Нека не подчертаваме, всичко в този параграф също е доста просто. Можете да запишете общата формула за параметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. В параметрична форма функцията се дава от две уравнения: . Често уравненията се записват не във къдрави скоби, а последователно: , .

Променливата се нарича параметър и може да приема стойности от „минус безкрайност“ до „плюс безкрайност“. Помислете например за стойността и я заменете в двете уравнения: . Или казано по човешки: „ако x е равно на четири, тогава y е равно на едно“. Можете да маркирате точка в координатната равнина и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра „te“. Що се отнася до „обикновена“ функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция, всички права също се спазват: можете да построите графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако трябва да начертаете графика на параметрично определена функция, изтеглете моята геометрична програма на страницата Математически формули и таблици.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи явно. Нека изразим параметъра от първото уравнение: – и го заместете във второто уравнение: . Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-тежки случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото има формула за намиране на производната на параметрична функция:

Намираме производната на „играта по отношение на променливата te“:

Всички правила за диференциране и таблицата на производните са валидни, естествено, за буквата, така че, няма новост в процеса на намиране на производни. Просто заменете мислено всички „X“ в таблицата с буквата „Te“.

Намираме производната на "x по отношение на променливата te":

Сега всичко, което остава, е да заменим намерените производни в нашата формула:

Готов. Производната, подобно на самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до нотацията, вместо да се записва във формулата, може просто да се напише без долен индекс, тъй като това е „обикновена“ производна „по отношение на X“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В такъв случай:

По този начин:

Особеност на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно резултатът да се опрости колкото е възможно повече. И така, в разглеждания пример, когато го намерих, отворих скобите под корена (въпреки че може и да не съм направил това). Има голям шанс при заместване във формулата много неща да се редуцират добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на функция, зададена параметрично

Това е пример, който можете да решите сами.

В статията Най-прости типови задачи с производни разгледахме примери, в които трябваше да намерим втората производна на функция. За параметрично дефинирана функция можете също да намерите втората производна и тя се намира по следната формула: . Съвсем очевидно е, че за да намерите втората производна, първо трябва да намерите първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, дадена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В такъв случай:

Замества намерените производни във формулата. За опростяване използваме тригонометричната формула:

Забелязах, че в задачата за намиране на производната на параметрична функция доста често с цел опростяване е необходимо да се използва тригонометрични формули . Запомнете ги или ги дръжте под ръка и не пропускайте възможността да опростите всеки междинен резултат и отговор. За какво? Сега трябва да вземем производната на и това очевидно е по-добре от намирането на производната на .

Нека намерим втората производна.
Използваме формулата: .

Нека да разгледаме нашата формула. Знаменателят вече е намерен в предишната стъпка. Остава да намерим числителя - производната на първата производна по отношение на променливата "te":

Остава да използваме формулата:

За затвърждаване на материала предлагам още няколко примера, които да решите сами.

Пример 9

Пример 10

Намерете и за функция, зададена параметрично

Пожелавам ти успех!

Надявам се, че този урок беше полезен и вече можете лесно да намирате производни на функции, зададени имплицитно и от параметрични функции

Решения и отговори:

Пример 3: Решение:






По този начин:

Досега разглеждахме уравнения на прави в равнина, които директно свързват текущите координати на точките от тези прави. Въпреки това, често се използва друг метод за дефиниране на линия, при който текущите координати се разглеждат като функции на трета променлива.

Нека са дадени две функции на променлива

разглеждани за същите стойности на t. Тогава всяка от тези стойности на t съответства на определена стойност и определена стойност на y и следователно на определена точка. Когато променливата t преминава през всички стойности от областта на дефиниране на функциите (73), точката описва определена линия C в равнината, уравненията (73) се наричат ​​параметрични уравнения на тази линия, а променливата се извиква параметър.

Нека приемем, че функцията има обратна функция. Замествайки тази функция във второто от уравненията (73), получаваме уравнението

изразяване на y като функция

Нека се съгласим да кажем, че тази функция е дадена параметрично чрез уравнения (73). Преходът от тези уравнения към уравнение (74) се нарича елиминиране на параметър. Когато разглеждаме функции, дефинирани параметрично, изключването на параметъра не само не е необходимо, но и не винаги е практически възможно.

В много случаи е много по-удобно, като се имат предвид различни стойности на параметъра, след това да се изчислят, като се използват формули (73), съответните стойности на аргумента и функцията y.

Нека да разгледаме примерите.

Пример 1. Нека е произволна точка върху окръжност с център в началото и радиус R. Декартовите координати x и y на тази точка се изразяват чрез нейния полярен радиус и полярен ъгъл, които тук означаваме с t, както следва ( виж глава I, § 3, параграф 3):

Уравнения (75) се наричат ​​параметрични уравнения на окръжност. Параметърът в тях е полярният ъгъл, който варира от 0 до .

Ако уравненията (75) се повдигнат на квадрат член по член и се добавят, тогава по силата на тъждеството параметърът се елиминира и се получава уравнението на окръжност в декартовата координатна система, което дефинира две елементарни функции:

Всяка от тези функции е зададена параметрично чрез уравнения (75), но диапазоните на параметрите за тези функции са различни. За първия от тях; Графиката на тази функция е горният полукръг. За втората функция нейната графика е долният полукръг.

Пример 2. Разгледайте едновременно елипса

и окръжност с център в началото и радиус a (фиг. 138).

Към всяка точка M от елипсата свързваме точка N от окръжността, която има същата абциса като точката M и се намира с нея от същата страна на оста Ox. Позицията на точка N, а следователно и точка M, се определя изцяло от полярния ъгъл t на точката. В този случай за тяхната обща абциса получаваме следния израз: x = a. Намираме ординатата в точка M от уравнението на елипсата:

Знакът е избран, защото ординатата на точка M и ординатата на точка N трябва да имат еднакви знаци.

Така се получават следните параметрични уравнения за елипсата:

Тук параметърът t варира от 0 до .

Пример 3. Да разгледаме окръжност с център в точка а) и радиус а, която очевидно докосва оста х в началото (фиг. 139). Да приемем, че тази окръжност се търкаля без приплъзване по оста x. Тогава точката M от окръжността, която в началния момент съвпада с началото на координатите, описва права, наречена циклоида.

Нека изведем параметричните уравнения на циклоидата, като вземем за параметър t ъгъла MSV на завъртане на окръжността при преместване на нейната фиксирана точка от позиция O в позиция M. Тогава за координатите и y на точка M получаваме следните изрази:

Поради факта, че кръгът се търкаля по оста без приплъзване, дължината на сегмента OB е равна на дължината на дъгата BM. Тъй като дължината на дъгата BM е равна на произведението на радиуса a и централния ъгъл t, тогава . Ето защо . Но следователно,

Тези уравнения са параметричните уравнения на циклоидата. Когато параметърът t се промени от 0 до кръгът ще направи един пълен оборот. Точка М ще описва една дъга от циклоидата.

Изключването на параметъра t тук води до тромави изрази и е практически непрактично.

Параметричната дефиниция на линиите се използва особено често в механиката, а ролята на параметъра се играе от времето.

Пример 4. Да определим траекторията на снаряд, изстрелян от оръдие с начална скорост под ъгъл a спрямо хоризонталата. Пренебрегваме съпротивлението на въздуха и размерите на снаряда, считайки го за материална точка.

Да изберем координатна система. Нека приемем точката на излитане на снаряда от дулото за начало на координатите. Нека насочим оста Ox хоризонтално, а оста Oy вертикално, като ги поставим в една равнина с дулото на пистолета. Ако нямаше сила на гравитация, тогава снарядът щеше да се движи по права линия, сключвайки ъгъл a с оста Ox, и за времето t той щеше да измине разстоянието на снаряда в момент t съответно щяха да бъдат равни да се: . Поради гравитацията снарядът трябва да се спусне вертикално с известно количество. Следователно в действителност в момента t координатите на снаряда се определят по формулите:

Тези уравнения съдържат постоянни величини. Когато t се промени, координатите в точката на траекторията на снаряда също ще се променят. Уравненията са параметрични уравнения на траекторията на снаряда, в които параметърът е времето

Изразяване от първото уравнение и заместването му в

второто уравнение, получаваме уравнението на траекторията на снаряда във формата Това е уравнението на парабола.

Производна на функция, указана имплицитно.
Производна на параметрично дефинирана функция

В тази статия ще разгледаме още две типични задачи, които често се срещат в контролните по висша математика. За да усвоите успешно материала, трябва да можете да намирате производни поне на средно ниво. Можете да се научите да намирате производни практически от нулата в два основни урока и Производна на сложна функция. Ако уменията ви за разграничаване са наред, тогава да тръгваме.

Производна на функция, указана имплицитно

Или накратко, производната на неявна функция. Какво е неявна функция? Нека първо си спомним самата дефиниция на функция на една променлива:

Функция на една променливае правило, според което всяка стойност на независимата променлива съответства на една и само една стойност на функцията.

Променливата се извиква независима променливаили аргумент.
Променливата се извиква зависима променливаили функция .

Досега разгледахме функциите, дефинирани в изричноформа. Какво означава? Нека проведем дебрифинг, като използваме конкретни примери.

Помислете за функцията

Виждаме, че отляво имаме самотен „играч“, а отдясно - само "Х". Тоест функцията изричноизразено чрез независимата променлива.

Нека да разгледаме друга функция:

Това е мястото, където променливите се смесват. освен това невъзможно по никакъв начинизразете "Y" само чрез "X". Какви са тези методи? Прехвърляне на членове от част в част със смяна на знака, преместване извън скоби, хвърляне на множители според правилото за пропорцията и т.н. Препишете равенството и се опитайте да изразите изрично „y“: . Можете да въртите уравнението с часове, но няма да успеете.

Нека ви представя: – пример неявна функция.

В хода на математическия анализ беше доказано, че неявната функция съществува(обаче не винаги), има графика (точно като „нормална“ функция). Неявната функция е абсолютно същата съществувапърва производна, втора производна и т.н. Както се казва, всички права на сексуалните малцинства се спазват.

И в този урок ще научим как да намираме производната на функция, зададена имплицитно. Не е толкова трудно! Всички правила за диференциране и таблицата с производни на елементарни функции остават в сила. Разликата е в един особен момент, който ще разгледаме в момента.

Да, и ще ви кажа добрата новина - задачите, разгледани по-долу, се изпълняват по доста строг и ясен алгоритъм без камък пред три песни.

Пример 1

1) На първия етап прикрепяме щрихи към двете части:

2) Използваме правилата за линейност на производната (първите две правила от урока Как да намерим производната? Примери за решения):

3) Директна диференциация.
Как да ги разграничим е напълно ясно. Какво да правим там, където има „игри“ под ударите?

- до степен на позор, производната на функция е равна на нейната производна: .

Как да разграничим
Тук имаме сложна функция. Защо? Изглежда, че под синуса има само една буква "Y". Но факт е, че има само една буква "y" - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(вижте определението в началото на урока). По този начин синусът е външна функция и е вътрешна функция. Използваме правилото за диференциране на сложна функция :

Ние диференцираме продукта според обичайното правило :

Моля, имайте предвид, че – също е сложна функция, всяка „игра със звънци и свирки“ е сложна функция:

Самото решение трябва да изглежда така:


Ако има скоби, разгънете ги:

4) От лявата страна събираме членовете, които съдържат „Y“ с просто число. Преместете всичко останало от дясната страна:

5) От лявата страна изваждаме производната извън скоби:

6) И според правилото за пропорцията, пускаме тези скоби в знаменателя на дясната страна:

Производното е намерено. Готов.

Интересно е да се отбележи, че всяка функция може да бъде пренаписана имплицитно. Например функцията може да се пренапише така: . И го разграничете с помощта на току-що обсъдения алгоритъм. Всъщност изразите „имплицитна функция“ и „имплицитна функция“ се различават по един семантичен нюанс. Фразата „имплицитно определена функция“ е по-обща и правилна, – тази функция е посочена имплицитно, но тук можете да изразите „играта“ и да представите функцията изрично. Фразата „имплицитна функция“ се отнася до „класическата“ имплицитна функция, когато „y“ не може да бъде изразено.

Второ решение

внимание!Можете да се запознаете с втория метод само ако знаете как да намерите уверено частични производни. Моля, начинаещи и манекени по смятане не четете и прескочете тази точка, иначе в главата ти ще е пълна бъркотия.

Нека намерим производната на неявната функция, използвайки втория метод.

Преместваме всички термини в лявата страна:

И разгледайте функция от две променливи:

Тогава нашата производна може да се намери с помощта на формулата
Нека намерим частните производни:

По този начин:

Второто решение ви позволява да извършите проверка. Но не е препоръчително да пишат окончателния вариант на заданието, тъй като частичните производни се усвояват по-късно и ученик, изучаващ темата „Производна на функция на една променлива“, все още не трябва да знае частични производни.

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 2

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Добавете щрихи към двете части:

Използваме правила за линейност:

Намиране на производни:

Отваряне на всички скоби:

Преместваме всички термини с в лявата страна, останалите в дясната страна:

Окончателен отговор:

Пример 3

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Пълно решение и примерен дизайн в края на урока.

Не е необичайно след диференциране да се появят дроби. В такива случаи трябва да се отървете от дроби. Нека разгледаме още два примера.

Пример 4

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Ограждаме двете части под щрихи и използваме правилото за линейност:

Диференцирайте с помощта на правилото за диференциране на сложна функция и правилото за диференциране на частните :

Разширяване на скобите:

Сега трябва да се отървем от дробта. Това може да стане по-късно, но е по-рационално да го направите веднага. Знаменателят на дробта съдържа . Умножете На . В детайли ще изглежда така:

Понякога след диференциране се появяват 2-3 фракции. Ако имаме друга дроб, например, тогава операцията ще трябва да се повтори - умножение всеки член на всяка частНа

От лявата страна го поставяме извън скоби:

Окончателен отговор:

Пример 5

Намерете производната на функция, дадена имплицитно

Това е пример, който можете да решите сами. Единственото нещо е, че преди да се отървете от фракцията, първо ще трябва да се отървете от триетажната структура на самата фракция. Пълно решение и отговор в края на урока.

Производна на параметрично дефинирана функция

Нека не подчертаваме, всичко в този параграф също е доста просто. Можете да запишете общата формула за параметрично дефинирана функция, но за да стане ясно, веднага ще запиша конкретен пример. В параметрична форма функцията се дава от две уравнения: . Често уравненията се записват не във къдрави скоби, а последователно: , .

Променливата се нарича параметъри може да приема стойности от „минус безкрайност“ до „плюс безкрайност“. Помислете например за стойността и я заменете в двете уравнения: . Или казано по човешки: „ако x е равно на четири, тогава y е равно на едно“. Можете да маркирате точка в координатната равнина и тази точка ще съответства на стойността на параметъра. По същия начин можете да намерите точка за всяка стойност на параметъра „te“. Що се отнася до „обикновена“ функция, за американските индианци на параметрично дефинирана функция, всички права също се спазват: можете да построите графика, да намерите производни и т.н. Между другото, ако трябва да начертаете графика на параметрично дефинирана функция, можете да използвате моята програма.

В най-простите случаи е възможно функцията да се представи явно. Нека изразим параметъра от първото уравнение: – и го заместете във второто уравнение: . Резултатът е обикновена кубична функция.

В по-тежки случаи този трик не работи. Но това няма значение, защото има формула за намиране на производната на параметрична функция:

Намираме производната на „играта по отношение на променливата te“:

Всички правила за диференциране и таблицата на производните са валидни, естествено, за буквата, така че, няма новост в процеса на намиране на производни. Просто заменете мислено всички „X“ в таблицата с буквата „Te“.

Намираме производната на "x по отношение на променливата te":

Сега всичко, което остава, е да заменим намерените производни в нашата формула:

Готов. Производната, подобно на самата функция, също зависи от параметъра.

Що се отнася до нотацията, вместо да се записва във формулата, може просто да се напише без долен индекс, тъй като това е „обикновена“ производна „по отношение на X“. Но в литературата винаги има вариант, така че няма да се отклонявам от стандарта.

Пример 6

Използваме формулата

В такъв случай:

По този начин:

Особеност на намирането на производната на параметрична функция е фактът, че на всяка стъпка е полезно резултатът да се опрости колкото е възможно повече. И така, в разглеждания пример, когато го намерих, отворих скобите под корена (въпреки че може и да не съм направил това). Има голям шанс при заместване във формулата много неща да се редуцират добре. Въпреки че, разбира се, има примери с тромави отговори.

Пример 7

Намерете производната на функция, зададена параметрично

Това е пример, който можете да решите сами.

В статията Най-прости типови задачи с производниразгледахме примери, в които трябваше да намерим втората производна на функция. За параметрично дефинирана функция можете също да намерите втората производна и тя се намира по следната формула: . Съвсем очевидно е, че за да намерите втората производна, първо трябва да намерите първата производна.

Пример 8

Намерете първата и втората производни на функция, дадена параметрично

Първо, нека намерим първата производна.
Използваме формулата

В такъв случай:

Заместваме намерените производни във формулата. За опростяване използваме тригонометричната формула:

Нека функцията е определена по параметричен начин:
(1)
където е някаква променлива, наречена параметър. И нека функциите имат производни при определена стойност на променливата. Освен това функцията има и обратна функция в определена околност на точката. Тогава функция (1) има производна в точката, която в параметрична форма се определя от формулите:
(2)

Тук и са производните на функциите и по отношение на променливата (параметър). Те често се пишат по следния начин:
;
.

Тогава система (2) може да бъде записана по следния начин:

Доказателство

По условие функцията има обратна функция. Нека го обозначим като
.
Тогава оригиналната функция може да бъде представена като сложна функция:
.
Нека намерим неговата производна, като използваме правилата за диференциране на сложни и обратни функции:
.

Правилото е доказано.

Доказателство по втория начин

Нека намерим производната по втория начин, въз основа на дефиницията на производната на функцията в точката:
.
Нека въведем обозначението:
.
Тогава предишната формула приема формата:
.

Нека се възползваме от факта, че функцията има обратна функция в околността на точката.
Нека въведем следната нотация:
; ;
; .
Разделете числителя и знаменателя на дробта на:
.
В , .
.

Правилото е доказано.

Тогава

Производни от по-висок порядък
(1)

За да се намерят производни от по-високи разряди, е необходимо да се извърши диференциране няколко пъти. Да кажем, че трябва да намерим производната от втори ред на функция, дефинирана параметрично, със следната форма:
(2)

Използвайки формула (2), намираме първата производна, която също се определя параметрично:
.
Нека означим първата производна с променливата:
(3)
След това, за да намерите втората производна на функция по отношение на променливата, трябва да намерите първата производна на функцията по отношение на променливата. Зависимостта на променлива от променлива също се определя по параметричен начин:

Сравнявайки (3) с формули (1) и (2), намираме:
.
Сега нека изразим резултата чрез функциите и . За да направите това, нека заместим и приложим формулата за производна дроб:
.

Тогава

От тук получаваме втората производна на функцията по отношение на променливата:
.

Дава се и в параметрична форма. Обърнете внимание, че първият ред може да бъде написан и по следния начин:

Продължавайки процеса, можете да получите производни на функции от променлива от трети и по-висок ред.
;
.

Обърнете внимание, че не е необходимо да въвеждаме нотация за производната. Можете да го напишете така:

Пример 1

Намерете производната на функция, дефинирана параметрично:

Решение
Намираме производни по отношение на .
;
.
От таблицата на производните намираме:

.
Прилагаме:

.
Прилагаме:

Тук .
.

Необходимата производна:

Отговор

Пример 2

Намерете производната на функция, дефинирана параметрично:

Намерете производната на функцията, изразена чрез параметъра:
.

Нека разширим скобите, като използваме формули за степенни функции и корени:

.

Намиране на производната:

.

Намиране на производната. За да направим това, въвеждаме променлива и прилагаме формулата за производна на сложна функция.
.

Необходимата производна:

Намираме търсената производна:

Пример 3

Намерете производната на функция, дефинирана параметрично:

Намерете производните от втори и трети ред на функцията, дефинирана параметрично в пример 1:

В пример 1 открихме производната от първи ред:

Нека представим обозначението. Тогава функцията е производна по отношение на . Задава се параметрично:

Нека разграничим по.
.
Намерихме производната на в пример 1:
.
Производната от втори ред по отношение на е равна на производната от първи ред по отношение на:
.

И така, намерихме производната от втори ред по отношение на параметричната форма:

Сега намираме производната от трети ред. Нека представим обозначението. След това трябва да намерим производната от първи ред на функцията, която е зададена по параметричен начин:

Намерете производната по отношение на . За да направим това, ние го пренаписваме в еквивалентна форма:
.
от
.

Производната от трети ред по отношение на е равна на производната от първи ред по отношение на:
.

Коментирайте

Не е необходимо да въвеждате променливите и , които са производни съответно на и . След това можете да го напишете така:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Необходимата производна:

При параметрично представяне производната от втори ред има следната форма:

Производна от трети ред.

Логаритмично диференциране

Производни на елементарни функции

Основни правила за диференциране

Функционален диференциал

Главна линейна част от нарастването на функцията Ад хпри определяне на диференцируемостта на функция

д f=f(х)-f(х 0)=А(х - х 0)+o(х – х 0), x®x 0

наречен диференциал на функцията f(х) в точката х 0 и е означено

df(х 0)=f¢(х 0)D х=Ад х.

Разликата зависи от точката х 0 и от нарастване D х.На Д хв същото време те го разглеждат като независима променлива, така че във всяка точка диференциалът е линейна функция на нарастването D х.

Ако разглеждаме като функция f(х)=x, тогава получаваме dx=д x,dy=Adx. Това е в съответствие с нотацията на Лайбниц

Геометрична интерпретация на диференциала като нарастване на ординатата на допирателната.

Ориз. 4.3

1) f=конст , f¢= 0,df= 0D x= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Последица. (вж(х))¢=cf¢(х), (° С 1 f 1 (х)+...+c n f n(х))¢=c 1 f¢ 1 (х)+...+ c n f¢ n(х)

4) f=u/v, v(х 0)¹0 и производната съществува, тогава f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .

За краткост ще обозначим u=u(х), u 0 =u(х 0), тогава

Преминаване до границата при D x® 0 получаваме търсеното равенство.

5) Производна на сложна функция.

Теорема. Ако има f¢(х 0), g¢(х 0)и х 0 =g(T 0), после в някаква махала т 0 дефинирана е комплексна функция f(ж(T)), той е диференцируем в точка t 0 И

Доказателство.

f(х)-f(х 0)=f¢(х 0)(х-х 0)+ а( х)(х-х 0), хÎ U(х 0).

f(ж(T))-f(ж(T 0))= f¢(х 0)(ж(T)- ж(T 0))+ а( ж(T))(ж(T)- ж(T 0)).

Нека разделим двете страни на това равенство на ( т - т 0) и да отидем до границата при t®t 0 .

6) Изчисляване на производната на обратната функция.

Теорема. Нека f е непрекъснато и строго монотонно върху[а,б]. Нека в точка x 0 Î( а,б)има f¢(х 0)¹ 0 , тогава обратната функция x=f -1 (г)има в точка y 0 производна равна на

Доказателство. Ние броим fстрого монотонно нарастващ, тогава f -1 (г) е непрекъснат, нараства монотонно с [ f(а),f(b)]. Да сложим г 0 =f(х 0), y=f(х), х - х 0 = D х,

y - y 0 = D г. Поради непрекъснатостта на обратната функция D г®0 Þ D х®0, имаме

Преминавайки към границата, получаваме търсеното равенство.

7) Производната на четна функция е нечетна, производната на нечетна функция е четна.

Наистина, ако x® - x 0 , Че - x® x 0 , Ето защо

За четна функция за нечетна функция

1) f= const, f¢(х)=0.

2) f(х)=x,f¢(х)=1.

3) f(х)=e x, f¢(х)= e x ,

4) f(х)=a x ,(a x)¢ = брадвавътре а.

5) вътре а.

6) f(х)=ln х,

Последица. (производната на четна функция е нечетна)

7) (хм )¢= м х m -1 , х>0, хм =дм вътре х .

8) (грях х)¢= cos х,

9) (cos х)¢=- грях х,(тъй като х)¢= (грях( x+ p/2)) ¢= защото ( x+ p/2)=-грех х.

10) (tg х)¢= 1/cos 2 х.

11) (ctg х)¢= -1/грех 2 х.

16)ш х,гл х.

f(x),, от което следва, че f¢(х)=f(х)(вн f(х))¢ .

Същата формула може да се получи по различен начин f(х)=двътре f(х) , f¢=eвътре f(х) (вн f(х))¢.

Пример. Изчисляване на производната на функция f=x x.

=x x = x x = x x = x x(вн x+ 1).

Геометрично място на точките в равнината

ще го наречем графика на функция, дадени параметрично. Те също така говорят за параметрична спецификация на функция.

Бележка 1.Ако x, yнепрекъснато за [а,б] И х(T) строго монотонно на сегмента (например, строго монотонно нараства), след това на [ а,б], a=x(а) , b=xб) дефинирана функция f(х)=г(T(х)), където t(х) – функция, обратна на x(t). Графиката на тази функция съвпада с графиката на функцията

Ако домейнът на дефиницията параметрично зададена функция може да бъде разделена на краен брой сегменти ,k= 1,2,...,н,на всеки от които има функция х(T) е строго монотонна, тогава параметрично дефинираната функция се разлага на краен брой обикновени функции fk(х)=г(T -1 (х)) с домейни [ х(а к), х(б к)] за увеличаване на секциите х(T) и с домейни [ х(б к), х(а к)] за зони с намалена функция х(T). Получените по този начин функции се наричат ​​еднозначни разклонения на параметрично определена функция.

Фигурата показва графика на параметрично дефинирана функция

С избраната параметризация, дефиниционната област е разделена на пет секции на строга монотонност на функцията sin(2 T), точно: TÎ TÎ ,TÎ ,TÎ , и, съответно, графиката ще се раздели на пет недвусмислени клона, съответстващи на тези секции.

Ориз. 4.4

Ориз. 4.5

Можете да изберете различна параметризация на едно и също геометрично местоположение на точки

В този случай ще има само четири такива клона. Те ще съответстват на области на строга монотонност TÎ ,TÎ ,TÎ ,TÎ функции грях (2 T).

Ориз. 4.6

Четири секции на монотонност на функцията sin(2 T) на дълъг сегмент.

Ориз. 4.7

Изобразяването на двете графики на една фигура ви позволява приблизително да изобразите графиката на параметрично определена функция, като използвате зоните на монотонност на двете функции.

Като пример, разгледайте първия клон, съответстващ на сегмента TÎ . В края на този раздел функцията x=грях (2 T) приема стойности -1 и 1 , така че този клон ще бъде дефиниран на [-1,1] . След това трябва да разгледате областите на монотонност на втората функция y=защото ( T), тя има две части на монотонността . Това ни позволява да кажем, че първият клон има две секции на монотонност. След като намерите крайните точки на графиката, можете да ги свържете с прави линии, за да посочите естеството на монотонността на графиката. След като направим това с всеки клон, получаваме области на монотонност на недвусмислени клонове на графиката (те са маркирани в червено на фигурата)

Ориз. 4.8

Първи клон с една стойност f 1 (х)=г(T(х)) , съответстващ на сайта ще бъде определено за хО[-1,1] . Първи клон с една стойност TÎ , хО[-1,1].

Всички останали три клона също ще имат домейн на дефиниция [-1,1] .

Ориз. 4.9

Втори клон TÎ хО[-1,1].

Ориз. 4.10

Трети клон TÎ хО[-1,1]

Ориз. 4.11

Четвърти клон TÎ хО[-1,1]

Ориз. 4.12

Коментирайте 2. Една и съща функция може да има различни параметрични настройки. Разликите могат да засягат както самите функции х(T), г(T) , и областта на дефиницията тези функции.

Пример за различни параметрични присвоявания за една и съща функция

И TО[-1, 1] .

Бележка 3.Ако x,y са непрекъснати на , х(T)-строго монотонно на сегмента и има производни y¢(T 0),x¢(T 0)¹0, тогава има f¢(х 0)= .

Наистина ли, .

Последното твърдение се отнася и за еднозначни разклонения на параметрично дефинирана функция.

4.2 Производни и диференциали от по-високи разряди

Висши производни и диференциали. Диференциране на параметрично зададени функции. Формулата на Лайбниц.