учител по математика
Общинска образователна институция "Гимназия № 5 на Белгород"
Тема на урока: Рационални уравнения.
Клас: 10 клас.
UMK : Алгебра и началото на анализа: учебник. За 10kl. общо образование институции/[S.M.Nikolsky, M.K. Потапов].-5-то изд., доп.-М.: Образование, 2006.-432 с. стр.65-74., 45-47.
Цели на урока:
Образователни: систематизират и обобщават информация за рационални изрази, познати от основното училище; покажи решения рационални уравнения;
Образователни: разширяване и задълбочаване на обучението различни видоверационални уравнения с помощта на различни методи.
Образователни: показват значението на темата, която се изучава в раздела по математика.
Тип на урока: урок-лекция.
Структура на урока:
- Поставяне на целта на урока (1 мин.).
- Подготовка за изучаване на нов материал (2 минути).
- 3. Въведение в новия материал (38 мин.).
- 4. Обобщение на урока (2 мин.)
- 5. Домашна работа (2 мин.)
Оборудване на урока: интерактивна дъска, проектор, компютър.
Напредък на урока:
Планирайте.
1. Рационални изрази.
2. Рационални уравнения.
3. Системи рационални уравнения.
аз Повторение.
Алгебрата произлиза от решението практически проблемиизползвайки уравнения. Целите на алгебрата остават непроменени в продължение на хиляди години - решават се уравнения: първо линейни, след това квадратни и след това още повече уравнения по-високи степени. Но формата, в която бяха представени алгебричните резултати, се промени до неузнаваемост.
Уравнението е най-често срещаната форма на математически проблем. Учението за уравненията е основното съдържание училищен курсалгебра. За да решавате уравнения, трябва да можете да извършвате операции с мономи, полиноми, алгебрични дроби, да можете да разлагате на множители, да отваряте скоби и т.н. Трябва да подредите знанията си. Ще започнем прегледа с концепцията за „рационални изрази“. Доклад на ученик за рационални изрази, познати от основното училище. По този начин изучаването на уравненията е невъзможно без изучаването на законите на действие.
II. Основна част.
Основното в понятието уравнение е формулирането на въпроса за неговото решение. Уравнение, чиято лява и дясна страна са рационални изрази за x, се нарича рационално уравнение с неизвестно x.
Например уравненията 5x 6 - 9x 5 + 4x - 3x + 1 = 0, са рационални.
Коренът (или решението) на уравнение с неизвестно x е число, което, когато се замести в уравнението вместо x, създава истинско числено равенство.
Решаването на уравнение означава намиране на всичките му корени или показване, че няма такива. Когато решавате рационални уравнения, трябва да умножите и разделите двете страни на уравнението на не равно на нулачисло, прехвърляне на членове на уравнение от една част в друга, прилагане на правилата за събиране и изваждане алгебрични дроби. Резултатът ще бъде уравнение, еквивалентно на предишното, тоест уравнение, което има същите корени и само тях.
Нека изброим стандартни уравнениякоито сме изучавали. Отговори на учениците (линейно уравнение, квадратно уравнение, най-просто степенно уравнение Xп =а). Преобразуването на уравнения в едно от стандартните е основната стъпка при решаването на уравнение. Невъзможно е напълно да се алгоритмизира процесът на преобразуване, но е полезно да запомните някои техники, общи за всички видове уравнения.
1). Уравнение от формата A(x) B(x) = O, където A(x) и B(x) са полиноми по отношение на x, се наричаразпадащо се уравнение.
Множеството от всички корени на разпадащо се уравнение е обединението на множествата от всички корени на две уравнения A(x)=0 и B(x)=0. Методът на факторизиране се прилага към уравнения от вида A(x) = 0. Същността на този метод: трябва да решите уравнението A(x)=0, където A(x)=A 1 (x)A 2 (x)A 3 (X). Уравнението A(x)=0 се заменя с множеството прости уравнения: А 1 (x)=0.A 2 (x)=0.A 3 (x)=0. Намерете корените на уравненията на това множество и направете проверка. Методът на факторизиране се използва главно за рационални и тригонометрични уравнения.
ПРИМЕР 1.
Нека да решим уравнението (x 2 - 5x + 6) (x 2 + x - 2) = 0.
Уравнението се разпада на две уравнения.
x 2 - 5x + 6 = 0 x 1 = 2 и x 2 = 3
x 2 + x - 2 = 0. x 3 = -2 и x 4 = 1
Това означава, че оригиналното уравнение има корени x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = -2, x 4 =1.
отговор. -2; 1; 2; 3.
ПРИМЕР. Нека решим уравнението x 3 -7x+6=0.
x 3 -x-6x+6=0
x(x 2 -1)-6(x-1)=0
x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0
(x-1)(x(x+1)-6)=0
(x-1)(x 2 +x-6)=0
x-1=0, x 1 =1; x 2 + x-6 = 0, x 2 = 2, x 3 = -3.
Отговор:1;2;-3.
2).Уравнение на формата, където A(x) и B(x) са полиномиспрямо х.
ПРИМЕР 2.
Нека решим уравнението
Първо нека решим уравнението
x 2 + 4x - 21 = 0. x 1 = 3 и x 2 = -7
Замествайки тези числа в знаменателя на лявата страна на оригиналното уравнение, получаваме
x 1 2 - x 1 -6 = 9-3-6 = 0,
x 2 2 - x 2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0.
Това показва, че числото x 1 = 3 не е коренът на първоначалното уравнение, а числото x 2 =- 7 е коренът на това уравнение.
отговор. -7.
3).Уравнение на формата
където A(x), B(x), C(x) и D(x) са полиноми по отношение на x, обикновено се решават съгласно следното правило.
Уравнението A(x) D(x) - C(x)·B(x) = 0 се решава и онези, които не правят знаменателя на уравнението нулев, се избират от неговите корени.
ПРИМЕР 3.
Нека решим уравнението
Нека решим уравнението
х 2 - 5x + 6 - (2x + 3) (x - 3) = 0.
x 2 + 2x - 15 = 0
x 1 = -5 и x 2 = 3.
Число x 1 не изчезва знаменателят x - 3, а числото x 2 преобразува. Следователно уравнението има един корен = -5.
отговор. -5.
Намирането на корените на рационално уравнение често помага чрез заместване на неизвестното. Способността за успешно въвеждане на нова променлива - важен елемент математическа култура. Успешният избор на нова променлива прави структурата на уравнението по-прозрачна.
ПРИМЕР 4.
Нека решим уравнението x 8 + 4x 6 -10x 4 + 4x 2 + 1 = 0.
Число x 0 = 0 не е корен на уравнението, така че уравнението е еквивалентно на уравнението
x 4 + 4x 2 - 10 + + =0
Нека означим t =, тогава x 4 + =t 2 -2,
получаваме t 2 + 4t - 12 = 0, x 1 = 2 и x 2 = -6.
Следователно намираме корените на уравнението, като комбинираме всички корени на двете уравнения:=2 и =-6,
Първото уравнение има два корена -1 и 1, но второто уравнение не истински корени, така че уравнението има само два корена: -1 и 1. Отговор. -1; 1.
4). Симетрични уравнения.
Полином от няколко променливи се нарича симетричен полином, ако неговата форма не се променя с никаква пермутация на тези променливи.
Например полиноми x + y, a 2 + b 2 - 1, zt и 5a 3 + 6ab + 5b 3 - симетрични полиноми в две променливи, a полиноми x + y + z, a 3 + b 3 + c 3 , - симетрични полиноми на три променливи.
В същото време полиномите x - y, a 2 – b 2 и a 3 + ab – b 3 - несиметрични полиноми.
Уравнение ax 4 +bx 3 +cx 2 +bx+a=0, където a R/ ,b R, c R се нарича симетрично уравнение от четвърта степен. За да решите това уравнение, трябва:
1). Разделете двете страни на уравнението на x 2 и групирайте получените изрази:.
2).Въвеждане на променливауравнението се свежда до квадратно.
Пример.
Решете уравнение x 4 +5x 3 +4x 2 -5x+1=0.
Числото 0 не е коренът на уравнението. Разделете двете страни на уравнението на x 2 ≠0.
отговор. .
Системи рационални уравнения.
Системи от уравнения се появяват при решаване на задачи, в които няколко величини са неизвестни. Тези величини са свързани с определена връзка, която се записва под формата на уравнения.
Уравнение, чиято лява и дясна страна са рационални изрази за x и y, се нарича рационално уравнение с две неизвестни x и y.
Ако трябва да намерим всички двойки числа x и y, всяка от които е решение на всяко от дадените уравнения с две неизвестни x и y, тогава казваме, че трябва да решим система от уравнения с две неизвестни x и y и всяка такава двойка се нарича решение на тази система.
Неизвестните могат да бъдат обозначени и с други букви. Система от уравнения, в която броят на неизвестните е по-голям от две, се определя по подобен начин.
Ако всяко решение на първата система от уравнения е решение на втората система и всяко решение на втората система от уравнения е решение на първата система, тогава такива системи се наричат еквивалентни. По-специално, две системи, които нямат решения, се считат за еквивалентни.
Например системите са еквивалентни
1). Метод на заместване.
ПРИМЕР 1. Да решим системата от уравнения
Изразявайки y през x от първото уравнение на системата, получаваме уравнението:
y = 3x - 1.
Решаване на уравнението 5x 2 -4(3x-1)+3(3x-1) 2 =9, намерете неговите корени x 1 = 1 и x 2 = . Заместване на намерените числа x 1 и х 2 в уравнението y = 3x - 1, получаваме y 1 = 2
и y = Следователно системата има две решения: (1; 2) и (; )
отговор. (1; 2), (; )
2). Алгебричен метод на добавяне.
ПРИМЕР 2. Да решим системата от уравнения
Оставяйки първото уравнение на системата непроменено и добавяйки първото уравнение към второто, получаваме система, еквивалентна на системата.
Всички решения на системата са обединението на всички решения на две системи:
(2; 1), (-2; -1),
отговор. (2; 1), (-2; -1), .
3). Метод за въвеждане на нови неизвестни.
ПРИМЕР 3. Да решим системата от уравнения
Означавайки u = xy, v = x - y, пренаписваме системата във формата
Нека намерим неговите решения: u 1 = 1, v 1 = 0 и u 2 = 5, v 2 = 4. Следователно всички решения на системата са обединение на всички решения на две системи:
След като решихме всяка от тези системи с помощта на метода на заместване, намираме нейните решения на системата: (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
отговор. (1; 1), (-1; -1), (5; 1), (-1; -5).
4). Уравнение от вида ah 2 + bxy + su 2 = 0, където a, b, c са дадени ненулеви числа, се нарича хомогенно уравнение по отношение на неизвестните x и y.
Помислете за система от уравнения, в която има хомогенно уравнение.
ПРИМЕР 4. Да решим системата от уравнения
Означаване на t = , пренаписваме първото уравнение на системата във формата t 2 +4t+3=0.
Уравнението има два корена t 1 = -1 и t 2 = -3, следователно всички решения на системата са обединение на всички решения на две системи:
След като решихме всяка от тези системи, намираме всички решения на системата:
(2,5; -2,5), (0,5; -0,5), ,(1,5;-0,5).
отговор. (2,5; -2,5), (0,5; -0,5),,(1,5;-0,5).
При решаването на някои системи познаването на свойствата на симетричните полиноми помага.
Пример.
Нека въведем нови неизвестни α = x + y и β = xy, след това x 4 +у 4 = α 4 -4 α 2 β+2 β 2
Следователно системата може да бъде пренаписана във формата
Нека решим квадратното уравнение за β: β 1 =6, β2 =44.
Следователно всички решения на системата са съюз
всички решения на две системи:
Първата система има две решения x 1 = 2, y 1 = 3 и x 2 = 3, y 2 =2, но втората система няма валидни решения. Следователно системата има две решения: (x: 1 ; y 1) и (x 2; y 2)
отговор. (2; 3), (3; 2).
Днес обобщихме резултатите от изучаването на темата за рационалните уравнения. Говорихме за общи идеи, общи методи, на който се основава цялата училищна линия от уравнения.
Идентифицирани са методи за решаване на уравнения:
1) метод на факторизация;
2) метод за въвеждане на нови променливи.
Разширихме нашето разбиране за методите за решаване на системи от уравнения.
В следващите 4 урока ще проведем практически упражнения. За да направите това, трябва да се научите теоретичен материал, и изберете 2 примера от учебника за разглежданите методи за решаване на уравнения и системи от уравнения, в урок 6 ще се проведе семинар по тази тема, за това трябва да подготвите въпроси: Биномна формула на Нютон, решаване на симетрични уравнения от степен 3.5 . Последен урокпо тази тема - тест.
Литература.
- Алгебра и началото на анализа: учебник. За 10kl. общо образование институции/[S.M.Nikolsky, M.K. Потапов].-5-то изд., доп.-М.: Образование, 2006.-432 с. стр.65-74., 45-47.
- Математика: обучение тематични задачи повишена сложностс отговори за подготовка за Единен държавен изпит и други форми на финални и приемни изпити/съст. Г.И. Ковалева, Т.И. Бузулина - Волгоград: Учител, 2009.-494 с. – стр. 62-72,194-199.
- Титаренко А.М. Математика: 9-11 клас: 6000 задачи и примери/А.М. Титаренко.-М.: Ексмо, 2007.-336 с.
Има много какво да се каже за уравненията. Има въпроси в тази област на математиката, на които математиците все още не са отговорили. Може би някои от вас ще намерят отговор на тези въпроси.
Алберт Айнщайн каза: „Трябва да разделям времето си между политика и уравнения. Уравненията обаче според мен са много по-важни. Политиката съществува само за в този момент. И уравненията ще съществуват вечно.“
Разпределени са уроци 2-5 практически занятия. Основният вид дейност в тези уроци е самостоятелната работа на студентите за консолидиране и задълбочаване на теоретичния материал, представен в лекцията. На всяко от тях се повтарят теоретични въпроси и се анкетират студенти. Въз основа на самостоятелна работав класната стая и у дома се осигурява повторение и усвояване на теоретични въпроси, целенасочена работада развият умения за решаване на проблеми различни нивазатруднения се провежда анкета сред учениците. Цел: да консолидирате и задълбочите теоретичния материал, представен в лекцията, да се научите да го прилагате на практика и да овладеете алгоритми за решение типични примерии задачи, за да се гарантира, че всички ученици усвояват основното съдържание на изучавания раздел на ниво програмни изисквания.
За семинара са разпределени 6-ти и 7-ми урок, като е препоръчително в 6-ти урок да се проведе семинар, а в 7-ми урок - тест.
План на урок-семинар.
Цел: повторение, задълбочаване и обобщение на обхванатия материал, разработване на основните методи, методи и техники за решаване математически задачи, придобиване на нови знания, обучение самостоятелно използванезнания в нестандартни ситуации.
1. В началото на урока се организира програмен контрол. Цел на събитието работа-проверкаразвитие на умения и способности за изпълнение на прости упражнения. В процеса на фронтално разпитване на ученици, които неправилно са посочили номера на отговора, учителят установява коя от задачите е причинила трудност. Следва орално или писмена работаза отстраняване на грешки. За извършване на програмиран контрол се отделят не повече от 10 минути.
2. Диференцирано проучване на няколко студента по теоретични въпроси.
3. Исторически фонза възникването и развитието на понятието уравнение (съобщение на ученика). Биномна формула на Нютон. Решаване на симетрични уравнения от трета степен, четвърта степен, пета степен.
x 4 -2x 3 -x 2 -2x+1=0
2x 4 +x 3 -11x 2 +x+2=0
x 5 -x 4 -3x 3 -3x 2 -x+1=0
2x 5 +3x 4 -5x 3 -5x 2 +3x+2=0
4. Решаване на примери, проверка на готовността на учениците за изпълнение тестова работа– това е една от основните цели на семинара.
Провеждане на теста.
Провеждането на тест не означава изоставяне на текущото наблюдение на знанията на учениците. Поставят се оценки по практически и семинарни занятия. Ще бъдат тествани някои типични упражнения. Студентите се информират предварително какъв теоретичен материал и упражнения ще бъдат представени по време на контролната работа. Нека представим съдържанието на една от картите за тестване по разглежданата тема.
Ниво 1.
Решете уравненията: (x+3) 4 +(x 2 +x-6) 2 =2(x-2) 4
X 2 +25 =24
(2x 2 -3x+1)(2x 2 -5x+1)=8x 2
Ниво 2.
Решете уравненията: x 4 +8x 3 +8x 2 -32x-9=0
8x 3 -12x 2 +x-7=0
Преглед:
За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте:
В тази статия ще ви покажа алгоритми за решаване на седем вида рационални уравнения, което може да бъде намалено до квадратично чрез промяна на променливи. В повечето случаи трансформациите, които водят до замяна, са много нетривиални и е доста трудно да се досетите за тях сами.
За всеки тип уравнение ще обясня как да направя промяна на променлива в него и след това ще покажа подробно решение в съответния видео урок.
Имате възможност да продължите да решавате уравненията сами, а след това да проверите решението си с видео урока.
Така че нека започнем.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Обърнете внимание, че от лявата страна на уравнението има произведение от четири скоби, а от дясната страна има число.
1. Нека групираме скобите по две, така че сумата на свободните членове да е еднаква.
2. Умножете ги.
3. Нека въведем промяна на променлива.
В нашето уравнение ще групираме първата скоба с третата, а втората с четвъртата, тъй като (-1)+(-4)=(-7)+2:
В този момент замяната на променлива става очевидна:
Получаваме уравнението 
отговор: 
2 .
Уравнение от този тип е подобно на предишното с една разлика: от дясната страна на уравнението е произведението на числото и . И се решава по съвсем различен начин:
1. Групираме скобите по две, така че произведението на свободните членове да е същото.
2. Умножете всяка двойка скоби.
3. Изваждаме x от всеки фактор.
4. Разделете двете страни на уравнението на .
5. Въвеждаме промяна на променлива.
В това уравнение групираме първата скоба с четвъртата, а втората с третата, тъй като:
Обърнете внимание, че във всяка скоба коефициентът при и свободният член са еднакви. Нека извадим фактор от всяка скоба:
Тъй като x=0 не е корен на оригиналното уравнение, ние разделяме двете страни на уравнението на . Получаваме:
Получаваме уравнението: 
отговор: 
3
. 
Обърнете внимание, че знаменателите на двете дроби са квадратни тричлени, за които водещият коефициент и свободният член са еднакви. Нека извадим x от скобата, както в уравнението от втория тип. Получаваме:
Разделете числителя и знаменателя на всяка дроб на x:
Сега можем да въведем заместване на променлива:
Получаваме уравнение за променливата t:
4 .
Забележете, че коефициентите на уравнението са симетрични по отношение на централното. Това уравнение се нарича връщаем .
За да го разрешите,
1. Разделете двете страни на уравнението на (Можем да направим това, тъй като x=0 не е корен на уравнението.) Получаваме:
2. Нека групираме термините по следния начин:
3. Във всяка група ще го поставим извън скоби общ множител:
4. Нека представим замяната:
5. Изразете чрез t израза:
Оттук 
Получаваме уравнението за t:
отговор:
5. Хомогенни уравнения.
Уравнения с хомогенна структура могат да се срещнат при решаване на експоненциални, логаритмични и тригонометрични уравнения, така че трябва да можете да ги разпознавате.
Хомогенните уравнения имат следната структура:
В това равенство A, B и C са числа, а квадратът и кръгът показват идентични изрази. Тоест, от лявата страна на хомогенно уравнение има сбор от мономи, имащи същата степен(В в този случайстепента на мономите е 2) и няма свободен член.
За да решите хомогенно уравнение, разделете двете страни на
внимание! Когато разделяте дясната и лявата страна на уравнение на израз, съдържащ неизвестно, можете да загубите корени. Следователно е необходимо да проверим дали корените на израза, на който разделяме двете страни на уравнението, са корените на първоначалното уравнение.
Да тръгнем по първия път. Получаваме уравнението:
Сега въвеждаме заместване на променливи:
Нека опростим израза и ще получим биквадратно уравнениеспрямо t:
отговор:или
7
. 
Това уравнение има следната структура:
За да го решите, трябва да изберете пълен квадрат от лявата страна на уравнението.
За да изберете цял квадрат, трябва да добавите или извадите два пъти продукта. След това получаваме квадрата на сбора или разликата. Това е от решаващо значение за успешното заместване на променливи.
Нека започнем с намирането на удвоения продукт. Това ще бъде ключът към замяната на променливата. В нашето уравнение два пъти произведението е равно на
Сега нека да разберем какво е по-удобно за нас - квадрат на сумата или разликата. Нека първо разгледаме сумата от изрази:
Страхотно! Този израз е точно равен на удвоения продукт. След това, за да получите квадрата на сумата в скоби, трябва да добавите и извадите двойното произведение:
Тема III. СИСТЕМИ ОТ РАЦИОНАЛНИ УРАВНЕНИЯ
Системата е набор от условия, които трябва да бъдат изпълнени едновременно. Тези условия могат да бъдат изразени под формата на уравнения и неравенства.
Условията, включени в системата, обикновено се изписват в колона и се подреждат от лявата страна със скоби.
Система, състояща се от уравнения, се нарича система от уравнения.
Система, състояща се от уравнения и неравенства, се нарича смесена система.
Решаването на система означава намиране на набор от стойности за неизвестните, който отговаря на всички нейни условия.
Обхватът на системата е обща частобластта на дефиниране на условията, включени в него. Решението на системата, ако съществува, винаги принадлежи към областта на нейното дефиниране.
Система, която има решение, се нарича съвместна.
Система, която няма решения, се нарича непоследователна или непоследователна.
Глава I. РЕШЕНИЕ НА ЛИНЕЙНИ СИСТЕМИ ПО МЕТОДА НА ПОСЛЕДВАЩОТО ЕЛИМИНИРАНЕ НА НЕИЗВЕСТНИТЕ (МЕТОД НА ГАУС)
§ I. Дефиниция на системи от линейни алгебрични уравнения
Цялото рационално уравнение се нарича линейно алгебрично, ако и двете му части се състоят от членове, чиято степен не е по-висока от първата по отношение на определяните неизвестни.
Една система се нарича линейна, ако съдържа само линейни алгебрични уравнения.
(След това има програмируема част от ръководството, в която, когато отговаряте на въпроси или задачи, трябва да затворите дясната страна на страницата. В тази част на страницата се проверява правилността на задачата или отговора, който сте изпълнили. Последователността на работа с програмируемото ръководство се определя от тези примери, зададените въпроси или вашите реакции към тях. Тази последователност не трябва да се нарушава.)
Определете дали системите, дадени в примери № 1 и № 2, са линейни спрямо x и y.
| Пример №1 Пример №2
В пример № 3 извършете заместване, което привежда тази система в линейна. Пример №3 | Отговори: Системата е линейна. Системата не е линейна.  Това са членове от 1-ва степен по отношение на x и y (сумата от показателите за x и y във всеки от тях е равна на единица). Членовете от дясната страна на първото уравнение са свързани с x и y нулева степен. И така  (сумата от показателите за x и y във всяка от тях е нула). Тук използвахме определението x 0 ≡ 1 за x ≠0, y 0 ≡ 1 за y ≠0 първо, могат да бъдат представени във форма  Сега лявата страна на второто уравнение съдържа членове от първа степен по отношение на x и y, а дясната страна съдържа нула. така че тази системае линеен, защото се състои от линейни уравнения. Отидете на пример #2. Отговори: Системата е нелинейна. 2. Системата е линейна. А) Правилно. Но чрез заместване
тази система се свежда до линейна по отношение на новите неизвестни u, v, t. Отидете на пример #3. Б) Не е правилно. Уравненията на системата не могат да се нарекат линейни, т.к левите части на уравнението съдържат сумата от дроби, чиито степени не са определени. (Можете да определите само степента на полином, т.е. аналитичен израз, в който се извършват не повече от две операции върху букви и цифри: алгебрично събиране и умножение). |
Въведохме уравнението по-горе в § 7. Първо, нека си припомним какво рационално изразяване. това - алгебричен израз, съставен от числа и променливата x с помощта на операции събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване с естествен показател.
Ако r(x) е рационален израз, тогава уравнението r(x) = 0 се нарича рационално уравнение.
На практика обаче е по-удобно да се използва малко по-широко тълкуване на термина „рационално уравнение“: това е уравнение във формата h(x) = q(x), където h(x) и q(x) са рационални изрази.
Досега не можехме да решим нито едно рационално уравнение, а само едно, което в резултат на това различни трансформациии разсъжденията се свеждаха до линейно уравнение. Сега нашите възможности са много по-големи: ще можем да решим рационално уравнение, което се свежда не само до линейно
mu, но и към квадратното уравнение.
Нека си припомним как решавахме рационални уравнения преди и се опитаме да формулираме алгоритъм за решение.
Пример 1.Решете уравнението
Решение. Нека пренапишем уравнението във формата
В този случай, както обикновено, ние се възползваме от факта, че равенствата A = B и A - B = 0 изразяват същата връзка между A и B. Това ни позволи да прехвърлим члена на лявата странауравнения с противоположен знак.
Нека трансформираме лявата страна на уравнението. Имаме
Нека си припомним условията за равенство дробинула: ако и само ако две отношения са изпълнени едновременно:
1) числител на фракцията равно на нула(а = 0); 2) знаменателят на дробта е различен от нула).
Приравнявайки числителя на дробта от лявата страна на уравнение (1) на нула, получаваме
Остава да проверим изпълнението на второто посочено по-горе условие. Отношението означава за уравнение (1), че . Стойностите x 1 = 2 и x 2 = 0,6 удовлетворяват посочените зависимости и следователно служат като корени на уравнение (1), а в същото време и корени на даденото уравнение.
1) Нека преобразуваме уравнението във формата
2) Нека трансформираме лявата страна на това уравнение:
(едновременно промени знаците в числителя и
дроби).
по този начин дадено уравнениеприема формата
3) Решете уравнението x 2 - 6x + 8 = 0. Намерете
4) За намерените стойности проверете изпълнението на условието 
. Числото 4 отговаря на това условие, но числото 2 не. Това означава, че 4 е коренът на даденото уравнение, а 2 е външен корен.
ОТГОВОР: 4.
2. Решаване на рационални уравнения чрез въвеждане на нова променлива
Методът за въвеждане на нова променлива ви е познат; Нека покажем с примери как се използва при решаване на рационални уравнения.
Пример 3.Решете уравнението x 4 + x 2 - 20 = 0.
Решение. Нека въведем нова променлива y = x 2 . Тъй като x 4 = (x 2) 2 = y 2, тогава даденото уравнение може да бъде пренаписано като
y 2 + y - 20 = 0.
Това е квадратно уравнение, чиито корени могат да бъдат намерени с помощта на известни формули; получаваме y 1 = 4, y 2 = - 5.
Но y = x 2, което означава, че проблемът е сведен до решаването на две уравнения:
х 2 =4; х 2 = -5.
От първото уравнение намираме, че второто уравнение няма корени.
Отговор: .
Уравнение от формата ax 4 + bx 2 +c = 0 се нарича биквадратно уравнение („bi“ е две, т.е. вид „двойно квадратно“ уравнение). Току-що решеното уравнение беше точно биквадратно. Всяко биквадратно уравнение се решава по същия начин като уравнението от Пример 3: въведете нова променлива y = x 2, решете полученото квадратно уравнение по отношение на променливата y и след това се върнете към променливата x.
Пример 4.Решете уравнението
Решение. Обърнете внимание, че един и същ израз x 2 + 3x се появява два пъти тук. Това означава, че има смисъл да се въведе нова променлива y = x 2 + 3x. Това ще ви позволи да пренапишете уравнението в по-прост и изглежда добре(което всъщност е и целта на въвеждането на нов променлива- и опростяване на записа
става по-ясно и структурата на уравнението става по-ясна):
Сега нека използваме алгоритъма за решаване на рационално уравнение.
1) Нека преместим всички членове на уравнението в една част:
= 0
2) Трансформирайте лявата страна на уравнението
И така, преобразувахме даденото уравнение във формата
3) От уравнението - 7y 2 + 29y -4 = 0 намираме (вие и аз вече сме решили доста квадратни уравнения, така че вероятно не си струва винаги да давате подробни изчисления в учебника).
4) Нека проверим намерените корени, използвайки условие 5 (y - 3) (y + 1). И двата корена отговарят на това условие.
И така, квадратното уравнение за новата променлива y е решено: 
Тъй като y = x 2 + 3x, а y, както установихме, приема две стойности: 4 и , все още трябва да решим две уравнения: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Корените на първото уравнение са числата 1 и - 4, корените на второто уравнение са числата
В разгледаните примери методът за въвеждане на нова променлива е, както обичат да казват математиците, адекватен на ситуацията, тоест добре й съответства. защо Да, защото един и същи израз ясно се появява в уравнението няколко пъти и е имало причина да се обозначи този израз ново писмо. Но това не винаги се случва; понякога нова променлива се „появява“ само по време на процеса на трансформация. Точно това ще се случи в следващия пример.
Пример 5.Решете уравнението
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Имаме
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.
Това означава, че даденото уравнение може да бъде пренаписано във формата
(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24
Сега се „появи” нова променлива: y = x 2 - 3x.
С негова помощ уравнението може да бъде пренаписано във формата y (y + 2) = 24 и след това y 2 + 2y - 24 = 0. Корените на това уравнение са числата 4 и -6.
Връщайки се към първоначалната променлива x, получаваме две уравнения x 2 - 3x = 4 и x 2 - 3x = - 6. От първото уравнение намираме x 1 = 4, x 2 = - 1; второто уравнение няма корени.
ОТГОВОР: 4, - 1.
Нека се запознаем с рационални и дробни рационални уравнения, да дадем тяхната дефиниция, да дадем примери и също така да анализираме най-често срещаните видове проблеми.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Рационално уравнение: определение и примери
Запознаването с рационалните изрази започва в 8 клас на училище. По това време в уроците по алгебра учениците все по-често започват да срещат задачи с уравнения, които съдържат рационални изрази в бележките си. Нека опресним паметта си какво представлява.
Определение 1
Рационално уравнениее уравнение, в което и двете страни съдържат рационални изрази.
В различни ръководства можете да намерите друга формулировка.
Определение 2
Рационално уравнение- това е уравнение, чиято лява страна съдържа рационален израз, а дясната страна съдържа нула.
Дефинициите, които дадохме за рационални уравнения, са еквивалентни, тъй като говорят за едно и също нещо. Правилността на нашите думи се потвърждава от факта, че за всякакви рационални изрази ПИ Qуравнения P = QИ P − Q = 0ще бъдат еквивалентни изрази.
Сега нека да разгледаме примерите.
Пример 1
Рационални уравнения:
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .
Рационалните уравнения, подобно на уравненията от други типове, могат да съдържат произволен брой променливи от 1 до няколко. Първо ще разгледаме прости примери, в който уравненията ще съдържат само една променлива. И тогава ще започнем постепенно да усложняваме задачата.
Рационалните уравнения са разделени на две големи групи: цели числа и дроби. Нека видим какви уравнения ще се прилагат за всяка от групите.
Определение 3
Рационалното уравнение ще бъде цяло число, ако лявата и дясната му страна съдържат цели рационални изрази.
Определение 4
Рационалното уравнение ще бъде дробно, ако една или и двете му части съдържат дроб.
Дробните рационални уравнения задължително съдържат деление на променлива или променливата присъства в знаменателя. При писането на цели уравнения няма такова разделение.
Пример 2
3 x + 2 = 0И (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– цели рационални уравнения. Тук двете страни на уравнението са представени с цели числа.
1 x - 1 = x 3 и x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5са дробни рационални уравнения.
Целите рационални уравнения включват линейни и квадратни уравнения.
Решаване на цели уравнения
Решаването на такива уравнения обикновено се свежда до превръщането им в еквивалентни алгебрични уравнения. Това може да се постигне чрез извършване на еквивалентни трансформации на уравнения в съответствие със следния алгоритъм:
- първо получаваме нула от дясната страна на уравнението; трябва да преместим израза от дясната страна на уравнението в лявата му страна и да променим знака;
- след това трансформираме израза от лявата страна на уравнението в полином стандартен изглед.
Трябва да получим алгебрично уравнение. Това уравнение ще бъде еквивалентно на първоначалното уравнение. Лесните случаи ни позволяват да намалим цялото уравнение до линейно или квадратично, за да решим проблема. IN общ случайрешаваме алгебрично уравнение на степен п.
Пример 3
Необходимо е да се намерят корените на цялото уравнение 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
Решение
Нека трансформираме оригиналния израз, за да получим еквивалентно алгебрично уравнение. За да направим това, ще прехвърлим израза, съдържащ се от дясната страна на уравнението, в лявата страна и ще заменим знака с противоположния. В резултат получаваме: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
Сега нека трансформираме израза, който е от лявата страна, в полином от стандартната форма и да произведем необходими действияс този полином:
3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6
Успяхме да намалим решението на първоначалното уравнение до решението квадратно уравнениевид x 2 − 5 x − 6 = 0. Дискриминантът на това уравнение е положителен: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 .Това означава, че ще има два истински корена. Нека ги намерим с помощта на формулата за корените на квадратно уравнение:
x = - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 или x 2 = 5 - 7 2,
x 1 = 6 или x 2 = - 1
Нека проверим правилността на корените на уравнението, които намерихме по време на решението. За целта заместваме получените числа в оригиналното уравнение: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3И 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. В първия случай 63 = 63 , във втория 0 = 0 . корени х=6И x = − 1са наистина корените на уравнението, дадено в примерното условие.
отговор: 6 , − 1 .
Нека да разгледаме какво означава "степен на цяло уравнение". Често ще срещаме този термин в случаите, когато трябва да представим цяло уравнение в алгебрична форма. Нека дефинираме понятието.
Определение 5
Степен на цялото уравнение- това е степента алгебрично уравнение, еквивалентно на оригиналното цяло число.
Ако погледнете уравненията от горния пример, можете да установите: степента на цялото това уравнение е втора.
Ако нашият курс беше ограничен до решаване на уравнения от втора степен, тогава обсъждането на темата можеше да приключи дотук. Но не е толкова просто. Решаването на уравнения от трета степен е изпълнено с трудности. А за уравнения по-високи от четвърта степен няма общи формуликорени В тази връзка решаването на цели уравнения от трета, четвърта и други степени изисква да използваме редица други техники и методи.
Най-често използваният подход за решаване на цели рационални уравнения се основава на метода на факторизиране. Алгоритъмът на действията в този случай е следният:
- преместваме израза от дясната страна наляво, така че нулата да остане от дясната страна на записа;
- Представяме израза от лявата страна като продукт от фактори и след това преминаваме към набор от няколко по-прости уравнения.
Намерете решението на уравнението (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .
Решение
Преместваме израза от дясната страна на записа вляво с противоположния знак: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Трансформирането на лявата страна в полином от стандартната форма е неподходящо поради факта, че това ще ни даде алгебрично уравнение от четвърта степен: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Лесното преобразуване не оправдава всички трудности при решаването на такова уравнение.
Много по-лесно е да отидем по друг начин: нека извадим общия множител от скоби x 2 − 10 x + 13 .Така че стигаме до уравнение от формата (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Сега заместваме полученото уравнение с набор от две квадратни уравнения x 2 − 10 x + 13 = 0И x 2 − 2 x − 1 = 0и намерете техните корени чрез дискриминанта: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
отговор: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
По същия начин можем да използваме метода за въвеждане на нова променлива. Този метод ни позволява да преминем към еквивалентни уравнения със степени, по-ниски от степените в оригиналното цяло число.
Пример 5
Уравнението има ли корени? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
Решение
Ако сега се опитаме да редуцираме цяло рационално уравнение до алгебрично, ще получим уравнение от степен 4, което няма рационални корени. Следователно ще ни бъде по-лесно да тръгнем по друг начин: въведем нова променлива y, която ще замени израза в уравнението х 2 + 3 х.
Сега ще работим с цялото уравнение (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). Нека преместим дясната страна на уравнението наляво с противоположния знак и изпълним необходими трансформации. Получаваме: y 2 + 4 y + 3 = 0. Нека намерим корените на квадратното уравнение: y = − 1И y = − 3.
Сега нека направим обратната замяна. Получаваме две уравнения x 2 + 3 x = − 1И x 2 + 3 · x = − 3 .Нека ги пренапишем като x 2 + 3 x + 1 = 0 и x 2 + 3 x + 3 = 0. Използваме формулата за корените на квадратно уравнение, за да намерим корените на първото уравнение от получените: - 3 ± 5 2. Дискриминантът на второто уравнение е отрицателен. Това означава, че второто уравнение няма реални корени.
отговор:- 3 ± 5 2
Цели уравнения високи градусисрещат се в задачи доста често. Няма нужда да се страхувате от тях. Трябва да сте готови да кандидатствате нестандартен методтехните решения, включително редица изкуствени трансформации.
Решаване на дробни рационални уравнения
Ще започнем разглеждането на тази подтема с алгоритъм за решаване на частично рационални уравнения от формата p (x) q (x) = 0, където p(x)И q(x)– цели рационални изрази. Решаването на други дробно-рационални уравнения винаги може да се сведе до решаването на уравнения от посочения тип.
Най-често използваният метод за решаване на уравненията p (x) q (x) = 0 се основава на следното твърдение: числова дроб u v, Къде v- това е число, което е различно от нула, равно на нула само в случаите, когато числителят на дробта е равен на нула. Следвайки логиката на горното твърдение, можем да твърдим, че решението на уравнението p (x) q (x) = 0 може да се сведе до изпълнение на две условия: p(x)=0И q(x) ≠ 0. Това е основата за конструиране на алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения под формата p (x) q (x) = 0:
- намери решението на цялото рационално уравнение p(x)=0;
- проверяваме дали условието е изпълнено за корените, намерени по време на решението q(x) ≠ 0.
Ако това условие е изпълнено, тогава намереният корен. Ако не, тогава коренът не е решение на проблема.
Пример 6
Нека намерим корените на уравнението 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .
Решение
Имаме работа с дробно рационално уравнение във формата p (x) q (x) = 0, в което p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Нека започнем да решаваме линейното уравнение 3 x − 2 = 0. Коренът на това уравнение ще бъде x = 2 3.
Нека проверим намерения корен, за да видим дали отговаря на условието 5 x 2 − 2 ≠ 0. За да направите това, нека заместим числова стойноств израз. Получаваме: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.
Условието е изпълнено. Това означава, че x = 2 3е коренът на първоначалното уравнение.
отговор: 2 3 .
Има и друг вариант за решаване на дробни рационални уравнения p (x) q (x) = 0. Спомнете си, че това уравнение е еквивалентно на цялото уравнение p(x)=0в региона приемливи стойностипроменлива x на оригиналното уравнение. Това ни позволява да използваме следния алгоритъм при решаването на уравненията p (x) q (x) = 0:
- реши уравнението p(x)=0;
- намерете обхвата на допустимите стойности на променливата x;
- вземаме корените, които лежат в обхвата на допустимите стойности на променливата x като желаните корени на първоначалното дробно рационално уравнение.
Решете уравнението x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.
Решение
Първо, нека решим квадратното уравнение x 2 − 2 x − 11 = 0. За да изчислим неговите корени, използваме формулата за корени за четния втори коефициент. получаваме D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12и x = 1 ± 2 3 .
Сега можем да намерим ODZ на променлива x за оригиналното уравнение. Това са всички числа, за които x 2 + 3 x ≠ 0. Това е същото като x (x + 3) ≠ 0, откъдето x ≠ 0, x ≠ − 3.
Сега нека проверим дали корените x = 1 ± 2 3, получени на първия етап от решението, са в обхвата на допустимите стойности на променливата x. Виждаме ги да влизат. Това означава, че първоначалното дробно рационално уравнение има два корена x = 1 ± 2 3.
отговор: x = 1 ± 2 3
Вторият описан метод за решение по-лесно от първотов случаите, когато обхватът на допустимите стойности на променливата x се намира лесно и корените на уравнението p(x)=0ирационален. Например 7 ± 4 · 26 9. Корените могат да бъдат рационални, но с голям числител или знаменател. например, 127 1101 И − 31 59 . Това спестява време за проверка на състоянието q(x) ≠ 0: Много по-лесно е да изключите корени, които не са подходящи според ODZ.
В случаите, когато корените на уравнението p(x)=0са цели числа, по-целесъобразно е да се използва първият от описаните алгоритми за решаване на уравнения под формата p (x) q (x) = 0. Намерете по-бързо корените на цяло уравнение p(x)=0и след това проверете дали условието е изпълнено за тях q(x) ≠ 0, вместо намиране на ODZ и след това решаване на уравнението p(x)=0на това ОДЗ. Това се дължи на факта, че в такива случаи обикновено е по-лесно да се провери, отколкото да се намери ДЗ.
Пример 8
Намерете корените на уравнението (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
Решение
Нека започнем, като разгледаме цялото уравнение (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0и намиране на корените му. За целта прилагаме метода за решаване на уравнения чрез факторизация. Оказва се, че първоначалното уравнение е еквивалентно на набор от четири уравнения 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, от които три са линейни и единият е квадратен. Намиране на корени: от първото уравнение x = 1 2, от втория – х=6, от трета – x = 7 , x = − 2 , от четвърта – x = − 1.
Нека проверим получените корени. За нас е трудно да определим ODZ в този случай, тъй като за това ще трябва да решим алгебрично уравнение от пета степен. Ще бъде по-лесно да проверите условието, според което знаменателят на дробта, който е от лявата страна на уравнението, не трябва да отива на нула.
Нека се редуваме да заместваме корените на променливата x в израза x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112и изчислете стойността му:
1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;
6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .
Извършената проверка ни позволява да установим, че корените на оригиналното дробно рационално уравнение са 1 2, 6 и − 2 .
отговор: 1 2 , 6 , - 2
Пример 9
Намерете корените на дробното рационално уравнение 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.
Решение
Нека започнем да работим с уравнението (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Да намерим корените му. За нас е по-лесно да си представим това уравнение като комбинация от квадратно и линейни уравнения 5 x 2 − 7 x − 1 = 0И x − 2 = 0.
Използваме формулата за корените на квадратно уравнение, за да намерим корените. Получаваме от първото уравнение два корена x = 7 ± 69 10, а от второто х = 2.
За нас ще бъде доста трудно да заместим стойността на корените в първоначалното уравнение, за да проверим условията. Ще бъде по-лесно да се определи ODZ на променливата x. В този случай ODZ на променливата x са всички числа, с изключение на тези, за които условието е изпълнено x 2 + 5 x − 14 = 0. Получаваме: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.
Сега нека проверим дали намерените корени принадлежат към диапазона от допустими стойности на променливата x.
Корените x = 7 ± 69 10 принадлежат, следователно, те са корените на първоначалното уравнение и х = 2- не принадлежи, следователно е външен корен.
отговор: x = 7 ± 69 10 .
Нека разгледаме отделно случаите, когато числителят на дробно рационално уравнение от формата p (x) q (x) = 0 съдържа число. В такива случаи, ако числителят съдържа число, различно от нула, тогава уравнението няма да има корени. Ако това число е равно на нула, тогава коренът на уравнението ще бъде всяко число от ODZ.
Пример 10
Решете дробното рационално уравнение - 3, 2 x 3 + 27 = 0.
Решение
Това уравнение няма да има корени, тъй като числителят на дробта от лявата страна на уравнението съдържа различно от нула число. Това означава, че при никоя стойност на x стойността на дробта, дадена в постановката на проблема, няма да бъде равна на нула.
отговор:без корени.
Пример 11
Решете уравнението 0 x 4 + 5 x 3 = 0.
Решение
Тъй като числителят на дробта съдържа нула, решението на уравнението ще бъде всяка стойност x от ODZ на променливата x.
Сега нека дефинираме ODZ. Той ще включва всички стойности на x, за които x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Решения на уравнението x 4 + 5 x 3 = 0са 0 И − 5 , тъй като това уравнение е еквивалентно на уравнението x 3 (x + 5) = 0, а това от своя страна е еквивалентно на комбинацията от две уравнения x 3 = 0 и х + 5 = 0, където се виждат тези корени. Стигаме до извода, че желаният диапазон от приемливи стойности е всеки x с изключение на х = 0И x = − 5.
Оказва се, че дробното рационално уравнение 0 x 4 + 5 x 3 = 0 има безкрайно множестворешения, които са всякакви числа с изключение на нула и - 5.
отговор: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
Сега нека поговорим за дробни рационални уравнения произволен типи методи за тяхното решаване. Те могат да бъдат написани като r(x) = s(x), Къде r(x)И s(x)– рационални изрази, като поне един от тях е дробен. Решаването на такива уравнения се свежда до решаване на уравнения под формата p (x) q (x) = 0.
Вече знаем какво можем да получим еквивалентно уравнениепри прехвърляне на израз от дясната страна на уравнението в лявата с обратен знак. Това означава, че уравнението r(x) = s(x)е еквивалентно на уравнението r (x) − s (x) = 0. Също така вече обсъдихме начини за преобразуване на рационален израз в рационална дроб. Благодарение на това можем лесно да трансформираме уравнението r (x) − s (x) = 0в еднаква рационална дроб от формата p (x) q (x) .
Така че преминаваме от първоначалното дробно рационално уравнение r(x) = s(x)към уравнение от вида p (x) q (x) = 0, което вече се научихме да решаваме.
Трябва да се има предвид, че при извършване на преходи от r (x) − s (x) = 0към p(x)q(x) = 0 и след това към p(x)=0може да не вземем предвид разширяването на обхвата на допустимите стойности на променливата x.
Напълно възможно е първоначалното уравнение r(x) = s(x)и уравнение p(x)=0в резултат на трансформациите те ще престанат да бъдат еквивалентни. Тогава решението на уравнението p(x)=0може да ни даде корени, които ще бъдат чужди r(x) = s(x). В тази връзка във всеки случай е необходимо да се извърши проверка, като се използва някой от методите, описани по-горе.
За да ви улесним при изучаването на темата, сме обобщили цялата информация в алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение от вида r(x) = s(x):
- прехвърляме израза от дясната страна с обратен знак и получаваме нула отдясно;
- преобразувайте оригиналния израз в рационална дроб p (x) q (x) , като последователно извършвате операции с дроби и полиноми;
- реши уравнението p(x)=0;
- Ние идентифицираме външни корени, като проверяваме принадлежността им към ODZ или чрез заместване в оригиналното уравнение.
Визуално веригата от действия ще изглежда така:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → елиминиране ВЪНШНИ КОРЕНИ
Пример 12
Решете дробно рационалното уравнение x x + 1 = 1 x + 1 .
Решение
Нека да преминем към уравнението x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Нека трансформираме дробния рационален израз от лявата страна на уравнението до формата p (x) q (x) .
За да направим това, ще трябва да донесем рационални дробидо общ знаменатели опростете израза:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
За да намерим корените на уравнението - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, трябва да решим уравнението − 2 x − 1 = 0. Получаваме един корен x = - 1 2.
Всичко, което трябва да направим, е да проверим с някой от методите. Нека ги разгледаме и двамата.
Нека заместим получената стойност в оригиналното уравнение. Получаваме - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Стигнахме до правилния извод числово равенство − 1 = − 1 . Това означава, че x = − 1 2е коренът на първоначалното уравнение.
Сега да проверим през ODZ. Нека определим обхвата на допустимите стойности на променливата x. Това ще бъде целият набор от числа, с изключение на − 1 и 0 (при x = − 1 и x = 0 знаменателите на дробите се нулират). Коренът, който получихме x = − 1 2е към ОДЗ. Това означава, че е коренът на първоначалното уравнение.
отговор: − 1 2 .
Пример 13
Намерете корените на уравнението x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.
Решение
Имаме работа с дробно рационално уравнение. Затова ще действаме според алгоритъма.
Нека преместим израза от дясната страна наляво с обратен знак: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
Нека извършим необходимите трансформации: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.
Стигаме до уравнението х = 0. Коренът на това уравнение е нула.
Нека проверим дали този корен е страничен за първоначалното уравнение. Нека заместим стойността в първоначалното уравнение: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Както можете да видите, полученото уравнение няма смисъл. Това означава, че 0 е външен корен и оригиналното дробно рационално уравнение няма корени.
отговор:без корени.
Ако не сме включили други еквивалентни трансформации в алгоритъма, това не означава, че те не могат да бъдат използвани. Алгоритъмът е универсален, но е предназначен да помага, а не да ограничава.
Пример 14
Решете уравнението 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
Решение
Най-лесният начин е да се реши даденото дробно рационално уравнение по алгоритъма. Но има и друг начин. Нека го разгледаме.
Изваждаме 7 от дясната и лявата страна, получаваме: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.
От това можем да заключим, че изразът в знаменателя на лявата страна трябва да е равен на числото реципрочно числоот дясната страна, тоест 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.
Извадете 3 от двете страни: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. По аналогия, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, откъдето 1 5 - x 2 = 1 3, а след това 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2
Нека извършим проверка, за да определим дали намерените корени са корените на първоначалното уравнение.
отговор: x = ± 2
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter