Геометрична дефиниция на векторното произведение на векторите. Кръстосано произведение – определения, свойства, формули, примери и решения

Определение Подредена колекция от (x 1, x 2, ..., x n) n реални числа се нарича n-мерен вектори числата x i (i = ) - компоненти,или координати,

Пример. Ако например даден автомобилен завод трябва да произведе 50 автомобила, 100 камиона, 10 автобуса, 50 комплекта резервни части за автомобили и 150 комплекта за камиони и автобуси на смяна, тогава производствената програма на този завод може да бъде записана като вектор (50, 100, 10, 50, 150), с пет компонента.

Нотация. Векторите се обозначават с удебелени малки букви или букви с лента или стрелка в горната част, напр. аили. Двата вектора се наричат равен, ако имат еднакъв брой компоненти и съответните им компоненти са равни.

Векторните компоненти не могат да се разменят, например (3, 2, 5, 0, 1)и (2, 3, 5, 0, 1) различни вектори.
Операции с вектори.Работата х= (x 1 , x 2 , ... ,x n) с реално числоλ наречен векторλ х= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Количествох= (x 1 , x 2 , ... ,x n) и г= (y 1 , y 2 , ... ,y n) се нарича вектор x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Векторно пространство.н -дименсионално векторно пространство Р n се дефинира като набор от всички n-мерни вектори, за които са дефинирани операциите умножение с реални числа и събиране.

Икономическа илюстрация. Икономическа илюстрация на n-измерно векторно пространство: пространство на стоките (стоки). Под стокище разбираме някаква стока или услуга, която е пусната в продажба в определено време на определено място. Да предположим, че има краен брой n налични стоки; количествата на всеки от тях, закупени от потребителя, се характеризират с набор от стоки

х= (x 1, x 2, ..., x n),

където x i означава количеството на i-тата стока, закупена от потребителя. Ще приемем, че всички стоки имат свойството на произволна делимост, така че всяко неотрицателно количество от всяка от тях може да бъде закупено. Тогава всички възможни набори от стоки са вектори на пространството за стоки C = ( х= (x 1, x 2, ..., x n) x i ≥ 0, i = ).

Линейна независимост. Система д 1 , д 2 , ... , д m n-мерни вектори се наричат линейно зависими, ако има такива числаλ 1 , λ 2 , ... , λ m , от които поне един е различен от нула, така че равенствотоλ 1 д 1 + λ 2 д 2 +... + λ m д m = 0; иначе тази система от вектори се нарича линейно независими, тоест посоченото равенство е възможно само в случай, когато всички . Геометричният смисъл на линейната зависимост на векторите в Р 3, интерпретирани като насочени отсечки, обясняват следните теореми.

Теорема 1. Система, състояща се от един вектор, е линейно зависима тогава и само ако този вектор е нула.

Теорема 2. За да са линейно зависими два вектора е необходимо и достатъчно те да са колинеарни (успоредни).

Теорема 3 . За да бъдат линейно зависими три вектора е необходимо и достатъчно те да са компланарни (да лежат в една равнина).

Лява и дясна тройка вектори. Тройка от некомпланарни вектори a, b, cНаречен точно, ако наблюдателят от общия им произход заобикаля краищата на векторите a, b, cв дадения ред изглежда се случва по посока на часовниковата стрелка. В противен случай a, b, c -остави три. Всички десни (или леви) тройки вектори се наричат същото ориентиран.

Основа и координати. Тройка д 1, д 2 , д 3 некомпланарни вектора в Р 3 се нарича основа, и самите вектори д 1, д 2 , д 3 - основен. Всеки вектор амогат да бъдат уникално разширени в базисни вектори, тоест представени във формата

А= x 1 д 1+x2 д 2 + х 3 д 3, (1.1)

се наричат ​​числата x 1 , x 2 , x 3 в разширението (1.1). координатиав основата д 1, д 2 , д 3 и са обозначени а(x 1, x 2, x 3).

Ортонормална основа. Ако векторите д 1, д 2 , д 3 са по двойки перпендикулярни и дължината на всеки от тях е равна на единица, тогава основата се нарича ортонормална, и координатите x 1 , x 2 , x 3 - правоъгълен.Базисните вектори на ортонормална база ще бъдат означени с i, j, k.

Ще приемем, че в космоса Р 3 избрана е правилната система от декартови правоъгълни координати (0, i, j, k}.

Векторни произведения на изкуството. Векторни произведения на изкуството Акъм вектор bнаречен вектор ° С, което се определя от следните три условия:

1. Дължина на вектора ° Счислено равна на площта на успоредник, изграден върху вектори аИ б,т.е.
° С= |a||b|грях( а^b).

2. Вектор ° Сперпендикулярно на всеки от векторите аИ b.

3. Вектори а, bИ ° С, взети в посочения ред, образуват дясна тройка.

За кръстосано произведение ° Ссе въвежда обозначението c =[аб] или
c = a × b.

Ако векторите аИ bса колинеарни, тогава sin( a^b) = 0 и [ аб] = 0, по-специално, [ аа] = 0. Векторни произведения на единични вектори: [ ij]=к, [jk] = аз, [ki]=й.

Ако векторите аИ bпосочени в основата i, j, kкоординати а(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), тогава

Смесена работа. Ако векторното произведение на два вектора АИ bскаларно умножено по третия вектор ° С,тогава се нарича такова произведение на три вектора смесена работаи се обозначава със символа а b c.

Ако векторите а, бИ ° Св основата i, j, kзададени от техните координати
а(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), ° С(c 1, c 2, c 3), тогава

.

Смесеното произведение има проста геометрична интерпретация - то е скалар, равен по абсолютна стойност на обема на паралелепипед, построен върху три дадени вектора.

Ако векторите образуват дясна тройка, тогава тяхното смесено произведение е положително число, равно на посочения обем; ако е тройка а, б, в -наляво, тогава a b c<0 и V = - a b c, следователно V =|a b c|.

Приема се, че координатите на векторите, срещани в задачите от първа глава, са дадени спрямо дясна ортонормална основа. Единичен вектор, съпосочен с вектор а,обозначен със символа АО. Символ r=ОМозначени с радиус-вектора на точка M, символи a, AB или|a|, | AB|са означени модули на вектори АИ AB.

Пример 1.2. Намерете ъгъла между векторите а= 2м+4нИ b= м-н, Където мИ н-единични вектори и ъгъл между тях мИ нравен на 120 o.

Решение. Имаме: cos φ = аб/аб ab =(2м+4н) (м-н) = 2м 2 - 4н 2 +2мн=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; а = ; а 2 = (2м+4н) (2м+4н) =
= 4м 2 +16мн+16н 2 = 4+16(-0,5)+16=12, което означава a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(м-н) = м 2 -2мн+н 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, което означава b = . Накрая имаме: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Пример 1.3.Познаване на векторите AB(-3, -2,6) и пр.н.е.(-2,4,4),изчислете дължината на надморската височина AD на триъгълник ABC.

Решение. Означавайки площта на триъгълника ABC с S, получаваме:
S = 1/2 пр.н.е. Тогава AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, което означава вектор A.C.има координати
. .

Пример 1.4 . Дадени са два вектора а(11,10,2) и b(4,0,3). Намерете единичния вектор ° С,ортогонален на вектори аИ bи насочен така, че подредената тройка вектори a, b, cбеше прав.

Решение.Нека обозначим координатите на вектора ° Спо отношение на дадена дясна ортонормална основа по отношение на x, y, z.

Тъй като ° С ⊥ а, в ⊥b, Че ок= 0,cb= 0. Съгласно условията на задачата се изисква c = 1 и a b c >0.

Имаме система от уравнения за намиране на x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

От първото и второто уравнение на системата получаваме z = -4/3 x, y = -5/6 x. Замествайки y и z в третото уравнение, имаме: x 2 = 36/125, откъдето
x =± . Използване на условието a b c > 0, получаваме неравенството

Като вземем предвид изразите за z и y, пренаписваме полученото неравенство във формата: 625/6 x > 0, което означава, че x>0. И така, x = , y = - , z =- .

Най-накрая се докопах до тази обширна и дългоочаквана тема. аналитична геометрия. Първо, малко за този раздел на висшата математика... Със сигурност си спомняте училищен курс по геометрия с множество теореми, техните доказателства, чертежи и т.н. Какво да крия, нелюбим и често неясен предмет за значителна част от учениците. Колкото и да е странно, аналитичната геометрия може да изглежда по-интересна и достъпна. Какво означава прилагателното „аналитичен“? Две клиширани математически фрази веднага идват на ум: „метод на графично решение“ и „метод на аналитично решение“. Графичен метод, разбира се, е свързано с изграждането на графики и чертежи. Аналитиченедин и същ методвключва решаване на проблеми главночрез алгебрични операции. В това отношение алгоритъмът за решаване на почти всички задачи на аналитичната геометрия е прост и прозрачен; често е достатъчно внимателно да приложите необходимите формули - и отговорът е готов! Не, разбира се, няма да можем да направим това без чертежи изобщо, а освен това, за по-добро разбиране на материала, ще се опитам да ги цитирам извън необходимостта.

Новооткритият курс от уроци по геометрия не претендира да бъде теоретично завършен; той е насочен към решаване на практически задачи. В моите лекции ще включвам само това, което от моя гледна точка е важно от практическа гледна точка. Ако имате нужда от по-пълна помощ за някой подраздел, препоръчвам следната доста достъпна литература:

1) Нещо, с което, без шега, са запознати няколко поколения: Училищен учебник по геометрия, автори - Л.С. Атанасян и компания. Тази закачалка за училищна съблекалня вече е преминала през 20 (!) Препечатки, което, разбира се, не е ограничението.

2) Геометрия в 2 тома. автори Л.С. Атанасян, Базилев В.Т.. Това е литература за гимназията, ще ви трябва първи том. Рядко срещаните задачи могат да изпаднат от погледа ми и урокът ще бъде от безценна помощ.

И двете книги могат да бъдат изтеглени безплатно онлайн. Освен това можете да използвате моя архив с готови решения, които можете да намерите на страницата Изтегляне на примери по висша математика.

Сред инструментите отново предлагам собствена разработка - софтуерен пакетв аналитичната геометрия, което значително ще опрости живота и ще спести много време.

Предполага се, че читателят е запознат с основните геометрични понятия и фигури: точка, права, равнина, триъгълник, паралелограм, паралелепипед, куб и др. Препоръчително е да запомните някои теореми, поне теоремата на Питагор, здравейте на повторителите)

И сега ще разгледаме последователно: понятието вектор, действия с вектори, векторни координати. Препоръчвам да прочетете допълнително най-важната статия Точково произведение на вектори, и също Вектор и смесено произведение на вектори. Локална задача - Разделяне на сегмент в това отношение - също няма да бъде излишна. Въз основа на горната информация можете да овладеете уравнение на права в равнинас най-прости примери за решения, което ще позволи научете се да решавате геометрични задачи. Следните статии също са полезни: Уравнение на равнина в пространството, Уравнения на права в пространството, Основни задачи за права и равнина, други раздели на аналитичната геометрия. Естествено, стандартните задачи ще бъдат разгледани по пътя.

Векторна концепция. Безплатен вектор

Първо, нека повторим училищната дефиниция на вектор. векторНаречен насоченисегмент, за който са посочени неговото начало и край:

В този случай началото на сегмента е точката, краят на сегмента е точката. Самият вектор се означава с . Посокае от съществено значение, ако преместите стрелката в другия край на сегмента, получавате вектор и това вече е напълно различен вектор. Удобно е да се идентифицира концепцията за вектор с движението на физическо тяло: трябва да се съгласите, влизането през вратите на институт или излизането от вратите на института са напълно различни неща.

Удобно е отделни точки от една равнина или пространство да се разглеждат като т.нар нулев вектор. За такъв вектор краят и началото съвпадат.

!!! Забележка: Тук и по-нататък можете да приемете, че векторите лежат в една равнина или можете да приемете, че са разположени в пространството - същността на изложения материал е валидна както за равнината, така и за пространството.

Обозначения:Мнозина веднага забелязаха пръчката без стрелка в обозначението и казаха, че има и стрелка в горната част! Вярно, че можете да го напишете със стрелка: , но и това е възможно записът, който ще използвам в бъдеще. Защо? Очевидно този навик се е развил по практически причини; стрелците ми в училище и университета се оказаха твърде различни по размер и рошави. В образователната литература понякога те изобщо не се занимават с клинописно писане, а подчертават буквите с удебелен шрифт: , като по този начин намекват, че това е вектор.

Това беше стилистика, а сега относно начините за писане на вектори:

1) Векторите могат да бъдат написани с две главни латински букви:
и така нататък. В този случай първата буква Задължителнообозначава началната точка на вектора, а втората буква обозначава крайната точка на вектора.

2) Векторите също се изписват с малки латински букви:
По-специално, нашият вектор може да бъде преназначен за краткост с малка латинска буква.

Дължинаили модулненулев вектор се нарича дължина на сегмента. Дължината на нулевия вектор е нула. Логично.

Дължината на вектора се обозначава със знака за модул: ,

Ще научим как да намираме дължината на вектор (или ще го повторим, зависи кой) малко по-късно.

Това беше основна информация за векторите, позната на всички ученици. В аналитичната геометрия т.нар безплатен вектор.

Казано по-просто - векторът може да се начертае от всяка точка:

Ние сме свикнали да наричаме такива вектори равни (дефиницията на равни вектори ще бъде дадена по-долу), но от чисто математическа гледна точка те са ЕДИН И СЪЩ ВЕКТОР или безплатен вектор. Защо безплатно? Защото в процеса на решаване на проблеми можете да „прикрепите“ този или онзи вектор към ВСЯКА точка от равнината или пространството, от което се нуждаете. Това е много готина функция! Представете си вектор с произволна дължина и посока - той може да бъде "клониран" безкраен брой пъти и във всяка точка на пространството, всъщност той съществува НАВСЯКЪДЕ. Има една студентска поговорка: На всеки преподавател му пука за вектора. В края на краищата това не е просто остроумна рима, всичко е математически правилно - векторът може да бъде прикрепен и там. Но не бързайте да се радвате, често страдат самите ученици =)

Така, безплатен вектор- Това няколко еднакви насочени сегменти. Училищната дефиниция на вектор, дадена в началото на параграфа: „Насочена отсечка се нарича вектор...“ предполага специфиченнасочен сегмент, взет от дадено множество, който е свързан с определена точка в равнината или пространството.

Трябва да се отбележи, че от гледна точка на физиката концепцията за свободен вектор като цяло е неправилна и има значение точката на приложение на вектора. Наистина, един директен удар с еднаква сила по носа или челото, колкото да развия глупавия си пример, води до различни последствия. Въпреки това, несвободенвектори се намират и в хода на vyshmat (не отивайте там :)).

Действия с вектори. Колинеарност на вектори

Училищният курс по геометрия обхваща редица действия и правила с вектори: събиране по правилото на триъгълника, събиране по правилото на успоредника, правило за векторна разлика, умножение на вектор с число, скаларно произведение на вектори и др.Като отправна точка нека повторим две правила, които са особено подходящи за решаване на задачи от аналитичната геометрия.

Правилото за добавяне на вектори с помощта на правилото на триъгълника

Помислете за два произволни ненулеви вектора и:

Трябва да намерите сумата от тези вектори. Поради факта, че всички вектори се считат за свободни, ще отделим вектора от крайвектор:

Сумата от вектори е векторът. За по-добро разбиране на правилото е препоръчително да му вложим физически смисъл: нека някое тяло пътува по вектора , а след това по вектора . Тогава сумата от вектори е векторът на резултантния път с начало в началната точка и край в точката на пристигане. Подобно правило е формулирано за сумата от произволен брой вектори. Както се казва, тялото може да върви по своя път много постно по зигзаг или може би на автопилот - по резултантния вектор на сумата.

Между другото, ако векторът е отложен от започнавектор, тогава получаваме еквивалента правило на успоредникдобавяне на вектори.

Първо, относно колинеарността на векторите. Двата вектора се наричат колинеарен, ако лежат на една права или на успоредни прави. Грубо казано, говорим за паралелни вектори. Но прилагателното „колинеарен“ винаги се използва, когато се говори за тях.

Представете си два колинеарни вектора. Ако стрелките на тези вектори са насочени в една и съща посока, тогава такива вектори се наричат съвместно режисиран. Ако стрелките сочат в различни посоки, тогава векторите ще бъдат противоположни посоки.

Обозначения:колинеарността на векторите се записва с обичайния символ за паралелизъм: , докато е възможно детайлизиране: (векторите са сънасочени) или (векторите са противоположно насочени).

Работатаненулев вектор върху число е вектор, чиято дължина е равна на , а векторите и са сънасочени към и противоположно насочени към .

Правилото за умножаване на вектор по число е по-лесно за разбиране с помощта на картина:

Нека го разгледаме по-подробно:

1) Посока. Ако множителят е отрицателен, тогава векторът променя посокатакъм обратното.

2) Дължина. Ако множителят се съдържа в или , тогава дължината на вектора намалява. И така, дължината на вектора е половината от дължината на вектора. Ако модулът на множителя е по-голям от едно, тогава дължината на вектора се увеличавана време.

3) Моля, имайте предвид, че всички вектори са колинеарни, докато един вектор се изразява чрез друг, например, . Обратното също е вярно: ако един вектор може да бъде изразен чрез друг, тогава такива вектори задължително са колинеарни. По този начин: ако умножим вектор по число, получаваме колинеарност(спрямо оригинала) вектор.

4) Векторите са ко-насочени. Вектори и също са съвместно насочени. Всеки вектор от първата група е противоположно насочен по отношение на всеки вектор от втората група.

Кои вектори са равни?

Два вектора са равни, ако са в една и съща посока и имат еднаква дължина. Обърнете внимание, че една насоченост предполага колинеарност на векторите. Определението би било неточно (излишно), ако кажем: „Два вектора са равни, ако са колинеарни, еднакви по посока и имат еднаква дължина.“

От гледна точка на концепцията за свободен вектор, равните вектори са един и същ вектор, както беше обсъдено в предишния параграф.

Векторни координати в равнината и пространството

Първата точка е да разгледаме векторите в равнината. Нека да изобразим декартова правоъгълна координатна система и да я начертаем от началото на координатите единиченвектори и:

Вектори и ортогонален. Ортогонално = Перпендикулярно. Препоръчвам ви бавно да свикнете с термините: вместо успоредност и перпендикулярност използваме думите съответно колинеарностИ ортогоналност.

Обозначаване:Ортогоналността на векторите се записва с обичайния символ за перпендикулярност, например: .

Разглежданите вектори се наричат координатни векториили orts. Тези вектори образуват основана повърхността. Какво е основа, мисля, е интуитивно ясно за мнозина; по-подробна информация може да бъде намерена в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторитеС прости думи, основата и произходът на координатите определят цялата система - това е един вид основа, върху която кипи пълен и богат геометричен живот.

Понякога конструираната основа се нарича ортонормалнаоснова на равнината: “орто” - тъй като координатните вектори са ортогонални, прилагателното “нормализиран” означава единица, т.е. дължините на базисните вектори са равни на единица.

Обозначаване:основата обикновено се изписва в скоби, вътре в които в строга последователностбазисните вектори са изброени, например: . Координатни вектори забранено епренареждам.

Всякаквиравнинен вектор единствения начинизразено като:
, Където - числакоито се наричат векторни координатив тази основа. И самият израз Наречен векторно разлаганепо основа .

Сервирана вечеря:

Да започнем с първата буква от азбуката: . Чертежът ясно показва, че при разлагането на вектор в базис се използват току-що обсъдените:
1) правилото за умножаване на вектор с число: и ;
2) събиране на вектори по правилото на триъгълника: .

Сега мислено начертайте вектора от всяка друга точка на равнината. Съвсем очевидно е, че неговото упадък ще го „следва безмилостно“. Ето я свободата на вектора - векторът „носи всичко със себе си“. Това свойство, разбира се, е вярно за всеки вектор. Забавно е, че самите базисни (свободни) вектори не трябва да се изчертават от началото; Вярно е, че не е нужно да правите това, тъй като учителят също ще покаже оригиналност и ще ви изтегли „кредит“ на неочаквано място.

Векторите илюстрират точно правилото за умножение на вектор по число, векторът е сънасочен с базовия вектор, векторът е насочен срещуположно на основния вектор. За тези вектори една от координатите е равна на нула, можете да го запишете така:


А базисните вектори, между другото, са така: (всъщност те се изразяват чрез себе си).

И накрая: , . Между другото, какво е векторно изваждане и защо не говорих за правилото за изваждане? Някъде в линейната алгебра, не помня къде, отбелязах, че изваждането е специален случай на събиране. По този начин разширенията на векторите "de" и "e" лесно се записват като сума: , . Пренаредете членовете и вижте на чертежа колко добре работи доброто старо събиране на вектори според правилото на триъгълника в тези ситуации.

Разгледаното разлагане на формата понякога се нарича векторно разлагане в орт системата(т.е. в система от единични вектори). Но това не е единственият начин да напишете вектор;

Или със знак за равенство:

Самите базисни вектори се записват по следния начин: и

Тоест координатите на вектора са посочени в скоби. В практически задачи се използват и трите варианта на нотация.

Съмнявах се дали да говоря, но все пак ще го кажа: векторните координати не могат да се пренареждат. Строго на първо мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор, строго на второ мястозаписваме координатата, която съответства на единичния вектор. Наистина и са два различни вектора.

Намерихме координатите на самолета. Сега нека да разгледаме векторите в триизмерното пространство, тук почти всичко е същото! Просто ще добави още една координата. Трудно е да се правят триизмерни рисунки, така че ще се огранича до един вектор, който за простота ще отделя от началото:

Всякакви 3D космически вектор единствения начинразширяване върху ортонормална основа:
, където са координатите на вектора (числото) в тази основа.

Пример от снимката: . Нека видим как работят векторните правила тук. Първо, умножете вектора по число: (червена стрелка), (зелена стрелка) и (малинова стрелка). Второ, ето пример за добавяне на няколко, в този случай три вектора: . Векторът на сумата започва от началната точка на изход (началото на вектора) и завършва в крайната точка на пристигане (края на вектора).

Всички вектори на триизмерното пространство, естествено, също са свободни; опитайте се мислено да отделите вектора от всяка друга точка и ще разберете, че неговото разлагане „ще остане с него“.

Подобно на плоския случай, в допълнение към писането широко се използват варианти със скоби: или .

Ако един (или два) координатни вектора липсват в разширението, тогава на тяхно място се поставят нули. Примери:
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем ;
вектор (щателно ) – да пишем.

Базисните вектори се записват, както следва:

Това може би са всички минимални теоретични познания, необходими за решаване на проблемите на аналитичната геометрия. Може да има много термини и определения, така че препоръчвам на чайниците да препрочетат и разберат тази информация отново. И ще бъде полезно за всеки читател да се обръща от време на време към основния урок, за да усвои по-добре материала. Колинеарност, ортогоналност, ортонормална основа, векторно разлагане - тези и други понятия ще бъдат често използвани в бъдеще. Отбелязвам, че материалите на сайта не са достатъчни за преминаване на теоретичния тест или колоквиума по геометрия, тъй като аз внимателно криптирам всички теореми (и без доказателства) - в ущърб на научния стил на представяне, но плюс за вашето разбиране на предметът. За да получите подробна теоретична информация, поклон пред проф. Атанасян.

И преминаваме към практическата част:

Най-простите задачи на аналитичната геометрия.
Действия с вектори в координати

Силно препоръчително е да се научите как да решавате задачите, които ще се разглеждат напълно автоматично, и формулите запаметявам, дори не е нужно да го помните нарочно, те сами ще го запомнят =) Това е много важно, тъй като други проблеми на аналитичната геометрия се основават на най-простите елементарни примери и ще бъде досадно да прекарвате допълнително време в ядене на пешки . Няма нужда да закопчавате горните копчета на ризата си; много неща са ви познати от училище.

Поднасянето на материала ще следва паралелен ход – както за самолета, така и за космоса. Поради причината, че всички формули... ще видите сами.

Как да намерим вектор от две точки?

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава векторът има следните координати:

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава векторът има следните координати:

Това е, от координатите на края на векторатрябва да извадите съответните координати началото на вектора.

Упражнение:За същите точки запишете формулите за намиране на координатите на вектора. Формули в края на урока.

Пример 1

Дадени са две точки от равнината и . Намерете векторни координати

Решение:по съответната формула:

Като алтернатива може да се използва следният запис:

Естетите ще решат това:

Лично аз съм свикнал с първия вариант на записа.

Отговор:

Според условието не беше необходимо да се изгражда чертеж (което е типично за проблемите на аналитичната геометрия), но за да изясня някои точки за манекени, няма да бъда мързелив:

Определено трябва да разберете разлика между координатите на точката и векторните координати:

Координати на точки– това са обикновени координати в правоъгълна координатна система. Мисля, че всеки знае как се нанасят точки върху координатна равнина от 5-6 клас. Всяка точка има строго определено място в равнината и не може да бъде преместена никъде.

Координатите на векторае разширяването му по отношение на основата, в този случай. Всеки вектор е свободен, така че ако е необходимо, можем лесно да го отдалечим от друга точка в равнината. Интересно е, че за векторите изобщо не е нужно да изграждате оси или правоъгълна координатна система;

Записите на координати на точки и координати на вектори изглеждат подобни: , и значение на координатитеабсолютно различен, и трябва да сте наясно с тази разлика. Тази разлика, разбира се, важи и за пространството.

Дами и господа, нека напълним ръцете си:

Пример 2

а) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
б) Дават се точки И . Намерете вектори и .
в) Дадени са точки и . Намерете вектори и .
г) Дават се точки. Намерете вектори .

Може би това е достатъчно. Това са примери, които можете да решите сами, опитайте се да не ги пренебрегвате, ще ви се отплати ;-). Няма нужда да правите чертежи. Решения и отговори в края на урока.

Какво е важно при решаването на задачи по аналитична геометрия?Важно е да бъдете ИЗКЛЮЧИТЕЛНО ВНИМАТЕЛНИ, за да избегнете майсторската грешка „две плюс две е равно на нула“. Веднага се извинявам, ако съм сбъркал някъде =)

Как да намерим дължината на сегмент?

Дължината, както вече беше отбелязано, се обозначава със знака за модул.

Ако са дадени две точки от равнината и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Ако са дадени две точки в пространството и , тогава дължината на сегмента може да се изчисли с помощта на формулата

Забележка: Формулите ще останат правилни, ако съответните координати се разменят: и , но първата опция е по-стандартна

Пример 3

Решение:по съответната формула:

Отговор:

За по-голяма яснота ще направя чертеж

Линеен сегмент - това не е вектор, и, разбира се, не можете да го преместите никъде. Освен това, ако рисувате в мащаб: 1 единица. = 1 см (две клетки от тетрадка), тогава полученият отговор може да се провери с обикновена линийка чрез директно измерване на дължината на отсечката.

Да, решението е кратко, но в него има още няколко важни момента, които бих искал да изясня:

Първо, в отговора поставяме измерението: „единици“. В условието не пише КАКВО е, милиметри, сантиметри, метри или километри. Следователно, математически правилното решение би било общата формулировка: „единици“ – съкратено като „единици“.

Второ, нека повторим учебния материал, който е полезен не само за разглежданата задача:

обръщам внимание на важна техника – премахване на множителя изпод корена. В резултат на изчисленията имаме резултат и добрият математически стил включва премахване на фактора под корена (ако е възможно). По-подробно процесът изглежда така: . Разбира се, да оставим отговора такъв, какъвто е, няма да е грешка - но със сигурност би било недостатък и сериозен аргумент за заяждане от страна на учителя.

Ето и други често срещани случаи:

Често коренът произвежда доста голям брой, например . Какво да правим в такива случаи? С помощта на калкулатора проверяваме дали числото се дели на 4: . Да, той беше напълно разделен, така че: . Или може би числото отново може да се раздели на 4? . По този начин: . Последната цифра на числото е нечетна, така че разделянето на 4 за трети път очевидно няма да работи. Нека се опитаме да разделим на девет: . Като резултат:
Готов.

Заключение:ако под корена получим число, което не може да бъде извлечено като цяло, тогава се опитваме да премахнем фактора от под корена - с помощта на калкулатор проверяваме дали числото се дели на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и др.

Когато решавате различни задачи, често се срещат корени; винаги се опитвайте да извлечете фактори под корена, за да избегнете по-ниска оценка и ненужни проблеми с финализирането на вашите решения въз основа на коментарите на учителя.

Нека също повторим корени на квадрат и други степени:

Правилата за работа със степените в общ вид могат да бъдат намерени в училищен учебник по алгебра, но мисля, че от дадените примери всичко или почти всичко вече е ясно.

Задача за самостоятелно решение с отсечка в пространството:

Пример 4

Дават се точки и . Намерете дължината на отсечката.

Решението и отговорът са в края на урока.

Как да намерим дължината на вектор?

Ако е даден плосък вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата.

Ако е даден пространствен вектор, тогава неговата дължина се изчислява по формулата .

Единичен вектор- Това вектор, чиято абсолютна стойност (модул) е равна на единица. За да обозначим единичен вектор, ще използваме долния индекс e. Така че, ако е даден вектор А, тогава неговият единичен вектор ще бъде векторът Ад. Този единичен вектор е насочен в същата посока като самия вектор Аи неговият модул е ​​равен на единица, тоест a e = 1.

очевидно, А= а Ад (а - векторен модул а). Това следва от правилото, по което се извършва операцията за умножаване на скалар по вектор.

Единични векторичесто се свързва с координатните оси на координатна система (по-специално с осите на декартова координатна система). Посоките на тези векторисъвпадат с посоките на съответните оси и техните начала често се комбинират с началото на координатната система.

Нека ви го напомня Декартова координатна системав пространството традиционно се нарича трио от взаимно перпендикулярни оси, пресичащи се в точка, наречена начало на координатите. Координатните оси обикновено се означават с буквите X, Y, Z и се наричат ​​съответно абсцисна ос, ординатна ос и апликативна ос. Самият Декарт използва само една ос, върху която се нанасят абсцисите. Достойнство за използване системиоси принадлежи на неговите ученици. Следователно фразата Декартова координатна системаисторически погрешно. По-добре е да говорим правоъгълен координатна системаили ортогонална координатна система. Ние обаче няма да променим традициите и в бъдеще ще приемем, че декартовата и правоъгълната (ортогонална) координатна система са едно и също.

Единичен вектор, насочена по оста X, е означена аз, единичен вектор, насочена по оста Y, е означена й, А единичен вектор, насочена по оста Z, е означена к. Вектори аз, й, кса наречени orts(фиг. 12, вляво), те са с единични модули, т.е
i = 1, j = 1, k = 1.

Брадви и единични вектори правоъгълна координатна системав някои случаи те имат различни имена и обозначения. По този начин абсцисната ос X може да се нарече допирателна ос, а нейният единичен вектор се обозначава τ (гръцка малка буква тау), ординатната ос е нормалната ос, нейният единичен вектор е означен н, приложимата ос е бинормална ос, нейният единичен вектор е означен b. Защо да променяме имената, ако същността остава същата?

Факт е, че например в механиката, когато се изучава движението на телата, правоъгълната координатна система се използва много често. Така че, ако самата координатна система е неподвижна и промяната в координатите на движещ се обект се проследява в тази неподвижна система, тогава обикновено осите се означават с X, Y, Z и техните единични векторисъответно аз, й, к.

Но често, когато обект се движи по някаква криволинейна траектория (например в кръг), е по-удобно да се разглеждат механичните процеси в координатната система, движеща се с този обект. Именно за такава подвижна координатна система се използват други имена на оси и техните единични вектори. Просто си е така. В този случай оста X е насочена тангенциално към траекторията в точката, където този обект се намира в момента. И тогава тази ос вече не се нарича ос X, а допирателна ос и нейният единичен вектор вече не се обозначава аз, А τ . Оста Y е насочена по радиуса на кривината на траекторията (при движение в кръг - към центъра на кръга). И тъй като радиусът е перпендикулярен на допирателната, оста се нарича нормална ос (перпендикуляр и нормал са едно и също нещо). Единичният вектор на тази ос вече не се означава й, А н. Третата ос (по-рано Z) е перпендикулярна на предходните две. Това е бинормален с орт b(Фиг. 12, вдясно). Между другото, в този случай такива правоъгълна координатна системачесто наричани "естествени" или естествени.

7.1. Дефиниция на кръстосано произведение

Три некомпланарни вектора a, b и c, взети в посочения ред, образуват дясна тройка, ако от края на третия вектор c най-късият завой от първия вектор a към втория вектор b се вижда до да бъде обратно на часовниковата стрелка и лява тройка, ако е по посока на часовниковата стрелка (виж Фиг. 16).

Кръстосаното произведение на вектор a и вектор b се нарича вектор c, който:

1. Перпендикулярно на векторите a и b, т.е. c ^ a и c ^ b ;

2. Има дължина, числено равна на площта на успоредник, изграден върху вектори a иbкакто отстрани (виж фиг. 17), т.е.

3. Векторите a, b и c образуват дясна тройка.

Кръстосаното произведение се означава с a x b или [a,b]. Следните отношения между единичните вектори i следват пряко от дефиницията на векторния продукт, йИ к(виж Фиг. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Нека докажем, например, това i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, но | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) вектори i, j и кобразуват дясна тройка (виж фиг. 16).

7.2. Свойства на кръстосано произведение

1. При пренареждане на факторите векторното произведение сменя знака, т.е. и xb =(b xa) (виж Фиг. 19).

Векторите a xb и b xa са колинеарни, имат еднакви модули (площта на паралелограма остава непроменена), но са противоположно насочени (тройки a, b, a xb и a, b, b x a с противоположна ориентация). Това е axb = -(b xa).

2. Векторният продукт има комбиниращо свойство по отношение на скаларния фактор, т.е. l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Нека l >0. Векторът l (a xb) е перпендикулярен на векторите a и b. вектор ( ла) х bсъщо е перпендикулярна на векторите a и b(вектори a, лно лежат в една равнина). Това означава, че векторите л(a xb) и ( ла) х bколинеарен. Очевидно е, че посоките им съвпадат. Имат еднаква дължина:

Ето защо л(a xb)= л a xb. По подобен начин се доказва и за л<0.

3. Два ненулеви вектора a и bса колинеарни тогава и само ако тяхното векторно произведение е равно на нулевия вектор, т.е. a ||b<=>и xb =0.

По-специално, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторният продукт има свойство на разпределение:

(а+б) xc = a xc + b xs.

Ще приемем без доказателства.

7.3. Изразяване на кръстосаното произведение чрез координати

Ще използваме таблицата с кръстосано произведение на вектори i, йи к:

ако посоката на най-късия път от първия вектор до втория съвпада с посоката на стрелката, тогава произведението е равно на третия вектор; ако не съвпада, третият вектор се взема със знак минус.

Нека са дадени два вектора a =a x i +a y й+a z ки b = b x аз+b г й+b z к. Нека намерим векторното произведение на тези вектори, като ги умножим като полиноми (според свойствата на векторното произведение):

Получената формула може да се напише още по-кратко:

тъй като дясната страна на равенството (7.1) съответства на разлагането на детерминанта от трети ред по отношение на елементите на първия ред. Равенството (7.2) е лесно за запомняне.

7.4. Някои приложения на кръстосано произведение

Установяване на колинеарност на вектори

Намиране на лицето на успоредник и триъгълник

Според дефиницията на векторното произведение на векторите Аи б |a xb | =|а | * |b |sin g, т.е. S двойки = |a x b |. И следователно D S =1/2|a x b |.

Определяне на момента на силата спрямо точка

Нека в точка А е приложена сила F = ABостави ОТНОСНО- някаква точка в пространството (виж фиг. 20).

От физиката е известно, че момент на сила Е спрямо точката ОТНОСНОнаречен вектор М,който минава през точката ОТНОСНОИ:

1) перпендикулярна на равнината, минаваща през точките О, А, Б;

2) числено равно на произведението на силата на рамо

3) образува дясна тройка с вектори OA и A B.

Следователно M = OA x F.

Намиране на линейна скорост на въртене

Скорост vточка M на въртящо се с ъглова скорост твърдо тяло wоколо фиксирана ос, се определя от формулата на Ойлер v = w xr, където r = OM, където O е някаква фиксирана точка на оста (виж Фиг. 21).

Yandex.RTB R-A-339285-1

Преди да дадем концепцията за векторно произведение, нека се обърнем към въпроса за ориентацията на подредена тройка от вектори a →, b →, c → в триизмерното пространство.

Като начало нека отделим векторите a → , b → , c → от една точка. Ориентацията на тройката a → , b → , c → може да бъде дясна или лява в зависимост от посоката на самия вектор c →. Видът на тройката a → , b → , c → ще се определи от посоката, в която е направен най-късият завой от вектор a → към b → от края на вектор c → .

Ако най-краткото завъртане се извършва обратно на часовниковата стрелка, тогава тройката от вектори a → , b → , c → се нарича точно, ако по часовниковата стрелка – наляво.

След това вземете два неколинеарни вектора a → и b →. Нека тогава начертаем векторите A B → = a → и A C → = b → от точка A. Нека построим вектор A D → = c →, който е едновременно перпендикулярен на A B → и A C →. По този начин, когато конструираме самия вектор A D → = c →, можем да направим две неща, като му дадем една или обратна посока (вижте илюстрацията).

Подредена тройка от вектори a → , b → , c → може да бъде, както разбрахме, дясна или лява в зависимост от посоката на вектора.

От горното можем да въведем определението за векторен продукт. Тази дефиниция е дадена за два вектора, дефинирани в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство.

Определение 1

Векторното произведение на два вектора a → и b → ние ще наречем такъв вектор, дефиниран в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство, така че:

• ако векторите a → и b → са колинеарни, то ще бъде нула;
• той ще бъде перпендикулярен както на вектор a → ​​​​, така и на вектор b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• дължината му се определя по формулата: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• тройката от вектори a → , b → , c → има същата ориентация като дадената координатна система.

Векторното произведение на векторите a → и b → има следната нотация: a → × b →.

Координати на векторното произведение

Тъй като всеки вектор има определени координати в координатната система, можем да въведем второ определение на векторно произведение, което ще ни позволи да намерим неговите координати, използвайки дадените координати на векторите.

Определение 2

В правоъгълна координатна система на тримерното пространство векторно произведение на два вектора a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) се нарича вектор c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , където i → , j → , k → са координатни вектори.

Векторното произведение може да бъде представено като детерминанта на квадратна матрица от трети ред, където първият ред съдържа векторните вектори i → , j → , k → , вторият ред съдържа координатите на вектора a → , а третият ред съдържа координатите на вектора b → в дадена правоъгълна координатна система, това е детерминантата на матрицата изглежда така: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Развивайки тази детерминанта в елементите на първия ред, получаваме равенството: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Свойства на кръстосано произведение

Известно е, че векторното произведение в координати се представя като детерминанта на матрицата c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , тогава на базата свойства на матричната детерминантасе показват следните свойства на векторен продукт:

1. антикомутативност a → × b → = - b → × a → ;
2. дистрибутивност a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. асоциативност λ a → × b → = λ a → × b → или a → × (λ b →) = λ a → × b →, където λ е произволно реално число.

Тези свойства имат прости доказателства.

Като пример можем да докажем антикомутативното свойство на векторен продукт.

Доказателство за антикомутативност

По дефиниция a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . И ако два реда от матрицата се разменят, тогава стойността на детерминантата на матрицата трябва да се промени на противоположната, следователно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , което и доказва, че векторното произведение е антикомутативно.

Векторен продукт - примери и решения

В повечето случаи има три вида проблеми.

В задачите от първия тип обикновено се дават дължините на два вектора и ъгълът между тях и трябва да намерите дължината на векторния продукт. В този случай използвайте следната формула c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Пример 1

Намерете дължината на векторното произведение на векторите a → и b →, ако знаете a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Решение

Чрез определяне на дължината на векторното произведение на вектори a → и b →, решаваме тази задача: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Отговор: 15 2 2 .

Задачите от втория тип имат връзка с координатите на векторите, в тях векторното произведение, неговата дължина и т.н. се търсят чрез известните координати на дадени вектори a → = (a x; a y; a z) И b → = (b x ; b y ; b z) .

За този тип проблеми можете да решите много опции за задачи. Например, не могат да бъдат зададени координатите на векторите a → и b →, а техните разширения в координатни вектори от формата b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, или векторите a → и b → могат да бъдат зададени чрез координатите на тяхното начало и крайни точки.

Разгледайте следните примери.

Пример 2

В правоъгълна координатна система са дадени два вектора: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Намерете тяхното кръстосано произведение.

Решение

Чрез второто определение намираме векторното произведение на два вектора в дадени координати: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ако запишем векторното произведение чрез детерминантата на матрицата, тогава решението на този пример изглежда така: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Отговор: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Пример 3

Намерете дължината на векторното произведение на вектори i → - j → и i → + j → + k →, където i →, j →, k → са единичните вектори на правоъгълната декартова координатна система.

Решение

Първо, нека намерим координатите на дадено векторно произведение i → - j → × i → + j → + k → в дадена правоъгълна координатна система.

Известно е, че векторите i → - j → и i → + j → + k → имат съответно координати (1; - 1; 0) и (1; 1; 1). Нека намерим дължината на векторното произведение, като използваме детерминантата на матрицата, тогава имаме i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Следователно векторното произведение i → - j → × i → + j → + k → има координати (- 1 ; - 1 ; 2) в дадената координатна система.

Намираме дължината на векторното произведение с помощта на формулата (вижте раздела за намиране на дължината на вектор): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Отговор: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Пример 4

В правоъгълна декартова координатна система са дадени координатите на три точки A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Намерете някакъв вектор, перпендикулярен на A B → и A C → едновременно.

Решение

Векторите A B → и A C → имат съответно следните координати (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1). След като намерихме векторното произведение на векторите A B → и A C →, очевидно е, че това е перпендикулярен вектор по дефиниция както на A B →, така и на A C →, тоест това е решение на нашата задача. Нека го намерим A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Отговор: - 6 i → + j → - 4 k → . - един от перпендикулярните вектори.

Задачите от трети тип са фокусирани върху използването на свойствата на векторното произведение на векторите. След прилагането на които ще получим решение на зададения проблем.

Пример 5

Векторите a → и b → са перпендикулярни и техните дължини са съответно 3 и 4. Намерете дължината на векторното произведение 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Решение

Чрез разпределителното свойство на векторно произведение можем да запишем 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Чрез свойството на асоциативността изваждаме числовите коефициенти от знака на векторните произведения в последния израз: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Векторните произведения a → × a → и b → × b → са равни на 0, тъй като a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, тогава 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

От антикомутативността на векторното произведение следва - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Използвайки свойствата на векторното произведение, получаваме равенството 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

По условие векторите a → и b → са перпендикулярни, т.е. ъгълът между тях е равен на π 2. Сега всичко, което остава, е да замените намерените стойности в подходящите формули: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Отговор: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Дължината на векторното произведение на векторите по дефиниция е равна на a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Тъй като вече е известно (от училищния курс), че площта на триъгълник е равна на половината от произведението на дължините на двете му страни, умножено по синуса на ъгъла между тези страни. Следователно дължината на векторния продукт е равна на площта на успоредника - удвоен триъгълник, а именно произведението на страните под формата на вектори a → и b →, положени от една точка, от синуса на ъгълът между тях sin ∠ a →, b →.

Това е геометричното значение на векторното произведение.

Физически смисъл на векторното произведение

В механиката, един от клоновете на физиката, благодарение на векторния продукт, можете да определите момента на сила спрямо точка в пространството.

Определение 3

Под момента на сила F →, приложена към точка B, спрямо точка A, ще разбираме следното векторно произведение A B → × F →.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter