Таблица със стойности на тригонометрични функции
Забележка. Тази таблица със стойности на тригонометрична функция използва знака √ за указване корен квадратен. За да посочите дроб, използвайте символа "/".
Вижте същополезни материали:
За определение на стойността тригонометрична функция , намерете го в пресечната точка на линията, указваща тригонометричната функция. Например синус 30 градуса - търсим колоната със заглавие sin (синус) и намираме пресечната точка на тази колона на таблицата с реда „30 градуса“, в пресечната точка четем резултата - едната половина. По същия начин намираме косинус 60степени, синус 60градуси (отново в пресечната точка на колоната sin и линията на 60 градуса намираме стойността sin 60 = √3/2) и т.н. Стойностите на синусите, косинусите и тангентите на други „популярни“ ъгли се намират по същия начин.
Синус пи, косинус пи, тангенс пи и други ъгли в радиани
Таблицата по-долу с косинуси, синуси и тангенси също е подходяща за намиране на стойността на тригонометрични функции, чийто аргумент е дадени в радиани. За да направите това, използвайте втората колона с ъглови стойности. Благодарение на това можете да конвертирате стойността на популярните ъгли от градуси в радиани. Например, нека намерим ъгъла от 60 градуса в първия ред и да прочетем стойността му в радиани под него. 60 градуса е равно на π/3 радиана.
Числото пи еднозначно изразява зависимостта на обиколката от степенна мяркаъгъл. Така пи радианите са равни на 180 градуса.
Всяко число, изразено чрез pi (радиани), може лесно да бъде преобразувано в градуси чрез замяна на pi (π) със 180.
Примери:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
по този начин синус от пи е същият като синус от 180 градуса и е равен на нула.
2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
следователно косинусът от пи е същият като косинусът от 180 градуса и е равен на минус едно.
3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
по този начин тангенс pi е същият като тангенс 180 градуса и е равен на нула.
Таблица със стойности на синус, косинус, тангенс за ъгли 0 - 360 градуса (общи стойности)
|
стойност на ъгъл α (градуси) |
стойност на ъгъл α (чрез пи) |
грях (синус) |
cos (косинус) |
tg (тангента) |
ctg (котангенс) |
сек (секанс) |
cosec (косеканс) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
| 15 | π/12 | 2 - √3 | 2 + √3 | ||||
| 30 | π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 | 2/√3 | 2 |
| 45 | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 | √2 | √2 |
| 60 | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 | 1/√3 | 2 | 2/√3 |
| 75 | 5π/12 | 2 + √3 | 2 - √3 | ||||
| 90 | π/2 | 1 | 0 | - | 0 | - | 1 |
| 105 | 7π/12 |
- |
- 2 - √3 | √3 - 2 | |||
| 120 | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 | -√3/3 | ||
| 135 | 3π/4 | √2/2 | -√2/2 | -1 | -1 | -√2 | √2 |
| 150 | 5π/6 | 1/2 | -√3/2 | -√3/3 | -√3 | ||
| 180 | π | 0 | -1 | 0 | - | -1 | - |
| 210 | 7π/6 | -1/2 | -√3/2 | √3/3 | √3 | ||
| 240 | 4π/3 | -√3/2 | -1/2 | √3 | √3/3 | ||
| 270 | 3π/2 | -1 | 0 | - | 0 | - | -1 |
| 360 | 2π | 0 | 1 | 0 | - | 1 | - |
Ако в таблицата със стойности на тригонометричните функции е посочено тире вместо стойността на функцията (тангенс (tg) 90 градуса, котангенс (ctg) 180 градуса), това означава, че когато дадена стойностГрадусната мярка на ъглова функция няма конкретна стойност. Ако няма тире, клетката е празна, което означава, че все още не сме влезли желаната стойност. Интересуваме се за какви заявки потребителите идват при нас и допълваме таблицата с нови стойности, въпреки факта, че текущите данни за стойностите на косинусите, синусите и тангентите на най-често срещаните стойности на ъглите са напълно достатъчни за решаване на повечето проблеми.
Таблица със стойности на тригонометричните функции sin, cos, tg за най-популярните ъгли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градуса
(числови стойности „според таблиците на Bradis“)
| стойност на ъгъл α (градуси) | стойност на ъгъл α в радиани | грях (синус) | cos (косинус) | tg (тангенса) | ctg (котангенс) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||||
| 15 |
0,2588 |
0,9659
|
0,2679 |
||
| 30 |
0,5000 |
0,5774 |
|||
| 45 |
0,7071 |
||||
|
0,7660 |
|||||
| 60 |
0,8660 |
0,5000
|
1,7321 |
||
|
7π/18 |
Тази статия съдържа таблици на синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Първо, ще предоставим таблица на основните стойности на тригонометрични функции, тоест таблица на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадиан). След това ще дадем таблица на синусите и косинусите, както и таблица на тангенсите и котангенсите от В. М. Брадис и ще покажем как да използваме тези таблици при намиране на стойностите на тригонометричните функции.
Навигация в страницата.
Таблица със синуси, косинуси, тангенси и котангенси за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса
Библиография.
- Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727-7
- Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
- Брадис В. М.Четирицифрен математически таблици: За общообразователни. учебник заведения. - 2-ро изд. - М.: Дропла, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2
проект) Електротехника Регулатори Системи за гарантирано и непрекъснато захранване. Системи за диспечиране и управление Структурни кабелни системи Центрове за данни Всяка тригонометрична функция зададен ъгъл отговаряспецифична стойност тази функция. От дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс става ясно, че стойността на синуса на ъгъл е ординатата на точката, към която отива началната точкаединична окръжност
след нейното завъртане под ъгъл стойността на косинуса е абсцисата на тази точка, стойността на тангенса е отношението на ординатата към абсцисата, а стойността на котангенса е отношението на абсцисата към ординатата. Доста често при решаване на проблеми възниква необходимостта да се намерят стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите на определени ъгли. За някои ъгли, например 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса, е възможно да се намериточни стойности
тригонометрични функции; за други ъгли намирането на точни стойности се оказва проблематично и човек трябва да се задоволява с приблизителни стойности.
В тази статия ще разгледаме какви принципи трябва да се следват, когато се изчислява стойността на синус, косинус, тангенс или котангенс. Нека ги изброим по ред.
Сега ще разгледаме подробно всеки от изброените принципи за изчисляване на стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите.
- Намиране на стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс по дефиниция. Линии на синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на ъгли от 30, 45 и 60 градуса. Намаляване до ъгъл от 0 до 90 градуса. Достатъчно е да знаете стойността на една от тригонометричните функции. Намиране на стойности с помощта на тригонометрични формули. Какво да правим в други случаи?
Намиране на стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс по дефиниция
Въз основа на определението за синус и косинус можете да намерите стойностите на синуса и косинуса на даден ъгъл. За да направите това, трябва да вземете единична окръжност, да завъртите началната точка A(1, 0) на ъгъл, след което тя ще отиде до точка A1. Тогава координатите на точка A1 ще дадат съответно косинуса и синуса на дадения ъгъл. След това можете да изчислите тангенса и котангенса на ъгъла, като изчислите съответно съотношенията на ординатата към абсцисата и на абсцисата към ординатата.
По дефиниция можем да изчислим точните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгли 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ... градуса (0, ±р/2, ±р, ±3р/2, ±2р, …радиан). Нека разделим тези ъгли на четири групи: 360 z градуса (2р z радиани), 90+360 z градуса (р/2+2р z радиани), 180+360 z градуса (р+2р z радиани) и 270 +360·z градуси (3р/2+2р·z радиани), където z е всяко цяло число. Нека изобразим на фигурите къде ще бъде разположена точка A1, в резултат на завъртане на началната точка A под тези ъгли (ако е необходимо, проучете ъгъла на въртене в статията).
За всяка от тези групи ъгли ще намерим стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс, като използваме дефинициите.
Що се отнася до други ъгли, различни от 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ... градуса, тогава по дефиниция можем да намерим само приблизителни стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс. Например, нека намерим синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл −52 градуса.
Да направим конструкцията.
Според чертежа откриваме, че абсцисата на точка A1 е приблизително равна на 0,62, а ординатата е приблизително равна на −0,78. По този начин, 
И 
. Остава да изчислим стойностите на тангенса и котангенса, които имаме 
И 
.
Ясно е, че колкото по-точно са завършени конструкциите, толкова по-точно ще бъдат намерени приблизителните стойности на синуса, косинуса, тангенса и котангенса на даден ъгъл. Също така е ясно, че намирането на стойностите на тригонометричните функции по дефиниция не е удобно на практика, тъй като е неудобно да се изпълняват описаните конструкции.
Най-горе на страницата
Линии на синуси, косинуси, тангенси и котангенси
Струва си да се спрем накратко на така наречените линии на синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Линиите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите са прави, изобразени заедно с единичната окръжност, имащи начало и равни на единица във въведената правоъгълна системакоординати, те ясно представят всички възможни стойностисинуси, косинуси, тангенси и котангенси. Нека ги изобразим на чертежа по-долу.
Най-горе на страницата
Стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на ъгли от 30, 45 и 60 градуса
За ъгли от 30, 45 и 60 градуса са известни точните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс. Те могат да бъдат получени от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс в правоъгълен триъгълник с помощта на Питагоровата теорема.
За да получите стойностите на тригонометричните функции за ъгли от 30 и 60 градуса, помислете за правоъгълен триъгълник с тези ъгли и го вземете така, че дължината на хипотенузата да е равна на едно. Известно е, че катетът, лежащ срещу ъгъл от 30 градуса, е половината от размера на хипотенузата, следователно дължината му е 1/2. Намираме дължината на другия крак с помощта на Питагоровата теорема: 
.
Тъй като синусът на ъгъл е отношението срещуположния краккъм хипотенузата, тогава 
И 
. От своя страна косинусът е отношението съседен краккъм хипотенузата, тогава 
И 
. Тангенсът е съотношението на противоположната страна към съседната, а котангенсът е съотношението на съседната страна към противоположната страна, следователно, 
И 
, и 
И 
.
Остава да се получат стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс за ъгъл от 45 градуса. Нека се обърнем към правоъгълен триъгълник с ъгли от 45 градуса (ще бъде равнобедрен) и хипотенуза, равно на едно. След това, използвайки теоремата на Питагор, е лесно да се провери дали дължините на краката са равни. Сега можем да изчислим стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс като съотношение на дължините на съответните страни на разглеждания правоъгълен триъгълник. Имаме и 
.
Получените стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгли от 30, 45 и 60 градуса ще бъдат много често използвани при решаване на различни геометрични и тригонометрични задачи, затова ви препоръчваме да ги запомните. За удобство ще ги въведем в таблицата на основните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс.
За да завършим тази точка, предоставяме илюстрация на стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгли 30, 45 и 60, като използваме единичната окръжност и линиите на синус, косинус, тангенс и котангенс.
Най-горе на страницата
Намаляване до ъгъл от 0 до 90 градуса
Нека веднага да отбележим, че е удобно да се намерят стойностите на тригонометричните функции, когато ъгълът е в диапазона от 0 до 90 градуса (от нула до pi в половин радиан). Ако аргументът на тригонометричната функция, чиято стойност трябва да намерим, надхвърля границите от 0 до 90 градуса, тогава винаги можем да използваме формулите за редукция, за да продължим към намирането на стойността на тригонометричната функция, чийто аргумент ще бъде в посочените граници.
Например, нека намерим синусовата стойност на 210 градуса. Представяйки 210 като 180+30 или като 270−60, съответните формули за редуциране намаляват проблема ни от намирането на синуса от 210 градуса до намирането на стойността на синуса от 30 градуса или косинуса от 60 градуса.
Нека се съгласим за в бъдеще, когато намираме стойностите на тригонометричните функции, винаги да използваме формули за редукция, за да преминем към ъгли от интервала от 0 до 90 градуса, освен ако разбира се ъгълът вече не е в тези граници.
Най-горе на страницата
Достатъчно е да знаете стойността на една от тригонометричните функции
Основен тригонометрични тъждестваустановяване на връзки между синус, косинус, тангенс и котангенс на един и същи ъгъл. Така с тяхна помощ можем да използваме известната стойност на една от тригонометричните функции, за да намерим стойността на всяка друга функция на същия ъгъл.
Нека да разгледаме примерното решение.
Определете какво равно на синусъгъл pi на осем, ако 
.
Първо, нека намерим на какво е равен котангенсът на този ъгъл: 
Сега използвайки формулата 
, можем да изчислим какво равно на квадратсинус на ъгъл pi по осем и следователно желаната стойност на синуса. Ние имаме 
Всичко, което остава, е да се намери стойността на синуса. Тъй като ъгълът pi по осем е ъгълът на първата координатна четвърт, синусът на този ъгъл е положителен (ако е необходимо, вижте теоретичния раздел за знаците на синус, косинус, тангенс и котангенс по четвърт). По този начин, 
.
.
Най-горе на страницата
Намиране на стойности с помощта на тригонометрични формули
В предишните два параграфа вече започнахме да разглеждаме въпроса за намирането на стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс с помощта на тригонометрични формули. Тук просто искаме да кажем, че понякога е възможно да се изчисли необходимата стойност на тригонометричната функция с помощта на тригонометрични формулиИ известни стойностисинус, косинус, тангенс и котангенс (например за ъгли от 30, 45 и 60 градуса).
Например, използвайки тригонометрични формули, нека изчислим стойността на тангенса на ъгъл pi по осем, който използвахме в предишен параграфза да намерите стойността на синуса.
Намерете стойността.
Използване на формулата на тангенса половин ъгъл, можем да напишем следното равенство 
. Ние знаем стойностите на косинуса на ъгъла pi с четири, така че можем веднага да изчислим стойността на квадрата на желаната допирателна: 
.
Ъгълът pi, разделен на осем, е ъгълът на първия координатен квадрант, така че тангенсът на този ъгъл е положителен. следователно 
.
.