តើនិស្សន្ទវត្ថុស្មើនឹងសូន្យនៅចំណុចណា? ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត

ដេរីវេនៃមុខងារគឺជាផ្នែកមួយនៃ ប្រធានបទពិបាកវ កម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា. មិនមែនគ្រប់និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សានឹងឆ្លើយសំណួរថាអ្វីទៅជាដេរីវេទេ។

អត្ថបទនេះពន្យល់យ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់ថា ដេរីវេគឺជាអ្វី និងមូលហេតុដែលវាត្រូវការ។. ឥឡូវនេះ យើងនឹងមិនខិតខំសម្រាប់ភាពម៉ត់ចត់ផ្នែកគណិតវិទ្យានៅក្នុងបទបង្ហាញនោះទេ។ អ្វីដែលសំខាន់បំផុតគឺត្រូវយល់ពីអត្ថន័យ។

ចូរយើងចងចាំនិយមន័យ៖

ដេរីវេគឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារមួយ។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារបី។ តើអ្នកគិតថាមួយណាលូតលាស់លឿនជាង?

ចម្លើយគឺជាក់ស្តែង - ទីបី។ វាមានអត្រាខ្ពស់បំផុតនៃការផ្លាស់ប្តូរ នោះគឺជាដេរីវេធំបំផុត។

នេះជាឧទាហរណ៍មួយទៀត។

Kostya, Grisha និង Matvey ទទួលបានការងារក្នុងពេលតែមួយ។ តោះ​មើល​ថា​ចំណូល​របស់​ពួក​គេ​បាន​ផ្លាស់​ប្តូរ​យ៉ាង​ណា​ក្នុង​អំឡុង​ឆ្នាំ​នេះ៖

ក្រាហ្វបង្ហាញអ្វីៗទាំងអស់ក្នុងពេលតែមួយ មែនទេ? ប្រាក់ចំណូលរបស់ Kostya កើនឡើងទ្វេដងក្នុងរយៈពេលប្រាំមួយខែ។ ហើយ​ចំណូល​របស់ Grisha ក៏​កើន​ឡើង​ដែរ ប៉ុន្តែ​បន្តិច​បន្តួច​ប៉ុណ្ណោះ។ ហើយប្រាក់ចំណូលរបស់ Matvey បានធ្លាក់ចុះដល់សូន្យ។ លក្ខខណ្ឌចាប់ផ្តើមគឺដូចគ្នា ប៉ុន្តែអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ នោះគឺ ដេរីវេ, - ខុសគ្នា។ សម្រាប់ Matvey ដេរីវេនៃប្រាក់ចំណូលរបស់គាត់ជាទូទៅអវិជ្ជមាន។

ដោយវិចារណញាណ យើងប៉ាន់ស្មានអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារយ៉ាងងាយស្រួល។ ប៉ុន្តែ​តើ​យើង​ធ្វើ​បែប​នេះ​ដោយ​របៀប​ណា?

អ្វី​ដែល​យើង​ពិត​ជា​កំពុង​សម្លឹង​មើល​គឺ​របៀប​ដែល​ក្រាហ្វ​នៃ​មុខងារ​មួយ​ឡើង​ទៅ (ឬ​ចុះ​ក្រោម)។ ម៉្យាងទៀត តើ y ផ្លាស់ប្តូរលឿនប៉ុណ្ណា នៅពេល x ផ្លាស់ប្តូរ? ជាក់ស្តែងមុខងារដូចគ្នានៅក្នុង ចំណុចផ្សេងគ្នាអាចមាន អត្ថន័យផ្សេងគ្នាដេរីវេ - នោះគឺវាអាចផ្លាស់ប្តូរលឿនឬយឺតជាង។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានបញ្ជាក់។

យើងនឹងបង្ហាញអ្នកពីរបៀបស្វែងរកវាដោយប្រើក្រាហ្វ។

ក្រាហ្វនៃមុខងារមួយចំនួនត្រូវបានគូរ។ ចូរយកចំណុចមួយជាមួយ abscissa លើវា។ ចូរយើងគូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។ យើងចង់ប៉ាន់ប្រមាណថាតើក្រាហ្វមុខងារឡើងខ្ពស់ប៉ុណ្ណា។ តម្លៃងាយស្រួលសម្រាប់នេះគឺ តង់សង់នៃមុំតង់សង់.

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំតង់ហ្សង់ដែលទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះ។

សូមចំណាំថា ជាមុំទំនោរនៃតង់សង់ យើងយកមុំរវាងតង់សង់ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស។

ពេលខ្លះសិស្សសួរថាតើតង់សង់នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺជាអ្វី។ នេះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានតែមួយ ចំណុចរួមជាមួយនឹងក្រាហ្វ ហើយដូចបានបង្ហាញក្នុងរូបរបស់យើង។ វាមើលទៅដូចជាតង់សង់ទៅរង្វង់មួយ។

ចូរយើងស្វែងរកវា។ យើងចាំថាតង់សង់នៃមុំស្រួចនៅក្នុង ត្រីកោណកែង ស្មើនឹងសមាមាត្រ ជើងទល់មុខទៅមួយនៅជាប់គ្នា។ ពីត្រីកោណ៖

យើងបានរកឃើញដេរីវេដោយប្រើក្រាហ្វដោយមិនដឹងពីរូបមន្តនៃអនុគមន៍។ បញ្ហាបែបនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួមក្នុងគណិតវិទ្យាក្រោមលេខ។

មានទំនាក់ទំនងសំខាន់មួយទៀត។ សូមចាំថាបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ

បរិមាណនៅក្នុងសមីការនេះត្រូវបានគេហៅថា ជម្រាលនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។. វាស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំទំនោរនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅអ័ក្ស។

.

យើងទទួលបាននោះ។

ចូរយើងចងចាំរូបមន្តនេះ។ វាបង្ហាញពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយគឺស្មើនឹងជម្រាលនៃតង់សង់ដែលទាញទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនោះ។

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ដេរីវេគឺស្មើនឹងតង់សង់នៃមុំតង់សង់។

យើងបាននិយាយរួចមកហើយថាមុខងារដូចគ្នាអាចមានដេរីវេផ្សេងគ្នានៅចំណុចផ្សេងគ្នា។ សូមមើលពីរបៀបដែលដេរីវេគឺទាក់ទងទៅនឹងឥរិយាបថនៃអនុគមន៍។

តោះគូរក្រាហ្វនៃមុខងារមួយចំនួន។ អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារនេះកើនឡើងនៅក្នុងផ្នែកខ្លះ និងបន្ថយនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងទៀត និងជាមួយ ក្នុងល្បឿនខុសៗគ្នា. ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមុខងារនេះមានពិន្ទុអតិបរមា និងអប្បបរមា។

នៅចំណុចមួយមុខងារកើនឡើង។ តង់សង់​ទៅ​ក្រាហ្វ​ដែល​គូរ​នៅ​ចំណុច​បង្កើត​ជា​ទម្រង់ ជ្រុងមុតស្រួច; ជាមួយនឹងទិសដៅអ័ក្សវិជ្ជមាន។ នេះមានន័យថាដេរីវេនៅចំណុចគឺវិជ្ជមាន។

នៅពេលមុខងាររបស់យើងថយចុះ។ តង់សង់នៅចំណុចនេះបង្កើតជាមុំ obtuse; ជាមួយនឹងទិសដៅអ័ក្សវិជ្ជមាន។ ចាប់តាំងពីតង់សង់ មុំ obtuseគឺអវិជ្ជមាន នៅចំណុចដែលដេរីវេគឺអវិជ្ជមាន។

នេះជាអ្វីដែលកើតឡើង៖

ប្រសិនបើមុខងារមួយកំពុងកើនឡើង ដេរីវេរបស់វាគឺវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើវាថយចុះ ដេរីវេរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន។

តើនឹងមានអ្វីកើតឡើងនៅចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមា? យើងឃើញថានៅចំណុច (ចំណុចអតិបរមា) និង (ចំណុចអប្បបរមា) តង់សង់គឺផ្ដេក។ ដូច្នេះ តង់សង់នៃមុំតង់សង់នៅចំណុចទាំងនេះ ស្មើនឹងសូន្យហើយដេរីវេក៏ជាសូន្យផងដែរ។

ចំណុច - ចំណុចអតិបរមា។ នៅចំណុចនេះការកើនឡើងមុខងារត្រូវបានជំនួសដោយការថយចុះ។ អាស្រ័យហេតុនេះ សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរនៅចំណុចពី "បូក" ទៅ "ដក" ។

នៅចំណុច - ចំណុចអប្បបរមា - ដេរីវេក៏ជាសូន្យដែរ ប៉ុន្តែសញ្ញារបស់វាផ្លាស់ប្តូរពី "ដក" ទៅ "បូក" ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដោយប្រើនិស្សន្ទវត្ថុ យើងអាចរកឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលចាប់អារម្មណ៍យើងអំពីឥរិយាបថនៃមុខងារមួយ។

ប្រសិនបើដេរីវេគឺវិជ្ជមាន នោះមុខងារនឹងកើនឡើង។

ប្រសិនបើដេរីវេគឺអវិជ្ជមាន នោះមុខងារនឹងថយចុះ។

នៅចំណុចអតិបរមា ដេរីវេគឺសូន្យ ហើយប្តូរសញ្ញាពី "បូក" ទៅ "ដក" ។

នៅចំណុចអប្បបរមា ដេរីវេក៏ជាសូន្យ ហើយប្តូរសញ្ញាពី “ដក” ទៅ “បូក”។

ចូរយើងសរសេរសេចក្តីសន្និដ្ឋានទាំងនេះជាទម្រង់តារាង៖

	កើនឡើង	ចំណុចអតិបរមា	ថយចុះ	ចំណុចអប្បបរមា	កើនឡើង
+	0	-	0	+

ចូរយើងធ្វើការបំភ្លឺពីរយ៉ាង។ អ្នកនឹងត្រូវការមួយក្នុងចំណោមពួកគេនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។ មួយផ្សេងទៀត - ក្នុងឆ្នាំដំបូងជាមួយនឹងការសិក្សាធ្ងន់ធ្ងរបន្ថែមទៀតនៃមុខងារនិងដេរីវេ។

វាអាចទៅរួចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចខ្លះស្មើនឹងសូន្យ ប៉ុន្តែអនុគមន៍មិនមានអតិបរមា ឬអប្បបរមានៅចំណុចនេះទេ។ នេះគឺជាអ្វីដែលគេហៅថា :

នៅចំណុចមួយ តង់សង់ទៅក្រាហ្វគឺផ្ដេក ហើយដេរីវេគឺសូន្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមុនពេលចំនុចមុខងារបានកើនឡើង - ហើយបន្ទាប់ពីចំនុចវាបន្តកើនឡើង។ សញ្ញានៃដេរីវេមិនផ្លាស់ប្តូរទេ - វានៅតែវិជ្ជមានដូចដែលវាធ្លាប់មាន។

វាក៏កើតឡើងផងដែរដែលថានៅចំណុចអតិបរមាឬអប្បបរមាដេរីវេមិនមានទេ។ នៅលើក្រាហ្វ នេះត្រូវគ្នាទៅនឹងការបំបែកដ៏មុតស្រួច នៅពេលដែលវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរតង់សង់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេប្រសិនបើមុខងារមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយក្រាហ្វប៉ុន្តែដោយរូបមន្តមួយ? ក្នុងករណីនេះវាត្រូវបានអនុវត្ត

កិច្ចការ។

អនុគមន៍ y=f(x) ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (-5; 6)។ រូបបង្ហាញពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x)។ រកក្នុងចំណោមចំនុច x 1, x 2, ..., x 7 ចំនុចទាំងនោះដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) ស្មើនឹងសូន្យ។ ជាការឆ្លើយតប សូមសរសេរចំនួនពិន្ទុដែលបានរកឃើញ។

ដំណោះស្រាយ៖

គោល​ការណ៍​ក្នុង​ការ​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​នេះ​មាន​ដូច​ត​ទៅ៖ មាន​៣ ឥរិយាបថដែលអាចកើតមានមុខងារនៅចន្លោះពេលនេះ៖

1) នៅពេលដែលមុខងារកើនឡើង (ដេរីវេវាធំជាងសូន្យ)

2) នៅពេលដែលមុខងារថយចុះ (ដែលដេរីវេគឺតិចជាងសូន្យ)

3) នៅពេលដែលមុខងារមិនកើនឡើង ឬថយចុះ (ដែលដេរីវេទីវ័រគឺសូន្យ ឬមិនមាន)

យើងចាប់អារម្មណ៍លើជម្រើសទីបី។

ដេរីវេគឺស្មើនឹងសូន្យដែលមុខងាររលូន និងមិនមាននៅចំណុចបំបែក។ តោះមើលចំណុចទាំងអស់នេះ។

x 1 - អនុគមន៍កើនឡើង ដែលមានន័យថាដេរីវេ f′(x) > 0

x 2 - អនុគមន៍ត្រូវការអប្បបរមា និងរលូន ដែលមានន័យថាដេរីវេ f ′(x) = 0

x 3 - មុខងារត្រូវចំណាយពេលអតិបរមាប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះមានការសម្រាកដែលមានន័យថាដេរីវេទី f '(x) មិនមានទេ។

x 4 - មុខងារត្រូវចំណាយពេលអតិបរមា ប៉ុន្តែនៅចំណុចនេះមានការសម្រាក ដែលមានន័យថាដេរីវេទី f '(x) មិនមានទេ។

x 5 - ដេរីវេ f ′(x) = 0

x 6 - មុខងារកើនឡើង ដែលមានន័យថា ដេរីវេ f′(x) > 0

x 7 - មុខងារត្រូវចំណាយពេលអប្បបរមា និងរលូន ដែលមានន័យថាដេរីវេ f ′(x) = 0

យើងឃើញថា f ′(x) = 0 នៅចំនុច x 2, x 5 និង x 7 សរុបចំនួន 3 ពិន្ទុ។

សិក្សាមុខងារដោយប្រើដេរីវេរបស់វា។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងវិភាគកិច្ចការមួយចំនួនទាក់ទងនឹងការសិក្សាក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ។ នៅក្នុងបញ្ហាបែបនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f (x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយសំណួរត្រូវបានលើកឡើងទាក់ទងនឹងការកំណត់ចំនួនចំនុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺវិជ្ជមាន (ឬអវិជ្ជមាន) ក៏ដូចជាផ្សេងទៀត។ ពួកវាត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ជាភារកិច្ចលើការអនុវត្តនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងការសិក្សាមុខងារ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ និងនៅក្នុងបញ្ហាទូទៅដែលទាក់ទងនឹងការស្រាវជ្រាវ គឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែមានការយល់ដឹងពេញលេញអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដេរីវេសម្រាប់សិក្សាក្រាហ្វនៃមុខងារ និងដេរីវេ។ ដូច្នេះហើយ ខ្ញុំសូមណែនាំយ៉ាងមុតមាំថា អ្នកសិក្សាទ្រឹស្តីដែលពាក់ព័ន្ធ។ អ្នកអាចសិក្សា និងមើលផងដែរ (ប៉ុន្តែវាមានសេចក្តីសង្ខេបខ្លីៗ)។

យើងក៏នឹងពិចារណាផងដែរអំពីបញ្ហាដែលក្រាហ្វដេរីវេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអត្ថបទនាពេលអនាគត កុំខកខានវា! ដូច្នេះភារកិច្ច៖

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f (x) ដែលកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (−6; 8) ។ កំណត់៖

1. ចំនួននៃចំនុចគត់ដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺអវិជ្ជមាន;

2. ចំនួនចំនុចដែលតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y = 2;

1. ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺអវិជ្ជមាននៅលើចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍ថយចុះ ពោលគឺនៅចន្លោះពេល (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8) ។ ពួកវាមានចំនុចចំនួនគត់ −5, −4, 1, 2, 3, 4 និង 7។ យើងទទួលបាន 7 ពិន្ទុ។

2. ផ្ទាល់ y= 2 ស្របទៅនឹងអ័ក្សអូy= 2 តែនៅចំណុចខ្លាំង (នៅចំណុចដែលក្រាហ្វផ្លាស់ប្តូរឥរិយាបទរបស់វាពីការកើនឡើងទៅការថយចុះឬផ្ទុយមកវិញ) ។ មាន ៤ ចំណុច៖ -៣; 0; ៤.២; ៦.៩

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង។:

កំណត់ចំនួនចំនុចគត់ដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍មានភាពវិជ្ជមាន។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f (x) ដែលកំណត់លើចន្លោះពេល (−5; 5) ។ កំណត់៖

2. ចំនួនចំនុចគត់ដែលតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y = 3;

3. ចំនួនចំនុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុគឺសូន្យ;

1. ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ គេដឹងថាវាមានភាពវិជ្ជមាននៅលើចន្លោះពេលដែលមុខងារកើនឡើង ពោលគឺនៅលើចន្លោះពេល (1.4; 2.5) និង (4.4; 5)។ ពួកវាមានតែមួយ ចំណុចទាំងមូល x = ២.

2. ផ្ទាល់ y= 3 ស្របទៅនឹងអ័ក្សអូ. តង់សង់នឹងស្របទៅនឹងបន្ទាត់y= 3 តែនៅចំណុចខ្លាំង (នៅចំណុចដែលក្រាហ្វផ្លាស់ប្តូរឥរិយាបទរបស់វាពីការកើនឡើងទៅជាការថយចុះឬផ្ទុយមកវិញ) ។

មាន ៤ ចំណុច៖ -៤.៣; ១.៤; ២.៥; ៤.៤

3. ដេរីវេគឺសូន្យនៅ បួនពិន្ទុ(នៅចំណុចខ្លាំង) យើងបានចង្អុលបង្ហាញពួកគេរួចហើយ។

សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង៖

កំណត់ចំនួនគត់នៃចំនុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) អវិជ្ជមាន។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f (x) ដែលកំណត់លើចន្លោះពេល (−2; 12) ។ ស្វែងរក៖

1. ចំនួននៃចំនុចគត់ដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺវិជ្ជមាន;

2. ចំនួននៃចំនុចគត់ដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺអវិជ្ជមាន;

3. ចំនួនចំនុចគត់ដែលតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y = 2;

4. ចំនួនចំនុចដែលដេរីវេទីវគឺសូន្យ។

1. ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ គេដឹងថាវាវិជ្ជមាននៅចន្លោះពេលដែលមុខងារកើនឡើង ពោលគឺនៅលើចន្លោះពេល (–2; 1), (2; 4), (7; 9) និង ( ១០; ១១). ពួកវាមានចំណុចចំនួនគត់៖ -1, 0, 3, 8។ មានបួនក្នុងចំណោមពួកគេសរុប។

2. ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺអវិជ្ជមាននៅលើចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍ថយចុះ ពោលគឺនៅចន្លោះពេល (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12)។ ពួកវាមានលេខគត់ 5 និង 6។ យើងទទួលបាន 2 ពិន្ទុ។

3. ផ្ទាល់ y= 2 ស្របទៅនឹងអ័ក្សអូ. តង់សង់នឹងស្របទៅនឹងបន្ទាត់y= 2 តែនៅចំណុចខ្លាំង (នៅចំណុចដែលក្រាហ្វផ្លាស់ប្តូរឥរិយាបទរបស់វាពីការកើនឡើងទៅការថយចុះឬផ្ទុយមកវិញ) ។ មាន ៧ ចំណុច៖ ១; ២; ៤; ៧; ៩; ១០; ដប់មួយ

4. ដេរីវេគឺស្មើនឹងសូន្យនៅចំនុចប្រាំពីរ (នៅចំណុចខ្លាំង) យើងបានចង្អុលបង្ហាញពួកគេរួចហើយ។

នៅពេលសម្រេចចិត្ត កិច្ចការផ្សេងៗធរណីមាត្រ មេកានិក រូបវិទ្យា និងផ្នែកចំណេះដឹងផ្សេងទៀតបានក្លាយជាចាំបាច់ដោយប្រើដំណើរការវិភាគដូចគ្នាពីមុខងារនេះ y=f(x)ទទួល មុខងារថ្មី។ដែលត្រូវបានគេហៅថា មុខងារដេរីវេ(ឬសាមញ្ញ ដេរីវេ) នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x)និងត្រូវបានកំណត់ដោយនិមិត្តសញ្ញា

ដំណើរការដែលចេញពីមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x)ទទួលបានមុខងារថ្មី។ f" (x), បានហៅ ភាពខុសគ្នាហើយវាមានបីជំហានដូចខាងក្រោមៈ 1) ផ្តល់អំណះអំណាង xការកើនឡើង  xនិងកំណត់ការបង្កើនមុខងារដែលត្រូវគ្នា។  y = f(x+ x) -f(x); 2) បង្កើតទំនាក់ទំនង

3) រាប់ xថេរ និង  x0 យើងរកឃើញ
ដែលយើងសម្គាល់ដោយ f" (x)ដូច​ជា​ការ​សង្កត់​ធ្ងន់​ថា​អនុគមន៍​លទ្ធផល​អាស្រ័យ​លើ​តម្លៃ​តែ​ប៉ុណ្ណោះ។ xដែលយើងទៅដល់ដែនកំណត់។ និយមន័យ: ដេរីវេ y " = f " (x) អនុគមន៍ y = f(x) សម្រាប់ x ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍មួយទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ ដែលផ្តល់ថាការបង្កើនអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅសូន្យ ប្រសិនបើជាការពិត ដែនកំណត់នេះមាន ពោលគឺឧ។ កំណត់។ ដូច្នេះ
, ឬ

ចំណាំថាប្រសិនបើតម្លៃមួយចំនួន xឧទាហរណ៍នៅពេល x=a, ឥរិយាបទ
នៅ  x0 មិនមានទំនោរទៅ ដែនកំណត់កំណត់បន្ទាប់មកក្នុងករណីនេះពួកគេនិយាយថាមុខងារ f(x)នៅ x=a(ឬនៅចំណុច x=a) មិនមានដេរីវេឬមិនខុសគ្នាត្រង់ចំណុច x=a.

2. អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ។

ពិចារណាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f (x) ខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x 0

f(x)

ចូរយើងពិចារណាបន្ទាត់ត្រង់ដែលបំពានឆ្លងកាត់ចំណុចមួយនៅលើក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ - ចំណុច A(x 0, f (x 0)) និងប្រសព្វក្រាហ្វនៅចំណុច B(x; f(x)) ។ បន្ទាត់ (AB) បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា secant ។ ពី ∆ABC: ​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x។

តាំងពី AC || Ox បន្ទាប់មក ALO = BAC = β (ដូចទៅនឹងប៉ារ៉ាឡែល) ។ ប៉ុន្តែ ALO គឺជាមុំនៃទំនោរនៃ secant AB ទៅទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុក។ នេះមានន័យថា tanβ = k - ជម្រាល AB ត្រង់។

ឥឡូវនេះយើងនឹងកាត់បន្ថយ ∆x, i.e. ∆х→ 0. ក្នុងករណីនេះ ចំនុច B នឹងទៅជិតចំនុច A យោងទៅតាមក្រាហ្វ ហើយ secant AB នឹងបង្វិល។ ទីតាំងកំណត់នៃ secant AB នៅ ∆x → 0 នឹងជាបន្ទាត់ត្រង់ (a) ដែលហៅថាតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f (x) នៅចំណុច A ។

ប្រសិនបើយើងទៅដែនកំណត់ជា ∆x → 0 ក្នុងសមភាព tgβ = ∆y/∆x យើងទទួលបាន
ortg =f "(x 0), ចាប់តាំងពី
- មុំទំនោរនៃតង់សង់ទៅទិសវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុក
តាមនិយមន័យនៃដេរីវេ។ ប៉ុន្តែ tg = k គឺជាមេគុណមុំនៃតង់សង់ ដែលមានន័យថា k = tg = f "(x 0) ។

ដូច្នេះអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេមានដូចខាងក្រោម៖

ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x 0 ស្មើ​នឹង​ជម្រាល​តង់សង់​ទៅ​ក្រាហ្វ​នៃ​អនុគមន៍​ដែល​បាន​គូស​នៅ​ចំណុច​ជាមួយ abscissa x 0 .

3. អត្ថន័យរូបវិទ្យានៃដេរីវេ។

ពិចារណាចលនានៃចំណុចមួយនៅតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យកូអរដោនេនៃចំណុចមួយនៅពេលណាមួយ x (t) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ (ពីវគ្គសិក្សារូបវិទ្យា) ថាល្បឿនជាមធ្យមក្នុងរយៈពេលមួយគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃចម្ងាយដែលបានធ្វើដំណើរក្នុងអំឡុងពេលនៃពេលវេលានេះទៅពេលវេលាពោលគឺឧ។

វ៉ាវ = ∆x/∆t ។ តោះទៅដែនកំណត់ក្នុងសមភាពចុងក្រោយជា ∆t → 0 ។

lim Vav (t) = (t 0) - ល្បឿនភ្លាមៗនៅពេល t 0, ∆t → 0 ។

និង lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (តាមនិយមន័យនៃដេរីវេ)។

ដូច្នេះ (t) = x"(t) ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃដេរីវេមានដូចខាងក្រោម៖ ដេរីវេនៃអនុគមន៍y = f(x) នៅចំណុចx 0 គឺជាអត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារf(x) នៅចំណុចx 0

ដេរីវេត្រូវបានប្រើក្នុងរូបវិទ្យាដើម្បីស្វែងរកល្បឿនពីមុខងារដែលគេស្គាល់នៃកូអរដោនេធៀបនឹងពេលវេលា ការបង្កើនល្បឿនពីមុខងារដែលគេស្គាល់នៃល្បឿនធៀបនឹងពេលវេលា។

(t) = x"(t) - ល្បឿន,

a(f) = "(t) - ការបង្កើនល្បឿន ឬ

ប្រសិនបើច្បាប់នៃចលនានៃចំណុចវត្ថុនៅក្នុងរង្វង់មួយត្រូវបានគេស្គាល់ នោះគេអាចរកឃើញល្បឿនមុំ និង ការបង្កើនល្បឿនមុំកំឡុងពេលចលនាបង្វិល៖

φ = φ(t) - ការផ្លាស់ប្តូរមុំតាមពេលវេលា,

ω = φ"(t) - ល្បឿនមុំ,

ε = φ"(t) - ការបង្កើនល្បឿនមុំ ឬ ε = φ"(t) ។

ប្រសិនបើច្បាប់នៃការចែកចាយដ៏ធំនៃដំបងមិនដូចគ្នាត្រូវបានគេដឹងនោះ ដង់ស៊ីតេលីនេអ៊ែរនៃដំបងមិនដូចគ្នាអាចត្រូវបានរកឃើញ៖

m = m(x) - ម៉ាស,

x  , l - ប្រវែងដំបង,

p = m"(x) - ដង់ស៊ីតេលីនេអ៊ែរ។

ដោយប្រើដេរីវេទីវ បញ្ហាពីទ្រឹស្តីនៃការបត់បែន និងរំញ័រអាម៉ូនិកត្រូវបានដោះស្រាយ។ ដូច្នេះ​បើ​តាម​ច្បាប់​របស់​លោក Hooke

F = -kx, x – កូអរដោណេអថេរ, k – មេគុណនៃការបត់បែននិទាឃរដូវ។ ដោយដាក់ ω 2 = k/m យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប៉ោលនិទាឃរដូវ x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

ដែល ω = √k/√m ប្រេកង់យោល (l/c), k - ភាពរឹងនិទាឃរដូវ (H/m) ។

សមីការនៃទម្រង់ y" + ω 2 y = 0 ត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃលំយោលអាម៉ូនិក (មេកានិច អគ្គិសនី អេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិច) ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការបែបនេះគឺជាមុខងារ

y = Asin(ωt + φ 0) ឬ y = Acos(ωt + φ 0) ដែល

A - ទំហំនៃលំយោល, ω - ប្រេកង់រង្វិល,

φ 0 - ដំណាក់កាលដំបូង។

ការបង្ហាញទំនាក់ទំនងរវាងសញ្ញានៃដេរីវេ និងធម្មជាតិនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍។

សូម​ប្រុង​ប្រយ័ត្ន​ខ្ពស់​ចំពោះ​ចំណុច​ខាង​ក្រោម។ មើលកាលវិភាគនៃអ្វីដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអ្នក! មុខងារឬដេរីវេរបស់វា។

ប្រសិនបើបានផ្តល់ក្រាហ្វនៃដេរីវេបន្ទាប់មកយើងនឹងចាប់អារម្មណ៍តែលើសញ្ញាមុខងារ និងលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះ។ យើងមិនចាប់អារម្មណ៍លើ "ភ្នំ" ឬ "ប្រហោង" ជាគោលការណ៍ទេ!

កិច្ចការទី 1 ។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល។ កំណត់ចំនួនចំនុចគត់ដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺអវិជ្ជមាន។

ដំណោះស្រាយ៖

នៅក្នុងរូបភាព តំបន់នៃការថយចុះមុខងារត្រូវបានបន្លិចជាពណ៌៖

តំបន់កាត់បន្ថយទាំងនេះនៃអនុគមន៍មាន 4 តម្លៃចំនួនគត់។

កិច្ចការទី 2 ។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល។ ស្វែងរកចំនួនចំនុចដែលតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺស្របគ្នា ឬស្របគ្នាជាមួយបន្ទាត់។

ដំណោះស្រាយ៖

នៅពេលដែលតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺស្របគ្នា (ឬស្របគ្នា) ជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ (ឬដែលជាវត្ថុដូចគ្នា) ដែលមាន ជម្រាល , ស្មើនឹងសូន្យបន្ទាប់មកតង់សង់ក៏មានមេគុណមុំផងដែរ។

នេះមានន័យថាតង់ហ្សង់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស ដោយសារជម្រាលគឺជាតង់ហ្សង់នៃមុំទំនោរនៃតង់ហ្សង់ទៅអ័ក្ស។

ដូច្នេះហើយ យើងរកឃើញចំណុចខ្លាំង (ចំណុចអតិបរមា និងអប្បបរមា) នៅលើក្រាហ្វ - វាស្ថិតនៅចំណុចទាំងនេះ ដែលមុខងារតង់សង់ទៅក្រាហ្វនឹងស្របទៅនឹងអ័ក្ស។

មាន ៤ ចំណុចបែបនេះ។

កិច្ចការទី 3 ។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល។ ស្វែងរកចំនួនចំនុចដែលតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺស្របគ្នា ឬស្របគ្នាជាមួយបន្ទាត់។

ដំណោះស្រាយ៖

ដោយសារតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍គឺស្របគ្នា (ឬស្របគ្នា) ជាមួយបន្ទាត់ដែលមានជម្រាល នោះតង់ហ្សង់ក៏មានជម្រាលដែរ។

នេះមានន័យថានៅចំណុចប៉ះ។

ដូច្នេះហើយ យើងមើលថាតើមានចំណុចប៉ុន្មាននៅលើក្រាហ្វដែលមានលំដាប់ស្មើនឹង .

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមានបួនចំណុចបែបនេះ។

កិច្ចការទី 4 ។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល។ រកចំនួនចំនុចដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺ 0 ។

ដំណោះស្រាយ៖

ដេរីវេគឺស្មើនឹងសូន្យនៅចំណុចខ្លាំង។ យើងមាន 4 ក្នុងចំណោមពួកគេ:

កិច្ចការទី 5 ។

រូប​នេះ​បង្ហាញ​ក្រាហ្វ​នៃ​អនុគមន៍​មួយ និង​ដប់មួយ​ចំណុច​លើ​អ័ក្ស x: ។ តើចំណុចទាំងនេះប៉ុន្មានចំណុចដែលដេរីវេនៃមុខងារអវិជ្ជមាន?

ដំណោះស្រាយ៖

នៅចន្លោះពេលនៃការថយចុះមុខងារ ដេរីវេរបស់វាត្រូវចំណាយពេល តម្លៃអវិជ្ជមាន. ហើយមុខងារថយចុះនៅចំណុច។ មាន ៤ ចំណុចបែបនេះ។

កិច្ចការទី 6 ។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល។ ស្វែងរកផលបូកនៃចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍។

ដំណោះស្រាយ៖

ចំណុចខ្លាំង- ទាំងនេះគឺជាពិន្ទុអតិបរមា (-3, -1, 1) និងពិន្ទុអប្បបរមា (-2, 0, 3) ។

ផលបូកនៃចំណុចខ្លាំង៖ -3-1+1-2+0+3=-2។

កិច្ចការទី 7 ។

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល។ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើងមុខងារ។ នៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក បង្ហាញផលបូកនៃចំនួនគត់ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលទាំងនេះ។

ដំណោះស្រាយ៖

តួលេខបង្ហាញពីចន្លោះពេលដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍មិនអវិជ្ជមាន។

មិនមានចំណុចចំនួនគត់នៅលើចន្លោះពេលកើនឡើងតូចទេ នៅលើចន្លោះពេលកើនឡើង មានតម្លៃចំនួនគត់ចំនួនបួន៖ , , និង .

ផលបូករបស់ពួកគេ៖

កិច្ចការ ៨.

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល។ ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើងមុខងារ។ នៅក្នុងចម្លើយរបស់អ្នក បង្ហាញពីប្រវែងធំបំផុតនៃពួកគេ។

ដំណោះស្រាយ៖

នៅក្នុងរូបភាព ចន្លោះពេលទាំងអស់ដែលដេរីវេទីវ័រវិជ្ជមានត្រូវបានបន្លិចជាពណ៌ ដែលមានន័យថាមុខងារខ្លួនវាកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលទាំងនេះ។

ប្រវែងធំបំផុតនៃពួកគេគឺ 6 ។

កិច្ចការ ៩.

តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល។ តើ​វា​យក​តម្លៃ​ធំ​បំផុត​នៅ​ចំណុច​ណា​ខ្លះ?

ដំណោះស្រាយ៖

សូមមើលពីរបៀបដែលក្រាហ្វមានឥរិយាបទនៅលើផ្នែកដែលជាអ្វីដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ គ្រាន់តែជាសញ្ញានៃដេរីវេ .

សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅលើគឺដក ព្រោះក្រាហ្វនៅលើផ្នែកនេះស្ថិតនៅក្រោមអ័ក្ស។