Продължение от вчера:
Да си поиграем с мозайка, базирана на геометрична приказка:
Имало едно време триъгълници. Толкова си приличат, че са просто копия един на друг.
Някак си застанаха един до друг в права линия. И тъй като всички бяха еднакви на ръст -
тогава върховете им бяха на едно ниво, под владетеля:
Триъгълниците обичаха да се търкалят и да стоят на главите си. Качиха се на най-горния ред и застанаха на ъгъла като акробати.
И ние вече знаем - когато застанат с върховете си точно в една линия,
тогава и подметките им вървят по линийка - защото щом някой е еднакъв ръст, значи и наопаки е еднакъв!
Те бяха еднакви във всичко - еднаква височина и еднакви подметки,
а пързалките отстрани - едната по-стръмна, другата по-плоска - са еднакви по дължина
и имат еднакъв наклон. Е, просто близнаци! (само в различни дрехи, всеки със своето парче от пъзела).
- Къде са триъгълниците еднакви страни? Къде ъглите са еднакви?
Триъгълниците се изправиха на главите си, постояха и решиха да се плъзнат и да легнат на долния ред.
Те се плъзгаха и плъзгаха надолу по един хълм; но слайдовете им са същите!
Така че те пасват точно между долните триъгълници, без празнини и никой не е бутнал никого настрани.
Огледахме триъгълниците и забелязахме интересна особеност.
Където и да се съберат ъглите им, и трите ъгъла със сигурност ще се срещнат:
най-големият е „ъгълът на главата“, най-острият ъгъл и третият, среден по големина ъгъл.
Дори вързаха цветни панделки, за да се вижда веднага кое кое е.
И се оказа, че трите ъгъла на триъгълника, ако ги комбинирате -
образуват един голям ъгъл, „отворен ъгъл“ - като корицата на отворена книга,
______________________О ___________________
нарича се обърнат ъгъл.
Всеки триъгълник е като паспорт: три ъгъла заедно са равни на разгънатия ъгъл.
Някой чука на вратата ви: - чук-чук, аз съм триъгълник, остави ме да пренощувам!
И ти му кажи - Покажи ми сумата от ъглите в разгънат вид!
И веднага става ясно дали това е истински триъгълник или измамник.
Неуспешна проверка - Обърнете се на сто и осемдесет градуса и се приберете!
Когато казват "завърти се на 180°", това означава да се обърнеш назад и
отидете в обратната посока.
Същото нещо в по-познатите изрази, без „имало едно време“:
Хайде да го направим паралелен трансфертриъгълник ABC по оста OX
към вектор AB равен на дължината AB бази.
Права DF, минаваща през върхове C и C 1 на триъгълници
успоредна на оста OX, поради факта, че перпендикулярно на остаОХ
сегменти h и h 1 (височини равни триъгълници) са равни.
Така основата на триъгълника A 2 B 2 C 2 е успоредна на основата AB
и равен на него по дължина (тъй като върхът C 1 е изместен спрямо C с количеството AB).
Триъгълниците A 2 B 2 C 2 и ABC са равни по три страни.
Следователно ъглите ∠A 1 ∠B ∠C 2, образуващи прав ъгъл, са равни на ъглите на триъгълника ABC.
=> Сборът от ъглите на триъгълник е 180°
С движения - "преводи", така нареченото доказателство е по-кратко и по-ясно,
дори едно дете може да разбере парчетата от мозайката.
Но традиционното училище:
въз основа на равенството на вътрешните напречни ъгли, отрязани на успоредни прави
ценен с това, че дава представа защо това е така,
Защосборът от ъглите на триъгълник е равен на обратния ъгъл?
Защото в противен случай успоредните прави не биха имали свойствата, познати на нашия свят.
Теоремите работят и в двете посоки. От аксиомата за успоредните прави следва
равенство на кръстосано лежане и вертикални ъгли, а от тях - сумата от ъглите на триъгълника.
Но обратното също е вярно: докато ъглите на триъгълника са 180°, има успоредни прави
(така че през точка, която не лежи на права, може да се начертае уникална права линия || дадена).
Ако един ден в света се появи триъгълник, чиято сума от ъгли не е равна на разгънатия ъгъл -
тогава паралелните ще престанат да бъдат успоредни, целият свят ще се огъне и изкриви.
Ако ивици с триъгълни шарки са разположени една над друга -
можете да покриете цялото поле с повтарящ се модел, като под с плочки:
можете да очертаете различни фигури върху такава мрежа - шестоъгълници, ромби,
звездни многоъгълници и вземете разнообразие от паркети
Подреждането на самолет с паркет е не само забавна игра, но и уместна. математически проблем:
________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\
Тъй като всеки четириъгълник е правоъгълник, квадрат, ромб и т.н.
може да се състои от два триъгълника,
съответно сумата от ъглите на четириъгълник: 180° + 180° = 360°
Еднаквите равнобедрени триъгълници се сгъват на квадрати по различни начини.
Малък квадрат от 2 части. Средно 4. И най-големият от 8-те.
Колко фигури има на чертежа, състоящи се от 6 триъгълника?
Предварителна информация
Първо, нека да разгледаме директно концепцията за триъгълник.
Определение 1
Ще го наречем триъгълник геометрична фигура, който се състои от три точки, свързани с отсечки (фиг. 1).
Определение 2
В рамките на Дефиниция 1 точките ще наричаме върховете на триъгълника.
Определение 3
В рамките на Дефиниция 1 отсечките ще се наричат страни на триъгълника.
Очевидно всеки триъгълник ще има 3 върха, както и три страни.
Теорема за сбора на ъглите в триъгълник
Нека въведем и докажем една от основните теореми, свързани с триъгълниците, а именно теоремата за сбора от ъглите в триъгълник.
Теорема 1
Сборът от ъглите във всеки произволен триъгълник е $180^\circ$.
Доказателство.
Да разгледаме триъгълника $EGF$. Нека докажем, че сборът от ъглите в този триъгълник е равен на $180^\circ$. Нека направим допълнителна конструкция: начертайте правата $XY||EG$ (фиг. 2)
Тъй като правите $XY$ и $EG$ са успоредни, тогава $∠E=∠XFE$ лежи напречно на секущата $FE$, а $∠G=∠YFG$ лежи напречно на секущата $FG$
Ъгъл $XFY$ ще бъде обърнат и следователно е равен на $180^\circ$.
$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\circ$
Следователно
$∠E+∠F+∠G=180^\circ$
Теоремата е доказана.
Теорема за външен ъгъл на триъгълник
Друга теорема за сумата от ъгли за триъгълник може да се счита за теоремата за външния ъгъл. Първо, нека представим тази концепция.
Определение 4
Външен ъгъл на триъгълник ще наричаме ъгъл, който е съседен на произволен ъгъл на триъгълника (фиг. 3).
Нека сега разгледаме директно теоремата.
Теорема 2
Външен ъгъл на триъгълник е равен на сбора от два ъгъла на триъгълника, които не са съседни на него.
Доказателство.
Нека помислим произволен триъгълник$EFG$. Нека има външен ъгъл на триъгълника $FGQ$ (фиг. 3).
По теорема 1 ще имаме, че $∠E+∠F+∠G=180^\circ$, следователно,
$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$
Тъй като ъгълът $FGQ$ е външен, той е съседен на ъгъл $∠G$, тогава
$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$
Теоремата е доказана.
Примерни задачи
Пример 1
Намерете всички ъгли на триъгълник, ако е равностранен.
Е, как си равностранен триъгълниквсички страни са равни, тогава ще имаме, че всички ъгли в него също са равни един на друг. Нека означим степенните им мерки с $α$.
Тогава по теорема 1 получаваме
$α+α+α=180^\circ$
Отговор: всички ъгли са равни на $60^\circ$.
Пример 2
Намерете всички ъгли на равнобедрен триъгълник, ако един от ъглите му е равен на $100^\circ$.
Нека въведем следното обозначение за ъгли в равнобедрен триъгълник:
Тъй като в условието не ни е дадено точно на какъв ъгъл е равен $100^\circ$, тогава са възможни два случая:
Ъгъл, равен на $100^\circ$, е ъгълът при основата на триъгълника.
Използвайки теоремата за ъглите в основата на равнобедрен триъгълник, получаваме
$∠2=∠3=100^\circ$
Но тогава само тяхната сума ще бъде по-голяма от $180^\circ$, което противоречи на условията на теорема 1. Това означава, че този случай не се случва.
Ъгъл, равен на $100^\circ$, е ъгълът между равни страни, това е
Въпросът е отворен на 04/08/2017 в 12:25
Не точно___
2. В равнобедрения триъгълник ъглите при основата са тъпи.
Не точно___
3. Когато две успоредни прави се пресичат с напречна напречна, легналите ъгли са равни
съответните ъгли.
Не точно___
4. Когато две успоредни прави се пресичат с напречна, сборът от едностранните ъгли е 180°.
Не точно___
5. Външният ъгъл на триъгълника е равен на разликата на два ъгъла на триъгълника, които не са съседни на него.
Не точно___
6. Диагоналите на успоредник са равни.
Не точно___
7. Диагоналите на квадрат са взаимно перпендикулярни.
Не точно___
8. Диагоналите на правоъгълник разполовяват ъглите на правоъгълника.
Не точно___
9. Медианата на триъгълник разделя страните на триъгълника в съотношение 2:1, като се брои от върха.
Не точно___
10. Симетралите на триъгълник се пресичат в една точка.
Не точно___
11. Височината на равнобедрен триъгълник, прекарана към основата, е медиана и ъглополовяща.
Не точно___
12. Триъгълник с квадрат на една от страните му равно на суматаквадрати на другите две страни, правоъгълни.
Не точно___
13. Четириъгълник, чиито две страни са успоредни, е трапец.
Не точно___
14. В успоредника сборът от квадратите на диагоналите е равен на сбора от квадратите на всичките му страни.
Не точно___
15. Площта на ромба е равна на произведението на квадрата на страната и синуса на ъгъла на ромба.
Не точно___
16. Площта на правоъгълник е равна на половината от произведението на квадрата на диагонала и синуса на ъгъла между диагоналите.
Не точно___
17. Тангенс на остър ъгъл правоъгълен триъгълник равно на отношението съседен краккъм противоположния.
Не точно___
18. Радиусът на окръжност, описана около правоъгълен триъгълник, е равен на отношението на съседния катет към противоположния.
Не точно___
19. Средите на страните на всеки четириъгълник са върховете на успоредник.
Не точно___
20.Ако диагоналите на успоредник са равни, то този успоредник е квадрат.
Не точно___
21. Отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на основите му.
Не точно___
22. Пресечната точка на продължението на страничните страни на трапеца и средата на неговите основи лежат на една и съща права линия.
Не точно___
23.Ако ъглите при основата на трапец са равни, то той е равнобедрен.
Не точно___
24. Средната линия на трапец е равна на половината от разликата на основите му.
Не точно___
25.Коефициент на площ подобни фигуриравен на коефициента на подобие.
Не точно___
26. Диаметър, перпендикулярен на хордата, разделя дъгите, свързани с нея, наполовина.
Не точно___
27. От две хорди, тази, която е по-отдалечена от центъра, е по-голяма.
Не точно___
28. Радиусът на окръжност е два пъти по-голям от диаметъра.
Не точно___
29. Права, която има две общи точки с окръжност, е допирателна.
Не точно___
30. Центърът на окръжност, вписана в ъгъл, лежи върху ъглополовящата на този ъгъл.
Не точно___
31.Върхът на вписан ъгъл лежи в центъра на окръжността.
Не точно___
32. Центровете на вписаната и описаната окръжност на равностранен триъгълник съвпадат.
Не точно___
33. В четириъгълник може да се впише окръжност, ако сумата противоположни ъглиравна на 180°.
Не точно___
34. Обиколката на окръжност е равна на ∏d, където d е диаметърът на окръжността.
Не точно___
35. Сумата от ъглите на многоъгълник е 180°:(n-2).
Не точно___
36. Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равна на катета, разделен на синуса на ъгъла, противоположен на този катет.
Не точно___
37. Симетралата на триъгълник разделя страната му на сегменти, пропорционални на другите две страни.
Не точно___
38. Правите, съдържащи височини на триъгълник, се пресичат в три точки.
Не точно___
39. Пресечната точка на ъглополовящите на триъгълник е центърът на окръжността, описана около този триъгълник.
Не точно___
40. Ъгълът между ъглополовящите на вертикалните ъгли е 180°.
Не точно___
Тази теорема е формулирана и в учебника на Л.С. , и в учебника на Погорелов А.В. . Доказателствата на тази теорема в тези учебници не се различават съществено и затова представяме нейното доказателство, например, от учебника на А.В.Погорелов.
Теорема: Сборът от ъглите на триъгълник е 180°
Доказателство. Нека ABC - даден триъгълник. Нека начертаем права през върха B, успоредна на правата AC. Нека да отбележим точка D върху него, така че точките A и D да лежат различни страниот правата линия BC (фиг. 6).
Ъглите DBC и ACB са равни като вътрешни напречни, образувани от секущата BC с успоредни прави AC и BD. Следователно сборът от ъглите на триъгълник при върховете B и C е равен на ъгъл ABD. А сборът от трите ъгъла на триъгълника е равен на сбора от ъглите ABD и BAC. Тъй като това са едностранни вътрешни ъгли за успоредни AC и BD и секуща AB, сборът им е 180°. Теоремата е доказана.
Идеята на това доказателство е да се изпълни успоредна линияи обозначаване на равенството на желаните ъгли. Нека реконструираме идеята за такава допълнителна конструкция, като докажем тази теорема, използвайки концепцията за мисловен експеримент. Доказателство на теоремата с помощта на мисловен експеримент. И така, предметът на нашия мисловен експеримент са ъглите на триъгълник. Нека го поставим мислено в условия, в които неговата същност може да бъде разкрита с особена сигурност (етап 1).
Такива условия ще бъдат такова разположение на ъглите на триъгълника, при което и трите им върха ще бъдат комбинирани в една точка. Такава комбинация е възможна, ако допуснем възможността за „преместване“ на ъглите чрез преместване на страните на триъгълника без промяна на ъгъла на наклон (фиг. 1). Такива движения са по същество последващи умствени трансформации (етап 2).
Като обозначаваме ъглите и страните на триъгълника (фиг. 2), ъглите, получени чрез „движение“, ние по този начин мислено формираме средата, системата от връзки, в която поставяме нашия обект на мисъл (етап 3).
Правата AB, „движеща се“ по правата BC и без да променя ъгъла на наклона към нея, прехвърля ъгъл 1 към ъгъл 5, а „движейки се“ по линия AC прехвърля ъгъл 2 към ъгъл 4. Тъй като с такова „движение“ правата AB не променя ъгъла на наклон спрямо правите AC и BC, тогава заключението е очевидно: лъчите a и a1 са успоредни на AB и се трансформират един в друг, а лъчите b и b1 са продължение съответно на страните BC и AC. Тъй като ъгъл 3 и ъгълът между лъчите b и b1 са вертикални, те са равни. Сумата от тези ъгли е равна на завъртяния ъгъл aa1 - което означава 180°.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
IN дипломна работапроведени „конструирани“ доказателства за някакво училище геометрични теореми, използвайки структурата на мисловен експеримент, който потвърди формулираната хипотеза.
Представените доказателства се основават на такива визуални и сензорни идеализации: „компресия“, „разтягане“, „плъзгане“, които правят възможно трансформирането на оригинала геометричен обекти подчертават съществените му характеристики, характерни за мисловния експеримент. При което мисловен експериментдейства като определен „творчески инструмент“, който допринася за появата на геометрични знания (например за средна линиятрапец или около ъглите на триъгълник). Такива идеализации ни позволяват да разберем цялата идея за доказателство, идеята за извършване на „допълнителна конструкция“, което ни позволява да говорим за възможността за по-съзнателно разбиране от учениците на процеса на формално дедуктивно доказателство на геометрични теореми.
Мисловният експеримент е един от основни методиполучаване и откриване на геометрични теореми. Необходимо е да се разработи методология за пренасяне на метода на ученика. останки отворен въпросза възрастта на ученика, приемлива за „приемане“ на метода, за „ странични ефекти» така представените доказателства.
Тези въпроси изискват допълнително проучване. Но във всеки случай едно е сигурно: у учениците се развива мисловен експеримент теоретично мислене, е неговата основа и следователно трябва да се развие способността за умствено експериментиране.