Как да намерим корените на квадратно уравнение. Квадратни уравнения

Продължаваме да изучаваме темата " решаване на уравнения" Вече се запознахме с линейните уравнения и преминаваме към запознаване квадратни уравнения.

Първо ще разгледаме какво е квадратно уравнение и как се записва общ изглед, и ние ще дадем свързани определения. След това ще използваме примери, за да разгледаме подробно как се решават непълни квадратни уравнения. Да преминем към решението пълни уравнения, получаваме коренната формула, запознаваме се с дискриминанта на квадратното уравнение и разглеждаме решенията типични примери. И накрая, нека проследим връзките между корените и коефициентите.

Навигация в страницата.

Какво е квадратно уравнение? Техните видове

Първо трябва ясно да разберете какво е квадратно уравнение. Следователно е логично да започнем разговор за квадратни уравнения с дефиницията на квадратно уравнение, както и сродни определения. След това можете да разгледате основните видове квадратни уравнения: редуцирани и нередуцирани, както и пълни и непълни уравнения.

Определение и примери за квадратни уравнения

Определение.

Квадратно уравнениее уравнение на формата a x 2 +b x+c=0, където x е променлива, a, b и c са някои числа, а a е различно от нула.

Да кажем веднага, че квадратните уравнения често се наричат уравнения от втора степен. Това се дължи на факта, че квадратното уравнение е алгебрично уравнение втора специалност.

Посоченото определение ни позволява да дадем примери за квадратни уравнения. Така че 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 и т.н. Това са квадратни уравнения.

Определение.

Числа a, b и c се наричат коефициенти на квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 и коефициентът a се нарича първи, или най-високият, или коефициентът на x 2, b е вторият коефициент, или коефициентът на x, а c е свободният член .

Например, нека вземем квадратно уравнение под формата 5 x 2 −2 x −3=0, тук водещият коефициент е 5, вторият коефициент е равен на −2, а свободният член е равен на −3. Обърнете внимание, че когато коефициентите b и/или c са отрицателни, както в току-що дадения пример, тогава кратка формаписане на квадратно уравнение във формата 5 x 2 −2 x−3=0, а не 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

Струва си да се отбележи, че когато коефициентите a и/или b са равни на 1 или −1, тогава те обикновено не присъстват изрично в квадратното уравнение, което се дължи на особеностите на тяхното записване. Например в квадратното уравнение y 2 −y+3=0 водещият коефициент е единица, а коефициентът на y е равен на −1.

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

В зависимост от стойността на водещия коефициент се разграничават редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения. Нека дадем съответните определения.

Определение.

Нарича се квадратно уравнение, в което водещият коефициент е 1 дадено квадратно уравнение. IN в противен случайквадратното уравнение е недокоснат.

Според това определение, квадратни уравнения x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 и т.н. – даден, във всеки от тях първият коефициент равно на едно. A 5 x 2 −x−1=0 и т.н. - нередуцирани квадратни уравнения, техните водещи коефициенти са различни от 1.

От всяко нередуцирано квадратно уравнение, като разделите двете страни на водещия коефициент, можете да отидете до редуцираното. Това действие е еквивалентна трансформация, тоест полученото по този начин редуцирано квадратно уравнение има същите корени като оригиналното нередуцирано квадратно уравнение или, подобно на него, няма корени.

Нека разгледаме пример за това как се извършва преходът от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример.

От уравнението 3 x 2 +12 x−7=0 преминете към съответното намалено квадратно уравнение.

Решение.

Просто трябва да разделим двете страни на първоначалното уравнение на водещия коефициент 3, той е различен от нула, така че можем да извършим това действие. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, което е същото, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 и след това (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, от където . Така получихме редуцираното квадратно уравнение, което е еквивалентно на първоначалното.

Отговор:

Пълни и непълни квадратни уравнения

Дефиницията на квадратно уравнение съдържа условието a≠0. Това условие е необходимо, за да може уравнението a x 2 + b x + c = 0 да е квадратно, тъй като когато a = 0 то всъщност се превръща в линейно уравнение във формата b x + c = 0.

Що се отнася до коефициентите b и c, те могат да бъдат равни на нула, както поотделно, така и заедно. В тези случаи квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение.

Квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 се нарича непълна, ако поне един от коефициентите b, c равен на нула.

На свой ред

Определение.

Пълно квадратно уравнениее уравнение, в което всички коефициенти са различни от нула.

Такива имена не са дадени случайно. Това ще стане ясно от следващите дискусии.

Ако коефициентът b е нула, тогава квадратното уравнение приема формата a·x 2 +0·x+c=0 и е еквивалентно на уравнението a·x 2 +c=0. Ако c=0, тоест квадратното уравнение има формата a·x 2 +b·x+0=0, тогава то може да бъде пренаписано като a·x 2 +b·x=0. И с b=0 и c=0 получаваме квадратното уравнение a·x 2 =0. Получените уравнения се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви части не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете. Оттук и името им - непълни квадратни уравнения.

Така уравненията x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0.2=0 са примери за пълни квадратни уравнения и x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

От информацията в предходния параграф следва, че има три вида непълни квадратни уравнения:

a·x 2 =0, на него съответстват коефициентите b=0 и c=0;
a x 2 +c=0, когато b=0;
и a·x 2 +b·x=0, когато c=0.

Нека разгледаме по ред как се решават непълните квадратни уравнения от всеки от тези типове.

a x 2 =0

Нека започнем с решаването на непълни квадратни уравнения, в които коефициентите b и c са равни на нула, тоест с уравнения от вида a x 2 =0. Уравнението a·x 2 =0 е еквивалентно на уравнението x 2 =0, което се получава от оригинала чрез разделяне на двете части на различно от нула число a. Очевидно коренът на уравнението x 2 =0 е нула, тъй като 0 2 =0. Това уравнение няма други корени, което се обяснява с факта, че за всяко ненулево число p е в сила неравенството p 2 >0, което означава, че за p≠0 равенството p 2 =0 никога не се постига.

И така, непълното квадратно уравнение a·x 2 =0 има един корен x=0.

Като пример даваме решението на непълното квадратно уравнение −4 x 2 =0. То е еквивалентно на уравнението x 2 =0, единственият му корен е x=0, следователно оригиналното уравнение има един корен нула.

Може да се напише кратко решение в този случай по следния начин:
−4 x 2 =0,
х 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Сега нека да разгледаме как се решават непълни квадратни уравнения, в които коефициентът b е нула и c≠0, тоест уравнения от формата a x 2 +c=0. Знаем, че преместването на член от едната страна на уравнението в другата с противоположен знак, както и разделянето на двете страни на уравнението на ненулево число дава еквивалентно уравнение. Следователно може да се направи следното еквивалентни трансформациинепълно квадратно уравнение a x 2 +c=0 :

преместете c в дясната страна, което дава уравнението a x 2 =−c,
и разделяме двете страни на a, получаваме .

Полученото уравнение ни позволява да направим изводи за неговите корени. В зависимост от стойностите на a и c, стойността на израза може да бъде отрицателна (например, ако a=1 и c=2, тогава ) или положителна (например, ако a=−2 и c=6, тогава ), не е нула , тъй като по условие c≠0. Отделно ще анализираме случаите и.

Ако , тогава уравнението няма корени. Това твърдение следва от факта, че квадратът на всяко число е неотрицателно число. От това следва, че когато , тогава за всяко число p равенството не може да бъде вярно.

Ако , тогава ситуацията с корените на уравнението е различна. В този случай, ако си спомним за , тогава коренът на уравнението веднага става очевиден; това е числото, тъй като . Лесно е да се досетите, че числото също е коренът на уравнението, наистина, . Това уравнение няма други корени, което може да се покаже, например, от противоречие. Хайде да го направим.

Нека означим корените на току-що обявеното уравнение като x 1 и −x 1 . Да предположим, че уравнението има още един корен x 2, различен от посочените корени x 1 и −x 1. Известно е, че заместването на неговите корени в уравнение вместо x превръща уравнението в правилно числово равенство. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Свойствата на числовите равенства ни позволяват да извършваме член по член изваждане на true числови равенства, така че изваждането на съответните части от равенствата дава x 1 2 −x 2 2 =0. Свойствата на операциите с числа ни позволяват да пренапишем полученото равенство като (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Знаем, че произведението на две числа е равно на нула тогава и само ако поне едно от тях е равно на нула. Следователно от полученото равенство следва, че x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0, което е едно и също, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1. Така че стигнахме до противоречие, тъй като в началото казахме, че коренът на уравнението x 2 е различен от x 1 и −x 1. Това доказва, че уравнението няма корени освен и .

Нека обобщим информацията в този параграф. Непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0 е еквивалентно на уравнението, което

няма корени, ако,
има два корена и , ако .

Нека разгледаме примери за решаване на непълни квадратни уравнения от вида a·x 2 +c=0.

Нека започнем с квадратното уравнение 9 x 2 +7=0. След преместване на свободния член в дясната страна на уравнението, той ще приеме формата 9 x 2 =−7. Разделяйки двете страни на полученото уравнение на 9, получаваме . Тъй като дясната страна има отрицателно число, това уравнение няма корени, следователно оригиналното непълно квадратно уравнение 9 x 2 +7 = 0 няма корени.

Нека решим друго непълно квадратно уравнение −x 2 +9=0. Преместваме деветката от дясната страна: −x 2 =−9. Сега разделяме двете страни на −1, получаваме x 2 =9. От дясната страна е положително число, от което заключаваме, че или . След това записваме окончателния отговор: непълното квадратно уравнение −x 2 +9=0 има два корена x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Остава да се занимаем с решението на последния тип непълни квадратни уравнения за c=0. Непълните квадратни уравнения под формата a x 2 + b x = 0 ви позволяват да решите метод на факторизация. Очевидно можем, намирайки се от лявата страна на уравнението, за което е достатъчно да го извадим от скобите общ множителх. Това ни позволява да преминем от първоначалното непълно квадратно уравнение към еквивалентно уравнение във вида x·(a·x+b)=0. И това уравнение е еквивалентно на набор от две уравнения x=0 и a·x+b=0, последното от които е линейно и има корен x=−b/a.

И така, непълното квадратно уравнение a·x 2 +b·x=0 има два корена x=0 и x=−b/a.

За да консолидираме материала, ще анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Изваждането на x извън скобите дава уравнението. Това е еквивалентно на две уравнения x=0 и . Разрешаване на това, което имаме линейно уравнение: , и извършване на разделянето смесено числоНа обикновена дроб, намираме . Следователно корените на оригиналното уравнение са x=0 и .

След придобиване на необходимата практика, решенията на такива уравнения могат да бъдат написани накратко:

Отговор:

x=0 , .

Дискриминант, формула за корените на квадратно уравнение

За решаване на квадратни уравнения има формула за корен. Нека го запишем формула за корените на квадратно уравнение: , Където D=b 2 −4 a c- т.нар дискриминант на квадратно уравнение. Записът по същество означава, че.

Полезно е да знаете как е получена формулата за корен и как се използва при намиране на корените на квадратни уравнения. Нека разберем това.

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Нека трябва да решим квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0. Нека извършим някои еквивалентни трансформации:

Можем да разделим двете страни на това уравнение на ненулево число a, което води до следното квадратно уравнение.
Сега нека подчертаем идеален квадрат от лявата му страна: . След това уравнението ще приеме формата.
На този етап е възможно последните два члена да се прехвърлят от дясната страна с противоположния знак, имаме .
И нека трансформираме израза от дясната страна: .

В резултат на това стигаме до уравнение, което е еквивалентно на оригиналното квадратно уравнение a·x 2 +b·x+c=0.

Вече сме решавали уравнения, подобни по форма в предишни параграфикогато го разглобиха. Това ви позволява да направите следните заключенияотносно корените на уравнението:

ако , тогава уравнението няма валидни решения;
ако , тогава уравнението има формата , следователно, , от което се вижда единственият му корен;
ако , тогава или , което е същото като или , тоест уравнението има два корена.

По този начин наличието или отсъствието на корени на уравнението и следователно на оригиналното квадратно уравнение зависи от знака на израза от дясната страна. От своя страна знакът на този израз се определя от знака на числителя, тъй като знаменателят 4·a 2 винаги е положителен, тоест от знака на израза b 2 −4·a·c. Този израз b 2 −4 a c беше наречен дискриминант на квадратно уравнениеи обозначени с буквата д. Оттук е ясна същността на дискриминанта - по стойността и знака му правят заключение дали квадратното уравнение има истински корени, и ако да какъв е броят им - един или два.

Нека се върнем към уравнението и го пренапишем, като използваме дискриминантната нотация: . И правим изводи:

ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ако D=0, тогава това уравнение има един корен;
накрая, ако D>0, тогава уравнението има два корена или, които могат да бъдат пренаписани във формата или и след разширяване и намаляване на дробите до общ знаменателполучаваме .

Така че изведехме формулите за корените на квадратното уравнение, те изглеждат като , където дискриминантът D се изчислява по формулата D=b 2 −4·a·c.

С тяхна помощ, с положителен дискриминант, можете да изчислите и двата реални корена на квадратно уравнение. Когато дискриминантът е равен на нула, и двете формули дават една и съща стойност на корена, съответстваща на уникално решение на квадратното уравнение. И когато отрицателен дискриминанткогато се опитваме да използваме формулата за корените на квадратно уравнение, се сблъскваме с извличането корен квадратенот отрицателно число, което ни отвежда отвъд и училищна програма. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма реални корени, но има двойка комплексно спрегнаткорени, които могат да бъдат намерени с помощта на същите формули за корени, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

На практика, когато решавате квадратни уравнения, можете веднага да използвате формулата на корена, за да изчислите техните стойности. Но това е по-скоро свързано с намирането на сложни корени.

Въпреки това, в училищен курсалгебра обикновено ние говорим зане за комплексни, а за реални корени на квадратно уравнение. В този случай е препоръчително, преди да използвате формулите за корените на квадратно уравнение, първо да намерите дискриминанта, да се уверите, че е неотрицателен (в противен случай можем да заключим, че уравнението няма реални корени), и едва след това изчислете стойностите на корените.

Горното разсъждение ни позволява да пишем алгоритъм за решаване на квадратно уравнение. За да решите квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, трябва:

използвайки дискриминантната формула D=b 2 −4·a·c, изчислете стойността му;
заключават, че квадратното уравнение няма реални корени, ако дискриминантът е отрицателен;
изчислете единствения корен на уравнението по формулата, ако D=0;
намерете два реални корена на квадратно уравнение, като използвате формулата за корен, ако дискриминантът е положителен.

Тук просто отбелязваме, че ако дискриминантът е равен на нула, можете също да използвате формулата, тя ще даде същата стойност като .

Можете да преминете към примери за използване на алгоритъма за решаване на квадратни уравнения.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека разгледаме решенията на три квадратни уравнения с положителни, отрицателни и равен на нуладискриминанта. След като се справим с тяхното решение, по аналогия ще бъде възможно да се реши всяко друго квадратно уравнение. Нека да започнем.

Пример.

Намерете корените на уравнението x 2 +2·x−6=0.

Решение.

В този случай имаме следните коефициенти на квадратното уравнение: a=1, b=2 и c=−6. Според алгоритъма, първо трябва да изчислите дискриминанта; заместваме посочените a, b и c във формулата на дискриминанта, която имаме D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Тъй като 28>0, тоест дискриминантът е по-голям от нула, квадратното уравнение има два реални корена. Нека ги намерим с помощта на формулата за корен, получаваме , тук можете да опростите получените изрази, като направите преместване на множителя отвъд знака за коренпоследвано от намаляване на фракцията:

Отговор:

Да преминем към следващия типичен пример.

Пример.

Решете квадратното уравнение −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започваме с намирането на дискриминанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Следователно това квадратно уравнение има един корен, който намираме като , т.е.

Отговор:

х=3,5.

Остава да разгледаме решаването на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант.

Пример.

Решете уравнението 5·y 2 +6·y+2=0.

Решение.

Ето коефициентите на квадратното уравнение: a=5, b=6 и c=2. Ние заместваме тези стойности в дискриминантната формула, която имаме D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминантът е отрицателен, следователно това квадратно уравнение няма реални корени.

Ако трябва да посочите сложни корени, тогава прилагаме добре позната формулакорени на квадратно уравнение и изпълнете действия с комплексни числа :

Отговор:

няма истински корени, сложните корени са: .

Нека отбележим още веднъж, че ако дискриминантът на квадратно уравнение е отрицателен, тогава в училище те обикновено незабавно записват отговор, в който посочват, че няма реални корени и сложни корени не се намират.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Формулата за корените на квадратно уравнение, където D=b 2 −4·a·c ви позволява да получите формула с по-компактна форма, която ви позволява да решавате квадратни уравнения с четен коефициент за x (или просто с коефициент, имащ формата 2·n, например, или 14· ln5=2·7·ln5 ). Да я измъкнем.

Да кажем, че трябва да решим квадратно уравнение от формата a x 2 +2 n x+c=0. Нека намерим корените му, използвайки формулата, която знаем. За да направим това, изчисляваме дискриминанта D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)и след това използваме коренната формула:

Нека обозначим израза n 2 −a c като D 1 (понякога се обозначава D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n ще приеме формата , където D 1 =n 2 −a·c.

Лесно се вижда, че D=4·D 1, или D 1 =D/4. С други думи, D 1 е четвъртата част от дискриминанта. Ясно е, че знакът на D 1 е същият като знака на D . Тоест, знакът D 1 също е индикатор за наличието или отсъствието на корени на квадратно уравнение.

И така, за да решите квадратно уравнение с втори коефициент 2·n, трябва

Изчислете D 1 =n 2 −a·c ;
Ако D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ако D 1 =0, тогава изчислете единствения корен на уравнението, като използвате формулата;
Ако D 1 >0, тогава намерете два реални корена, като използвате формулата.

Нека разгледаме решаването на примера с помощта на формулата за корен, получена в този параграф.

Пример.

Решете квадратното уравнение 5 x 2 −6 x −32=0 .

Решение.

Вторият коефициент на това уравнение може да бъде представен като 2·(−3) . Тоест можете да пренапишете оригиналното квадратно уравнение във формата 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, тук a=5, n=−3 и c=−32, и да изчислите четвъртата част от дискриминанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Тъй като стойността му е положителна, уравнението има два реални корена. Нека ги намерим с помощта на подходящата коренна формула:

Имайте предвид, че беше възможно да се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай ще трябва да се извърши повече изчислителна работа.

Отговор:

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога, преди да започнете да изчислявате корените на квадратно уравнение с помощта на формули, няма да навреди да зададете въпроса: „Възможно ли е да се опрости формата на това уравнение?“ Съгласете се, че по отношение на изчисленията ще бъде по-лесно да се реши квадратното уравнение 11 x 2 −4 x−6=0, отколкото 1100 x 2 −400 x−600=0.

Обикновено опростяването на формата на квадратно уравнение се постига чрез умножаване или деление на двете страни на определено число. Например, в предишния параграф беше възможно да се опрости уравнението 1100 x 2 −400 x −600=0, като се разделят двете му страни на 100.

Подобна трансформация се извършва с квадратни уравнения, чиито коефициенти не са . В този случай обикновено разделяме двете страни на уравнението на абсолютни стойностинеговите коефициенти. Например, нека вземем квадратното уравнение 12 x 2 −42 x+48=0. абсолютни стойности на неговите коефициенти: НОД(12, 42, 48)= НОД(НОД(12, 42), 48)= НОД(6, 48)=6. Разделяйки двете страни на първоначалното квадратно уравнение на 6, стигаме до еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 −7 x+8=0.

А умножаването на двете страни на квадратно уравнение обикновено се прави, за да се отървем от дробните коефициенти. В този случай умножението се извършва по знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако двете страни на квадратното уравнение се умножат по LCM(6, 3, 1)=6, тогава то ще приеме по-простата форма x 2 +4·x−18=0.

В заключение на тази точка отбелязваме, че те почти винаги се отърват от минуса при най-високия коефициент на квадратно уравнение чрез промяна на знаците на всички членове, което съответства на умножаване (или деление) на двете страни по −1. Например, обикновено се преминава от квадратното уравнение −2 x 2 −3 x+7=0 към решението 2 x 2 +3 x−7=0 .

Връзка между корени и коефициенти на квадратно уравнение

Формулата за корените на квадратно уравнение изразява корените на уравнението чрез неговите коефициенти. Въз основа на формулата за корен можете да получите други връзки между корени и коефициенти.

Най-известните и приложими формули от теоремата на Виета са от вида и . По-специално, за даденото квадратно уравнение сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, като разгледаме формата на квадратното уравнение 3 x 2 −7 x + 22 = 0, можем веднага да кажем, че сборът от неговите корени е равен на 7/3, а произведението на корените е равно на 22 /3.

Използвайки вече написаните формули, можете да получите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например, можете да изразите сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение чрез неговите коефициенти: .

Библиография.

Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Копьевская селска гимназия

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Ръководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

учител по математика

с. Копево 2007г

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравненияв Древен Вавилон

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения

1.3 Квадратни уравнения в Индия

1.4 Квадратни уравнения от ал-Хорезми

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

Литература

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен в древността е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на области парцелии със земни работи от военен характер, както и с развитието на самата астрономия и математика. Квадратните уравнения могат да бъдат решени около 2000 г. пр.н.е. д. вавилонци.

Използвайки съвременна алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове има, в допълнение към непълните, такива, например, пълни квадратни уравнения:

х 2 + х = ¾; х 2 - х = 14,5

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, по същество съвпада със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, предоставят само проблеми с решения, изложени под формата на рецепти, без индикация как са намерени.

Въпреки високо ниворазвитието на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва концепцията за отрицателно число и общи методирешаване на квадратни уравнения.

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения.

Аритметиката на Диофант не съдържа систематично представяне на алгебрата, но съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез построяване на уравнения от различни степени.

Когато съставя уравнения, Диофант умело подбира неизвестни, за да опрости решението.

Ето например една от задачите му.

Проблем 11.„Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96“

Диофант разсъждава по следния начин: от условията на задачата следва, че търсените числа не са равни, тъй като ако бяха равни, тогава произведението им не би било равно на 96, а на 100. Така едно от тях ще бъде повече от половинататехните суми, т.е. 10 + х, другото е по-малко, т.е. 10-те. Разликата между тях 2x .

Следователно уравнението:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - х 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Оттук х = 2. Едно от търсените числа е равно на 12 , друго 8 . Решение х = -2за Диофант не съществува, тъй като гръцката математика познава само положителни числа.

Ако решим тази задача, като изберем едно от търсените числа като неизвестно, тогава ще стигнем до решение на уравнението

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ясно е, че като избира полуразликата на търсените числа като неизвестно, Диофант опростява решението; той успява да сведе проблема до решаване на непълно квадратно уравнение (1).

1.3 Квадратни уравнения в Индия

Задачи за квадратни уравнения се намират още в астрономическия трактат „Арябхатиам“, съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Арябхата. Друг индийски учен, Брахмагупта (7 век), очерта общо правилорешения на квадратни уравнения, приведени до една канонична форма:

ах 2 + b x = c, a > 0. (1)

В уравнение (1), коефициентите, с изключение на А, може да бъде и отрицателен. Правилото на Брахмагупта по същество е същото като нашето.

IN Древна Индияпубличните състезания в решаването бяха обичайни трудни задачи. Една от старите индийски книги казва следното за такива състезания: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така учен човекще засенчи славата на друг народни събрания, предлагане и решаване на алгебрични задачи.“ Проблемите често се представят в поетична форма.

Това е един от проблемите на известния индийски математик от 12 век. Бхаскари.

Проблем 13.

„Ято бързи маймуни и дванадесет по лозите...

Властите, като ядоха, се забавляваха. Започнаха да скачат, да висят...

Има ги на площада, осма част. Колко маймуни имаше?

Забавлявах се на поляната. Кажи ми, в тази опаковка?

Решението на Бхаскара показва, че той е знаел, че корените на квадратните уравнения са двузначни (фиг. 3).

Уравнението, съответстващо на задача 13 е:

( х /8) 2 + 12 = х

Бхаскара пише под прикритието:

x 2 - 64x = -768

и за допълване лява странана това уравнение към квадрата, добавя към двете страни 32 2 , след което получаваме:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

В алгебричния трактат на ал-Хорезми е дадена класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът брои 6 вида уравнения, изразявайки ги по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b Х.

2) “Квадратите са равни на числа”, т.е. брадва 2 = c.

3) “Корените са равни на числото”, т.е. ах = s.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b Х.

5) “Квадратите и корените са равни на числата”, т.е. ах 2 + bx = s.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c = брадва 2 .

За ал-Хорезми, който избягва консумацията отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждаеми. В този случай уравнения, които нямат положителни решения. Авторът излага методи за решаване на тези уравнения, използвайки техниките на ал-джабр и ал-мукабала. Неговите решения, разбира се, не съвпадат напълно с нашите. Да не говорим, че е чисто риторично, трябва да се отбележи например, че при решаване на непълно квадратно уравнение от първи тип

ал-Хорезми, както всички математици до 17 век, не взема предвид нулево решение, вероятно защото в специфични практически проблеминяма значение. При решаване на пълни квадратни уравнения ал-Хорезми върху частични числени примериизлага правилата за решението и след това геометричните доказателства.

Проблем 14.„Квадратът и числото 21 са равни на 10 корена. Намерете корена" (което предполага корена на уравнението x 2 + 21 = 10x).

Решението на автора е нещо подобно: разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножете 5 по себе си, извадете 21 от продукта, това, което остава, е 4. Вземете корен от 4, получавате 2. Извадете 2 от 5 , получавате 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете 2 към 5, което дава 7, това също е корен.

Трактатът на ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, която систематично излага класификацията на квадратните уравнения и дава формули за тяхното решаване.

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII bb

Формулите за решаване на квадратни уравнения по линията на ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в Книгата на абака, написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Тази обемна работа, която отразява влиянието на математиката, както в ислямските страни, така и в Древна Гърция, се отличава както с пълнота, така и с яснота на изложението. Авторът самостоятелно разработи някои нови алгебрични примерирешаване на задачи и пръв в Европа въведе отрицателните числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много проблеми от Книгата на абака бяха прехвърлени на почти всички европейски учебници XVI - XVII век и отчасти XVIII.

Общото правило за решаване на квадратни уравнения, намалено до една канонична форма:

х 2 + bx = c,

за всички възможни комбинации от знаци на коефициента b , се формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

Извеждането на формулата за решаване на квадратно уравнение в общ вид е достъпно от Viète, но Viète признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. Те вземат предвид, освен положителното, и отрицателни корени. Едва през 17в. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, наречена на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако б + д, умножено по А - А 2 , равно на BD, Че Аравно на INи равни д ».

За да разберем Виета, трябва да помним това А, като всяка гласна буква, означаваше неизвестното (нашата х), гласни IN, д- коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Виета означава: ако има

(а + b )x - x 2 = аб ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Изразяване на връзката между корените и коефициентите на уравненията общи формулинаписан с помощта на символи, Виет установява еднаквост в методите за решаване на уравнения. Въпреки това, символиката на Виет все още е далеч модерен вид. Той не признаваше отрицателните числа и затова при решаването на уравнения разглеждаше само случаите, когато всички корени бяха положителни.

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествена сградаалгебра. Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (8 клас) до завършването.

Видео урок 2: Решаване на квадратни уравнения

Лекция: Квадратни уравнения

Уравнението

Уравнението- това е вид равенство, в изразите на което има променлива.

Решете уравнението- означава намиране на число вместо променлива, което ще го доведе до правилно равенство.

Едно уравнение може да има едно решение, няколко или нито едно решение.

За да решите всяко уравнение, то трябва да бъде опростено възможно най-много до формата:

Линеен: a*x = b;

Квадрат: a*x 2 + b*x + c = 0.

Тоест всички уравнения трябва да бъдат преобразувани в стандартна форма преди решаване.

Всяко уравнение може да бъде решено по два начина: аналитичен и графичен.

На графиката решението на уравнението се счита за точките, в които графиката пресича оста OX.

Квадратни уравнения

Едно уравнение може да се нарече квадратно, ако, опростено, приема формата:

a*x 2 + b*x + c = 0.

При което a, b, cса коефициенти на уравнението, които се различават от нула. А "Х"- корен на уравнението. Смята се, че квадратното уравнение има два корена или може изобщо да няма решение. Получените корени може да са еднакви.

"А"- коефициентът, който стои преди квадратния корен.

"б"- стои пред неизвестното на първа степен.

"със"е свободният член на уравнението.

Ако, например, имаме уравнение от вида:

2x 2 -5x+3=0

В него “2” е коефициентът на водещия член на уравнението, “-5” е вторият коефициент, а “3” е свободният член.

Решаване на квадратно уравнение

Съществува огромно разнообразиеначини за решаване на квадратно уравнение. В училищния курс по математика обаче решението се изучава с помощта на теоремата на Vieta, както и с помощта на дискриминанта.

Дискриминантно решение:

При решаване на с този методе необходимо да се изчисли дискриминантът по формулата:

Ако по време на изчисленията откриете, че дискриминантът е по-малък от нула, това означава, че това уравнение няма решения.

Ако дискриминантът е нула, тогава уравнението има две идентични решения. В този случай полиномът може да бъде свит с помощта на съкратената формула за умножение до квадрат на сумата или разликата. След това го решете като линейно уравнение. Или използвайте формулата:

Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава трябва да използвате следния метод:

Теорема на Виета

Ако уравнението е дадено, тоест коефициентът на водещия член е равен на единица, тогава можете да използвате Теорема на Виета.

Така че нека приемем, че уравнението е:

Корените на уравнението се намират, както следва:

Непълно квадратно уравнение

Има няколко варианта за получаване на непълно квадратно уравнение, чиято форма зависи от наличието на коефициенти.

1. Ако вторият и третият коефициент са нула (b = 0, c = 0), тогава квадратното уравнение ще изглежда така:

Това уравнение ще има единствено решение. Равенството ще бъде вярно само ако решението на уравнението е нула.

Уравнение на формата

Изразяване д= б 2 - 4 акНаречен дискриминантаквадратно уравнение. Акод = 0, тогава уравнението има един реален корен; ако Д> 0, тогава уравнението има два реални корена.
В случай д = 0 , понякога се казва, че квадратното уравнение има два еднакви корена.
Използване на нотацията д= б 2 - 4 ак, можем да пренапишем формула (2) във формата

Ако b= 2k, тогава формула (2) приема формата:

Където к= б / 2 .
Последната формула е особено удобна в случаите, когато b / 2 - цяло число, т.е. коефициент b - четен брой.
Пример 1:Решете уравнението 2 х 2 - 5 х + 2 = 0 . Тук a = 2, b = -5, c = 2. Ние имаме д= б 2 - 4 ак = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . защото д > 0 , тогава уравнението има два корена. Нека ги намерим с формула (2)

Така х 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
това е х 1 = 2 И х 2 = 1 / 2 - корени за дадено уравнение.
Пример 2:Решете уравнението 2 х 2 - 3 х + 5 = 0 . Тук a = 2, b = -3, c = 5. Намиране на дискриминанта д= б 2 - 4 ак = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . защото д 0 , тогава уравнението няма реални корени.

Непълни квадратни уравнения. Ако в квадратно уравнение брадва 2 +bx+ c =0 втори коефициент bили безплатен член ° Се равно на нула, тогава се нарича квадратното уравнение непълна. Непълни уравненияса изолирани, защото за да намерите техните корени, не е нужно да използвате формулата за корените на квадратно уравнение - по-лесно е да решите уравнението, като разложите лявата му страна на множители.
Пример 1:реши уравнението 2 х 2 - 5 х = 0 .
Ние имаме х(2 х - 5) = 0 . Така че или х = 0 , или 2 х - 5 = 0 , това е х = 2.5 . Така че уравнението има два корена: 0 И 2.5
Пример 2:реши уравнението 3 х 2 - 27 = 0 .
Ние имаме 3 х 2 = 27 . Следователно корените на това уравнение са 3 И -3 .

Теорема на Виета. Ако редуцираното квадратно уравнение х 2 +px+q =0 има реални корени, тогава тяхната сума е равна на - стр, а произведението е равно р, това е

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(сумата от корените на горното квадратно уравнение е равна на втория коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член).

Просто. По формули и ясни, прости правила. На първия етап

необходимо дадено уравнениеводи до стандартен изглед, т.е. към формата:

Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап. Най-важното е да го направите правилно

определяне на всички коефициенти, А, bИ ° С.

Формула за намиране на корените на квадратно уравнение.

Изразът под знака за корен се нарича дискриминанта . Както можете да видите, за да намерим X, ние

ние използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратно уравнение. Просто го поставете внимателно

стойности a, b и cИзчисляваме по тази формула. Заменяме с техензнаци!

Например, в уравнението:

А =1; b = 3; ° С = -4.

Заменяме стойностите и пишем:

Примерът е почти решен:

Това е отговорът.

Най-честите грешки са объркване със стойностите на знаците а, бИ с. Или по-скоро със замяна

отрицателни стойностивъв формулата за изчисляване на корените. Тук на помощ идва подробен запис на формулата

с конкретни числа. Ако имате проблеми с изчисленията, направете го!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

Тук а = -6; b = -5; ° С = -1

Описваме всичко подробно, внимателно, без да пропускаме нищо с всички знаци и скоби:

Квадратните уравнения често изглеждат малко по-различно. Например така:

Сега вземете под внимание практическите техники, които драстично намаляват броя на грешките.

Първа среща. Не бъдете мързеливи преди решаване на квадратно уравнениеприведете го в стандартна форма.

Какво означава това?

Да кажем, че след всички трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете коренната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете a, b и c.

Конструирайте примера правилно. Първо X на квадрат, след това без квадрат, след това свободният член. Като този:

Отърви се от минуса. как? Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите решаването на примера.

Решете сами. Сега трябва да имате корени 2 и -1.

Рецепция втори.Проверете корените! от Теорема на Виета.

За решаване на дадените квадратни уравнения, т.е. ако коеф

x 2 +bx+c=0,

Тогаваx 1 x 2 =c

x 1 + x 2 =−b

За пълно квадратно уравнение, в което a≠1:

х 2 +bx+° С=0,

разделете цялото уравнение на A:

→ →

Където х 1И х 2 - корени на уравнението.

Прием трети. Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, - отървете се от дробите! Умножете

уравнение с общ знаменател.

Заключение. Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартна форма и го изграждаме вярно.

2. Ако има отрицателен коефициент пред X на квадрат, ние го елиминираме, като умножим всичко

уравнения с -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответното

фактор.

4. Ако x на квадрат е чисто, неговият коефициент е равен на единица, решението може лесно да се провери чрез