Начален курс по математически анализ. Математически анализ - Основен курс с примери и задачи - Гурова З.И.

М.: Издателство на Московския държавен университет. Част 1: 2-ро изд., преработено, 1985. - 662 с.; Част 2- 1987. - 358 с.

Част 1. - Начален курс.

Учебникът представлява първата част от курса по математически анализ за висшите учебни заведения на СССР, България и Унгария, написан в съответствие със споразумение за сътрудничество между Московския, Софийския и Будапещенския университети. Книгата включва теорията на реалните числа, теорията на границите, теорията за непрекъснатостта на функциите, диференциалното и интегралното смятане на функциите на една променлива и техните приложения, диференциалното смятане на функциите на няколко променливи и теорията на неявните функции.

Част 2. - Продължение на курса.

Учебникът представлява втора част (част 1 - 1985 г.) на курс по математически анализ, написан по единна програма, приета в СССР и НРБ. Книгата обхваща теорията на числените и функционалните редове, теорията на множеството, криволинейните и повърхностните интеграли, теорията на полето (включително диференциалните форми), теорията на зависещите от параметрите интеграли и теорията на редовете и интегралите на Фурие. Особеността на книгата е три ясно разделени нива на представяне: леко, основно и напреднало, което позволява да се използва както от студенти от технически университети със задълбочено изучаване на математически анализ, така и от студенти от механични и математически факултети на университети. .

Част 1. - Начален курс.

формат: pdf

размер: 10,5 MB

Гледайте, изтеглете:drive.google

формат: djvu/zip

размер: 5,5 MB

/Свали файл

Част 2. - Продължение на курса.

формат: pdf

размер: 14,8 MB

Гледайте, изтеглете:drive.google

формат: djvu/zip

размер: 3,1 MB

/Свали файл

Част 1. - Начален курс.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор от заглавния редактор.... 5
Предговор към второто издание 6
Предговор към първото издание 6
Глава 1. ОСНОВНИ КОНЦЕПЦИИ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ 10
Глава 2. РЕАЛНИ ЧИСЛА 29
§ 1. Множеството от числа, представими като безкрайни десетични дроби и неговото подреждане 29
1. Свойства на рационалните числа (29). 2. Недостатъчност на рационални числа за измерване на сегменти от числовата права (31). 3. Подреждане на набор от безкрайни десетични знаци
дроби (34)
§ 2. Ограничени отгоре (или отдолу) множества от числа, представими с безкрайни десетични дроби.... 40 1. Основни понятия (40). 2. Наличие на точни ръбове (41).
§ 3. Приближаване на числа, представими с безкрайни десетични дроби и рационални числа 44
§ 4. Операции събиране и умножение. Описание на множеството от реални числа 46
1. Дефиниция на операции събиране и умножение. Описание на понятието реални числа (46). 2. Съществуване и единственост на сбора и произведението на реални числа (47).
§ 5. Свойства на реалните числа 50
1. Свойства на реалните числа (50). 2. Някои често използвани отношения (52). 3. Някои конкретни набори от реални числа (52).
§ 6. Допълнителни въпроси по теория на реалните числа. .54 1. Пълнота на множеството от реални числа (54). 2. Аксиоматично въвеждане на множеството от реални числа (57).
§ 7. Елементи на теорията на множествата. 59
1. Концепцията за множество (59). 2. Операции върху множества (60). 3. Изброими и неизброими множества. Неизброим сегмент. Мощност на множеството (61). 4. Свойства на операциите върху множества. Набори за картографиране (65).
Глава 3. ТЕОРИЯ ЗА ГРАНИЦИТЕ. 68
§ 1. Последователност и нейната граница 68.
1. Понятието последователност. Аритметични операции върху редица (68). 2. Ограничени, неограничени, безкрайно малки и безкрайно големи последователности (69). 3. Основни свойства на безкрайно малките последователности (73). 4. Сходящи последователности и техните свойства (75).
§ 2. Монотонни редици 83
1. Концепцията за монотонна последователност (83). 2. Теорема за сходимостта на монотонна ограничена редица (84). 3. Число e (86). 4. Примери за конвергентни монотонни последователности (88).
§ 3. Произволни последователности 92
1. Гранични точки, горна и долна граница на последователността (92). 2. Разширяване на понятията за гранична точка и горна и долна граница (99). 3. Критерий на Коши за сходимост на последователност (102).
§ 4. Предел (или гранична стойност) на функция 105
1. Понятия за променливо количество и функция (105). 2. Предел на функция по Хайне и по Коши (109). 3. Критерий на Коши за съществуване на лимит на функция (115). 4. Аритметични операции върху функции, които имат граница (118). 5. Безкрайно малки и безкрайно големи функции (119).
§ 5. Обща дефиниция на границата на функция спрямо основата.... 122
Глава 4. ПРОДЪЛЖАЕМОСТ НА ФУНКЦИЯТА 127
§ 1. Понятието за непрекъснатост на функция 127
1. Определение за непрекъснатост на функция (127). 2. Аритметични операции върху непрекъснати функции (131). 3. Комплексна функция и нейната непрекъснатост (132).
§ 2. Свойства на монотонни функции 132
1. Монотонни функции (132). 2. Концепцията за обратна функция (133).
§ 3. Най-простите елементарни функции 138
1. Експоненциална функция (138). 2. Логаритмична функция (145). 3. Степенна функция (146). 4. Тригонометрични функции (147). 5. Обратни тригонометрични функции (154). 6. Хиперболични функции (156).
§ 4. Две забележителни граници 158
1. Първата забележителна граница (158). 2. Втора забележителна граница (159).
§ 5. Точки на прекъсване на функцията и тяхната класификация. . . . 162 1. Класификация на точките на прекъсване на функцията (162). 2. Върху точките на прекъсване на монотонната функция (166).
§ 6. Локални и глобални свойства на непрекъснати функции. 167 1. Локални свойства на непрекъснати функции (167). 2. Глобални свойства на непрекъснати функции (170). 3. Концепцията за равномерна непрекъснатост на функция (176). 4. Понятието модул на непрекъснатост на функция (181).
§ 7. Понятието за компактност на множество 184
1. Отворени и затворени множества (184). 2. За покрития на множество от система от отворени множества (184). 3. Концепцията за компактност на множество (186).
Глава 5. ДИФЕРЕНЦИАЛНО ИЗЧИСЛЯВАНЕ 189
§ 1. Понятието за производна 189
1. Увеличаване на функцията. Разностна форма на условието за непрекъснатост (189). 2. Дефиниция на производна (190). 3. Геометричен смисъл на производната (192).
§ 2. Понятието за диференцируемост на функция 193
1. Определяне на диференцируемостта на функция (193). 2. Диференцируемост и непрекъснатост (195). 3. Понятието диференциална функция (196).
§ 3. Диференциране на комплексна функция и обратна функция 197 1. Диференциране на комплексна функция (197). 2. Диференциране на обратната функция (199). 3. Инвариантност на формата на първия диференциал (200). 4. Приложение на диференциал за установяване на приблизителни формули (201).
§ 4. Диференциране на сбор, разлика, произведение и частно на функции 202
§ 5. Производни на най-простите елементарни функции. . . 205 1. Производни на тригонометрични функции (205). 2. Производна на логаритмичната функция (207). 3. Производни на експоненциални и обратни тригонометрични функции (208). 4. Производна на степенна функция (210). 5. Таблица с производни на най-простите елементарни функции (210). 6. Таблица на диференциалите на най-простите елементарни функции (212). 7. Логаритмична производна. Производна на степенно-експоненциална функция (212).
§ 6. Производни и диференциали от по-високи разряди. . . 215 1. Концепцията за производната от l-ти ред (213). 2. n-ти производни на някои функции (214). 3. Формула на Лайбниц за i-тата производна на произведението на две функции (216). 4. Диференциали от по-високи разряди (218).
§ 7. Диференциране на функция, зададена параметрично. 220*
§ 8. Производна на вектор-функция 222
Глава 6. ОСНОВНИ ТЕОРЕМИ ЗА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИТЕ ФУНКЦИИ 224
§ 1. Нарастване (намаляване) на функция в точка. Локален екстремум 224
§ 2. Теорема за нулевата производна 226
§ 3. Формула за крайни нараствания (формула на Лагранж). . 227 § 4. Някои следствия от формулата на Лагранж.... 229 "1. Постоянството на функция, която има производна (229), равна на нула на интервала. 2. Условия за монотонност на функция върху интервала (230). 3. Липса на прекъсвания от първи род и отстраними прекъсвания в производната (231). 4. Извеждане на някои неравенства (233). § 5. Обобщена формула за крайни нараствания (формула на Коши). . 234
§ 6. Разкриване на несигурности (правило на L'Hopital). . . 235
1. Разкриване на несигурност на формата (235). Разкриване на несигурност на вида - (240). 3. Разкриване на други видове несигурност (243).
!§ 7. Формулата на Тейлър “245
§ 8. Различни форми на остатъка. Маклорен формула 248
1. Остатъчен член във форма на Лагранж, Коши и Пеано (248).
2. Друг запис за формулата на Тейлър (250). 3. Формула на Маклорен (251).
§ 9. Оценка на остатъка от срока. Разширяване на някои елементарни функции. . . . . 251
1. Оценка на остатъчния член за произволна функция (251). 2. Разлагане по формулата на Маклорен на някои елементарни функции (252).
1§ 10. Примери за приложения на формулата на Маклорен 256.
1. Изчисляване на числото e на компютър (256). 2. Доказателство за ирационалността на числото e (257). 3. Изчисляване на стойностите на тригонометрични функции (258). 4. Асимптотична оценка на елементарни функции и изчисляване на граници (259).
Глава 7. ИЗСЛЕДВАНЕ НА ГРАФИКАТА НА ФУНКЦИЯ И НАМИРАНЕ НА ЕКСТРЕМНИ СТОЙНОСТИ 262
§ 1. Намиране на стационарни точки 262
1. Признаци за монотонност на функция (262). 2. Намиране на стационарни точки (262). 3. Първото достатъчно условие за екстремум (264). 4. Второто достатъчно условие за екстремум "(265). 5. Третото достатъчно условие за екстремум (267). 6. Екстремумът на функция, която не е диференцируема в дадена точка (268). 7. Общото схема за намиране на екстремуми (270).
§ 2. Изпъкналост на графиката на функция 271
§ 3. Инфлексни точки 273
1. Определяне на инфлексната точка. Необходимо условие за флексия (273). 2. Първото достатъчно условие за флексия (276). 3. Някои обобщения на първото достатъчно условие за флексия (276). 4. Второ достатъчно условие за флексия (277). 5. Трето достатъчно условие за флексия (278).
§ 4. Асимптоти на графиката на функция 279
§ 5. Графика на функция 281
§ 6. Глобални максимум и минимум функции върху отсечка.
Edge екстремум 284
1. Намиране на максималните и минималните стойности на функцията, дефинирана на сегмента (284). 2. Краен екстремум (286). 3. Теорема на Дарбу (287). Допълнение. Алгоритъм за намиране на екстремни стойности на функция, използвайки само стойностите на тази функция. . . 288
Глава 8. ФУНКЦИЯ АНИМИД И ИНТЕГРАЛ НА ОБЕЗЩЕТЕНИЕ 291
§ 1. Понятие за първоизводна функция и неопределен интеграл 291 1. Понятие за първоизводна функция (291). 2. Неопределен интеграл (292). 3."Основни свойства на неопределения интеграл (293). 4. Таблица на основните неопределени интеграли (294).
§ 2. Основни методи на интегриране 297
1, Интегриране на промяна на променлива (заместване) (297).
2. Интегриране по части (300).
§ 3. Класове функции, които са интегрируеми в елементарни функции. 303 1. Кратка информация за комплексните числа (304). 2. Кратка информация за корените на алгебрични полиноми (307). 3. Разлагане на алгебричен полином с реални коефициенти в произведението на несводимите множители (311). 4. Разлагане на правилна рационална дроб в сбора на простите дроби (312). 5. Интегрируемост на рационални дроби в елементарни функции (318). 6. Интегрируемост в елементарни функции на някои тригонометрични и ирационални изрази (321).
§ 4. Елиптични интеграли, 327
Глава 9. ОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ НА РИМАН 330
§ 1. Дефиниция на интеграла. Интегрируемост. . . . . 330 § 2. Горни и долни събираеми и техните свойства. . . . . 334 1. Определяне на горната и долната стойност (334). 2. Основни свойства на горните и долните суми (335). § 3. Теореми за необходими и достатъчни условия за интегрируемост на функции. Класове интегрируеми функции. . . 339
1. Необходими и достатъчни условия за интегрируемост (339).
2. Класове интегрируеми функции (341).
"§ 4. Свойства на определен интеграл. Оценки на интеграли. Теореми за средна стойност. 347
1. Свойства на интеграла (347). 2. Оценки на интеграли (350).
§ 5. Първопроизводна на непрекъсната функция. Правила за интегриране на функции 357
1. Антипроизводно (357). 2. Основна формула на интегралното смятане (359). 3. Важни правила, които ви позволяват да изчислявате определени интеграли (360). 4. Остатъкът от формулата на Тейлър в интегрална форма (362).
§ 6. Неравенства за сборове и интеграли 365
1. Неравенство на Юнг (365). 2. Неравенство на Хьолдер за суми (366). 3. Неравенство на Минковски за суми (367). 4. Неравенство на Хьолдер за интеграли (367). 5. Неравенство на Минковски за интеграли (368).
§ 7. Допълнителна информация за определения интеграл на Риман 369
1. Граница на интегралните суми върху основата на филтъра (369).
2. Критерий за интегрируемост на Лебег (370).
Приложение 1. Неправилни интеграли 370
§ 1. Несобствени интеграли от първи род 371
1. Концепцията за несобствен интеграл от първи род (371).
2. Критерий на Коши за сходимост на несобствен интеграл от първи род. Достатъчни признаци на конвергенция (373). 3. Абсолютна и условна сходимост на несобствени интеграли (375). 4. Смяна на променливи под неправилен знак за интеграл и формула за интегриране по части (378).
§ 2. Несобствени интеграли от втори род 379
§ 3. Основната стойност на неправилния интеграл.. 382
Приложение 2. Интеграл на Стилтьес 384
1. Определение на интеграла на Стилтьес и условията за неговото съществуване (384). 2. Свойства на интеграла на Стилтьес (389).
Глава 10. ГЕОМЕТРИЧНИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛ 391
§ 1. Дължина на дъгата на крива 391
1. Концепцията за проста крива (391). 2. Концепцията за параметризируема крива (392). 3. Дължина на дъгата на кривата. Концепцията за коригираща крива (394). 4. Критерий за праволинейност. Изчислете дължината на дъгата на крива (397). 5. Дъгов диференциал (402). 6. Примери (403).
!§ 2. Площ на плоска фигура 405
1. Понятието за граница на множество и равнинна фигура (405).
2. Площ на плоска фигура (406). 3. Криволинейна област
трапец и извит сектор (414). 4. Примери за изчисляване на площи (416).
§ 3. Обем на тяло в пространството 418
1. Обем на тялото (418). 2. Някои класове кубични тела (419). 3. Примери (421).
Глава 11. ПРИБЛИЖИТЕЛНИ МЕТОДИ ЗА ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА КОРЕНИ НА УРАВНЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИ ИНТЕГРАЛИ... 422
§ 1. Приблизителни методи за изчисляване на корените на уравнения. . 422 1. Метод на вилицата (422). 2. Итерационен метод (423). 3. Методи на хордите и допирателните (426).
§ 2. Приближени методи за изчисляване на определени интеграли 431 1. Уводни бележки (431). 2. Правоъгълен метод (434).
3. Трапецовиден метод (436). 4. Метод на парабола (438).
Глава 12. ФУНКЦИИ НА НЯКОЛКО ПРОМЕНЛИВИ.... 442
§ 1. Понятие за функция от m променливи 442
1. Концепцията за m-мерни координатни и игрови евклидови пространства (442). 2. Набори от точки в m-мерното евклидово пространство (445). 3. Концепцията за функция от m променливи (449).
§ 2. Предел на функция от m променливи 451
1. Поредици от точки в пространството Em (451). 2. Свойство на ограничена последователност от точки Em (454). 3. Граница на функцията на m променливи (455). 4. Безкрайно малки функции на m променливи (458). 5. Повтарящи се ограничения (459).
§ 3. Непрекъснатост на функция на n променливи 460
1. Понятието за непрекъснатост на функция от m променливи (460).
2. Непрекъснатост на функция от m променливи в една променлива (462). 3. Основни свойства на непрекъснатите функции на много променливи (465).
§ 4. Производни и диференциали на функции на много променливи 469
1. Частни производни на функции на няколко променливи (469). 2. Диференцируемост на функция на няколко променливи (470). 3. Геометричен смисъл на условието за диференцируема функция на две променливи (473). 4. Достатъчни условия за диференцируемост (474). 5. Диференциал на функция на няколко променливи (476). 6. Диференциране на сложни функции (476). 7. Инвариантност на формата на първия диференциал (480). 8. Производна по посока. Градиент (481).
§ 5. Частни производни и диференциали от по-високи разряди.. 485 1. Частни производни от по-високи разряди (485). 2. Диференциали от по-високи разряди (490). 3. Формула на Тейлър с остатъчен член във форма на Лагранж и в интегрална форма (497) 4. Формула на Тейлър с остатъчен член във форма на Пеано (500).
6. Локален екстремум на функция от m променливи.... 504 1. Понятие за екстремум на функция от m променливи. Необходими условия за екстремум (504). 2. Достатъчни условия за локален екстремум на функция от m променливи (506). 3. Случай на функция на две променливи (512).
Приложение 1. Градиентен метод за търсене на екстремума на силно изпъкнала функция 514
1. Изпъкнали множества и изпъкнали функции (515). 2. Съществуването на минимум за силно изпъкнала функция и уникалността на минимум за строго изпъкнала функция (521).
3. Търсене на минимума на силно изпъкнала функция (526).
Приложение 2. Метрични, нормирани пространства. . 535
Метрични пространства. 1. Дефиниция на метрично пространство. Примери (535). 2. Отворени и затворени множества (538). 3. Директно произведение на метрични пространства (540). 4. Навсякъде плътни и перфектни комплекти (541). 5. Конвергенция. Непрекъснати дисплеи (543). 6. Компактност (545). 7. Основа на пространството (548).
Свойства на метричните пространства 550
Топологични пространства 558
1. Дефиниция на топологично пространство. Хаусдорфово топологично пространство. Примери (558). 2. Забележка за топологичните пространства (562).
Линейни нормирани пространства, линейни оператори 564
1. Дефиниция на линейно пространство. Примери (564).
2. Нормирани пространства. Банахови пространства.
Примери (566). 3. Оператори в линейни и нормирани пространства (568). 4. Пространство от оператори (569).
5. Операторска норма (569). 6. Концепцията за хилбертово пространство (572).
Приложение 3. Диференциално смятане в линейни нормирани пространства. 574
1. Понятието е диференцируемо. Силна и слаба диференцируемост в линейни нормирани пространства (575).
2. Формула на Лагранж за крайни нараствания (581).
3. Връзка между слаба и силна диференцируемост (584). 4. Диференцируемост на функционали (587). 5. Интеграл на абстрактни функции (587). 6. Формула на Нютон-Лайбниц за абстрактни функции (589). 7. Производни от втори ред (592). 8. Преобразуване на m-мерно евклидово пространство в g-мерно пространство (595). 9. Производни и диференциали от по-високи разряди (598). 10. Формула на Тейлър за преобразуване на едно нормирано пространство в друго (599).
Изследване на екстремума на функционалите в нормализиран
пространства. 602
1. Необходимо условие за екстремум (602). 2. Достатъчни условия за екстремум (605).
Глава 13. НЕЯВНИ ФУНКЦИИ 609
§ 1. Съществуване и диференцируемост на неявно зададена функция 610
1. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявната функция (610). 2. Изчисляване на частни производни на неявно зададена функция (615). 3. Особени точки на повърхнина и равнинна крива (617). 4. Условия, осигуряващи съществуването на обратната функция (618) за функцията y=)(x).
§ 2. Неявни функции, определени от система от функционални
уравнения 619
1. Теорема за разрешимостта на система от функционални уравнения (619). 2. Изчисляване на частни производни на функции, неявно определени чрез система от функционални уравнения (624). 3. Картографиране едно към едно на два набора от m-измерно пространство (625).
§ 3. Зависимост на функции 626
1. Концепцията за функционална зависимост. Достатъчно условие за независимост (626). 2. Функционални матрици и техните приложения (628).
§ 4. Условен екстремум. 632
1. Концепцията за условен екстремум (632). 2. Метод на неопределените множители на Лагранж (635). 3. Достатъчно. условия (636). 4. Пример (637).
Приложение 1. Преобразувания на банахови пространства. Аналог на теорема 638 за неявната функция
1. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявната функция (638). 2. Случаят на крайномерните пространства (644). 3. Особени точки на повърхност в пространство с n измерения. Обратно картографиране (647). 4. Условен екстремум в случай на преобразуване на нормирани пространства (651).

Част 2. - Продължение на курса.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор 5
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВА ПОРЕДИЦА 7
§ 1. Концепцията за числова серия 7
1. Конвергентни и дивергентни редове (7). 2. Критерий на Коши за сходимост на редове (10)
§ 2. Редица с неотрицателни членове 12"
1. Необходимо и достатъчно условие за сходимост на ред с неотрицателни членове (12). 2. Знаци за сравнение (13). 3. Симптоми на Даламбер и Коши (16). 4. Интегрален тест на Коши - Маклорен (21). 5, знак на Раабе (24). 6. Липса на универсална серия за сравнение (27)
§ 3. Абсолютно и условно сходни редове 28
1. Понятия за абсолютно и условно сходни редове (28). 2. За пренареждането на членовете на условно сходящия се ред (30). 3. Относно пренареждането на членове на абсолютно сходяща серия (33)
§ 4. Тестове за сходимост на произволни редове 35
§ 5. Аритметични действия върху сходни редове 41
§ 6. Безкрайни произведения 44
1. Основни понятия (44). 2. Връзка между сходимостта на безкрайни произведения и редове (47). 3. Разгъване на функцията sin x в безкраен продукт (51)
§ 7. Обобщени методи за сумиране на разнопосочни редове.... 55
1. Метод на Чезаро (метод на средните аритметични) (56). 2. Метод на сумиране на Поасон - Абел (57)
§ 8. Елементарна теория на двойните и повторните серии 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛНИ ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТИ И СЕРИИ 67
§ 1. Понятия за сходимост в точка и равномерна сходимост върху множество 67
1. Понятията функционална последователност и функционална серия (67). 2. Сходимост на функционална последователност (функционална серия) в точка и на множество (69). 3. Равномерна сходимост на множеството (70). 4. Критерий на Коши за равномерна конвергенция на последователност (серия) (72)
§ 2. Достатъчни критерии за равномерна сходимост на функционални последователности и серии 74
§ 3. Посрочно преминаване на границата 83
§ 4. Посрочно интегриране и почленно диференциране на функционални последователности и серии 87
1. Посрочна интеграция (87). 2. Посрочно диференциране (90). 3. Средна конвергенция (94)
§ 5. Еквивалентна непрекъснатост на последователност от функции... 97
§ 6. Степенен ред 102
1. Степенен ред и областта на неговата конвергенция (102). 2. Непрекъснатост на сумата на степенния ред (105). 3. Почленно интегриране и почленно диференциране на степенни редове (105)
§ 7. Разлагане на функции в степенни редове 107
1. Разгъване на функция в степенен ред (107). 2. Развиване на някои елементарни функции в ред на Тейлър (108). 3. Елементарни представи за функции на комплексна променлива (CV). 4. Теорема на Вайерщрас за равномерното приближение на непрекъсната функция чрез полиноми (112)
ГЛАВА 3. ДВОЙНИ И n-КРАТНИ ИНТЕГРАЛИ 117
§ 1. Определение и условия за съществуване на двоен интеграл. . . 117
1. Дефиниция на двоен интеграл за правоъгълник (117).
2. Условия за съществуване на двоен интеграл за правоъгълник (119). 3. Определение и условия за съществуване на двоен интеграл за произволна област (121). 4. Обща дефиниция на двоен интеграл (123)
"§ 2. Основни свойства на двойния интеграл 127
§ 3. Редукция на двоен интеграл до повторен единичен интеграл. . . 129 1. Случаят на правоъгълник (129). 2. Случаят на произволен регион (130)
§ 4. Тройни и n-кратни интеграли 133
§ 5. Смяна на променливи в n-кратен интеграл 138
§ 6. Изчисляване на обеми на n-мерни тела 152
§ 7. Теорема за почленно интегриране на функционални редици и серии 157
$ 8. Множество неправилни интеграли 159
1. Концепцията за множество неправилни интеграли (159). 2. Два критерия за сходимост на несобствени интеграли на неотрицателни функции (160). 3. Неправилни интеграли на редуващи се функции (161). 4. Главна стойност на множество неправилни интеграли (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ 167
§ 1. Понятия за криволинейни интеграли от първи и втори род. . . 167
§ 2. Условия за съществуване на криволинейни интеграли 169
ГЛАВА 5. ПОВЪРХНОСТНИ ИНТЕГРАЛИ 175
§ 1. Понятия за повърхнина и нейната площ 175
1. Понятието повърхност (175). 2. Помощни леми (179).
3. Площ (181)
§ 2. Повърхностни интеграли 185
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ НА ПОЛЕТО. ОСНОВНИ ИНТЕГРАЛНИ ФОРМУЛИ ЗА АНАЛИЗ 190
§ 1. Нотация. Биортогонални основи. Инварианти на линейния оператор 190
1. Нотация (190). 2. Биортогонални бази в пространството E" (191). 3. Трансформации на бази. Ковариантни и контравариантни координати на вектор (192). 4. Инварианти на линеен оператор. Дивергенция и навивка (195). 5. Изрази за дивергенция и curl на линеен оператор в ортонормална база (Shch8)
§ 2. Скаларни и векторни полета. Диференциални оператори на векторен анализ 198
!. Скаларни и векторни полета (198). 2. Дивергенция, ротор и производна по отношение на посоката на векторно поле (203). 3. Някои други формули за векторен анализ (204). 4. Заключителни бележки (206)
§ 3. Основни интегрални формули за анализ 207
1. Формула на Грийн (207). 2. Формула на Остроградски-Гаус (211). 3. Формула на Стокс (214)
§ 4. Условия за независимост на криволинейния интеграл от равнината на пътя на интегриране 218
§ 5. Някои примери за приложения на теорията на полето 222
1. Изразяване на площта на плоска област чрез криволинеен интеграл (222). 2. Изразяване на обем чрез повърхностен интеграл (223)
Допълнение към глава 6. Диференциални форми в евклидовото пространство 225
§ 1. Редуващи се многолинейни форми 225
1. Линейни форми (225). 2. Билинейни форми (226). 3. Многолинейни форми (227). 4. Редуващи се полилинейни форми (228). 5. Външен продукт на редуващи се форми (228). 6. Свойства на външния продукт на редуващи се форми (231). 7. Основа в пространството на редуващи се форми (233)
§ 2. Различни форми 235
1. Основни означения (235). 2. Външен диференциал (236). 3. Свойства на външния диференциал (237;)
§ 3. Диференцируеми преобразувания 2391
1. Дефиниция на диференцируеми преобразувания (239). 2. Свойства на дисплея f* (240)
§ 4. Интегриране на диференциални форми 243
1. Дефиниции (243). 2. Диференцируеми вериги (245). 3. Формула на Стокс (248). 4. Примери (250)
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛИ В ЗАВИСИМОСТ ОТ ПАРАМЕТРИ 252
§ 1. Равномерно в една променлива тенденцията на функция на две променливи към границата в друга променлива 252
1. Връзката между функция на две променливи, клоняща равномерно в една променлива към границата в друга променлива с равномерната конвергенция на функционалната последователност (252). 2. Критерий на Коши за равномерна тенденция на функция към границата (254). 3. Приложения на концепцията за еднаква тенденция към граничната функция (254)
§ 2. Собствени интеграли в зависимост от параметъра 256
1. Свойства на интеграла в зависимост от параметъра (256). 2. Случаят, когато границите на интегриране зависят от параметъра (257)
§ 3. Неправилни интеграли в зависимост от параметъра 259
1. Неправилни интеграли от първи род в зависимост от параметъра (260). 2. Неправилни интеграли от втори род в зависимост от параметъра (266)
§ 4. Приложение на теорията на интегралите в зависимост от параметър за изчисляване на някои несобствени интеграли 267
§ 5. Интеграли на Ойлер 271
k G-функция (272). 2. B-функция (275). 3. Връзка между интегралите на Ойлер (277). 4. Примери (279)
§ 6. Формула на Стърлинг 280
§ 7. Кратни интеграли в зависимост от параметри 282
1. Собствени множество интеграли в зависимост от параметрите (282).
2. Неправилни множествени интеграли в зависимост от параметър (283)
ГЛАВА 8. РЕД НА ФУРИЕ 287
§ 1. Ортонормирани системи и общи редове на Фурие 287
1. Ортонормални системи (287). 2. Концепцията за общ ред на Фурие (292)
§ 2. Затворени и пълни ортонормирани системи 295
§ 3. Затвореност на тригонометричната система и последици от това. . 298 1. Равномерно приближение на непрекъсната функция чрез тригонометрични полиноми (298). 2. Доказателство за затвореността на тригонометричната система (301). 3. Последици от затвореността на тригонометричната система (303)
§ 4. Най-простите условия за равномерна сходимост и почленно диференциране на тригонометричен ред на Фурие 304
1. Уводни бележки (304). 2. Най-простите условия за абсолютна и равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие (306).
3. Най-простите условия за почленно диференциране на тригонометричния ред на Фурие (308)
§ 5. По-точни условия за равномерна конвергенция и условия за сходимост в дадена точка 309>
1. Модул на непрекъснатост на функция. Класове по Хьолдер (309). 2. Израз за частичната сума на тригонометричния ред на Фурие (311). 3. Помощни изречения (314). 4. Принципът на локализация (317). 5. Равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие за функция от класа на Хьолдер (319). 6. Относно сходимостта на тригонометричния ред на Фурие на функцията на част от Хьолдер (325). 7. Сумируемост на тригонометричен ред на Фурие на непрекъсната функция по метода на средните аритметични (329). 8. Заключителни бележки (331)
§ 6. Кратни тригонометрични редове на Фурие 332
1. Понятия за множество тригонометрични редове на Фурие и техните правоъгълни и сферични частични суми (332). 2. Модул на непрекъснатост и класове на Хьолдер за функция от N променливи (334). 3. Условия за абсолютна конвергенция на множество тригонометрични редове на Фурие (335)
ГЛАВА 9. ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ 33"
§ 1. Представяне на функция чрез интеграла на Фурие 339
1. Помощни твърдения (340). 2. Основна теорема. Формула за обръщане (342). 3. Примери (347)
§ 2. Някои свойства на преобразуването на Фурие 34&
§ 3. Кратен интеграл на Фурие 352

Част 2. - Продължение на курса.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор 5
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВА ПОРЕДИЦА 7
§ 1. Концепцията за числова серия 7
1. Конвергентни и дивергентни редове (7). 2. Критерий на Коши за сходимост на редове (10)
§ 2. Редица с неотрицателни членове 12"
1. Необходимо и достатъчно условие за сходимост на ред с неотрицателни членове (12). 2. Знаци за сравнение (13). 3. Симптоми на Даламбер и Коши (16). 4. Интегрален тест на Коши - Маклорен (21). 5, знак на Раабе (24). 6. Липса на универсална серия за сравнение (27)
§ 3. Абсолютно и условно сходни редове 28
1. Понятия за абсолютно и условно сходни редове (28). 2. За пренареждането на членовете на условно сходящия се ред (30). 3. Относно пренареждането на членове на абсолютно сходяща серия (33)
§ 4. Тестове за сходимост на произволни редове 35
§ 5. Аритметични действия върху сходни редове 41
§ 6. Безкрайни произведения 44
1. Основни понятия (44). 2. Връзка между сходимостта на безкрайни произведения и редове (47). 3. Разгъване на функцията sin x в безкраен продукт (51)
§ 7. Обобщени методи за сумиране на разнопосочни редове.... 55
1. Метод на Чезаро (метод на средните аритметични) (56). 2. Метод на сумиране на Поасон - Абел (57)
§ 8. Елементарна теория на двойните и повторните серии 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛНИ ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТИ И СЕРИИ 67
§ 1. Понятия за сходимост в точка и равномерна сходимост върху множество 67
1. Понятията функционална последователност и функционална серия (67). 2. Сходимост на функционална последователност (функционална серия) в точка и на множество (69). 3. Равномерна сходимост на множеството (70). 4. Критерий на Коши за равномерна конвергенция на последователност (серия) (72)
§ 2. Достатъчни критерии за равномерна сходимост на функционални последователности и серии 74
§ 3. Посрочно преминаване на границата 83
§ 4. Посрочно интегриране и почленно диференциране на функционални последователности и серии 87
1. Посрочна интеграция (87). 2. Посрочно диференциране (90). 3. Средна конвергенция (94)
§ 5. Еквивалентна непрекъснатост на последователност от функции... 97
§ 6. Степенен ред 102
1. Степенен ред и областта на неговата конвергенция (102). 2. Непрекъснатост на сумата на степенния ред (105). 3. Почленно интегриране и почленно диференциране на степенни редове (105)
§ 7. Разлагане на функции в степенни редове 107
1. Разгъване на функция в степенен ред (107). 2. Развиване на някои елементарни функции в ред на Тейлър (108). 3. Елементарни представи за функции на комплексна променлива (CV). 4. Теорема на Вайерщрас за равномерното приближение на непрекъсната функция чрез полиноми (112)
ГЛАВА 3. ДВОЙНИ И n-КРАТНИ ИНТЕГРАЛИ 117
§ 1. Определение и условия за съществуване на двоен интеграл. . . 117
1. Дефиниция на двоен интеграл за правоъгълник (117).
2. Условия за съществуване на двоен интеграл за правоъгълник (119). 3. Определение и условия за съществуване на двоен интеграл за произволна област (121). 4. Обща дефиниция на двоен интеграл (123)
"§ 2. Основни свойства на двойния интеграл 127
§ 3. Редукция на двоен интеграл до повторен единичен интеграл. . . 129 1. Случаят на правоъгълник (129). 2. Случаят на произволен регион (130)
§ 4. Тройни и n-кратни интеграли 133
§ 5. Смяна на променливи в n-кратен интеграл 138
§ 6. Изчисляване на обеми на n-мерни тела 152
§ 7. Теорема за почленно интегриране на функционални редици и серии 157
$ 8. Множество неправилни интеграли 159
1. Концепцията за множество неправилни интеграли (159). 2. Два критерия за сходимост на несобствени интеграли на неотрицателни функции (160). 3. Неправилни интеграли на редуващи се функции (161). 4. Главна стойност на множество неправилни интеграли (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ 167
§ 1. Понятия за криволинейни интеграли от първи и втори род. . . 167
§ 2. Условия за съществуване на криволинейни интеграли 169
ГЛАВА 5. ПОВЪРХНОСТНИ ИНТЕГРАЛИ 175
§ 1. Понятия за повърхнина и нейната площ 175
1. Понятието повърхност (175). 2. Помощни леми (179).
3. Площ (181)
§ 2. Повърхностни интеграли 185
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ НА ПОЛЕТО. ОСНОВНИ ИНТЕГРАЛНИ ФОРМУЛИ ЗА АНАЛИЗ 190
§ 1. Нотация. Биортогонални основи. Инварианти на линейния оператор 190
1. Нотация (190). 2. Биортогонални бази в пространството E" (191). 3. Трансформации на бази. Ковариантни и контравариантни координати на вектор (192). 4. Инварианти на линеен оператор. Дивергенция и навивка (195). 5. Изрази за дивергенция и curl на линеен оператор в ортонормална база (Shch8)
§ 2. Скаларни и векторни полета. Диференциални оператори на векторен анализ 198
!. Скаларни и векторни полета (198). 2. Дивергенция, ротор и производна по отношение на посоката на векторно поле (203). 3. Някои други формули за векторен анализ (204). 4. Заключителни бележки (206)
§ 3. Основни интегрални формули за анализ 207
1. Формула на Грийн (207). 2. Формула на Остроградски-Гаус (211). 3. Формула на Стокс (214)
§ 4. Условия за независимост на криволинейния интеграл от равнината на пътя на интегриране 218
§ 5. Някои примери за приложения на теорията на полето 222
1. Изразяване на площта на плоска област чрез криволинеен интеграл (222). 2. Изразяване на обем чрез повърхностен интеграл (223)
Допълнение към глава 6. Диференциални форми в евклидовото пространство 225
§ 1. Редуващи се многолинейни форми 225
1. Линейни форми (225). 2. Билинейни форми (226). 3. Многолинейни форми (227). 4. Редуващи се полилинейни форми (228). 5. Външен продукт на редуващи се форми (228). 6. Свойства на външния продукт на редуващи се форми (231). 7. Основа в пространството на редуващи се форми (233)
§ 2. Различни форми 235
1. Основни означения (235). 2. Външен диференциал (236). 3. Свойства на външния диференциал (237;)
§ 3. Диференцируеми преобразувания 2391
1. Дефиниция на диференцируеми преобразувания (239). 2. Свойства на дисплея f* (240)
§ 4. Интегриране на диференциални форми 243
1. Дефиниции (243). 2. Диференцируеми вериги (245). 3. Формула на Стокс (248). 4. Примери (250)
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛИ В ЗАВИСИМОСТ ОТ ПАРАМЕТРИ 252
§ 1. Равномерно в една променлива тенденцията на функция на две променливи към границата в друга променлива 252
1. Връзката между функция на две променливи, клоняща равномерно в една променлива към границата в друга променлива с равномерната конвергенция на функционалната последователност (252). 2. Критерий на Коши за равномерна тенденция на функция към границата (254). 3. Приложения на концепцията за еднаква тенденция към граничната функция (254)
§ 2. Собствени интеграли в зависимост от параметъра 256
1. Свойства на интеграла в зависимост от параметъра (256). 2. Случаят, когато границите на интегриране зависят от параметъра (257)
§ 3. Неправилни интеграли в зависимост от параметъра 259
1. Неправилни интеграли от първи род в зависимост от параметъра (260). 2. Неправилни интеграли от втори род в зависимост от параметъра (266)
§ 4. Приложение на теорията на интегралите в зависимост от параметър за изчисляване на някои несобствени интеграли 267
§ 5. Интеграли на Ойлер 271
k G-функция (272). 2. B-функция (275). 3. Връзка между интегралите на Ойлер (277). 4. Примери (279)
§ 6. Формула на Стърлинг 280
§ 7. Кратни интеграли в зависимост от параметри 282
1. Собствени множество интеграли в зависимост от параметри (282).
2. Неправилни множествени интеграли в зависимост от параметър (283)
ГЛАВА 8. РЕД НА ФУРИЕ 287
§ 1. Ортонормирани системи и общи редове на Фурие 287
1. Ортонормални системи (287). 2. Концепцията за общ ред на Фурие (292)
§ 2. Затворени и пълни ортонормирани системи 295
§ 3. Затвореност на тригонометричната система и последици от това. . 298 1. Равномерно приближение на непрекъсната функция чрез тригонометрични полиноми (298). 2. Доказателство за затвореността на тригонометричната система (301). 3. Последици от затвореността на тригонометричната система (303)
§ 4. Най-простите условия за равномерна сходимост и почленно диференциране на тригонометричен ред на Фурие 304
1. Уводни бележки (304). 2. Най-простите условия за абсолютна и равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие (306).
3. Най-простите условия за почленно диференциране на тригонометричния ред на Фурие (308)
§ 5. По-точни условия за равномерна конвергенция и условия за сходимост в дадена точка 309>
1. Модул на непрекъснатост на функция. Класове по Хьолдер (309). 2. Израз за частичната сума на тригонометричния ред на Фурие (311). 3. Помощни изречения (314). 4. Принципът на локализация (317). 5. Равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие за функция от класа на Хьолдер (319). 6. Относно сходимостта на тригонометричния ред на Фурие на функцията на част от Хьолдер (325). 7. Сумируемост на тригонометричен ред на Фурие на непрекъсната функция по метода на средните аритметични (329). 8. Заключителни бележки (331)
§ 6. Кратни тригонометрични редове на Фурие 332
1. Понятия за множество тригонометрични редове на Фурие и техните правоъгълни и сферични частични суми (332). 2. Модул на непрекъснатост и класове на Хьолдер за функция от N променливи (334). 3. Условия за абсолютна сходимост на множество тригонометрични редове на Фурие (335)
ГЛАВА 9. ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ 33"
§ 1. Представяне на функция чрез интеграла на Фурие 339
1. Помощни твърдения (340). 2. Основна теорема. Формула за обръщане (342). 3. Примери (347)
§ 2. Някои свойства на преобразуването на Фурие 34&
§ 3. Кратен интеграл на Фурие 352

М.: Издателство на Московския държавен университет. Част 1: 2-ро изд., преработено, 1985. - 662 с.; Част 2 - 1987. - 358 с. Част 1. - Начален курс.

Част 2. - Продължение на курса.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор от заглавния редактор.... 5
Предговор към второто издание 6
Предговор към първото издание 6
Глава 1. ОСНОВНИ КОНЦЕПЦИИ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ 10
Глава 2. РЕАЛНИ ЧИСЛА 29
§ 1. Множеството от числа, представими като безкрайни десетични дроби и неговото подреждане 29
1. Свойства на рационалните числа (29). 2. Недостатъчност на рационални числа за измерване на сегменти от числовата права (31). 3. Подреждане на набор от безкрайни десетични знаци
дроби (34)
§ 2. Ограничени отгоре (или отдолу) множества от числа, представими с безкрайни десетични дроби.... 40 1. Основни понятия (40). 2. Наличие на точни ръбове (41).
§ 3. Приближаване на числа, представими с безкрайни десетични дроби и рационални числа 44
§ 4. Операции събиране и умножение. Описание на множеството от реални числа 46
1. Дефиниция на операции събиране и умножение. Описание на понятието реални числа (46). 2. Съществуване и единственост на сбора и произведението на реални числа (47).
§ 5. Свойства на реалните числа 50
1. Свойства на реалните числа (50). 2. Някои често използвани отношения (52). 3. Някои конкретни набори от реални числа (52).
§ 6. Допълнителни въпроси по теория на реалните числа. .54 1. Пълнота на множеството от реални числа (54). 2. Аксиоматично въвеждане на множеството от реални числа (57).
§ 7. Елементи на теорията на множествата. 59
1. Концепцията за множество (59). 2. Операции върху множества (60). 3. Изброими и неизброими множества. Неизброим сегмент. Мощност на множеството (61). 4. Свойства на операциите върху множества. Набори за картографиране (65).
Глава 3. ТЕОРИЯ ЗА ГРАНИЦИТЕ. 68
§ 1. Последователност и нейната граница 68.
1. Понятието последователност. Аритметични операции върху редица (68). 2. Ограничени, неограничени, безкрайно малки и безкрайно големи последователности (69). 3. Основни свойства на безкрайно малките последователности (73). 4. Сходящи последователности и техните свойства (75).
§ 2. Монотонни редици 83
1. Концепцията за монотонна последователност (83). 2. Теорема за сходимостта на монотонна ограничена редица (84). 3. Число e (86). 4. Примери за конвергентни монотонни последователности (88).
§ 3. Произволни последователности 92
1. Гранични точки, горна и долна граница на последователността (92). 2. Разширяване на понятията за гранична точка и горна и долна граница (99). 3. Критерий на Коши за сходимост на последователност (102).
§ 4. Предел (или гранична стойност) на функция 105
1. Понятия за променливо количество и функция (105). 2. Предел на функция по Хайне и по Коши (109). 3. Критерий на Коши за съществуване на лимит на функция (115). 4. Аритметични операции върху функции, които имат граница (118). 5. Безкрайно малки и безкрайно големи функции (119).
§ 5. Обща дефиниция на границата на функция спрямо основата.... 122
Глава 4. ПРОДЪЛЖАЕМОСТ НА ФУНКЦИЯТА 127
§ 1. Понятието за непрекъснатост на функция 127
1. Определение за непрекъснатост на функция (127). 2. Аритметични операции върху непрекъснати функции (131). 3. Комплексна функция и нейната непрекъснатост (132).
§ 2. Свойства на монотонни функции 132
1. Монотонни функции (132). 2. Концепцията за обратна функция (133).
§ 3. Най-простите елементарни функции 138
1. Експоненциална функция (138). 2. Логаритмична функция (145). 3. Степенна функция (146). 4. Тригонометрични функции (147). 5. Обратни тригонометрични функции (154). 6. Хиперболични функции (156).
§ 4. Две забележителни граници 158
1. Първата забележителна граница (158). 2. Втора забележителна граница (159).
§ 5. Точки на прекъсване на функцията и тяхната класификация. . . . 162 1. Класификация на точките на прекъсване на функцията (162). 2. Върху точките на прекъсване на монотонната функция (166).
§ 6. Локални и глобални свойства на непрекъснати функции. 167 1. Локални свойства на непрекъснати функции (167). 2. Глобални свойства на непрекъснати функции (170). 3. Концепцията за равномерна непрекъснатост на функция (176). 4. Понятието модул на непрекъснатост на функция (181).
§ 7. Понятието за компактност на множество 184
1. Отворени и затворени множества (184). 2. За покрития на множество от система от отворени множества (184). 3. Концепцията за компактност на множество (186).
Глава 5. ДИФЕРЕНЦИАЛНО ИЗЧИСЛЯВАНЕ 189
§ 1. Понятието за производна 189
1. Увеличаване на функцията. Разностна форма на условието за непрекъснатост (189). 2. Дефиниция на производна (190). 3. Геометричен смисъл на производната (192).
§ 2. Понятието за диференцируемост на функция 193
1. Определяне на диференцируемостта на функция (193). 2. Диференцируемост и непрекъснатост (195). 3. Понятието диференциална функция (196).
§ 3. Диференциране на комплексна функция и обратна функция 197 1. Диференциране на комплексна функция (197). 2. Диференциране на обратната функция (199). 3. Инвариантност на формата на първия диференциал (200). 4. Приложение на диференциал за установяване на приблизителни формули (201).
§ 4. Диференциране на сбор, разлика, произведение и частно на функции 202
§ 5. Производни на най-простите елементарни функции. . . 205 1. Производни на тригонометрични функции (205). 2. Производна на логаритмичната функция (207). 3. Производни на експоненциални и обратни тригонометрични функции (208). 4. Производна на степенна функция (210). 5. Таблица с производни на най-простите елементарни функции (210). 6. Таблица на диференциалите на най-простите елементарни функции (212). 7. Логаритмична производна. Производна на степенно-експоненциална функция (212).
§ 6. Производни и диференциали от по-високи разряди. . . 215 1. Концепцията за производната от l-ти ред (213). 2. n-ти производни на някои функции (214). 3. Формула на Лайбниц за i-тата производна на произведението на две функции (216). 4. Диференциали от по-високи разряди (218).
§ 7. Диференциране на функция, зададена параметрично. 220*
§ 8. Производна на вектор-функция 222
Глава 6. ОСНОВНИ ТЕОРЕМИ ЗА ДИФЕРЕНЦИРУЕМИТЕ ФУНКЦИИ 224
§ 1. Нарастване (намаляване) на функция в точка. Локален екстремум 224
§ 2. Теорема за нулевата производна 226
§ 3. Формула за крайни нараствания (формула на Лагранж). . 227 § 4. Някои следствия от формулата на Лагранж.... 229 "1. Постоянството на функция, която има производна (229), равна на нула на интервала. 2. Условия за монотонност на функция върху интервала (230). 3. Липса на прекъсвания от първи род и отстраними прекъсвания в производната (231). 4. Извеждане на някои неравенства (233). § 5. Обобщена формула за крайни нараствания (формула на Коши). . 234
§ 6. Разкриване на несигурности (правило на L'Hopital). . . 235
1. Разкриване на несигурност на формата (235). Разкриване на несигурност на вида - (240). 3. Разкриване на други видове несигурност (243).
!§ 7. Формулата на Тейлър “245
§ 8. Различни форми на остатъка. Маклорен формула 248
1. Остатъчен член във форма на Лагранж, Коши и Пеано (248).
2. Друг запис за формулата на Тейлър (250). 3. Формула на Маклорен (251).
§ 9. Оценка на остатъка от срока. Разширяване на някои елементарни функции. . . . . 251
1. Оценка на остатъчния член за произволна функция (251). 2. Разлагане по формулата на Маклорен на някои елементарни функции (252).
1§ 10. Примери за приложения на формулата на Маклорен 256.
1. Изчисляване на числото e на компютър (256). 2. Доказателство за ирационалността на числото e (257). 3. Изчисляване на стойностите на тригонометрични функции (258). 4. Асимптотична оценка на елементарни функции и изчисляване на граници (259).
Глава 7. ИЗСЛЕДВАНЕ НА ГРАФИКАТА НА ФУНКЦИЯ И НАМИРАНЕ НА ЕКСТРЕМНИ СТОЙНОСТИ 262
§ 1. Намиране на стационарни точки 262
1. Признаци за монотонност на функция (262). 2. Намиране на стационарни точки (262). 3. Първото достатъчно условие за екстремум (264). 4. Второто достатъчно условие за екстремум "(265). 5. Третото достатъчно условие за екстремум (267). 6. Екстремумът на функция, която не е диференцируема в дадена точка (268). 7. Общото схема за намиране на екстремуми (270).
§ 2. Изпъкналост на графиката на функция 271
§ 3. Инфлексни точки 273
1. Определяне на инфлексната точка. Необходимо условие за флексия (273). 2. Първото достатъчно условие за флексия (276). 3. Някои обобщения на първото достатъчно условие за флексия (276). 4. Второ достатъчно условие за флексия (277). 5. Трето достатъчно условие за флексия (278).
§ 4. Асимптоти на графиката на функция 279
§ 5. Графика на функция 281
§ 6. Глобални максимум и минимум функции върху отсечка.
Edge екстремум 284
1. Намиране на максималните и минималните стойности на функцията, дефинирана на сегмента (284). 2. Краен екстремум (286). 3. Теорема на Дарбу (287). Допълнение. Алгоритъм за намиране на екстремни стойности на функция, използвайки само стойностите на тази функция. . . 288
Глава 8. ФУНКЦИЯ АНИМИД И ИНТЕГРАЛ НА ОБЕЗЩЕТЕНИЕ 291
§ 1. Понятие за първоизводна функция и неопределен интеграл 291 1. Понятие за първоизводна функция (291). 2. Неопределен интеграл (292). 3."Основни свойства на неопределения интеграл (293). 4. Таблица на основните неопределени интеграли (294).
§ 2. Основни методи на интегриране 297
1, Интегриране на промяна на променлива (заместване) (297).
2. Интегриране по части (300).
§ 3. Класове функции, които са интегрируеми в елементарни функции. 303 1. Кратка информация за комплексните числа (304). 2. Кратка информация за корените на алгебрични полиноми (307). 3. Разлагане на алгебричен полином с реални коефициенти в произведението на несводимите множители (311). 4. Разлагане на правилна рационална дроб в сбора на простите дроби (312). 5. Интегрируемост на рационални дроби в елементарни функции (318). 6. Интегрируемост в елементарни функции на някои тригонометрични и ирационални изрази (321).
§ 4. Елиптични интеграли, 327
Глава 9. ОПРЕДЕЛЕН ИНТЕГРАЛ НА РИМАН 330
§ 1. Дефиниция на интеграла. Интегрируемост. . . . . 330 § 2. Горни и долни събираеми и техните свойства. . . . . 334 1. Определяне на горната и долната стойност (334). 2. Основни свойства на горните и долните суми (335). § 3. Теореми за необходими и достатъчни условия за интегрируемост на функции. Класове интегрируеми функции. . . 339
1. Необходими и достатъчни условия за интегрируемост (339).
2. Класове интегрируеми функции (341).
"§ 4. Свойства на определен интеграл. Оценки на интеграли. Теореми за средна стойност. 347
1. Свойства на интеграла (347). 2. Оценки на интеграли (350).
§ 5. Първопроизводна на непрекъсната функция. Правила за интегриране на функции 357
1. Антипроизводно (357). 2. Основна формула на интегралното смятане (359). 3. Важни правила, които ви позволяват да изчислявате определени интеграли (360). 4. Остатъкът от формулата на Тейлър в интегрална форма (362).
§ 6. Неравенства за сборове и интеграли 365
1. Неравенство на Юнг (365). 2. Неравенство на Хьолдер за суми (366). 3. Неравенство на Минковски за суми (367). 4. Неравенство на Хьолдер за интеграли (367). 5. Неравенство на Минковски за интеграли (368).
§ 7. Допълнителна информация за определения интеграл на Риман 369
1. Граница на интегралните суми върху основата на филтъра (369).
2. Критерий за интегрируемост на Лебег (370).
Приложение 1. Неправилни интеграли 370
§ 1. Несобствени интеграли от първи род 371
1. Концепцията за несобствен интеграл от първи род (371).
2. Критерий на Коши за сходимост на несобствен интеграл от първи род. Достатъчни признаци на конвергенция (373). 3. Абсолютна и условна сходимост на несобствени интеграли (375). 4. Смяна на променливи под неправилен знак за интеграл и формула за интегриране по части (378).
§ 2. Несобствени интеграли от втори род 379
§ 3. Основната стойност на неправилния интеграл.. 382
Приложение 2. Интеграл на Стилтьес 384
1. Определение на интеграла на Стилтьес и условията за неговото съществуване (384). 2. Свойства на интеграла на Стилтьес (389).
Глава 10. ГЕОМЕТРИЧНИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛ 391
§ 1. Дължина на дъгата на крива 391
1. Концепцията за проста крива (391). 2. Концепцията за параметризируема крива (392). 3. Дължина на дъгата на кривата. Концепцията за коригираща крива (394). 4. Критерий за праволинейност. Изчислете дължината на дъгата на крива (397). 5. Дъгов диференциал (402). 6. Примери (403).
!§ 2. Площ на плоска фигура 405
1. Понятието за граница на множество и равнинна фигура (405).
2. Площ на плоска фигура (406). 3. Криволинейна област
трапец и извит сектор (414). 4. Примери за изчисляване на площи (416).
§ 3. Обем на тяло в пространството 418
1. Обем на тялото (418). 2. Някои класове кубични тела (419). 3. Примери (421).
Глава 11. ПРИБЛИЖИТЕЛНИ МЕТОДИ ЗА ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА КОРЕНИ НА УРАВНЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИ ИНТЕГРАЛИ... 422
§ 1. Приблизителни методи за изчисляване на корените на уравнения. . 422 1. Метод на вилицата (422). 2. Итерационен метод (423). 3. Методи на хордите и допирателните (426).
§ 2. Приближени методи за изчисляване на определени интеграли 431 1. Уводни бележки (431). 2. Правоъгълен метод (434).
3. Трапецовиден метод (436). 4. Метод на парабола (438).
Глава 12. ФУНКЦИИ НА НЯКОЛКО ПРОМЕНЛИВИ.... 442
§ 1. Понятие за функция от m променливи 442
1. Концепцията за m-мерни координатни и игрови евклидови пространства (442). 2. Набори от точки в m-мерното евклидово пространство (445). 3. Концепцията за функция от m променливи (449).
§ 2. Предел на функция от m променливи 451
1. Поредици от точки в пространството Em (451). 2. Свойство на ограничена последователност от точки Em (454). 3. Граница на функцията на m променливи (455). 4. Безкрайно малки функции на m променливи (458). 5. Повтарящи се ограничения (459).
§ 3. Непрекъснатост на функция на n променливи 460
1. Понятието за непрекъснатост на функция от m променливи (460).
2. Непрекъснатост на функция от m променливи в една променлива (462). 3. Основни свойства на непрекъснатите функции на много променливи (465).
§ 4. Производни и диференциали на функции на много променливи 469
1. Частни производни на функции на няколко променливи (469). 2. Диференцируемост на функция на няколко променливи (470). 3. Геометричен смисъл на условието за диференцируема функция на две променливи (473). 4. Достатъчни условия за диференцируемост (474). 5. Диференциал на функция на няколко променливи (476). 6. Диференциране на сложни функции (476). 7. Инвариантност на формата на първия диференциал (480). 8. Производна по посока. Градиент (481).
§ 5. Частни производни и диференциали от по-високи разряди.. 485 1. Частни производни от по-високи разряди (485). 2. Диференциали от по-високи разряди (490). 3. Формула на Тейлър с остатъчен член във форма на Лагранж и в интегрална форма (497) 4. Формула на Тейлър с остатъчен член във форма на Пеано (500).
6. Локален екстремум на функция от m променливи.... 504 1. Понятие за екстремум на функция от m променливи. Необходими условия за екстремум (504). 2. Достатъчни условия за локален екстремум на функция от m променливи (506). 3. Случай на функция на две променливи (512).
Приложение 1. Градиентен метод за търсене на екстремума на силно изпъкнала функция 514
1. Изпъкнали множества и изпъкнали функции (515). 2. Съществуването на минимум за силно изпъкнала функция и уникалността на минимум за строго изпъкнала функция (521).
3. Търсене на минимума на силно изпъкнала функция (526).
Приложение 2. Метрични, нормирани пространства. . 535
Метрични пространства. 1. Дефиниция на метрично пространство. Примери (535). 2. Отворени и затворени множества (538). 3. Директно произведение на метрични пространства (540). 4. Навсякъде плътни и перфектни комплекти (541). 5. Конвергенция. Непрекъснати дисплеи (543). 6. Компактност (545). 7. Основа на пространството (548).
Свойства на метричните пространства 550
Топологични пространства 558
1. Дефиниция на топологично пространство. Хаусдорфово топологично пространство. Примери (558). 2. Забележка за топологичните пространства (562).
Линейни нормирани пространства, линейни оператори 564
1. Дефиниция на линейно пространство. Примери (564).
2. Нормирани пространства. Банахови пространства.
Примери (566). 3. Оператори в линейни и нормирани пространства (568). 4. Пространство от оператори (569).
5. Операторска норма (569). 6. Концепцията за хилбертово пространство (572).
Приложение 3. Диференциално смятане в линейни нормирани пространства. 574
1. Понятието е диференцируемо. Силна и слаба диференцируемост в линейни нормирани пространства (575).
2. Формула на Лагранж за крайни нараствания (581).
3. Връзка между слаба и силна диференцируемост (584). 4. Диференцируемост на функционали (587). 5. Интеграл на абстрактни функции (587). 6. Формула на Нютон-Лайбниц за абстрактни функции (589). 7. Производни от втори ред (592). 8. Преобразуване на m-мерно евклидово пространство в g-мерно пространство (595). 9. Производни и диференциали от по-високи разряди (598). 10. Формула на Тейлър за преобразуване на едно нормирано пространство в друго (599).
Изследване на екстремума на функционалите в нормализиран
пространства. 602
1. Необходимо условие за екстремум (602). 2. Достатъчни условия за екстремум (605).
Глава 13. НЕЯВНИ ФУНКЦИИ 609
§ 1. Съществуване и диференцируемост на неявно зададена функция 610
1. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявната функция (610). 2. Изчисляване на частни производни на неявно зададена функция (615). 3. Особени точки на повърхнина и равнинна крива (617). 4. Условия, осигуряващи съществуването на обратната функция (618) за функцията y=)(x).
§ 2. Неявни функции, определени от система от функционални
уравнения 619
1. Теорема за разрешимостта на система от функционални уравнения (619). 2. Изчисляване на частни производни на функции, неявно определени чрез система от функционални уравнения (624). 3. Картографиране едно към едно на два набора от m-измерно пространство (625).
§ 3. Зависимост на функции 626
1. Концепцията за функционална зависимост. Достатъчно условие за независимост (626). 2. Функционални матрици и техните приложения (628).
§ 4. Условен екстремум. 632
1. Концепцията за условен екстремум (632). 2. Метод на неопределените множители на Лагранж (635). 3. Достатъчно. условия (636). 4. Пример (637).
Приложение 1. Преобразувания на банахови пространства. Аналог на теорема 638 за неявната функция
1. Теорема за съществуването и диференцируемостта на неявната функция (638). 2. Случаят на крайномерните пространства (644). 3. Особени точки на повърхност в пространство с n измерения. Обратно картографиране (647). 4. Условен екстремум в случай на преобразуване на нормирани пространства (651).
Част 2. - Продължение на курса.
СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор 5
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВА ПОРЕДИЦА 7
§ 1. Концепцията за числова серия 7
1. Конвергентни и дивергентни редове (7). 2. Критерий на Коши за сходимост на редове (10)
§ 2. Редица с неотрицателни членове 12"
1. Необходимо и достатъчно условие за сходимост на ред с неотрицателни членове (12). 2. Знаци за сравнение (13). 3. Симптоми на Даламбер и Коши (16). 4. Интегрален тест на Коши - Маклорен (21). 5, знак на Раабе (24). 6. Липса на универсална серия за сравнение (27)
§ 3. Абсолютно и условно сходни редове 28
1. Понятия за абсолютно и условно сходни редове (28). 2. За пренареждането на членовете на условно сходящия се ред (30). 3. Относно пренареждането на членове на абсолютно сходяща серия (33)
§ 4. Тестове за сходимост на произволни редове 35
§ 5. Аритметични действия върху сходни редове 41
§ 6. Безкрайни произведения 44
1. Основни понятия (44). 2. Връзка между сходимостта на безкрайни произведения и редове (47). 3. Разгъване на функцията sin x в безкраен продукт (51)
§ 7. Обобщени методи за сумиране на разнопосочни редове.... 55
1. Метод на Чезаро (метод на средните аритметични) (56). 2. Метод на сумиране на Поасон - Абел (57)
§ 8. Елементарна теория на двойните и повторните серии 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛНИ ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТИ И СЕРИИ 67
§ 1. Понятия за сходимост в точка и равномерна сходимост върху множество 67
1. Понятията функционална последователност и функционална серия (67). 2. Сходимост на функционална последователност (функционална серия) в точка и на множество (69). 3. Равномерна сходимост на множеството (70). 4. Критерий на Коши за равномерна конвергенция на последователност (серия) (72)
§ 2. Достатъчни критерии за равномерна сходимост на функционални последователности и серии 74
§ 3. Посрочно преминаване на границата 83
§ 4. Посрочно интегриране и почленно диференциране на функционални последователности и серии 87
1. Посрочна интеграция (87). 2. Посрочно диференциране (90). 3. Средна конвергенция (94)
§ 5. Еквивалентна непрекъснатост на последователност от функции... 97
§ 6. Степенен ред 102
1. Степенен ред и областта на неговата конвергенция (102). 2. Непрекъснатост на сумата на степенния ред (105). 3. Почленно интегриране и почленно диференциране на степенни редове (105)
§ 7. Разлагане на функции в степенни редове 107
1. Разгъване на функция в степенен ред (107). 2. Развиване на някои елементарни функции в ред на Тейлър (108). 3. Елементарни представи за функции на комплексна променлива (CV). 4. Теорема на Вайерщрас за равномерното приближение на непрекъсната функция чрез полиноми (112)
ГЛАВА 3. ДВОЙНИ И n-КРАТНИ ИНТЕГРАЛИ 117
§ 1. Определение и условия за съществуване на двоен интеграл. . . 117
1. Дефиниция на двоен интеграл за правоъгълник (117).
2. Условия за съществуване на двоен интеграл за правоъгълник (119). 3. Определение и условия за съществуване на двоен интеграл за произволна област (121). 4. Обща дефиниция на двоен интеграл (123)
"§ 2. Основни свойства на двойния интеграл 127
§ 3. Редукция на двоен интеграл до повторен единичен интеграл. . . 129 1. Случаят на правоъгълник (129). 2. Случаят на произволен регион (130)
§ 4. Тройни и n-кратни интеграли 133
§ 5. Смяна на променливи в n-кратен интеграл 138
§ 6. Изчисляване на обеми на n-мерни тела 152
§ 7. Теорема за почленно интегриране на функционални редици и серии 157
$ 8. Множество неправилни интеграли 159
1. Концепцията за множество неправилни интеграли (159). 2. Два критерия за сходимост на несобствени интеграли на неотрицателни функции (160). 3. Неправилни интеграли на редуващи се функции (161). 4. Главна стойност на множество неправилни интеграли (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ 167
§ 1. Понятия за криволинейни интеграли от първи и втори род. . . 167
§ 2. Условия за съществуване на криволинейни интеграли 169
ГЛАВА 5. ПОВЪРХНОСТНИ ИНТЕГРАЛИ 175
§ 1. Понятия за повърхнина и нейната площ 175
1. Понятието повърхност (175). 2. Помощни леми (179).
3. Площ (181)
§ 2. Повърхностни интеграли 185
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ НА ПОЛЕТО. ОСНОВНИ ИНТЕГРАЛНИ ФОРМУЛИ ЗА АНАЛИЗ 190
§ 1. Нотация. Биортогонални основи. Инварианти на линейния оператор 190
1. Нотация (190). 2. Биортогонални бази в пространството E" (191). 3. Трансформации на бази. Ковариантни и контравариантни координати на вектор (192). 4. Инварианти на линеен оператор. Дивергенция и навивка (195). 5. Изрази за дивергенция и curl на линеен оператор в ортонормална база (Shch8)
§ 2. Скаларни и векторни полета. Диференциални оператори на векторен анализ 198
!. Скаларни и векторни полета (198). 2. Дивергенция, ротор и производна по отношение на посоката на векторно поле (203). 3. Някои други формули за векторен анализ (204). 4. Заключителни бележки (206)
§ 3. Основни интегрални формули за анализ 207
1. Формула на Грийн (207). 2. Формула на Остроградски-Гаус (211). 3. Формула на Стокс (214)
§ 4. Условия за независимост на криволинейния интеграл в равнина от пътя на интегриране 218
§ 5. Някои примери за приложения на теорията на полето 222
1. Изразяване на площта на плоска област чрез криволинеен интеграл (222). 2. Изразяване на обем чрез повърхностен интеграл (223)
Допълнение към глава 6. Диференциални форми в евклидовото пространство 225
§ 1. Редуващи се многолинейни форми 225
1. Линейни форми (225). 2. Билинейни форми (226). 3. Многолинейни форми (227). 4. Редуващи се полилинейни форми (228). 5. Външен продукт на редуващи се форми (228). 6. Свойства на външния продукт на редуващи се форми (231). 7. Основа в пространството на редуващи се форми (233)
§ 2. Различни форми 235
1. Основни означения (235). 2. Външен диференциал (236). 3. Свойства на външния диференциал (237;)
§ 3. Диференцируеми преобразувания 2391
1. Дефиниция на диференцируеми преобразувания (239). 2. Свойства на дисплея f* (240)
§ 4. Интегриране на диференциални форми 243
1. Дефиниции (243). 2. Диференцируеми вериги (245). 3. Формула на Стокс (248). 4. Примери (250)
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛИ В ЗАВИСИМОСТ ОТ ПАРАМЕТРИ 252
§ 1. Равномерно в една променлива тенденцията на функция на две променливи към границата в друга променлива 252
1. Връзката между функция на две променливи, клоняща равномерно в една променлива към границата в друга променлива с равномерната конвергенция на функционалната последователност (252). 2. Критерий на Коши за равномерна тенденция на функция към границата (254). 3. Приложения на концепцията за еднаква тенденция към граничната функция (254)
§ 2. Собствени интеграли в зависимост от параметъра 256
1. Свойства на интеграла в зависимост от параметъра (256). 2. Случаят, когато границите на интегриране зависят от параметъра (257)
§ 3. Неправилни интеграли в зависимост от параметъра 259
1. Неправилни интеграли от първи род в зависимост от параметъра (260). 2. Неправилни интеграли от втори род в зависимост от параметъра (266)
§ 4. Приложение на теорията на интегралите в зависимост от параметър за изчисляване на някои несобствени интеграли 267
§ 5. Интеграли на Ойлер 271
k G-функция (272). 2. B-функция (275). 3. Връзка между интегралите на Ойлер (277). 4. Примери (279)
§ 6. Формула на Стърлинг 280
§ 7. Кратни интеграли в зависимост от параметри 282
1. Собствени множество интеграли в зависимост от параметри (282).
2. Неправилни множествени интеграли в зависимост от параметър (283)
ГЛАВА 8. РЕД НА ФУРИЕ 287
§ 1. Ортонормирани системи и общи редове на Фурие 287
1. Ортонормални системи (287). 2. Концепцията за общ ред на Фурие (292)
§ 2. Затворени и пълни ортонормирани системи 295
§ 3. Затвореност на тригонометричната система и последици от това. . 298 1. Равномерно приближение на непрекъсната функция чрез тригонометрични полиноми (298). 2. Доказателство за затвореността на тригонометричната система (301). 3. Последици от затвореността на тригонометричната система (303)
§ 4. Най-простите условия за равномерна сходимост и почленно диференциране на тригонометричен ред на Фурие 304
1. Уводни бележки (304). 2. Най-простите условия за абсолютна и равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие (306).
3. Най-простите условия за почленно диференциране на тригонометричния ред на Фурие (308)
§ 5. По-точни условия за равномерна конвергенция и условия за сходимост в дадена точка 309>
1. Модул на непрекъснатост на функция. Класове по Хьолдер (309). 2. Израз за частичната сума на тригонометричния ред на Фурие (311). 3. Помощни изречения (314). 4. Принципът на локализация (317). 5. Равномерна сходимост на тригонометричния ред на Фурие за функция от класа на Хьолдер (319). 6. Относно сходимостта на тригонометричния ред на Фурие на функцията на част от Хьолдер (325). 7. Сумируемост на тригонометричен ред на Фурие на непрекъсната функция по метода на средните аритметични (329). 8. Заключителни бележки (331)
§ 6. Кратни тригонометрични редове на Фурие 332
1. Понятия за множество тригонометрични редове на Фурие и техните правоъгълни и сферични частични суми (332). 2. Модул на непрекъснатост и класове на Хьолдер за функция от N променливи (334). 3. Условия за абсолютна сходимост на множество тригонометрични редове на Фурие (335)
ГЛАВА 9. ТРАНСФОРМАЦИЯ НА ФУРИЕ 33"
§ 1. Представяне на функция чрез интеграла на Фурие 339
1. Помощни твърдения (340). 2. Основна теорема. Формула за обръщане (342). 3. Примери (347)
§ 2. Някои свойства на преобразуването на Фурие 34&
§ 3. Кратен интеграл на Фурие 352

Име: Математически анализ - Основен курс с примери и задачи. 2002 г.

Представена е основната информация от началните раздели на курса по математически анализ за колежи - „Въведение в анализа“, „Основи на диференциалното смятане на функциите на една променлива“, „Методи за интегриране на функции на една променлива“, „Числени серии“ .
Дадена е кратка теория, типични примери и задачи за самостоятелно решаване. Предложени са алгоритми на методи за решаване на различни класове задачи.

Ръководството може да се използва както като учебник, така и като проблемна книга от студенти от технически специалности, кадети от военни училища, ученици от техникуми и средни училища.

СЪДЪРЖАНИЕ
Предговор от редактора на поредицата. 7
Предговор 8
Глава I. Въведение в анализа. 10
§ 1. Някои сведения от теория на множествата 10
1.1. Основни понятия (10). 1.2. Операции върху множества. (10)
§ 2. Числови последователности. Граница на консистенция. 16
2.1. Основни определения (16). 2.2. Граница на последователността (18). 2.3. Свойства на конвергентни последователности (21). 2.4. Типични примери (23). 2.5. Задачи за самостоятелно решаване (23).
§ 3. Функции. Ограничение на функцията 24
3.1. Основни определения. Методи за специфициране на функции (24). 3.2. Комплексни, обратни и параметрично дефинирани функции (25). 3.3. Елементарни функции (27). 3.4. Монотонни функции (29). 3.5. Ограничени функции (29). 3.6. Ограничение на функцията (30). 3.7. Едностранни граници на функцията (36). 3.8. Типични примери (38). 3.9. Задачи за самостоятелно решаване. (39)
§ 4. Теореми за границите на функциите. 39
4.1. Основни теореми за границите на функции (39). 4.2. Безкрайно малки и безкрайно големи функции и техните свойства (41). 4.3. Теореми за границите на функции, свързани с аритметични операции (45). 4.4. Теореми за границите на функции, свързани с неравенства (47). 4.5. Типични примери (50). 4.6. Задачи за самостоятелно решаване (54).
§ 5. Забележителни граници. Сравнение на безкрайно малки функции 54
5.1. Забележителни граници (54). 5.2. Сравнение на безкрайно малки функции (58). 5.3. Свойства на еквивалентни безкрайно малки функции (60). 5.4. Типични примери (63). 5.5. Задачи за самостоятелно решаване (70).
§ 6. Непрекъснатост на функциите 71
6.1. Основни определения (71). 6.2. Свойства на функции, непрекъснати в точката (73). 6.3. Непрекъснатост на функции на интервал, полуинтервал, отсечка (77). 6.4. Свойства на функции, непрекъснати на интервал (78). 6.5. Точки на прекъсване на функцията и тяхната класификация (78). 6.6. Типични примери (80). 6.7. Задачи за самостоятелно решаване (85).
Глава II. Основи на диференциалното смятане на функциите на една променлива. 87
§ 7. Производна на функция, нейните свойства и приложения 87
7.1. Определяне на производната на функция в точка (87). 7.2. Таблична диференциация. Производни на основни елементарни функции (89). 7.3. Свойства на производната (92). 7.4. Геометричен и механичен смисъл на производната (94). 7.5. Тангенсни и нормални уравнения за графиката на функция (96). 7.6. Типични примери (97). 7.7. Задачи за самостоятелно решаване (101).
§ 8. Диференциране на сложна функция, обратна функция и параметрично дефинирана функция 102
8.1. Производна на сложна функция. Логаритмична производна (102). 8.2. Производна на обратната функция. Производни на обратни тригонометрични функции (105). 8.3. Производна на параметрично определена функция (107). 8.4. Типични примери (109). 8.5. Задачи за самостоятелно решаване (111).
§ 9. Диференциал на функция, неговите свойства и приложения.... 112
9.1. Диференцируемост на функция. Диференциал (112). 9.2. Диференциални свойства (114). 9.3. Геометрично значение на диференциала. Изчисляване на приблизителни стойности на функции с помощта на диференциал (115). 9.4. Инвариантност на формата на запис на диференциала (116). 9.5. Типични примери (117). 9.6. Задачи за самостоятелно решаване (119).
§ 10. Производни и диференциали от по-високи разряди 120
10.1. Производни от по-висок порядък (120). 10.2. Формула на Лайбниц (122). 10.3. Диференциали от по-високи разряди (124). 10.4. Типични примери (126). 10.5. Задачи за самостоятелно решаване (129).
§единадесет. Основни теореми на диференциалното смятане. Разкриване на несигурностите 130
11.1. Теорема на Рол (теорема за нулева производна) (130). 11.2. Теорема на Лагранж. Формула за крайно нарастване (131). 11.3. Теорема на Коши. Обобщена формула за крайни нараствания (133). 11.4. Разкриване на несигурности. Правилото на L'Hopital (134). 11.5. Типични примери (141). 11.6. Задачи за самостоятелно решаване (145).
§ 12. Формула на Тейлър 146
12.1. Формула на Тейлър с остатъчен член във формата на Пеано (146). 12.2. Формула на Тейлър за някои основни елементарни функции (150). 12.3. Различни форми на остатъчния член (152). 12.4. Типични примери (155). 12.5. Задачи за самостоятелно решаване (159).
§ 13. Нарастване, намаляване, екстремум на функция 160
13.1. Нарастващи и намаляващи функции (160). 13.2. Екстремум на функция (163). 13.3. Най-големите и най-малките стойности на функцията (168). 13.4. Типични примери (172). 13.5. Задачи за самостоятелно решаване (175).
§ 14. Изпъкналост, вдлъбнатост, инфлексни точки на крива. Асимптоти на крива 176
14.1. Изпъкналост, вдлъбнатост, точки на инфлексия на кривата (176). 14.2. Асимптоти на кривата (180). 14.3. Типични примери (183). 14.4. Задачи за самостоятелно решаване (185).
§ 15. Изучаване на функции и построяване на техните графики 186
15.1. Дизайн на функционално изследване (186). 15.2. Типични примери (186). 15.3. Задачи за самостоятелно решаване (195).
Глава III. Методи за интегриране на функции на една променлива. 196
§ 16. Първопроизводна на функция и неопределен интеграл. 196
16.1. Определение и свойства на неопределения интеграл (196). 16.2. Основни методи на интегриране (198). 16.3. Типични примери (207). 16.4. Задачи за самостоятелно решаване (210).
§ 17. Интегриране на рационални дроби. 211
17.1. Кратки сведения от алгебрата на многочлените (211). 17.2. Интегриране на елементарни дроби (214). 17.3. Интегриране на рационални дроби (218). 17.4. Типични примери (220). 17.5. Задачи за самостоятелно решаване (227).
§ 18. Интегриране на тригонометрични функции. 227
18.1. Универсално тригонометрично заместване (227). 18.2. Интегриране на нечетни функции по отношение на sin x или cos x (230). 18.3. Интегриране на функции дори по отношение на sin x и cos x (232). 18.4. Интегриране на произведения от синуси и косинуси на различни аргументи (234). 18.5. Типични примери (235). 18.6. Задачи за самостоятелно решаване (239).
§ 19. Интегриране на някои ирационални функции. 240
19.1. Интегриране на функции, рационални по отношение на аргумента и корена на линейна дробна функция (240). 19.2. Интегриране на функции, рационални по отношение на аргумента и корен квадратен от тричлен на квадрат (241). 19.3. Типични примери (248). 19.4. Задачи за самостоятелно решаване (258).
Глава IV. Цифрови серии. 260
§ 20. Основни определения и свойства на числови редове. 260
20.1. Основни определения (260). 20.2. Основни свойства на редовете (265). 20.3. Критерий на Коши за сходимост на редове (270). 20.4. Типични примери (271). 20.5. Задачи за самостоятелно решаване (274).
§ 21. Редици с постоянен знак. 275
21.1. Критерий за сходимост на редове с постоянен знак (275). 21.2. Достатъчни критерии за сходимост и дивергенция на редове с неотрицателни членове (277). 21.3. Типични примери (289). 21.4. Задачи за самостоятелно решаване. (297).
§ 22. Редуващи се серии. 298
22.1. Редуващи се редове (298). 22.2. Абсолютно и условно сходящи се редове (302). 22.3. Тестове на Д'Аламбер и Коши за редуващи се серии (303). 22.4. Свойства на абсолютно и условно сходни редове (305). 22.5. Типични примери (307). 22.6. Задачи за самостоятелно решаване (312).
§ 23. Редици и серии със сложни членове 313
23.1. Кратка информация за комплексните числа (313). 23.2. Поредици със сложни членове (318). 23.3. Серии със сложни членове (321). 23.4. Типични примери (324). 23.5. Задачи за самостоятелно решаване. (329)
Приложение. 331
§ 24. Кратка информация за интегралите с безкрайни граници. 331
Отговори на проблеми за самостоятелно решение. 336
Библиография. 343
Материал за справка. 344
Предметен индекс.

Някои определения:

Графиката е метод за определяне на функция, при който съответствието между набора от стойности на аргументи и набора от стойности на функцията се установява графично.
Например, барограма, записана от барограф, показва графично атмосферното налягане като функция на времето.

Методът за определяне на функция се нарича табличен, ако е посочена таблица със стойности на аргументи и съответните стойности на функцията.
Например, зависимостта на температурата на въздуха от времето може да се определи с помощта на таблица с експериментални данни.

В допълнение към горните методи за определяне на функция, има и други. Например, когато се извършват числени изчисления на компютри, функциите се задават алгоритмично, тоест с помощта на програма за изчисляване на техните стойности за необходимите стойности на аргумента. Функция може да бъде определена и чрез словесно описание на съответствието между стойностите на аргумента и стойностите на функцията. Например, „свързваме всяко рационално число с числото 1, а всяко ирационално число с 0...“. Дефинираната по този начин функция се нарича функция на Дирихле.