ចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា? ក) ប្រសព្វ; ខ) គ្មានអ្វីអាចនិយាយបាន; គ) មិនប្រសព្វ; ឃ) ស្របគ្នា; ង) មានចំណុចរួមចំនួនបី។
2. តើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមមួយណាពិត? ក) ប្រសិនបើចំនុចពីរនៃរង្វង់មួយស្ថិតនៅលើយន្តហោះ នោះរង្វង់ទាំងមូលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ ខ) បន្ទាត់ត្រង់មួយស្ថិតនៅក្នុងប្លង់នៃត្រីកោណ កាត់ភាគីទាំងពីររបស់វា; គ) យន្តហោះទាំងពីរមានចំណុចរួមតែមួយ។ ឃ) យន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរចំណុច ហើយមានតែមួយ។ ង) បន្ទាត់មួយស្ថិតនៅក្នុងប្លង់នៃត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប្រសិនបើវាប្រសព្វគ្នាពីរបន្ទាត់ដែលមានជ្រុងនៃត្រីកោណ។
3. តើយន្តហោះពីរផ្សេងគ្នាអាចមានចំណុចរួមតែពីរទេ? ក) មិនដែល; ខ) ខ្ញុំអាចធ្វើបាន ប៉ុន្តែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ថែម។ គ) តែងតែមាន; ឃ) សំណួរមិនអាចឆ្លើយបានទេ។ ឃ) ចម្លើយមួយទៀត។
4. ចំនុច K, L, M ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា ចំនុច N មិនស្ថិតនៅលើវាទេ។ យន្តហោះមួយត្រូវបានគូសកាត់រាល់បីចំណុច។ តើយន្តហោះនេះមានលទ្ធផលប៉ុន្មាន? ក) ១; ខ) ២; នៅ 3; ឃ) ៤; ឃ) ច្រើនឥតកំណត់។
5. ជ្រើសរើសសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រឹមត្រូវ។ ក) យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចបីណាមួយ ហើយមានតែមួយ។ ខ) ប្រសិនបើចំនុចពីរនៃបន្ទាត់មួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ នោះចំនុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ គ) ប្រសិនបើយន្តហោះពីរមានចំណុចរួម នោះវាមិនប្រសព្វគ្នាទេ។ ឃ) យន្តហោះមួយ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ ឆ្លងកាត់ខ្សែបន្ទាត់ និងចំណុចមួយនៅលើវា; ង) វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរប្លង់តាមរយៈបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នាពីរ។
6. ដាក់ឈ្មោះបន្ទាត់ត្រង់ធម្មតានៃយន្តហោះ PBM និង MAB ។ ក) PM; ខ) AB; គ) PB; ឃ) BM; e) មិនអាចកំណត់បានទេ។
7. បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វត្រង់ចំនុច M. បន្ទាត់ c មិនឆ្លងកាត់ចំនុច M ប្រសព្វបន្ទាត់ a និង b ។ តើអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់ a, b និង c? ក) បន្ទាត់ត្រង់ទាំងអស់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ផ្សេងៗគ្នា។ ខ) បន្ទាត់ត្រង់ a និង b ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ; គ) បន្ទាត់ត្រង់ទាំងអស់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ។ ឃ) គ្មានអ្វីអាចនិយាយបាន; e) បន្ទាត់ c ស្របគ្នានឹងបន្ទាត់មួយ៖ ទាំង a ឬ b ។
8. បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O. A€ a, B€b, Y€ AB ។ ជ្រើសរើសសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រឹមត្រូវ។ ក) ចំណុច O និង Y មិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយទេ។ ខ) បន្ទាត់ត្រង់ OY និង a គឺស្របគ្នា; គ) បន្ទាត់ត្រង់ a, b និងចំណុច Y ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ; ឃ) ចំណុច O និង Y ស្របគ្នា; ង) ពិន្ទុ Y និង A ស្របគ្នា។
ជម្រើសទី 2 ។1. តើអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីទីតាំងដែលទាក់ទងគ្នានៃយន្តហោះពីរដែលមានចំនុចធម្មតាបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា?
ក) ប្រសព្វ; ខ) គ្មានអ្វីអាចនិយាយបាន; គ) មិនប្រសព្វ; ឃ) ស្របគ្នា; ង) មានចំណុចរួមចំនួនបី។
2. តើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមមួយណាពិត?
ក) ប្រសិនបើចំនុចពីរនៃរង្វង់មួយស្ថិតនៅលើយន្តហោះ នោះរង្វង់ទាំងមូលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ ខ) បន្ទាត់ត្រង់មួយស្ថិតនៅក្នុងប្លង់នៃត្រីកោណ កាត់ភាគីទាំងពីររបស់វា; គ) យន្តហោះទាំងពីរមានចំណុចរួមតែមួយ។ ឃ) យន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរចំណុច ហើយមានតែមួយ។ ង) បន្ទាត់មួយស្ថិតនៅក្នុងប្លង់នៃត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យប្រសិនបើវាប្រសព្វគ្នាពីរបន្ទាត់ដែលមានជ្រុងនៃត្រីកោណ។
3. តើយន្តហោះពីរផ្សេងគ្នាអាចមានចំណុចរួមតែពីរទេ?
ក) មិនដែល; ខ) ខ្ញុំអាចធ្វើបាន ប៉ុន្តែនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌបន្ថែម។ គ) តែងតែមាន; ឃ) សំណួរមិនអាចឆ្លើយបានទេ។ ឃ) ចម្លើយមួយទៀត។
4. ចំនុច K, L, M ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា ចំនុច N មិនស្ថិតនៅលើវាទេ។ យន្តហោះមួយត្រូវបានគូសកាត់រាល់បីចំណុច។ តើយន្តហោះនេះមានលទ្ធផលប៉ុន្មាន?
ក) ១; ខ) ២; នៅ 3; ឃ) ៤; ឃ) ច្រើនឥតកំណត់។
5. ជ្រើសរើសសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រឹមត្រូវ។
ក) យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចបីណាមួយ ហើយមានតែមួយ។ ខ) ប្រសិនបើចំនុចពីរនៃបន្ទាត់មួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ នោះចំនុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ គ) ប្រសិនបើយន្តហោះពីរមានចំណុចរួម នោះវាមិនប្រសព្វគ្នាទេ។ ឃ) យន្តហោះមួយ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ ឆ្លងកាត់ខ្សែបន្ទាត់ និងចំណុចមួយនៅលើវា; ង) វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការគូរប្លង់តាមរយៈបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នាពីរ។
6. ដាក់ឈ្មោះបន្ទាត់ត្រង់ទូទៅនៃយន្តហោះ PBM និង MAB ។
ក) PM; ខ) AB; គ) PB; ឃ) BM; e) មិនអាចកំណត់បានទេ។
7. តើយន្តហោះណាមួយក្នុងបញ្ជីដែលបន្ទាត់ត្រង់ RM ប្រសព្វ (រូបភាព 1)?
ក) DD1C; ខ) D1PM; គ) B1PM; ឃ) ABC; ង) CDA ។
B1 C1
8. យន្តហោះពីរប្រសព្វគ្នាក្នុងបន្ទាត់ត្រង់ គ. ចំណុច M ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ តើអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីទីតាំងទាក់ទងនៃចំណុច M និងបន្ទាត់ c?
ក) គ្មានការសន្និដ្ឋានណាមួយអាចត្រូវបានទាញ; ខ) បន្ទាត់ត្រង់ c ឆ្លងកាត់ចំណុច M; គ) ចំណុច M ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ c; ឃ) បន្ទាត់ត្រង់ c មិនឆ្លងកាត់ចំណុច M; ឃ) ចម្លើយមួយទៀត។
9. បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វត្រង់ចំនុច M. បន្ទាត់ c មិនឆ្លងកាត់ចំនុច M ប្រសព្វបន្ទាត់ a និង b ។ តើអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់ a, b និង c?
ក) បន្ទាត់ត្រង់ទាំងអស់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ផ្សេងៗគ្នា។ ខ) បន្ទាត់ត្រង់ a និង b ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ; គ) បន្ទាត់ត្រង់ទាំងអស់ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ។ ឃ) គ្មានអ្វីអាចនិយាយបាន; e) បន្ទាត់ c ស្របគ្នានឹងបន្ទាត់មួយ៖ ទាំង a ឬ b ។
10. បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O. A€ a, B€b, Y€ AB ។ ជ្រើសរើសសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រឹមត្រូវ។
ក) ចំណុច O និង Y មិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយទេ។ ខ) បន្ទាត់ត្រង់ OY និង a គឺស្របគ្នា; គ) បន្ទាត់ត្រង់ a, b និងចំណុច Y ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ; ឃ) ចំណុច O និង Y ស្របគ្នា; ង) ពិន្ទុ Y និង A ស្របគ្នា។
តើកាំរស្មី AB និង AC កាត់កែងទៅនឹងគែមរបស់វាទេ? 2. តើវាពិតទេដែលថាមុំលីនេអ៊ែរ BAC គឺជាមុំ dihedral ប្រសិនបើកាំរស្មី AB និង AC ស្ថិតនៅលើមុខមុំ dihedral? 3. តើវាពិតទេដែលថាមុំ BAC គឺជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ប្រសិនបើកាំរស្មី AB និង AC កាត់កែងទៅនឹងគែមរបស់វា ហើយចំនុច E និង C ស្ថិតនៅលើមុខមុំ? 4. មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral គឺ 80 ដឺក្រេ។ តើមានបន្ទាត់ត្រង់មួយក្នុងចំណោមមុខនៃមុំដែលកាត់កែងទៅមុខម្ខាងទៀតដែរឬទេ? 5. មុំ ABC គឺជាមុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ដែលមានគែមអាល់ហ្វា។ តើបន្ទាត់ត្រង់អាល់ហ្វាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ABC ទេ? តើវាជាការពិតទេដែលបន្ទាត់ទាំងអស់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយប្រសព្វបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះដូចគ្នា?
នៅក្នុង Planimetry យន្តហោះគឺជាតួរលេខសំខាន់មួយ ដូច្នេះវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ដឹងច្បាស់អំពីវា។ អត្ថបទនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីគ្របដណ្តប់លើប្រធានបទនេះ។ ទីមួយ គំនិតនៃយន្តហោះ ការតំណាងក្រាហ្វិករបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយការរចនានៃយន្តហោះត្រូវបានបង្ហាញ។ បន្ទាប់មក យន្តហោះត្រូវបានពិចារណារួមគ្នាជាមួយនឹងចំណុចមួយ បន្ទាត់ត្រង់ ឬយន្តហោះផ្សេងទៀត ហើយជម្រើសកើតឡើងពីទីតាំងដែលទាក់ទងគ្នាក្នុងលំហ។ នៅក្នុងកថាខណ្ឌទី 2 និងទី 3 និងទី 4 នៃអត្ថបទ ជម្រើសទាំងអស់សម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃយន្តហោះពីរ បន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ ក៏ដូចជាចំណុច និងប្លង់ត្រូវបានវិភាគ អ័ក្ស និងរូបភាពក្រាហ្វិកជាមូលដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ សរុបសេចក្តីមក វិធីសាស្ត្រសំខាន់ៗនៃការកំណត់យន្តហោះក្នុងលំហត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។
ការរុករកទំព័រ។
យន្តហោះ - គំនិតជាមូលដ្ឋាន និមិត្តសញ្ញា និងរូបភាព។
តួលេខធរណីមាត្រសាមញ្ញបំផុត និងជាមូលដ្ឋានបំផុតនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រគឺ ចំណុច បន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះ។ យើងមានគំនិតមួយរួចហើយអំពីចំណុចមួយនិងបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។ ប្រសិនបើយើងដាក់យន្តហោះលើចំណុចណាមួយដែលបង្ហាញក្នុងលំហបីវិមាត្រ នោះយើងនឹងទទួលបានពិន្ទុ និងបន្ទាត់ក្នុងលំហ។ គំនិតនៃយន្តហោះនៅក្នុងអវកាសអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានឧទាហរណ៍ផ្ទៃតុឬជញ្ជាំង។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ តុ ឬជញ្ជាំងមានវិមាត្រកំណត់ ហើយយន្តហោះលាតសន្ធឹងហួសពីព្រំដែនរបស់វារហូតដល់គ្មានដែនកំណត់។
ចំនុច និងបន្ទាត់ក្នុងលំហ ត្រូវបានកំណត់តាមវិធីដូចគ្នានឹងយន្តហោះដែរ - ជាអក្សរឡាតាំងធំ និងតូចរៀងគ្នា។ ឧទាហរណ៍ ចំណុច A និង Q បន្ទាត់ a និង d ។ ប្រសិនបើចំនុចពីរដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះបន្ទាត់អាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរពីរដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុចទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ AB ឬ BA ឆ្លងកាត់ចំណុច A និង B ។ យន្តហោះជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរក្រិកតូចៗ ឧទាហរណ៍ យន្តហោះ ឬ។
នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា ចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញប្លង់នៅក្នុងគំនូរ។ យន្តហោះជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញជាប៉ារ៉ាឡែល ឬតំបន់បិទជិតធម្មតាតាមអំពើចិត្ត។
ជាធម្មតា យន្តហោះមួយត្រូវបានពិចារណារួមគ្នាជាមួយនឹងចំណុច បន្ទាត់ត្រង់ ឬយន្តហោះផ្សេងទៀត ហើយជម្រើសផ្សេងៗសម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងរបស់ពួកគេកើតឡើង។ ចូរបន្តទៅការពិពណ៌នារបស់ពួកគេ។
ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃយន្តហោះ និងចំណុច។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹង axiom: មានចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះនីមួយៗ។ ពីវាធ្វើតាមជម្រើសដំបូងសម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃយន្តហោះនិងចំណុច - ចំណុចអាចជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត យន្តហោះអាចឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ដើម្បីបង្ហាញថាចំណុចមួយជារបស់យន្តហោះ និមិត្តសញ្ញា “” ត្រូវបានប្រើ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច A នោះអ្នកអាចសរសេរដោយសង្ខេប។
វាគួរតែត្រូវបានយល់ថានៅលើយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងលំហមានចំណុចជាច្រើនគ្មានទីបញ្ចប់។
axiom ខាងក្រោមបង្ហាញពីចំនួនចំនុចក្នុងលំហដែលត្រូវតែត្រូវបានសម្គាល់ ដើម្បីឱ្យពួកវាកំណត់ប្លង់ជាក់លាក់មួយ៖ តាមរយៈចំណុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ យន្តហោះឆ្លងកាត់ និងតែមួយគត់។ ប្រសិនបើចំណុចបីដែលស្ថិតនៅលើយន្តហោះត្រូវបានគេដឹងនោះ យន្តហោះអាចត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរបីដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុចទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច A, B និង C នោះវាអាចត្រូវបានកំណត់ថា ABC ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើត axiom មួយផ្សេងទៀតដែលផ្តល់ឱ្យកំណែទីពីរនៃទីតាំងដែលទាក់ទងនៃយន្តហោះនិងចំណុច: មានយ៉ាងហោចណាស់បួនចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ ដូច្នេះចំនុចមួយក្នុងលំហ ប្រហែលជាមិនមែនជារបស់យន្តហោះទេ។ ជាការពិតណាស់ ដោយគុណធម៌នៃ axiom មុន យន្តហោះមួយឆ្លងកាត់បីចំនុចក្នុងលំហ ហើយចំនុចទីបួនអាចឬមិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះនេះ។ នៅពេលសរសេរដោយសង្ខេប ប្រើនិមិត្តសញ្ញា "" ដែលស្មើនឹងឃ្លា "មិនមែនជាកម្មសិទ្ធិ" ។
ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើចំណុច A មិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះទេ នោះសូមប្រើសញ្ញាណខ្លីៗ។
បន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះក្នុងលំហ។
ទីមួយ បន្ទាត់ត្រង់អាចដេកនៅក្នុងយន្តហោះ។ ក្នុងករណីនេះយ៉ាងហោចណាស់ពីរចំណុចនៃបន្ទាត់នេះស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ។ នេះត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ axiom: ប្រសិនបើចំនុចពីរនៃបន្ទាត់មួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ នោះចំនុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់នេះស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ។ ដើម្បីកត់ត្រាដោយសង្ខេបអំពីកម្មសិទ្ធិនៃបន្ទាត់ជាក់លាក់មួយទៅកាន់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ សូមប្រើនិមិត្តសញ្ញា "" ។ ឧទាហរណ៍ សញ្ញាណមានន័យថា បន្ទាត់ត្រង់មួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ។
ទីពីរ បន្ទាត់ត្រង់អាចប្រសព្វគ្នានឹងយន្តហោះ។ ក្នុងករណីនេះ បន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់ មានចំណុចរួមតែមួយ ដែលត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់។ នៅពេលសរសេរដោយសង្ខេប ខ្ញុំបង្ហាញពីចំនុចប្រសព្វជាមួយនិមិត្តសញ្ញា “”។ ឧទាហរណ៍ សញ្ញាណមានន័យថា បន្ទាត់ត្រង់មួយប្រសព្វគ្នានឹងយន្តហោះនៅចំណុច M ។ នៅពេលដែលយន្តហោះកាត់បន្ទាត់ត្រង់ជាក់លាក់មួយ គំនិតនៃមុំរវាងបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់កើតឡើង។
ដោយឡែកពីគ្នា វាគឺមានតម្លៃផ្តោតលើបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះ និងកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ បន្ទាត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ។ ដើម្បីកត់ត្រាការកាត់កែងដោយសង្ខេប ប្រើនិមិត្តសញ្ញា "" ។ សម្រាប់ការសិក្សាស៊ីជម្រៅបន្ថែមទៀតអំពីសម្ភារៈ អ្នកអាចយោងទៅលើអត្ថបទកាត់កែងនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់។
សារៈសំខាន់ជាពិសេសនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងយន្តហោះគឺជាអ្វីដែលគេហៅថាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។ វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះគឺជាវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនេះ។
ទីបី បន្ទាត់ត្រង់អាចស្របទៅនឹងយន្តហោះ ពោលគឺវាប្រហែលជាមិនមានចំណុចទូទៅនៅក្នុងវាទេ។ នៅពេលសរសេរដោយសង្ខេប ប្រើនិមិត្តសញ្ញា "" ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើបន្ទាត់ a ស្របទៅនឹងយន្តហោះ នោះយើងអាចសរសេរបាន។ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកសិក្សាករណីនេះឱ្យកាន់តែលម្អិត ដោយយោងទៅលើអត្ថបទភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។
គួរនិយាយថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលដេកក្នុងយន្តហោះបែងចែកយន្តហោះនេះជាពីរពាក់កណ្តាលយន្តហោះ។ បន្ទាត់ត្រង់ក្នុងករណីនេះត្រូវបានគេហៅថាព្រំដែននៃយន្តហោះពាក់កណ្តាល។ ចំណុចទាំងពីរនៃយន្តហោះពាក់កណ្តាលដូចគ្នាស្ថិតនៅលើផ្នែកដូចគ្នានៃបន្ទាត់មួយ ហើយចំណុចពីរនៃយន្តហោះពាក់កណ្តាលផ្សេងគ្នាស្ថិតនៅលើជ្រុងម្ខាងនៃបន្ទាត់ព្រំដែន។
ការរៀបចំយន្តហោះទៅវិញទៅមក។
យន្តហោះពីរនៅក្នុងលំហអាចស្របគ្នា។ ក្នុងករណីនេះពួកគេមានយ៉ាងហោចណាស់បីចំណុចដូចគ្នា។
យន្តហោះពីរនៅក្នុងលំហអាចប្រសព្វគ្នា។ ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងពីរគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ axiom: ប្រសិនបើយន្តហោះទាំងពីរមានចំនុចរួម នោះពួកគេមានបន្ទាត់ត្រង់ធម្មតាដែលចំនុចរួមទាំងអស់នៃយន្តហោះទាំងនេះស្ថិតនៅ។
ក្នុងករណីនេះ គំនិតនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាកើតឡើង។ ការចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសគឺករណីនៅពេលដែលមុំរវាងយន្តហោះគឺកៅសិបដឺក្រេ។ យន្តហោះបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែង។ យើងបាននិយាយអំពីពួកគេនៅក្នុងអត្ថបទកាត់កែងនៃយន្តហោះ។
ទីបំផុត យន្តហោះពីរក្នុងលំហអាចស្របគ្នា ពោលគឺគ្មានចំណុចរួមទេ។ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានអត្ថបទ parallelism of planes ដើម្បីទទួលបានការយល់ដឹងពេញលេញអំពីជម្រើសនេះសម្រាប់ការរៀបចំដែលទាក់ទងនៃយន្តហោះ។
វិធីសាស្រ្តកំណត់យន្តហោះ។
ឥឡូវនេះយើងនឹងរាយបញ្ជីវិធីសំខាន់ៗដើម្បីកំណត់យន្តហោះជាក់លាក់មួយនៅក្នុងលំហ។
ទីមួយ យន្តហោះអាចត្រូវបានកំណត់ដោយការជួសជុលបីចំណុចក្នុងលំហដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើ axiom: តាមរយៈចំណុចបីណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នានោះមានយន្តហោះតែមួយ។
ប្រសិនបើយន្តហោះត្រូវបានជួសជុល និងបញ្ជាក់ក្នុងលំហបីវិមាត្រដោយបង្ហាញពីកូអរដោនេនៃចំណុចបីផ្សេងគ្នារបស់វាដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នានោះ យើងអាចសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុចទាំងបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
វិធីសាស្រ្តពីរបន្ទាប់នៃការកំណត់យន្តហោះគឺជាផលវិបាកនៃវិធីមុន។ ពួកគេត្រូវបានផ្អែកលើ corollaries នៃ axiom អំពីយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច:
- យន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់មួយ ហើយចំណុចមួយមិនស្ថិតនៅលើវា ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ (សូមមើលផងដែរនូវសមីការអត្ថបទនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់ និងចំណុចមួយ);
- មានយន្តហោះតែមួយឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរ (យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានខ្លឹមសារក្នុងអត្ថបទ៖ សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប្រសព្វពីរ)។
វិធីទីបួនដើម្បីកំណត់យន្តហោះនៅក្នុងលំហគឺផ្អែកលើការកំណត់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។ សូមចាំថា បន្ទាត់ពីរនៅក្នុងលំហ ត្រូវបានគេហៅថាស្របគ្នា ប្រសិនបើពួកគេស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ ហើយមិនប្រសព្វគ្នា។ ដូច្នេះ ដោយបង្ហាញបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរក្នុងលំហ យើងនឹងកំណត់ប្លង់តែមួយគត់ដែលបន្ទាត់ទាំងនេះស្ថិតនៅ។
ប្រសិនបើយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមរបៀបដែលបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រដែលទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ នោះយើងអាចបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលឆ្លងកាត់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរ។
នៅក្នុងមេរៀនធរណីមាត្រវិទ្យាល័យ ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមត្រូវបានបញ្ជាក់៖ តាមរយៈចំណុចថេរមួយក្នុងលំហ វាឆ្លងកាត់ប្លង់តែមួយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ យើងអាចកំណត់ប្លង់មួយបាន ប្រសិនបើយើងបញ្ជាក់ចំណុចដែលវាឆ្លងកាត់ និងបន្ទាត់កាត់កែងទៅវា។
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានជួសជុលក្នុងលំហបីវិមាត្រ ហើយយន្តហោះត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីដែលបានចង្អុលបង្ហាញនោះ វាអាចបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ជំនួសឱ្យបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ អ្នកអាចបញ្ជាក់វ៉ិចទ័រធម្មតាមួយនៃយន្តហោះនេះ។ ក្នុងករណីនេះវាអាចសរសេរបាន។
អ័ក្សនៃស្តេរ៉េអូមេទ្រី។
A1. តាមរយៈចំណុចទាំងបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ យន្តហោះមួយឆ្លងកាត់ ហើយមានតែមួយគត់។
Sl.1.តាមរយៈបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើវា មានយន្តហោះឆ្លងកាត់ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។
ល.២.យន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា ហើយមានតែមួយ។
Sl.3.យន្តហោះមួយឆ្លងកាត់បន្ទាត់ស្របគ្នាពីរ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។
A2.ប្រសិនបើចំនុចពីរនៃបន្ទាត់ស្ថិតនៅលើយន្តហោះ នោះចំនុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។;
A3. ប្រសិនបើប្លង់ពីរមានចំនុចរួម នោះពួកវាមានបន្ទាត់ត្រង់ធម្មតាដែលចំនុចរួមទាំងអស់នៃយន្តហោះទាំងនេះស្ថិតនៅ។
តួលេខជាមូលដ្ឋាននៃស្តេរ៉េអូមេទ្រី- ពិន្ទុ (A, B, C...), ត្រង់ (a, b, c... ), យន្តហោះ ( …) , polyhedra និងសាកសពនៃការបង្វិល។
នៅក្រោម យន្តហោះកាត់រូបបីវិមាត្រនឹងត្រូវបានយល់ថាជាយន្តហោះ ដែលនៅសងខាងមានចំណុចនៃតួលេខនេះ។
នៅខាងក្រោយ រង្វាស់ចម្ងាយរវាងចំនុចមួយ បន្ទាត់ និងយន្តហោះ យើងនឹងយកប្រវែងកាត់កែងធម្មតារបស់វា។
2. ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់ក្នុងលំហ។
ក្នុងចន្លោះពីរជួរអាច ត្រូវប៉ារ៉ាឡែល ប្រសព្វ ឬឆ្លងកាត់.
| 1A | Def. ប៉ារ៉ាឡែលបន្ទាត់ក្នុងលំហ គឺជាបន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយមិនប្រសព្វគ្នា។ នេះបើតាមការលើកឡើងបន្ទាប់ 3. យន្តហោះមួយឆ្លងកាត់បន្ទាត់ស្របគ្នាពីរ ហើយមានតែមួយ។ | |
| 1 ខ | T ១ (អំពីអន្តរកាល) ។បន្ទាត់ពីរស្របទៅមួយភាគបីគឺស្របទៅនឹងគ្នា។ | |
| 2 ក | យោងតាមបន្ទាប់ 2. បន្ទាប់ពីពីរ ប្រសព្វយន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់ត្រង់ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ | |
| 3A | Def. បន្ទាត់ត្រង់ពីរត្រូវបានគេហៅថា ការបង្កាត់ពូជប្រសិនបើពួកគេមិនកុហកនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ។ | |
| ធ ២ (សញ្ញានៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់) ។ប្រសិនបើបន្ទាត់មួយក្នុងចំណោមបន្ទាត់ពីរស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះជាក់លាក់មួយ ហើយបន្ទាត់ផ្សេងទៀតកាត់ប្លង់នេះនៅចំណុចដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ទីមួយ នោះបន្ទាត់បែបនេះនឹងមានភាពច្របូកច្របល់។ | ||
| 3B | Def. មុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វហៅថាមុំរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលប្រសព្វ។ | |
| 3B | Def. កាត់កែងធម្មតានៃបន្ទាត់ skew ពីរគឺជាផ្នែកដែលបញ្ចប់នៅលើបន្ទាត់ទាំងនេះ ហើយកាត់កែងទៅនឹងពួកវា (ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ឆ្លងកាត់) ។ |
- ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះក្នុងលំហ។
នៅក្នុងលំហ បន្ទាត់ត្រង់ និងយន្តហោះអាចជា ប៉ារ៉ាឡែល, ប្រសព្វឬត្រង់ អាចកុហកទាំងស្រុងនៅក្នុងយន្តហោះ.
| 1A | Def. ត្រង់ហៅ ស្របទៅនឹងយន្តហោះប្រសិនបើវាស្របទៅនឹងបន្ទាត់ណាមួយដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ | |
| 1 ខ | ធ ៣ (សញ្ញានៃភាពស្របគ្នារវាងបន្ទាត់ និងយន្តហោះ). បន្ទាត់ត្រង់ដែលមិនដេកនៅក្នុងយន្តហោះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ ប្រសិនបើវាស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់មួយចំនួនដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ | |
| 2 ក | Def. បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះប្រសិនបើវាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វណាមួយដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ | |
| 2B | ធ ៤ (សញ្ញានៃការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ)ប្រសិនបើបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នានៃយន្តហោះគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វទាំងពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ នោះវាក៏កាត់កែងទៅគ្រប់បន្ទាត់ទីបីដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ។ | |
| 2B | ធ ៥ (អំពីបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរដែលកាត់កែងទៅទីបី) ។ប្រសិនបើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមួយក្នុងចំណោមបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលទាំងពីរកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ នោះបន្ទាត់ផ្សេងទៀតក៏កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនេះដែរ។ | |
| 2G | Def. មុំរវាងបន្ទាត់ និងយន្តហោះ គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះ។ | |
| 2D | Def ទំនោរទៅយន្តហោះនេះ (សូមមើលរូបខាងក្រោម)។ Def. ការព្យាករណ៍នៃយន្តហោះទំនោរហៅថាផ្នែកដែលតភ្ជាប់មូលដ្ឋានកាត់កែង និងទំនោរ។ ធ ៦ (អំពីប្រវែងកាត់កែង និងទំនោរ)។ 1) កាត់កែងទៅយន្តហោះខ្លីជាងទំនោរទៅយន្តហោះនេះ; 2) obliques ស្មើគ្នាត្រូវគ្នាទៅនឹងការព្យាករស្មើគ្នា; 3) ក្នុងចំណោមទំនោរទាំងពីរ អ្នកដែលព្យាករណ៍គឺធំជាង។ | |
| 2 អ៊ី | ធ ៧ (ប្រហែលបីកាត់កែង)។បន្ទាត់ត្រង់ដែលគូរនៅលើយន្តហោះឆ្លងកាត់មូលដ្ឋាននៃយន្តហោះទំនោរកាត់កែងទៅនឹងការព្យាកររបស់វាក៏កាត់កែងទៅនឹងទំនោរខ្លួនវាដែរ។ ធ ៨ (បញ្ច្រាស) ។បន្ទាត់ត្រង់ដែលគូរនៅលើយន្តហោះឆ្លងកាត់មូលដ្ឋាននៃយន្តហោះទំនោរ និងកាត់កែងទៅវាក៏កាត់កែងទៅនឹងការព្យាករនៃយន្តហោះទំនោរទៅលើយន្តហោះនេះ។ | |
| 3A | ដោយ axiom 2. ប្រសិនបើចំនុចពីរនៃបន្ទាត់មួយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ នោះចំនុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនេះ |
- ការរៀបចំគ្នាទៅវិញទៅមកនៃយន្តហោះនៅក្នុងលំហ។
នៅក្នុងលំហ យន្តហោះអាចមាន ប៉ារ៉ាឡែលឬ ឈើឆ្កាង។
| 1A | Def. ពីរ យន្តហោះត្រូវបានហៅ ប៉ារ៉ាឡែលប្រសិនបើពួកគេមិនប្រសព្វ។ | |
| ធ ៩ (សញ្ញានៃយន្តហោះស្របគ្នា)។ប្រសិនបើបន្ទាត់ប្រសព្វពីរនៃយន្តហោះមួយស្របគ្នានឹងបន្ទាត់ពីរនៃយន្តហោះផ្សេងទៀត នោះយន្តហោះទាំងនេះគឺស្របគ្នា។ | ||
| 1 ខ | T 10 ប្រសិនបើប្លង់ប៉ារ៉ាឡែលពីរត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះទីបី នោះបន្ទាត់ត្រង់នៃចំនុចប្រសព្វគឺស្របគ្នា។ (ទ្រព្យសម្បត្តិនៃយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល 1) ។ | |
| 1 ខ | T 11 ផ្នែកនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលដែលរុំព័ទ្ធរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលគឺស្មើគ្នា (ទ្រព្យសម្បត្តិនៃយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល 2) ។ | |
| 2 ក | យោងតាម axiom 3 ។ ប្រសិនបើយន្តហោះទាំងពីរមានចំណុចរួម នោះពួកវាមានបន្ទាត់រួមដែលចំណុចរួមទាំងអស់នៃយន្តហោះទាំងនេះស្ថិតនៅ ( យន្តហោះប្រសព្វគ្នាក្នុងបន្ទាត់ត្រង់). | |
| 2B | ធ ១២ (សញ្ញានៃការកាត់កែងនៃយន្តហោះ) ។ប្រសិនបើយន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះផ្សេងទៀត នោះយន្តហោះទាំងនេះគឺកាត់កែង។ | |
| 2B | Def. មុំ Dihedralគឺជារូបដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរដែលចេញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ យន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងគែមនៃមុំ dihedral កាត់មុខរបស់វាតាមកាំរស្មីពីរ។ មុំដែលបង្កើតឡើងដោយកាំរស្មីទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា មុំលីនេអ៊ែរនៃមុំ dihedral ។នៅខាងក្រោយ រង្វាស់មុំ dihedralរង្វាស់នៃមុំលីនេអ៊ែរដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានយក។ |
I5 អ្វីក៏ដោយដែលចំណុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ វាមានយន្តហោះភាគច្រើនឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ។
I6 ប្រសិនបើចំនុចពីរ A និង B នៃបន្ទាត់មួយស្ថិតនៅលើយន្តហោះ a នោះចំនុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់មួយស្ថិតនៅលើយន្តហោះ a ។ (ក្នុងករណីនេះ យើងនឹងនិយាយថា បន្ទាត់មួយស្ថិតក្នុងយន្តហោះ a ឬយន្តហោះនោះកាត់តាមបន្ទាត់ a ។
I7 ប្រសិនបើប្លង់ពីរ a និង b មានចំនុចរួម A នោះពួកវាមានចំនុចរួមមួយយ៉ាងតិច B ។
I8 មានយ៉ាងហោចណាស់បួនចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយ។
រួចហើយពី axioms ទាំង 8 នេះ គេអាចកាត់យកទ្រឹស្តីបទជាច្រើននៃធរណីមាត្របឋម ដែលជាក់ស្តែងជាក់ស្តែង ហើយដូច្នេះវាមិនត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញនៅក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រសាលាទេ ហើយសូម្បីតែពេលខ្លះសម្រាប់ហេតុផលឡូជីខល រួមបញ្ចូលនៅក្នុង axioms នៃសាលាមួយ ឬមួយផ្សេងទៀត។ វគ្គសិក្សា
ឧទាហរណ៍:
1. បន្ទាត់ពីរមានចំណុចរួមមួយ។
2. ប្រសិនបើយន្តហោះទាំងពីរមានចំនុចរួម នោះពួកវាមានបន្ទាត់រួមដែលចំនុចរួមទាំងអស់នៃយន្តហោះទាំងពីរនេះស្ថិតនៅ
ភស្តុតាង៖ (សម្រាប់បង្ហាញ)៖
ដោយ I 7$ B ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ a និង b ផងដែរព្រោះ A, B "a, បន្ទាប់មកយោងទៅតាម I 6 AB" b ។ នេះមានន័យថាបន្ទាត់ត្រង់ AB គឺជារឿងធម្មតាសម្រាប់យន្តហោះទាំងពីរ។
3. តាមរយៈបន្ទាត់មួយ និងចំនុចមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើវា ក៏ដូចជាតាមរយៈបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរ មានឆ្លងកាត់មួយ និងតែមួយ។
4. នៅលើយន្តហោះនីមួយៗមានចំណុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។
មតិ៖ ដោយប្រើ axioms ទាំងនេះ អ្នកអាចបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទមួយចំនួន ហើយភាគច្រើននៃពួកគេគឺសាមញ្ញណាស់។ ជាពិសេស វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបញ្ជាក់ពី axioms ទាំងនេះថា សំណុំនៃធាតុធរណីមាត្រគឺគ្មានកំណត់។
ក្រុមទី II Axioms នៃលំដាប់។
ប្រសិនបើចំណុចបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ នោះមួយក្នុងចំណោមពួកគេអាចទាក់ទងទៅនឹងពីរផ្សេងទៀតនៅក្នុងទំនាក់ទំនង "កុហករវាង" ដែលបំពេញនូវ axioms ខាងក្រោម:
II1 ប្រសិនបើ B ស្ថិតនៅចន្លោះ A និង C នោះ A, B, C គឺជាចំនុចផ្សេងគ្នានៃបន្ទាត់ដូចគ្នា ហើយ B ស្ថិតនៅចន្លោះ C និង A ។
II2 មិនថាចំណុចទាំងពីរ A និង B យ៉ាងណាក៏ដោយ យ៉ាងហោចណាស់មានចំណុច C នៅលើបន្ទាត់ AB ដែល B ស្ថិតនៅចន្លោះ A និង C ។
II3 ក្នុងចំណោមចំណុចទាំងបីនៅលើបន្ទាត់មួយ មានចំណុចមួយភាគច្រើនស្ថិតនៅចន្លោះចំណុចពីរផ្សេងទៀត។
យោងតាមលោក Hilbert លើផ្នែក AB(BA) យើងមានន័យថាគូនៃចំនុច A និង B ។ ចំនុច A និង B ត្រូវបានគេហៅថាចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក ហើយចំនុចណាមួយដែលស្ថិតនៅចន្លោះចំនុច A និង B ត្រូវបានគេហៅថាចំនុចខាងក្នុងនៃផ្នែក។ AB (BA) ។
មតិយោបល់៖ប៉ុន្តែពី II 1-II 3 វាមិនទាន់ធ្វើតាមថាគ្រប់ផ្នែកមានចំណុចខាងក្នុងទេ ប៉ុន្តែពី II 2 Þ ថាផ្នែកមានចំណុចខាងក្រៅ។
II4 ( axiom របស់ Pasch ) ទុក A, B, C ជាចំនុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ ហើយទុកជាបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងយន្តហោះ ABC ដែលមិនឆ្លងកាត់ចំនុចណាមួយ A, B, C ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រង់មួយឆ្លងកាត់ចំណុចនៅលើផ្នែក AB នោះវាក៏ឆ្លងកាត់ចំណុចនៅលើផ្នែក AC ឬ BC ផងដែរ។
Sl.1: អ្វីក៏ដោយចំនុច A និង C យ៉ាងហោចណាស់មានចំនុច D មួយនៅលើបន្ទាត់ AC ដែលស្ថិតនៅចន្លោះ A និង C ។
ឯកសារ: I 3 Þ$ i.e. មិនកុហកនៅលើបន្ទាត់ AC
ល.២.ប្រសិនបើ C ស្ថិតនៅលើផ្នែក AD និង B រវាង A និង C នោះ B ស្ថិតនៅចន្លោះ A និង D ហើយ C រវាង B និង D ។ឥឡូវនេះយើងអាចបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពីរ
DC3សេចក្តីថ្លែងការណ៍ II 4 ក៏ទទួលបានផងដែរ ប្រសិនបើចំណុច A, B និង C ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។
ហើយអ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុត។
កម្រិត 4 . រវាងចំណុចទាំងពីរណាមួយនៅលើបន្ទាត់មួយ មានចំនួនមិនកំណត់នៃចំណុចផ្សេងទៀត (ខ្លួនឯង)។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនអាចត្រូវបានកំណត់ថាសំណុំនៃចំណុចនៅលើបន្ទាត់គឺមិនអាចរាប់បាន។ .
Axioms នៃក្រុម I និង II អនុញ្ញាតឱ្យយើងណែនាំគំនិតសំខាន់ៗដូចជា ពាក់កណ្តាលយន្តហោះ កាំរស្មី ពាក់កណ្តាលលំហ និងមុំ. ជាដំបូង ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទ។
ធ១. បន្ទាត់មួយដែលដេកនៅក្នុងយន្តហោះ a បែងចែកសំណុំនៃចំនុចនៃយន្តហោះនេះដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ a ទៅជាពីររងដែលមិនទទេ ដូច្នេះប្រសិនបើចំនុច A និង B ជារបស់រងដូចគ្នានោះ ចម្រៀក AB មិនមានជារឿងធម្មតាទេ។ ចំណុចជាមួយបន្ទាត់ a; ប្រសិនបើចំណុចទាំងនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែករងផ្សេងៗគ្នា នោះផ្នែក AB មានចំណុចរួមជាមួយបន្ទាត់ a ។
គំនិត៖ ទំនាក់ទំនងមួយត្រូវបានណែនាំគឺ A និង B Ï កស្ថិតនៅក្នុងទំនាក់ទំនង Δ ប្រសិនបើផ្នែក AB មិនមានចំនុចធម្មតាជាមួយបន្ទាត់ កឬចំណុចទាំងនេះស្របគ្នា។ បន្ទាប់មកសំណុំនៃថ្នាក់សមមូលទាក់ទងនឹងទំនាក់ទំនង Δ ត្រូវបានពិចារណា។ វាត្រូវបានបង្ហាញថាមានតែពីរនាក់ប៉ុណ្ណោះក្នុងចំណោមពួកគេដែលប្រើហេតុផលសាមញ្ញ។
Odr1សំណុំរងនីមួយៗនៃចំណុចដែលកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទមុនត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះពាក់កណ្តាលដែលមានព្រំដែន a ។
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងអាចណែនាំគោលគំនិតនៃកាំរស្មី និងលំហពាក់កណ្តាល។
កាំរស្មី- hហើយបន្ទាត់ត្រង់គឺ។
Odr2មុំគឺជាកាំរស្មីគូ h និង k ដែលចេញពីចំណុចដូចគ្នា O ហើយមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ ដូច្នេះ O ត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃមុំ ហើយកាំរស្មី h និង k គឺជាជ្រុងនៃមុំ។ យើងសម្គាល់វាតាមរបៀបធម្មតា៖ Ðhk ។
ចំនុច M ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចខាងក្នុងនៃមុំ hk ប្រសិនបើចំនុច M និង ray k ស្ថិតនៅពាក់កណ្តាលយន្តហោះដូចគ្នាជាមួយនឹងព្រំដែន ហើយចំនុច M និង ray k ស្ថិតនៅពាក់កណ្តាលយន្តហោះដូចគ្នាជាមួយនឹងព្រំដែន។ សំណុំនៃចំណុចខាងក្នុងទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថាតំបន់ខាងក្នុងនៃមុំមួយ។.
តំបន់ខាងក្រៅនៃជ្រុងគឺជាសំណុំគ្មានកំណត់, ដោយសារតែ ចំណុចទាំងអស់នៃផ្នែកដែលមានចុងនៅជ្រុងផ្សេងគ្នានៃមុំមួយគឺផ្នែកខាងក្នុង។ ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមត្រូវបានរួមបញ្ចូលជាញឹកញាប់នៅក្នុង axioms សម្រាប់ហេតុផលវិធីសាស្រ្ត។
អចលនទ្រព្យ៖ ប្រសិនបើកាំរស្មីចេញមកពីចំនុចកំពូលនៃមុំមួយ ហើយឆ្លងកាត់យ៉ាងហោចណាស់ចំនុចខាងក្នុងមួយនៃមុំនេះ នោះវាប្រសព្វផ្នែកណាមួយដែលមានចុងនៅជ្រុងផ្សេងគ្នានៃមុំ។ (ខ្លួនឯង)
ក្រុម III ។ សទិសន័យនៃសមភាព (សមភាព)
នៅលើសំណុំនៃផ្នែក និងមុំ ទំនាក់ទំនងនៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា ឬសមភាពត្រូវបានណែនាំ (តំណាងដោយ "=") ដែលបំពេញនូវ axioms:
III 1 ប្រសិនបើផ្នែក AB និងកាំរស្មីដែលផុសចេញពីចំណុច A/ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះ $t.B/ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់កាំរស្មីនេះ ដូច្នេះ AB = A / B/ ។
III 2 ប្រសិនបើ A / B / =AB និង A // B // =AB បន្ទាប់មក A / B / =A // B // ។
III 3 អនុញ្ញាតឱ្យ A-B-C, A / -B / -C / , AB = A / B / និង BC = B / C / បន្ទាប់មក AC = A / C /
Odr3ប្រសិនបើ O / គឺជាចំនុចមួយ h / គឺជាកាំរស្មីដែលចេញពីចំណុចនេះ ហើយ l / គឺជាពាក់កណ្តាលយន្តហោះដែលមានព្រំដែន បន្ទាប់មកវត្ថុបីដង O / , h / និង l / ត្រូវបានគេហៅថាទង់ (O / , h / , លីត្រ /) ។
III 4 អនុញ្ញាតឱ្យÐhk និងទង់ (О / ,h / ,l /) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងពាក់កណ្តាលយន្តហោះ l / មានកាំរស្មីតែមួយគត់ k / ផុសចេញពីចំណុច O / ដូចជា Ðhk = Ðh / k / ។
III 5 សូមអោយ A, B និង C ជាចំនុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ ប្រសិនបើក្នុងករណីនេះ AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC បន្ទាប់មក ÐABC = ÐA / B / C / ។
1. ចំណុច B/B III 1 គឺតែមួយគត់នៅលើធ្នឹមនេះ (ខ្លួនឯង)
2. ទំនាក់ទំនង congruence of segments គឺជាទំនាក់ទំនងសមមូលនៅលើសំណុំនៃ segments ។
3. នៅក្នុងត្រីកោណ isosceles មុំនៅមូលដ្ឋានគឺស្មើគ្នា។ (យោងទៅតាម III 5) ។
4. សញ្ញានៃភាពស្មើគ្នានៃត្រីកោណ។
5. ទំនាក់ទំនងរវាងមុំគឺជាទំនាក់ទំនងសមមូលលើសំណុំមុំ។ (របាយការណ៍)
6. មុំខាងក្រៅនៃត្រីកោណមួយគឺធំជាងមុំនីមួយៗនៃត្រីកោណដែលមិននៅជាប់នឹងវា។
7. នៅក្នុងត្រីកោណនីមួយៗ មុំធំជាងស្ថិតនៅទល់មុខផ្នែកធំជាង។
8. ផ្នែកណាមួយមានចំណុចកណ្តាលមួយ និងតែមួយគត់
9. មុំណាមួយមាន bisector មួយនិងតែមួយគត់
គំនិតខាងក្រោមអាចត្រូវបានណែនាំ៖
Odr4មុំស្មើនឹងជ្រុងជាប់គ្នាត្រូវបានហៅថាមុំស្តាំ.
អ្នកអាចកំណត់មុំបញ្ឈរ កាត់កែង និង oblique ។ល។
វាអាចទៅរួចដើម្បីបញ្ជាក់ពីភាពប្លែកនៃ ^ ។ អ្នកអាចណែនាំគំនិត > និង< для отрезков и углов:
Odr5ប្រសិនបើផ្នែក AB និង A / B / និង $ t.C ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ពោលគឺ A / -C-B / និង A / C = AB បន្ទាប់មក A / B / > AB ។
Odr6ប្រសិនបើមុំពីរ Ðhk និង Ðh / k / ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយប្រសិនបើតាមរយៈតំបន់ខាងក្នុង Ðhk និង vertex របស់វាអាចគូរកាំរស្មី l ដូចជា Ðh / k / = Ðhl បន្ទាប់មក Ðhk > Ðh / k / ។
ហើយអ្វីដែលគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បំផុតនោះគឺថាដោយមានជំនួយពី axioms នៃក្រុម I-III អាចណែនាំពីគំនិតនៃចលនា (superposition) ។
វាត្រូវបានធ្វើអ្វីមួយដូចនេះ៖
អនុញ្ញាតឱ្យពីរសំណុំនៃចំណុច p និង p / ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយើងសន្មតថាការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងរវាងចំនុចនៃសំណុំទាំងនេះ។ គូនីមួយៗនៃចំណុច M និង N នៃសំណុំ p កំណត់ផ្នែក MN ។ សូមឱ្យ M / និង N / ជាចំណុចនៃសំណុំ p / ដែលត្រូវគ្នានឹងពិន្ទុ MN ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងយល់ព្រមហៅផ្នែក M / N / ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងផ្នែក MN ។
Odr7ប្រសិនបើការឆ្លើយឆ្លងរវាង p និង p / គឺដូចជាផ្នែកដែលត្រូវគ្នាតែងតែប្រែទៅជាស្របគ្នានោះ សំណុំ p និង p / ត្រូវបានគេហៅថា congruent . លើសពីនេះទៅទៀតពួកគេក៏និយាយផងដែរថាសំណុំនីមួយៗ p និង p / ត្រូវបានទទួល ចលនាពីឈុតផ្សេងទៀត ឬមួយឈុតទាំងនេះអាចត្រូវបានដាក់ពីលើមួយទៀត។ ចំនុចដែលត្រូវគ្នានៃសំណុំ p និង p/ ត្រូវបានគេហៅថាត្រួតលើគ្នា។
ការអនុម័ត 1: ចំនុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ នៅពេលដែលផ្លាស់ទី បំលែងទៅជាចំនុចដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ជាក់លាក់មួយ។
Utv2 មុំរវាងចម្រៀកពីរដែលតភ្ជាប់ចំណុចនៃសំណុំមួយជាមួយនឹងចំណុចពីរផ្សេងទៀតរបស់វា គឺស្របទៅនឹងមុំរវាងផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសំណុំស្របគ្នា។
អ្នកអាចណែនាំគំនិតនៃការបង្វិល ការផ្លាស់ប្តូរ សមាសភាពនៃចលនា។ល។
ក្រុម IV ។ ការបន្តនៃអ័ក្ស និង។
IV 1 (Axiom of Archimedes) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ AB និង CD ជាផ្នែកខ្លះ។ បន្ទាប់មកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ AB មានកំណត់ចំណុច A 1, A 2, ... , A n ដែលលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ... , A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-An
IV2 (Axiom របស់ Cantor) អនុញ្ញាតឱ្យលំដាប់គ្មានកំណត់នៃចម្រៀក A1B1, A2B2,... ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើបន្ទាត់បំពាន a ដែលផ្នែកបន្ទាប់នីមួយៗស្ថិតនៅខាងក្នុងផ្នែកមុន ហើយលើសពីនេះទៀត សម្រាប់ផ្នែកណាមួយនៃស៊ីឌីមានលេខធម្មជាតិ។ n បែបនោះ AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
