Всеки дробен израз (клауза 48) може да бъде записан във формата , където P и Q са рационални изрази, а Q непременно съдържа променливи. Такава дроб се нарича рационална дроб.
Примери за рационални дроби:
Основното свойство на дробта се изразява чрез тъждеството, валидно при условията тук - цяло рационално изразяване. Това означава, че числителят и знаменателят на рационална дроб могат да бъдат умножени или разделени на едно и също ненулево число, моном или полином.
Например, свойството на дроб може да се използва за промяна на знаците на членовете на дроб. Ако числителят и знаменателят на дроб се умножат по -1, получаваме По този начин стойността на дробта няма да се промени, ако знаците на числителя и знаменателя се променят едновременно. Ако промените знака само на числителя или само на знаменателя, тогава дробта ще промени знака си:
Например,
60. Редуциране на рационални дроби.
Да намалиш дроб означава да разделиш числителя и знаменателя на дробта на общ множител. Възможността за такова намаление се дължи на основното свойство на фракцията.
За да намалите рационална дроб, трябва да разложите числителя и знаменателя на множители. Ако се окаже, че числителят и знаменателят имат общи множители, тогава дробта може да бъде намалена. Ако няма общи множители, тогава преобразуването на дроб чрез редукция е невъзможно.
Пример. Намалете фракцията
Решение. Ние имаме
Редукцията на дроб се извършва при условието .
61. Свеждане на рационални дроби до общ знаменател.
Общият знаменател на няколко рационални дроби е цял рационален израз, който е разделен на знаменателя на всяка дроб (виж параграф 54).
Например, общият знаменател на дроби е полином, тъй като се дели на двете и на полином и полином и полином и т.н. Обикновено те вземат такъв общ знаменател, че всеки друг общ знаменател се дели на Echosen. Този най-прост знаменател понякога се нарича най-малък общ знаменател.
В примера, обсъден по-горе, общият знаменател е Ние имаме
Намаляване на дадени дроби до общ знаменателпостигнато чрез умножаване на числителя и знаменателя на първата дроб по 2. а числителя и знаменателя на втората дроб по Полиноми се наричат допълнителни множители съответно за първата и втората дроб. Допълнителният множител за дадена дроб е равен на частното от разделянето на общия знаменател на знаменателя на дадената дроб.
За да намалите няколко рационални дроби до общ знаменател, трябва:
1) разложете знаменателя на всяка дроб;
2) създайте общ знаменател, като включите като фактори всички фактори, получени в стъпка 1) от разширенията; ако даден фактор присъства в няколко разширения, тогава той се взема с показател, равен на най-големия от наличните;
3) намерете допълнителни фактори за всяка от фракциите (за това общият знаменател се разделя на знаменателя на фракцията);
4) като умножите числителя и знаменателя на всяка дроб с допълнителен коефициент, приведете дробта към общ знаменател.
Пример. Намалете дроб до общ знаменател
Решение. Нека разложим на множители знаменателите:
В общия знаменател трябва да бъдат включени следните множители: и най-малкото общо кратно на числата 12, 18, 24, т.е. Това означава, че общият знаменател има формата
Допълнителни множители: за първата дроб за втората за третата И така, получаваме:
62. Събиране и изваждане на рационални дроби.
Сумата от две (и като цяло всяка крайно число) рационални дроби с същите знаменателие идентично равно на дроб със същия знаменател и числител, равно на суматачислители на добавени дроби:
Подобна е ситуацията и при изваждане на дроби с еднакви знаменатели:
Пример 1: Опростяване на израз
Решение.
За събиране или изваждане на рационални дроби с различни знаменателиПърво трябва да намалите дробите до общ знаменател и след това да извършите операции върху получените дроби със същите знаменатели.
Пример 2: Опростяване на израз
Решение. Ние имаме
63. Умножение и деление на рационални дроби.
Произведението на две (и като цяло всеки краен брой) рационални дроби е идентично равно на дробта, чийто числител равно на произведениеточислители, а знаменателят - произведението на знаменателите на умножените дроби:
Частното от разделянето на две рационални дроби е идентично равно на дроб, чийто числител е равен на произведението на числителя на първата дроб и знаменателя на втората дроб, а знаменателят е произведението на знаменателя на първата дроб и числител на втората дроб:
Формулираните правила за умножение и деление се отнасят и за случая на умножение или деление с полином: достатъчно е да напишете този полином под формата на дроб със знаменател 1.
Като се има предвид възможността за намаляване на рационална дроб, получена в резултат на умножаване или деление на рационални дроби, те обикновено се стремят да факторизират числителите и знаменателите на оригиналните дроби, преди да извършат тези операции.
Пример 1: Извършете умножение
Решение. Ние имаме
Използвайки правилото за умножение на дроби, получаваме:
Пример 2: Извършете деление
Решение. Ние имаме
Използвайки правилото за разделяне, получаваме:
64. Повишаване на рационална дроб на цяла степен.
За повдигане на рационална дроб - до естествена степен, трябва да повдигнете числителя и знаменателя на дробта поотделно на тази степен; първият израз е числителят, а вторият израз е знаменателят на резултата:
Пример 1: Преобразуване в част от степен 3.
Решение Решение.
При повдигане на дроб до цяло число отрицателна степенизползва се идентичност, която е валидна за всички стойности на променливите, за които .
Пример 2: Преобразуване на израз в дроб
65. Преобразуване на рационални изрази.
Трансформирането на всеки рационален израз се свежда до събиране, изваждане, умножение и деление на рационални дроби, както и до повишаване на дроб на естествена степен. Всеки рационален израз може да бъде преобразуван в дроб, чиито числител и знаменател са цели рационални изрази; Това, като правило, е целта на идентичните трансформации на рационални изрази.
Пример. Опростете израз
66. Най-простите трансформации на аритметични корени (радикали).
При преобразуване на аритметични кории се използват техните свойства (вижте параграф 35).
Нека да разгледаме няколко примера за използване на свойства аритметични корениза най-простите трансформации на радикали. В този случай ще считаме, че всички променливи приемат само неотрицателни стойности.
Пример 1. Извличане на корен от продукт
Решение. Прилагайки свойството 1°, получаваме:
Пример 2. Премахнете множителя под знака на корена
Решение.
Тази трансформация се нарича премахване на фактора под знака за корен. Целта на трансформацията е да опрости радикалния израз.
Пример 3: Опростяване.
Решение. Чрез свойството 3° обикновено се опитват да опростят радикалния израз, за който изваждат факторите от знака кориум. Ние имаме
Пример 4: Опростяване
Решение. Нека преобразуваме израза, като въведем множител под знака на корена: По свойство 4° имаме
Пример 5: Опростяване
Решение. По свойството 5° имаме право да разделим показателя на корена и показателя на радикалния израз на едно и също нещо естествено число. Ако в разглеждания пример разделим посочените показатели на 3, получаваме .
Пример 6. Опростяване на изрази:
Решение, а) По свойство 1° намираме, че за да се умножат корени от една и съща степен, е достатъчно да се умножат радикалните изрази и да се извлече корен от същата степен от получения резултат. означава,
б) На първо място, трябва да сведем радикалите до един индикатор. Съгласно свойството на 5° можем да умножим показателя на корена и показателя на радикалния израз по едно и също естествено число. Следователно, След това, сега имаме в получения резултат, разделяйки показателите на корена и степента на радикалния израз на 3, получаваме.
Запишете темата на урока в тетрадката си
Какво е?
Това са алгебрични изрази, които съдържат деление с израз с променливи.
Например:
- дробен израз.
Цяло число, защото е равно на , т.е. цял израз с рационални коефициенти.
Цяло и дробни изразисе наричат рационални изрази.
Това са тези, с които ще трябва да работим в бъдеще!
Целият израз има смисъл за всякакви стойности на променливите, но дробен израз... не може да бъде разделен на 0!
Например:
определени за всички стойности на променливата a и за всички стойности на b, с изключение на b=3.
За какви стойности на променливата прави изразът
?
Помня:
За всякакви стойности на a, b и c, където и , равенството е вярно
Ако умножим дроб по число (т.е. умножим числителя и знаменателя на дробта по едно и също число), получаваме равна дроб, но с различен знаменател.
Ако разделим числителя и знаменателя на едно и също число, намаляваме дробта.
Например:
1) Нека сведем дробта до дроб със знаменател 35у3.
Нека първо разделим нов знаменател 35y3 към старото 7y и получаваме допълнителен множител от 5y2.
И след това умножете числителя и знаменателя по този допълнителен коефициент:
.
2) Нека намалим дробта.
Решение:
Помня:
За да намалите дроб, трябва да разложите числителя и знаменателя и след това да ги разделите на равен коефициент, т.е. намалявам.
Има няколко метода за факторизиране на израз.
Засега сме запознати с две от тях:
1 метод
Скоби общ множител.
Метод 2
Приложение на формули за съкратено умножение.
Първият и най-прост начин за факторизиране е
извеждане на общия множител извън скоби.
Ac + bc = (a + b)c
Пример 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)
правило:
Ако всички членове на полином имат общ фактор (или няколко общи фактора), тогава този фактор (тези фактори) могат да бъдат извадени от скобата,
в този случай ние разделяме всеки член с израз, който поставяме извън скоби: 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 и накрая 15a3bc2: 5abc = 3a2c (гледайте знаците!!!)
И трябва да помним, че степента с по-нисък индекс е извадена от скоби.
сам:
Извадете общия множител от скоби
Проверка:
Понякога всички членове алгебричен изразНямам общ множител, но в отделни групи термини има такъв, напр.
ah + ay + bx + by.
Този полином може да бъде факторизиран чрез комбиниране на членовете му в отделни групи
(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b).
Пример:
Използвайки метода на групиране на термини, разложете израза на множители
3x + xy2 - x2y - 3y
Решение:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).
Нека упражним още малко:
1) a3 - ab - a2b + a2,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x.
Решение:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - б),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).
И сега за втория метод.
Ако членовете на алгебричен израз нямат повтарящи се множители, тогава можете да опитате да приложите формули за съкратено умножение...
Примери
а) Разлика на квадратите:
0,49x4 - 121y2 = (0,7x2)2 - (11y)2 = (0,7x2 - 11y)(0,7x2 + 11y),
B) Разлика на кубчетата:
1 - 27s3 = 13 - (3s)3 = (1 - 3s)(1 + 3s + 9s2),
B) Разлика на квадрат:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 или (2a - 3b)(2a - 3b),
D) Куб на разликата:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 или (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .е. три равни множителя!
Алгоритъм:
- първо „настройваме“ външен видизрази" под възможна формула...
- ако работи, продължаваме, както изисква (формулата)...
- ако не се получи, тогава започваме да "пробваме" друга формула ...
- и така нататък, докато можете да разложите израза на произведение от фактори!
От курса по алгебра училищна програмаДа преминем към конкретика. В тази статия ще проучим подробно специален видрационални изрази - рационални дроби, а също така помислете каква характеристика е идентична преобразуване на рационални дробизаеми място.
Нека веднага да отбележим, че рационалните дроби в смисъла, в който ги дефинираме по-долу, се наричат алгебрични дроби в някои учебници по алгебра. Тоест в тази статия ще разбираме рационални и алгебрични дроби като едно и също нещо.
Както обикновено, нека започнем с определение и примери. След това ще говорим за привеждане на рационална дроб към нов знаменател и промяна на знаците на членовете на дробта. След това ще разгледаме как да намалим дробите. И накрая, нека да разгледаме представянето на рационална дроб като сбор от няколко дроби. Ние ще предоставим цялата информация с примери подробни описаниярешения.
Навигация в страницата.
Определение и примери за рационални дроби
Рационалните дроби се изучават в часовете по алгебра в 8 клас. Ще използваме определението за рационална дроб, което е дадено в учебника по алгебра за 8 клас на Ю. Н. Макаричев и др.
IN това определениене е уточнено дали полиномите в числителя и знаменателя на рационална дроб трябва да са полиноми стандартен изгледили не. Следователно ще приемем, че обозначенията за рационални дроби могат да съдържат както стандартни, така и нестандартни полиноми.
Ето няколко примери за рационални дроби. И така, x/8 и 
- рационални дроби. И дроби 
и не отговарят на дадената дефиниция на рационална дроб, тъй като в първия от тях числителят не съдържа полином, а във втория и числителят, и знаменателят съдържат изрази, които не са полиноми.
Преобразуване на числителя и знаменателя на рационална дроб
Числителят и знаменателят на всяка дроб са самодостатъчни математически изрази, в случай на рационални дроби, това са полиноми в частен случай, мономи и числа. Следователно идентични трансформации могат да бъдат извършени с числителя и знаменателя на рационална дроб, както с всеки израз. С други думи, изразът в числителя на рационална дроб може да бъде заменен с идентично равен израз, точно като знаменателя.
Можете да извършвате идентични трансформации в числителя и знаменателя на рационална дроб. Например в числителя можете да групирате и намалявате подобни условия, а в знаменателя заменете произведението на няколко числа с неговата стойност. И тъй като числителят и знаменателят на рационалната дроб са полиноми, с тях е възможно да се извършват трансформации, характерни за полиномите, например редуциране до стандартна форма или представяне под формата на продукт.
За по-голяма яснота нека разгледаме решенията на няколко примера.
Пример.
Преобразуване на рационална дроб 
така че числителят съдържа полином със стандартна форма, а знаменателят съдържа произведението на полиномите.
Решение.
Намаляването на рационални дроби до нов знаменател се използва главно при събиране и изваждане на рационални дроби.
Смяна на знаците пред дробта, както и в нейния числител и знаменател
Основното свойство на дроб може да се използва за промяна на знаците на членовете на дроб. Наистина, умножаването на числителя и знаменателя на рационална дроб по -1 е еквивалентно на промяна на техните знаци и резултатът е дроб, идентично равен на дадения. Тази трансформация трябва да се използва доста често, когато се работи с рационални дроби.
По този начин, ако едновременно промените знаците на числителя и знаменателя на дроб, ще получите дроб, равен на оригиналния. На това твърдение отговаря равенството.
Да дадем пример. Рационална дроб може да бъде заменена с еднакво равна дроб с променени знаци на числителя и знаменателя на формата.
Можете да направите още нещо с дроби: трансформация на идентичността, при което се променя знакът или на числителя, или на знаменателя. Нека посочим съответното правило. Ако замените знака на дроб заедно със знака на числителя или знаменателя, ще получите дроб, която е идентично равна на първоначалната. Написаното твърдение съответства на равенствата и .
Доказването на тези равенства не е трудно. Доказателството се основава на свойствата на умножението на числата. Нека докажем първото от тях: . С помощта на подобни трансформации се доказва равенството.
Например дроб може да се замени с израза или.
За да завършим тази точка, представяме още две полезни равенства и . Тоест, ако промените знака само на числителя или само на знаменателя, дробта ще промени знака си. Например, 
И 
.
Разглежданите трансформации, които позволяват промяна на знака на членовете на дроб, често се използват при трансформиране на дробни рационални изрази.
Редуциране на рационални дроби
Следващото преобразуване на рационални дроби, наречено редукция на рационални дроби, се основава на същото основно свойство на дроб. Тази трансформация съответства на равенството , където a, b и c са някои полиноми, а b и c са различни от нула.
От горното равенство става ясно, че намаляването на рационална дроб предполага премахване на общия множител в нейния числител и знаменател.
Пример.
Съкратете рационална дроб.
Решение.
Общият множител 2 се вижда веднага, нека извършим редукция с него (когато пишете, е удобно да задраскате общите множители, с които се намаляват). Ние имаме 
. Тъй като x 2 = x x и y 7 = y 3 y 4 (вижте, ако е необходимо), ясно е, че x е общ множител на числителя и знаменателя на получената дроб, както и y 3. Нека намалим с тези фактори: 
. Това завършва намалението.
По-горе извършихме редуцирането на рационални дроби последователно. Или беше възможно да се извърши редукцията в една стъпка, като незабавно се намали дробта с 2 x y 3. В този случай решението ще изглежда така: 
.
Отговор:
.
При редуцирането на рационални дроби основният проблем е, че общият множител на числителя и знаменателя не винаги се вижда. Освен това не винаги съществува. За да намерите общ множител или да проверите липсата му, трябва да разложите числителя и знаменателя на рационална дроб. Ако няма общ множител, тогава първоначалната рационална дроб не трябва да се редуцира, в в противен случай- извършва се намаление.
В процеса на намаляване на рационалните дроби могат да възникнат различни нюанси. Основните тънкости са разгледани в статията за намаляване на алгебричните дроби с помощта на примери и подробно.
Завършвайки разговора за намаляването на рационалните дроби, отбелязваме, че тази трансформация е идентична и основната трудност при нейното прилагане е разлагането на полиномите в числителя и знаменателя.
Представяне на рационална дроб като сбор от дроби
Доста специфично, но в някои случаи много полезно, е преобразуването на рационална дроб, което се състои в представянето й като сбор от няколко дроби или сбор от цял израз и дроб.
Рационална дроб, чийто числител съдържа полином, представляващ сумата от няколко мономи, винаги може да бъде записана като сбор от дроби с еднакви знаменатели, чиито числители съдържат съответните мономи. Например, 
. Това представяне се обяснява с правилото за събиране и изваждане на алгебрични дроби с еднакви знаменатели.
Като цяло, всяка рационална дроб може да бъде представена като сбор от дроби по много различни начини. Например дробта a/b може да бъде представена като сбор от две дроби - произволна дроб c/d и дроб, равна на разликата между дробите a/b и c/d. Това твърдение е вярно, тъй като равенството е в сила 
. Например рационална дроб може да бъде представена като сбор от дроби различни начини: Нека си представим оригиналната дроб като сбор от цяло число и дроб. Като разделим числителя на знаменателя с колона, получаваме равенството 
. Стойността на израза n 3 +4 за всяко цяло число n е цяло число. И стойността на една дроб е цяло число тогава и само ако нейният знаменател е 1, −1, 3 или −3. Тези стойности съответстват съответно на стойностите n=3, n=1, n=5 и n=−1.
Отговор:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Библиография.
- Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 13-то изд., рев. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
Тя прилича на
където P(x) и Q(x) са някои полиноми.
Правете разлика между правилни и неправилни рационални дроби по аналогия с обикновените дроби числови дроби. Рационалната дроб се нарича правилна, ако редът на знаменателя е такъв повече редчислител и неправилно, ако обратното.
Всяка неправилна рационална дроб може да бъде преобразувана в сбор от някакъв полином и правилна рационална дроб
Всяка рационална дроб от полиноми с реални коефициенти може да бъде представена като сума от рационални дроби, чиито знаменатели са изразите (х − а) к (a е реалният корен на Q(x)) или (х 2 + стрх + р) к (Където х 2 + стрх + р няма истински корени), а степента k не е по-голяма от кратността съответните коренив полинома Q(x). Въз основа на това твърдение се основава теоремата за интегрируемостта на рационалните дроби. Според него всяка рационална дроб може да бъде интегрирана в елементарни функции, което прави класа на рационалните дроби много важен в математическия анализ.
Вижте също
Фондация Уикимедия. 2010 г.
Вижте какво е „рационална дроб“ в други речници:
Рационална функция е дроб, чийто числител и знаменател са полиноми. Има формата където, полиноми в произволен брой променливи. Специален случай са рационалните функции на една променлива: , където... ... Wikipedia
Този термин има и други значения, вижте Дроб. 8 / 13 числител числител знаменател знаменател Два записа на една и съща дроб Дроб в математиката е число, състоящо се от една или повече части... ... Wikipedia
Уикиречникът има запис за „фракция“ Името на символа „⁄“ (друг, често срещан предимно в английски език, името на символа солидус (на английски) или наклонена черта), например в номера на къщи. И така, номерът на къщата „5/17“ гласи „пет... ... Wikipedia
1) R.f. функция w=R(z), където R(z) е рационален израз за z, т.е. израз, получен от независимата променлива z и определен краен набор от числа (реални или комплексни) с помощта на краен брой аритметични . действия. Р. ф....... Математическа енциклопедия
Четвъртини Рационално число(лат. съотношение съотношение, деление, дроб) представено число обикновена дроб, където m е цяло число, а n е естествено число. В този случай числото m се нарича числител, а числото n - знаменател на дробта. Таку ... Уикипедия
Четвърти Рационално число (лат. ratio съотношение, деление, дроб) е число, представено от обикновена дроб, където m е цяло число, а n е естествено число. В този случай числото m се нарича числител, а числото n - знаменател на дробта. Таку ... Уикипедия
Този термин има и други значения, вижте Дроб. Най-простата дробо степен се нарича рационална функциявид, където той взема природни ценности, а точките, които са полюсите на функцията, не са непременно геометрично различни.... ... Wikipedia
Число, изразено като рационална дроб. Формална теорияРеалното число се конструира с помощта на двойки цели числа. Рационална дроб се нарича. подредена двойка (a, b) от цели числа a и b, изрежете b#0. Две рационални дроби и т.нар. e k v i v a l e n ... Математическа енциклопедия
Четвърти Рационално число (лат. ratio съотношение, деление, дроб) е число, представено от обикновена дроб, където m е цяло число, а n е естествено число. В този случай числото m се нарича числител, а числото n - знаменател на дробта. Таку ... Уикипедия
Да започнем с някои дефиниции. Полином n-та степен(или n-ти ред) ще наречем израз от формата $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Например изразът $4x^(14)+87x^2+4x-11$ е полином, чиято степен е $14$. Може да се означи по следния начин: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
Отношението на два полинома $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ се нарича рационална функцияили рационална дроб. По-точно, това е рационална функция на една променлива (т.е. променливата $x$).
Рационалната дроб се нарича правилно, ако $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, по-малко степенполином в знаменателя. В противен случай (ако $n ≥ m$) се извиква дробта грешно.
Пример №1
Посочете кои от следните дроби са рационални. Ако дробта е рационална, тогава разберете дали е правилна или не.
- $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
- $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
- $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
- $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.
1) Тази дроб не е рационална, защото съдържа $\sin x$. Рационалната дроб не позволява това.
2) Имаме отношението на два полинома: $5x^2+3x-8$ и $11x^9+25x^2-4$. Следователно, според дефиницията, изразът $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ е рационална дроб. Тъй като степента на полинома в числителя е равна на $2$, а степента на полинома в знаменателя е равна на $9$, тогава дадена дробе правилно (защото $2< 9$).
3) Както числителят, така и знаменателят на тази дроб съдържат полиноми (разложени на множители). За нас изобщо няма значение в каква форма са представени полиномите на числителя и знаменателя: дали са факторизирани или не. Тъй като имаме съотношение на два полинома, тогава според дефиницията изразът $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ е рационална дроб.
За да се отговори на въпроса дали дадена дроб е правилна, трябва да се определят степените на полиномите в числителя и знаменателя. Да започнем с числителя, т.е. от израза $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. За да определите степента на този полином, можете, разбира се, да отворите скобите. Въпреки това е много по-лесно да действаме рационално, защото се интересуваме само от най-голяма степенпроменлива $x$. От всяка скоба избираме променливата $x$ в най-голяма степен. От скобата $(2x^3+8x+4)$ вземаме $x^3$, от скобата $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ вземаме $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$ и от скобата $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ избираме $x^7$. Тогава, след отваряне на скобите, най-голямата степен на променливата $x$ ще бъде така:
$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$
Степента на полинома в числителя е $46$. Сега да се обърнем към знаменателя, т.е. към израза $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. Степента на този полином се определя по същия начин, както при числителя, т.е.
$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$
Знаменателят съдържа полином от степен 41. Тъй като степента на полинома в числителя (т.е. 46) не е по-малка от степента на полинома в знаменателя (т.е. 41), тогава рационалната дроб е $\frac((2x^3+8x+4)(8x ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ е неправилно.
4) Числителят на дробта $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ съдържа числото $3$, т.е. полином нулева степен. Формално числителят може да се запише по следния начин: $3x^0=3\cdot1=3$. В знаменателя имаме полином, чиято степен е равна на $6\cdot 4=24$. Отношението на два полинома е рационална дроб. От $0< 24$, то данная дробь является правильной.
Отговор: 1) дробта не е рационална; 2) рационална дроб (правилна); 3) рационална дроб (неправилна); 4) рационална дроб (правилна).
Сега нека да преминем към концепцията за елементарни дроби (те се наричат още най-простите рационални дроби). Има четири вида елементарни рационални дроби:
- $\frac(A)(x-a)$;
- $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
- $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
- $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).
Забележка (желателно за по-пълно разбиране на текста): покажи\скрий
Защо е необходимо условието $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратно уравнение$x^2+px+q=0$. Дискриминантът на това уравнение е $D=p^2-4q$. По същество условието $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.
Например за израза $x^2+5x+10$ получаваме: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Тъй като $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.
Между другото, за тази проверка изобщо не е необходимо коефициентът пред $x^2$ да е равен на 1. Например за $5x^2+7x-3=0$ получаваме: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=$109. Тъй като $D > 0$, изразът $5x^2+7x-3$ може да бъде факторизиран.
Задачата е следната: дадено правилнопредставят рационална дроб като сбор от елементарни рационални дроби. Материалът, представен на тази страница, е посветен на решаването на този проблем. Първо трябва да се уверите, че сте завършили следващо условие: полиномът в знаменателя на правилна рационална дроб се разлага на множители по такъв начин, че това разширение съдържа само скоби от формата $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p ^2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:
- Всяка скоба от формата $(x-a)$, разположена в знаменателя, съответства на дроб $\frac(A)(x-a)$.
- Всяка скоба от формата $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$), намираща се в знаменателя, съответства на сбор от $n$ дроби: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
- Всяка скоба от формата $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
- Всяка скоба от формата $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.
Ако дробта е неправилна, тогава преди да приложите горната схема, трябва да я разделите на сумата от цялата част (полином) и правилната рационална дроб. Ще разгледаме как точно се прави това по-нататък (вижте пример № 2, точка 3). Няколко думи за буквените обозначения в числителите (т.е. $A$, $A_1$, $C_2$ и други подобни). Можете да използвате всякакви букви по ваш вкус. Важно е само тези букви да бъдат различнивъв всички елементарни дроби. За да намерите стойностите на тези параметри, използвайте метода несигурни коефициентиили методът за заместване на частични стойности (вижте примери № 3, № 4 и № 5).
Пример №2
Да се разложат дадените рационални дроби на елементарни (без намиране на параметрите):
- $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
- $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
- $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.
1) Имаме рационална дроб. Числителят на тази дроб съдържа полином от степен 4, а знаменателят съдържа полином, чиято степен е равна на $17$ (как да се определи тази степен е обяснено подробно в параграф № 3 от пример № 1). Тъй като степента на полинома в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя, тази дроб е правилна. Нека се обърнем към знаменателя на тази дроб. Нека започнем със скобите $(x-5)$ и $(x+2)^4$, които изцяло попадат под формата $(x-a)^n$. Освен това има и скоби $(x^2+3x+10)$ и $(x^2+11)^5$. Изразът $(x^2+3x+10)$ има формата $(x^2+px+q)^n$, където $p=3$; $q=10$, $n=1$. Тъй като $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следващ изход: полиномът в знаменателя се факторизира по такъв начин, че това факторизиране съдържа само скоби от формата $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:
$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$
Резултатът може да се запише по следния начин:
$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$
Тогава дробта $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ може да бъде представена в друга форма:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2 +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$
Дробта $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ е правилна рационална дроб, тъй като степента на полинома в числителя (т.е. 2) е по-малка от степента на полинома в знаменателя (т.е. 3). Сега нека разгледаме знаменателя на тази дроб. Знаменателят съдържа полином, който трябва да бъде факторизиран. Понякога схемата на Horner е полезна за факторизиране, но в нашия случай е по-лесно да се справите със стандартния „училищен“ метод за групиране на термини:
$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$
Използвайки същите методи като в предишни параграфи, получаваме:
$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$
И така, най-накрая имаме:
$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$
Тази тема ще бъде продължена във втората част.