Ъгълът е основната геометрична фигура, която ще анализираме в цялата тема. Дефиниции, методи за настройка, означение и измерване на ъгъл. Нека да разгледаме принципите на подчертаване на ъглите в чертежите. Цялата теория е илюстрирана и има голям брой визуални рисунки.
Определение 1Ъгъл– проста важна фигура в геометрията. Ъгълът директно зависи от дефиницията на лъч, който от своя страна се състои от основните понятия за точка, права линия и равнина. За задълбочено проучване трябва да се задълбочите в темите права линия в равнина - необходима информацияИ самолет - необходима информация.
Концепцията за ъгъл започва с концепциите за точка, равнина и права линия, изобразена на тази равнина.
Определение 2
Дадена е права a в равнината. Нека означим определена точка O върху него. Правата линия е разделена с точка на две части, всяка от които има име Рей, а точка O – началото на лъча.
С други думи, лъчът или полуправ –това е част от линия, състояща се от точки на дадена линия, разположени от една и съща страна спрямо началната точка, тоест точка O.
Обозначаването на лъча е разрешено в два варианта: една малка или две главни букви от латинската азбука. Когато се обозначава с две букви, лъчът има име, състоящо се от две букви. Нека да разгледаме по-отблизо рисунката.
Нека да преминем към концепцията за определяне на ъгъл.
Определение 3
Ъгъле фигура, разположена в дадена равнина, образувана от два разминаващи се лъча, които имат общ произход. Ъглова странае лъч връх– общ произход на страните.
Има случай, когато страните на ъгъла могат да действат като права линия.
Определение 4
Когато двете страни на ъгъла са разположени на една и съща права линия или неговите страни служат като допълнителни полулинии на една права линия, тогава такъв ъгъл се нарича разширена.
Картината по-долу показва завъртян ъгъл.
Точка на права линия е върха на ъгъл. Най-често се обозначава с точка О.
Ъгълът в математиката се означава със знака „∠“. Когато страните на ъгъла са обозначени с малки латински букви, за да се определи правилно ъгълът, буквите се изписват в ред, съответстващ на страните. Ако две страни са обозначени с k и h, тогава ъгълът се означава с ∠ k h или ∠ h k.
Когато обозначението е с главни букви, тогава страните на ъгъла се наричат съответно O A и O B. В този случай ъгълът има име, съставено от три букви от латинската азбука, изписани в един ред, в центъра с връх - ∠ A O B и ∠ B O A. Има обозначение под формата на числа, когато ъглите нямат имена или буквени обозначения. По-долу има снимка, където ъглите са обозначени по различни начини.
Ъгълът разделя равнината на две части. Ако ъгълът не е обърнат, тогава се нарича една част от равнината зона на вътрешния ъгъл, другият - зона на външния ъгъл. По-долу има изображение, обясняващо кои части от самолета са външни и кои вътрешни.
Когато се раздели на развит ъгъл върху равнина, всяка от нейните части се счита за вътрешна област на развития ъгъл.
Вътрешната област на ъгъла е елемент, който служи за второто определение на ъгъла.
Определение 5
Ъгълнаречена геометрична фигура, състояща се от два разминаващи се лъча, които имат общ произход и съответна област на вътрешния ъгъл.
Това определение е по-строго от предишното, тъй като има повече условия. Не е препоръчително да се разглеждат двете определения поотделно, тъй като ъгълът е геометрична фигура, трансформирана с помощта на два лъча, излизащи от една точка. Когато е необходимо да се извършват действия с ъгъл, определението означава наличието на два лъча с общо начало и вътрешна област.
Определение 6Двата ъгъла се наричат съседен, ако има обща страна, а другите две са допълнителни полуправи или образуват прав ъгъл.
Фигурата показва, че съседните ъгли се допълват, тъй като те са продължение един на друг.
Определение 7
Двата ъгъла се наричат вертикален, ако страните на едната са допълнителни полуправи на другата или са продължения на страните на другата. Картината по-долу показва изображение на вертикални ъгли.
При пресичане на прави линии се получават 4 двойки съседни и 2 двойки вертикални ъгли. По-долу е показано на снимката.
Статията показва дефинициите на равни и неравни ъгли. Нека да разгледаме кой ъгъл се счита за по-голям, кой е по-малък и други свойства на ъгъла. Две фигури се считат за равни, ако при наслагване напълно съвпадат. Същото свойство важи и за сравняване на ъгли.
Дадени са два ъгъла. Необходимо е да се направи извод дали тези ъгли са равни или не.
Известно е, че има припокриване на върховете на два ъгъла и страните на първия ъгъл с всяка друга страна на втория. Тоест, ако има пълно съвпадение, когато ъглите се наслагват, страните на дадените ъгли ще се изравнят напълно, ъглите равен.
Възможно е при наслагване страните да не са подравнени, след това ъглите неравен, по-малъкот които се състои от друг, и Повече ▼съдържа напълно различен ъгъл. По-долу са неравни ъгли, които не са били подравнени при наслагване.
Правите ъгли са равни.
Измерването на ъгли започва с измерване на страната на измервания ъгъл и неговата вътрешна площ, която се запълва с единични ъгли и се прилагат един към друг. Необходимо е да се преброи броят на положените ъгли, те предопределят мярката на измерения ъгъл.
Единицата за ъгъл може да бъде изразена чрез всеки измерим ъгъл. Има общоприети мерни единици, които се използват в науката и технологиите. Те са специализирани в други заглавия.
Най-често използваната концепция степен.
Определение 8
Една степеннарича ъгъл, който има сто и осемдесета част от прав ъгъл.
Стандартното обозначение за градус е "°", тогава един градус е 1°. Следователно правият ъгъл се състои от 180 такива ъгъла от един градус. Всички налични ъгли са плътно поставени един до друг и страните на предишния са подравнени със следващия.
Известно е, че броят на градусите в ъгъла е самата мярка на ъгъла. Един разгънат ъгъл има в състава си 180 подредени ъгъла. Фигурата по-долу показва примери, при които ъгълът е положен 30 пъти, тоест една шеста от разгънатия, и 90 пъти, тоест половината.
Минутите и секундите се използват за точно измерване на ъгли. Те се използват, когато стойността на ъгъла не е цял градус. Тези части от градуса позволяват по-точни изчисления.
Определение 9
минутанаречена една шестдесета от градуса.
Определение 10
След секунданаречена една шестдесета от минутата.
Един градус съдържа 3600 секунди. Минутите са обозначени с """, а секундите са обозначени с """.
1 ° = 60 " = 3600 "" , 1 " = (1 60) ° , 1 " = 60 "" , 1 "" = (1 60) " = (1 3600) ° ,
а обозначението за ъгъл от 17 градуса 3 минути и 59 секунди е 17 ° 3 "59"".
Определение 11
Нека дадем пример за обозначението на градусната мярка на ъгъл, равен на 17 ° 3 "59 "". Записът има друга форма: 17 + 3 60 + 59 3600 = 17 239 3600.
За точно измерване на ъгли използвайте измервателно устройство като транспортир. Когато се обозначава ъгъл ∠ A O B и неговата градусна мярка от 110 градуса, се използва по-удобна нотация ∠ A O B = 110 °, която гласи „Ъгъл A O B е равен на 110 градуса“.
В геометрията се използва мярка за ъгъл от интервала (0, 180], а в тригонометрията се нарича произволна градусна мярка ъгли на завиване.Стойността на ъглите винаги се изразява като реално число. Прав ъгъл- Това е ъгъл, който има 90 градуса. Остър ъгъл– ъгъл, който е по-малък от 90 градуса, и тъп- Повече ▼.
Остър ъгъл се измерва в интервала (0, 90), а тъп ъгъл - (90, 180). Три вида ъгли са ясно показани по-долу.
Всяка градусна мярка на всеки ъгъл има една и съща стойност. По-големият ъгъл има съответно по-голяма градусна мярка от по-малкия. Градусната мярка на един ъгъл е сумата от всички налични градусни мерки на вътрешните ъгли. По-долу има фигура, показваща ъгъла AOB, състоящ се от ъгли AOC, COD и DOB. В детайли изглежда така: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.
Въз основа на това можем да заключим, че сумавсеки съседните ъгли са равни на 180 градуса,защото всички те образуват прав ъгъл.
От това следва, че всяка вертикалните ъгли са равни. Ако разгледаме това като пример, откриваме, че ъглите A O B и C O D са вертикални (на чертежа), тогава двойките ъгли A O B и B O C, C O D и B O C се считат за съседни. В този случай равенството ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° заедно с ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° се считат за еднозначно верни. Следователно имаме, че ∠ A O B = ∠ C O D . По-долу е даден пример за изображение и обозначение на вертикални фиксатори.
В допълнение към градусите, минутите и секундите се използва друга мерна единица. Нарича се радиан. Най-често може да се намери в тригонометрията при обозначаване на ъглите на многоъгълници. Какво се нарича радиан?
Определение 12
Един радиан ъгълнаречен централен ъгъл, който има радиус на окръжност, равен на дължината на дъгата.
На фигурата радианът е изобразен като кръг, където има център, обозначен с точка, с две точки от кръга, свързани и трансформирани в радиуси O A и O B. По дефиниция този триъгълник A O B е равностранен, което означава дължината на дъгата A B е равна на дължините на радиусите O B и O A.
Обозначението на ъгъла се приема като „rad“. Тоест записването на 5 радиана се съкращава като 5 rad. Понякога можете да намерите нотация, наречена пи. Радианите не зависят от дължината на дадена окръжност, тъй като фигурите имат известно ограничение от ъгъла и неговата дъга с център, разположен във върха на дадения ъгъл. Те се считат за подобни.
Радианите имат същото значение като градусите, само разликата е в тяхната големина. За да се определи това, е необходимо да се раздели изчислената дължина на дъгата на централния ъгъл на дължината на неговия радиус.
На практика използват преобразуване на градуси в радиани и радиани в градусиза по-удобно решаване на проблеми. Тази статия съдържа информация за връзката между градусната мярка и радиана, където можете да проучите подробно преобразуването от градуси в радиани и обратно.
Чертежите се използват за визуално и удобно изобразяване на дъги и ъгли. Не винаги е възможно правилно да се изобрази и отбележи определен ъгъл, дъга или име. Еднаквите ъгли се означават с еднакъв брой дъги, а неравните с различен брой. Чертежът показва правилното обозначение на остри, равни и неравни ъгли.
Когато трябва да се маркират повече от 3 ъгъла, се използват специални дъгови символи, като вълнообразни или назъбени. Не е толкова важно. По-долу има снимка, показваща тяхното обозначение.
Ъгловите символи трябва да са прости, за да не пречат на други значения. При решаване на проблем се препоръчва да се подчертаят само ъглите, необходими за решението, за да не се претрупва целия чертеж. Това няма да попречи на решението и доказването, а също така ще придаде естетичен вид на чертежа.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Математика, геометрия - тези науки, както и повечето други точни науки, са изключително трудни за мнозина. Хората трудно разбират формули и странна терминология. Какво се крие под това странно понятие?
Определение
Като начало трябва да вземете предвид просто мярката на ъгъла. Изображението на лъч и права линия ще помогне за това. Първо трябва да начертаете, например, хоризонтална права линия. След това се изчертава лъч от първата му точка, неуспореден на правата. Така между правата линия и лъча се появява известно разстояние, малък ъгъл. Мярката на ъгъл е размера на въртенето на този лъч.
Тази концепция обозначава определена цифрова стойност, която ще бъде по-голяма от нула. Изразява се в градуси, както и неговите компоненти, тоест минути и секунди. Броят градуси, които се вписват в ъгъла между лъча и правата линия, ще бъде градусната мярка.
Свойства на ъглите
- Абсолютно всеки ъгъл ще има определена градусна мярка.
- Ако е напълно разгънат, числото ще бъде 180 градуса.
- За да се намери градусната мярка, се взема предвид сумата от всички ъгли, счупени от лъча.
- Използвайки който и да е лъч, можете да създадете полуравнина, в която всъщност можете да направите ъгъл. Той ще има градусна мярка, чиято стойност ще бъде по-малка от 180 и може да има само един такъв ъгъл.
Как да разберете мярката на ъгъл?
По правило минималната градусна мярка е 1 градус, което е 1/180 от завъртения ъгъл. Понякога обаче не можете да получите толкова ясна цифра. В тези случаи се използват секунди и минути.
Веднъж намерена, стойността може да се преобразува в градуси, като по този начин се получава част от градуса. Понякога се използват дробни числа, като 80,7 градуса.
Също така е важно да запомните ключовите количества. Правият ъгъл винаги ще бъде 90 градуса. Ако мярката е по-голяма, тогава тя ще се счита за тъпа, а ако е по-малка, тогава остра.
Градусна мярка за ъгъле положително число, показващо колко пъти даден градус и неговите части се вписват в ъгъла.
Думата "ъгъл" има различни тълкувания. В геометрията ъгълът е част от равнина, ограничена от два лъча, които излизат от една точка, така нареченият връх. Когато се разглеждат прави, остри и прави ъгли, се имат предвид геометричните ъгли.
Като всяка геометрична фигура, ъглите могат да се сравняват. В областта на геометрията днес не е трудно да се опише, че един ъгъл е по-голям или по-малък в сравнение с друг.
Мерната единица за ъгли е градус - 1/180 от завъртян ъгъл.
Всеки ъгъл има градусна мярка, по-голяма от нула. Правият ъгъл съответства на 180 градуса. Градусната мярка на ъгъл е равна на сбора от всички градусови мерки на ъгли, на които първоначалният ъгъл може да бъде разделен от лъчи.
От всеки лъч към дадена равнина можете да сключите ъгъл с градусна мярка не повече от 180 градуса. Мярката на равнинен ъгъл, който е част от полуравнина, е градусна мярка на ъгъл, който има сходни страни. Мярката на равнината на ъгъла, която съдържа полуравнината, се обозначава с числото 360 - ?, където? е градусната мярка на допълнителен плосък ъгъл.
Правият ъгъл винаги е равен на 90 градуса, тъпият ъгъл е по-малък от 180 градуса, но повече от 90, а острият ъгъл не надвишава 90 градуса.
В допълнение към градусната мярка на ъгъла има радианова мярка. В планиметрията дължината на кръгова дъга се означава като L, радиусът е r, а съответният централен ъгъл е обозначен като ?.. Връзката между тези параметри изглежда така: ? = L/r.
Ъгълът е фигура, която се състои от точка - върха на ъгъла и две различни полуправи, излизащи от тази точка - страните на ъгъла (фиг. 14). Ако страните на ъгъла са допълващи се полуправи, тогава ъгълът се нарича развит ъгъл.
Ъгъл се обозначава или чрез посочване на неговия връх, или чрез посочване на неговите страни, или чрез посочване на три точки: върха и две точки от страните на ъгъла. Думата "ъгъл" понякога се заменя
Символът за ъгъл на фигура 14 може да бъде обозначен по три начина:
Казва се, че лъч c минава между страните на ъгъл, ако излиза от неговия връх и пресича някакъв сегмент с краища на страните на ъгъла.
На фигура 15 лъч c минава между страните на ъгъла, докато пресича сегмента
В случай на прав ъгъл всеки лъч, излизащ от неговия връх и различен от неговите страни, минава между страните на ъгъла.
Ъглите се измерват в градуси. Ако вземете прав ъгъл и го разделите на 180 равни ъгъла, градусната мярка на всеки от тези ъгли се нарича градус.
Основните свойства на измерването на ъглите са изразени в следната аксиома:
Всеки ъгъл има определена градусна мярка, по-голяма от нула. Ъгълът на завъртане е 180°. Градусната мярка на ъгъл е равна на сбора от градусните мерки на ъглите, на които той е разделен от всеки лъч, минаващ между страните му.
Това означава, че ако лъч c минава между страните на ъгъл, тогава ъгълът е равен на сбора от ъглите
Градусната мярка на ъгъл се намира с помощта на транспортир.
Ъгъл, равен на 90°, се нарича прав ъгъл. Ъгъл, по-малък от 90°, се нарича остър ъгъл. Ъгъл, по-голям от 90° и по-малък от 180°, се нарича тъп.
Нека формулираме основното свойство на отделяне на ъгли.
От всяка полуправа в дадена полуравнина можете да поставите ъгъл с дадена градусна мярка, по-малка от 180°, и то само един.
Да разгледаме полуправата a. Нека я продължим отвъд началната точка A. Получената права разделя равнината на две полуравнини. Фигура 16 показва как с помощта на транспортир да начертаете ъгъл с дадена градусна мярка 60° от полуправа до горната полуравнина.
Т. 1. 2. Ако два ъгъла от дадена полуправа се поставят в една полуравнина, то страната на по-малкия ъгъл, различна от дадената полуправа, минава между страните на по-големия ъгъл.
Позволявам са ъглите, отложени от дадена полулиния a в една полуравнина, и нека ъгълът е по-малък от ъгъла . Теорема 1. 2 гласи, че лъчът минава между страните на ъгъла (фиг. 17).
Симетралата на ъгъл е лъчът, който излиза от върха му, минава между страните и разделя ъгъла наполовина. На фигура 18 лъчът е ъглополовящата на ъгъла
В геометрията съществува понятието равнинен ъгъл. Равнинният ъгъл е част от равнина, ограничена от два различни лъча, излизащи от една точка. Тези лъчи се наричат страни на ъгъла. Има два равнинни ъгъла с дадени страни. Те се наричат допълнителни. На фигура 19 един от равнинните ъгли със страни a и
Ъглите се измерват в различни единици. Може да бъде градуси, радиани. Най-често ъглите се измерват в градуси. (Този градус не трябва да се бърка с мярката за температура, която също използва думата „градус“).
1 градус е ъгъл, който е равен на 1/180 от разгънатия ъгъл. С други думи, ако вземете прав ъгъл и го разделите на 180 равни части-ъгли, тогава всеки такъв малък ъгъл ще бъде равен на 1 градус. Размерът на всички други ъгли се определя от това колко такива малки ъгли могат да бъдат поставени вътре в измервания ъгъл.
Градусът се обозначава със знака °. Това не е нула или буквата О. Това е специален символ, въведен за обозначаване на степен.
Така правият ъгъл е 180°, правият ъгъл е 90°, острите ъгли са по-малки от 90°, а тъпите ъгли са по-големи от 90°.
Метричната система използва метър за измерване на разстояние. Използват се обаче и по-големи и по-малки единици. Например сантиметър, милиметър, километър, дециметър. По аналогия градусите на ъглите също са разделени на минути и секунди.
Една градусна минута е равна на 1/60 от градуса. Обозначава се с един знак ".
Един градус секунда е равен на 1/60 от минута или 1/3600 от градус. Вторият е обозначен с два знака ", т.е. "".
В училищната геометрия рядко се използват градусови минути и секунди, но трябва да можете да разберете например следната нотация: 35°21"45". Това означава, че ъгълът е 35 градуса + 21 минути + 45 секунди.
От друга страна, ако ъгълът не може да бъде точно измерен само в цели градуси, тогава не е необходимо да въвеждате минути и секунди. Достатъчно е да използвате дробни градуси. Например 96,5°.
Ясно е, че минутите и секундите могат да се преобразуват в градуси, като се изразят във фракции от градуса. Например, 30" е равно на (30/60)° или 0,5°. А 0,3° е равно на (0,3 * 60)" или 18". Така че използването на минути и секунди е само въпрос на удобство.