Най-малкият общ знаменател се използва за опростяване на това уравнение.Този метод се използва, когато не можете да пишете дадено уравнениес един рационално изразяванеот всяка страна на уравнението (и използвайте метода на кръстосано умножение). Този метод се използва, когато ви е дадено рационално уравнение с 3 или повече дроби (в случай на две дроби е по-добре да използвате кръстосано умножение).
Намерете най-малкия общ знаменател на дробите (или най-малкото общо кратно).НОЗ е най-малкото число, което се дели равномерно на всеки знаменател.
- Понякога NPD е очевидно число. Например, ако е дадено уравнението: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, тогава е очевидно, че най-малкото общо кратно на числата 3, 2 и 6 е 6.
- Ако NCD не е очевидна, запишете кратните на най-големия знаменател и намерете сред тях такъв, който ще бъде кратно на другите знаменатели. Често NOD може да се намери чрез просто умножаване на два знаменателя. Например, ако уравнението е дадено x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, тогава NOS = 8*9 = 72.
- Ако един или повече знаменатели съдържат променлива, процесът става малко по-сложен (но не и невъзможен). В този случай NOC е израз (съдържащ променлива), който е разделен на всеки знаменател. Например в уравнението 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), тъй като този израз е разделен на всеки знаменател: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).
Умножете както числителя, така и знаменателя на всяка дроб по число, равно на резултата от разделянето на NOC на съответния знаменател на всяка дроб. Тъй като умножавате и числителя, и знаменателя по едно и също число, вие на практика умножавате дробта по 1 (например 2/2 = 1 или 3/3 = 1).
- Така че в нашия пример умножете x/3 по 2/2, за да получите 2x/6, и 1/2 умножете по 3/3, за да получите 3/6 (дробта 3x +1/6 не трябва да се умножава, защото знаменателят е 6).
- Продължете по същия начин, когато променливата е в знаменателя. Във втория ни пример NOZ = 3x(x-1), така че умножете 5/(x-1) по (3x)/(3x), за да получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножено по 3(x-1)/3(x-1) и получавате 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножено по (x-1)/(x-1) и получавате 2(x-1)/3x(x-1).
Намерете x.Сега, след като сте намалили дробите до общ знаменател, можете да се отървете от знаменателя. За да направите това, умножете всяка страна на уравнението по общия знаменател. След това решете полученото уравнение, тоест намерете „x“. За да направите това, изолирайте променливата от едната страна на уравнението.
- В нашия пример: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Можете да съберете 2 дроби с еднакъв знаменател, така че напишете уравнението като: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножете двете страни на уравнението по 6 и се отървете от знаменателите: 2x+3 = 3x +1. Решете и получете x = 2.
- Във втория ни пример (с променлива в знаменателя) уравнението изглежда (след редуциране до общ знаменател): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Като умножите двете страни на уравнението по N3, вие се отървавате от знаменателя и получавате: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15x = x - 5 Решете и получете: x = -5/14.
Инструкции
Може би най-очевидният момент тук е, разбира се. Числови дробине представляват никаква опасност (дробните уравнения, при които всички знаменатели съдържат само числа, обикновено са линейни), но ако в знаменателя има променлива, това трябва да се вземе предвид и да се запише. Първо, това е, че x, което превръща знаменателя в 0, не може да бъде и като цяло е необходимо отделно да се посочи фактът, че x не може да бъде равно на това число. Дори и да успеете, че при заместване в числителя всичко се събира идеално и отговаря на условията. Второ, не можем да умножим никоя страна на уравнението по . равно на нула.
След това такова уравнение се свежда до прехвърляне на всичките му условия към лява странатака че десният остава 0.
Необходимо е всички термини да бъдат приведени към общ знаменател, умножавайки, където е необходимо, числителите по липсващите изрази.
След това решаваме обичайното уравнение, записано в числителя. Можем да го понесем общи факториизвън скоби, приложете съкратено умножение, донесете подобни, изчислете корени квадратно уравнениечрез дискриминант и др.
Резултатът трябва да бъде факторизиране под формата на произведение от скоби (x-(i-ти корен)). Това може също да включва полиноми, които нямат корени, например, квадратен тричленс дискриминант по-малък от нула (ако, разбира се, проблемът е само истински корени, както най-често се случва).
Задължително е знаменателят да се разложи на множители и да се намерят скобите, които вече се съдържат в числителя. Ако знаменателят съдържа изрази като (x-(число)), тогава е по-добре скобите в него да не се умножават директно, когато се редуцират до общ знаменател, а да се оставят като произведение на оригиналните прости изрази.
Еднаквите скоби в числителя и знаменателя могат да бъдат съкратени, като първо се запишат, както бе споменато по-горе, условията върху x.
Отговорът се записва във къдрави скоби, като набор от x стойности или просто като изброяване: x1=..., x2=... и т.н.
източници:
- Дробна рационални уравнения
Нещо, без което не можете във физиката, математиката, химията. Най-малко. Нека научим основите на решаването им.
Инструкции
Най-общата и проста класификация може да бъде разделена според броя на променливите, които съдържат, и степените, в които тези променливи стоят.
Решете уравнението с всичките му корени или докажете, че няма такива.
Всяко уравнение има не повече от P корени, където P е максимумът на дадено уравнение.
Но някои от тези корени може да съвпадат. Така, например, уравнението x^2+2*x+1=0, където ^ е иконата за степенуване, се сгъва на квадрат на израза (x+1), тоест в произведението на две еднакви скоби, всяка от които дава x=- 1 като решение.
Ако има само едно неизвестно в дадено уравнение, това означава, че ще можете изрично да намерите неговите корени (реални или комплексни).
За това най-вероятно ще ви трябва, различни трансформации: съкратено умножение, пресмятане на дискриминант и корени на квадратно уравнение, пренасяне на членове от една част в друга, свеждане до общ знаменател, умножение на двете части на уравнението с един и същи израз, с квадрат и др.
Трансформациите, които не засягат корените на уравнението, са идентични. Те се използват за опростяване на процеса на решаване на уравнение.
Можете също така да използвате вместо традиционните аналитични графичен методи напишете това уравнение във формуляра, след което извършете неговото изследване.
Ако има повече от едно неизвестно в едно уравнение, тогава ще можете да изразите само едно от тях по отношение на другото, като по този начин показвате набор от решения. Това са например уравнения с параметри, в които има неизвестно x и параметър a. Реши параметрично уравнение- означава за всички a да изразим x чрез a, тоест да разгледаме всички възможни случаи.
Ако уравнението съдържа производни или диференциали на неизвестни (вижте снимката), поздравления, това диференциално уравнение, и тук не можете без висша математика).
източници:
За решаване на проблема с в дроби, трябва да се научите как да се справяте с тях аритметични операции. Те могат да бъдат десетични, но се използват най-често естествени дробис числител и знаменател. Едва след това можем да преминем към решения математически задачис дробни стойности.
Ще имаш нужда
- - калкулатор;
- - познаване на свойствата на дробите;
- - умение за извършване на операции с дроби.
Инструкции
Дробта е нотация за деление на едно число на друго. Често това не може да бъде направено напълно, поради което това действие остава недовършено. Числото, което се дели (то се появява над или преди знака за дроб) се нарича числител, а второто число (под или след знака за дроб) се нарича знаменател. Ако числителят е по-голям от знаменателя, дробта се нарича неправилна дроб и от нея може да се отдели цяла част. Ако числителят по-малко от знаменателя, тогава такава дроб се нарича правилна, а нейната цяла часте равно на 0.
Задачисе делят на няколко типа. Определете на кой от тях принадлежи задачата. Най-простият вариант– намиране на част от число, изразено като дроб. За да разрешите този проблем, просто умножете това число по дроб. Например доставени са 8 тона картофи. През първата седмица бяха продадени 3/4 от общия му брой. Колко картофа са останали? За да разрешите този проблем, умножете числото 8 по 3/4. Получава се 8∙3/4=6 t.
Ако трябва да намерите число по неговата част, умножете известна частчислата в дроб, реципрочната на тази, която показва какъв е делът на дадена част в числото. Например 8 от тях съставляват 1/3 от общия брой ученици. Колко в ? Тъй като 8 души е част, която представлява 1/3 от общия брой, тогава намерете реципрочна дроб, което е равно на 3/1 или просто на 3. Тогава за да получим броя на учениците в класа 8∙3=24 ученици.
Когато трябва да намерите каква част от число е едно число от друго, разделете числото, което представлява частта, на това, което е цялото. Например, ако разстоянието е 300 км, а колата е изминала 200 км, каква част от общото разстояние ще бъде това? Разделете част от пътя 200 на пълен път 300, след намаляване на дробта ще получите резултата. 200/300=2/3.
За да намерите неизвестна част от число, когато има известна, вземете цялото число като условна единица и извадете известната дроб от нея. Например, ако 4/7 от урока вече е минал, остава ли още време? Вземете целия урок като единица и извадете 4/7 от него. Вземете 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Решаване на уравнения с дробиНека да разгледаме примерите. Примерите са прости и илюстративни. С тяхна помощ сте най по ясен начинможеш да научиш.
Например, трябва да решите простото уравнение x/b + c = d.
Уравнение от този тип се нарича линейно, т.к Знаменателят съдържа само числа.
Решението се извършва чрез умножаване на двете страни на уравнението по b, след което уравнението приема формата x = b*(d – c), т.е. знаменателят на дробта от лявата страна се съкращава.
Например как да се реши дробно уравнение:
х/5+4=9
Умножаваме двете страни по 5. Получаваме:
х+20=45
х=45-20=25
Друг пример, когато неизвестното е в знаменателя:
Уравненията от този тип се наричат дробно-рационални или просто дробни.
Бихме решили дробно уравнение, като се отървем от дробите, след което това уравнение най-често се превръща в линейно или квадратно уравнение, което се решава по обичайния начин. Просто трябва да вземете предвид следните точки:
- стойността на променлива, която превръща знаменателя в 0, не може да бъде корен;
- Не можете да разделите или умножите уравнение по израза =0.
Тук влиза в действие концепцията за площ. приемливи стойности(ODZ) са такива стойности на корените на уравнението, при които уравнението има смисъл.
По този начин, когато решавате уравнението, е необходимо да намерите корените и след това да ги проверите за съответствие с ODZ. Тези корени, които не отговарят на нашето ОДЗ, са изключени от отговора.
Например, трябва да решите дробно уравнение:
Въз основа на горното правило x не може да бъде = 0, т.е. ОДЗ в в такъв случай: x – всяка стойност, различна от нула.
Отърваваме се от знаменателя, като умножим всички членове на уравнението по x
И решаваме обичайното уравнение
5x – 2x = 1
3x = 1
х = 1/3
Отговор: x = 1/3
Нека решим едно по-сложно уравнение:
ODZ присъства и тук: x -2.
Когато решаваме това уравнение, няма да преместим всичко на една страна и да приведем дробите към общ знаменател. Веднага ще умножим двете страни на уравнението по израз, който ще съкрати всички знаменатели наведнъж.
За да намалите знаменателите, трябва да умножите лявата страна по x+2 и дясната страна по 2. Това означава, че и двете страни на уравнението трябва да се умножат по 2(x+2):
Точно това обикновено умножениефракции, които вече обсъдихме по-горе
Нека напишем същото уравнение, но малко по-различно
Лявата страна се редуцира с (x+2), а дясната с 2. След редукцията се получава обичайното линейно уравнение:
x = 4 – 2 = 2, което отговаря на нашето ОДЗ
Отговор: x = 2.
Решаване на уравнения с дробине е толкова трудно, колкото може да изглежда. В тази статия сме показали това с примери. Ако имате затруднения с как се решават уравнения с дроби, след което се отпишете в коментарите.
Действия с дроби. В тази статия ще разгледаме примери, всичко подробно с обяснения. Ще обмислим обикновени дроби. Ще разгледаме десетичните числа по-късно. Препоръчвам да гледате цялото нещо и да го изучавате последователно.
1. Сбор от дроби, разлика от дроби.
Правило: при добавяне на дроби с равни знаменатели, като резултат получаваме дроб, чийто знаменател остава същият, а числителят ще бъде равно на суматачислители на дроби.
Правило: при изчисляване на разликата от дроби с същите знаменателиполучаваме дроб - знаменателят остава същият, а числителят на втората се изважда от числителя на първата дроб.
Формално записване на сумата и разликата на дроби с равни знаменатели:
Примери (1):
Ясно е, че когато са дадени обикновени дроби, тогава всичко е просто, но какво ще стане, ако те са смесени? Нищо сложно...
Опция 1– можете да ги конвертирате в обикновени и след това да ги изчислите.
Вариант 2– можете да „работите“ отделно с целите и дробните части.
Примери (2):
Повече ▼:
И ако е дадена разлика от две смесени фракциии числителят на първата дроб ще бъде по-малък от числителя на втората? Можете също да действате по два начина.
Примери (3):
* Преобразуван в обикновени дроби, изчислена разликата, преобразуван резултатът неправилна дробв смесени.
*Разбихме го на цели и дробни части, получихме три, след това представихме 3 като сбор от 2 и 1, като единица беше представена като 11/11, след това намерихме разликата между 11/11 и 7/11 и изчислихме резултата . Значението на горните трансформации е да вземем (изберем) единица и да я представим под формата на дроб със знаменателя, от който се нуждаем, след което можем да извадим друга от тази дроб.
Друг пример:
Извод: има универсален подход - за да се изчисли сумата (разликата) на смесени дроби с еднакви знаменатели, те винаги могат да бъдат преобразувани в неправилни, след което изпълнете необходимо действие. След това, ако резултатът е неправилна дроб, ние я преобразуваме в смесена дроб.
По-горе разгледахме примери с дроби, които имат равни знаменатели. Ами ако знаменателите са различни? В този случай дробите се свеждат до един и същ знаменател и се извършва определеното действие. За промяна (преобразуване) на дроб се използва основното свойство на дробта.
Нека да разгледаме прости примери:
В тези примери веднага виждаме как една от дробите може да се трансформира, за да се получат равни знаменатели.
Ако посочим начини за намаляване на дроби до един и същи знаменател, тогава ще наречем този МЕТОД ПЪРВИ.
Тоест веднага, когато „оценявате“ дроб, трябва да разберете дали този подход ще работи - проверяваме дали по-големият знаменател се дели на по-малкия. И ако се дели, тогава извършваме трансформация - умножаваме числителя и знаменателя така, че знаменателите на двете дроби да станат равни.
Сега вижте тези примери:
При тях този подход е неприложим. Има и начини за свеждане на дроби до общ знаменател;
Метод ВТОРИ.
Умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората, а числителя и знаменателя на втората дроб по знаменателя на първата:
*Всъщност ние редуцираме дробите, когато знаменателите станат равни. След това използваме правилото за събиране на дроби с еднакви знаменатели.
Пример:
*Този метод може да се нарече универсален и винаги работи. Единственият недостатък е, че след изчисленията може да се окажете с фракция, която ще трябва да бъде намалена допълнително.
Да разгледаме един пример:
Вижда се, че числителят и знаменателят се делят на 5:
Метод ТРЕТИ.
Трябва да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите. Това ще бъде общият знаменател. Що за номер е това? Това е най-малкото естествено число, което се дели на всяко от числата.
Вижте, ето две числа: 3 и 4, има много числа, които се делят на тях - това са 12, 24, 36, ... Най-малкото от тях е 12. Или 6 и 15, те се делят на 30, 60, 90 .... Най-малкото е 30. Въпросът е - как да определим това най-малко общо кратно?
Има ясен алгоритъм, но често това може да стане веднага без изчисления. Например, според горните примери (3 и 4, 6 и 15) не е необходим алгоритъм, ние взехме големи числа (4 и 15), удвоихме ги и видяхме, че те се делят на второто число, но двойки числа могат да са други, например 51 и 119.
Алгоритъм. За да определите най-малкото общо кратно на няколко числа, трябва:
- разложи всяко число на ПРОСТИ фактори
— запишете разлагането на ПО-ГОЛЕМИТЕ от тях
- умножете го по ЛИПСВАЩИТЕ множители на други числа
Нека да разгледаме примери:
50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
в разлагане Повече ▼една петица липсва
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
в разширяването на по-голямо число две и три липсват
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Най-малко общо кратно на две прости числаравно на техния продукт
Въпрос! Защо намирането на най-малкото общо кратно е полезно, след като можете да използвате втория метод и просто да намалите получената дроб? Да, възможно е, но не винаги е удобно. Погледнете знаменателя на числата 48 и 72, ако просто ги умножите 48∙72 = 3456. Съгласете се, че е по-приятно да работите с по-малки числа.
Нека да разгледаме примери:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
разширяването на по-голямо число липсва тройка
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Сега нека използваме първия метод:
*Вижте разликата в изчисленията, в първия случай има минимум от тях, но във втория трябва да работите отделно върху лист хартия и дори фракцията, която сте получили, трябва да бъде намалена. Намирането на LOC значително опростява работата.
Още примери:
* Във втория пример е ясно, че най-малкото число, което се дели на 40 и 60 е 120.
РЕЗУЛТАТ! ОБЩ АЛГОРИТЪМ ЗА ИЗЧИСЛЕНИЕ!
— свеждаме дробите до обикновени, ако има цяла част.
- привеждаме дробите към общ знаменател (първо гледаме дали един знаменател се дели на друг; ако се дели, тогава умножаваме числителя и знаменателя на тази друга дроб; ако не се дели, действаме с други методи посочени по-горе).
- След като получихме дроби с равни знаменатели, извършваме операции (събиране, изваждане).
- ако е необходимо, намаляваме резултата.
- ако е необходимо, изберете цялата част.
2. Произведение от дроби.
Правилото е просто. При умножаване на дроби техните числители и знаменатели се умножават:
Примери:
Калкулатор на дробипредназначен за бързо изчисляване на операции с дроби, той ще ви помогне лесно да добавяте, умножавате, разделяте или изваждате дроби.
Съвременните ученици започват да изучават дроби още в 5-ти клас и всяка година упражненията с тях стават все по-сложни. Математически терминии количествата, които учим в училище, рядко могат да ни бъдат полезни възрастен живот. Дробите обаче, за разлика от логаритмите и степените, се срещат доста често в ежедневието (измерване на разстояния, претегляне на стоки и др.). Нашият калкулатор е предназначен за бързи операции с дроби.
Първо, нека дефинираме какво представляват дробите и какви са те. Дробите са съотношението на едно число към друго; това е число, състоящо се от цял брой дроби от единица.
Видове дроби:
- Обикновен
- десетична
- Смесени
Пример обикновени дроби:
Горната стойност е числителят, долната е знаменателят. Тирето ни показва, че горното число се дели на долното число. Вместо този формат на писане, когато тирето е хоризонтално, можете да пишете различно. Можете да поставите наклонена линия, например:
1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1
Десетични знациса най-популярният вид дроби. Състоят се от цяла и дробна част, разделени със запетая.
Пример за десетични дроби:
0,2 или 6,71 или 0,125
Състои се от цяло число и дробна част. За да разберете стойността на тази дроб, трябва да съберете цялото число и дробта.
Пример за смесени дроби:
Калкулаторът за дроби на нашия уебсайт може бързо да изпълнява всякакви задачи онлайн. математически операциис дроби:
- Допълнение
- Изваждане
- Умножение
- дивизия
За да извършите изчислението, трябва да въведете числа в полетата и да изберете действие. За дроби трябва да попълните числителя и знаменателя, може да не се пише цялото число (ако дробта е обикновена). Не забравяйте да кликнете върху бутона "равно".
Удобно е, че калкулаторът веднага предоставя процеса за решаване на пример с дроби, а не само готов отговор. Благодарение на внедреното решение можете да използвате този материалпри решаване училищни задачии за по-добро развитиепокрит материал.
Трябва да извършите примерното изчисление:
След въвеждане на индикаторите в полетата на формуляра получаваме:
За да направите своя собствена калкулация, въведете данните във формата.
Калкулатор на дроби
Въведете две дроби:| + - * : | |||||||
Свързани раздели.