Самите уравнения с дроби не са трудни и са много интересни. Нека да разгледаме видовете дробни уравнения и как да ги решаваме.
Как се решават уравнения с дроби - х в числителя
Ако е дадено дробно уравнение, където неизвестното е в числителя, решението не изисква допълнителни условия и се решава без излишни проблеми. Общата форма на такова уравнение е x/a + b = c, където x е неизвестното, a, b и c са обикновени числа.
Намерете x: x/5 + 10 = 70.
За да решите уравнението, трябва да се отървете от дробите. Умножете всеки член в уравнението по 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x и 5 се анулират, 10 и 70 се умножават по 5 и получаваме: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.
Намерете x: x/5 + x/10 = 90.
Този пример е малко по-сложна версия на първия. Тук има две възможни решения.
- Вариант 1: Отърваваме се от дробите, като умножим всички членове на уравнението с по-голям знаменател, тоест с 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > х=300.
- Вариант 2: Добавете лявата страна на уравнението. x/5 + x/10 = 90. Общият знаменател е 10. Разделяме 10 на 5, умножаваме по x, получаваме 2x. Разделяме 10 на 10, умножаваме по x, получаваме x: 2x+x/10 = 90. Следователно 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Често се сблъскваме с дробни уравнения, в които х-овете са от противоположните страни на знака за равенство. В такива ситуации е необходимо всички дроби с X да се преместят от едната страна, а числата от другата.
- Намерете x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
- Преместете 2x/5 надясно с противоположния знак: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Намаляваме 5x/5 и получаваме: x = 130.
Как се решава уравнение с дроби - х в знаменателя
Този тип дробни уравнения изисква писане на допълнителни условия. Посочването на тези условия е задължителна и неразделна част от правилното решение. Като не ги добавите, вие рискувате, тъй като отговорът (дори и да е правилен) може просто да не бъде зачетен.
Общата форма на дробните уравнения, където x е в знаменателя, е: a/x + b = c, където x е неизвестното, a, b, c са обикновени числа. Моля, обърнете внимание, че x може да не е произволно число. Например x не може да бъде равно на нула, тъй като не може да бъде разделено на 0. Именно това е допълнителното условие, което трябва да уточним. Това се нарича диапазон от допустими стойности, съкратено OA.
Намерете x: 15/x + 18 = 21.
Веднага записваме ODZ за x: x ≠ 0. Сега, когато ODZ е посочен, решаваме уравнението според стандартната схема, като се отърваваме от дроби. Умножете всички членове на уравнението по x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Често има уравнения, в които знаменателят съдържа не само x, но и някаква друга операция с него, например добавяне или изваждане.
Намерете x: 15/(x-3) + 18 = 21.
Вече знаем, че знаменателят не може да бъде равен на нула, което означава x-3 ≠ 0. Преместваме -3 надясно, променяйки знака „-“ на „+“ и получаваме, че x ≠ 3. ODZ е посочено.
Решаваме уравнението, умножаваме всичко по x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.
Преместете X надясно, числата наляво: 24 = 3x => x = 8.
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Инструкции
Може би най-очевидният момент тук е, разбира се. Числовите дроби не представляват никаква опасност (дробните уравнения, при които всички знаменатели съдържат само числа, обикновено са линейни), но ако в знаменателя има променлива, това трябва да се вземе предвид и да се запише. Първо, това е, че x, което превръща знаменателя в 0, не може да бъде и като цяло е необходимо отделно да се посочи фактът, че x не може да бъде равно на това число. Дори и да успеете, че при заместване в числителя всичко се събира идеално и отговаря на условията. Второ, не можем да умножим никоя страна на уравнението по , което е равно на нула.
След това такова уравнение се свежда до преместване на всичките му членове в лявата страна, така че 0 остава отдясно.
Необходимо е всички термини да бъдат приведени към общ знаменател, умножавайки, където е необходимо, числителите по липсващите изрази.
След това решаваме обичайното уравнение, записано в числителя. Можем да извадим общи множители извън скоби, да използваме съкратено умножение, да приведем подобни, да изчислим корените на квадратно уравнение чрез дискриминанта и т.н.
Резултатът трябва да бъде факторизиране под формата на произведение от скоби (x-(i-ти корен)). Това може да включва и полиноми, които нямат корени, например квадратен трином с дискриминант по-малък от нула (ако, разбира се, проблемът включва само реални корени, както най-често се случва).
Задължително е знаменателят да се разложи на множители и да се намерят скобите, които вече се съдържат в числителя. Ако знаменателят съдържа изрази като (x-(число)), тогава е по-добре скобите в него да не се умножават директно, когато се редуцират до общ знаменател, а да се оставят като произведение на оригиналните прости изрази.
Еднаквите скоби в числителя и знаменателя могат да бъдат съкратени, като първо се запишат, както бе споменато по-горе, условията върху x.
Отговорът се записва във къдрави скоби, като набор от x стойности или просто като изброяване: x1=..., x2=... и т.н.
източници:
- Дробни рационални уравнения
Нещо, без което не можете във физиката, математиката, химията. Най-малко. Нека научим основите на решаването им.
Инструкции
Най-общата и проста класификация може да бъде разделена според броя на променливите, които съдържат, и степените, в които тези променливи стоят.
Решете уравнението с всичките му корени или докажете, че няма такива.
Всяко уравнение има не повече от P корени, където P е максимумът на дадено уравнение.
Но някои от тези корени може да съвпадат. Така, например, уравнението x^2+2*x+1=0, където ^ е иконата за степенуване, се сгъва на квадрат на израза (x+1), тоест в произведението на две еднакви скоби, всяка от които дава x=- 1 като решение.
Ако има само едно неизвестно в дадено уравнение, това означава, че ще можете изрично да намерите неговите корени (реални или комплексни).
За това най-вероятно ще ви трябват различни трансформации: съкратено умножение, изчисляване на дискриминант и корени на квадратно уравнение, прехвърляне на членове от една част в друга, редукция до общ знаменател, умножение на двете части на уравнението по едно и също израз, чрез квадрат и др.
Трансформациите, които не засягат корените на уравнението, са идентични. Те се използват за опростяване на процеса на решаване на уравнение.
Можете също така да използвате графичния метод вместо традиционния аналитичен и да запишете това уравнение във формуляра, след което да извършите неговото изследване.
Ако има повече от едно неизвестно в едно уравнение, тогава ще можете да изразите само едно от тях по отношение на другото, като по този начин показвате набор от решения. Това са например уравнения с параметри, в които има неизвестно x и параметър a. Да се реши параметрично уравнение означава за всички a да се изрази x чрез a, тоест да се разгледат всички възможни случаи.
Ако уравнението съдържа производни или диференциали на неизвестни (вижте снимката), поздравления, това е диференциално уравнение и не можете без висша математика).
източници:
- Трансформации на идентичността
За решаване на проблема с в дроби, трябва да се научите как да правите аритметика с тях. Те могат да бъдат десетични, но най-често се използват естествени дроби с числител и знаменател. Едва след това можете да преминете към решаване на математически задачи с дробни количества.
Ще имаш нужда
- - калкулатор;
- - познаване на свойствата на дробите;
- - умение за извършване на операции с дроби.
Инструкции
Дроб е нотация за деление на едно число на друго. Често това не може да се направи напълно, поради което това действие остава недовършено. Числото, което се дели (то се появява над или преди знака за дроб) се нарича числител, а второто число (под или след знака за дроб) се нарича знаменател. Ако числителят е по-голям от знаменателя, дробта се нарича неправилна дроб и от нея може да се отдели цяла част. Ако числителят е по-малък от знаменателя, тогава такава дроб се нарича правилна и нейната цяла част е равна на 0.
Задачисе делят на няколко типа. Определете на кой от тях принадлежи задачата. Най-простият вариант е да намерите част от число, изразено като дроб. За да разрешите този проблем, просто умножете това число по дроб. Например доставени са 8 тона картофи. През първата седмица бяха продадени 3/4 от общия му брой. Колко картофа са останали? За да разрешите този проблем, умножете числото 8 по 3/4. Получава се 8∙3/4=6 t.
Ако трябва да намерите число по неговата част, умножете известната част от числото по обратната дроб на тази, която показва какъв е делът на тази част в числото. Например 8 от тях съставляват 1/3 от общия брой ученици. Колко в ? Тъй като 8 души е част, която представлява 1/3 от общия брой, тогава намерете реципрочната дроб, която е 3/1 или просто 3. След това, за да получите броя на учениците в класа 8∙3=24 ученици.
Когато трябва да намерите каква част от число е едно число от друго, разделете числото, което представлява частта, на това, което е цялото. Например, ако разстоянието е 300 км, а колата е изминала 200 км, каква част от общото разстояние ще бъде това? Разделете част от пътя 200 на пълния път 300, след намаляване на фракцията ще получите резултата. 200/300=2/3.
За да намерите неизвестна част от число, когато има известна, вземете цялото число като условна единица и извадете известната дроб от нея. Например, ако 4/7 от урока вече е минал, остава ли още време? Вземете целия урок като единица и извадете 4/7 от него. Вземете 1-4/7=7/7-4/7=3/7.
Уравнения, съдържащи променлива в знаменателя, могат да бъдат решени по два начина:
Привеждане на дроби към общ знаменател
Използване на основното свойство на пропорцията
Независимо от избрания метод, след намиране на корените на уравнението е необходимо да изберете от намерените валидни стойности, тоест тези, които не превръщат знаменателя в $0$.
1 начин. Привеждане на дроби към общ знаменател.
Пример 1
$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$
Решение:
1. Нека прехвърлим дробта от дясната страна на уравнението в лявата
\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]
За да направите това правилно, не забравяйте, че когато премествате елементи в друга част на уравнението, знакът пред изразите се променя на противоположния. Това означава, че ако имаше знак „+“ пред дробта от дясната страна, тогава ще има знак „-“ пред нея от лявата страна. Тогава от лявата страна получаваме разликата на дроби.
2. Сега нека отбележим, че дробите имат различни знаменатели, което означава, че за да компенсирате разликата, е необходимо дробите да бъдат приведени към общ знаменател. Общият знаменател ще бъде произведението на полиномите в знаменателите на първоначалните дроби: $(2x-1)(x+3)$
За да се получи идентичен израз, числителят и знаменателят на първата дроб трябва да се умножат по полинома $(x+3)$, а втората по полинома $(2x-1)$.
\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]
Нека извършим трансформация в числителя на първата дроб - умножение на полиноми. Не забравяйте, че за да направите това, трябва да умножите първия член на първия полиномумножете по всеки член на втория полином, след това умножете втория член на първия полином по всеки член на втория полином и добавете резултатите
\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]
Нека представим подобни членове в получения израз
\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]
Нека извършим подобна трансформация в числителя на втората дроб - умножете полиноми
$\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=(2х)^2-х-10х+ 5=(2x)^2-11x+5$
Тогава уравнението ще приеме формата:
\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]
Сега дробите имат еднакъв знаменател, което означава, че можете да изваждате. Спомнете си, че когато изваждате дроби с еднакъв знаменател от числителя на първата дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб, оставяйки знаменателя същия
\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]
Нека трансформираме израза в числителя. За да отворите скоби, предшествани от знак „-“, трябва да смените всички знаци пред термините в скоби с противоположни
\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]
Нека представим подобни термини
$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $
Тогава фракцията ще приеме формата
\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]
3. Една дроб е равна на $0$, ако нейният числител е 0. Следователно, ние приравняваме числителя на дробта на $0$.
\[(\rm 20x+4=0)\]
Нека решим линейното уравнение:
4. Да вземем проби от корените. Това означава, че е необходимо да се провери дали знаменателите на оригиналните дроби се превръщат в $0$, когато се открият корените.
Нека поставим условието знаменателите да не са равни на $0$
x$\ne 0,5$ x$\ne -3$
Това означава, че всички стойности на променливи са приемливи с изключение на $-3$ и $0,5$.
Коренът, който намерихме, е приемлива стойност, което означава, че спокойно може да се счита за корен на уравнението. Ако намереният корен не е валидна стойност, тогава такъв корен би бил страничен и, разбира се, няма да бъде включен в отговора.
Отговор:$-0,2.$
Сега можем да създадем алгоритъм за решаване на уравнение, което съдържа променлива в знаменателя
Алгоритъм за решаване на уравнение, което съдържа променлива в знаменателя
Преместете всички елементи от дясната страна на уравнението вляво. За да се получи идентично уравнение, е необходимо всички знаци пред изразите от дясната страна да бъдат сменени с противоположни
Ако от лявата страна получим израз с различни знаменатели, тогава ги свеждаме до общ, използвайки основното свойство на дроб. Извършете трансформации с помощта на трансформации на идентичност и получете крайна дроб, равна на $0$.
Приравнете числителя на $0$ и намерете корените на полученото уравнение.
Да вземем проби от корените, т.е. намерете валидни стойности на променливи, които не правят знаменателя $0$.
Метод 2. Използваме основното свойство на пропорцията
Основното свойство на пропорцията е, че произведението на крайните членове на пропорцията е равно на произведението на средните членове.
Пример 2
Използваме това свойство, за да решим тази задача
\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]
1. Нека намерим и приравним произведението на крайните и средните членове на пропорцията.
$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$
\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]
След като решим полученото уравнение, ще намерим корените на оригинала
2. Нека намерим приемливите стойности на променливата.
От предишното решение (метод 1) вече установихме, че всички стойности са приемливи с изключение на $-3$ и $0,5$.
След това, след като установихме, че намереният корен е валидна стойност, открихме, че $-0,2$ ще бъде коренът.