Национален изследователски университет
Катедра Приложна геология
Реферат по висша математика
По темата: „Основни елементарни функции,
техните свойства и графики"
Завършено:
Проверено:
учител
Определение. Функцията, дадена с формулата y=a x (където a>0, a≠1) се нарича експоненциална функция с основа a.
Нека формулираме основните свойства на експоненциалната функция:
1. Областта на дефиниция е множеството (R) от всички реални числа.
2. Диапазон - множеството (R+) от всички положителни реални числа.
3. При a > 1 функцията нараства по цялата числова ос; на 0<а<1 функция убывает.
4. Е функция от общ вид.
, на интервала xО [-3;3]
, на интервала xО [-3;3] Функция от вида y(x)=x n, където n е числото ОR, се нарича степенна функция. Числото n може да приема различни стойности: както цяло, така и дробно, както четно, така и нечетно. В зависимост от това степенната функция ще има различна форма. Нека разгледаме специални случаи, които са степенни функции и отразяват основните свойства на този тип крива в следния ред: степенна функция y=x² (функция с четен показател - парабола), степенна функция y=x³ (функция с нечетен показател - кубична парабола) и функция y=√x (x на степен ½) (функция с дробна степен), функция с отрицателна цяло число (хипербола).
Силова функция y=x²
1. D(x)=R – функцията е дефинирана по цялата числова ос;
2. E(y)= и расте на интервала
Силова функция y=x³
1. Графиката на функцията y=x³ се нарича кубична парабола. Степенната функция y=x³ има следните свойства:
2. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;
3. E(y)=(-∞;∞) – функцията приема всички стойности в своята област на дефиниране;
4. Когато x=0 y=0 – функцията преминава през началото на координати O(0;0).
5. Функцията нараства в цялата област на дефиниция.
6. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото).
, на интервала xО [-3;3] В зависимост от числения фактор пред x³, функцията може да бъде стръмна/плоска и нарастваща/намаляваща.
Степенна функция с цяло отрицателно число:
Ако показателят n е нечетен, тогава графиката на такава степенна функция се нарича хипербола. Степенна функция с цяло число отрицателен показател има следните свойства:
1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) за всяко n;
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ако n е нечетно число; E(y)=(0;∞), ако n е четно число;
3. Функцията намалява по цялата област на дефиниция, ако n е нечетно число; функцията расте в интервала (-∞;0) и намалява в интервала (0;∞), ако n е четно число.
4. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото), ако n е нечетно число; функцията е четна, ако n е четно число.
5. Функцията преминава през точките (1;1) и (-1;-1), ако n е нечетно число и през точките (1;1) и (-1;1), ако n е четно число.
, на интервала xО [-3;3] Степенна функция с дробен показател
Степенна функция с дробен показател (картинка) има графика на функцията, показана на фигурата. Степенна функция с дробен показател има следните свойства: (картинка)
1. D(x) ОR, ако n е нечетно число и D(x)= 
, на интервала xО 
, на интервала xО [-3;3]
Логаритмичната функция y = log a x има следните свойства:
1. Област на дефиниция D(x)О (0; + ∞).
2. Диапазон от стойности E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Функцията не е нито четна, нито нечетна (от общ вид).
4. Функцията нараства на интервала (0; + ∞) за a > 1, намалява на (0; + ∞) за 0< а < 1.
Графиката на функцията y = log a x може да се получи от графиката на функцията y = a x с помощта на трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x. Фигура 9 показва графика на логаритмичната функция за a > 1, а фигура 10 за 0< a < 1.
; на интервала xО 
; на интервала xО Функциите y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x се наричат тригонометрични функции.
Функциите y = sin x, y = tan x, y = ctg x са нечетни, а функцията y = cos x е четна.
Функция y = sin(x).
1. Област на дефиниция D(x) ОР.
2. Диапазон от стойности E(y) О [ - 1; 1].
3. Функцията е периодична; главният период е 2π.
4. Функцията е нечетна.
5. Функцията расте на интервали [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и намалява на интервалите [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
Графиката на функцията y = sin (x) е показана на фигура 11.
Предоставя справочни данни за експоненциалната функция – основни свойства, графики и формули. Разглеждат се следните теми: област на дефиниране, набор от стойности, монотонност, обратна функция, производна, интеграл, разширение на степенни редове и представяне с комплексни числа.
Определение
Експоненциална функцияе обобщение на произведението от n числа, равно на a:
г (n) = a n = a·a·a···a,
към множеството от реални числа x:
г (x) = брадва.
Тук a е фиксирано реално число, което се нарича основа на експоненциалната функция.
Експоненциална функция с основа а също се нарича показател към основа а.
Обобщението се извършва по следния начин.
За естествено x = 1, 2, 3,...
, експоненциалната функция е произведение на х фактори:
.
Освен това има свойства (1.5-8) (), които следват от правилата за умножаване на числа. За нулеви и отрицателни стойности на цели числа експоненциалната функция се определя с помощта на формули (1.9-10). За дробни стойности x = m/n рационални числа, , се определя по формула (1.11). За real , експоненциалната функция се дефинира като границата на последователността:
,
където е произволна последователност от рационални числа, сходни към x: .
С тази дефиниция експоненциалната функция е дефинирана за всички и удовлетворява свойства (1.5-8), както за естествено x.
Строга математическа формулировка на дефиницията на експоненциална функция и доказателството на нейните свойства е дадена на страницата „Дефиниция и доказателство на свойствата на експоненциална функция“.
Свойства на експоненциалната функция
Експоненциалната функция y = a x има следните свойства в множеството от реални числа ():
(1.1)
определени и непрекъснати, за , за всички ;
(1.2)
за ≠ 1
има много значения;
(1.3)
стриктно нараства при , стриктно намалява при ,
е постоянен при ;
(1.4)
в ;
в ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Други полезни формули.
.
Формула за преобразуване в експоненциална функция с различна основа на експонента:
Когато b = e, получаваме израза на експоненциалната функция чрез експоненциала:
Частни ценности
, , , , .
Фигурата показва графики на експоненциалната функция
г (x) = брадва
за четири стойности степени основи: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
и а = 1/8
. Вижда се, че за a > 1
експоненциалната функция нараства монотонно. Колкото по-голяма е основата на степента a, толкова по-силен е растежът. При 0
< a < 1
експоненциалната функция намалява монотонно. Колкото по-малък е показателят a, толкова по-силно е намалението.
Възходящо, низходящо
Експоненциалната функция за е строго монотонна и следователно няма екстремуми. Основните му свойства са представени в таблицата.
| y = a x , a > 1 | y = брадва, 0 < a < 1 | |
| Домейн | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Диапазон от стойности | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Монотонен | монотонно нараства | монотонно намалява |
| Нули, y = 0 | Не | Не |
| Пресечни точки с ординатната ос, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Обратна функция
Обратната на експоненциална функция с основа а е логаритъмът при основа а.
Ако , тогава
.
Ако , тогава
.
Диференциране на експоненциална функция
За да се диференцира експоненциална функция, нейната основа трябва да се редуцира до числото e, да се приложи таблицата с производните и правилото за диференциране на сложна функция.
За да направите това, трябва да използвате свойството на логаритмите
и формулата от таблицата с производни:
.
Нека е дадена експоненциална функция:
.
Пренасяме го в базата e:
Нека приложим правилото за диференциране на сложни функции. За да направите това, въведете променливата
Тогава
От таблицата с производни имаме (заменете променливата x с z):
.
Тъй като е константа, производната на z по отношение на x е равна на
.
Според правилото за диференциране на сложна функция:
.
Производна на експоненциална функция
.
Производна от n-ти ред:
.
Извличане на формули >>>
Пример за диференциране на експоненциална функция
Намерете производната на функция
y= 3 5 х
Решение
Нека изразим основата на експоненциалната функция чрез числото e.
3 = e ln 3
Тогава
.
Въведете променлива
.
Тогава
От таблицата на производните намираме:
.
Тъй като 5ln 3е константа, тогава производната на z по отношение на x е равна на:
.
Според правилото за диференциране на сложна функция имаме:
.
Отговор
Интеграл
Изрази, използващи комплексни числа
Разгледайте функцията за комплексно число z:
f (z) = a z
където z = x + iy; аз 2 = - 1
.
Нека изразим комплексната константа a чрез модул r и аргумент φ:
a = r e i φ
Тогава
.
Аргументът φ не е еднозначно дефиниран. Общо взето
φ = φ 0 + 2 πn,
където n е цяло число. Следователно функцията f (z)също не е ясно. Често се разглежда основното му значение
.
Разширяване на серията
.
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Степенна функция, нейните свойства и графика Демонстрационен материал Урок-лекция Понятие за функция. Функционални свойства. Степенна функция, нейните свойства и графика. 10 клас Всички права запазени. Авторско право с Авторско право със
Ход на урока: Повторение. функция. Свойства на функциите. Учене на нов материал. 1. Дефиниция на степенна функция. Дефиниция на степенна функция. 2. Свойства и графики на степенни функции. Затвърдяване на изучения материал. Устно броене. Устно броене. Обобщение на урока. Задаване на домашна работа.
Област на дефиниция и област на стойности на функция Всички стойности на независимата променлива формират областта на дефиниция на функцията x y=f(x) f Област на дефиниция на функцията Област на стойности на функцията Всички стойности, които зависимата променлива приема от домейна на стойностите на функцията Функция. Функционални свойства
Графика на функция Нека е дадена функция, където xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Графиката на функция е множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абциси са равни на стойностите на аргумента, и ординатите са равни на съответните стойности на функцията. функция. Функционални свойства
Y x Област на дефиниция и диапазон от стойности на функцията 4 y=f(x) Област на дефиниция на функцията: Област на стойности на функцията: Функция. Функционални свойства
Четна функция y x y=f(x) Графиката на четна функция е симетрична по отношение на оста на операционния усилвател Функцията y=f(x) се извиква дори, ако f(-x) = f(x) за всяко x от областта на дефиниране на функцията Функция. Функционални свойства
Нечетна функция y x y=f(x) Графиката на нечетна функция е симетрична по отношение на началото O(0;0) Функцията y=f(x) се нарича нечетна, ако f(-x) = -f(x) за всяко x от дефинициите на регионалната функция Функция. Функционални свойства
Дефиниция на степенна функция Функция, където p е дадено реално число, се нарича степенна функция. p y=x p P=x y 0 Напредък на урока
Степенна функция x y 1. Домейнът на дефиниция и обхватът на стойностите на степенните функции от формата, където n е естествено число, са всички реални числа. 2. Тези функции са странни. Тяхната графика е симетрична спрямо началото. Свойства и графики на степенни функции
Степенни функции с рационален положителен показател са всички положителни числа и числото 0. Областта на стойностите на функциите с такъв показател е също всички положителни числа и числото 0. Тези функции не са нито четни, нито нечетни. . y x Свойства и графики на степенни функции
Степенна функция с рационален отрицателен показател. Домейнът на дефиниция и обхватът на стойностите на такива функции са всички положителни числа. Функциите не са нито четни, нито нечетни. Такива функции намаляват в цялата им област на дефиниране. y x Свойства и графики на степенни функции Ход на урока
