Параграф 2 Площи на успоредник на триъгълник и трапец. „Площ на успоредник, триъгълник, трапец

1) Поздрав

2) Мотивация на урока Учителят проверява готовността на класа за урока; мотивира учениците да формулират тема.

Прочетете определението на дъската (тематичен лист) и вмъкнете въпросната концепция:

Размерът на тази част от равнината, заета от многоъгълника, е ... (площ)

Четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни по двойки - .... (успоредник)

Фигура, съставена от три точки, които не лежат на една права и три отсечки, които ги свързват, се нарича .... (триъгълник)

Фигура, на която две страни са успоредни, а другите две не са успоредни, се нарича ... (трапец).

От получените думи се опитайте да създадете темата на днешния ни урок.

И така, темата на урока….Площи на успоредник, триъгълник, трапец.

Области, какви фигури можем да намерим и как?

Изчислете площите на фигурите от фиг.

Има ли други решения?

Какво стана?

Какви опити са правени за намиране на района?

Кой се опита да намери площта на успоредник? Кажи ми.

Извеждане на формулата за площта на успоредник.

Задача.

Как да "преначертая" успоредник, за да получим правоъгълник със същата площ?

Успоредникът беше преначертан в правоъгълник. Това означава, че неговата площ е равна на площта на правоъгълника.

Каква е дължината и ширината на правоъгълник за успоредник?

Площта на успоредника е равна на произведението на неговата основа и неговата височина.

В успоредника основата може да бъде всяка страна. И за да се приложи формулата за намиране на площта, трябва да се начертае височината към основата.

Нека изчислим площта на този успоредник.

Извеждане на формулата за площта на триъгълник.

Как можете да преначертаете или завършите триъгълник?

Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на неговата основа и височина.

Ами ако триъгълникът е правоъгълен?

Вижте фиг.

Може да се „преначертае“ в правоъгълник.

И намираме неговата площ, използвайки формулата

S =a *b. Дължината на правоъгълника е половината от крака, а ширината е другия крак.

Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на краката му.

Извеждане на формулата за площта на трапец.

Вижте как треапезиумът е "преначертан" - в триъгълник. И намираме площта на триъгълника, използвайки формулата:

Основата на триъгълника е сборът от дължините на горната и долната основа, а височината на триъгълника е височината на трапеца.

Площта на трапеца е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и неговата височина.

1) Намерете S пара. , Ако А=5, ч =4.

2) Намерете S триъгълник. , Ако А=3,5; ч =2.

3) Намерете S стълба. , Ако А=4,5; b = 2,5; ч =3.

Изпълнете тестови задачи (вижте приложението)

Партньорска проверка на самостоятелна работа.

Решаване на задачи по нова тема:

№ 675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

За слабите и изоставащи ученици е подготвена самостоятелна работа върху карти, която включва задачи, в които има примерен запис на решението.

Учителят предлага да отговори на въпроси по нова тема.

Момчета, нека обобщим!

Какво научихте в час днес?

Какво се научи да правиш?

Какво беше трудно да се реши?

Учителят коментира домашното.

параграф 23 № 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

браво на всички!

Урокът свърши. Довиждане!

Площ на геометрична фигура- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворения контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

Формула за площта на триъгълник по страна и височина
Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна
Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.

Формули за квадратна площ

Формула за площта на квадрат по дължината на страната
Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна.
Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
S= 1 2
2

Формула за площ на правоъгълник

Площ на правоъгълник

Формули за площ на успоредник

Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
Площ на успоредник
Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножено по синуса на ъгъла между тях.
a b sin α

Формули за площта на ромба

Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
Площ на ромбе равно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна.
Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
Площ на ромбравно на половината от произведението на дължините на неговите диагонали.

Формули за площ на трапец

Формула на Херон за трапец
Където S е площта на трапеца,
- дължини на основите на трапеца,
- дължини на страните на трапеца,

Площ на успоредник

Теорема 1

Площта на успоредника се определя като произведението на дължината на неговата страна и височината, начертана към нея.

където $a$ е страна на успоредника, $h$ е височината, начертана към тази страна.

Доказателство.

Нека ни е даден успоредник $ABCD$ с $AD=BC=a$. Нека начертаем височините $DF$ и $AE$ (фиг. 1).

Снимка 1.

Очевидно фигурата на $FDAE$ е правоъгълник.

\[\ъгъл BAE=(90)^0-\ъгъл A,\ \] \[\ъгъл CDF=\ъгъл D-(90)^0=(180)^0-\ъгъл A-(90)^0 =(90)^0-\ъгъл A=\ъгъл BAE\]

Следователно, тъй като $CD=AB,\ DF=AE=h$, по критерия $I$ за равенство на триъгълници $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тогава

И така, според теоремата за площта на правоъгълник:

Теоремата е доказана.

Теорема 2

Площта на успоредника се определя като произведението на дължината на съседните му страни и синуса на ъгъла между тези страни.

Математически това може да се напише по следния начин

където $a,\b$ са страните на успоредника, $\alpha$ е ъгълът между тях.

Доказателство.

Нека ни е даден успоредник $ABCD$ с $BC=a,\ CD=b,\ \ъгъл C=\alpha $. Нека начертаем височината $DF=h$ (фиг. 2).

Фигура 2.

По дефиницията на синус получаваме

Следователно

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Площ на триъгълник

Теорема 3

Площта на триъгълник се определя като половината от произведението на дължината на неговата страна и надморската височина, начертана към нея.

Математически това може да се напише по следния начин

където $a$ е страна на триъгълника, $h$ е височината, начертана към тази страна.

Доказателство.

Фигура 3.

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Теорема 4

Площта на триъгълник се определя като половината от произведението на дължината на съседните му страни и синуса на ъгъла между тези страни.

Математически това може да се напише по следния начин

където $a,\b$ са страните на триъгълника, $\alpha$ е ъгълът между тях.

Доказателство.

Нека ни е даден триъгълник $ABC$ с $AB=a$. Нека намерим височината $CH=h$. Нека го построим до успоредник $ABCD$ (фиг. 3).

Очевидно, по $I$ критерия за равенство на триъгълниците, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогава

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Площ на трапец

Теорема 5

Площта на трапец се определя като половината от произведението на сумата от дължините на основите му и височината му.

Математически това може да се напише по следния начин

Доказателство.

Нека ни е даден трапец $ABCK$, където $AK=a,\ BC=b$. Нека начертаем в него височините $BM=h$ и $KP=h$, както и диагонала $BK$ (фиг. 4).

Фигура 4.

По теорема $3$ получаваме

Теоремата е доказана.

Примерна задача

Пример 1

Намерете лицето на равностранен триъгълник, ако дължината на страната му е $a.$

Решение.

Тъй като триъгълникът е равностранен, всичките му ъгли са равни на $(60)^0$.

Тогава, по теорема $4$, имаме

Отговор:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Имайте предвид, че резултатът от тази задача може да се използва за намиране на площта на всеки равностранен триъгълник с дадена страна.

Нека се съгласим да наречем една от страните на успоредника основа, а перпендикулярът, прекаран от която и да е точка на противоположната страна към правата, съдържаща основата, е височина на паралелограма.

Теорема

Доказателство

Да разгледаме успоредник ABCD с площ S. Да вземем за основа страната AD и да начертаем височините ВН и СК (фиг. 182). Нека докажем, че S = AD VN.

Ориз. 182

Нека първо докажем, че лицето на правоъгълника ABCD също е равно на S. Трапецът ABCD е съставен от успоредник ABCD и триъгълник DCK. От друга страна, тя е съставена от правоъгълник НВСК и триъгълник АВН. Но правоъгълните триъгълници DCK и ABH са равни по хипотенуза и остър ъгъл (техните хипотенузи AB и CD са равни като противоположни страни на успоредник, а ъгли 1 и 2 са равни като съответните ъгли, когато успоредните прави AB и CD се пресичат със секущата AD) , така че техните площи са равни.

Следователно площите на успоредника ABCD и правоъгълника NVSK също са равни, т.е. площта на правоъгълника NVSK е равна на S. По теоремата за площта на правоъгълника S = BC BN и тъй като BC = AD, тогава S = AD BN. Теоремата е доказана.

Площ на триъгълник

Често се нарича една от страните на триъгълника основа. Ако е избрана основата, тогава думата "височина" означава височината на триъгълника, начертан към основата. Теорема

Доказателство

Нека S е площта на триъгълника ABC (фиг. 183). Нека вземем страната AB за основа на триъгълника и начертаем височината CH. Нека докажем това .

Ориз. 183

Нека завършим триъгълника ABC до успоредника ABDC, както е показано на фигура 183. Триъгълниците ABC и DCB са равни по три страни (BC е тяхната обща страна, AB = CD и AC = BD като противоположни страни на успоредника ABDC), така че техните площи са равни. Следователно площта S на триъгълник ABC е равна на половината от площта на успоредника ABDC, т.е. . Теоремата е доказана.

Следствие 1

Следствие 2

Нека използваме следствие 2, за да докажем теоремата за отношението на площите на триъгълници с еднакви ъгли.

Теорема

Доказателство

Нека S и S 1 са площите на триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, за които ∠A = ∠A 1 (фиг. 184, а). Нека докажем това .

Ориз. 184

Нека насложим триъгълник A 1 B 1 C 1 върху триъгълник ABC, така че върхът A 1 да е подравнен с върха A, а страните A 1 B 1 и A 1 C 1 припокриват лъчите AB и AC, съответно (фиг. 184, b). Триъгълниците ABC и AB 1 C имат обща височина - CH, следователно .

Триъгълниците AB 1 C и AB 1 C 1 също имат обща височина - B 1 H 1, следователно . Умножавайки получените равенства, намираме:

Теоремата е доказана.

Площ на трапец

За да изчислите площта на произволен многоъгълник, обикновено правите това: разделете многоъгълника на триъгълници и намерете площта на всеки триъгълник. Сумата от площите на тези триъгълници е равна на площта на дадения многоъгълник (фиг. 185, а). Използвайки тази техника, ще извлечем формула за изчисляване на площта на трапец. Нека се съгласим да наричаме надморска височина на трапец перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една от основите към права, съдържаща другата основа. На фигура 185, b, сегмент BH (както и сегмент DH 1) е височината на трапеца ABCD.

Ориз. 185

Теорема

Доказателство

Помислете за трапец ABCD с основи AD и BC, височина BH и площ S (вижте фиг. 185, b).

Нека докажем това

Диагоналът BD разделя трапеца на два триъгълника ABD и BCD, така че S = S ABD + S BCD.

Нека за основа и височина на триъгълник ABD вземем отсечки AD и ВН, а за основа и височина на триъгълник BCD отсечки ВС и DH 1. Тогава

Теоремата е доказана.

Задачи

459. Нека a е основата, h е височината, а S е лицето на успоредника. Намерете: а) S, ако a = 15 cm, h = 12 cm; b) a, ако S = 34 cm 2, h = 8,5 cm; в) a, ако S = 162 cm 2, h = 1/2a; г) h, ако h = 3a, S = 27.

460. Диагоналът на успоредник, равен на 13 см, е перпендикулярен на страната на успоредника, равна на 12 см. Намерете лицето на успоредника.

461. Прилежащите страни на успоредник са 12 cm и 14 cm, а острият му ъгъл е 30°. Намерете площта на успоредника.

462. Страната на ромб е 6 cm, а един от ъглите е 150°. Намерете площта на ромба.

463. Страната на успоредник е 8,1 cm, а диагоналът, равен на 14 cm, сключва с нея ъгъл 30°. Намерете площта на успоредника.

464. Нека a и b са съседни страни на успоредника, S площта, a h 1 и h 2 неговите височини. Намерете: a) h 2, ако a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; b) h 1, ако a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 и h 2, ако S = 54 cm 2, a = 4,5 cm, b = 6 см.

465. Острият ъгъл на успоредника е 30°, а височините, прекарани от върха на тъпия ъгъл, са 2 cm и 3 cm. Намерете лицето на успоредника.

466. Диагоналът на успоредник е равен на страната му. Намерете лицето на успоредник, ако най-дългата му страна е 15,2 cm и един от ъглите му е 45°.

467. Квадрат и ромб, който не е квадрат, имат еднакви периметри. Сравнете площите на тези фигури.

468. Нека a е основата, h височината и S лицето на триъгълника. Намерете: а) S, ако a = 7 cm, h = 11 cm; б) S, ако a = 2√3 cm, h = 5 cm; c) h, ако S = 37,8 cm 2, a - 14 cm; г) а, ако S = 12 cm 2, h = 3√2 cm.

469. Страните AB и BC на триъгълника ABC са съответно равни на 16 cm и 22 cm, а височината, прекарана към страната AB, е равна на 11 cm.

470. Двете страни на триъгълника са равни на 7,5 cm и 3,2 cm. Височината, прекарана към по-голямата страна, е 2,4 cm.

471. D Намерете лицето на правоъгълен триъгълник, ако катетите му са равни: а) 4 cm и 11 cm; б) 1,2 dm и 3 dm.

472. Площта на правоъгълен триъгълник е 168 cm 2. Намерете краката му, ако отношението на дължините им е 7/12.

473. През върха C на триъгълника ABC е прекарана права m, успоредна на страната AB. Докажете, че всички триъгълници с върхове на права m и основа AB имат равни повърхнини.

474. Сравнете лицата на два триъгълника, на които даден триъгълник е разделен от медианата си.

475. Начертайте триъгълник ABC. Начертайте две прави линии през връх A, така че да разделят този триъгълник на три триъгълника с равни площи.

476. Докажете, че площта на ромб е равна на половината от произведението на неговите диагонали. Изчислете повърхнината на ромб, ако неговите диагонали са равни на: а) 3,2 dm и 14 cm; б) 4,6 dm и 2 dm.

477. Намерете диагоналите на ромба, ако единият от тях е 1,5 пъти по-голям от другия, а площта на ромба е 27 cm 2.

478. В изпъкнал четириъгълник диагоналите са взаимно перпендикулярни. Докажете, че площта на четириъгълник е равна на половината от произведението на неговите диагонали.

479. Точките D и E лежат на страните AB и AC на триъгълника ABC. Намерете: а) S ADE, ако AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2 ; б) AD, ако AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2.

480. Намерете лицето на трапеца ABCD с основи AB и CD, ако:

а) AB = 21 cm, CD = 17 cm, височината BH е 7 cm;
б) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
в) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. Намерете лицето на правоъгълен трапец, чиито две по-малки страни са 6 cm, а по-големият ъгъл е 135°.

482. Тъпият ъгъл на равнобедрен трапец е 135°, а надморската височина, прекарана от върха на този ъгъл, разделя по-голямата основа на отсечки от 1,4 cm и 3,4 cm. Намерете лицето на трапеца.

Отговори на проблеми

459. а) 180 cm 2; б) 4 см; в) 18 cm; г) 9.

460. 156 см 2.

461,84 см 2.

462. 18 см 2.

463,56,7 cm2.

464. а) 10 см; б) 4 см; в) 12 cm и 9 cm.

465. 12 см 2.

466. 115.52 см 2.

467. Площта на квадрат е по-голяма.

468. а) 38,5 см 2; б) 5√3 cm 2; в) г) 4√2 cm.

470.5.625 см.

471. а) 22 cm 2; б) 1,8 dm 2.

472. 14 см и 24 см.

473. Инструкция. Използвайте теорема 38.

474. Площите на триъгълниците са равни.

475. Инструкция. Първо, разделете страната BC на три равни части.

476. а) 224 см 2; б) 4,6 dm 2. Забележка. Имайте предвид, че диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни.

477. 6 см и 9 см.

479. а) 2 cm 2; б) 2,4 см. Инструкция. Използвайте втората теорема от параграф 53.

480. а) 133 cm 2; б) 24 cm 2; в) 72 cm 2.

481,54 см 2.

Площ на успоредник

Теорема 1

където $a$ е страна на успоредника, $h$ е височината, начертана към тази страна.

Доказателство.

Нека ни е даден успоредник $ABCD$ с $AD=BC=a$. Нека начертаем височините $DF$ и $AE$ (фиг. 1).

Снимка 1.

Очевидно фигурата на $FDAE$ е правоъгълник.

\[\ъгъл BAE=(90)^0-\ъгъл A,\ \] \[\ъгъл CDF=\ъгъл D-(90)^0=(180)^0-\ъгъл A-(90)^0 =(90)^0-\ъгъл A=\ъгъл BAE\]

Следователно, тъй като $CD=AB,\ DF=AE=h$, по критерия $I$ за равенство на триъгълници $\triangle BAE=\triangle CDF$. Тогава

И така, според теоремата за площта на правоъгълник:

Теоремата е доказана.

Теорема 2

Математически това може да се напише по следния начин

където $a,\b$ са страните на успоредника, $\alpha$ е ъгълът между тях.

Доказателство.

Нека ни е даден успоредник $ABCD$ с $BC=a,\ CD=b,\ \ъгъл C=\alpha $. Нека начертаем височината $DF=h$ (фиг. 2).

Фигура 2.

По дефиницията на синус получаваме

Следователно

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Площ на триъгълник

Теорема 3

Математически това може да се напише по следния начин

където $a$ е страна на триъгълника, $h$ е височината, начертана към тази страна.

Доказателство.

Фигура 3.

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Теорема 4

Математически това може да се напише по следния начин

където $a,\b$ са страните на триъгълника, $\alpha$ е ъгълът между тях.

Доказателство.

Нека ни е даден триъгълник $ABC$ с $AB=a$. Нека намерим височината $CH=h$. Нека го построим до успоредник $ABCD$ (фиг. 3).

Очевидно, по $I$ критерия за равенство на триъгълниците, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Тогава

И така, по теорема $1$:

Теоремата е доказана.

Площ на трапец

Теорема 5

Математически това може да се напише по следния начин

Доказателство.

Фигура 4.

По теорема $3$ получаваме

Теоремата е доказана.

Примерна задача

Пример 1

Намерете лицето на равностранен триъгълник, ако дължината на страната му е $a.$

Решение.

Тъй като триъгълникът е равностранен, всичките му ъгли са равни на $(60)^0$.

Тогава, по теорема $4$, имаме

Отговор:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.