បន្ទាប់ពីការរៀបចំកាំភ្លើងធំបឋមឧទាហរណ៍ដែលមានមុខងារ 3-4-5 សំបុកនឹងមិនសូវគួរឱ្យខ្លាចទេ។ ឧទាហរណ៍ពីរខាងក្រោមអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញសម្រាប់អ្នកខ្លះ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកយល់ពីពួកគេ (នរណាម្នាក់នឹងរងទុក្ខ) នោះស្ទើរតែអ្វីៗផ្សេងទៀតនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងហាក់ដូចជារឿងកំប្លែងរបស់កុមារ។
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចហើយនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាដំបូងវាចាំបាច់ ត្រូវហើយ។ស្វែងយល់ពីការវិនិយោគរបស់អ្នក។ ក្នុងករណីមានការសង្ស័យ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកអំពីបច្ចេកទេសដ៏មានប្រយោជន៍មួយ៖ យើងយកតម្លៃពិសោធន៍នៃ "x" ជាឧទាហរណ៍ ហើយព្យាយាម (ផ្លូវចិត្ត ឬក្នុងសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីជំនួសតម្លៃនេះទៅជា "កន្សោមដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ។
1) ដំបូងយើងត្រូវគណនាកន្សោមដែលមានន័យថាផលបូកគឺជាការបង្កប់ជ្រៅបំផុត។
2) បន្ទាប់មកអ្នកត្រូវគណនាលោការីត៖
4) បន្ទាប់មកគូបកូស៊ីនុស:
5) នៅជំហានទីប្រាំភាពខុសគ្នាគឺ:
៦) ហើយចុងក្រោយ មុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺឫសការ៉េ៖ 
រូបមន្តសម្រាប់បែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ 
ត្រូវបានអនុវត្តតាមលំដាប់បញ្ច្រាស ពីមុខងារខាងក្រៅបំផុតទៅខាងក្នុងបំផុត។ យើងសម្រេចចិត្ត៖
វាហាក់ដូចជាមិនមានកំហុសទេ៖
1) យកដេរីវេនៃឫសការ៉េ។
2) យកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាដោយប្រើក្បួន 
3) ដេរីវេនៃបីគឺសូន្យ។ នៅក្នុងពាក្យទីពីរយើងយកដេរីវេនៃសញ្ញាប័ត្រ (គូប) ។
4) យកដេរីវេនៃកូស៊ីនុស។
6) ហើយចុងក្រោយយើងយកដេរីវេនៃការបង្កប់ជ្រៅបំផុត។
វាហាក់ដូចជាពិបាកពេក ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាឧទាហរណ៍ដ៏ឃោរឃៅបំផុតនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ ចូរយកការប្រមូលរបស់ Kuznetsov ហើយអ្នកនឹងពេញចិត្តចំពោះភាពស្រស់ស្អាត និងភាពសាមញ្ញនៃដេរីវេដែលបានវិភាគ។ ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ឃើញថាពួកគេចូលចិត្តផ្តល់រឿងស្រដៀងគ្នានៅក្នុងការប្រឡងដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើសិស្សយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ ឬមិនយល់។
ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមគឺសម្រាប់អ្នកដើម្បីដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ព័ត៌មានជំនួយ៖ ជាដំបូងយើងអនុវត្តច្បាប់លីនេអ៊ែរ និងច្បាប់ភាពខុសគ្នានៃផលិតផល
ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។
ដល់ពេលត្រូវបន្តទៅអ្វីដែលតូចជាង និងស្អាតជាង។
វាមិនមែនជារឿងចម្លែកទេសម្រាប់ឧទាហរណ៍ដើម្បីបង្ហាញផលិតផលមិនមែនពីរ ប៉ុន្តែមុខងារបី។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃផលនៃកត្តាបី?
ឧទាហរណ៍ 4
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
ដំបូងយើងមើល តើវាអាចបង្វែរផលិតផលនៃមុខងារបីទៅជាផលិតផលនៃមុខងារពីរបានទេ? ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងមានពហុនាមពីរនៅក្នុងផលិតផល យើងអាចបើកតង្កៀប។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា មុខងារទាំងអស់គឺខុសគ្នា៖ ដឺក្រេ និទស្សន្ត និងលោការីត។
ក្នុងករណីបែបនេះវាចាំបាច់ ជាបន្តបន្ទាប់អនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល 
ពីរដង
ល្បិចគឺថាដោយ "y" យើងបង្ហាញពីផលិតផលនៃមុខងារពីរ: និងដោយ "ve" យើងបង្ហាញពីលោការីត: . ហេតុអ្វីបានជានេះអាចត្រូវបានធ្វើ? តើវាពិតជាមែនទេ? 
- នេះមិនមែនជាផលិតផលនៃកត្តាពីរហើយច្បាប់មិនដំណើរការ?! មិនមានអ្វីស្មុគស្មាញទេ៖
ឥឡូវនេះវានៅតែត្រូវអនុវត្តច្បាប់ជាលើកទីពីរ តង្កៀប៖
អ្នកក៏អាចបត់បែន និងដាក់អ្វីមួយចេញពីតង្កៀបបានដែរ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការទុកចំលើយយ៉ាងពិតប្រាកដនៅក្នុងទម្រង់នេះ - វានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យ។
ឧទាហរណ៍ដែលពិចារណាអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីទីពីរ៖
ដំណោះស្រាយទាំងពីរគឺពិតជាសមមូល។
ឧទាហរណ៍ 5
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះគឺជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យមួយនៅក្នុងគំរូវាត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដំបូង។
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នាជាមួយប្រភាគ។
ឧទាហរណ៍ ៦
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
មានវិធីជាច្រើនដែលអ្នកអាចទៅទីនេះ៖
ឬដូចនេះ៖
ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយនឹងត្រូវបានសរសេរកាន់តែបង្រួម ប្រសិនបើយើងប្រើក្បួននៃភាពខុសគ្នានៃកូតាដំបូង 
យកសម្រាប់ភាគយកទាំងមូល៖
ជាគោលការណ៍ឧទាហរណ៍ត្រូវបានដោះស្រាយហើយប្រសិនបើវាត្រូវបានទុកចោលនោះវានឹងមិនមានកំហុសទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកមានពេលវេលា វាជាការណែនាំឱ្យពិនិត្យមើលលើសេចក្តីព្រាងជានិច្ចដើម្បីមើលថាតើចម្លើយអាចត្រូវបានសាមញ្ញ?
ចូរកាត់បន្ថយកន្សោមនៃភាគយកទៅជាភាគបែងរួម ហើយកម្ចាត់រចនាសម្ព័ន្ធបីជាន់នៃប្រភាគ:
គុណវិបត្តិនៃភាពសាមញ្ញបន្ថែមគឺថាមានហានិភ័យនៃការធ្វើឱ្យមានកំហុសមិនមែននៅពេលរកឃើញដេរីវេទេ ប៉ុន្តែក្នុងអំឡុងពេលនៃការផ្លាស់ប្តូរសាលា banal ។ ម៉្យាងវិញទៀត គ្រូបង្រៀនជារឿយៗបដិសេធកិច្ចការនេះ ហើយសុំឱ្យ "យកវាមកគិត" ពីដេរីវេ។
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញដើម្បីដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង៖
ឧទាហរណ៍ ៧
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
យើងបន្តធ្វើជាម្ចាស់លើវិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកដេរីវេ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាករណីធម្មតានៅពេលដែលលោការីត "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" ត្រូវបានស្នើឡើងសម្រាប់ភាពខុសគ្នា
បញ្ហានៃការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាបញ្ហាចម្បងមួយនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យានៅវិទ្យាល័យ និងនៅក្នុងគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា។ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការរុករកមុខងារមួយយ៉ាងពេញលេញ និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វាដោយមិនយកដេរីវេរបស់វា។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍អាចត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងងាយស្រួល ប្រសិនបើអ្នកដឹងពីច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នា ក៏ដូចជាតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍មូលដ្ឋាន។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ។
ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ នៅពេលដែលការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅសូន្យ។
ការយល់ដឹងអំពីនិយមន័យនេះគឺពិបាកណាស់ ចាប់តាំងពីគោលគំនិតនៃដែនកំណត់មួយមិនត្រូវបានសិក្សាពេញលេញនៅក្នុងសាលា។ ប៉ុន្តែដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ផ្សេងៗ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការយល់ពីនិយមន័យទេ ចូរទុកវាឱ្យអ្នកគណិតវិទ្យា ហើយបន្តទៅការស្វែងរកដេរីវេ។
ដំណើរការនៃការស្វែងរកដេរីវេត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។ នៅពេលដែលយើងបែងចែកមុខងារមួយ យើងនឹងទទួលបានមុខងារថ្មី។
ដើម្បីកំណត់ពួកវា យើងនឹងប្រើអក្សរឡាតាំង f, g ។ល។
មានសញ្ញាណផ្សេងគ្នាជាច្រើនសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុ។ យើងនឹងប្រើជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ឧទាហរណ៍ ការសរសេរ g" មានន័យថាយើងនឹងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍ g ។
តារាងដេរីវេ
ដើម្បីឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេ វាចាំបាច់ក្នុងការផ្តល់តារាងនៃដេរីវេនៃមុខងារសំខាន់ៗ។ ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម វាមិនចាំបាច់ធ្វើការគណនាស្មុគស្មាញទេ។ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការមើលតម្លៃរបស់វានៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។
- (sin x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)" = e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=500។
យើងឃើញថានេះជាអថេរ។ ពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ គេដឹងថាដេរីវេនៃថេរគឺស្មើនឹងសូន្យ (រូបមន្ត ១)។
ឧទាហរណ៍ 2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=x 100។
នេះគឺជាអនុគមន៍ថាមពលដែលនិទស្សន្តគឺ 100 ហើយដើម្បីស្វែងរកដេរីវេរបស់វា អ្នកត្រូវគុណអនុគមន៍ដោយនិទស្សន្ត ហើយកាត់បន្ថយវាដោយ 1 (រូបមន្ត 3)។
(x 100)"= 100 x 99
ឧទាហរណ៍ 3. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=5 x
នេះគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ចូរយើងគណនាដេរីវេរបស់វាដោយប្រើរូបមន្ត 4 ។
ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= log 4 x
យើងរកឃើញដេរីវេនៃលោការីតដោយប្រើរូបមន្ត 7 ។
(កំណត់ហេតុ 4 x)"= 1/x ln 4
ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ប្រសិនបើវាមិនមាននៅក្នុងតារាង។ អនុគមន៍ភាគច្រើនដែលបានសិក្សាមិនមែនជាបឋមទេ ប៉ុន្តែជាការបន្សំនៃអនុគមន៍បឋមដោយប្រើប្រតិបត្តិការសាមញ្ញ (បូក ដក គុណ ចែក និងគុណដោយលេខ)។ ដើម្បីស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុរបស់ពួកគេ អ្នកត្រូវដឹងពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។ ខាងក្រោម អក្សរ f និង g តំណាងឱ្យមុខងារ ហើយ C គឺជាថេរ។
1. មេគុណថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ
ឧទាហរណ៍ 5. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= 6*x 8
យើងយកកត្តាថេរនៃ 6 ហើយបែងចែកតែ x 4 ប៉ុណ្ណោះ។ នេះគឺជាអនុគមន៍ថាមពល ដែលជាដេរីវេនៃដែលត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តទី 3 នៃតារាងដេរីវេ។
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x7 =48* x 7
2. ដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ
(f + g)"=f" + g"
ឧទាហរណ៍ 6. រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= x 100 +sin x
អនុគមន៍គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរដែលជានិស្សន្ទវត្ថុដែលយើងអាចរកឃើញពីតារាង។ ចាប់តាំងពី (x 100)"= 100 x 99 និង (sin x)" = cos x ។ ដេរីវេនៃផលបូកនឹងស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះ៖
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. ដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃដេរីវេ
(f – g)"=f"–g"
ឧទាហរណ៍ 7. រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= x 100 – cos x
អនុគមន៍នេះគឺជាភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ពីរ ដែលជានិស្សន្ទវត្ថុដែលយើងអាចរកឃើញក្នុងតារាងផងដែរ។ បន្ទាប់មកដេរីវេនៃភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយកុំភ្លេចផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាចាប់តាំងពី (cos x)"= – sin x ។
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
ឧទាហរណ៍ 8. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=e x +tg x– x 2 ។
អនុគមន៍នេះមានទាំងផលបូកនិងភាពខុសគ្នា ចូរយើងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុនៃពាក្យនីមួយៗ៖
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x ។ បន្ទាប់មក ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដើមគឺស្មើនឹង៖
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x −2 x
4. ដេរីវេនៃផលិតផល
(f * g)"=f" * g + f * g"
ឧទាហរណ៍ 9. រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= cos x *e x
ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃកត្តានីមួយៗ (cos x)"=–sin x និង (e x)"=e x ។ ឥឡូវនេះសូមជំនួសអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅក្នុងរូបមន្តផលិតផល។ យើងគុណដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីមួយដោយទីពីរ ហើយបន្ថែមផលគុណនៃអនុគមន៍ទីមួយដោយដេរីវេនៃអនុគមន៍ទីពីរ។
(cos x* e x)"= e x cos x – e x * sin x
5. ដេរីវេនៃកូតា
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
ឧទាហរណ៍ 10. រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y= x 50 /sin x
ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃ quotient ដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃភាគយក និងភាគបែងដាច់ដោយឡែកពីគ្នា៖ (x 50)"=50 x 49 និង (sin x)"= cos x ។ ការជំនួសដេរីវេនៃកូតាទៅក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបាន៖
(x 50 / sin x)"= 50x 49 * sin x – x 50 * cos x/sin 2 x
ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ
អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលតំណាងដោយសមាសភាពនៃអនុគមន៍ជាច្រើន។ វាក៏មានច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញផងដែរ៖
(u (v))"=u"(v)*v"
ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារបែបនេះ។ ឲ្យ y= u(v(x)) ជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ។ ចូរហៅមុខងារ u ខាងក្រៅ និង v - ខាងក្នុង។
ឧទាហរណ៍:
y = sin (x 3) គឺជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ។
បន្ទាប់មក y=sin(t) គឺជាមុខងារខាងក្រៅ
t = x 3 - ខាងក្នុង។
ចូរយើងព្យាយាមគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ។ យោងតាមរូបមន្តអ្នកត្រូវគុណដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុងនិងខាងក្រៅ។
(sin t)"=cos (t) - ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ (ដែល t = x 3)
(x 3)"=3x 2 - ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង
បន្ទាប់មក (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 គឺជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ។
កាលបរិច្ឆេទ៖ 11/20/2014
តើអ្វីជានិស្សន្ទវត្ថុ?
តារាងដេរីវេ។
ដេរីវេគឺជាគំនិតសំខាន់មួយនៃគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង។ នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងណែនាំអំពីគំនិតនេះ។ ចូរយើងស្គាល់គ្នាដោយគ្មានរូបមន្តគណិតវិទ្យាតឹងរ៉ឹងនិងភស្តុតាង។
អ្នកស្គាល់គ្នានេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នក៖
ស្វែងយល់ពីខ្លឹមសារនៃកិច្ចការសាមញ្ញជាមួយនិស្សន្ទវត្ថុ;
ដោះស្រាយកិច្ចការសាមញ្ញបំផុតទាំងនេះដោយជោគជ័យ;
រៀបចំសម្រាប់មេរៀនដ៏ធ្ងន់ធ្ងរបន្ថែមទៀតអំពីនិស្សន្ទវត្ថុ។
ទីមួយ - ការភ្ញាក់ផ្អើលរីករាយ។ )
និយមន័យដ៏តឹងរឹងនៃនិស្សន្ទវត្ថុគឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់ ហើយរឿងនេះគឺស្មុគស្មាញណាស់។ នេះជាការខកចិត្ត។ ប៉ុន្តែការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ, ជាក្បួន, មិនតម្រូវឱ្យមានចំណេះដឹងទូលំទូលាយនិងជ្រៅបែបនេះ!
ដើម្បីបញ្ចប់កិច្ចការភាគច្រើននៅសាលា និងសាកលវិទ្យាល័យដោយជោគជ័យ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹង គ្រាន់តែលក្ខខណ្ឌមួយចំនួន- ដើម្បីយល់ពីភារកិច្ច, និង ច្បាប់មួយចំនួន- ដើម្បីដោះស្រាយវា។ អស់ហើយ។ នេះធ្វើឱ្យខ្ញុំសប្បាយចិត្ត។
តោះចាប់ផ្តើមស្គាល់គ្នា?)
លក្ខខណ្ឌ និងការកំណត់។
មានប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាខុសៗគ្នាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យាបឋម។ បូក ដក គុណ និទស្សន្ត លោការីត ។ល។ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមប្រតិបត្តិការមួយបន្ថែមទៀតទៅប្រតិបត្តិការទាំងនេះ គណិតវិទ្យាបឋមកាន់តែខ្ពស់។ ប្រតិបត្តិការថ្មីនេះត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នា។និយមន័យ និងអត្ថន័យនៃប្រតិបត្តិការនេះនឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀនដាច់ដោយឡែក។
វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការយល់ដឹងនៅទីនេះថា ភាពខុសគ្នាគឺគ្រាន់តែជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាលើមុខងារមួយ។ យើងទទួលយកមុខងារណាមួយ ហើយយោងទៅតាមច្បាប់មួយចំនួន ផ្លាស់ប្តូរវា។ លទ្ធផលនឹងជាមុខងារថ្មី។ មុខងារថ្មីនេះត្រូវបានគេហៅថា៖ ដេរីវេ។
ភាពខុសគ្នា- សកម្មភាពលើមុខងារមួយ។
ដេរីវេ- លទ្ធផលនៃសកម្មភាពនេះ។
ដូចជាឧទាហរណ៍ ផលបូក- លទ្ធផលនៃការបន្ថែម។ ឬ ឯកជន- លទ្ធផលនៃការបែងចែក។
ដោយដឹងពីលក្ខខណ្ឌ យ៉ាងហោចណាស់អ្នកអាចយល់ពីកិច្ចការ។) ទម្រង់បែបបទមានដូចខាងក្រោម៖ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារមួយ; យកដេរីវេ; បែងចែកមុខងារ; គណនាដេរីវេលល។ នេះគឺទាំងអស់។ ដូចគ្នាជាការពិតណាស់ វាក៏មានកិច្ចការស្មុគ្រស្មាញជាច្រើនទៀត ដែលការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ (ភាពខុសគ្នា) នឹងគ្រាន់តែជាជំហានមួយក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។
ដេរីវេត្រូវបានបង្ហាញដោយសញ្ញាចុចនៅខាងស្តាំខាងលើនៃអនុគមន៍។ ដូចនេះ៖ y"ឬ f"(x)ឬ S"(t)លល។
ការអាន igrek stroke, ef stroke ពី x, es stroke ពី te,យល់ហើយ...)
prime ក៏អាចបង្ហាញពីដេរីវេនៃមុខងារជាក់លាក់មួយ ឧទាហរណ៍៖ (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)"ល។ ជាញឹកញាប់ និស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានតាងដោយប្រើឌីផេរ៉ង់ស្យែល ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនពិចារណាសញ្ញាណបែបនេះនៅក្នុងមេរៀននេះទេ។
ចូរសន្មតថាយើងបានរៀនយល់ពីភារកិច្ច។ អ្វីដែលនៅសេសសល់គឺត្រូវរៀនពីរបៀបដោះស្រាយវា។) ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកម្តងទៀត៖ ការស្វែងរកដេរីវេគឺ ការបំប្លែងមុខងារដោយយោងទៅតាមច្បាប់ជាក់លាក់។គួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលណាស់ដែលមានច្បាប់ទាំងនេះតិចតួចណាស់។
ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍មួយ អ្នកត្រូវដឹងតែបីយ៉ាងប៉ុណ្ណោះ។ សសរស្តម្ភចំនួនបីដែលភាពខុសគ្នាទាំងអស់ឈរ។ នេះគឺជាសសរស្តម្ភទាំងបីនេះ៖
1. តារាងដេរីវេ (រូបមន្តឌីផេរ៉ង់ស្យែល)។
3. ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។
ចូរចាប់ផ្តើមតាមលំដាប់លំដោយ។ នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិនិត្យមើលតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។
តារាងដេរីវេ។
មានមុខងារជាច្រើនគ្មានកំណត់នៅក្នុងពិភពលោក។ ក្នុងចំណោមឈុតនេះមានមុខងារដែលសំខាន់បំផុតសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ជាក់ស្តែង។ មុខងារទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងច្បាប់ធម្មជាតិទាំងអស់។ ពីមុខងារទាំងនេះ ដូចជាពីឥដ្ឋ អ្នកអាចសាងសង់អ្វីៗផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ថ្នាក់នៃមុខងារនេះត្រូវបានគេហៅថា មុខងារបឋម។វាគឺជាមុខងារទាំងនេះដែលត្រូវបានសិក្សានៅសាលា - លីនេអ៊ែរ, ការ៉េ, អ៊ីពែបូឡា។ល។
ភាពខុសគ្នានៃមុខងារ "ពីទទេ", i.e. ដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់ នេះគឺជារឿងដែលពឹងផ្អែកលើកម្លាំងពលកម្ម។ ហើយគណិតវិទូក៏ជាមនុស្សដែរ បាទ បាទ!) ដូច្នេះពួកគេបានសម្រួលជីវិត (និងយើង) របស់ពួកគេ។ ពួកគេបានគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមមុនយើង។ លទ្ធផលគឺជាតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ដែលអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងរួចរាល់។ )
នៅទីនេះវាគឺជាចាននេះសម្រាប់មុខងារពេញនិយមបំផុត។ នៅខាងឆ្វេងគឺជាអនុគមន៍បឋម ហើយនៅខាងស្តាំគឺជាដេរីវេរបស់វា។
| មុខងារ y |
ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y y" |
|
| 1 | C (តម្លៃថេរ) | គ" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - លេខណាមួយ) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | sin x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| អាកតាន x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | ក x |  |
| អ៊ី x | ||
| 5 | កំណត់ហេតុ ក x |  |
| ln x ( a = អ៊ី) |
ខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះក្រុមទីបីនៃមុខងារនៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុនេះ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលគឺជារូបមន្តសាមញ្ញបំផុតមួយ ប្រសិនបើមិនមែនជារឿងធម្មតាបំផុត! តើអ្នកទទួលបានតម្រុយទេ?) បាទ គួរដឹងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុដោយចិត្ត។ ដោយវិធីនេះវាមិនពិបាកដូចដែលវាហាក់ដូចជា។ ព្យាយាមដោះស្រាយឧទាហរណ៍បន្ថែមទៀត តារាងខ្លួនឯងនឹងត្រូវចងចាំ!)
ការស្វែងរកតម្លៃតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ដូចដែលអ្នកយល់ មិនមែនជាកិច្ចការពិបាកបំផុតនោះទេ។ ដូច្នេះជាញឹកញាប់នៅក្នុងភារកិច្ចបែបនេះមានបន្ទះសៀគ្វីបន្ថែម។ មិនថានៅក្នុងពាក្យនៃកិច្ចការ ឬមុខងារដើម ដែលហាក់ដូចជាមិនមាននៅក្នុងតារាង...
សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖
1. រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = x 3
មិនមានមុខងារបែបនេះនៅក្នុងតារាងទេ។ ប៉ុន្តែមានដេរីវេនៃមុខងារថាមពលនៅក្នុងទម្រង់ទូទៅ (ក្រុមទីបី) ។ ក្នុងករណីរបស់យើង n = 3 ។ ដូច្នេះយើងជំនួសបីជំនួសឱ្យ n ហើយសរសេរដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលទ្ធផល៖
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
នោះហើយជាវា។
ចម្លើយ៖ y" = 3x 2
2. រកតម្លៃនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = sinx ត្រង់ចំនុច x = 0 ។
ភារកិច្ចនេះមានន័យថាដំបូងអ្នកត្រូវតែស្វែងរកដេរីវេនៃស៊ីនុស ហើយបន្ទាប់មកជំនួសតម្លៃ x = 0ចូលទៅក្នុងដេរីវេដូចគ្នានេះ។ តាមលំដាប់នោះ!បើមិនដូច្នេះទេ វាកើតឡើងថាពួកគេជំនួសសូន្យភ្លាមៗទៅក្នុងអនុគមន៍ដើម... យើងត្រូវបានសួរឱ្យរកមិនឃើញតម្លៃនៃអនុគមន៍ដើម ប៉ុន្តែតម្លៃ ដេរីវេរបស់វា។និស្សន្ទវត្ថុ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នក គឺជាមុខងារថ្មីមួយ។
ដោយប្រើថេប្លេត យើងរកឃើញស៊ីនុស និងដេរីវេដែលត្រូវគ្នា៖
y" = (sin x)" = cosx
យើងជំនួសសូន្យទៅជាដេរីវេ៖
y"(0) = cos 0 = 1
នេះនឹងជាចម្លើយ។
3. បែងចែកមុខងារ៖
តើវាបំផុសគំនិតអ្វី?) មិនមានមុខងារបែបនេះនៅក្នុងតារាងដេរីវេទេ។
ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ដើម្បីបែងចែកមុខងារមួយគឺគ្រាន់តែស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារនេះ។ ប្រសិនបើអ្នកភ្លេចត្រីកោណមាត្របឋម ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងាររបស់យើងគឺមានបញ្ហាណាស់។ តុមិនជួយទេ...
ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងឃើញថាមុខងាររបស់យើងគឺ កូស៊ីនុសមុំទ្វេបន្ទាប់មកអ្វីៗនឹងប្រសើរឡើងភ្លាមៗ!
បាទបាទ! ចងចាំថាការផ្លាស់ប្តូរមុខងារដើម មុនពេលភាពខុសគ្នាអាចទទួលយកបាន! ហើយវាកើតឡើងដើម្បីធ្វើឱ្យជីវិតកាន់តែងាយស្រួល។ ដោយប្រើរូបមន្តកូស៊ីនុសមុំទ្វេ៖
ទាំងនោះ។ មុខងារល្បិចរបស់យើងគឺគ្មានអ្វីលើសពីនេះទេ។ y = cosx. ហើយនេះគឺជាមុខងារតារាង។ យើងទទួលបានភ្លាមៗ៖
ចម្លើយ៖ y" = - sin x.
ឧទាហរណ៍សម្រាប់និស្សិតបញ្ចប់ការសិក្សាកម្រិតខ្ពស់ និងនិស្សិត៖
4. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖
មិនមានមុខងារបែបនេះនៅក្នុងតារាងដេរីវេទេ ជាការពិត។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកចងចាំគណិតវិទ្យាបឋម ប្រតិបត្តិការជាមួយថាមពល... នោះវាពិតជាអាចទៅរួចក្នុងការធ្វើឱ្យមុខងារនេះងាយស្រួល។ ដូចនេះ៖
ហើយ x ទៅថាមពលនៃមួយភាគដប់គឺជាមុខងារតារាងរួចហើយ! ក្រុមទីបី n=1/10 ។ យើងសរសេរដោយផ្ទាល់តាមរូបមន្ត៖
អស់ហើយ។ នេះនឹងជាចម្លើយ។
ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាមួយនឹងសសរស្តម្ភដំបូងនៃភាពខុសគ្នា - តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ វានៅសល់ដើម្បីដោះស្រាយជាមួយត្រីបាឡែនពីរដែលនៅសល់។ នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងសិក្សាពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។
នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងរៀនអនុវត្តរូបមន្ត និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា។
ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
1. y=x 7 +x 5 −x 4 +x 3 −x 2 +x–9 ។ ការអនុវត្តច្បាប់ ខ្ញុំ, រូបមន្ត 4, 2 និង 1. យើងទទួលបាន:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1 ។
2. y=3x 6 −2x+5 ។ យើងដោះស្រាយស្រដៀងគ្នាដោយប្រើរូបមន្តដូចគ្នានិងរូបមន្ត 3.
y'=3∙6x 5 −2=18x 5 −2។
ការអនុវត្តច្បាប់ ខ្ញុំ, រូបមន្ត 3, 5
និង 6
និង 1.
ការអនុវត្តច្បាប់ IV, រូបមន្ត 5
និង 1
.
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទីប្រាំយោងទៅតាមច្បាប់ ខ្ញុំដេរីវេនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយយើងទើបតែរកឃើញដេរីវេនៃពាក្យទី១ (ឧទាហរណ៍ 4 ) ដូច្នេះ យើងនឹងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុ ទី 2និង ទី៣លក្ខខណ្ឌ និង សម្រាប់ទី 1 summand យើងអាចសរសេរលទ្ធផលភ្លាមៗ។
ចូរយើងបែងចែក ទី 2និង ទី៣លក្ខខណ្ឌយោងទៅតាមរូបមន្ត 4
. ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងបំប្លែងឫសនៃអំណាចទីបី និងទីបួននៅក្នុងភាគបែងទៅជាអំណាចដែលមាននិទស្សន្តអវិជ្ជមាន ហើយបន្ទាប់មក យោងទៅតាម 4
រូបមន្ត យើងរកឃើញដេរីវេនៃអំណាច។
សូមមើលឧទាហរណ៍នេះនិងលទ្ធផល។ តើអ្នកបានចាប់គំរូទេ? ល្អ នេះមានន័យថាយើងមានរូបមន្តថ្មី ហើយអាចបន្ថែមវាទៅក្នុងតារាងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់យើង។
ចូរដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទីប្រាំមួយ ហើយទាញយករូបមន្តមួយទៀត។
ចូរយើងប្រើច្បាប់ IVនិងរូបមន្ត 4
. ចូរកាត់បន្ថយប្រភាគលទ្ធផល។
សូមក្រឡេកមើលមុខងារនេះ និងដេរីវេរបស់វា។ ជាការពិតណាស់ អ្នកយល់ពីគំរូ ហើយត្រៀមខ្លួនជាស្រេចដើម្បីដាក់ឈ្មោះរូបមន្ត៖
រៀនរូបមន្តថ្មី!
ឧទាហរណ៍។
1. ស្វែងរកការបន្ថែមនៃអាគុយម៉ង់ និងការកើនឡើងនៃអនុគមន៍ y= x ២ប្រសិនបើតម្លៃដំបូងនៃអាគុយម៉ង់គឺស្មើនឹង 4 និងថ្មី - 4,01 .
ដំណោះស្រាយ។
តម្លៃអាគុយម៉ង់ថ្មី។ x = x 0 + Δx. ចូរជំនួសទិន្នន័យ៖ 4.01=4+Δх ដូច្នេះការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δх=4.01-4=0.01 ។ ការកើនឡើងនៃអនុគមន៍មួយ តាមនិយមន័យគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃថ្មី និងមុននៃអនុគមន៍ i.e. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0) ។ ចាប់តាំងពីយើងមានមុខងារ y=x2, នោះ។ Δу=(x 0 + Δx) 2 − (x 0) 2 = (x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 − (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
ចម្លើយ៖ ការបង្កើនអាគុយម៉ង់ Δх=0.01; ការបង្កើនមុខងារ Δу=0,0801.
ការបង្កើនមុខងារអាចត្រូវបានរកឃើញខុសគ្នា៖ Δy=y(x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801។
2. រកមុំទំនោរនៃតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x)នៅចំណុច x 0, ប្រសិនបើ f "(x 0) = 1.
ដំណោះស្រាយ។
តម្លៃនៃដេរីវេនៅចំណុចនៃ tangency x 0និងជាតម្លៃនៃតង់សង់នៃមុំតង់សង់ (អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ) ។ យើងមាន: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45 °,ដោយសារតែ tg45°=1 ។
ចម្លើយ៖ តង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះបង្កើតជាមុំដែលមានទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុកស្មើនឹង 45°.
3. ទាញយករូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ y=xn.
ភាពខុសគ្នាគឺជាសកម្មភាពនៃការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។
នៅពេលស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ សូមប្រើរូបមន្តដែលទទួលបានដោយផ្អែកលើនិយមន័យនៃនិស្សន្ទវត្ថុ តាមរបៀបដូចគ្នានឹងយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ដឺក្រេដេរីវេ៖ (x n)" = nx n-1.
ទាំងនេះគឺជារូបមន្ត។
តារាងដេរីវេវានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការទន្ទេញដោយការបញ្ចេញពាក្យសំដី៖
1. ដេរីវេនៃបរិមាណថេរគឺសូន្យ។
2. X prime គឺស្មើនឹងមួយ។
3. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។
4. ដេរីវេនៃសញ្ញាប័ត្រគឺស្មើនឹងផលគុណនៃនិទស្សន្តនៃសញ្ញាប័ត្រនេះដោយដឺក្រេដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ប៉ុន្តែនិទស្សន្តគឺតិចជាងមួយ។
5. ដេរីវេនៃឫសគឺស្មើនឹងមួយចែកដោយឫសស្មើគ្នាពីរ។
6. ដេរីវេនៃមួយចែកនឹង x គឺស្មើនឹងដកមួយចែកនឹង x ការ៉េ។
7. ដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺស្មើនឹងកូស៊ីនុស។
8. ដេរីវេនៃកូស៊ីនុសគឺស្មើនឹងដកស៊ីនុស។
9. ដេរីវេនៃតង់សង់គឺស្មើនឹងមួយចែកដោយការ៉េនៃកូស៊ីនុស។
10. ដេរីវេនៃកូតង់សង់គឺស្មើនឹងដកមួយចែកដោយការ៉េនៃស៊ីនុស។
យើងបង្រៀន ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា.
1.
ដេរីវេនៃផលបូកពិជគណិតគឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃដេរីវេនៃពាក្យ។
2. ដេរីវេនៃផលិតផលមួយស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃកត្តាទីមួយ និងទីពីរបូកផលិតផលនៃកត្តាទីមួយ និងដេរីវេនៃកត្តាទីពីរ។
3. ដេរីវេនៃ "y" ចែកដោយ "ve" គឺស្មើនឹងប្រភាគដែលភាគយកគឺ "y prime គុណនឹង "ve" ដក "y គុណនឹង ve prime" ហើយភាគបែងគឺ "ve ការ៉េ" ។
4. ករណីពិសេសនៃរូបមន្ត 3.
តោះរៀនទាំងអស់គ្នា!
ទំព័រ 1 នៃ 1 1
យើងបានពិនិត្យមើលនិស្សន្ទវត្ថុសាមញ្ញបំផុត ហើយក៏បានស្គាល់ពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា និងបច្ចេកទេសបច្ចេកទេសមួយចំនួនសម្រាប់ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។ ដូចនេះ ប្រសិនបើអ្នកមិនសូវពូកែជាមួយដេរីវេនៃមុខងារ ឬចំណុចមួយចំនួនក្នុងអត្ថបទនេះមិនច្បាស់ទាំងស្រុងនោះ សូមអានមេរៀនខាងលើជាមុនសិន។ សូមមានអារម្មណ៍ធ្ងន់ធ្ងរ - សម្ភារៈមិនសាមញ្ញទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងនៅតែព្យាយាមបង្ហាញវាយ៉ាងសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។
នៅក្នុងការអនុវត្ត អ្នកត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយនឹងដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាញឹកញាប់ ខ្ញុំថែមទាំងអាចនិយាយបានថា នៅពេលដែលអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចដើម្បីស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។
យើងក្រឡេកមើលតារាងនៅច្បាប់ (លេខ ៥) សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ៖
ចូរយើងដោះស្រាយវា។ ជាបឋមសូមយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការចូល។ នៅទីនេះយើងមានមុខងារពីរ - និង , ហើយមុខងារដែលនិយាយជាន័យធៀបគឺស្ថិតនៅក្នុងមុខងារ។ មុខងារនៃប្រភេទនេះ (នៅពេលដែលមុខងារមួយត្រូវបានដាក់នៅក្នុងមួយផ្សេងទៀត) ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារស្មុគស្មាញ។
ខ្ញុំនឹងហៅមុខងារ មុខងារខាងក្រៅនិងមុខងារ - មុខងារខាងក្នុង (ឬសំបុក).
! និយមន័យទាំងនេះមិនមែនជាទ្រឹស្តីទេ ហើយមិនគួរបង្ហាញនៅក្នុងការរចនាចុងក្រោយនៃកិច្ចការនោះទេ។ ខ្ញុំប្រើកន្សោមក្រៅផ្លូវការ "មុខងារខាងក្រៅ" មុខងារ "ខាងក្នុង" តែប៉ុណ្ណោះដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការយល់អំពីសម្ភារៈ។
ដើម្បីបញ្ជាក់ស្ថានភាព សូមពិចារណា៖
ឧទាហរណ៍ ១
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នៅក្រោមស៊ីនុស យើងមិនត្រឹមតែមានអក្សរ “X” ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែមានកន្សោមទាំងមូល ដូច្នេះការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុភ្លាមៗពីតារាងនឹងមិនដំណើរការទេ។ យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថា វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តច្បាប់ទាំងបួនដំបូងនៅទីនេះ វាហាក់ដូចជាមានភាពខុសប្លែកគ្នា ប៉ុន្តែការពិតគឺថាស៊ីនុសមិនអាច "ហែកជាបំណែកៗ" បានទេ៖
ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ វាមានវិចារណញាណច្បាស់លាស់រួចហើយពីការពន្យល់របស់ខ្ញុំថា អនុគមន៍គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយពហុនាមគឺជាមុខងារខាងក្នុង (បង្កប់) និងមុខងារខាងក្រៅ។
ជំហានដំបូងអ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញគឺដើម្បី យល់ថាមុខងារមួយណាជាខាងក្នុង និងមួយណាជាមុខងារខាងក្រៅ.
ក្នុងករណីឧទាហរណ៍សាមញ្ញ វាហាក់បីដូចជាច្បាស់ណាស់ថាពហុនាមត្រូវបានបង្កប់នៅក្រោមស៊ីនុស។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើអ្វីៗមិនច្បាស់? តើធ្វើដូចម្តេចទើបអាចកំណត់បានថា មួយណាជាមុខងារខាងក្រៅ និងមួយណាជាខាងក្នុង? ដើម្បីធ្វើដូចនេះខ្ញុំស្នើឱ្យប្រើបច្ចេកទេសខាងក្រោមដែលអាចត្រូវបានធ្វើដោយផ្លូវចិត្តឬក្នុងសេចក្តីព្រាង។
ចូរស្រមៃថាយើងត្រូវការគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ (ជំនួសឱ្យលេខមួយអាចមានលេខណាមួយ) ។
តើយើងនឹងគណនាអ្វីមុនគេ? ជាដំបូងបង្អស់អ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពដូចខាងក្រោម៖ ដូច្នេះពហុធានឹងជាមុខងារខាងក្នុង៖ 
ទីពីរនឹងត្រូវរកឃើញ ដូច្នេះស៊ីនុស - នឹងក្លាយជាមុខងារខាងក្រៅ៖ 
បន្ទាប់ពីយើង លក់ហើយជាមួយនឹងមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅ វាដល់ពេលដែលត្រូវអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ 
.
តោះចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត។ ពីមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?យើងចងចាំថាការរចនានៃដំណោះស្រាយចំពោះដេរីវេណាមួយតែងតែចាប់ផ្តើមដូចនេះ - យើងបិទកន្សោមក្នុងតង្កៀប ហើយដាក់សញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅខាងស្តាំខាងលើ៖
ជាដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ (ស៊ីនុស) មើលតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម ហើយសម្គាល់ថា . រូបមន្តតារាងទាំងអស់ក៏អាចអនុវត្តបានដែរ ប្រសិនបើ "x" ត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមស្មុគស្មាញ, ក្នុងករណីនេះ:
សូមចំណាំថាមុខងារខាងក្នុង មិនបានផ្លាស់ប្តូរ, យើងមិនប៉ះវា.
មែនហើយ វាច្បាស់ណាស់ថា
លទ្ធផលនៃការអនុវត្តរូបមន្ត 
នៅក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយរបស់វា វាមើលទៅដូចនេះ៖
កត្តាថេរជាធម្មតាត្រូវបានដាក់នៅដើមកន្សោម៖
ប្រសិនបើមានការយល់ច្រឡំ សូមសរសេរដំណោះស្រាយលើក្រដាស ហើយអានការពន្យល់ម្តងទៀត។
ឧទាហរណ៍ ២
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ឧទាហរណ៍ ៣
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ដូចរាល់ដង យើងសរសេរចុះ៖ 
ចូរយើងស្វែងយល់ពីកន្លែងដែលយើងមានមុខងារខាងក្រៅ និងកន្លែងដែលយើងមានមុខងារខាងក្នុង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងព្យាយាម (ផ្លូវចិត្តឬក្នុងសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនៅ . តើអ្នកគួរធ្វើអ្វីមុនគេ? ដំបូងអ្នកត្រូវគណនាអ្វីដែលមូលដ្ឋានស្មើនឹង៖ ដូច្នេះពហុធាគឺជាមុខងារខាងក្នុង៖ 
ហើយមានតែនៅពេលនោះប៉ុណ្ណោះដែលនិទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត ដូច្នេះមុខងារថាមពលគឺជាមុខងារខាងក្រៅ៖ 
យោងតាមរូបមន្ត 
ជាដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ ក្នុងករណីនេះដឺក្រេ។ យើងស្វែងរករូបមន្តដែលត្រូវការនៅក្នុងតារាង៖ . យើងនិយាយម្តងទៀត៖ រូបមន្តតារាងណាមួយមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់ “X” ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់កន្សោមស្មុគស្មាញផងដែរ។. ដូច្នេះលទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ 
បន្ទាប់៖
ខ្ញុំបញ្ជាក់ម្តងទៀតថា នៅពេលដែលយើងយកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ មុខងារខាងក្នុងរបស់យើងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖ 
ឥឡូវនេះនៅសល់គឺត្រូវស្វែងរកដេរីវេសាមញ្ញបំផុតនៃមុខងារខាងក្នុង ហើយកែប្រែលទ្ធផលបន្តិច៖
ឧទាហរណ៍ 4
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។
ដើម្បីបង្រួបបង្រួមការយល់ដឹងរបស់អ្នកអំពីដេរីវេនៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ខ្ញុំនឹងលើកឧទាហរណ៍ដោយគ្មានយោបល់ ព្យាយាមរកវាដោយខ្លួនឯង ហេតុផលថាតើមុខងារខាងក្រៅនៅឯណា និងកន្លែងណា ហេតុអ្វីបានជាកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីនេះ?
ឧទាហរណ៍ 5
ក) ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ខ) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍
ឧទាហរណ៍ ៦
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ 
នៅទីនេះយើងមានឫសមួយ ហើយដើម្បីបំបែកឫសគល់ វាត្រូវតែតំណាងឱ្យអំណាច។ ដូច្នេះដំបូងយើងនាំយកមុខងារទៅជាទម្រង់ដែលសមរម្យសម្រាប់ភាពខុសគ្នា៖
ការវិភាគមុខងារ យើងសន្និដ្ឋានថា ផលបូកនៃពាក្យទាំងបី គឺជាមុខងារខាងក្នុង ហើយការលើកទៅជាថាមពល គឺជាមុខងារខាងក្រៅ។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ 
:
យើងតំណាងឱ្យដឺក្រេម្តងទៀតជារ៉ាឌីកាល់ (ឫស) ហើយសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង យើងអនុវត្តច្បាប់សាមញ្ញមួយសម្រាប់បែងចែកផលបូក៖
រួចរាល់។ អ្នកក៏អាចកាត់បន្ថយកន្សោមទៅជាភាគបែងធម្មតាក្នុងតង្កៀប ហើយសរសេរអ្វីគ្រប់យ៉ាងចុះជាប្រភាគមួយ។ វាពិតជាស្រស់ស្អាត ប៉ុន្តែនៅពេលដែលអ្នកទទួលបាននិស្សន្ទវត្ថុដ៏វែងឆ្ងាយ វាល្អជាងកុំធ្វើវា (វាងាយនឹងច្របូកច្របល់ ធ្វើខុសដែលមិនចាំបាច់ ហើយវានឹងមិនស្រួលសម្រាប់គ្រូក្នុងការពិនិត្យ) ។
ឧទាហរណ៍ ៧
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។
វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាជួនកាលជំនួសឱ្យច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញអ្នកអាចប្រើក្បួនសម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតា។ 
ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយបែបនេះនឹងមើលទៅដូចជាការបង្វែរមិនធម្មតា។ នេះជាឧទាហរណ៍ធម្មតា៖
ឧទាហរណ៍ ៨
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នៅទីនេះអ្នកអាចប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃ quotient 
ប៉ុន្តែ វាមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការស្វែងរកដេរីវេតាមរយៈច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
យើងរៀបចំមុខងារសម្រាប់ភាពខុសគ្នា - យើងផ្លាស់ទីដកចេញពីសញ្ញាដេរីវេ ហើយលើកកូស៊ីនុសទៅក្នុងភាគយក៖
កូស៊ីនុស គឺជាមុខងារខាងក្នុង និទស្សន្តគឺជាមុខងារខាងក្រៅ។
ចូរប្រើច្បាប់របស់យើង។ 
:
យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង ហើយកំណត់កូស៊ីនុសឡើងវិញចុះក្រោម៖
រួចរាល់។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវច្រឡំនៅក្នុងសញ្ញា។ ដោយវិធីនេះព្យាយាមដោះស្រាយវាដោយប្រើក្បួន 
, ចម្លើយត្រូវតែផ្គូផ្គង។
ឧទាហរណ៍ ៩
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។
រហូតមកដល់ពេលនេះយើងបានពិនិត្យមើលករណីដែលយើងមានសំបុកតែមួយគត់នៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ។ នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង ជាញឹកញាប់អ្នកអាចរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុ ដែលដូចជាសំបុកតុក្កតា មួយនៅខាងក្នុងផ្សេងទៀត មុខងារ 3 ឬសូម្បីតែ 4-5 ត្រូវបានដាក់សំបុកក្នុងពេលតែមួយ។
ឧទាហរណ៍ 10
ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
ចូរយើងយល់ពីឯកសារភ្ជាប់នៃមុខងារនេះ។ ចូរយើងព្យាយាមគណនាកន្សោមដោយប្រើតម្លៃពិសោធន៍។ តើយើងនឹងពឹងផ្អែកលើម៉ាស៊ីនគិតលេខដោយរបៀបណា?
ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកដែលមានន័យថា arcsine គឺជាការបង្កប់ជ្រៅបំផុត:
បន្ទាប់មក arcsine នៃមួយគួរតែជាការ៉េ:
ហើយទីបំផុតយើងលើកប្រាំពីរទៅជាថាមពលមួយ៖ 
នោះគឺក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងមានមុខងារបីផ្សេងគ្នា និងការបង្កប់ពីរ ខណៈមុខងារខាងក្នុងបំផុតគឺ អាកស៊ីន ហើយមុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
តោះចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត
យោងតាមច្បាប់ 
ដំបូងអ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ។ យើងមើលតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាជំនួសឱ្យ "x" យើងមានកន្សោមស្មុគស្មាញ ដែលមិនបដិសេធសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះទេ។ ដូច្នេះ លទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ 
បន្ទាប់។