План на урока.
1. Организационен момент.
2. Представяне на материала.
3. Домашна работа.
4. Обобщаване на урока.
По време на часовете
I. Организационен момент.
II. Представяне на материала.
Мотивация.
Разширяването на набора от реални числа се състои в добавяне на нови числа (въображаеми) към реалните числа. Въвеждането на тези числа се дължи на невъзможността да се извлече корен от отрицателно число в множеството от реални числа.
Запознаване с понятието комплексно число.
Във формуляра са записани въображаеми числа, които използваме за допълване на реални числа би, Където азе въображаема единица и i 2 = - 1.
Въз основа на това получаваме следната дефиниция на комплексно число.
Определение. Комплексното число е израз на формата а+би, Където аИ b- реални числа. В този случай са изпълнени следните условия:
а) Две комплексни числа a 1 + b 1 iИ a 2 + b 2 iравно тогава и само ако a 1 = a 2, b 1 = b 2.
б) Събирането на комплексни числа се определя от правилото:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
в) Умножението на комплексни числа се определя от правилото:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Алгебрична форма на комплексно число.
Записване на комплексно число във формата а+бисе нарича алгебрична форма на комплексно число, където А– реална част, бие въображаемата част и b- реално число.
Комплексно число а+бисе счита за равно на нула, ако неговите реална и имагинерна част са равни на нула: a = b = 0
Комплексно число а+бипри b = 0се счита за същото като реално число а: a + 0i = a.
Комплексно число а+бипри а = 0се нарича чисто въображаема и се обозначава би: 0 + bi = bi.
Две комплексни числа z = a + biИ = a – bi, различаващи се само по знака на въображаемата част, се наричат спрегнати.
Операции с комплексни числа в алгебрична форма.
Можете да извършвате следните операции върху комплексни числа в алгебрична форма.
1) Добавяне.
Определение. Сума от комплексни числа z 1 = a 1 + b 1 iИ z 2 = a 2 + b 2 iсе нарича комплексно число z, чиято реална част е равна на сумата от реалните части z 1И z 2, а имагинерната част е сумата от имагинерните части на числата z 1И z 2, това е z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Числа z 1И z 2се наричат термини.
Събирането на комплексни числа има следните свойства:
1º. Комутативност: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Асоциативност: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Комплексно число –а –бинарича обратното на комплексно число z = a + bi. Комплексно число, противоположно на комплексно число z, означено -z. Сума от комплексни числа zИ -zравно на нула: z + (-z) = 0
Пример 1: Извършете събиране (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Изваждане.
Определение.Извадете от комплексно число z 1комплексно число z 2 z,Какво z + z 2 = z 1.
Теорема. Разликата между комплексните числа съществува и е уникална.
Пример 2: Извършете изваждане (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 – 4i.
3) Умножение.
Определение. Произведение на комплексни числа z 1 =a 1 +b 1 iИ z 2 =a 2 +b 2 iсе нарича комплексно число z, определени от равенството: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Числа z 1И z 2се наричат фактори.
Умножението на комплексни числа има следните свойства:
1º. Комутативност: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Асоциативност: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Разпределимост на умножението спрямо събирането:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- реално число.
На практика умножението на комплексни числа се извършва съгласно правилото за умножаване на сбор по сбор и разделяне на реалната и имагинерната част.
В следващия пример ще разгледаме умножаването на комплексни числа по два начина: по правило и чрез умножаване на сбор по сбор.
Пример 3: Направете умножението (2 + 3i) (5 – 7i).
1 начин. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
Метод 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Разделяне.
Определение. Разделете комплексно число z 1към комплексно число z 2, означава да се намери такова комплексно число z, Какво z · z 2 = z 1.
Теорема.Коефициентът на комплексните числа съществува и е уникален, ако z 2 ≠ 0 + 0i.
На практика частното на комплексните числа се намира чрез умножаване на числителя и знаменателя по конюгата на знаменателя.
Позволявам z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Тогава
.
В следващия пример ще извършим деление, като използваме формулата и правилото за умножение по числото, спрегнато към знаменателя.
Пример 4. Намерете частното 
.
5) Повдигане на положителна цяла степен.
а) Сили на имагинерната единица.
Възползвайки се от равенството i 2 = -1, лесно е да се дефинира всяка степен на положително цяло число на имагинерната единица. Ние имаме:
i 3 = i 2 i = -i,
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 5 = i 4 i = i,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1и т.н.
Това показва, че градусните стойности аз н, Където н– цяло положително число, периодично повтарящо се при нарастване на индикатора с 4 .
Следователно, за да се вдигне бройката азна положителна цяла степен, трябва да разделим показателя на 4 и изградете азна степен, чийто показател е равен на остатъка от делението.
Пример 5: Изчислете: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
б) Повишаването на комплексно число на цяло положително число се извършва съгласно правилото за повдигане на бином на съответната степен, тъй като това е частен случай на умножаване на еднакви комплексни множители.
Пример 6: Изчислете: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Комплексните числа са разширение на набора от реални числа, обикновено означавани с . Всяко комплексно число може да бъде представено като формална сума, където и са реални числа, а е имагинерната единица.
Записването на комплексно число във формата , , се нарича алгебрична форма на комплексно число.
Свойства на комплексните числа. Геометрична интерпретация на комплексно число.
Действия върху комплексни числа, дадени в алгебрична форма:
Нека разгледаме правилата, по които се извършват аритметични операции с комплексни числа.
Ако са дадени две комплексни числа α = a + bi и β = c + di, тогава
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (единадесет)
Това следва от дефиницията на операциите събиране и изваждане на две подредени двойки реални числа (виж формули (1) и (3)). Получихме правилата за събиране и изваждане на комплексни числа: за да съберем две комплексни числа, трябва отделно да съберем реалните им части и съответно имагинерните им части; За да се извади друго от едно комплексно число, е необходимо да се извадят съответно реалната и имагинерната им част.
Числото – α = – a – bi се нарича противоположно на числото α = a + bi. Сумата от тези две числа е нула: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
За да получим правилото за умножение на комплексни числа, използваме формула (6), т.е. фактът, че i2 = -1. Като вземем предвид тази връзка, намираме (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, т.е.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. (12)
Тази формула съответства на формула (2), която определя умножението на подредени двойки реални числа.
Обърнете внимание, че сумата и произведението на две комплексно спрегнати числа са реални числа. Наистина, ако α = a + bi, = a – bi, тогава α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, т.е.
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
Когато разделяме две комплексни числа в алгебрична форма, трябва да очакваме, че частното също се изразява с число от същия тип, т.е. α/β = u + vi, където u, v R. Нека изведем правилото за деление на комплексни числа . Нека са дадени числата α = a + bi, β = c + di и β ≠ 0, т.е. c2 + d2 ≠ 0. Последното неравенство означава, че c и d не изчезват едновременно (случаят е изключен, когато c = 0 , d = 0). Прилагайки формула (12) и второто от равенствата (13), намираме:
Следователно частното на две комплексни числа се определя по формулата:
съответстващи на формула (4).
Използвайки получената формула за числото β = c + di, можете да намерите обратното му число β-1 = 1/β. Приемайки a = 1, b = 0 във формула (14), получаваме
Тази формула определя обратното на дадено комплексно число, различно от нула; това число също е сложно.
Например: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
Операции с комплексни числа в алгебрична форма.
55. Аргумент на комплексно число. Тригонометрична форма на запис на комплексно число (извод).
Arg.com.номера. – между положителната посока на реалната ос X и вектора, представящ даденото число.
Формула на тригона. Числа: ,
Алгебрична форма на запис на комплексно число............................................. ......... ................... | |||
Равнината на комплексните числа............................................. ...................... ............................ ............................ ... | |||
Комплексно спрегнати числа............................................. .................. .............................. .......................... | |||
Операции с комплексни числа в алгебрична форма.................................................. ......... .... | |||
Събиране на комплексни числа.............................................. ......................................................... ................. | |||
Изваждане на комплексни числа..................................................... .................. .............................. ..................... | |||
Умножение на комплексни числа.............................................. ............................ ............................. .................. | |||
Деление на комплексни числа..................................................... .......... ............................................ ................ ... | |||
Тригонометрична форма на запис на комплексно число.................................. ......... .......... | |||
Действия с комплексни числа в тригонометрична форма.................................................. ......... | |||
Умножение на комплексни числа в тригонометрична форма..................................... ........ | |||
Деление на комплексни числа в тригонометрична форма..................................... ........ ... | |||
Повдигане на комплексно число на степен положително цяло число..................................... ........... | |||
Извличане на корен от положително цяло число от комплексно число.................................. | |||
Повдигане на комплексно число на рационална степен..................................... .................. ..... | |||
Сложна серия................................................. ... ................................................ ......... ................. | |||
Комплексни числови редове..................................... .................. .............................. .......................... | |||
Степенен ред в комплексната равнина..................................... ......... ............................ | |||
Двустранен степенен ред в комплексната равнина..................................... ........... ... | |||
Функции на комплексна променлива............................................. ......................................................... | |||
Основни елементарни функции ............................................. .......... ............................................ . | |||
Формули на Ойлер................................................. ... ................................................ ......... .................... | |||
Експоненциална форма на представяне на комплексно число.................................. ...................... . | |||
Връзка между тригонометрични и хиперболични функции.................................. | |||
Логаритмична функция..................................................... ... ................................................ ......... ... | |||
Обща експоненциална и обща степенна функция..................................... ........ .............. | |||
Диференциране на функции на комплексна променлива..................................... ......... ... | |||
Условия на Коши-Риман ............................................. ..................................................... ........... ............ | |||
Формули за изчисляване на производната............................................. ....... ................................... | |||
Свойства на операцията диференциране................................................. ...................... ............................ ... | |||
Свойства на реалните и имагинерните части на аналитична функция.................................. | |||
Възстановяване на функция на комплексна променлива от нейната реална или имагинерна |
|||
Метод №1. Използване на интеграл на кривата ............................................. ......... | |||
Метод № 2. Директно приложение на условията на Коши-Риман..................................... | |||
Метод No3. Чрез производната на търсената функция............................................. ......... ......... | |||
Интегриране на функции на комплексна променлива............................................. ......... .......... | |||
Интегрална формула на Коши................................................. ..................................................... ........... ... | |||
Разширяване на функциите в сериите Тейлър и Лоран.................................................. .......... ........................ | |||
Нули и особени точки на функция на комплексна променлива.................................................. ............. ..... | |||
Нули на функция на комплексна променлива............................................. .......... ....................... | |||
Изолирани особени точки на функция на комплексна променлива.................................. | |||
14.3 Точка в безкрайност като особена точка на функция на комплексна променлива
Удръжки................................................. ......................................................... ............. ..................................... ... | |||
Приспадане в крайната точка............................................. ...... ............................................ ............ ...... | |||
Остатък на функция в безкрайна точка..................................... ........... ............... | |||
Изчисляване на интеграли с помощта на остатъци............................................. ....... ............................ | |||
Въпроси за самопроверка ............................................. ............................ ............................. ............................. ........ | |||
Литература................................................. ................................................. ...... ................................... | |||
Предметен индекс................................................. ................................................. ...... .............. | |||
Предговор
Правилното разпределяне на времето и усилията при подготовката за теоретичната и практическата част на изпит или сертифициране на модул е доста трудно, особено след като винаги няма достатъчно време по време на сесията. И както показва практиката, не всеки може да се справи с това. В резултат на това по време на изпита някои студенти решават задачи правилно, но се затрудняват да отговорят на най-простите теоретични въпроси, докато други могат да формулират теорема, но не могат да я приложат.
Настоящите указания за подготовка за изпита по дисциплината „Теория на функциите на комплексната променлива” (ТФКП) са опит да се разреши това противоречие и да се осигури едновременно повторение на теоретичния и практическия материал от дисциплината. Водени от принципа „Теорията без практика е мъртва, практиката без теория е сляпа“, те съдържат както теоретичните положения на курса на ниво дефиниции и формулировки, така и примери, илюстриращи приложението на всяка дадена теоретична позиция и по този начин улесняващи неговото запаметяване и разбиране.
Предназначението на предложените методически препоръки е да помогне на студента да се подготви за изпита на основно ниво. С други думи, съставено е разширено работно ръководство, съдържащо основните точки, използвани в часовете по курса TFKP и необходими при писане на домашни и подготовка за тестове. Освен за самостоятелна работа на студентите, това електронно учебно издание може да се използва при провеждане на занятия в интерактивна форма с помощта на електронна дъска или за поставяне в система за дистанционно обучение.
Моля, имайте предвид, че тази работа не замества нито учебници, нито бележки за лекции. За по-задълбочено проучване на материала се препоръчва да се обърнете към съответните раздели, публикувани от MSTU. Н.Е. Бауман основен учебник.
В края на помагалото има списък с препоръчителна литература и предметен указател, който включва всичко подчертано в текста удебелен курсивусловия. Индексът се състои от хипервръзки към раздели, в които тези термини са строго дефинирани или описани и където са дадени примери, които илюстрират употребата им.
Ръководството е предназначено за студенти от 2-ра година на всички факултети на MSTU. Н.Е. Бауман.
1. Алгебрична форма на запис на комплексно число
Запис във формата z = x + iy, където x,y са реални числа, i е имагинерна единица (т.е. i 2 = − 1)
се нарича алгебрична форма на запис на комплексно число z. В този случай x се нарича реална част от комплексно число и се означава с Re z (x = Re z), y се нарича имагинерна част от комплексно число и се означава с Im z (y = Im z).
Пример. Комплексното число z = 4− 3i има реална част Rez = 4 и имагинерна част Imz = − 3.
2. Комплексна числова равнина
IN разглеждат се теории на функциите на комплексна променливакомплексна числова равнина, което се обозначава или с помощта на букви, обозначаващи комплексни числа z, w и т.н.
Хоризонталната ос на комплексната равнина се нарича реална ос, върху него са поставени реални числа z = x + 0i = x.
Вертикалната ос на комплексната равнина се нарича въображаема ос;
3. Комплексно спрегнати числа
Наричат се числата z = x + iy и z = x − iy комплексно спрегнат. В комплексната равнина те съответстват на точки, които са симетрични спрямо реалната ос.
4. Операции с комплексни числа в алгебрична форма
4.1 Събиране на комплексни числа
Сумата от две комплексни числа | z 1= x 1+ iy 1 | и z 2 = x 2 + iy 2 се нарича комплексно число |
|||||||||||
z 1+ z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) . | операция | допълнение |
||||||||||
комплексни числа е подобна на операцията за добавяне на алгебрични биноми. | |||||||||||||
Пример. Сумата от две комплексни числа z 1 = 3+ 7i и z 2 | = −1 +2 i | ще бъде комплексно число |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i . | |||||||||||||
очевидно, | обща сума | конюгат | е | истински | |||||||||
z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z. | |||||||||||||
4.2 Изваждане на комплексни числа | |||||||||||||
Разликата на две комплексни числа z 1 = x 1 + iy 1 | X 2 +iy 2 | Наречен | изчерпателен |
||||||||||
число z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Пример. Разликата на две комплексни числа | z 1 =3 −4 i | и z 2 | = −1 +2 i | ще има цялостна |
|||||||||
число z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
По разлика | комплексно спрегнат | е | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Умножение на комплексни числа | |||||||||||||
Произведение на две комплексни числа | z 1= x 1+ iy 1 | и z 2= x 2+ iy 2 | наречен комплекс |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) . | ||||||||||||
По този начин операцията за умножаване на комплексни числа е подобна на операцията за умножение на алгебрични биноми, като се вземе предвид фактът, че i 2 = − 1.
Страница 2 от 3
Алгебрична форма на комплексно число.
Събиране, изваждане, умножение и деление на комплексни числа.
Вече се запознахме с алгебричната форма на комплексно число – това е алгебричната форма на комплексно число. Защо говорим за форма? Факт е, че има и тригонометрични и експоненциални форми на комплексни числа, които ще бъдат обсъдени в следващия параграф.
Операциите с комплексни числа не са особено трудни и не се различават много от обикновената алгебра.
Събиране на комплексни числа
Пример 1
Добавете две комплексни числа,
За да съберете две комплексни числа, трябва да съберете техните реални и имагинерни части:
Просто, нали? Действието е толкова очевидно, че не изисква допълнителни коментари.
По този прост начин можете да намерите сумата на произволен брой членове: сумирайте реалните части и сумирайте въображаемите части.
За комплексни числа е валидно правилото от първи клас: 
– пренареждането на членовете не променя сумата.
Изваждане на комплексни числа
Пример 2
Намерете разликите между комплексни числа и , ако ,
Действието е подобно на събирането, единствената особеност е, че субтрахендът трябва да бъде поставен в скоби, а след това скобите трябва да бъдат отворени по стандартния начин със смяна на знака:
Резултатът не трябва да е объркващ; полученото число има две, а не три части. Просто реалната част е съединението: . За по-голяма яснота отговорът може да се пренапише по следния начин: .
Нека изчислим втората разлика:
Тук реалната част също е съставна:
За да избегна всякакво подценяване, ще дам кратък пример с „лоша“ въображаема част: . Тук вече не можете без скоби.
Умножение на комплексни числа
Дойде време да ви запознаем с прочутото равенство:
Пример 3
Намерете произведението на комплексни числа,
Очевидно работата трябва да бъде написана така:
Какво предполага това? Моли се да отворите скобите според правилото за умножение на полиноми. Това е, което трябва да направите! Всички алгебрични операции са ви познати, най-важното е да запомните това и бъдете внимателни.
Нека повторим, боже, училищното правило за умножение на полиноми: За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на друг полином.
Ще го напиша подробно:
Надявам се, че на всички е било ясно
Внимание, и пак внимание, най-често се допускат грешки в знаците.
Подобно на сумата, произведението на комплексните числа е комутабельно, т.е. равенството е вярно: .
В образователната литература и в Интернет е лесно да се намери специална формула за изчисляване на произведението на комплексни числа. Използвайте го, ако искате, но ми се струва, че подходът с умножаване на полиноми е по-универсален и по-ясен. Няма да давам формулата, мисля, че в този случай ви пълнят главата със стърготини.
Деление на комплексни числа
Пример 4
Дадени комплексни числа, . Намерете частното.
Нека направим коефициент:
Извършва се разделяне на числата чрез умножаване на знаменателя и числителя по спрегнатия израз на знаменателя.
Нека си спомним брадатата формула и погледнем нашия знаменател: . Знаменателят вече има , така че спрегнатият израз в този случай е , т.е
Според правилото знаменателят трябва да се умножи по , а за да не се промени нищо, числителят трябва да се умножи по същото число:
Ще го напиша подробно:
Избрах „добър“ пример: ако вземете две числа „от нулата“, тогава в резултат на разделяне почти винаги ще получите дроби, нещо като .
В някои случаи, преди да разделите дроб, е препоръчително да го опростите, например да вземете предвид частното на числата: . Преди да разделим, ние се отърваваме от ненужните минуси: в числителя и в знаменателя изваждаме минусите от скоби и намаляваме тези минуси: 
. За тези, които обичат да решават проблеми, ето правилния отговор:
Рядко, но възниква следната задача:
Пример 5
Дадено е комплексно число. Запишете това число в алгебрична форма (т.е. във формата).
Техниката е същата - умножаваме знаменателя и числителя по израза, спрегнат към знаменателя. Нека да разгледаме отново формулата. Знаменателят вече съдържа , така че знаменателят и числителят трябва да бъдат умножени по спрегнатия израз, тоест по:
На практика те могат лесно да предложат сложен пример, когато трябва да извършите много операции с комплексни числа. Без паника: Бъди внимателен, следвайте правилата на алгебрата, обичайната алгебрична процедура, и запомнете, че .
Тригонометрична и експоненциална форма на комплексно число
В този раздел ще говорим повече за тригонометричната форма на комплексно число. Демонстративната форма се среща много по-рядко в практическите задачи. Препоръчвам да изтеглите и, ако е възможно, да отпечатате тригонометрични таблици; можете да намерите на страницата Математически формули и таблици. Не можете да стигнете далеч без маси.
Всяко комплексно число (с изключение на нула) може да бъде записано в тригонометрична форма: 
, къде е модул на комплексно число, А - аргумент комплексно число. Нека не бягаме, всичко е по-просто, отколкото изглежда.
Нека представим числото на комплексната равнина. За категоричност и простота на обяснението ще го поставим в първия координатен квадрант, т.е. ние вярваме, че:
Модул на комплексно числое разстоянието от началото до съответната точка в комплексната равнина. Просто казано, модул е дължинатарадиус вектор, който е означен в червено на чертежа.
Модулът на комплексно число обикновено се означава с: или
С помощта на Питагоровата теорема е лесно да се изведе формула за намиране на модула на комплексно число: . Тази формула е правилна за всякаквизначения "а" и "бъди".
Забележка: Модулът на комплексно число е обобщение на понятието модул на реално число, като разстоянието от точка до началото.
Аргумент на комплексно числоНаречен ъгълмежду положителна полуосреалната ос и радиус вектора, начертани от началото до съответната точка. Аргументът не е дефиниран за единствено число: .
Въпросният принцип всъщност е подобен на полярни координати, където полярният радиус и полярният ъгъл уникално определят точката.
Аргументът на комплексно число стандартно се обозначава: или
От геометрични съображения получаваме следната формула за намиране на аргумента:
. внимание!Тази формула работи само в дясната полуравнина! Ако комплексното число не се намира в 1-ви или 4-ти координатен квадрант, тогава формулата ще бъде малко по-различна. Ще анализираме и тези случаи.
Но първо, нека да разгледаме най-простите примери, когато комплексните числа са разположени на координатни оси.
Пример 7
Да направим чертежа:
Всъщност задачата е устна. За по-голяма яснота ще пренапиша тригонометричната форма на комплексно число: 
Нека запомним твърдо, модулът – дължина(което винаги е неотрицателно), аргументът е ъгъл.
1) Нека представим числото в тригонометрична форма. Нека намерим неговия модул и аргумент. Очевидно е, че. Официално изчисление по формулата: .
Очевидно е, че (числото лежи директно върху реалната положителна полуос). Така че числото в тригонометрична форма е: 
.
Действието за обратна проверка е ясно като бял ден:
2) Нека представим числото в тригонометрична форма. Нека намерим неговия модул и аргумент. Очевидно е, че. Официално изчисление по формулата: .
Очевидно (или 90 градуса). На чертежа ъгълът е означен в червено. Така че числото в тригонометрична форма е: 
.
Използвайки таблица със стойности на тригонометрични функции, е лесно да върнете алгебричната форма на числото (като същевременно извършвате проверка):
3) Нека представим числото в тригонометрична форма. Нека намерим неговия модул и аргумент. Очевидно е, че. Официално изчисление по формулата: .
Очевидно (или 180 градуса). На чертежа ъгълът е означен в синьо. Така че числото в тригонометрична форма е: 
.
Преглед:
4) И четвъртият интересен случай. Нека представим числото в тригонометрична форма. Нека намерим неговия модул и аргумент. Очевидно е, че. Официално изчисление по формулата: .
Аргументът може да бъде написан по два начина: Първият начин: (270 градуса) и съответно: 
. Преглед:
Следното правило обаче е по-стандартно: Ако ъгълът е по-голям от 180 градуса, тогава се изписва със знак минус и обратна ориентация (“превъртане”) на ъгъла: (минус 90 градуса), на чертежа ъгълът е отбелязан в зелено. Лесно се вижда това и са под същия ъгъл.
Така записът приема формата: 
внимание!В никакъв случай не трябва да използвате паритета на косинуса, нечетността на синуса и допълнително да „опростявате“ записа:
Между другото, полезно е да запомните външния вид и свойствата на тригонометричните и обратните тригонометрични функции; справочните материали са в последните параграфи на страницата Графики и свойства на основни елементарни функции. И сложните числа ще се научат много по-лесно!
При проектирането на най-простите примери трябва да се напише: „очевидно е, че модулът е равен... очевидно е, че аргументът е равен на...“. Това е наистина очевидно и лесно за решаване устно.
Нека да преминем към разглеждане на по-често срещаните случаи. Както вече отбелязах, няма проблеми с модула; винаги трябва да използвате формулата. Но формулите за намиране на аргумента ще бъдат различни, зависи от коя координатна четвърт се намира числото. В този случай са възможни три варианта (полезно е да ги препишете в бележника си):
1) Ако (1-ва и 4-та координатна четвъртина или дясна полуравнина), тогава аргументът трябва да се намери с помощта на формулата.
2) Ако (2-ра координатна четвърт), тогава аргументът трябва да бъде намерен с помощта на формулата 
.
3) Ако (3-та координатна четвърт), тогава аргументът трябва да бъде намерен с помощта на формулата 
.
Пример 8
Представяне на комплексни числа в тригонометрична форма: , , , .
Тъй като има готови формули, не е необходимо да завършите чертежа. Но има един момент: когато ви помолят да представите число в тригонометрична форма, тогава Все пак е по-добре да направите рисунката. Факт е, че решение без чертеж често се отхвърля от учителите; липсата на чертеж е сериозна причина за минус и провал.
Ех, не съм рисувал нищо на ръка от сто години, ето ви:
Както винаги се получи малко мръсно =)
Ще представя числата и в сложна форма, като първо и трето число ще са за самостоятелно решение.
Нека представим числото в тригонометрична форма. Нека намерим неговия модул и аргумент.