Ще започнем изучаването на тригонометрията с правоъгълен триъгълник. Нека дефинираме какво са синус и косинус, както и тангенс и котангенс остър ъгъл. Това са основите на тригонометрията.

Нека ви го напомним прав ъгъле ъгъл, равен на 90 градуса. С други думи, половин завъртян ъгъл.

Остър ъгъл- по-малко от 90 градуса.

Тъп ъгъл- повече от 90 градуса. Във връзка с такъв ъгъл, "тъп" не е обида, а математически термин :-)

Нека начертаем правоъгълен триъгълник. Правият ъгъл обикновено се означава с . Моля, обърнете внимание, че страната срещу ъгъла е обозначена със същата буква, само малка. По този начин страната срещу ъгъл A е обозначена.

Ъгълът се обозначава със съответния гръцка буква.

хипотенузана правоъгълен триъгълник е срещуположната страна прав ъгъл.

Крака- страни, разположени срещу остри ъгли.

Кракът, лежащ срещу ъгъла, се нарича противоположност(спрямо ъгъла). Другият крак, който лежи на една от страните на ъгъла, се нарича съседен.

синуситеостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението срещуположния краккъм хипотенузата:

Косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседния крак към хипотенузата:

Допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на противоположната страна към съседната:

Друго (еквивалентно) определение: тангенсът на остър ъгъл е отношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник - съотношението на съседната страна към противоположната (или, което е същото, съотношението на косинус към синус):

Обърнете внимание на основните отношения за синус, косинус, тангенс и котангенс по-долу. Те ще ни бъдат полезни при решаване на проблеми.

Нека докажем някои от тях.

Добре, дадохме дефиниции и записахме формули. Но защо все още се нуждаем от синус, косинус, тангенс и котангенс?

Ние знаем това сборът от ъглите на всеки триъгълник е равен на.

Знаем връзката между партииправоъгълен триъгълник. Това е Питагоровата теорема: .

Оказва се, че като знаете два ъгъла в триъгълник, можете да намерите третия. Познавайки двете страни на правоъгълен триъгълник, можете да намерите третата. Това означава, че ъглите имат свое съотношение, а страните имат свое собствено. Но какво трябва да направите, ако в правоъгълен триъгълник знаете един ъгъл (с изключение на правия ъгъл) и една страна, но трябва да намерите другите страни?

С това са се сблъсквали хората в миналото, правейки карти на местността и звездното небе. В крайна сметка не винаги е възможно директно да се измерят всички страни на триъгълник.

Синус, косинус и тангенс - те също се наричат функции на тригонометричен ъгъл- дават връзки между партииИ ъглитриъгълник. Като знаете ъгъла, можете да намерите всичко тригонометрични функцииспоред специални таблици. И като знаете синусите, косинусите и тангенсите на ъглите на триъгълник и една от страните му, можете да намерите останалите.

Ще начертаем и таблица със стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за „добри“ ъгли от до.

Моля, обърнете внимание на двете червени тирета в таблицата. При подходящи стойности на ъгъл тангенс и котангенс не съществуват.

Нека да разгледаме няколко тригонометрични задачи от банката задачи на FIPI.

1. В триъгълник ъгълът е , . Намирам .

Проблемът се решава за четири секунди.

Тъй като , .

2. В триъгълник ъгълът е , , . Намирам .

Нека го намерим с помощта на Питагоровата теорема.

Проблемът е решен.

Често в задачи има триъгълници с ъгли и или с ъгли и. Запомнете наизуст основните съотношения за тях!

За триъгълник с ъгли и катет срещу ъгъла при е равно на половината от хипотенузата.

Триъгълник с ъгли и е равнобедрен. При него хипотенузата е пъти по-голяма от катета.

Разгледахме задачи за решаване на правоъгълни триъгълници - тоест намиране непознати страниили ъгли. Но това не е всичко! IN Опции за единен държавен изпитв математиката има много задачи, в които се появява синус, косинус, тангенс или котангенс на външния ъгъл на триъгълник. Повече за това в следващата статия.

синуситеостър ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението противоположносткатет към хипотенуза.
Означава се по следния начин: sin α.

КосинусОстрият ъгъл α на правоъгълен триъгълник е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.
Означава се както следва: cos α.

Допирателнаостър ъгъл α е отношението на срещуположната страна към съседната страна.
Означава се както следва: tg α.

Котангенсостър ъгъл α е отношението на съседната страна към противоположната страна.
Означава се както следва: ctg α.

Синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на ъгъла зависят само от размера на ъгъла.

правила:

Основен тригонометрични тъждествав правоъгълен триъгълник:

(α - остър ъгъл срещу крака b и в съседство с крака а . отстрани с – хипотенуза. β – втори остър ъгъл).

b sin α = - ° С	sin 2 α + cos 2 α = 1
а cos α = - ° С	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
b тен α = - а	1 1 + ctg 2 α = -- sin 2 α
а ctg α = - b	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
грях α tg α = -- cos α

С нарастването на острия ъгълsin α иtg α увеличение, иcos α намалява.

За всеки остър ъгъл α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Пример-обяснение:

Пуснете правоъгълен триъгълник ABC
AB = 6,
BC = 3,
ъгъл A = 30º.

Нека намерим синуса на ъгъл A и косинуса на ъгъл B.

Решение .

1) Първо намираме стойността на ъгъл B. Тук всичко е просто: тъй като в правоъгълен триъгълник сумата от острите ъгли е 90º, тогава ъгъл B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Нека изчислим sin A. Знаем този синус равно на съотношениетопротивоположната страна на хипотенузата. За ъгъл A противоположната страна е страната BC. Така:

пр. н. е. 3 1
грях А = -- = - = -
AB 6 2

3) Сега нека изчислим cos B. Знаем, че косинусът е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата. За ъгъл B, съседният катет е същата страна BC. Това означава, че отново трябва да разделим BC на AB - тоест да извършим същите действия, както при изчисляването на синуса на ъгъл A:

пр. н. е. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Резултатът е:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

От това следва, че в правоъгълен триъгълник синусът на един остър ъгъл е равно на косинусдруг остър ъгъл - и обратно. Точно това означават нашите две формули:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Нека се уверим в това отново:

1) Нека α = 60º. Замествайки стойността на α във формулата за синус, получаваме:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Нека α = 30º. Замествайки стойността на α във формулата за косинус, получаваме:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(За повече информация относно тригонометрията вижте раздела Алгебра)

Тригонометрия - раздел математическа наука, който изследва тригонометричните функции и тяхното използване в геометрията. Развитието на тригонометрията започва в древна Гърция. През Средновековието важен приносУчени от Близкия изток и Индия допринесоха за развитието на тази наука.

Тази статия е посветена на основни понятияи дефиниции на тригонометрията. Обсъждат се дефинициите на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Тяхното значение е обяснено и илюстрирано в контекста на геометрията.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първоначално дефинициите на тригонометричните функции, чийто аргумент е ъгъл, бяха изразени чрез отношението на страните на правоъгълен триъгълник.

Дефиниции на тригонометрични функции

Синусът на ъгъл (sin α) е отношението на катета срещу този ъгъл към хипотенузата.

Косинус на ъгъла (cos α) - отношението на съседния катет към хипотенузата.

Ъгъл тангенс (t g α) - отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенс на ъгъл (c t g α) - отношението на съседната страна към противоположната страна.

Тези определения са дадени за острия ъгъл на правоъгълен триъгълник!

Нека дадем илюстрация.

IN триъгълник ABCс прав ъгъл C, синусът на ъгъл A е равен на отношението на крака BC към хипотенузата AB.

Дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс ви позволяват да изчислите стойностите на тези функции от известните дължини на страните на триъгълника.

Важно е да запомните!

Диапазонът от стойности на синуса и косинуса е от -1 до 1. С други думи, синусът и косинусът приемат стойности от -1 до 1. Диапазонът от стойности на тангенса и котангенса е цялата числова линия, това означава, че тези функции могат да приемат всякакви стойности.

Дефинициите, дадени по-горе, се отнасят за острите ъгли. В тригонометрията се въвежда понятието ъгъл на завъртане, чиято стойност, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена до 0 до 90 градуса. Ъгълът на завъртане в градуси или радиани се изразява с всяко реално число от - ∞ до + ∞. .

В този контекст можем да дефинираме синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл с произволна величина. Нека си представим единична окръжност с център в началото на декартовата координатна система.

Началната точка A с координати (1, 0) се завърта около центъра единична окръжностдо някакъв ъгъл α и отива в точка A 1 . Дефиницията е дадена по отношение на координатите на точка A 1 (x, y).

Синус (sin) на ъгъла на завъртане

Синусът на ъгъла на завъртане α е ординатата на точка A 1 (x, y). sin α = y

Косинус (cos) на ъгъла на завъртане

Косинусът на ъгъла на завъртане α е абсцисата на точка A 1 (x, y). cos α = x

Тангенс (tg) на ъгъла на завъртане

Тангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на ординатата на точка A 1 (x, y) към нейната абциса. t g α = y x

Котангенс (ctg) на ъгъла на завъртане

Котангенсът на ъгъла на завъртане α е отношението на абсцисата на точка A 1 (x, y) към нейната ордината. c t g α = x y

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл на завъртане. Това е логично, тъй като абсцисата и ординатата на точка след завъртане могат да бъдат определени под всеки ъгъл. Ситуацията е различна с тангенса и котангенса. Допирателната е недефинирана, когато точка след въртене отива към точка с нулева абциса (0, 1) и (0, - 1). В такива случаи изразът за допирателната t g α = y x просто няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Подобна е ситуацията и с котангенса. Разликата е, че котангенсът не е дефиниран в случаите, когато ординатата на точка отива към нула.

Важно е да запомните!

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α.

Тангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Котангенсът е определен за всички ъгли с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

При решаване практически примерине казвайте "синус от ъгъла на завъртане α". Думите „ъгъл на въртене“ просто са пропуснати, което означава, че вече е ясно от контекста какво се обсъжда.

Числа

Какво ще кажете за дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс на число, а не ъгъл на завъртане?

Синус, косинус, тангенс, котангенс на число

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число Tе число, което е съответно равно на синус, косинус, тангенс и котангенс в Tрадиан.

Например синусът на числото 10 π е равен на синуса на ъгъла на завъртане от 10 π rad.

Има друг подход за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Нека го разгледаме по-отблизо.

всеки реално число Tточка от единичната окръжност е свързана с центъра в началото на правоъгълната декартова координатна система. Синус, косинус, тангенс и котангенс се определят чрез координатите на тази точка.

Началната точка на окръжността е точка А с координати (1, 0).

Положително число T

Отрицателно число Tсъответства на точката, до която ще стигне началната точка, ако се движи по кръга обратно на часовниковата стрелка и ще върви по пътя T.

Сега, след като връзката между число и точка от окръжност е установена, преминаваме към дефиницията на синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус (грех) на t

Синус от число T- ордината на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото T. sin t = y

Косинус (cos) от t

Косинус на число T- абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото T. cos t = x

Тангенс (tg) на t

Тангенс на число T- отношението на ординатата към абсцисата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото T. t g t = y x = sin t cos t

Последните определения са в съответствие и не противоречат на определението, дадено в началото на този параграф. Точка върху окръжност съответстващ на числото T, съвпада с точката, до която отива началната точка след завъртане на ъгъл Tрадиан.

Тригонометрични функции на ъглов и числов аргумент

Всяка стойност на ъгъл α съответства на специфична стойностсинус и косинус на този ъгъл. Точно както всички ъгли α, различни от α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) съответстват на определена стойност на допирателната. Котангенсът, както е посочено по-горе, е дефиниран за всички α с изключение на α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Можем да кажем, че sin α, cos α, t g α, c t g α са функции на ъгъла алфа или функции на ъгловия аргумент.

По подобен начин можем да говорим за синус, косинус, тангенс и котангенс като функции числов аргумент. Всяко реално число Tсъответства на определена стойност на синуса или косинуса на число T. Всички числа, различни от π 2 + π · k, k ∈ Z, съответстват на допирателна стойност. По подобен начин котангенсът е дефиниран за всички числа с изключение на π · k, k ∈ Z.

Основни функции на тригонометрията

Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно с кой аргумент на тригонометричната функция (ъглов аргумент или числов аргумент) имаме работа.

Нека се върнем към дефинициите, дадени в самото начало и алфа ъгъла, който е в диапазона от 0 до 90 градуса. Тригонометрични определениясинус, косинус, тангенс и котангенс са напълно съвместими с геометрични определения, дадено с помощта на пропорциите на правоъгълен триъгълник. Нека го покажем.

Вземете единична окръжност с център в правоъгълник Декартова системакоординати Нека завъртим началната точка A (1, 0) на ъгъл до 90 градуса и да начертаем перпендикуляр на абсцисната ос от получената точка A 1 (x, y). В получения правоъгълен триъгълник ъгъл A 1 O H равен на ъгълзавой α, дължината на крака O H е равна на абсцисата на точка A 1 (x, y). Дължината на катета срещу ъгъла е равна на ординатата на точката A 1 (x, y), а дължината на хипотенузата е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност.

В съответствие с определението от геометрията, синусът на ъгъл α е равен на съотношението на срещуположната страна към хипотенузата.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Това означава, че определянето на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез съотношението на страните е еквивалентно на определянето на синуса на ъгъла на завъртане α, като алфа е в диапазона от 0 до 90 градуса.

По подобен начин може да се покаже съответствието на дефинициите за косинус, тангенс и котангенс.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В тази статия ще ви покажем как да давате дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл и число в тригонометрията. Тук ще говорим за нотации, ще дадем примери за записи и ще дадем графични илюстрации. В заключение, нека направим паралел между дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс в тригонометрията и геометрията.

Навигация в страницата.

Дефиниция на синус, косинус, тангенс и котангенс

Нека да видим как се формира идеята за синус, косинус, тангенс и котангенс училищен курсматематика. В уроците по геометрия се дава определението за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. И по-късно се изучава тригонометрията, която говори за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане и число. Нека представим всички тези определения, да дадем примери и да дадем необходимите коментари.

Остър ъгъл в правоъгълен триъгълник

От курса по геометрия знаем дефинициите за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник. Те са дадени като отношение на страните на правоъгълен триъгълник. Нека дадем техните формулировки.

Определение.

Синус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на срещуположната страна към хипотенузата.

Определение.

Косинус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълнике отношението на съседния катет към хипотенузата.

Определение.

Тангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник– това е отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Определение.

Котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник- това е отношението на съседната страна към противоположната страна.

Там са въведени и обозначенията за синус, косинус, тангенс и котангенс - съответно sin, cos, tg и ctg.

Например, ако ABC е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C, тогава синусът на острия ъгъл A е равен на отношението на противоположната страна BC към хипотенузата AB, тоест sin∠A=BC/AB.

Тези определения ви позволяват да изчислите стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл от известните дължини на страните на правоъгълен триъгълник, както и от известни стойностинамерете дължините на другите страни, като използвате синус, косинус, тангенс, котангенс и дължината на една от страните. Например, ако знаем, че в правоъгълен триъгълник катетът AC е равен на 3, а хипотенузата AB е равна на 7, тогава бихме могли да изчислим стойността на косинуса на острия ъгъл A по дефиниция: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Ъгъл на завъртане

В тригонометрията започват да разглеждат ъгъла по-широко - въвеждат понятието ъгъл на завъртане. Големината на ъгъла на завъртане, за разлика от острия ъгъл, не е ограничена до 0 до 90 градуса, ъгълът на завъртане в градуси (и в радиани) може да бъде изразен с всяко реално число от −∞ до +∞.

В тази светлина дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс са дадени не на остър ъгъл, а на ъгъл с произволна големина - ъгълът на завъртане. Те са дадени чрез координатите x и y на точката A 1, към която т. нар. начална точка A(1, 0) отива след завъртането й на ъгъл α около точка O - началото на правоъгълната декартова координатна система и центъра на единичната окръжност.

Определение.

Синус на ъгъла на завъртанеα е ординатата на точка A 1, тоест sinα=y.

Определение.

Косинус на ъгъла на завъртанеα се нарича абсцисата на точка A 1, тоест cosα=x.

Определение.

Тангенс на ъгъла на завъртанеα е отношението на ординатата на точка A 1 към нейната абциса, т.е. tanα=y/x.

Определение.

Котангенс на ъгъла на завъртанеα е отношението на абсцисата на точка A 1 към нейната ордината, т.е. ctgα=x/y.

Синусът и косинусът са определени за всеки ъгъл α, тъй като винаги можем да определим абсцисата и ординатата на точката, която се получава чрез завъртане на началната точка под ъгъл α. Но тангенсът и котангенсът не са определени за нито един ъгъл. Тангентата не е дефинирана за ъгли α, при които началната точка отива към точка с нулева абциса (0, 1) или (0, −1), и това се случва при ъгли 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Наистина, при такива ъгли на въртене изразът tgα=y/x няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Що се отнася до котангенса, той не е дефиниран за ъгли α, при които началната точка отива към точката с нулева ордината (1, 0) или (−1, 0), и това се случва за ъгли 180° k, k ∈Z (π·k рад).

И така, синус и косинус са дефинирани за всички ъгли на завъртане, тангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), а котангенсът е дефиниран за всички ъгли с изключение на 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Дефинициите включват вече познатите ни обозначения sin, cos, tg и ctg, те също се използват за обозначаване на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене (понякога можете да намерите обозначенията tan и cot, съответстващи на тангенса и котангенса) . Така че синусът на ъгъл на въртене от 30 градуса може да бъде записан като sin30°, записите tg(−24°17′) и ctgα съответстват на тангенса на ъгъла на въртене −24 градуса 17 минути и котангенса на ъгъла на въртене α . Спомнете си, че когато пишете радианова мярка на ъгъл, обозначението „рад“ често се пропуска. Например, косинусът на ъгъл на завъртане от три pi rad обикновено се означава с cos3·π.

В заключение на тази точка си струва да се отбележи, че когато се говори за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на въртене, фразата „ъгъл на въртене“ или думата „въртене“ често се пропуска. Тоест, вместо фразата „синус на ъгъла на завъртане алфа“, обикновено се използва фразата „синус на ъгъла алфа“ или, дори по-кратко, „синус алфа“. Същото се отнася за косинус, тангенс и котангенс.

Ще кажем също, че дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник са в съответствие с току-що дадените дефиниции за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл на завъртане, вариращ от 0 до 90 градуса. Ние ще оправдаем това.

Числа

Определение.

Синус, косинус, тангенс и котангенс на число t е числото равно на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане в t радиани, съответно.

Например косинусът на числото 8 π по дефиниция е числото равен на косинусъгъл от 8·π rad. А косинусът на ъгъла е 8 π rad равно на едно, следователно косинусът на числото 8·π е равен на 1.

Има друг подход за определяне на синус, косинус, тангенс и котангенс на число. Състои се в това, че на всяко реално число t се свързва точка от единичната окръжност с център в началото правоъгълна системакоординати, а синус, косинус, тангенс и котангенс се определят чрез координатите на тази точка. Нека разгледаме това по-подробно.

Нека покажем как се установява съответствие между реални числа и точки от окръжност:

• на числото 0 се задава начална точка A(1, 0);
• положително число t е свързан с точката на единичната окръжност, до която ще стигнем, ако се движим по окръжността от началната точка в посока обратна на часовниковата стрелка и да вървим по пътядължина t;
• отрицателно число t е свързан с точката на единичната окръжност, до която ще стигнем, ако се движим по окръжността от началната точка по посока на часовниковата стрелка и извървим път с дължина |t| .

Сега преминаваме към дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс на числото t. Да приемем, че числото t съответства на точка от окръжността A 1 (x, y) (например числото &pi/2; съответства на точка A 1 (0, 1)).

Определение.

Синус от числото t е ординатата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест sint=y.

Определение.

Косинус на числото t се нарича абсцисата на точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест cost=x.

Определение.

Тангенс на числото t е отношението на ординатата към абсцисата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото t, т.е. tgt=y/x. В друга еквивалентна формулировка тангенсът на число t е отношението на синуса на това число към косинуса, т.е. tgt=sint/cost.

Определение.

Котангенс на числото t е отношението на абсцисата към ординатата на точка от единичната окръжност, съответстваща на числото t, тоест ctgt=x/y. Друга формулировка е следната: тангенсът на числото t е отношението на косинуса на числото t към синуса на числото t: ctgt=cost/sint.

Тук отбелязваме, че току-що дадените определения са в съответствие с определението, дадено в началото на този параграф. Наистина, точката от единичната окръжност, съответстваща на числото t, съвпада с точката, получена чрез завъртане на началната точка на ъгъл от t радиана.

Все още си струва да се изясни тази точка. Да кажем, че имаме запис sin3. Как да разберем дали говорим за синус на числото 3 или за синус на ъгъла на завъртане от 3 радиана? Това обикновено става ясно от контекста, в в противен случайтова най-вероятно не е от основно значение.

Тригонометрични функции на ъглов и числов аргумент

По данни в предишен параграфдефиниции, всеки ъгъл на завъртане α съответства на точно дефиниран грях стойностα, като стойността на cosα. В допълнение, всички ъгли на въртене, различни от 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) съответстват на стойностите на tgα, а стойностите, различни от 180°k, k∈Z (πk rad ) – стойности ​​на ctgα. Следователно sinα, cosα, tanα и ctgα са функции на ъгъла α. С други думи, това са функции на ъгловия аргумент.

Можем да говорим по подобен начин за функциите синус, косинус, тангенс и котангенс на числов аргумент. Наистина, всяко реално число t съответства на много специфична стойност sint, както и цена. Освен това всички числа, различни от π/2+π·k, k∈Z, съответстват на стойности tgt, а числата π·k, k∈Z - стойности ctgt.

Функциите синус, косинус, тангенс и котангенс се наричат основни тригонометрични функции.

Обикновено от контекста става ясно дали имаме работа с тригонометрични функции на ъглов аргумент или числен аргумент. В противен случай можем да мислим за независимата променлива както като мярка на ъгъла (ъглов аргумент), така и като числов аргумент.

В училище обаче основно се учат числови функции, тоест функции, чиито аргументи, както и съответните им стойности на функцията, са числа. Следователно, ако ние говорим заспециално за функциите, препоръчително е тригонометричните функции да се разглеждат като функции на числови аргументи.

Връзка между определения от геометрията и тригонометрията

Ако разгледаме ъгъла на завъртане α в диапазона от 0 до 90 градуса, тогава дефинициите за синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане в контекста на тригонометрията са напълно съвместими с дефинициите за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник, които са дадени в курса по геометрия. Нека оправдаем това.

Нека изобразим единичната окръжност в правоъгълната декартова координатна система Oxy. Нека отбележим началната точка A(1, 0) . Нека го завъртим на ъгъл α, вариращ от 0 до 90 градуса, получаваме точка A 1 (x, y). Нека пуснем перпендикуляра A 1 H от точка A 1 към оста Ox.

Лесно е да се види, че в правоъгълен триъгълник ъгълът A 1 OH е равен на ъгъла на въртене α, дължината на крака OH, съседен на този ъгъл, е равна на абсцисата на точка A 1, т.е. | OH |=x, дължината на катета A 1 H срещу ъгъла е равна на ординатата на точка A 1, т.е. |A 1 H|=y, а дължината на хипотенузата OA 1 е равна на единица, тъй като е радиусът на единичната окръжност. Тогава, по дефиниция от геометрията, синусът на остър ъгъл α в правоъгълен триъгълник A 1 OH е равен на отношението на срещуположния катет към хипотенузата, тоест sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. И по дефиниция от тригонометрията, синусът на ъгъла на завъртане α е равен на ординатата на точка A 1, тоест sinα=y. Това показва, че определянето на синуса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е еквивалентно на определянето на синуса на ъгъла на завъртане α, когато α е от 0 до 90 градуса.

По подобен начин може да се покаже, че дефинициите на косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл α са в съответствие с дефинициите на косинус, тангенс и котангенс на ъгъла на завъртане α.

Библиография.

1. Геометрия. 7-9 клас: учебник за общо образование институции / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. - 20-то изд. М.: Образование, 2010. - 384 с.: ил. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Погорелов А.В.Геометрия: Учебник. за 7-9 клас. общо образование институции / А. В. Погорелов. - 2-ро изд.: Образование, 2001. - 224 с.: ил. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Алгебра и елементарни функции : Урокза ученици от 9 клас гимназия/ Е. С. Кочетков, Е. С. Кочеткова; Под редакцията на доктора на физико-математическите науки О. Н. Головин 4-то изд. М.: Образование, 1969.
4. Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727
5. Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
6. Мордкович А. Г.Алгебра и началото на анализа. 10 клас. На 2 т. Част 1: урок за образователни институции (ниво на профил)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 с.: ил. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Алгебраи започна математически анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива /[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - I.: Образование, 2010.- 368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Средно ниво

Правоъгълен триъгълник. Пълното илюстровано ръководство (2019)

ПРАВИЛЕН ТРИЪГЪЛНИК. ПЪРВО НИВО.

При проблеми правилният ъгъл изобщо не е необходим - долният ляв, така че трябва да се научите да разпознавате правоъгълен триъгълник в тази форма,

и в това

и в това

Какво му е хубавото на правоъгълния триъгълник? Ами... първо, има специални красиви именаза неговите страни.

Внимание към чертежа!

Запомнете и не бъркайте: има два катета и има само една хипотенуза(един единствен, единствен и най-дълъг)!

Е, обсъдихме имената, сега най-важното: Питагоровата теорема.

Питагорова теорема.

Тази теорема е ключът към решаването на много задачи, свързани с правоъгълен триъгълник. Питагор го доказа напълно незапомнени времена, и оттогава тя донесе много ползи на тези, които я познават. И най-хубавото е, че е просто.

Така, Питагорова теорема:

Спомняте ли си вица: „Питагоровите панталони са равни от всички страни!“?

Нека да нарисуваме същите тези питагорови панталони и да ги разгледаме.

Не прилича ли на някакви шорти? Е, от кои страни и къде са равни? Защо и откъде дойде шегата? И тази шега е свързана именно с Питагоровата теорема или по-точно с начина, по който самият Питагор е формулирал своята теорема. И той го формулира така:

„Сума площи на квадрати, построен върху краката, е равен на квадратна площ, построен върху хипотенузата."

Наистина ли звучи малко по-различно? И така, когато Питагор нарисува твърдението на своята теорема, това е точно тази картина, която се получава.

На тази снимка сумата от площите на малките квадрати е равна на площта на големия квадрат. И за да могат децата да запомнят по-добре, че сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата, някой остроумен измисли този виц за Питагоровите панталони.

Защо сега формулираме Питагоровата теорема?

Питагор страдал ли е и говорил за квадрати?

Виждате ли, в древността не е имало... алгебра! Нямаше табели и т.н. Нямаше никакви надписи. Представяте ли си колко ужасно е било за горките древни ученици да помнят всичко с думи??! И можем да се радваме, че имаме проста формулировка на Питагоровата теорема. Нека го повторим отново, за да го запомним по-добре:

Сега трябва да е лесно:

Квадрат на хипотенузата равно на суматаквадрати на краката.

Е, най-важната теорема за правоъгълните триъгълници беше обсъдена. Ако ви интересува как се доказва, прочетете следващите нива на теория, а сега да продължим... към тъмна гора... тригонометрия! Към ужасните думи синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник.

Всъщност всичко изобщо не е толкова страшно. Разбира се, „истинското“ определение на синус, косинус, тангенс и котангенс трябва да се разгледа в статията. Но наистина не искам, нали? Можем да се радваме: за да решите задачи за правоъгълен триъгълник, можете просто да попълните следните прости неща:

Защо всичко е около ъгъла? Къде е ъгълът? За да разберете това, трябва да знаете как се пишат твърдения 1 - 4 с думи. Вижте, разберете и запомнете!

1.
Всъщност звучи така:

Какво ще кажете за ъгъла? Има ли катет, който е срещу ъгъла, тоест противоположен (за ъгъл) катет? Разбира се, че има! Това е крак!

Какво ще кажете за ъгъла? Гледай внимателно. Кой крак е в съседство с ъгъла? Разбира се, кракът. Това означава, че за ъгъла кракът е съседен и

Сега, обърнете внимание! Вижте какво имаме:

Вижте колко е готино:

Сега да преминем към тангенса и котангенса.

Как да запиша това с думи сега? Какъв е катетът спрямо ъгъла? Отсреща, разбира се - „лежи“ срещу ъгъла. Ами кракът? В непосредствена близост до ъгъла. И така, какво имаме?

Вижте как числителят и знаменателят са разменили местата си?

И сега отново ъглите и направиха размяна:

Резюме

Нека накратко запишем всичко, което сме научили.

Питагорова теорема:

Основната теорема за правоъгълните триъгълници е теоремата на Питагор.

Питагорова теорема

Между другото, помните ли добре какво са катетите и хипотенузата? Ако не е много добре, погледнете снимката - опреснете знанията си

Напълно възможно е вече да сте използвали Питагоровата теорема много пъти, но замисляли ли сте се защо такава теорема е вярна? Как мога да го докажа? Да направим като древните гърци. Нека начертаем квадрат със страна.

Вижте как умело разделихме страните му на дължини и!

Сега нека свържем маркираните точки

Тук обаче отбелязахме друго, но вие сами погледнете рисунката и се замислете защо е така.

На какво е равна площта? по-голям квадрат? Правилно, . Какво ще кажете за по-малка площ? Разбира се,. Общата площ на четирите ъгъла остава. Представете си, че ги взехме две наведнъж и ги опряхме една срещу друга с хипотенузите им. Какво стана? Два правоъгълника. Това означава, че площта на "срезовете" е равна.

Нека да го съберем сега.

Нека трансформираме:

Така посетихме Питагор - доказахме теоремата му по древен начин.

Правоъгълен триъгълник и тригонометрия

За правоъгълен триъгълник важат следните отношения:

Синусът на остър ъгъл е равен на отношението на противоположната страна към хипотенузата

Косинусът на остър ъгъл е равен на отношението на съседния катет към хипотенузата.

Тангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на срещуположната страна към съседната страна.

Котангенсът на остър ъгъл е равен на отношението на съседната страна към противоположната страна.

И отново всичко това под формата на таблетка:

Много е удобно!

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници

I. От две страни

II. По катет и хипотенуза

III. Чрез хипотенуза и остър ъгъл

IV. По крака и остър ъгъл

а)

б)

внимание! Тук е много важно краката да са „подходящи“. Например, ако стане така:

ТОГАВА ТРИЪГЪЛНИЦИТЕ НЕ СА РАВНИ, въпреки факта, че имат един идентичен остър ъгъл.

Трябва да и в двата триъгълника катетът е съседен, или и в двата е срещуположен.

Забелязали ли сте как знаците за равенство на правоъгълни триъгълници се различават от обичайните знаци за равенство на триъгълници? Разгледайте темата “и обърнете внимание, че за равенство на “обикновените” триъгълници трябва да са равни три техни елемента: две страни и ъгълът между тях, два ъгъла и страната между тях или три страни. Но за равенството на правоъгълни триъгълници са достатъчни само два съответни елемента. Страхотно, нали?

Приблизително същата е ситуацията и с признаците на подобие на правоъгълни триъгълници.

Признаци за подобие на правоъгълни триъгълници

I. По остър ъгъл

II. От две страни

III. По катет и хипотенуза

Медиана в правоъгълен триъгълник

защо е така

Вместо правоъгълен триъгълник, помислете за цял правоъгълник.

Нека начертаем диагонал и разгледаме точка - пресечната точка на диагоналите. Какво знаете за диагоналите на правоъгълник?

И какво следва от това?

Така се оказа, че

1. - Медиана:

Запомнете този факт! Помага много!

Още по-изненадващо е, че обратното също е вярно.

Какво добро може да се получи от факта, че медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на половината от хипотенузата? Нека погледнем снимката

Гледай внимателно. Имаме: , т.е. разстоянията от точката до трите върха на триъгълника се оказаха равни. Но в триъгълника има само една точка, разстоянията от която и трите върха на триъгълника са равни и това е ЦЕНТЪРЪТ НА ОКРУГА. И какво стана?

Така че нека започнем с това „освен...“.

Нека да разгледаме и.

Но подобни триъгълницивсички ъгли са равни!

Същото може да се каже и за и

Сега нека го нарисуваме заедно:

Каква полза може да се извлече от това „тройно” сходство?

Е, например - две формули за височина на правоъгълен триъгълник.

Нека опишем отношенията на съответните страни:

За да намерим височината, решаваме пропорцията и получаваме първата формула "Височина в правоъгълен триъгълник":

И така, нека приложим приликата: .

Какво ще стане сега?

Отново решаваме пропорцията и получаваме втората формула:

Трябва да запомните много добре и двете формули и да използвате тази, която е по-удобна. Нека ги запишем отново

Питагорова теорема:

В правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите: .

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

• от две страни:
• по катет и хипотенуза: или
• по крака и прилежащия остър ъгъл: или
• по крака и срещуположния остър ъгъл: или
• чрез хипотенуза и остър ъгъл: или.

Признаци за сходство на правоъгълни триъгълници:

• един остър ъгъл: или
• от пропорционалността на два крака:
• от пропорционалността на катета и хипотенузата: или.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в правоъгълен триъгълник

• Синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:
• Косинусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:
• Тангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната страна:
• Котангенсът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на съседната страна към противоположната страна: .

Височина на правоъгълен триъгълник: или.

В правоъгълен триъгълник медианата, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: .

Площ на правоъгълен триъгълник:

• през краката: