Teoreem. Püramiidi ruumala on võrdne selle aluse pindala ja kolmandiku kõrguse korrutisega.
Esmalt tõestame selle teoreemi kolmnurkse püramiidi ja seejärel hulknurkse püramiidi jaoks.
1) Kolmnurkpüramiidi SABC (joonis 102) põhjal konstrueerime prisma SABCDE, mille kõrgus võrdub püramiidi kõrgusega ja üks külgserv ühtib servaga SB. Tõestame, et püramiidi ruumala on kolmandik selle prisma mahust. Eraldame selle püramiidi prismast. Järele jääb nelinurkne püramiid SADEC (mis on selguse huvides eraldi näidatud). Joonestame sellesse lõiketasapinna läbi tipu S ja aluse DC diagonaali. Saadud kahel kolmnurksel püramiidil on ühine tipp S ja võrdsed alused DEC ja DAC, mis asuvad samal tasapinnal; See tähendab, et ülaltoodud püramiidlemma järgi on need võrdse suurusega. Võrdleme ühte neist, nimelt SDEC-i, selle püramiidiga. SDEC püramiidi alust võib võtta kui \(\Delta\)SDE; siis on selle tipp punktis C ja selle kõrgus on võrdne antud püramiidi kõrgusega. Kuna \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, siis sama lemma järgi on püramiidid SDEC ja SABC võrdse suurusega.
Jagasime ABCDES-prisma kolmeks võrdse suurusega püramiidiks: SABC, SDEC ja SDAC. (Ilmselt võib sellisele jaotusele allutada iga kolmnurkse prisma. See on kolmnurkse prisma üks olulisi omadusi.) Seega moodustab kolme selle püramiidi ruumalade summa, mis on selle ühega võrdse suurusega, prisma ruumala; seega,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
kus H on püramiidi kõrgus.
2) Läbi hulknurkse püramiidi SABCDE aluse mõne tipu E (joonis 103) tõmbame diagonaalid EB ja EC.
Seejärel joonistame lõiketasandid läbi serva SE ja iga selle diagonaali. Seejärel jagatakse hulknurkne püramiid mitmeks kolmnurkseks, mille kõrgus on antud püramiidiga ühine. Tähistades kolmnurksete püramiidide aluste pindalasid b 1 ,b 2 ,b 3 ja kõrgus kuni H, saame:
SABCDE maht = 1/3 b 1 H + 1/3 b 2H + 1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H/3 =
= (pindala ABCDE) H / 3 .
Tagajärg. Kui V, B ja H tähistavad arve, mis väljendavad vastavates ühikutes mis tahes püramiidi ruumala, aluspinda ja kõrgust, siis
Teoreem. Tüvipüramiidi ruumala on võrdne kolme kärbitud püramiidi kõrgusega sama kõrgusega püramiidi ja aluste ruumalade summaga: üks on selle püramiidi alumine alus, teine on ülemine alus, ja kolmanda püramiidi aluse pindala on võrdne ülemise ja alumise aluse pindalade geomeetrilise keskmisega.
Olgu kärbitud püramiidi (joonis 104) aluste pindalad B ja b, kõrgus H ja maht V (kärbitud püramiid võib olla kolmnurkne või hulknurkne – vahet pole).
Seda on vaja tõestada
V = 1/3 BH + 1/3 b H+1/3H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),
kus √B b on geomeetriline keskmine B ja vahel b.
Selle tõestamiseks asetame väikese püramiidi väiksemale alusele, mis täiendab seda kärbitud püramiidi terviklikuks. Siis võime lugeda kärbitud püramiidi V ruumala kahe ruumala - täispüramiidi ja ülemise täiendava - erinevuseks.
Olles märkinud tähega täiendava püramiidi kõrguse X, leiame selle
V = 1/3 V (H+ X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH + (В - b)X].
Kõrguse leidmiseks X Kasutame teoreemi alates , mille järgi saame kirjutada võrrandi:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
Selle võrrandi lihtsustamiseks võtame mõlema poole aritmeetilise ruutjuure:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Sellest võrrandist (mida võib pidada proportsiooniks) saame:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
ning seetõttu
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Asendades selle avaldise valemiga, mille tuletasime mahu V jaoks, leiame:
$$ V = \frac(1)(3)\left $$
Alates B- b= (√B + √ b) (√B - √ b), siis vähendades murdosa vahe √B - √ võrra b saame:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
st saame valemi, mida oli vaja tõestada.
Muud materjalidIga ruumi geomeetrilise kujundi peamine omadus on selle maht. Selles artiklis vaatleme, mis on püramiid, mille põhjas on kolmnurk, ja näitame ka, kuidas leida kolmnurkse püramiidi ruumala - tavaline täis- ja kärbitud.
Mis see on - kolmnurkne püramiid?
Kõik on kuulnud Vana-Egiptuse püramiididest, kuid need on korrapärased nelinurksed, mitte kolmnurksed. Selgitame, kuidas saada kolmnurkset püramiidi.
Võtame suvalise kolmnurga ja ühendame kõik selle tipud mõne punktiga, mis asub väljaspool selle kolmnurga tasapinda. Saadud figuuri nimetatakse kolmnurkseks püramiidiks. See on näidatud alloleval joonisel.
Nagu näete, moodustab kõnealune joonis neljast kolmnurgast, mis üldiselt on erinevad. Iga kolmnurk on püramiidi küljed või selle esikülg. Seda püramiidi nimetatakse sageli tetraeedriks, see tähendab tetraeedriliseks kolmemõõtmeliseks kujundiks.
Lisaks külgedele on püramiidil ka servad (neid on 6) ja tipud (4-st).
kolmnurkse alusega
Suvalise kolmnurga ja ruumipunkti abil saadud joonis on üldiselt ebakorrapärane kaldus püramiid. Kujutage nüüd ette, et algsel kolmnurgal on identsed küljed ja ruumipunkt asub täpselt selle geomeetrilise keskpunkti kohal, kolmnurga tasapinnast h kaugusel. Nende algandmete põhjal konstrueeritud püramiid on õige.
Ilmselt on tavalise kolmnurkse püramiidi servade, külgede ja tippude arv sama, mis suvalisest kolmnurgast ehitatud püramiidil.
Õigel joonisel on aga mõned eristavad tunnused:
- selle tipust tõmmatud kõrgus lõikub täpselt alusega geomeetrilises keskpunktis (mediaanide lõikepunktis);
- sellise püramiidi külgpinna moodustavad kolm identset kolmnurka, mis on võrdhaarsed või võrdkülgsed.
Tavaline kolmnurkne püramiid ei ole ainult puhtteoreetiline geomeetriline objekt. Mõnel looduses esineval struktuuril on oma kuju, näiteks teemantkristallvõre, kus süsinikuaatom on kovalentsete sidemetega ühendatud nelja sama aatomiga, või metaani molekul, kus püramiidi tipud moodustavad vesinikuaatomid.
kolmnurkne püramiid
Järgmise avaldise abil saate määrata absoluutselt iga püramiidi ruumala, mille põhjas on suvaline n-nurk:
Siin tähistab sümbol S o aluse pindala, h on joonise kõrgus, mis on tõmmatud märgitud alusele püramiidi tipust.
Kuna suvalise kolmnurga pindala on võrdne poolega selle külje a pikkuse ja sellele küljele langenud apoteemi h a korrutisest, saab kolmnurkse püramiidi ruumala valemi kirjutada järgmisel kujul:
V = 1/6 × a × h a × h
Üldtüübi jaoks ei ole kõrguse määramine lihtne ülesanne. Selle lahendamiseks on kõige lihtsam kasutada punkti (tipu) ja tasandi (kolmnurkse alus) vahelise kauguse valemit, mis on esitatud üldvõrrandiga.
Õige jaoks on sellel spetsiifiline välimus. Selle (võrdkülgse kolmnurga) aluse pindala on võrdne:
Asendades selle V üldavaldisega, saame:
V = √3/12 × a 2 × h
Erijuhtum on olukord, kus tetraeedri kõik küljed osutuvad identseteks võrdkülgseteks kolmnurkadeks. Sel juhul saab selle mahtu määrata ainult selle serva a parameetri teadmise põhjal. Vastav väljend näeb välja selline:
Kärbitud püramiid
Kui tippu sisaldav ülemine osa tavalisest kolmnurkpüramiidist ära lõigata, saad kärbitud kujundi. Erinevalt algsest koosneb see kahest võrdkülgsest kolmnurksest alusest ja kolmest võrdhaarsest trapetsist.
Alloleval fotol on näha, kuidas näeb välja tavaline paberist kärbitud kolmnurkne püramiid.
Kärbitud kolmnurkse püramiidi ruumala määramiseks peate teadma selle kolme lineaarset omadust: aluse iga külge ja joonise kõrgust, mis on võrdne ülemise ja alumise aluse vahelise kaugusega. Mahu vastav valem on kirjutatud järgmiselt:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Siin h on joonise kõrgus, A ja a on vastavalt suure (alumise) ja väikese (ülemise) võrdkülgse kolmnurga külgede pikkused.
Probleemi lahendus
Artiklis sisalduva teabe lugejale selgemaks muutmiseks näitame selge näitega, kuidas mõnda kirjutatud valemit kasutada.
Olgu kolmnurkse püramiidi ruumala 15 cm 3 . Teatavasti on see arv õige. Peaksite leidma külgserva apoteemi a b, kui teate, et püramiidi kõrgus on 4 cm.
Kuna joonise maht ja kõrgus on teada, saate selle aluse külje pikkuse arvutamiseks kasutada vastavat valemit. Meil on:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √ (16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
Figuuri apoteemi arvutatud pikkus osutus selle kõrgusest suuremaks, mis kehtib igat tüüpi püramiidi kohta.
Teoreem.
Püramiidi ruumala on võrdne ühe kolmandikuga aluse pindala ja kõrguse korrutisest.
Tõestus:
Esmalt tõestame teoreemi kolmnurkpüramiidi, seejärel suvalise teoreemi kohta.1. Vaatleme kolmnurkset püramiidiOABCmahuga V, aluspindS ja kõrgus h. Joonistame telje oh (OM2- kõrgus), kaaluge lõikuA1 B1 C1püramiid, mille tasapind on teljega ristiOhja seetõttu paralleelne aluse tasapinnaga. Tähistagem pooltX abstsisspunkt M1 selle tasandi lõikumine x-teljega ja läbiS(x)- ristlõike pindala. Väljendame S(x) läbi S, h Ja X. Pange tähele, et kolmnurgad A1 IN1 KOOS1 Ja ABC-d on sarnased. Tõepoolest A1 IN1 II AB, seega kolmnurk OA 1 IN 1 sarnane kolmnurgaga OAB. KOOS seetõttu A1 IN1 : AB= OA 1: OA .
Täisnurksed kolmnurgad OA 1 IN 1 ja OAV on samuti sarnased (neil on tipuga O ühine teravnurk). Seetõttu OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Seega A 1 IN 1 : A B = x: h.Samamoodi on tõestatud, etB1 C1:Päike = X: h Ja A1 C1:AC = X: h.Niisiis, kolmnurkA1 B1 C1 Ja ABCsarnane sarnasuskoefitsiendiga X: h.Seetõttu S(x): S = (x: h)² või S(x) = S x²/ h².
Rakendame nüüd kehade ruumalade arvutamise põhivalemit kella= 0, b =h saame
Seega on algse püramiidi maht 1/3Sh. Teoreem on tõestatud.
Tagajärg:
Kärbitud püramiidi ruumala V, mille kõrgus on h ja mille aluspinnad on S ja S1 , arvutatakse valemiga
h - püramiidi kõrgus
S top - ülemise aluse pindala
Aeglasemalt - alumise aluse pindala
Püramiid on hulktahukas, mille põhjas on hulknurk. Kõik tahud moodustavad omakorda kolmnurgad, mis koonduvad ühte tippu. Püramiidid on kolmnurksed, nelinurksed jne. Selleks, et teha kindlaks, milline püramiid on teie ees, piisab, kui loete selle põhjas olevate nurkade arvu. "Püramiidi kõrguse" määratlus leidub väga sageli kooli õppekava geomeetriaülesannetes. Selles artiklis proovime vaadata erinevaid viise selle leidmiseks.
Püramiidi osad
Iga püramiid koosneb järgmistest elementidest:
- külgpinnad, millel on kolm nurka ja koonduvad tipus;
- apoteem tähistab kõrgust, mis laskub selle tipust;
- püramiidi tipp on punkt, mis ühendab külgribisid, kuid ei asu aluse tasapinnal;
- alus on hulknurk, millel tipp ei asu;
- püramiidi kõrgus on segment, mis lõikub püramiidi tipuga ja moodustab selle põhjaga täisnurga.
Kuidas leida püramiidi kõrgust, kui selle ruumala on teada
Valemi V = (S*h)/3 abil (valemis V on ruumala, S on aluse pindala, h on püramiidi kõrgus) leiame, et h = (3*V)/ S. Materjali konsolideerimiseks lahendame probleemi kohe. Kolmnurkse aluse pindala on 50 cm 2, selle maht aga 125 cm 3 . Kolmnurkse püramiidi kõrgus on teadmata, see on see, mida me peame leidma. Siin on kõik lihtne: sisestame andmed oma valemisse. Saame h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Kuidas leida püramiidi kõrgust, kui on teada diagonaali pikkus ja selle servad
Nagu mäletame, moodustab püramiidi kõrgus selle põhjaga täisnurga. See tähendab, et kõrgus, serv ja pool diagonaalist moodustavad koos Paljud muidugi mäletavad Pythagorase teoreemi. Teades kahte mõõdet, pole kolmanda koguse leidmine keeruline. Tuletame meelde üldtuntud teoreemi a² = b² + c², kus a on hüpotenuus ja meie puhul püramiidi serv; b - esimene jalg või pool diagonaalist ja c - vastavalt teine jalg või püramiidi kõrgus. Sellest valemist c² = a² - b².
Nüüd probleem: tavalisel püramiidil on diagonaal 20 cm, kui serva pikkus on 30 cm, tuleb leida kõrgus. Lahendame: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Seega c = √ 500 = umbes 22,4.
Kuidas leida kärbitud püramiidi kõrgust
See on hulknurk, mille ristlõige on selle põhjaga paralleelne. Kärbitud püramiidi kõrgus on segment, mis ühendab selle kahte alust. Tavalise püramiidi kõrguse saab leida, kui on teada mõlema aluse diagonaalide pikkused ja ka püramiidi serv. Olgu suurema aluse diagonaal d1, väiksema aluse diagonaal d2 ja serva pikkus l. Kõrguse leidmiseks võite kõrgused langetada diagrammi kahest ülemisest vastaspunktist selle alusele. Näeme, et meil on kaks täisnurkset kolmnurka; jääb üle vaid leida nende jalgade pikkused. Selleks lahutage suuremast diagonaalist väiksem ja jagage 2-ga. Nii leiame ühe jala: a = (d1-d2)/2. Pärast mida peame Pythagorase teoreemi järgi leidma teise jala, mis on püramiidi kõrgus.
Vaatame nüüd kogu seda asja praktikas. Meil seisab ees ülesanne. Tüvipüramiidi põhjas on ruut, suurema aluse diagonaali pikkus on 10 cm, väiksema 6 cm ja serva pikkus 4 cm. Tuleb leida kõrgus. Esiteks leiame ühe jala: a = (10-6)/2 = 2 cm. Üks jalg on 2 cm ja hüpotenuus on 4 cm. Selgub, et teine jalg ehk kõrgus on 16- 4 = 12, see tähendab, h = √12 = umbes 3,5 cm.
Püramiid nimetatakse hulktahukaks, mille alus on suvaline hulknurk ja kõik tahud on kolmnurgad, millel on ühine tipp, mis on püramiidi tipp.
Püramiid on kolmemõõtmeline kujund. Sellepärast on üsna sageli vaja leida mitte ainult selle pindala, vaid ka maht. Püramiidi ruumala valem on väga lihtne:
kus S on aluse pindala ja h on püramiidi kõrgus.
Kõrgus Püramiidi nimetatakse sirgeks, mis laskub selle tipust põhjani täisnurga all. Sellest lähtuvalt on püramiidi ruumala leidmiseks vaja kindlaks teha, milline hulknurk asub aluses, arvutada selle pindala, välja selgitada püramiidi kõrgus ja leida selle maht. Vaatleme näidet püramiidi ruumala arvutamisest.
Ülesanne: antud korrapärane nelinurkne püramiid. 
Aluse küljed on a = 3 cm, kõik külgservad on b = 4 cm Leia püramiidi ruumala.
Esiteks pidage meeles, et helitugevuse arvutamiseks vajate püramiidi kõrgust. Leiame selle Pythagorase teoreemi abil. Selleks vajame diagonaali pikkust või pigem poolt sellest. Teades täisnurkse kolmnurga kahte külge, leiame kõrguse. Esiteks leidke diagonaal: 
Asendame väärtused valemis: 
Leiame kõrguse h, kasutades d ja serva b: 
Nüüd leiame