Комплексни производни. Логаритмична производна.
Производна на мощност експоненциална функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме материала, който сме покрили, ще разгледаме по-сложни производни, а също така ще се запознаем с нови техники и трикове за намиране на производна, по-специално с логаритмичната производна.

На онези читатели, които имат ниско нивоподготовка, трябва да се обърнете към статията Как да намерим производната? Примери за решения, което ще ви позволи да подобрите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на сложна функция, разберете и решете всичкопримерите, които дадох. Този урок логично е третият поред и след като го усвоите, вие уверено ще различавате доста сложни функции. Не е желателно да заемате позицията „Къде другаде? Да, това е достатъчно ”, тъй като всички примери и решения са взети от реални тестовеи често се срещат в практиката.

Да започнем с повторение. На урока Производна на сложна функцияРазгледахме няколко примера с подробни коментари. По време на изучаването на диференциално смятане и други раздели математически анализ– много често ще ви се налага да правите разграничения и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да описвате примери с големи подробности. Затова ще се упражняваме да намираме производни устно. Най-подходящите „кандидати“ за това са производни на най-простите от сложните функции, например:

Според правилото за диференциация сложна функция :

При изучаване на други matan теми в бъдеще най-често не се изисква такъв подробен запис; предполага се, че ученикът знае как да намира такива производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа сутринта имаше a телефонно обаждане, И приятен гласпопита: „Каква е производната на тангенса на две X?“ Това трябва да бъде последвано от почти мигновен и учтив отговор: .

Първият пример ще бъде незабавно предназначен за независимо решение.

Пример 1

Намерете устно следните производни, в едно действие, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица с производни на елементарни функции(ако още не сте го запомнили). Ако имате затруднения, препоръчвам ви да прочетете отново урока Производна на сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Комплексни производни

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 влагане на функции ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще изглеждат сложни за някои, но ако ги разберете (някой ще пострада), тогава почти всичко останало в диференциално смятанеЩе изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо вярноРАЗБЕРЕТЕ вашите инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням полезен трик: вземаме експерименталното значение на „x“ например и се опитваме (мислено или в чернова) да заменим това значение в „ужасния израз“.

1) Първо трябва да изчислим израза, което означава, че сумата е най-дълбокото вграждане.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това кубирайте косинуса:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция ще се използва в обратен ред, от самата нея външна функция, до най-вътрешното. Ние решаваме:

Изглежда, че няма грешки...

(1) Вземете производната на корен квадратен.

(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото

(3) Производната на тройката е нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

(4) Вземете производната на косинуса.

(5) Вземете производната на логаритъма.

(6) И накрая, вземаме производната на най-дълбокото вграждане.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените цялата красота и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпит, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция или не разбира.

Следващият пример трябва да решите сами.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминем към нещо по-малко и по-хубаво.
Не е необичайно примерът да показва произведението не на две, а три функции. Как да намерим производната на продукти от тримножители?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо разглеждаме, възможно ли е да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, можем да отворим скобите. Но в разглеждания пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта два пъти

Номерът е, че с “y” означаваме произведението на две функции: , а с “ve” означаваме логаритъма: . Защо може да се направи това? Наистина ли е – това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава правилото да се приложи втори път в скоби:

Все още може да бъдете перверзни и да извадите нещо извън скоби, но навътре в такъв случайПо-добре е да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Разглежданият пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение; в примера се решава по първия метод.

Нека да разгледаме подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Има няколко начина, по които можете да отидете тук:

Или така:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използваме правилото за диференциране на частното , като се вземе за целия числител:

По принцип примерът е решен и ако се остави така, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, за да видите дали отговорът може да бъде опростен? Нека намалим израза на числителя до общ знаменателИ да се отървем от триетажната част:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производната, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.

По-прост пример за самостоятелно решаване:

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да овладяваме методите за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато за диференциране се предлага „ужасен“ логаритъм

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да отидете по дългия път, като използвате правилото за разграничаване на сложна функция:

Но още първата стъпка веднага те потапя в униние - трябва да приемеш неприятната производна на дробна мощност, а след това и от фракцията.

Ето защо предикак да вземем производната на „сложен“ логаритъм, първо се опростява с помощта на добре познати училищни свойства:

! Ако имате учебна тетрадка под ръка, копирайте тези формули директно там. Ако нямате тетрадка, препишете ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да бъде написано по следния начин:

Нека трансформираме функцията:

Намиране на производната:

Предварителното преобразуване на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато подобен логаритъм е предложен за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.

А сега няколко прости примера, които можете да решите сами:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори са в края на урока.

Логаритмична производна

Ако производното на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът: възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Наскоро разгледахме подобни примери. Какво да правя? Можете последователно да приложите правилото за диференциране на частното и след това правилото за диференциране на продукта. Недостатъкът на този метод е, че в крайна сметка получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги "окачите" от двете страни:

Сега трябва да „разпаднете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Да започнем с диференциацията.
Заключваме и двете части под прайм:

Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, би трябвало да можете да се справите с нея уверено.

Ами лявата страна?

От лявата страна имаме сложна функция. Предвиждам въпроса: „Защо, има ли една буква „Y“ под логаритъма?“

Факт е, че тази „игра с една буква“ - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(ако не е много ясно, вижте статията Производна на функция, указана имплицитно). Следователно логаритъмът е външна функция, а "y" е вътрешна функция. И използваме правилото за диференциране на сложна функция :

От лявата страна, сякаш с магия магическа пръчкаимаме производна. След това, съгласно правилото за пропорцията, прехвърляме "y" от знаменателя на лявата страна към горната част на дясната страна:

А сега нека си спомним за каква функция „играч“ говорихме по време на диференциацията? Нека да разгледаме състоянието:

Окончателен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Примерен пример за дизайн от този типв края на урока.

С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго нещо е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.

Производна на степенно-експоненциална функция

Все още не сме обмисляли тази функция. Степенно-експоненциална функция е функция, за която степента и основата зависят от "x". Класически пример, които ще ви бъдат дадени във всеки учебник или на всяка лекция:

Как да намерим производната на степенно-експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що обсъдената техника - логаритмичната производна. Закачаме логаритми от двете страни:

Като правило от дясната страна степента се изважда от под логаритъма:

В резултат от дясната страна имаме произведението на две функции, които ще бъдат диференцирани по стандартна формула .

Намираме производната, заграждаме двете части под черти:

Допълнителните действия са прости:

Накрая:

Ако някое преобразуване не е напълно ясно, моля, прочетете внимателно отново обясненията на Пример #11.

IN практически задачиСтепенно-експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от примера, разгледан в лекцията.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичната производна.

От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - “x” и “логаритъм от логаритъм x” (друг логаритъм е вложен под логаритъма). Когато диференцирате, както си спомняме, е по-добре незабавно да преместите константата от производния знак, така че да не ви пречи; и, разбира се, прилагаме познатото правило :

Както можете да видите, алгоритъмът за използване на логаритмичната производна не съдържа никакви специални трикове или трикове и намирането на производната на степенна експоненциална функция обикновено не е свързано с „мъчение“.

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 влагане на функции ще бъдат по-малко страшни. Следващите два примера може да изглеждат сложни за някои, но ако ги разберете (някой ще пострада), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо вярноРАЗБЕРЕТЕ вашите инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням ви за полезна техника: вземаме експерименталната стойност на „x“ например и се опитваме (мислено или в чернова) да заменим тази стойност в „ужасния израз“.

1) Първо трябва да изчислим израза, което означава, че сумата е най-дълбокото вграждане.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това кубирайте косинуса:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда без грешки:

1) Вземете производната на корен квадратен.

2) Вземете производната на разликата, като използвате правилото

3) Производната на тройка е нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

4) Вземете производната на косинуса.

6) И накрая, вземаме производната на най-дълбокото вграждане.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените цялата красота и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпит, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция или не разбира.

Следващият пример трябва да решите сами.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминем към нещо по-малко и по-хубаво.
Не е необичайно примерът да показва произведението не на две, а на три функции. Как да намерим производната на произведението на три фактора?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо разглеждаме, възможно ли е да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, можем да отворим скобите. Но в разглеждания пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта два пъти

Номерът е, че с “y” означаваме произведението на две функции: , а с “ve” означаваме логаритъма: . Защо може да се направи това? Наистина ли е - това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава правилото да се приложи втори път в скоби:

Можете също така да се изкривите и да поставите нещо извън скоби, но в този случай е по-добре да оставите отговора точно в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Разглежданият пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение; в примера се решава по първия метод.

Нека да разгледаме подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Има няколко начина, по които можете да отидете тук:

Или така:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използваме правилото за диференциране на частното , като се вземе за целия числител:

По принцип примерът е решен и ако се остави така, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, за да видите дали отговорът може да бъде опростен?

Нека сведем израза на числителя до общ знаменател и да се отървем от триетажната структура на дробта:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производната, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.

По-прост пример за самостоятелно решаване:

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да овладяваме методите за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато за диференциране се предлага „ужасен“ логаритъм

Дадени са примери за изчисляване на производни по формулата за производна на сложна функция.

Тук даваме примери за изчисляване на производни на следните функции:
; ; ; ; .

Ако една функция може да бъде представена като сложна функция в следната форма:
,
тогава неговата производна се определя по формулата:
.
В примерите по-долу ще запишем тази формула, както следва:
.
Където .
Тук индексите или , разположени под знака за производна, означават променливите, по които се извършва диференциацията.

Обикновено в таблиците с производни се дават производни на функции от променливата x. Въпреки това, x е формален параметър. Променливата x може да бъде заменена с всяка друга променлива. Следователно, когато диференцираме функция от променлива, ние просто променяме в таблицата с производни променливата x на променливата u.

Прости примери

Пример 1

Намерете производната на сложна функция
.

Решение

Нека го запишем дадена функцияв еквивалентна форма:
.
В таблицата на производните намираме:
;
.

Според формулата за производна на сложна функция имаме:
.
Тук .

Отговор

Пример 2

Намерете производната
.

Решение

Изваждаме константата 5 от знака за производна и от таблицата с производни намираме:
.

.
Тук .

Отговор

Пример 3

Намерете производната
.

Решение

Изваждаме константа -1 за знака на производната и от таблицата на производните намираме:
;
От таблицата на производните намираме:
.

Прилагаме формулата за производна на сложна функция:
.
Тук .

Отговор

По-сложни примери

В повече сложни примериприлагаме правилото за диференциране на сложна функция няколко пъти. В този случай изчисляваме производната от края. Тоест, ние разделяме функцията на нейните съставни части и намираме производните на най-простите части, използвайки таблица с производни. Ние също използваме правила за диференциране на суми, продукти и фракции. След това правим замествания и прилагаме формулата за производната на сложна функция.

Пример 4

Намерете производната
.

Решение

Нека подчертаем най-много проста частформула и намерете нейната производна. .

.
Тук сме използвали нотацията
.

Намираме производната на следващата част от оригиналната функция, използвайки получените резултати. Прилагаме правилото за диференциране на сбора:
.

Още веднъж прилагаме правилото за диференциране на сложни функции.

.
Тук .

Отговор

Пример 5

Намерете производната на функцията
.

Решение

Нека изберем най-простата част от формулата и да намерим нейната производна от таблицата с производни. .

Прилагаме правилото за диференциране на сложни функции.
.
Тук
.

В тази статия ще говорим за такава важна математическа концепция като сложна функция и ще научим как да намираме производната на сложна функция.

Преди да се научим да намираме производната на сложна функция, нека разберем концепцията за сложна функция, какво представлява тя, „с какво се яде“ и „как да се готви правилно“.

Нека помислим произволна функция, например така:

Обърнете внимание, че аргументът от дясната и лявата страна на уравнението на функцията е едно и също число или израз.

Вместо променлива можем да поставим например следния израз: . И тогава получаваме функцията

Нека наречем израза междинен аргумент, а функцията външна функция. Не е строго математически понятия, но те помагат да се разбере значението на понятието сложна функция.

Строгото определение на концепцията за сложна функция звучи така:

Нека функцията е дефинирана на набор и е множеството от стойности на тази функция. Нека множеството (или неговото подмножество) е областта на дефиниране на функцията. Нека зададем номер на всеки от тях. Така функцията ще бъде дефинирана на множеството. Нарича се функционална композиция или комплексна функция.

В тази дефиниция, ако използваме нашата терминология, външна функция е междинен аргумент.

Производната на сложна функция се намира по следното правило:

За да стане по-ясно, искам да напиша това правило, както следва:

В този израз използването означава междинна функция.

Така. За да намерите производната на сложна функция, трябва

1. Определете коя функция е външна и намерете съответната производна от таблицата с производни.

2. Дефинирайте междинен аргумент.

При тази процедура най-голямата трудност е намирането на външната функция. За това се използва прост алгоритъм:

А. Запишете уравнението на функцията.

b. Представете си, че трябва да изчислите стойността на функция за някаква стойност на x. За да направите това, замествате тази стойност на x в уравнението на функцията и произвеждате аритметични операции. Последното действие, което правите, е външната функция.

Например във функцията

Последното действие е степенуване.

Нека намерим производната на тази функция. За да направим това, ние пишем междинен аргумент

Производна на сложна функция. Примери за решения

В този урок ще научим как да намираме производна на сложна функция. Урокът е логично продължение на урока Как да намерим производната?, на който разгледахме най-простите производни, а също така се запознахме с правилата за диференциране и някои технически методинамиране на производни. Така че, ако не сте много добри с производните на функции или някои точки в тази статия не са напълно ясни, тогава първо прочетете горния урок. Моля, задайте сериозно настроение - материалът не е прост, но все пак ще се опитам да го представя просто и ясно.

На практика трябва да се справяте с производната на сложна функция много често, дори бих казал, почти винаги, когато ви дават задачи да намирате производни.

Разглеждаме таблицата на правилото (№ 5) за разграничаване на сложна функция:

Нека да го разберем. Първо, нека обърнем внимание на влизането. Тук имаме две функции - и , като функцията, образно казано, е вложена във функцията . Функция от този тип (когато една функция е вложена в друга) се нарича сложна функция.

Ще извикам функцията външна функция, и функцията – вътрешна (или вложена) функция.

! Тези определения не са теоретични и не трябва да фигурират в окончателния дизайн на задачите. кандидатствам неформални изрази„външна функция“, „вътрешна“ функция само за да ви улесни разбирането на материала.

За да изясните ситуацията, помислете за:

Пример 1

Намерете производната на функция

Под синуса имаме не само буквата „X“, а цял израз, така че намирането на производната веднага от таблицата няма да работи. Също така забелязваме, че тук е невъзможно да се приложат първите четири правила, изглежда има разлика, но факт е, че синусът не може да бъде „разкъсан на парчета“:

IN в този примерВече интуитивно става ясно от моите обяснения, че функцията е сложна функция, а полиномът е вътрешна функция (вграждане) и външна функция.

Първа стъпкатова, което трябва да направите, когато намирате производната на сложна функция, е да разбере коя функция е вътрешна и коя е външна.

Кога прости примериИзглежда ясно, че под синуса е вграден полином. Но какво ще стане, ако всичко не е очевидно? Как точно да определим коя функция е външна и коя вътрешна? За да направите това, предлагам да използвате следната техника, която може да се направи наум или на чернова.

Нека си представим, че трябва да изчислим стойността на израза при на калкулатор (вместо единица може да има произволно число).

Какво ще изчислим първо? Преди всичкоще трябва да извършите следното действие: , следователно полиномът ще бъде вътрешна функция:

Второще трябва да се намери, така че синус – ще бъде външна функция:

След като ние ПРОДАДЕНОС вътрешните и външните функции е време да приложите правилото за разграничаване на сложни функции.

Да започнем да решаваме. От класа Как да намерим производната?ние помним, че дизайнът на решение за всяка производна винаги започва така - затваряме израза в скоби и поставяме черта горе вдясно:

Първонамерете производната на външната функция (синус), погледнете таблицата с производни елементарни функциии забелязваме, че. Всички таблични формули са приложими и ако „x“ се замени със сложен израз, в такъв случай:

Моля, имайте предвид, че вътрешната функция не се е променило, не го пипаме.

Е, това е съвсем очевидно

Крайният резултат от прилагането на формулата изглежда така:

Постоянен множителобикновено се поставя в началото на израза:

Ако има някакво недоразумение, запишете решението на хартия и прочетете отново обясненията.

Пример 2

Намерете производната на функция

Пример 3

Намерете производната на функция

Както винаги, ние записваме:

Нека разберем къде имаме външна функция и къде имаме вътрешна. За да направим това, ние се опитваме (мислено или в чернова) да изчислим стойността на израза при . Какво трябва да направите първо? Първо, трябва да изчислите на какво е равна основата: следователно полиномът е вътрешната функция:

И едва тогава се извършва степенуване, следователно, степенна функцияе външна функция:

Според формулата първо трябва да намерите производната на външната функция, в този случай степента. Търси се в таблицата необходимата формула: . Пак повтаряме: всякакви таблична формулавалиден не само за “x”, но и за сложни изрази. Така резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция е следният:

Отново подчертавам, че когато вземем производната на външната функция, нашата вътрешна функция не се променя:

Сега всичко, което остава, е да се намери много проста производна на вътрешна функцияи коригирайте малко резултата:

Пример 4

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами (отговорете в края на урока).

За да консолидирам вашето разбиране за производната на сложна функция, ще дам пример без коментари, опитайте се да го разберете сами, помислете къде е външната и къде вътрешната функция, защо задачите се решават по този начин?

Пример 5

а) Намерете производната на функцията

б) Намерете производната на функцията

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук имаме корен и за да разграничим корена, той трябва да бъде представен като степен. Така първо привеждаме функцията във формата, подходяща за диференциране:

Анализирайки функцията, стигаме до извода, че сумата от трите члена е вътрешна функция, а повдигането на степен е външна функция. Прилагаме правилото за диференциране на сложни функции:

Отново представяме степента като радикал (корен), а за производната на вътрешната функция прилагаме просто правило за диференциране на сумата:

Готов. Можете също да намалите израза до общ знаменател в скоби и да запишете всичко като една дроб. Красиво е, разбира се, но когато получите тромави дълги производни, е по-добре да не правите това (лесно е да се объркате, да направите ненужна грешка и ще бъде неудобно за учителя да проверява).

Пример 7

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами (отговорете в края на урока).

Интересно е да се отбележи, че понякога вместо правилото за диференциране на сложна функция можете да използвате правилото за диференциране на частно , но такова решение ще изглежда като смешно извращение. Ето типичен пример:

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да използвате правилото за диференциране на частното , но е много по-изгодно да се намери производната чрез правилото за диференциране на сложна функция:

Подготвяме функцията за диференциране - преместваме минуса от знака за производна и повдигаме косинуса в числителя:

Косинусът е вътрешна функция, степенуването е външна функция.
Нека използваме нашето правило:

Намираме производната на вътрешната функция и нулираме косинуса обратно надолу:

Готов. В разглеждания пример е важно да не се объркате в знаците. Между другото, опитайте се да го решите с помощта на правилото , отговорите трябва да съвпадат.

Пример 9

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами (отговорете в края на урока).

Досега разглеждахме случаи, в които имахме само едно влагане в сложна функция. В практическите задачи често можете да намерите производни, където, подобно на кукли, една в друга, 3 или дори 4-5 функции са вложени наведнъж.

Пример 10

Намерете производната на функция

Нека разберем прикачените файлове на тази функция. Нека се опитаме да изчислим израза, като използваме експерименталната стойност. Как ще разчитаме на калкулатор?

Първо трябва да намерите , което означава, че арксинусът е най-дълбокото вграждане:

След това този арксинус от едно трябва да бъде повдигнат на квадрат:

И накрая, повдигаме седем на степен:

Тоест в този пример имаме три различни функциии две вграждания, като най-вътрешната функция е арксинусът, а най-външната функция е експоненциалната функция.

Да започнем да решаваме

Според правилото първо трябва да вземете производната на външната функция. Разглеждаме таблицата с производни и намираме производната на експоненциалната функция: Единствената разлика е, че вместо “x” имаме сложен израз, което не отрича валидността на тази формула. И така, резултатът от прилагането на правилото за диференциране на сложна функция е следният:

Под щриха отново имаме сложна функция! Но вече е по-просто. Лесно е да се провери, че вътрешната функция е арксинусът, а външната функция е степента. Съгласно правилото за диференциране на сложна функция, първо трябва да вземете производната на степента.