្រព័ន្ធ orthogonal នៅលើចន្លោះពេលស្មើនឹងរយៈពេលនៃមុខងារទាំងនេះ។
៤.៣. រំញ័រអាម៉ូនិក។ ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ
គោលគំនិតដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងវិទ្យុអេឡិចត្រូនិចគឺលំយោលអគ្គិសនី។ ទាំងនេះគឺជាការប្រែប្រួលនៃវ៉ុល, ចរន្ត, បន្ទុក។ ជាឧទាហរណ៍ រលកវិទ្យុគឺជាការរំញ័រនៃដែនអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិច។ រំញ័រអាម៉ូនិកយើងនឹងហៅដំណើរការណាមួយដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេលមួយ។ 
ឬដែលសមមូល មុខងារនៃទម្រង់
មុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា sinusoidalឬ អាម៉ូនិក; A គឺជាទំហំនៃរំញ័រនេះគឺជាតម្លៃធំបំផុតនៃជួរតម្លៃ; ω - ប្រេកង់មុំបង្ហាញចំនួនដងដែលបាតុភូតតាមកាលកំណត់នឹងកើតឡើងម្តងទៀតក្នុង 2 π (ឯកតានៃពេលវេលា); φ - ដំណាក់កាលដំបូងរំញ័រអាម៉ូនិក។
ប្រសិនបើយើងបន្ថែមមុខងារតាមកាលកំណត់
ប្រេកង់របស់ពួកគេ។
ω, 2ω,…, kω,…
គឺជាពហុគុណនៃចំនួនតូចបំផុតនៃពួកវា ហើយរយៈពេលគឺស្មើគ្នា 
ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានមុខងារ
ដែលតាមកាលកំណត់ជាមួយរដូវ Tប៉ុន្តែនឹងខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីមុខងារស៊ីនុស។
វាប្រែថាប្រសិនបើយើងយកចំនួនអថេរនៃអាម៉ូនិកសាមញ្ញ នោះអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ណាមួយ ទោះជាយ៉ាងក៏ដោយ លក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់ អាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូករបស់ពួកគេ ឬដូចដែលពួកគេនិយាយក្នុងទម្រង់ជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រ។
ស៊េរីត្រីកោណមាត្រ ត្រូវបានគេហៅថាស៊េរីមុខងារនៃទម្រង់
=
.
លេខ ក ន
និង ខ ន ,
កន្លែងណា ន=1,2,3,...,
ហៅ មេគុណស៊េរី។ពាក្យឥតគិតថ្លៃ (សូន្យអាម៉ូនិក) ត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ 
សម្រាប់ភាពស្មើគ្នានៃរូបមន្តបន្តបន្ទាប់។
ដើម្បីសិក្សាលំយោលដ៏ស្មុគស្មាញដែលបានពិពណ៌នាដោយមុខងារ f(x), តាមកាលកំណត់ជាមួយរយៈពេល T=2π,វាអាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃលំយោលអាម៉ូនិកសាមញ្ញ ឧ។ ពង្រីកទៅជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រស៊េរី
.
ភារកិច្ចតម្រូវឱ្យដោះស្រាយសំណួរចំនួនបី៖
នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌអ្វីដែលជាមុខងារតាមកាលកំណត់ f(x) ជាមួយនឹងរយៈពេល ធតើវាអាចត្រូវបានតំណាងជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រទេ?
តើនេះជាការខូចខាតតែមួយគត់?
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាមេគុណនៃស៊េរីនេះ?
យើងនឹងចាប់ផ្តើមដោយឆ្លើយសំណួរពីរចុងក្រោយ។
នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា ជារឿយៗយើងត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងបាតុភូតតាមកាលកំណត់ ពោលគឺឧ។ ដែលត្រូវបានបន្តពូជបន្ទាប់ពីរយៈពេលជាក់លាក់មួយ។ ធហៅថារយៈពេល។ មុខងារតាមកាលកំណត់សាមញ្ញបំផុត (លើកលែងតែថេរ) គឺជាបរិមាណ sinusoidal៖ អាស៊ីន(x+), លំយោលអាម៉ូនិក, ដែលជាកន្លែងដែលមាន "ប្រេកង់" ទាក់ទងទៅនឹងរយៈពេលដោយសមាមាត្រ: . ពីមុខងារតាមកាលកំណត់ដ៏សាមញ្ញបែបនេះ ភាពស្មុគស្មាញកាន់តែច្រើនអាចត្រូវបានផ្សំ។ ជាក់ស្តែង បរិមាណ sinusoidal សមាសភាគត្រូវតែមានប្រេកង់ផ្សេងគ្នា ចាប់តាំងពីការបន្ថែមនៃបរិមាណ sinusoidal នៃប្រេកង់ដូចគ្នាបណ្តាលឱ្យមានបរិមាណ sinusoidal នៃប្រេកង់ដូចគ្នា។ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមបរិមាណជាច្រើននៃទម្រង់
ជាឧទាហរណ៍ យើងបង្កើតឡើងវិញនៅទីនេះ ការបន្ថែមបរិមាណ sinusoidal បី: . សូមក្រឡេកមើលក្រាហ្វនៃមុខងារនេះ។
ក្រាហ្វនេះគឺខុសគ្នាយ៉ាងខ្លាំងពីរលកស៊ីនុស។ នេះគឺជាការពិតកាន់តែច្រើនសម្រាប់ផលបូកនៃស៊េរីគ្មានកំណត់ដែលមានន័យនៃប្រភេទនេះ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងដាក់សំណួរ: តើមុខងារតាមកាលកំណត់នៃរយៈពេលនេះអាចមាន ធតំណាងឱ្យវាជាផលបូកនៃចំនួនកំណត់ ឬយ៉ាងហោចណាស់គ្មានកំណត់នៃបរិមាណ sinusoidal? វាប្រែថាទាក់ទងទៅនឹងថ្នាក់ធំនៃមុខងារ សំណួរនេះអាចត្រូវបានឆ្លើយនៅក្នុងការបញ្ជាក់ ប៉ុន្តែនេះគឺលុះត្រាតែយើងពាក់ព័ន្ធនឹងលំដាប់គ្មានកំណត់ទាំងមូលនៃពាក្យបែបនេះ។ តាមធរណីមាត្រ នេះមានន័យថាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍តាមកាលកំណត់មួយត្រូវបានទទួលដោយការដាក់បញ្ចូលស៊េរីនៃ sinusoids ។ ប្រសិនបើយើងពិចារណាតម្លៃ sinusoidal នីមួយៗជាចលនាលំយោលអាម៉ូនិកមួយចំនួន នោះយើងអាចនិយាយបានថា នេះគឺជាលំយោលដ៏ស្មុគស្មាញដែលត្រូវបានកំណត់ដោយមុខងារ ឬជាធម្មតាអាម៉ូនិករបស់វា (ទីមួយ ទីពីរ។ល។)។ ដំណើរការនៃការបំបែកមុខងារតាមកាលកំណត់ទៅជាអាម៉ូនិកត្រូវបានគេហៅថា ការវិភាគអាម៉ូនិក។
វាជារឿងសំខាន់ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាការពង្រីកបែបនេះច្រើនតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការសិក្សាអំពីមុខងារដែលបានបញ្ជាក់តែក្នុងចន្លោះពេលកំណត់ជាក់លាក់មួយប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនត្រូវបានបង្កើតដោយបាតុភូតលំយោលណាមួយឡើយ។
និយមន័យ។ស៊េរីត្រីកោណមាត្រគឺជាស៊េរីនៃទម្រង់៖
ឬ 
(1).
លេខពិតត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃស៊េរីត្រីកោណមាត្រ។ ស៊េរីនេះក៏អាចសរសេរដូចនេះដែរ៖
ប្រសិនបើស៊េរីនៃប្រភេទដែលបានបង្ហាញខាងលើបញ្ចូលគ្នា នោះផលបូករបស់វាគឺជាអនុគមន៍តាមកាលកំណត់ដែលមានរយៈពេល 2p ។
និយមន័យ។មេគុណ Fourier នៃស៊េរីត្រីកោណមាត្រត្រូវបានគេហៅថា៖ 
(2)
(3)
(4)
និយមន័យ។ Fourier នៅក្បែរសម្រាប់មុខងារ f(x)ត្រូវបានគេហៅថាជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រដែលមេគុណគឺ Fourier coefficients ។
ប្រសិនបើស៊េរី Fourier នៃមុខងារមួយ។ f(x)បង្រួបបង្រួមវានៅគ្រប់ចំណុចនៃការបន្តរបស់វា បន្ទាប់មកយើងនិយាយថាមុខងារ f(x)ពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ។
ទ្រឹស្តីបទ។(ទ្រឹស្តីបទរបស់ Dirichlet) ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយមានកំឡុងពេល 2p ហើយបន្តនៅចន្លោះពេល ឬមានចំនួនកំណត់នៃចំនុចដាច់នៃប្រភេទទីមួយ ចន្លោះពេលអាចត្រូវបានបែងចែកទៅជាចំនួនកំណត់នៃចម្រៀក ដូច្នេះនៅក្នុងផ្នែកនីមួយៗនៃអនុគមន៍ គឺ monotonic បន្ទាប់មកស៊េរី Fourier សម្រាប់អនុគមន៍បញ្ចូលគ្នាសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ Xនិងនៅចំណុចនៃការបន្តនៃមុខងារ ផលបូករបស់វា។ S(x)គឺស្មើនឹង ហើយនៅចំណុចនៃការមិនបន្ត ផលបូករបស់វាគឺស្មើនឹង , i.e. មធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃកំណត់នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំ។
ក្នុងករណីនេះស៊េរី Fourier នៃមុខងារ f(x)បង្រួបបង្រួមស្មើៗគ្នាលើផ្នែកណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនៃការបន្តនៃអនុគមន៍។
អនុគមន៍ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានហៅថារលូនជាដុំៗលើផ្នែក។
ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការពង្រីកមុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier ។
ឧទាហរណ៍ ១. ពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរី Fourier f(x)=1-x, មានរដូវ 2 ទំនិងផ្តល់ឱ្យនៅលើផ្នែក។
ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងរៀបចំមុខងារនេះ។
មុខងារនេះគឺបន្តនៅលើផ្នែក ពោលគឺនៅលើផ្នែកនៃប្រវែងមួយ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានពង្រីកទៅជាស៊េរី Fourier ដោយបង្រួបបង្រួមវានៅចំណុចនីមួយៗនៃផ្នែកនេះ។ ដោយប្រើរូបមន្ត (2) យើងរកឃើញមេគុណនៃស៊េរីនេះ៖ .
អនុញ្ញាតឱ្យយើងអនុវត្តការរួមបញ្ចូលដោយរូបមន្តផ្នែក និងស្វែងរកពីរូបមន្ត (3) និង (4) រៀងគ្នា៖
ការជំនួសមេគុណទៅជារូបមន្ត (1) យើងទទួលបាន 
ឬ។
សមភាពនេះទទួលបាននៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់ លើកលែងតែចំណុច និង (ចំណុចដែលក្រាហ្វត្រូវបានភ្ជាប់)។ នៅចំណុចនីមួយៗ ផលបូកនៃស៊េរីគឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃតម្លៃកំណត់របស់វានៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង នោះគឺ។
ចូរយើងបង្ហាញក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ decomposing មុខងារនៅក្នុងស៊េរី Fourier ។
នីតិវិធីទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាមានដូចខាងក្រោម។