2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Нека напишем множителите, включени в разгръщането на първото от тези числа и добавим към тях липсващия множител 5 от разгръщането на второто число. Получаваме: 2*2*3*5*5=300. Открихме НОК, т.е. тази сума = 300. Не забравяйте измерението и напишете отговора:
Отговор: Мама дава 300 рубли.
GCD дефиниция:Най-голям общ делител (НОД)естествени числа АИ Vнаричаме най-голямото естествено число c, на което а, И bразделено без остатък. Тези. cе най-малкото естествено число, за което и АИ bса кратни.
Бележка:Има два подхода за определяне на естествените числа
- числа, използвани при: изброяване (номериране) на обекти (първи, втори, трети, ...); - в училищата обикновено е така.
- обозначение на броя на артикулите (без Pokemon - нула, един Pokemon, два Pokemon, ...).
Отрицателните и нецелите (рационални, реални, ...) числа не са естествени числа. Някои автори включват нулата в множеството от естествени числа, други не. Съвкупността от всички естествени числа обикновено се означава със символа Н
Бележка:Делител на естествено число аназовете номера б,към които аразделено без остатък. Кратни на естествено число bнаричам естествено число а, което се дели на bбез следа. Ако броят b- делител на числа а, Това акратно на числото b. Пример: 2 е делител на 4, а 4 е кратно на две. 3 е делител на 12, а 12 е кратно на 3.
Бележка:Естествените числа се наричат прости, ако се делят без остатък само на себе си и на 1. Еднопростите числа са тези, които имат само един общ делител, равен на 1.
Определение как да намерите GCD в общия случай:За да намерите НОД (Най-голям общ делител)необходими са няколко естествени числа:
1) Разделете ги на прости множители. (Таблицата на простите числа може да бъде много полезна за това.)
2) Запишете факторите, включени в разширението на един от тях.
3) Задраскайте тези, които не са включени в разширението на останалите числа.
4) Умножете факторите, получени в стъпка 3).
Проблем 2 на (NOK):За Нова година Коля Пузатов купи в града 48 хамстера и 36 джезвета. Фекла Дормидонтова, като най-честното момиче в класа, получи задачата да раздели това имущество на възможно най-голям брой подаръчни комплекти за учители. Колко комплекта получихте? Какво е съдържанието на комплектите?
Пример 2.1. решаване на проблема с намирането на GCD. Намиране на GCD чрез селекция.
Решение:Всяко от числата 48 и 36 трябва да се дели на броя на подаръците.
1) Запишете делителите 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Запишете делителите на 36: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Изберете най-големия общ делител. Уау-ла-ла! Установихме, че комплектите са 12 броя.
3) Разделете 48 на 12, за да получите 4, разделете 36 на 12, за да получите 3. Не забравяйте измерението и напишете отговора:
Отговор: Ще получите 12 комплекта от 4 хамстера и 3 кана за кафе във всеки комплект.
Критерии за делимост на естествените числа.
Числата, които се делят на 2 без остатък, се наричатдаже .
Числата, които не се делят равномерно на 2, се наричатстранно .
Тест за делимост на 2
Ако едно естествено число завършва с четна цифра, то това число се дели на 2 без остатък, а ако едно число завършва с нечетна цифра, то това число не се дели на 2 по равно.
Например числата 60 , 30 8 , 8 4 се делят на 2 без остатък, а числата са 51 , 8 5 , 16 7 не се делят на 2 без остатък.
Тест за делимост на 3
Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 3, то числото се дели на 3; Ако сумата от цифрите на едно число не се дели на 3, то числото не се дели на 3.
Например, нека разберем дали числото 2772825 се дели на 3. За целта нека изчислим сумата от цифрите на това число: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - дели се на 3. Това означава, че числото 2772825 се дели на 3.
Тест за делимост на 5
Ако записът на едно естествено число завършва с цифрата 0 или 5, то това число се дели на 5 без остатък. Ако записът на дадено число завършва с друга цифра, то числото не се дели на 5 без остатък.
Например числата 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 се делят на 5 без остатък, а числата са 17 , 37 8 , 9 1 не споделяй.
Тест за делимост на 9
Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 9, то числото се дели на 9; Ако сумата от цифрите на едно число не се дели на 9, то числото не се дели на 9.
Например, нека разберем дали числото 5402070 се дели на 9. За целта нека изчислим сумата от цифрите на това число: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не се дели на 9 . Това означава, че числото 5402070 не се дели на 9.
Тест за делимост на 10
Ако едно естествено число завършва с цифрата 0, то това число се дели на 10 без остатък. Ако едно естествено число завършва с друга цифра, то не се дели равномерно на 10.
Например числата 40 , 17 0 , 1409 0 се делят на 10 без остатък, а числата 17 , 9 3 , 1430 7 - не споделяйте.
Правилото за намиране на най-голям общ делител (НОД).
За да намерите най-големия общ делител на няколко естествени числа, трябва:
2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;
3) намерете произведението на останалите множители.
Пример. Нека намерим НОД (48;36). Нека използваме правилото.
1. Нека разложим числата 48 и 36 на прости множители.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. От факторите, включени в разширението на числото 48, изтриваме тези, които не са включени в разширението на числото 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Останалите фактори са 2, 2 и 3.
3. Умножете останалите множители и получете 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36.
НОД (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
Правилото за намиране на най-малкото общо кратно (LCM).
За да намерите най-малкото общо кратно на няколко естествени числа, трябва:
1) разложете ги на прости множители;
2) запишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.
Пример.Нека намерим LOC (75;60). Нека използваме правилото.
1. Нека разложим числата 75 и 60 на прости множители.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Нека запишем факторите, включени в разгръщането на числото 75: 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Добавете към тях липсващите множители от разгъването на числото 60, т.е. 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Намерете произведението на получените множители
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Представеният по-долу материал е логично продължение на теорията от статията LCM - най-малко общо кратно, определение, примери, връзка между LCM и GCD. Тук ще говорим за намиране на най-малкото общо кратно (LCM), като ще обърнем специално внимание на решаването на примери. Първо, ще покажем как LCM на две числа се изчислява с помощта на GCD на тези числа. След това ще разгледаме намирането на най-малкото общо кратно чрез разлагане на числа на прости множители. След това ще се съсредоточим върху намирането на LCM на три или повече числа и също ще обърнем внимание на изчисляването на LCM на отрицателни числа.
Навигация в страницата.
Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез GCD
Един от начините за намиране на най-малкото общо кратно се основава на връзката между LCM и GCD. Съществуващата връзка между LCM и GCD ни позволява да изчислим най-малкото общо кратно на две положителни цели числа чрез известен най-голям общ делител. Съответната формула е LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Нека да разгледаме примери за намиране на LCM с помощта на дадената формула.
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на две числа 126 и 70.
Решение.
В този пример a=126 , b=70 . Нека използваме връзката между LCM и GCD, изразена с формулата LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Тоест, първо трябва да намерим най-големия общ делител на числата 70 и 126, след което можем да изчислим LCM на тези числа, използвайки написаната формула.
Нека намерим НОД(126, 70) с помощта на евклидовия алгоритъм: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следователно НОД(126, 70)=14.
Сега намираме необходимото най-малко общо кратно: НОД(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630.
отговор:
LCM(126, 70)=630.
Пример.
На какво е равно LCM(68, 34)?
Решение.
защото 68 се дели на 34, тогава НОД(68, 34)=34. Сега изчисляваме най-малкото общо кратно: НОД(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68.
отговор:
LCM(68, 34)=68.
Обърнете внимание, че предишният пример отговаря на следното правило за намиране на LCM за цели положителни числа a и b: ако числото a се дели на b, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е a.
Намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители
Друг начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на разлагането на числата на прости множители. Ако съставите произведение от всички прости множители на дадени числа и след това изключите от това произведение всички общи прости множители, присъстващи в разширенията на дадените числа, тогава полученият продукт ще бъде равен на най-малкото общо кратно на дадените числа .
Посоченото правило за намиране на LCM следва от равенството LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Наистина, произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, участващи в разширяването на числата a и b. На свой ред НОД(a, b) е равно на произведението на всички прости множители, присъстващи едновременно в разложенията на числата a и b (както е описано в раздела за намиране на НОД с помощта на разлагането на числата на прости множители).
Да дадем пример. Уведомете ни, че 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Нека съставим произведението от всички множители на тези разширения: 2·3·3·5·5·5·7 . Сега от този продукт изключваме всички фактори, присъстващи както в разширяването на числото 75, така и в разширяването на числото 210 (тези фактори са 3 и 5), тогава продуктът ще приеме формата 2·3·5·5·7 . Стойността на този продукт е равна на най-малкото общо кратно на 75 и 210, т.е. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
Пример.
Разложете числата 441 и 700 на прости множители и намерете най-малкото общо кратно на тези числа.
Решение.
Нека разложим числата 441 и 700 на прости множители:
Получаваме 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.
Сега нека направим произведение на всички фактори, участващи в разширяването на тези числа: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Нека изключим от този продукт всички фактори, които присъстват едновременно в двете разширения (има само един такъв фактор - това е числото 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. по този начин LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
отговор:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Правилото за намиране на LCM чрез разлагане на числа на прости множители може да се формулира малко по-различно. Ако липсващите множители от разгръщането на число b се добавят към множителите от разгръщането на числото a, тогава стойността на получения продукт ще бъде равна на най-малкото общо кратно на числата a и b.
Например, нека вземем същите числа 75 и 210, техните разложения на прости множители са както следва: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Към множителите 3, 5 и 5 от разгръщането на числото 75 добавяме липсващите множители 2 и 7 от разгръщането на числото 210, получаваме произведението 2·3·5·5·7, чиято стойност е равно на LCM(75, 210).
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на 84 и 648.
Решение.
Първо получаваме разлагането на числата 84 и 648 на прости множители. Те изглеждат като 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. Към множителите 2, 2, 3 и 7 от разлагането на числото 84 добавяме липсващите множители 2, 3, 3 и 3 от разлагането на числото 648, получаваме произведението 2 2 2 3 3 3 3 7, което е равно на 4 536 . Така желаното най-малко общо кратно на 84 и 648 е 4536.
отговор:
LCM(84, 648)=4,536.
Намиране на LCM на три или повече числа
Най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се намери чрез последователно намиране на LCM на две числа. Нека си припомним съответната теорема, която дава начин да се намери LCM на три или повече числа.
Теорема.
Нека са дадени положителни цели числа a 1 , a 2 , …, a k, най-малкото общо кратно m k на тези числа се намира чрез последователно изчисляване на m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Нека разгледаме приложението на тази теорема, използвайки примера за намиране на най-малкото общо кратно на четири числа.
Пример.
Намерете LCM на четири числа 140, 9, 54 и 250.
Решение.
В този пример a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Първо намираме m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). За да направим това, използвайки алгоритъма на Евклид, определяме НОД(140, 9), имаме 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, следователно, НОД(140, 9)=1 , от където НОД(140, 9)=140 9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1,260. Тоест m 2 =1 260.
Сега намираме m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Нека го изчислим чрез НОД(1 260, 54), който също определяме с помощта на Евклидовия алгоритъм: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Тогава gcd(1,260, 54)=18, от което gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Тоест m 3 =3 780.
Остава само да се намери m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). За да направим това, намираме GCD(3,780, 250) с помощта на Евклидовия алгоритъм: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Следователно GCM(3780, 250)=10, откъдето GCM(3780, 250)= 3 780 250: НОД(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Тоест, m 4 =94 500.
Така че най-малкото общо кратно на първоначалните четири числа е 94 500.
отговор:
LCM(140, 9, 54, 250)=94 500.
В много случаи е удобно да се намери най-малкото общо кратно на три или повече числа, като се използват прости фактори на дадените числа. В този случай трябва да се придържате към следното правило. Най-малкото общо кратно на няколко числа е равно на произведението, което се съставя по следния начин: липсващите множители от разлагането на второто число се добавят към всички множители от разлагането на първото число, липсващите множители от разлагането на третото число се добавя към получените множители и т.н.
Нека разгледаме пример за намиране на най-малкото общо кратно чрез разлагане на прости множители.
Пример.
Намерете най-малкото общо кратно на петте числа 84, 6, 48, 7, 143.
Решение.
Първо, получаваме разлагане на тези числа на прости множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 е просто число, то съвпада с разлагането му на прости множители) и 143=11·13.
За да намерите LCM на тези числа, към множителите на първото число 84 (те са 2, 2, 3 и 7), трябва да добавите липсващите множители от разгръщането на второто число 6. Разлагането на числото 6 не съдържа липсващи множители, тъй като и 2, и 3 вече присъстват в разлагането на първото число 84. След това към факторите 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите фактори 2 и 2 от разширението на третото число 48, получаваме набор от фактори 2, 2, 2, 2, 3 и 7. Няма да е необходимо да добавяте множители към този набор в следващата стъпка, тъй като 7 вече се съдържа в него. Накрая към множителите 2, 2, 2, 2, 3 и 7 добавяме липсващите множители 11 и 13 от разгръщането на числото 143. Получаваме произведението 2·2·2·2·3·7·11·13, което е равно на 48 048.
Нека разгледаме три начина за намиране на най-малкото общо кратно.
Намиране чрез разлагане на множители
Първият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез разлагане на дадените числа на прости множители.
Да кажем, че трябва да намерим LCM на числата: 99, 30 и 28. За да направим това, нека разложим всяко от тези числа на прости множители:
За да може желаното число да се дели на 99, 30 и 28, е необходимо и достатъчно то да включва всички прости множители на тези делители. За да направим това, трябва да вземем всички прости множители на тези числа във възможно най-голяма степен и да ги умножим заедно:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Така LCM (99, 30, 28) = 13 860 Никое друго число, по-малко от 13 860, не се дели на 99, 30 или 28.
За да намерите най-малкото общо кратно на дадени числа, вие ги разлагате върху техните прости множители, след това взимате всеки прост множител с най-големия показател, в който се появява, и умножавате тези множители заедно.
Тъй като относително простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например три числа: 20, 49 и 33 са относително прости. Ето защо
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Същото трябва да се направи, когато се намира най-малкото общо кратно на различни прости числа. Например LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Намиране чрез подбор
Вторият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез селекция.
Пример 1. Когато най-голямото от дадените числа се раздели на друго дадено число, тогава LCM на тези числа е равен на най-голямото от тях. Например дадени са четири числа: 60, 30, 10 и 6. Всяко от тях се дели на 60, следователно:
LCM(60, 30, 10, 6) = 60
В други случаи, за да се намери най-малкото общо кратно, се използва следната процедура:
- Определете най-голямото число от дадените числа.
- След това намираме числата, които са кратни на най-голямото число, като го умножаваме по естествени числа във възходящ ред и проверяваме дали полученият продукт се дели на останалите дадени числа.
Пример 2. Дадени са три числа 24, 3 и 18. Определяме най-голямото от тях - това е числото 24. След това намираме числата, кратни на 24, като проверяваме дали всяко от тях се дели на 18 и 3:
24 · 1 = 24 - дели се на 3, но не се дели на 18.
24 · 2 = 48 - дели се на 3, но не се дели на 18.
24 · 3 = 72 - дели се на 3 и 18.
Така LCM (24, 3, 18) = 72.
Намиране чрез последователно намиране на LCM
Третият метод е да се намери най-малкото общо кратно чрез последователно намиране на LCM.
LCM на две дадени числа е равен на произведението на тези числа, делено на техния най-голям общ делител.
Пример 1. Намерете LCM на две дадени числа: 12 и 8. Определете техния най-голям общ делител: НОД (12, 8) = 4. Умножете тези числа:
Разделяме продукта на техния gcd:
Така LCM (12, 8) = 24.
За да намерите LCM на три или повече числа, използвайте следната процедура:
- Първо, намерете LCM на произволни две от тези числа.
- След това LCM на намереното най-малко общо кратно и третото дадено число.
- След това LCM на полученото най-малко общо кратно и четвъртото число и т.н.
- Така търсенето на LCM продължава, докато има числа.
Пример 2. Нека намерим НОК на три дадени числа: 12, 8 и 9. Вече намерихме НОК на числата 12 и 8 в предишния пример (това е числото 24). Остава да намерим най-малкото общо кратно на числото 24 и третото дадено число - 9. Определяме техния най-голям общ делител: НОД (24, 9) = 3. Умножаваме НОК с числото 9:
Разделяме продукта на техния gcd:
Така LCM (12, 8, 9) = 72.
Нека разгледаме разрешаването на следния проблем. Стъпката на момчето е 75 см, а на момичето 60 см. Необходимо е да се намери най-малкото разстояние, на което двамата правят цял брой крачки.
Решение.Целият път, през който ще преминат момчетата, трябва да се дели на 60 и 70, тъй като всеки трябва да направи цял брой стъпки. С други думи, отговорът трябва да е кратен както на 75, така и на 60.
Първо ще запишем всички кратни на числото 75. Получаваме:
- 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .
Сега нека запишем числата, които ще бъдат кратни на 60. Получаваме:
- 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .
Сега намираме числата, които са в двата реда.
- Общите кратни на числата биха били 300, 600 и т.н.
Най-малкото от тях е числото 300. В този случай ще се нарича най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.
Връщайки се към условието на задачата, най-малкото разстояние, на което момчетата ще направят цял брой стъпки, ще бъде 300 см. Момчето ще измине този път за 4 стъпки, а момичето ще трябва да направи 5 стъпки.
Определяне на най-малкото общо кратно
- Най-малкото общо кратно на две естествени числа a и b е най-малкото естествено число, което е кратно и на a, и на b.
За да намерите най-малкото общо кратно на две числа, не е необходимо да записвате всички кратни на тези числа подред.
Можете да използвате следния метод.
Как да намерим най-малкото общо кратно
Първо трябва да разложите тези числа на прости множители.
- 60 = 2*2*3*5,
- 75=3*5*5.
Сега нека запишем всички множители, които са в разширението на първото число (2,2,3,5) и добавим към него всички липсващи множители от разширението на второто число (5).
В резултат на това получаваме поредица от прости числа: 2,2,3,5,5. Произведението на тези числа ще бъде най-малкият общ множител за тези числа. 2*2*3*5*5 = 300.
Обща схема за намиране на най-малкото общо кратно
- 1. Разделете числата на прости множители.
- 2. Запишете простите множители, които са част от един от тях.
- 3. Добавете към тези фактори всички, които са в експанзията на другите, но не и в избрания.
- 4. Намерете произведението на всички записани множители.
Този метод е универсален. Може да се използва за намиране на най-малкото общо кратно на произволен брой естествени числа.