Време е да го подредим методи за извличане на корени. Те се основават на свойствата на корените, по-специално на равенството, което е вярно за всяко неотрицателно число b.
По-долу ще разгледаме основните методи за извличане на корени един по един.
Нека започнем с най-простия случай - извличане на корени от естествени числа с помощта на таблица на квадратите, таблица на кубовете и т.н.
Ако таблици с квадрати, кубчета и др. Ако го нямате под ръка, логично е да използвате метода за извличане на корена, който включва разлагане на радикалното число на прости множители.
Струва си да се спомене специално какво е възможно за корени с нечетни показатели.
И накрая, нека разгледаме метод, който ни позволява да намираме последователно цифрите на коренната стойност.
Да започваме.
С помощта на таблица с квадрати, таблица с кубове и др.
В най-простите случаи таблиците с квадрати, кубчета и т.н. ви позволяват да извличате корени. Какви са тези таблици?
Таблицата с квадрати на цели числа от 0 до 99 включително (показана по-долу) се състои от две зони. Първата зона на таблицата е разположена на сив фон, като изберете определен ред и определена колона, ви позволява да съставите число от 0 до 99. Например, нека изберем ред от 8 десетици и колона от 3 единици, с това фиксирахме числото 83. Втората зона заема останалата част от масата. Всяка клетка се намира в пресечната точка на определен ред и определена колона и съдържа квадрат на съответното число от 0 до 99. В пресечната точка на избрания от нас ред от 8 десетици и колона 3 от единици има клетка с числото 6889, което е квадрат на числото 83.
Таблици с кубчета, таблици с четвърти степени на числа от 0 до 99 и т.н. са подобни на таблицата с квадрати, само че съдържат кубчета, четвърти степени и т.н. във втората зона. съответните числа.
Таблици на квадрати, кубове, четвърти степени и др. ви позволяват да извличате квадратни корени, кубични корени, четвърти корени и т.н. съответно от числата в тези таблици. Нека обясним принципа на тяхното използване при извличане на корени.
Да кажем, че трябва да извлечем n-ти корен от числото a, докато числото a се съдържа в таблицата с n-ти степени. Използвайки тази таблица, намираме числото b такова, че a=b n. Тогава 
, следователно числото b ще бъде желаният корен от n-та степен.
Като пример нека покажем как да използваме кубична таблица за извличане на кубичен корен от 19 683. Намираме числото 19 683 в таблицата с кубчета, от което намираме, че това число е кубът на числото 27, следователно, 
.
Ясно е, че таблиците с n-ти степени са много удобни за извличане на корени. Те обаче често не са под ръка и компилирането им изисква известно време. Освен това често е необходимо да се извличат корени от числа, които не се съдържат в съответните таблици. В тези случаи трябва да прибягвате до други методи за извличане на корени.
Разлагане на радикално число на прости множители
Доста удобен начин за извличане на корена на естествено число (ако, разбира се, коренът е извлечен) е разлагането на радикалното число на прости множители. Неговата въпросът е в това: след това е доста лесно да го представите като степен с желания показател, което ви позволява да получите стойността на корена. Нека изясним тази точка.
Нека се вземе корен n-та от естествено число a и неговата стойност е равна на b. В този случай е вярно равенството a=b n. Числото b, като всяко естествено число, може да бъде представено като произведение на всички негови прости множители p 1 , p 2 , …, p m във формата p 1 ·p 2 ·…·p m и радикалното число a в този случай се представя като (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Тъй като разлагането на число на прости множители е уникално, разлагането на радикалното число a на прости множители ще има формата (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, което прави възможно изчисляването на стойността на корена като.
Обърнете внимание, че ако разлагането на прости множители на радикално число a не може да бъде представено във формата (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, тогава n-тият корен на такова число a не се извлича напълно.
Нека разберем това, когато решаваме примери.
Пример.
Вземете корен квадратен от 144.
Решение.
Ако погледнете таблицата с квадрати, дадена в предишния параграф, можете ясно да видите, че 144 = 12 2, от което става ясно, че квадратният корен от 144 е равен на 12.
Но в светлината на тази точка, ние се интересуваме от това как коренът се извлича чрез разлагане на радикалното число 144 на прости множители. Нека да разгледаме това решение.
Да се разложим 144 на прости множители:
Тоест 144=2·2·2·2·3·3. Въз основа на полученото разлагане могат да се извършат следните трансформации: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. следователно 
.
Използвайки свойствата на степента и свойствата на корените, решението може да се формулира малко по-различно: .
Отговор:
За да консолидирате материала, разгледайте решенията на още два примера.
Пример.
Изчислете стойността на корена.
Решение.
Разлагането на прости множители на радикала на числото 243 има формата 243=3 5 . По този начин, 
.
Отговор:
Пример.
Коренната стойност цяло число ли е?
Решение.
За да отговорим на този въпрос, нека разложим радикалното число на прости множители и да видим дали може да бъде представено като куб от цяло число.
Имаме 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Полученото разширение не може да бъде представено като куб от цяло число, тъй като степента на простия множител 7 не е кратна на три. Следователно кубичният корен от 285 768 не може да бъде извлечен напълно.
Отговор:
Не.
Извличане на корени от дробни числа
Време е да разберете как да извлечете корен от дробно число. Нека дробното радикално число бъде записано като p/q. Според свойството корен на частното е вярно следното равенство. От това равенство следва правило за извличане на корен от дроб: Коренът на дроб е равен на частното от корена на числителя, делено на корена на знаменателя.
Нека да разгледаме пример за извличане на корен от дроб.
Пример.
Какъв е квадратният корен от обикновената дроб 25/169?
Решение.
Използвайки таблицата с квадрати, намираме, че квадратният корен от числителя на първоначалната дроб е равен на 5, а квадратният корен от знаменателя е равен на 13. Тогава 
. Това завършва извличането на корена от обикновената дроб 25/169.
Отговор:
Коренът на десетична дроб или смесено число се извлича след замяна на радикалните числа с обикновени дроби.
Пример.
Вземете кубичния корен от десетичната дроб 474,552.
Решение.
Нека си представим оригиналната десетична дроб като обикновена дроб: 474,552=474552/1000. Тогава 
. Остава да извлечете кубичните корени, които са в числителя и знаменателя на получената дроб. защото 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 и 1 000 = 10 3, тогава 
И 
. Остава само да завършим изчисленията 
.
Отговор:
.
Вземане на корен от отрицателно число
Струва си да се спрем на извличането на корени от отрицателни числа. Когато изучавахме корени, казахме, че когато коренният показател е нечетно число, тогава под знака за корен може да има отрицателно число. Дадохме на тези записи следното значение: за отрицателно число −a и нечетен показател на корена 2 n−1, 
. Това равенство дава правило за извличане на нечетни корени от отрицателни числа: за да извлечете корена на отрицателно число, трябва да вземете корена на противоположното положително число и да поставите знак минус пред резултата.
Нека да разгледаме примерното решение.
Пример.
Намерете стойността на корена.
Решение.
Нека трансформираме оригиналния израз така, че да има положително число под знака за корен: 
. Сега заменете смесеното число с обикновена дроб: 
. Прилагаме правилото за извличане на корен от обикновена дроб: 
. Остава да се изчислят корените в числителя и знаменателя на получената дроб: 
.
Ето кратко резюме на решението: 
.
Отговор:
.
Побитово определяне на коренната стойност
В общия случай под корена има число, което, използвайки техниките, обсъдени по-горе, не може да бъде представено като n-та степен на което и да е число. Но в този случай има нужда да се знае значението на даден корен, поне до определен знак. В този случай, за да извлечете корена, можете да използвате алгоритъм, който ви позволява последователно да получите достатъчен брой цифрови стойности на желаното число.
Първата стъпка на този алгоритъм е да откриете кой е най-значимият бит от стойността на корена. За да направите това, числата 0, 10, 100, ... се повдигат последователно на степен n до момента, в който се получи число, надвишаващо радикалното число. Тогава числото, което повдигнахме на степен n на предишния етап, ще посочи съответната най-значима цифра.
Например, разгледайте тази стъпка от алгоритъма, когато извличате корен квадратен от пет. Вземете числата 0, 10, 100, ... и ги повдигнете на квадрат, докато получим число, по-голямо от 5. Имаме 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, което означава, че най-значимата цифра ще бъде цифрата на единиците. Стойността на този бит, както и на по-ниските, ще бъдат намерени в следващите стъпки на алгоритъма за извличане на корен.
Всички следващи стъпки на алгоритъма са насочени към последователно изясняване на стойността на корена чрез намиране на стойностите на следващите битове от желаната стойност на корена, като се започне от най-високата и се премине към най-ниските. Например стойността на корена на първата стъпка се оказва 2, на втората – 2,2, на третата – 2,23 и така нататък 2,236067977…. Нека опишем как се намират стойностите на битовете.
Цифрите се намират чрез търсене в възможните им стойности 0, 1, 2, ..., 9. В този случай n-тите степени на съответните числа се изчисляват паралелно и се сравняват с радикалното число. Ако на някакъв етап стойността на степента надвишава радикалното число, тогава стойността на цифрата, съответстваща на предишната стойност, се счита за намерена и се извършва преход към следващата стъпка на алгоритъма за извличане на корена; тогава стойността на тази цифра е 9.
Нека обясним тези точки, използвайки същия пример за извличане на корен квадратен от пет.
Първо намираме стойността на цифрата на единиците. Ще преминем през стойностите 0, 1, 2, ..., 9, изчислявайки съответно 0 2, 1 2, ..., 9 2, докато получим стойност, по-голяма от радикалното число 5. Удобно е да представите всички тези изчисления под формата на таблица: 
Така че стойността на цифрата на единиците е 2 (тъй като 2 2<5
, а 2 3 >5 ). Нека да преминем към намиране на стойността на десетото място. В този случай ще повдигнем на квадрат числата 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, сравнявайки получените стойности с радикалното число 5: 
От 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, тогава стойността на десетите е 2. Можете да продължите към намиране на стойността на стотното място: 
Ето как беше намерена следващата стойност на корен от пет, тя е равна на 2,23. И така можете да продължите да намирате стойности: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
За да консолидираме материала, ще анализираме извличането на корена с точност до стотни, използвайки разглеждания алгоритъм.
Първо определяме най-значимата цифра. За целта събираме на куб числата 0, 10, 100 и т.н. докато получим число, по-голямо от 2 151 186. Имаме 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, така че най-значимата цифра е цифрата на десетиците.
Да определим стойността му. 
От 103<2 151,186
, а 20 3 >2 151.186, тогава стойността на мястото на десетиците е 1. Да преминем към единици. 
Така стойността на цифрата единици е 2. Да преминем към десети. 
Тъй като дори 12,9 3 е по-малко от радикалното число 2 151,186, тогава стойността на десетите е 9. Остава да изпълним последната стъпка от алгоритъма, тя ще ни даде стойността на корена с необходимата точност. 
На този етап стойността на корена се намира с точност до стотни: 
.
В заключение на тази статия бих искал да кажа, че има много други начини за извличане на корени. Но за повечето задачи тези, които проучихме по-горе, са достатъчни.
Библиография.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на общообразователните институции.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).
Преобразуването на изрази с корени и степени често изисква преминаване напред и назад между корени и степени. В тази статия ще разгледаме как се правят такива преходи, какво е в основата им и в кои точки най-често възникват грешки. Ще предоставим всичко това с типични примери с подробен анализ на решенията.
Навигация в страницата.
Преход от степени с дробни показатели към корени
Възможността за преминаване от степен с дробен показател към корена се диктува от самата дефиниция на степента. Нека си припомним как се определя: степента на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число, а n е естествено число, се нарича n-ти корен от a m, тоест където a>0 , m∈Z, n∈ N. Дробната степен на нула се определя по подобен начин 
, с единствената разлика, че в този случай m вече не се счита за цяло число, а за естествено, така че не се получава деление на нула.
Така степента винаги може да бъде заменена с корена. Например, можете да отидете от до и степента може да бъде заменена с корена. Но не трябва да преминавате от израза към корена, тъй като степента първоначално няма смисъл (степента на отрицателните числа не е дефинирана), въпреки факта, че коренът има значение.
Както можете да видите, няма абсолютно нищо сложно в прехода от степени на числа към корени. По подобен начин се извършва преходът към корени от степени с дробни показатели, в основата на които са произволни изрази. Имайте предвид, че този преход се извършва върху ODZ на променливите за оригиналния израз. Например изразът 
върху цялата ODZ на променливата x за този израз може да бъде заменена с корена 
. И от степента 
отидете на root 
, такова заместване се извършва за всеки набор от променливи x, y и z от ODZ за оригиналния израз.
Замяна на корени със степени
Възможна е и обратната замяна, тоест замяна на корените със степени с дробни показатели. Също така се основава на равенството, което в този случай се използва отдясно наляво, тоест във формата.
За положително a посоченият преход е очевиден. Например, можете да замените степента с и да преминете от корена към степента с дробен показател на формата.
И за отрицателно а равенството няма смисъл, но коренът все пак може да има смисъл. Например корените имат смисъл, но не могат да бъдат заменени със степени. И така, възможно ли е изобщо да ги преобразуваме в изрази със степени? Възможно е, ако извършите предварителни трансформации, които се състоят в преминаване към корените с неотрицателни числа под тях, които след това се заменят със степени с дробни показатели. Нека покажем какви са тези предварителни трансформации и как да ги осъществим.
В случай на корен можете да извършите следните трансформации: 
. И тъй като 4 е положително число, последният корен може да бъде заменен със степен. И във втория случай определяне на нечетен корен от отрицателно число−a (където a е положително), изразено чрез равенството 
, ви позволява да замените корена с израз, в който кубичният корен от две вече може да бъде заменен със степен и той ще приеме формата .
Остава да разберем как корените, под които се намират изразите, се заменят със степени, съдържащи тези изрази в основата. Няма нужда да бързате да го замените с , ние използвахме буквата A, за да обозначим определен израз. Нека дадем пример, за да обясним какво имаме предвид с това. Просто искам да заменя корена със степен въз основа на равенството. Но такава замяна е подходяща само при условие x−3≥0 и за други стойности на променливата x от ODZ (отговарящи на условието x−3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
Поради това неточно прилагане на формулата често възникват грешки при преминаване от корен към степен. Например в учебника е дадена задача да се представи израз под формата на степен с рационален показател и е даден отговорът, който повдига въпроси, тъй като в условието не е посочено ограничението b>0. И в учебника има преход от израза 
, най-вероятно чрез следните трансформации на ирационалния израз 
към израза. Последният преход също буди въпроси, тъй като стеснява ДЗ.
Възниква логичен въпрос: „Как може правилно да се премине от корена към мощността за всички стойности на променливите от ODZ?“ Тази замяна се извършва въз основа на следните твърдения:
Преди да обосновем записаните резултати, даваме няколко примера за тяхното използване за преход от корени към степени. Първо, нека се върнем към израза. Трябваше да се замени не с , а с (в този случай m=2 е четно цяло число, n=3 е естествено цяло число). Друг пример: 
.
Сега обещаната обосновка на резултатите.
Когато m е нечетно цяло число и n е четно естествено цяло число, тогава за всеки набор от променливи от ODZ за израза стойността на израз A е положителна (ако m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Ето защо, .
Да преминем към втория резултат. Нека m е положително нечетно цяло число и n нечетно естествено число. За всички стойности на променливи от ODZ, за които стойността на израза A е неотрицателна, 
, и за които е отрицателен, 
Следният резултат се доказва по подобен начин за отрицателни и нечетни цели числа m и нечетни естествени числа n. За всички стойности на променливи от ODZ, за които стойността на израза A е положителна, , и за които е отрицателен,
И накрая, последният резултат. Нека m е четно цяло число, n е произволно естествено число. За всички стойности на променливи от ODZ, за които стойността на израз A е положителна (ако m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . И за които е отрицателен, . Така, ако m е четно цяло число, n е всяко естествено число, тогава за всеки набор от стойности на променливи от ODZ за израз може да бъде заменен с .
Библиография.
- Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
- Алгебраи началото на математическия анализ. 11 клас: учебен. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. – М.: Образование, 2009.- 336 стр.: ил.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Excel използва вградени функции и математически оператори, за да извлече корена и да повдигне число на степен. Нека да разгледаме примерите.
Примери за функцията SQRT в Excel
Вградената функция SQRT връща положителния квадратен корен. В менюто Функции той е в категорията Математика.
Синтаксис на функцията: =ROOT(число).
Единственият и задължителен аргумент е положително число, за което функцията изчислява корен квадратен. Ако аргументът е отрицателен, Excel ще върне грешка #NUM!
Можете да посочите конкретна стойност или препратка към клетка с числова стойност като аргумент.
Нека да разгледаме примерите.
Функцията върна корен квадратен от числото 36. Аргументът е конкретна стойност.
Функцията ABS връща абсолютната стойност от -36. Използването му ни позволи да избегнем грешки при извличане на корен квадратен от отрицателно число.
Функцията взе квадратен корен от сумата от 13 и стойността на клетка C1.
Функция за степенуване в Excel
Синтаксис на функцията: =POWER(стойност, число). И двата аргумента са задължителни.
Стойността е всяка реална числова стойност. Числото е индикатор за степента, до която трябва да се повиши дадена стойност.
Нека да разгледаме примерите.
В клетка C2 - резултатът от повдигане на квадрат на числото 10.
Функцията върна числото 100, повишено до ¾.
Степенуване с помощта на оператор
За да повдигнете число на степен в Excel, можете да използвате математическия оператор „^“. За да го въведете, натиснете Shift + 6 (с английска клавиатурна подредба).
За да може Excel да третира въведената информация като формула, първо се поставя знакът “=”. Следва числото, което трябва да се повдигне на степен. И след знака "^" е стойността на степента.
Вместо която и да е стойност на тази математическа формула, можете да използвате препратки към клетки с числа.
Това е удобно, ако трябва да конструирате множество стойности.
Като копирахме формулата в цялата колона, бързо получихме резултатите от повишаването на числата в колона А на трета степен.
Извличане на n-ти корени
ROOT е функцията за квадратен корен в Excel. Как да извлечем корена на 3-та, 4-та и други степени?
Нека си спомним един от математическите закони: за да извлечете корен n-ти, трябва да повишите числото на степен 1/n.
Например, за да извлечем кубичния корен, повишаваме числото на степен 1/3.
Нека използваме формулата за извличане на корени от различни степени в Excel.
Формулата върна стойността на кубичния корен на числото 21. За повишаване на дробна степен беше използван операторът „^“.
Поздравления: днес ще разгледаме корените - една от най-умопомрачителните теми в 8 клас. :)
Много хора се объркват относно корените, не защото са сложни (какво му е толкова сложното - няколко дефиниции и още няколко свойства), а защото в повечето училищни учебници корените се дефинират през такава джунгла, че само авторите на учебниците сами могат да разберат това писане. И то само с бутилка хубаво уиски.
Затова сега ще дам най-правилното и най-компетентно определение за корен - единственото, което наистина трябва да запомните. И тогава ще обясня: защо е необходимо всичко това и как да го приложим на практика.
Но първо запомнете една важна точка, която много компилатори на учебници по някаква причина „забравят“:
Корените могат да бъдат с четна степен (нашият любим $\sqrt(a)$, както и всички видове $\sqrt(a)$ и четни $\sqrt(a)$) и нечетна степен (всички видове $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ и т.н.). И дефиницията на корен от нечетна степен е малко по-различна от четната.
Вероятно 95% от всички грешки и недоразумения, свързани с корените, са скрити в това шибано „донякъде различно“. Така че нека изясним терминологията веднъж завинаги:
Определение. Дори корен нот числото $a$ е всяко неотрицателничислото $b$ е такова, че $((b)^(n))=a$. А нечетният корен на същото число $a$ обикновено е всяко число $b$, за което важи същото равенство: $((b)^(n))=a$.
Във всеки случай коренът се обозначава така:
\(a)\]
Числото $n$ в такава нотация се нарича степен на корен, а числото $a$ се нарича радикален израз. По-специално, за $n=2$ получаваме нашия „любим” квадратен корен (между другото, това е корен от четна степен), а за $n=3$ получаваме кубичен корен (нечетна степен), което е също често се среща в задачи и уравнения.
Примери. Класически примери за квадратни корени:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \край (подравняване)\]
Между другото, $\sqrt(0)=0$ и $\sqrt(1)=1$. Това е съвсем логично, тъй като $((0)^(2))=0$ и $((1)^(2))=1$.
Кубичните корени също са често срещани - няма нужда да се страхувате от тях:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \край (подравняване)\]
Е, няколко „екзотични примера“:
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \край (подравняване)\]
Ако не разбирате каква е разликата между четна и нечетна степен, прочетете отново определението. Много е важно!
Междувременно ще разгледаме една неприятна особеност на корените, поради която трябваше да въведем отделна дефиниция за четни и нечетни показатели.
Защо изобщо са необходими корени?
След като прочетат определението, много ученици ще попитат: „Какво са пушили математиците, когато са измислили това?“ И наистина: защо изобщо са необходими всички тези корени?
За да отговорим на този въпрос, нека се върнем за момент в началното училище. Помнете: в онези далечни времена, когато дърветата бяха по-зелени и кнедлите по-вкусни, основната ни грижа беше да умножим числата правилно. Е, нещо като "пет по пет - двадесет и пет", това е всичко. Но можете да умножавате числа не по двойки, а по тройки, четворки и като цяло цели набори:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Не това обаче е важното. Номерът е друг: математиците са мързеливи хора, така че им е било трудно да напишат умножението на десет петици по този начин:
Затова са измислили дипломи. Защо не напишете броя на факторите като горен индекс вместо дълъг низ? Нещо като това:
Много е удобно! Всички изчисления са значително намалени и не е нужно да губите куп листове пергамент и тетрадки, за да запишете около 5183. Този запис беше наречен степен на числото, в него бяха открити куп свойства, но щастието се оказа краткотрайно.
След грандиозно пиянство, организирано само за „откриването“ на градусите, някакъв особено упорит математик изведнъж попита: „Ами ако знаем степента на едно число, но самото число е неизвестно?“ Сега, наистина, ако знаем, че определено число $b$, да речем, на 5-та степен дава 243, тогава как можем да познаем на какво е равно самото число $b$?
Този проблем се оказа много по-глобален, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Защото се оказа, че за повечето „готови“ мощности няма такива „първоначални“ числа. Преценете сами:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Стрелка надясно b=4\cdot 4\cdot 4\Стрелка надясно b=4. \\ \край (подравняване)\]
Ами ако $((b)^(3))=$50? Оказва се, че трябва да намерим определено число, което, умножено по себе си три пъти, ще ни даде 50. Но какво е това число? Очевидно е по-голямо от 3, тъй като 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Това е това число е някъде между три и четири, но няма да разберете на какво е равно.
Точно затова математиците излязоха с $n$-ти корени. Точно затова беше въведен радикалният символ $\sqrt(*)$. Да обозначим самото число $b$, което в посочената степен ще ни даде предварително известна стойност
\[\sqrt[n](a)=b\Дясна стрелка ((b)^(n))=a\]
Не споря: често тези корени се изчисляват лесно - видяхме няколко такива примера по-горе. Но все пак, в повечето случаи, ако мислите за произволно число и след това се опитате да извлечете корен на произволна степен от него, ще бъдете в ужасна беда.
Какво има там! Дори най-простият и познат $\sqrt(2)$ не може да бъде представен в нашата обичайна форма - като цяло число или дроб. И ако въведете това число в калкулатора, ще видите това:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Както можете да видите, след десетичната запетая има безкрайна последователност от числа, които не се подчиняват на никаква логика. Можете, разбира се, да закръглите това число, за да го сравните бързо с други числа. Например:
\[\sqrt(2)=1,4142...\приблизително 1,4 \lt 1,5\]
Или ето друг пример:
\[\sqrt(3)=1,73205...\приблизително 1,7 \gt 1,5\]
Но всички тези закръгляния, първо, са доста груби; и второ, вие също трябва да можете да работите с приблизителни стойности, в противен случай можете да хванете куп неочевидни грешки (между другото, умението за сравнение и закръгляване е необходимо да се тества на профилния Единен държавен изпит).
Следователно в сериозната математика не можете да правите без корени - те са едни и същи равни представители на множеството от всички реални числа $\mathbb(R)$, точно като дробите и целите числа, които отдавна са ни познати.
Невъзможността да се представи корен като дроб от формата $\frac(p)(q)$ означава, че този корен не е рационално число. Такива числа се наричат ирационални и не могат да бъдат точно представени, освен с помощта на радикал или други конструкции, специално предназначени за това (логаритми, степени, граници и т.н.). Но за това друг път.
Нека да разгледаме няколко примера, при които след всички изчисления в отговора ще останат ирационални числа.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\приблизително 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\приблизително -1,2599... \\ \end(align)\]
Естествено, от външния вид на корена е почти невъзможно да се познае какви числа ще дойдат след десетичната запетая. Въпреки това можете да разчитате на калкулатор, но дори и най-модерният калкулатор за дата ни дава само първите няколко цифри от ирационално число. Затова е много по-правилно да напишете отговорите във формата $\sqrt(5)$ и $\sqrt(-2)$.
Точно за това са измислени. За удобно записване на отговорите.
Защо са необходими две определения?
Внимателният читател вероятно вече е забелязал, че всички квадратни корени, дадени в примерите, са взети от положителни числа. Е, поне от нулата. Но кубични корени могат спокойно да бъдат извлечени от абсолютно всяко число - било то положително или отрицателно.
Защо се случва това? Погледнете графиката на функцията $y=((x)^(2))$:
Графиката на квадратична функция дава два корена: положителен и отрицателен Нека се опитаме да изчислим $\sqrt(4)$ с помощта на тази графика. За да направите това, върху графиката се начертава хоризонтална линия $y=4$ (маркирана в червено), която се пресича с параболата в две точки: $((x)_(1))=2$ и $((x )_(2)) =-2$. Това е съвсем логично, тъй като
С първото число всичко е ясно - то е положително, значи е коренът:
Но какво тогава да правим с втората точка? Както четири има два корена едновременно? В края на краищата, ако повдигнем на квадрат числото −2, също получаваме 4. Защо тогава не напишем $\sqrt(4)=-2$? И защо учителите гледат такива постове, сякаш искат да те изядат? :)
Проблемът е, че ако не наложите никакви допълнителни условия, тогава квадратът ще има два квадратни корена - положителен и отрицателен. И всяко положително число също ще има две от тях. Но отрицателните числа изобщо няма да имат корени - това може да се види от същата графика, тъй като параболата никога не пада под оста г, т.е. не приема отрицателни стойности.
Подобен проблем възниква за всички корени с четен показател:
- Строго погледнато, всяко положително число ще има два корена с четен показател $n$;
- От отрицателни числа коренът с четни $n$ изобщо не се извлича.
Ето защо в дефиницията на корен от четна степен $n$ изрично е посочено, че отговорът трябва да бъде неотрицателно число. Така се освобождаваме от двусмислието.
Но за нечетни $n$ няма такъв проблем. За да видите това, нека погледнем графиката на функцията $y=((x)^(3))$:
Кубичната парабола може да приеме всякаква стойност, така че кубичният корен може да бъде взет от всяко число От тази графика могат да се направят два извода:
- Клоните на кубична парабола, за разлика от обикновената, отиват до безкрайност в двете посоки - и нагоре, и надолу. Следователно, без значение на каква височина нарисуваме хоризонтална линия, тази линия със сигурност ще се пресича с нашата графика. Следователно, кубичният корен винаги може да бъде извлечен от абсолютно всяко число;
- В допълнение, такова пресичане винаги ще бъде уникално, така че не е нужно да мислите кое число се счита за „правилен“ корен и кое да игнорирате. Ето защо определянето на корени за нечетна степен е по-лесно, отколкото за четна степен (няма изискване за неотрицателност).
Жалко, че тези елементарни неща не се обясняват в повечето учебници. Вместо това мозъците ни започват да се извисяват с всякакви аритметични корени и техните свойства.
Да, не споря: вие също трябва да знаете какво е аритметичен корен. И ще говоря за това подробно в отделен урок. Днес ще говорим и за него, защото без него всички мисли за корени от $n$-та кратност биха били непълни.
Но първо трябва ясно да разберете определението, което дадох по-горе. В противен случай, поради изобилието от термини, в главата ви ще започне такава бъркотия, че в крайна сметка няма да разберете нищо.
Всичко, което трябва да направите, е да разберете разликата между четни и нечетни индикатори. Затова нека отново да съберем всичко, което наистина трябва да знаете за корените:
- Корен от четна степен съществува само от неотрицателно число и сам по себе си винаги е неотрицателно число. За отрицателни числа такъв корен е недефиниран.
- Но коренът на нечетна степен съществува от всяко число и сам по себе си може да бъде всяко число: за положителни числа той е положителен, а за отрицателни числа, както подсказва капачката, е отрицателен.
Трудно е? Не, не е трудно. Ясно е? Да, напълно е очевидно! Така че сега ще се упражняваме малко с изчисленията.
Основни свойства и ограничения
Корените имат много странни свойства и ограничения - това ще бъде обсъдено в отделен урок. Затова сега ще разгледаме само най-важния „трик“, който се прилага само за корени с четен индекс. Нека запишем това свойство като формула:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\надясно|\]
С други думи, ако повдигнем число на четна степен и след това извлечем корена на същата степен, няма да получим оригиналното число, а неговия модул. Това е проста теорема, която може лесно да се докаже (достатъчно е да разгледаме отделно неотрицателните $x$ и след това отделно отрицателните). Учителите постоянно говорят за това, има го във всеки учебник. Но щом се стигне до решаване на ирационални уравнения (т.е. уравнения, съдържащи радикален знак), учениците единодушно забравят тази формула.
За да разберем проблема в детайли, нека забравим всички формули за минута и се опитаме да изчислим две числа направо напред:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Това са много прости примери. Повечето хора ще решат първия пример, но много хора се забиват на втория. За да разрешите подобни глупости без проблеми, винаги обмисляйте процедурата:
- Първо, числото се повишава на четвърта степен. Е, някак си е лесно. Ще получите ново число, което може да се намери дори в таблицата за умножение;
- И сега от това ново число е необходимо да извлечем четвъртия корен. Тези. не се случва „намаляване“ на корени и правомощия - това са последователни действия.
Нека да разгледаме първия израз: $\sqrt(((3)^(4)))$. Очевидно първо трябва да изчислите израза под корена:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
След това извличаме четвъртия корен от числото 81:
Сега нека направим същото с втория израз. Първо, повдигаме числото −3 на четвърта степен, което изисква умножаването му по себе си 4 пъти:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ляво(-3 \дясно)=81\]
Получихме положително число, тъй като общият брой на минусите в продукта е 4 и всички те ще се компенсират взаимно (в края на краищата минус за минус дава плюс). След това отново извличаме корена:
По принцип този ред не би могъл да бъде написан, тъй като няма смисъл отговорът да е същият. Тези. четен корен със същата четна мощност „изгаря“ минусите и в този смисъл резултатът е неразличим от обикновения модул:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \край (подравняване)\]
Тези изчисления са в добро съгласие с дефиницията на корен от четна степен: резултатът винаги е неотрицателен и радикалният знак също винаги съдържа неотрицателно число. В противен случай коренът е недефиниран.
Забележка относно процедурата
- Нотацията $\sqrt(((a)^(2)))$ означава, че първо възвеждаме на квадрат числото $a$ и след това вземаме корен квадратен от получената стойност. Следователно можем да сме сигурни, че винаги има неотрицателно число под знака за корен, тъй като $((a)^(2))\ge 0$ във всеки случай;
- Но нотацията $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, напротив, означава, че първо вземаме корен от определено число $a$ и едва след това повдигаме резултата на квадрат. Следователно числото $a$ в никакъв случай не може да бъде отрицателно - това е задължително изискване, включено в дефиницията.
По този начин в никакъв случай не трябва безразсъдно да намалявате корени и степени, като по този начин уж „опростявате“ оригиналния израз. Защото, ако коренът има отрицателно число и неговият показател е четен, получаваме куп проблеми.
Всички тези проблеми обаче са от значение само за четни индикатори.
Премахване на знака минус под знака за корен
Естествено, корените с нечетни показатели също имат своя особеност, която по принцип не съществува при четните. а именно:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Накратко, можете да премахнете минуса под знака на корени с нечетна степен. Това е много полезно свойство, което ви позволява да „изхвърлите“ всички недостатъци:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \край (подравняване)\]
Това просто свойство значително опростява много изчисления. Сега не е нужно да се притеснявате: какво ще стане, ако под корена е скрит отрицателен израз, но степента в корена се оказа четна? Достатъчно е просто да „изхвърлите“ всички минуси извън корените, след което те могат да бъдат умножени помежду си, разделени и изобщо да направят много подозрителни неща, които в случай на „класически“ корени гарантирано ще ни доведат до грешка.
И тук на сцената излиза друго определение – същото, с което повечето училища започват изучаването на ирационални изрази. И без които нашите разсъждения биха били непълни. Среща!
Аритметичен корен
Нека приемем за момент, че под знака за корен може да има само положителни числа или в краен случай нула. Да забравим за показателите четно/нечетно, да забравим за всички определения по-горе – ще работим само с неотрицателни числа. Какво тогава?
И тогава ще получим аритметичен корен - той частично се припокрива с нашите „стандартни“ дефиниции, но все пак се различава от тях.
Определение. Аритметичен корен от $n$-та степен на неотрицателно число $a$ е неотрицателно число $b$, така че $((b)^(n))=a$.
Както виждаме, паритетът вече не ни интересува. Вместо това се появи ново ограничение: радикалният израз вече винаги е неотрицателен, а самият корен също е неотрицателен.
За да разберете по-добре как аритметичният корен се различава от обичайния, разгледайте вече познатите ни графики на квадратната и кубичната парабола:
Област за търсене на аритметичен корен - неотрицателни числа Както можете да видите, отсега нататък се интересуваме само от онези части от графиките, които се намират в първата координатна четвърт - където координатите $x$ и $y$ са положителни (или поне нула). Вече не е необходимо да гледате индикатора, за да разберете дали имаме право да поставим отрицателно число под корена или не. Защото отрицателните числа вече не се разглеждат по принцип.
Може да попитате: „Е, защо имаме нужда от такова кастрирано определение?“ Или: „Защо не можем да се справим със стандартната дефиниция, дадена по-горе?“
Е, ще дам само едно свойство, поради което новата дефиниция става подходяща. Например правилото за степенуване:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Моля, обърнете внимание: можем да повдигнем радикалния израз на произволна степен и в същото време да умножим коренния показател по същата степен - и резултатът ще бъде същото число! Ето примери:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]
И така, каква е голямата работа? Защо не можахме да направим това преди? Ето защо. Нека разгледаме един прост израз: $\sqrt(-2)$ - това число е съвсем нормално в нашето класическо разбиране, но е абсолютно неприемливо от гледна точка на аритметичния корен. Нека се опитаме да го конвертираме:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Както можете да видите, в първия случай премахнахме минуса под радикала (имаме пълното право, тъй като показателят е нечетен), а във втория случай използвахме горната формула. Тези. От математическа гледна точка всичко е направено по правилата.
WTF?! Как може едно и също число да бъде едновременно положително и отрицателно? Няма начин. Просто формулата за степенуване, която работи чудесно за положителни числа и нула, започва да произвежда пълна ерес в случай на отрицателни числа.
Именно за да се отървем от такава неяснота, бяха изобретени аритметичните корени. На тях е посветен отделен голям урок, в който подробно разглеждаме всичките им свойства. Така че няма да се спираме на тях сега - урокът вече се оказа твърде дълъг.
Алгебричен корен: за тези, които искат да знаят повече
Дълго мислих дали да сложа тази тема в отделен параграф или не. В крайна сметка реших да го оставя тук. Този материал е предназначен за тези, които искат да разберат още по-добре корените - вече не на средното „училищно“ ниво, а на ниво, близко до нивото на олимпиадата.
И така: в допълнение към „класическата“ дефиниция на $n$-тия корен на числото и свързаното с нея разделение на четни и нечетни експоненти, има по-„възрастна“ дефиниция, която изобщо не зависи от паритета и други тънкости. Това се нарича алгебричен корен.
Определение. Алгебричният $n$-ти корен на всяко $a$ е множеството от всички числа $b$, така че $((b)^(n))=a$. Няма установено обозначение за такива корени, така че просто ще поставим тире отгоре:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]
Основната разлика от стандартната дефиниция, дадена в началото на урока, е, че алгебричният корен не е конкретно число, а набор. И тъй като работим с реални числа, този набор се предлага само в три вида:
- Празен комплект. Възниква, когато трябва да намерите алгебричен корен от четна степен от отрицателно число;
- Комплект, състоящ се от един единствен елемент. Всички корени на нечетни степени, както и корени на четни степени на нула, попадат в тази категория;
- И накрая, наборът може да включва две числа - същите $((x)_(1))$ и $((x)_(2))=-((x)_(1))$, които видяхме на графика на квадратична функция. Съответно, такова подреждане е възможно само при извличане на корена на четна степен от положително число.
Последният случай заслужава по-подробно разглеждане. Нека преброим няколко примера, за да разберем разликата.
Пример. Оценете изразите:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Решение. Първият израз е прост:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Това са две числа, които са част от комплекта. Защото всеки от тях на квадрат дава четворка.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Тук виждаме набор, състоящ се само от едно число. Това е съвсем логично, тъй като коренният показател е нечетен.
И накрая, последният израз:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Получихме празен комплект. Защото няма нито едно реално число, което, когато бъде повдигнато на четвърта (т.е. четна!) степен, да ни даде отрицателното число −16.
Последна бележка. Обърнете внимание: неслучайно отбелязах навсякъде, че работим с реални числа. Защото има и комплексни числа - там е напълно възможно да се изчисли $\sqrt(-16)$ и много други странни неща.
Комплексните числа обаче почти никога не се появяват в съвременните училищни курсове по математика. Те са премахнати от повечето учебници, защото нашите служители смятат, че темата е „твърде трудна за разбиране“.
Това е всичко. В следващия урок ще разгледаме всички ключови свойства на корените и най-накрая ще научим как да опростяваме ирационални изрази :)
Операции с мощности и корени. Степен с минус ,
нула и дробна индикатор. За изрази, които нямат смисъл.
Операции със степени.
1. При умножаване на степени с една и съща основа техните показатели се събират:
a m · a n = a m + n.
2. При деление на степени с еднаква основа техните показатели се приспадат .
3. Степента на произведението на два или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори.
(абв… ) n = a n· b n · c n…
4. Степента на отношение (фракция) е равна на съотношението на степените на дивидента (числител) и делителя (знаменател):
(а/б ) n = a n / b n.
5. При повишаване на степен на степен техните показатели се умножават:
(a m ) n = a m n .
Всички горни формули се четат и изпълняват в двете посоки отляво надясно и обратно.
ПРИМЕР (2 · 3 · 5 / 15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Операции с корени. Във всички формули по-долу символът означава аритметичен корен(радикалният израз е положителен).
1. Коренът от произведението на няколко фактора е равен на произведението корените на тези фактори:
2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на корените на дивидента и делителя:
3. При повдигане на корен на степен е достатъчно да се повдигне на тази степен радикално число:
4. Ако увеличим степента на корена вм повишаване нам степента е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:
5. Ако намалим степента на корена вм извлечете корена веднъж и по едно и също времем та степен на радикално число, тогава стойността на корена не еще се промени:
Разширяване на понятието степен. Досега разглеждахме степени само с естествени показатели;но действия с степени и корени също могат да доведат до отрицателен, нулаИ дробенпоказатели. Всички тези експоненти изискват допълнително определение.
Степен с отрицателен показател. Степен на някакво число c отрицателна (цяло число) експонента се дефинира като едно разделено на степен на същото число с показател, равен на абсолютната стойностотрицателен показател:
Tсега формулата a m: a n= a m - н може да се използва не само зам, повече от н, но и с м, по-малко от н .
ПРИМЕР а 4 :а 7 =а 4 - 7 = а - 3 .
Ако искаме формулатаa m : a n= a m - нбеше справедливо, когатоm = n, имаме нужда от дефиниция на степен нула.
Диплома с нулев индекс. Степента на всяко ненулево число с показател нула е 1.
ПРИМЕРИ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Степен с дробен показател. Да се вдигне реално числои на степен m/n , трябва да извлечете корена n-та степен на m -та степен на това число A:
За изрази, които нямат смисъл. Има няколко такива израза.произволен брой.
Всъщност, ако приемем, че този израз е равен на някакво число х, то според дефиницията на операцията деление имаме: 0 = 0 · х. Но това равенство възниква, когато всяко число x, което трябваше да се докаже.
Случай 3.
0 0 - произволен брой.
Наистина ли,
Решение. Нека разгледаме три основни случая:
1) х = 0 – тази стойност не удовлетворява това уравнение
(Защо?).
2) когато х> 0 получаваме: х/х = 1, т.е. 1 = 1, което означава
Какво х– произволен брой; но като се има предвид, че в
В нашия случай х> 0, отговорът ех > 0 ;
3) когато х < 0 получаем: – х/х= 1, т.е . –1 = 1, следователно,
В този случай няма решение.
По този начин, х > 0.