Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mis kulub Achilleuse läbimiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus jookseb sada sammu, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõpmatuseni, Achilleus ei jõua kilpkonnale kunagi järele.
See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Nad kõik pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriat. Šokk oli nii tugev, et " ...arutelud jätkuvad tänaseni, et jõuda ühisele arvamusele paradokside olemuse üle teadusringkond siiani pole see võimalik olnud... olime kaasatud teema uurimisse matemaatiline analüüs, hulgateooria, uued füüsikalised ja filosoofilised lähenemised; ükski neist ei saanud probleemi üldtunnustatud lahenduseks..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles pettus seisneb.
Matemaatilisest vaatenurgast näitas Zenon oma apooriates selgelt üleminekut kvantiteedilt . See üleminek eeldab rakendust püsivate asemel. Niipalju kui ma aru saan, matemaatiline aparaat Muutuvate mõõtühikute kasutamine pole kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooria puhul rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsi tõttu vastastikusele väärtusele konstantseid ajaühikuid. KOOS füüsiline punkt Perspektiivist tundub, et aeg aeglustub, kuni see täielikult peatub hetkel, mil Achilleus jõuab kilpkonnale järele. Kui aeg peatub, ei suuda Achilleus enam kilpkonnast üle joosta.
Kui pöörame oma tavapärase loogika ümber, loksub kõik paika. Achilleus jookseb kaasa püsikiirus. Tema tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras "lõpmatuse" mõistet, siis oleks õige öelda: "Achilleus jõuab kilpkonnale lõpmatult kiiresti järele."
Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Püsi sees konstantsed ühikud aja mõõtmised ja ärge minge vastastikustele suurustele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:
Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise ajaintervalli jaoks võrdne esimesega, Achilleus jookseb veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.
See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Aga ei ole täielik lahendus Probleemid. Einsteini väide valguse kiiruse vastupandamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.
Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:
Lendav nool on liikumatu, kuna ta on igal ajahetkel puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.
Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel on lendav nool paigal erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Et teha kindlaks, kas auto liigub, vajate kahte samast punktist tehtud fotot erinevad hetked aega, kuid nende järgi ei saa kaugust määrata. Auto kauguse määramiseks vajate kahte fotot, mis on tehtud erinevad punktid ruumi ühel ajahetkel, kuid nende järgi on võimatu kindlaks teha liikumise fakti (loomulikult on arvutusteks siiski vaja lisaandmeid, abiks on trigonomeetria). Mida ma tahan välja tuua Erilist tähelepanu, on see, et kaks punkti ajas ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need pakuvad erinevaid uurimisvõimalusi.
Kolmapäeval, 4. juulil 2018
Vikipeedias on väga hästi kirjeldatud komplekti ja multikomplekti erinevusi. Vaatame.
Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Mõistlikud olendid ei mõista kunagi sellist absurdset loogikat. See on tase rääkivad papagoid ja treenitud ahvid, kellel puudub mõistus sõnast "täiesti". Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.
Kunagi olid silla ehitanud insenerid silda katsetades silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri keskpärane insener oma loomingu rusude all. Kui sild koormusele vastu pidas, ehitas andekas insener teisi sildu.
Pole tähtis, kuidas matemaatikud peituvad fraasi "krutke mind, ma olen majas" või õigemini "matemaatikaõpingud" taha. abstraktsed mõisted", on üks nabanöör, mis seob neid lahutamatult reaalsusega. See nabanöör on raha. Rakenda matemaatiline teooria seab matemaatikutele endile.
Õppisime väga hästi matemaatikat ja nüüd istume kassa taga ja anname palka välja. Nii et matemaatik tuleb meie juurde oma raha pärast. Loeme talle kogu summa välja ja laotame oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arveid. Seejärel võtame igast virnast ühe arve ja anname selle matemaatikule." matemaatiline komplekt palgad." Selgitame matemaatikule, et allesjäänud arved saab ta kätte alles siis, kui ta tõestab, et ilma identsete elementideta hulk ei võrdu identsete elementidega hulgaga. Siit algab lõbus.
Esiteks hakkab tööle saadikute loogika: "Seda võib teistele rakendada, aga mulle mitte!" Siis hakkavad nad meile kinnitama, et sama nimiväärtusega vekslitel on erinevad arvenumbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada samadeks elementideks. Olgu, loeme palgad müntidesse – müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatik meeletult füüsikat meenutama: see on erinevatel müntidel erinevad kogused muda, kristallstruktuur ja aatomite paigutus igas mündis on ainulaadne...
Ja nüüd on mul kõige rohkem huvi Küsi: kus on joon, millest kaugemal muutuvad multihulga elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont pole olemas – kõike otsustavad šamaanid, teadus ei ole siin lähedalgi valetamisele.
Vaata siia. Valime välja sama alaga jalgpallistaadionid. Väljade pindalad on samad – see tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui vaadata nende samade staadioninimesid, siis saame neid palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide komplekt nii hulk kui ka multikomplekt. Kumb on õige? Ja siin tõmbab matemaatik-šamaan-teramees varrukast trumpide ässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.
Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle reaalsusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma igasuguse "mõeldava mitte ühe tervikuna" või "ei ole mõeldav ühtse tervikuna".
Pühapäev, 18. märts 2018
Arvu numbrite summa on šamaanide tants tamburiiniga, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Jah, matemaatikatundides õpetatakse meid leidma arvu numbrite summat ja seda kasutama, aga seepärast ongi nad šamaanid, et õpetada järeltulijatele nende oskusi ja tarkust, muidu surevad šamaanid lihtsalt välja.
Kas vajate tõestust? Avage Wikipedia ja proovige leida leht "Arvu numbrite summa". Teda pole olemas. Matemaatikas pole valemit, mille abil saaks leida mis tahes arvu numbrite summa. Lõppude lõpuks on numbrid graafilised sümbolid, mille abil kirjutame numbreid ja matemaatika keeles kõlab ülesanne nii: "Leia suvalist arvu esindavate graafiliste sümbolite summa." Matemaatikud ei suuda seda ülesannet lahendada, kuid šamaanid saavad sellega hõlpsasti hakkama.
Mõelgem välja, mida ja kuidas me arvude summa leidmiseks teeme antud number. Ja nii, olgu meil number 12345. Mida tuleb teha, et leida selle arvu numbrite summa? Vaatleme kõiki samme järjekorras.
1. Kirjutage number paberile. Mida me oleme teinud? Oleme teisendanud numbri graafiliseks numbrisümboliks. See ei ole matemaatiline tehe.
2. Lõikasime ühe saadud pildi mitmeks üksikuid numbreid sisaldavaks pildiks. Pildi lõikamine ei ole matemaatiline tehe.
3. Teisendage üksikud graafilised sümbolid numbriteks. See ei ole matemaatiline tehe.
4. Lisage saadud numbrid. Nüüd on see matemaatika.
Arvu 12345 numbrite summa on 15. Need on šamaanide õpetatavad “lõikamis- ja õmbluskursused”, mida matemaatikud kasutavad. Kuid see pole veel kõik.
Matemaatilisest seisukohast pole vahet, millisesse arvusüsteemi me arvu kirjutame. Niisiis, sisse erinevad süsteemid Arvutuses on sama arvu numbrite summa erinev. Matemaatikas märgitakse numbrisüsteem numbrist paremal oleva alaindeksina. KOOS suur hulk 12345 Ma ei taha oma pead petta, vaatame numbrit 26 artiklist . Kirjutame selle arvu kahend-, kaheksand-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Me ei vaata iga sammu mikroskoobi all, me oleme seda juba teinud. Vaatame tulemust.
Nagu näete, on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Sellel tulemusel pole matemaatikaga mingit pistmist. See on sama, kui määraksite ristküliku pindala meetrites ja sentimeetrites, saaksite täiesti erinevad tulemused.
Null näeb kõigis numbrisüsteemides välja ühesugune ja sellel pole numbrite summat. See on veel üks argument selle kasuks, et. Küsimus matemaatikutele: kuidas on matemaatikas määratud midagi, mis ei ole arv? Mis, matemaatikute jaoks ei eksisteeri midagi peale numbrite? Ma võin seda lubada šamaanidele, kuid mitte teadlastele. Tegelikkus ei seisne ainult numbrites.
Saadud tulemust tuleks pidada tõestuseks, et arvusüsteemid on arvude mõõtühikud. Lõppude lõpuks ei saa me numbreid võrrelda erinevad üksused mõõdud. Kui samad toimingud sama suuruse erinevate mõõtühikutega annavad pärast nende võrdlemist erinevaid tulemusi, siis pole sellel matemaatikaga mingit pistmist.
Mis on tõeline matemaatika? See on siis, kui tulemus matemaatiline tehe ei sõltu numbri suurusest, kasutatavast mõõtühikust ja sellest, kes toimingu sooritab.
Oh! Kas see pole mitte naiste tualett?
- Noor naine! See on laboratoorium hingede indefiilse pühaduse uurimiseks nende taevasse tõusmise ajal! Halo peal ja nool üles. Mis tualett veel?
Naine... Halo peal ja nool alla on isased.
Kui selline disainikunstiteos vilksatab teie silme ees mitu korda päevas,
Siis pole üllatav, et äkki leiate oma autost kummalise ikooni:
Mina isiklikult pingutan selle nimel, et kakaval inimesel oleks näha miinus nelja kraadi (üks pilt) (mitmest pildist koosnev kompositsioon: miinusmärk, number neli, kraadide tähistus). Ja ma ei arva, et see tüdruk on loll, ei füüsikaga kursis. Tal on lihtsalt taju stereotüüp graafilised pildid. Ja matemaatikud õpetavad meile seda kogu aeg. Siin on näide.
1A ei ole "miinus neli kraadi" ega "üks a". See on "kakav mees" või number "kakskümmend kuus" kuueteistkümnendsüsteemis. Need inimesed, kes pidevalt selles numbrisüsteemis töötavad, tajuvad numbrit ja tähte automaatselt ühe graafilise sümbolina.
Geomeetrias eristatakse järgmisi rööptahukaid: ristkülikukujuline rööptahukas (rööptahu tahud on ristkülikud); parem rööptahukas (selle külgmised näod toimivad ristkülikuna); kaldus rööptahukas (selle külgpinnad toimivad risti); kuup on absoluutselt identsete mõõtmetega rööptahukas ja kuubiku küljed on ruudud. Rööptorud võivad olla kas kaldu või sirged.
Rööptahuka põhielemendid on kujutatava kaks tahku geomeetriline kujund, millel pole ühist serva, on vastas ja need, millel on, on kõrvuti. Rööptahuka tipud, mis ei kuulu samasse tahku, toimivad üksteisele vastandlikult. Rööptahukal on mõõde – need on kolm serva, millel on ühine tipp.
Segment, mis ühendab vastassuunalised tipud, nimetatakse diagonaaliks. Rööptahuka neli diagonaali, mis ristuvad ühes punktis, jagatakse samaaegselt pooleks.
Rööptahuka diagonaali määramiseks tuleb määrata küljed ja servad, mis on ülesande tingimustest teada. Kolme teadaoleva ribiga A , IN , KOOS tõmmake rööptahukasse diagonaal. Vastavalt rööptahuka omadusele, mis ütleb, et kõik selle nurgad on õiged, määratakse diagonaal. Koostage rööptahuka ühest tahust diagonaal. Diagonaalid tuleb tõmmata nii, et näo diagonaal, rööptahuka soovitud diagonaal ja kuulus ribi, lõi kolmnurga. Pärast kolmnurga moodustamist leidke selle diagonaali pikkus. Teise tulemuseks oleva kolmnurga diagonaal toimib hüpotenuusina, nii et selle saab leida Pythagorase teoreemi abil, mis tuleb võtta ruutjuure all. Nii saame teada teise diagonaali väärtuse. Moodustatud täisnurkses kolmnurgas rööptahuka esimese diagonaali leidmiseks on vaja leida ka tundmatu hüpotenuus (kasutades Pythagorase teoreemi). Kasutades sama näidet, leidke järjestikku ülejäänud kolm rööptahukas eksisteerivat diagonaali, tehes täiendavaid diagonaalide konstruktsioone, mis moodustavad täisnurksed kolmnurgad ja lahendage Pythagorase teoreemi abil.
Ristkülikukujuline rööptahukas (PP) pole midagi muud kui prisma, mille alus on ristkülik. PP puhul on kõik diagonaalid võrdsed, mis tähendab, et mis tahes selle diagonaalid arvutatakse järgmise valemi abil:
a, c - PP aluse küljed;
c on selle kõrgus.
Teise definitsiooni saab anda, võttes arvesse Descartes'i ristkülikukujuline süsteem koordinaadid:
PP diagonaal on mis tahes ruumipunkti raadiuse vektor, antud koordinaatidega x, y ja z sisse Descartes'i süsteem koordinaadid See punkti raadiuse vektor tõmmatakse lähtepunktist. Ja punkti koordinaadid on raadiusvektori projektsioonid (PP diagonaalid) koordinaatteljed. Projektsioonid langevad kokku selle rööptahuka tippudega.
Parallelepiped ja selle liigid
Kui tõlgime selle nime sõna otseses mõttes vanakreeka keelest, selgub, et see on kujund, mis koosneb paralleelsed tasapinnad. Rööptahukale on olemas järgmised samaväärsed määratlused:
- rööpkülikukujulise alusega prisma;
- hulktahukas, mille iga tahk on rööpkülik.
Selle tüüpe eristatakse sõltuvalt sellest, milline figuur asub selle aluses ja kuidas külgmised ribid on suunatud. IN üldine juhtum rääkima kaldu rööptahukas, mille põhi ja kõik tahud on rööpkülikukujulised. Kui eelmise vaate külgpinnad muutuvad ristkülikuteks, tuleb see välja kutsuda otsene. Ja ristkülikukujuline ja alusel on ka 90º nurgad.
Veelgi enam, geomeetrias püütakse viimast kujutada nii, et oleks märgata, et kõik servad on paralleelsed. Siin on muide peamine erinevus matemaatikute ja kunstnike vahel. Viimaste jaoks on oluline keha edasi anda vastavalt perspektiiviseadusele. Ja sel juhul on ribide paralleelsus täiesti nähtamatu.
Kasutusele võetud tähistuste kohta
Allolevates valemites kehtivad tabelis näidatud märgid.
Kaldu rööptahuka valemid
Esimene ja teine alade jaoks:
Kolmas on rööptahuka ruumala arvutamine:
Kuna alus on rööpkülik, peate selle pindala arvutamiseks kasutama sobivaid avaldisi.
Ristkülikukujulise rööptahuka valemid
Sarnaselt esimese punktiga - alade jaoks kaks valemit:
Ja veel üks helitugevuse jaoks:
Esimene ülesanne
Seisund. Antud on ristkülikukujuline rööptahukas, mille maht on vaja leida. Teada on diagonaal - 18 cm - ja asjaolu, et see moodustab külgpinna ja külgserva tasapinnaga vastavalt 30 ja 45 kraadised nurgad.
Lahendus. Probleemiküsimusele vastamiseks peate teadma kolme täisnurkse kolmnurga kõiki külgi. Need annavad servadele vajalikud väärtused, mille järgi peate helitugevust arvutama.
Kõigepealt peate välja selgitama, kus on 30º nurk. Selleks tuleb tõmmata külgpinna diagonaal samast tipust, kust rööpküliku põhidiagonaal tõmmati. Nurk nende vahel on see, mida vajate.
Esimene kolmnurk, mis annab ühe aluse külgede väärtustest, on järgmine. See sisaldab vajalikku külge ja kahte tõmmatud diagonaali. See on ristkülikukujuline. Nüüd peame kasutama seost vastaspool(aluse küljed) ja hüpotenuus (diagonaalid). See võrdub siinusega 30º. See on tundmatu pool alus määratletakse kui diagonaal, mis on korrutatud siinuse 30º või ½-ga. Olgu see tähistatud tähega "a".
Teine on kolmnurk, mis sisaldab teadaolevat diagonaali ja serva, millega see moodustab 45º. See on ka ristkülikukujuline ja saate jälle kasutada jala ja hüpotenuusi suhet. Teisisõnu, külgserv diagonaaliks. See võrdub 45º koosinusega. See tähendab, et “c” arvutatakse diagonaali ja 45º koosinuse korrutisena.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
Samas kolmnurgas peate leidma teise jala. See on vajalik kolmanda tundmatu - “in” arvutamiseks. Olgu see tähistatud tähega “x”. Seda saab hõlpsasti arvutada Pythagorase teoreemi abil:
x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).
Nüüd peame kaaluma teist täisnurkset kolmnurka. See juba sisaldab tuntud osapooled"c", "x" ja see, mida tuleb lugeda, "b":
in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
Kõik kolm kogust on teada. Saate kasutada mahu valemit ja arvutada see:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Vastus: rööptahuka ruumala on 729√2 cm 3.
Teine ülesanne
Seisund. Peate leidma rööptahuka helitugevuse. Selles on teadaolevalt põhjas asuva rööpküliku küljed 3 ja 6 cm, samuti selle teravnurk - 45º. Külgribi kalle põhja suhtes on 30º ja on võrdne 4 cm.
Lahendus.Ülesande küsimusele vastamiseks peate võtma valemi, mis on kirjutatud kaldsuunalise rööptahuka ruumala jaoks. Kuid mõlemad kogused on selles tundmatud.
Aluse, see tähendab rööpküliku pindala, määratakse valemiga, milles peate korrutama teadaolevad küljed ja nendevahelise teravnurga siinus.
S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).
Teine teadmata suurus on kõrgus. Seda saab joonistada ükskõik millisest neljast aluse kohal olevast tipust. Selle võib leida täisnurksest kolmnurgast, mille kõrgus on jalg ja külgribi- hüpotenuus. Sel juhul on teadmata kõrguse vastas 30º nurk. See tähendab, et saame kasutada jala ja hüpotenuusi suhet.
n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Nüüd on kõik väärtused teada ja mahu saab arvutada:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Vastus: maht on 18 √2 cm 3.
Kolmas ülesanne
Seisund. Leidke rööptahuka ruumala, kui on teada, et see on sirge. Selle aluse küljed moodustavad rööpküliku ja on 2 ja 3 cm. Nende vaheline teravnurk on 60º. Rööptahuka väike diagonaal on suurem diagonaal põhjustel.
Lahendus. Rööptahuka ruumala väljaselgitamiseks kasutame valemit aluse pindala ja kõrgusega. Mõlemad suurused on teadmata, kuid neid on lihtne arvutada. Esimene on kõrgus.
Kuna rööptahuka väiksem diagonaal on sama suur kui suurem alus, siis saab neid tähistada ühe tähega d. Rööpküliku suurim nurk on 120º, kuna see moodustab terava nurgaga 180º. Olgu aluse teine diagonaal tähistatud tähega “x”. Nüüd saame aluse kahe diagonaali jaoks kirjutada koosinusteoreemid:
d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.
Pole mõtet leida väärtusi ilma ruutudeta, kuna hiljem tõstetakse need uuesti teise astmeni. Pärast andmete asendamist saame:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Nüüd osutub kõrgus, mis on ka rööptahuka külgserv, kolmnurgas olevaks jalaks. Hüpotenuus on keha teadaolev diagonaal ja teine jalg on "x". Võime kirjutada Pythagorase teoreemi:
n 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.
Seega: n = √12 = 2√3 (cm).
Nüüd on teine tundmatu suurus aluse pindala. Seda saab arvutada teises ülesandes mainitud valemi abil.
S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).
Kombineerides kõik mahu valemisse, saame:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Vastus: V = 18 cm 3.
Neljas ülesanne
Seisund. On vaja välja selgitada rööptahuka maht, mis vastab järgmistele tingimustele: alus on ruut, mille külg on 5 cm; külgpinnad on rombid; üks aluse kohal asuvatest tippudest on võrdsel kaugusel kõigist põhjas asuvatest tippudest.
Lahendus. Kõigepealt peate olukorraga tegelema. Esimese punktiga väljaku kohta küsimusi ei teki. Teine, rombide kohta, teeb selgeks, et rööptahukas on kaldu. Pealegi on kõik selle servad 5 cm, kuna rombi küljed on samad. Ja kolmandast saab selgeks, et sellest tõmmatud kolm diagonaali on võrdsed. Need on kaks, mis asuvad külgpindadel ja viimane on rööptahuka sees. Ja need diagonaalid on servaga võrdsed, see tähendab, et nende pikkus on ka 5 cm.
Helitugevuse määramiseks vajate valemit, mis on kirjutatud kaldus rööptahuka jaoks. Seda pole jälle seal teadaolevad kogused. Aluse pindala on aga lihtne arvutada, kuna see on ruut.
S o = 5 2 = 25 (cm 2).
Kõrgusega on olukord veidi keerulisem. See on selline kolmes joonises: rööptahukas, nelinurkne püramiid Ja võrdhaarne kolmnurk. Seda viimast asjaolu tuleks ära kasutada.
Kuna see on kõrgus, on see täisnurkse kolmnurga jalg. Selles olev hüpotenuus on teadaolev serv ja teine jalg võrdne poolega ruudu diagonaalid (kõrgus on ka mediaan). Ja aluse diagonaali on lihtne leida:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (cm).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Vastus: 62,5 √2 (cm 3).
Seda nimetatakse rööptahukaks nelinurkne prisma, mille alused on rööpkülikud. Rööptahuka kõrgus on selle aluste tasandite vaheline kaugus. Joonisel on kõrgus näidatud segmendiga 
. Rööptahukaid on kahte tüüpi: sirged ja kaldu. Reeglina annab matemaatikaõpetaja esmalt prismale sobivad definitsioonid ja seejärel kannab need üle rööptahukale. Teeme sama.
Tuletan meelde, et prismat nimetatakse sirgeks, kui selle külgservad on alustega risti; kui perpendikulaarsust pole, nimetatakse prismat kalduks. Selle terminoloogia on pärinud ka rööptahukas. 
Parempoolne rööptahukas pole midagi muud kui sirge prisma tüüp, mille külgserv langeb kokku kõrgusega. Säilitatakse selliste mõistete definitsioonid nagu tahk, serv ja tipp, mis on ühised kogu hulktahukate perekonnale. Ilmub vastandlike nägude kontseptsioon. Rööptahukul on 3 paari vastaskülgi, 8 tippu ja 12 serva.
Rööptahuka diagonaal (prisma diagonaal) on lõik, mis ühendab hulktahuka kahte tippu ja ei asu selle ühelgi küljel.
Diagonaallõige - rööptahuka lõik, mis läbib selle diagonaali ja selle aluse diagonaali.
Kaldus rööptahuka omadused:
1) Kõik selle tahud on rööpkülikud ja vastasküljed on võrdsed rööpkülikud.
2)
Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja poolitavad selles punktis.
3)
Iga rööptahukas koosneb kuuest võrdse mahuga kolmnurksest püramiidist. Nende õpilasele näitamiseks peab matemaatika juhendaja sellest pool rööpjalgast maha lõikama diagonaalne lõik ja jagage see eraldi 3 püramiidiks. Nende alus peab olema erinevad näod algne rööptahukas. Matemaatikaõpetaja leiab sellele omadusele rakenduse analüütiline geomeetria. Seda kasutatakse läbiva püramiidi ruumala kuvamiseks segatööd vektorid.
Rööptahuka ruumala valemid:
1) , kus on aluse pindala, h on kõrgus.
2) Rööptahuka ruumala võrdne tootega ala ristlõige külgmisel serval.
Matemaatika juhendaja: Teatavasti on valem ühine kõikidele prismadele ja kui juhendaja on selle juba tõestanud, siis pole mõtet rööptahuka puhul sama asja korrata. Keskmise taseme õpilasega töötades (nõrgale õpilasele valem pole kasulik) on aga õpetajal soovitav käituda täpselt vastupidi. Jätke prisma rahule ja viige rööptahuka jaoks läbi hoolikas prooviproov.
3) , kus on ühe kuuest helitugevus kolmnurkne püramiid millest rööptahukas koosneb.
4) Kui , siis
Rööptahuka külgpinna pindala on kõigi selle tahkude pindalade summa:
Rööptahuka kogupind on tema kõigi tahkude pindalade summa, see tähendab pindala + kaks aluse pindala: .
Kaldus rööptahukaga juhendaja tööst:
Matemaatikaõpetajad ei tegele sageli probleemidega, mis on seotud kaldu rööptahukatega. Tõenäosus, et need ilmuvad ühtsele riigieksamile, on üsna väike ja didaktika on sündsusetult kehv. Enam-vähem korralik probleem kaldu rööptahuka kõne helitugevusega tõsiseid probleeme, mis on seotud punkti H asukoha määramisega - selle kõrguse alus. Sel juhul võib matemaatikaõpetajal soovitada lõigata rööptahukas ühe kuuest püramiidist (mille me räägime kinnistul nr 3), proovi leida selle maht ja korrutada 6-ga.
Kui rööptahuka külgserval on võrdsed nurgad aluse külgedega, siis H asub aluse ABCD nurga A poolitajal. Ja kui näiteks ABCD on romb, siis
Matemaatika juhendaja ülesanded:
1) Rööptahuka tahud on üksteisega võrdsed küljega 2 cm ja teravnurk. Leidke rööptahuka ruumala.
2) Kaldus rööptahukas on külgserv 5 cm. Sellega risti olev lõik on nelinurk, mille diagonaalid on üksteisega risti ja pikkusega 6 cm ja 8 cm Arvutage rööptahuka ruumala.
3) Kaldus rööptahukas on teada, et , ja ABCD puhul on aluseks romb, mille külg on 2 cm ja nurk . Määrake rööptahuka ruumala.
Matemaatika juhendaja Aleksander Kolpakov
Juhised
Meetod 2. Oletame, et ristkülikukujuline rööptahukas on kuup. Kuup on ristkülikukujuline rööptahukas, iga tahku tähistab ruut. Seetõttu on selle kõik küljed võrdsed. Seejärel väljendatakse selle diagonaali pikkuse arvutamiseks järgmiselt:
Allikad:
- ristküliku diagonaalvalem
Parallelelepped - erijuhtum prisma, mille kõik kuus tahku on rööpkülikud või ristkülikud. Parallelelepped koos ristkülikukujulised servad nimetatakse ka ristkülikukujuliseks. Rööptahukal on neli ristuvat diagonaali. Kui on antud kolm serva a, b, c, leia kõik diagonaalid ristkülikukujuline rööptahukas võimalik lisakonstruktsioonide teostamise teel.
Juhised
Leia rööptahuka diagonaal m. Selleks leidke tundmatu hüpotenuus punktides a, n, m: m² = n² + a². Asendaja teadaolevad väärtused, seejärel arvutage ruutjuur. Saadud tulemuseks on rööptahuka m esimene diagonaal.
Samamoodi tõmmake järjestikku rööptahuka kõik ülejäänud kolm diagonaali. Samuti tehke igaühe jaoks külgnevate tahkude diagonaalide täiendav konstruktsioon. Arvestades moodustatud täisnurkseid kolmnurki ja rakendades Pythagorase teoreemi, leidke ülejäänud diagonaalide väärtused.
Video teemal
Allikad:
- rööptahuka leidmine
Hüpotenuus on vastaskülg täisnurk. Jalad on kolmnurga küljed, mis külgnevad täisnurgaga. Rakendatud kolmnurgad ABC ja ACD: AB ja BC, AD ja DC–, AC on mõlema kolmnurga ühine hüpotenuus (soovitav diagonaal). Seetõttu AC = ruut AB + ruut BC või AC b = ruut AD + ruut DC. Asendage küljepikkused ristkülikülaltoodud valemisse ja arvutage hüpotenuusi pikkus (diagonaal ristkülik).
Näiteks küljed ristkülik ABCD on võrdsed järgmiste väärtustega: AB = 5 cm ja BC = 7 cm. Antud diagonaali AC ruut ristkülik Pythagorase teoreemi järgi: AC ruut = ruut AB + ruut BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 sq.cm. Kasutage väärtuse arvutamiseks kalkulaatorit ruutjuur 74. Sa peaksid saama 8,6 cm (ümardatud väärtus). Pange tähele, et vastavalt ühele omadustest ristkülik, on selle diagonaalid võrdsed. Seega teise diagonaali BD pikkus ristkülik ABCD on võrdne diagonaali AC pikkusega. Ülaltoodud näite puhul see väärtus