Разделяне на сегмент в дадено съотношение.
Нека разгледаме две различни точки M 1 и M 2 в пространството и правата, определена от тези точки. Нека изберем определена посока на тази права линия. На получената ос точките M 1 и M 2 определят насочения сегмент M 1 M 2. Нека M е всяка точка от посочената ос, различна от M2. Номер
l=M 1 M/MM 2 (*)
Наречен отношение, при което точката M разделя насочената отсечка M 1 M 2. Така всяка точка M, различна от M 2, разделя сегмента M 1 M 2 в някакво съотношение l, където l се определя от равенство (*).
Уравнение на права с ъглов коефициент.
Нека са дадени два реда и , (). Тогава, ако , тогава ъгълът между тези линии може да се намери от формулата
 |
Ако , тогава линиите са перпендикулярни.
Доказателство. Както знаете от училищен курс по математика, наклонът в уравнението на права линия е равен на тангенса на ъгъла на наклона на правата линия спрямо оста. От фиг. 11.10 става ясно, че .
Тъй като , , тогава когато равенството е в сила
което дава формулата
Ако тогава 
, където
Следователно и 
.
Общо уравнение на права линия.
Нека първо докажем, че ако в равнината Π са дадени произволна права линия L и фиксирана произволна декартова правоъгълна система Oxy, то правата L е дефинирана в тази система чрез уравнение от първа степен.
Достатъчно е да се докаже, че правата L се определя от уравнение от първа степен за всеки един специален избор на декартова правоъгълна система в равнината P, защото тогава тя ще се определя от уравнение от първа степен за всеки избор на декартова правоъгълна система в равнината P. Нека насочим оста Ox по правата L, а оста Oy е перпендикулярна на нея. Тогава уравнението на правата ще бъде уравнение от първа степен y=0. всъщност това уравнение ще бъде изпълнено от координатите на всяка точка, лежаща на правата L, и няма да бъде удовлетворено от координатите на която и да е точка, която не лежи на правата L.
Нека сега докажем, че ако произволна декартова система Oxy е фиксирана в равнината Π, тогава всяко уравнение от първа степен с две променливи x и y определя права линия по отношение на тази система.
Всъщност нека е фиксирана произволна декартова правоъгълна система Oxy и е дадено уравнение от първа степен Ax+By+c=0, в което A B C са всякакви константи и поне една от константите A и B е различна от 0 .Уравнението очевидно има, въпреки че ще има едно решение x0 и y0, т.е. има поне една точка M(x 0, y 0), чиито координати отговарят на уравнението Ax 0 +By 0 +C=0. като извадим от уравнението на първа степен уравнението, където точката M(x 0, y 0) е заместена, получаваме уравнението: A(x- x 0) + B(y- y 0) = 0 (1), еквивалентно на уравнението от първа степен. Достатъчно е да се докаже, че уравнението определя определена права спрямо системата. Ще докажем, че уравнение (1) определя права L, минаваща през точката M(x 0, y 0) и перпендикулярна на вектора n=(A,B). Всъщност, ако точката M(x,y) лежи на определената права L, тогава нейните координати удовлетворяват уравнение (1), тъй като в този случай векторите n=(A,B) и M 0 M=(x-x 0, y- y 0) са ортогонални и тяхното скаларно произведение A(x- x 0) + B(y- y 0) е равно на нула. Ако точката M(x,y) не лежи на посочената права, тогава нейните координати не удовлетворяват уравнение (1), тъй като в този случай векторите n=(A,B) и M 0 M=(x-x 0, y-y 0 ) не са ортогонални и следователно тяхното скаларно произведение не е равно на нула. Твърдението е доказано
Уравнението Ax+By+C=0 с произволни коефициенти A B и C, така че A и B не са равни на нула едновременно, се нарича общо уравнение на права линия. Доказахме, че правата, дефинирана от общото уравнение Ax+By+C=0, е ортогонална на вектора n=(A,B). Ще наричаме този последен вектор вектор на нормалната линия.
Канонично уравнение на права линия. Всеки ненулев вектор, успореден на дадена права, ще се нарича вектор на посоката на тази права. Нека си поставим задачата: да намерим уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 1 (x 1,y 1) и имаща даден насочващ вектор q = (l, m). Очевидно точката M(x,y) лежи на посочената права тогава и само ако векторите M 1 M=(x-x 1, y-y 1) и q=(m,l) са колинеарни, тогава и само тогава, когато координатите на тези вектори са пропорционални, т.е.
Нека сега разгледаме пълното уравнение на равнината и покажем, че то може да бъде приведено до следния вид. , наречено уравнение на равнината „в сегменти“. Тъй като коефициентите A B C са различни от нула, можем да пренапишем уравнението по отношение на 
и след това поставете A=-C/A b=-C/B. В уравнението на равнина в сегменти числата a, b имат просто геометрично значение: те са равни на стойностите на сегментите, които равнината отрязва съответно на осите Ox, Oy (сегментите се измерват от произхода на координатите). За да проверите това, достатъчно е да намерите пресечните точки на линията, определена от уравнението на линията в сегменти с координатни оси. Например, точката на пресичане с оста Ox се определя от съвместно разглеждане на уравнението на правата линия в сегменти с уравнението y = 0 на оста Ox. Ще получим координатите на пресечната точка x=a y=0. По същия начин се установява, че координатите на пресечната точка на правата с оста Oy имат вида x=0 и y=b.
Уравнение на права, минаваща през две дадени точки
M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2)
Уравнение на права, минаваща през две дадени несъвпадащи точки и
или като цяло
68. Условия за успоредност и перпендикулярност на правите. Разстояние от точка до линия
Две линии, дадени с уравнения
Тези прави са успоредни, ако А 1 б 2 − А 2 б 1 = 0 или к 1 = к 2 и
перпендикулярно ако А 1 А 2 + б 1 б 2 = 0 или
Точково разстояние А(х 1 , г 1) към правата линия брадва + от + ° С= 0 е дължината на перпендикуляра, пуснат от тази точка върху правата линия. Определя се по формулата
69. Декартова координатна система. Методи за дефиниране на повърхности. Общо уравнение на повърхнина в пространството.
КАРТЕЗИАНСКА КООРДИНАТНА СИСТЕМА, праволинейна координатна система на равнина или в пространството (обикновено с взаимно перпендикулярни оси и еднакви мащаби по осите). Кръстен на Р. Декарт ( см.ДЕКАРТ Рене).
Декарт пръв въвежда координатна система, която значително се различава от общоприетата днес. За дефиниране на декартова правоъгълна координатна система се избират взаимно перпендикулярни прави линии, наречени оси. Пресечна точка на осите Онаречен произход. На всяка ос се задава положителна посока и се избира мащабна единица. Координати на точки Псе считат за положителни или отрицателни в зависимост от това върху коя полуос попада проекцията на точката П.
Методът за дефиниране на повърхност с линейна рамка се нарича телена рамка.
Аналитичният метод за определяне на повърхността се използва широко в практиката, особено ако е необходимо да се изследват вътрешните свойства на повърхността. При проектиране на повърхности на технически форми и тяхното възпроизвеждане на компютърно управлявани машини се използват заедно графични и аналитични методи за дефиниране на повърхности.
Повърхностите се разглеждат като набор от точки и линии. Координатите на точките от това множество удовлетворяват дадено уравнение от вида F(x, y, z) = 0.
Алгебрична повърхност от ред n е повърхност, чието уравнение е алгебрично уравнение от степен n.
Графичен метод за определяне на повърхности.
Методи на аналитична задача
1. - векторно-параметрично уравнение.
2. 
- параметрични уравнения.
3. - явно уравнение.
4. 
- неявно уравнение.
Всяко уравнение, свързващо координатите x, y, z на всяка точка от повърхността, е уравнение на тази повърхност. За да бъде начертана една равнина през всякакви три точки в пространството, е необходимо тези точки да не лежат на една и съща права линия.
Разгледайте точките M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) в общата декартова координатна система. За да лежи произволна точка M(x, y, z) в една равнина с точките M 1, M 2, M 3, е необходимо векторите 
бяха копланарни. ( ) = 0 Така, 
Уравнение на равнина, минаваща през три точки: 
70. Общо уравнение на равнина в пространството. Уравнение на равнина в отсечки
Апартаменте повърхност, чиито точкови тегла отговарят на общото уравнение:
Ax + By + Cz + D = 0,
където A, B, C са векторни координати 
-вектор нормалнидо самолета.
Възможни са следните специални случаи:
A = 0 – равнината е успоредна на оста Ox
B = 0 – равнина, успоредна на оста Oy
C = 0 – равнина, успоредна на оста Oz
D = 0 – равнината минава през началото
A = B = 0 – равнината е успоредна на равнината xOy
A = C = 0 – равнината е успоредна на равнината xOz
B = C = 0 – равнината е успоредна на равнината yOz
A = D = 0 – равнината минава през оста Ox
B = D = 0 – равнината минава през оста Oy
Тази статия разкрива извеждането на уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система, разположена в равнина. Нека изведем уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки в правоъгълна координатна система. Нагледно ще покажем и решим няколко примера, свързани с преминатия материал.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Преди да се получи уравнението на права, минаваща през две дадени точки, е необходимо да се обърне внимание на някои факти. Има аксиома, която казва, че през две различни точки на равнина е възможно да се начертае права линия и само една. С други думи, две дадени точки на равнина се определят от права линия, минаваща през тези точки.
Ако равнината е определена от правоъгълната координатна система Oxy, тогава всяка права линия, изобразена в нея, ще съответства на уравнението на права линия в равнината. Има връзка и с насочващия вектор на правата. Тези данни са достатъчни за съставяне на уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки.
Нека да разгледаме пример за решаване на подобен проблем. Необходимо е да се създаде уравнение за права линия a, минаваща през две различни точки M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2), разположени в декартовата координатна система.
В каноничното уравнение на права в равнина, имащо формата x - x 1 a x = y - y 1 a y, правоъгълна координатна система O x y е посочена с права, която се пресича с нея в точка с координати M 1 (x 1, y 1) с водещ вектор a → = (a x , a y) .
Необходимо е да се създаде канонично уравнение на права линия a, която ще минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2).
Права a има насочващ вектор M 1 M 2 → с координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1), тъй като пресича точките M 1 и M 2. Получихме необходимите данни, за да трансформираме каноничното уравнение с координатите на насочващия вектор M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) и координатите на точките M 1, лежащи върху тях (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) . Получаваме уравнение във формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Разгледайте фигурата по-долу.
След изчисленията записваме параметричните уравнения на права в равнина, която минава през две точки с координати M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2). Получаваме уравнение от вида x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
Нека разгледаме по-отблизо решаването на няколко примера.
Пример 1
Напишете уравнението на права линия, минаваща през 2 дадени точки с координати M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Решение
Каноничното уравнение за права, пресичаща се в две точки с координати x 1, y 1 и x 2, y 2, приема формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Според условията на задачата имаме, че x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Необходимо е да замените числените стойности в уравнението x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. От тук получаваме, че каноничното уравнение приема формата x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Отговор: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Ако трябва да решите проблем с различен тип уравнение, първо можете да отидете до каноничното, тъй като е по-лесно да стигнете от него до всяко друго.
Пример 2
Съставете общото уравнение на права линия, минаваща през точки с координати M 1 (1, 1) и M 2 (4, 2) в координатната система O x y.
Решение
Първо, трябва да напишете каноничното уравнение на дадена права, която минава през дадени две точки. Получаваме уравнение във формата x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Нека приведем каноничното уравнение до желаната форма, след което получаваме:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Отговор: x - 3 y + 2 = 0 .
Примери за такива задачи бяха разгледани в училищните учебници по време на часовете по алгебра. Училищните проблеми се различаваха по това, че беше известно уравнението на права линия с ъглов коефициент, имащо формата y = k x + b. Ако трябва да намерите стойността на наклона k и числото b, за което уравнението y = k x + b определя права в системата O x y, която минава през точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 ( x 2, y 2), където x 1 ≠ x 2. Когато x 1 = x 2 , тогава ъгловият коефициент приема стойността на безкрайност, а правата линия M 1 M 2 се определя от общо непълно уравнение под формата x - x 1 = 0 .
Тъй като точките М 1И М 2са на права линия, тогава техните координати удовлетворяват уравнението y 1 = k x 1 + b и y 2 = k x 2 + b. Необходимо е да се реши системата от уравнения y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b за k и b.
За да направим това, намираме k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
С тези стойности на k и b, уравнението на права, минаваща през дадените две точки, става y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 или y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Невъзможно е да запомните толкова голям брой формули наведнъж. За да направите това, е необходимо да увеличите броя на повторенията при решаването на задачи.
Пример 3
Запишете уравнението на права линия с ъглов коефициент, минаваща през точки с координати M 2 (2, 1) и y = k x + b.
Решение
За да решим задачата, използваме формула с ъглов коефициент от вида y = k x + b. Коефициентите k и b трябва да приемат такава стойност, че това уравнение да съответства на права линия, минаваща през две точки с координати M 1 (- 7, - 5) и M 2 (2, 1).
Точки М 1И М 2са разположени на права линия, тогава техните координати трябва да направят уравнението y = k x + b истинско равенство. От тук получаваме, че - 5 = k · (- 7) + b и 1 = k · 2 + b. Нека комбинираме уравнението в системата - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b и да решим.
При заместване получаваме това
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Сега стойностите k = 2 3 и b = - 1 3 се заместват в уравнението y = k x + b. Откриваме, че търсеното уравнение, минаващо през дадените точки, ще бъде уравнение от вида y = 2 3 x - 1 3 .
Този метод на решение предопределя загубата на много време. Има начин, по който задачата се решава буквално на две стъпки.
Нека напишем каноничното уравнение на правата, минаваща през M 2 (2, 1) и M 1 (- 7, - 5), имащо формата x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Сега нека преминем към уравнението на наклона. Получаваме, че: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Отговор: y = 2 3 x - 1 3 .
Ако в тримерното пространство има правоъгълна координатна система O x y z с две дадени несъвпадащи точки с координати M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2), то права линия M, минаваща през тях 1 M 2 , е необходимо да се получи уравнението на тази линия.
Имаме, че каноничните уравнения от формата x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z и параметричните уравнения от формата x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ могат да определят права в координатната система O x y z, минаваща през точки с координати (x 1, y 1, z 1) с насочващ вектор a → = (a x, a y, a z).
Прав M 1 M 2 има насочващ вектор под формата M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), където правата линия минава през точката M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), следователно каноничното уравнение може да бъде във формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 или x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, на свой ред параметричен x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ или x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Помислете за чертеж, който показва 2 дадени точки в пространството и уравнението на права линия.
Пример 4
Напишете уравнението на права, дефинирана в правоъгълна координатна система O x y z на триизмерното пространство, минаваща през дадени две точки с координати M 1 (2, - 3, 0) и M 2 (1, - 3, - 5).
Решение
Необходимо е да се намери каноничното уравнение. Тъй като говорим за триизмерно пространство, това означава, че когато права минава през дадени точки, желаното канонично уравнение ще приеме формата x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
По условие имаме, че x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. От това следва, че необходимите уравнения ще бъдат записани, както следва:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Отговор: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Свойства на права линия в евклидовата геометрия.
Безкрайно много прави линии могат да бъдат начертани през всяка точка.
През всеки две несъвпадащи точки може да се прекара една права линия.
Две различни прави в една равнина се пресичат в една точка или се пресичат
паралелен (следва от предишния).
В триизмерното пространство има три варианта за взаимното разположение на две линии:
- линиите се пресичат;
- линиите са успоредни;
- пресичат се прави линии.
Направо линия— алгебрична крива от първи ред: права линия в декартовата координатна система
се дава на равнината чрез уравнение от първа степен (линейно уравнение).
Общо уравнение на права линия.
Определение. Всяка права линия в равнината може да бъде определена чрез уравнение от първи ред
Ax + Wu + C = 0,
и постоянно А, Бне са равни на нула едновременно. Това уравнение от първи ред се нарича общ
уравнение на права линия.В зависимост от стойностите на константите А, БИ СЪСВъзможни са следните специални случаи:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- права линия минава през началото
. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- права линия, успоредна на оста о
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- права линия, успоредна на оста OU
. B = C = 0, A ≠0- правата линия съвпада с оста OU
. A = C = 0, B ≠0- правата линия съвпада с оста о
Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от всяка даденост
начални условия.
Уравнение на права от точка и нормален вектор.
Определение. В декартова правоъгълна координатна система вектор с компоненти (A, B)
перпендикулярна на правата, дадена от уравнението
Ax + Wu + C = 0.
Пример. Намерете уравнението на права, минаваща през точка A(1, 2)перпендикулярен на вектора (3, -1).
Решение. При A = 3 и B = -1, нека съставим уравнението на правата линия: 3x - y + C = 0. За да намерим коефициента C
Нека заместим координатите на дадената точка A в получения израз, следователно получаваме: 3 - 2 + C = 0
C = -1. Общо: необходимото уравнение: 3x - y - 1 = 0.
Уравнение на права, минаваща през две точки.
Нека в пространството са дадени две точки M 1 (x 1, y 1, z 1)И M2 (x 2, y 2, z 2),Тогава уравнение на права,
преминавайки през тези точки:
Ако някой от знаменателите е нула, съответният числител трябва да бъде равен на нула. На
равнина, уравнението на правата линия, написано по-горе, е опростено:
Ако x 1 ≠ x 2И x = x 1, Ако x 1 = x 2 .
Фракция = kНаречен наклон прав.
Пример. Намерете уравнението на правата, минаваща през точки A(1, 2) и B(3, 4).
Решение. Прилагайки формулата, написана по-горе, получаваме:
Уравнение на права линия с помощта на точка и наклон.
Ако общото уравнение на правата Ax + Wu + C = 0води до:
и посочете 
, тогава полученото уравнение се нарича
уравнение на права линия с наклон k.
Уравнение на права от точка и насочващ вектор.
По аналогия с точката, разглеждаща уравнението на права линия през нормалния вектор, можете да въведете задачата
права линия през точка и насочващ вектор на права линия.
Определение. Всеки ненулев вектор (α 1, α 2), чиито компоненти отговарят на условието
Aα 1 + Bα 2 = 0Наречен насочващ вектор на права линия.
Ax + Wu + C = 0.
Пример. Намерете уравнението на права линия с насочващ вектор (1, -1) и минаваща през точката A(1, 2).
Решение. Ще потърсим уравнението на желаната права във формата: Ax + By + C = 0.Според определението,
коефициентите трябва да отговарят на следните условия:
1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = Б.
Тогава уравнението на правата има формата: Ax + Ay + C = 0,или x + y + C / A = 0.
при x = 1, y = 2получаваме C/A = -3, т.е. необходимо уравнение:
x + y - 3 = 0
Уравнение на права линия в отсечки.
Ако в общото уравнение на правата Ах + Ву + С = 0 С≠0, тогава, разделяйки на -С, получаваме:
или къде
Геометричният смисъл на коефициентите е, че коефициентът a е координатата на пресечната точка
права с ос оА b- координата на пресечната точка на правата с оста OU.
Пример. Дадено е общото уравнение на права линия x - y + 1 = 0.Намерете уравнението на тази права в сегменти.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Нормално уравнение на права.
Ако и двете страни на уравнението Ax + Wu + C = 0разделяне на число 
което се нарича
нормализиращ фактор, тогава получаваме
xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормално уравнение на права.
Знакът ± на нормализиращия фактор трябва да бъде избран така, че μ*C< 0.
Р- дължината на перпендикуляра, пуснат от началото до правата линия,
А φ - ъгълът, образуван от този перпендикуляр с положителната посока на оста о
Пример. Дадено е общото уравнение на правата 12x - 5y - 65 = 0. Изисква се за писане на различни видове уравнения
тази права линия.
Уравнението на тази права в сегменти:
Уравнението на тази права с наклона: (раздели на 5)
Уравнение на права:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Трябва да се отбележи, че не всяка права линия може да бъде представена чрез уравнение в сегменти, например прави линии,
успоредни на осите или минаващи през началото.
Ъгълът между прави в равнина.
Определение. Ако са дадени два реда y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези прави
ще се определи като
Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две линии са перпендикулярни
Ако k 1 = -1/ k 2 .
Теорема.
Директен Ax + Wu + C = 0И A 1 x + B 1 y + C 1 = 0паралелно, когато коефициентите са пропорционални
A 1 = λA, B 1 = λB. Ако също С 1 = λС, тогава линиите съвпадат. Координати на пресечната точка на две прави
се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.
Уравнението на права, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права.
Определение. Права, минаваща през точка M 1 (x 1, y 1)и перпендикулярна на правата y = kx + b
представено от уравнението:
Разстояние от точка до права.
Теорема. Ако се даде точка M(x 0, y 0),след това разстоянието до правата линия Ax + Wu + C = 0дефиниран като:
Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1)- основата на перпендикуляр, пуснат от точка Мза даденост
директен. След това разстоянието между точките МИ М 1:
(1)
Координати х 1И на 1може да се намери като решение на системата от уравнения:
Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно
дадена права линия. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
тогава, решавайки, получаваме:
Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:
Теоремата е доказана.