Инструкции. Въведете израза F(x) , щракнете върху Напред. Полученото решение се записва във файл на Word. Създава се и шаблон за решение в Excel. По-долу има видео инструкция.
Правила за въвеждане на функция
Примери≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)
Нека разгледаме по-бърз начин за намиране на корена на интервала, при допускането, че f(a)f(b)<0.
f’’(x)>0 f’’(x)<0
f(b)f’’(b)>0 f(a)f’’(a)>0 
Фиг.1а Фиг. 1б
Нека да разгледаме Фиг. 1а. Нека начертаем хорда през точки A и B. Хордово уравнение 
.
В точката x=x 1 , y=0, като резултат получаваме първото приближение на корена 
. (3.8)
Проверка на условията
(a) f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
Ако условие (a) е изпълнено, тогава във формула (3.8) заместваме точка a с x 1, получаваме
.
Продължавайки този процес, получаваме за n-то приближение 
. (3.9)
Тук край a е подвижен, това е f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Нека разгледаме случая, когато краят a е фиксиран.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f''(b)<0 f(a)f’’(a)<0
Фиг.2а Фиг.2б
На фиг. 1b, 2b се изпълнява f(x i)f(a).<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.
Продължавайки процеса, стигаме до формулата 
. (3.10)
Спиране на процеса
|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n
Ориз. 3
На фиг. 3 f’’(x) променя знака, така че двата края ще бъдат подвижни.
Преди да преминем към въпроса за сходимостта на итеративния процес на метода на акордите, въвеждаме понятието изпъкнала функция.
Определение.Функция, непрекъсната върху, се нарича изпъкнала (вдлъбната), ако за всеки две точки x 1 ,x 2, удовлетворяващи a≤x 1
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - вдлъбнат
За изпъкнала функция f’’(x)≥0.
За вдлъбната функция f’’(x)≤0
Теорема 3.Ако функцията f(x) е изпъкнала (вдлъбната) на сегмента , то на всеки сегмент 
графиката на функцията f(x) не лежи по-високо (не по-ниско) от хордата, минаваща през точките на графиката с абсцисите x 1 и x 2.
Доказателство:
Нека разгледаме изпъкнала функция. Уравнението на хордата: преминаваща през x 1 и x 2 има формата: 
.
Да разгледаме точката c= αx 1 + (1-α)x 2 , където aО
От друга страна, по дефиницията на изпъкнала функция имаме f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; следователно f(c) ≤ g(c) и т.н. 
За вдлъбната функция доказателството е подобно.
Ще разгледаме доказателството за сходимостта на итеративния процес за случай на изпъкнала (вдлъбната) функция.
Теорема 4.Нека непрекъсната, два пъти диференцируема функция f(x) е дадена на и нека f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Доказателство:Нека разгледаме например случая f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 тъй като (b-x n -1)>0, и f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0
. (3.11)
Ние имаме
(3.12)
(тоест стойността на функцията y(x) в точката x n на хордата съвпада с f(ξ)).
Тъй като , то от (3.12) следва
или
. (3.13)
За фиг. 1а, следователно
или
означава, че и т.н. (виж (3.11)).
За фиг. 2а. Следователно от (3.12) получаваме
Средства
защото 
и т.н.
Подобно доказателство за Фиг. 1b и Фиг. 2b. Така доказахме, че редицата от числа е сходна.
a≤x 0
Сходимостта на метода на хордите е линейна с коефициента 
.
, (3.14)
където m 1 = min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
Това следва от следните формули. Нека разгледаме случая на фиксиран край b и f(b)>0.
Имаме от (3.9) 
. Оттук 
. Имайки предвид това, можем да пишем 
или 
.
Замествайки (ξ-x n -1) в знаменателя на дясната страна с (b-x n -1) и като вземем предвид, че (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим 
, което трябваше да се докаже (виж неравенство (3.14)).
Доказателството за конвергенция за случая на фиг. 3 (f’’(x) променя знака; в общия случай и f’, и f’’ могат да променят знака) е по-сложно и не е дадено тук.
В задачите определете броя на реалните корени на уравнението f(x) = 0, отделете тези корени и, като използвате метода на акордите и допирателните, намерете техните приблизителни стойности с точност до 0,001.
Нека на сегмента функцията е непрекъсната, приема различни знаци в краищата на сегмента и производната f "(x)запазва знака. В зависимост от знака на втората производна са възможни следните случаи на подреждане на кривата (фиг. 1).
Ориз. 1.
Алгоритъм за приблизително изчисляване на корена по метода на хордата.
Първоначални данни: f(x)-функция ; д- изисквана точност; х 0 - първоначално приближение.
Резултат: xpr- приблизителен корен на уравнението f(x)= 0.
Метод на решение:
Ориз. 2. f "(x) f ""(x)>0.
Да разгледаме случая, когато f "(x)И f ""(x)имат същите знаци (фиг. 2).
Графиката на функцията минава през точките А 0 (a,f(a))И Б 0 (b,f(b)). Необходимият корен на уравнението (точка х*) е непознат за нас, вместо това ще вземе точка х 1 кръстовища на акорди А 0 IN 0 с абсцисната ос. Това ще бъде приблизителната стойност на корена.
В аналитичната геометрия се извежда формула, която определя уравнението на права линия, минаваща през две точки с координати (x1; y1)И (x2; y2): .
След това уравнението на акорда А 0 IN 0 ще се запише във формата: .
Нека намерим стойността х = х 1 , за което y = 0: . Сега коренът е върху сегмента . Нека приложим метода на акордите към този сегмент. Нека начертаем хорда, свързваща точките А 1 (х 1 ,f(x 1 )) И Б 0 (b,f(b)), и ще намерим х 2 - точка на пресичане на хордата А 1 IN 0 с ос о: х 2 =x 1 .
Продължавайки този процес, намираме
х 3 =x 2 .
Получаваме рекурентна формула за изчисляване на приближения към корена
х n+1 =x н .
В този случай краят bсегмент остава неподвижен и край асе движи.
Така получаваме формулите за изчисление за метода на акордите:
х n+1 =x н ; х 0 =а. (4)
Изчисляването на последователни приближения към точния корен на уравнението продължава, докато достигнем определената точност, т.е. трябва да бъде изпълнено следното условие: |x n+1 -х н |< , където е определената точност.
Сега нека разгледаме случая, когато първата и втората производни имат различни знаци, т.е. f "(x) f ""(x)<0 . (фиг. 3).
Ориз. 3. Геометрична интерпретация на метода на хордите за случая f "(x) f ""(x)<0 .
Нека свържем точките А 0 (a,f(a))И Б 0 (b,f(b))акорд А 0 IN 0 . Точката на пресичане на хордата с оста оЩе разгледаме първото приближение на корена. В този случай фиксираният край на сегмента ще бъде краят А.
Хордово уравнение А 0 IN 0 :. От тук ще намерим х 1 , ако приемем y = 0: х 1 =б. Сега коренът на уравнението х. Прилагайки метода на акордите към този сегмент, получаваме х 2 =x 1 . Продължавайки и т.н., получаваме х n+1 =x н .
Формули за изчисление на метода:
х n+1 =x н , х 0 =0 . (5)
Условие за попълване на изчисленията: |x n+1 -х н |< . Тогава xpr = xn+1с точност Така че, ако f "(x) f ""(x)>0приблизителната стойност на корена се намира с помощта на формула (4), ако f "(x) f ""(x)<0 , то по формула (5).
Практическият избор на една или друга формула се извършва, като се използва следното правило: фиксираният край на сегмента е този, за който знакът на функцията съвпада със знака на втората производна.
Пример. Илюстрирайте ефекта от това правило, като използвате уравнението
(x-1)ln(x)-1=0, ако коренният изолационен сегмент .
Решение. Тук f(x)=(x-1)ln(x)-1.
f "(x)=ln(x)+;
f ""(x)=.
Втората производна в този пример е положителна в коренния изолационен сегмент : f ""(x)>0, е (3)>0, т.е. е(б) f""(x)>0. По този начин, когато решаваме това уравнение по метода на акорда, за да изясним корена, избираме формули (4).
var e,c,a,b,y,ya,yb,yn,x,x1,x2,xn,f1,f2:real;
начало e:=0.0001;
writeln("введи начало отрезка");
writeln("введи край отрезка");
y:=((x-1)*ln(x))-1;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
yb:=y; c:=(a+b)/2; x:=c;
y:=((x-1)*ln(x))-1;
f1:=ln(x) + (x-1)/x;
f2:= 1/x + 1/(x*x);
ако (ya*yb< 0) and (f1*f2 > 0)
след това започнете x1:=a; докато abs(x2 - x) > e do
x2:=x1 - (yn*(b-x1))/(yb - yn);
writeln("корен уравнения xn = ", x2)
end elsebegin x1:=b;
докато abs(x2 - x) > e do
начало x:=x1; y:=((x-1)*ln(x))-1; yn:=y;
x2:=x1 - (yn*(x1- a))/(yn - ya);
writeln("корен уравнения xn = ", x2);
Метод на проста итерация
Помислете за уравнението f(x)=0(1) с отделен корен х. За да решим уравнение (1), използвайки метода на простата итерация, ние го редуцираме до еквивалентна форма: x=ts(x). (2)
Това винаги може да се направи и то по много начини. Например:
x=g(x) f(x) + x ? c(x), Където g(x) - произволна непрекъсната функция, която няма корени на сегмента .
Позволявам х (0) - приближение до корена, получен по някакъв начин х(в най-простия случай х (0) =(a+b)/2).Простият итерационен метод се състои от последователно изчисляване на членовете на итерационната последователност:
х (k+1) =ts(x (к) ), k=0, 1, 2, ... (3)
започвайки от приближаване х (0) .
ТВЪРДЕНИЕ: 1 Ако последователността (x (k) ) на метода на проста итерация се сближава и функцията μ е непрекъсната, тогава границата на последователността е коренът на уравнението x = μ (x)
ДОКАЗАТЕЛСТВО: Нека бъде. (4)
Да преминем към границата на равенството х (k+1) =ts(x (к) ) От една страна, получаваме от (4), че и от друга страна, поради непрекъснатостта на функцията ци (4) .
В резултат на това получаваме х * =ts(x * ). следователно х * - коренът на уравнение (2), т.е. X=x * .
За да се използва това твърдение, последователността трябва да се сближи (х (к) }. Достатъчно условие за конвергенция дава:
ТЕОРЕМА 1: (за конвергенцията) Нека уравнението x=ts(x)има един корен на сегмента и са изпълнени условията:
- 1) c(x) C 1 ;
- 2) c(x) "х;
- 3) има константа q > 0: | q "(x) | ? q . След това последователността от итерации (х (к) }, дадено от формулата х (k+1) = q(x (к) ), k=0, 1, ...се сближава при всяко първоначално приближение х (0) .
ДОКАЗАТЕЛСТВО: Разгледайте два съседни члена на последователността (х (к) ): х (к) = q(x (к-1) ) И х (k+1) = q(x (к) ) Тъй като според условие 2) х (к)И х (k+1)лежат вътре в сегмента , тогава използвайки теоремата за средната стойност на Лагранж, получаваме:
х (k+1) - х (к) = q(x (к) ) - c(x (к-1) ) = c "(c к )(х (к) - х (к-1) ), където c к (х (к-1) , х (к) ).
От тук получаваме:
| х (k+1) - х (к) | = | ts "(c к ) | · | х (к) - х (к-1) | ? q | х (к) - х (к-1) | ?
? q(q|x (к-1) - х (к-2) |) = q 2 | х (к-1) - х (к-2) | ? ...? р к | х (1) - х (0) |. (5)
Помислете за серията
С ? = х (0) + (x (1) - х (0) ) + ... + (x (k+1) - х (к) ) + ... . (6)
Ако докажем, че този ред се събира, тогава последователността от неговите частични суми също се събира
С к = х (0) + (x (1) - х (0) ) + ... + (x (к) - х (к-1) ).
Но не е трудно да се изчисли това
С к = х (к)) . (7)
Следователно, по този начин ще докажем сходимостта на итерационната последователност (х (к) }.
За да докажем сходимостта на редица (6), нека я сравним член по член (без първия член х (0) ) с наблизо
р 0 | х (1) - х (0) | +q 1 |x (1) - х (0) | + ... + |x (1) - х (0) | + ..., (8)
която се събира като безкрайно намаляваща геометрична прогресия (тъй като по условие р< 1 ). По силата на неравенство (5) абсолютните стойности на ред (6) не надвишават съответните членове на конвергентния ред (8) (т.е. серия (8) мажорира серия (6). Следователно, серия (6 ) също се сближава. По този начин последователността се сближава (х (0) }.
Получаваме формула, която дава метод за оценка на грешката |X - x (k+1) |
метод на проста итерация.
Х-х (k+1) = X - S k+1 = S ? -С k+1 = (x (k+2) - (k+1) ) + (x (k+3) - х (k+2) ) + ... .
Следователно
|X - x (k+1) | ? |x (k+2) - (k+1) | + |x (k+3) - х (k+2) | + ... ? р k+1 |x (1) - х (0) | +q k+2 |x (1) - х (0) | + ... = q k+1 |x (1) - х (0) | /(1-q).
В резултат на това получаваме формулата
|X - x (k+1) | ? р k+1 |x (1) - х (0) | /(1-q).(9)
Приемайки за х (0) значение х (к) , отзад х (1) - значение х (k+1)(тъй като такъв избор е възможен, ако са изпълнени условията на теоремата) и като се има предвид, че за неравенството р k+1 ? ризвеждаме:
|X - x (k+1) | ? р k+1 |x (k+1) - х (к) | / (1-q) ? q|x (k+1) - х (к) | /(1-q).
И така, най-накрая получаваме:
|X - x (k+1) | ? q|x (k+1) - х (к) | /(1-q). (10)
Използваме тази формула, за да извлечем критерия за завършване на последователността от итерации. Нека уравнението x=ts(x)се решава чрез проста итерация и отговорът трябва да бъде намерен с точност д,това е
|X - x (k+1) | ? д.
Като вземем предвид (10), намираме, че точността дще бъде постигнато, ако неравенството е изпълнено
|x (k+1) -х (к) | ? (1-q)/q.(11)
По този начин, за да намерите корените на уравнението x=ts(x)използвайки метода на простата итерация с точност, е необходимо да продължите итерациите, докато модулът на разликата между последните съседни приближения остане по-голям от числото e(1-q)/q.
ЗАБЕЛЕЖКА 1: Като константа q обикновено се приема горна оценка за количеството
Геометрична интерпретация
Нека да разгледаме графиката на функцията. Това означава, че решението на уравнението и е пресечната точка с правата:
Снимка 1.
И следващата итерация е координатата х на пресечната точка на хоризонталната права линия с правата линия.
Фигура 2.
Фигурата ясно показва изискването за конвергенция. Колкото по-близо е производната до 0, толкова по-бързо се сближава алгоритъмът. В зависимост от знака на производната в близост до решението, приближенията могат да бъдат конструирани по различни начини. Ако, тогава всяко следващо приближение се конструира от другата страна на корена:
Фигура 3.
Заключение
Проблемът с подобряването на качеството на изчисленията, като несъответствие между желаното и действителното, съществува и ще съществува в бъдеще. Неговото решаване ще бъде улеснено от развитието на информационните технологии, което се състои както в подобряване на методите за организиране на информационните процеси, така и в тяхното внедряване с помощта на специфични инструменти - среди и езици за програмиране.
Резултатът от работата може да се счита за създадения функционален модел за намиране на корените на уравнение с помощта на методите на простата итерация, Нютон, акорди и полуделение. Този модел е приложим за детерминистични проблеми, т.е. чиято експериментална изчислителна грешка може да бъде пренебрегната. Създаденият функционален модел и неговата софтуерна реализация могат да служат като органична част от решаването на по-сложни проблеми.
Провеждайки изследване по темата на курсовата работа "Числени методи. Решаване на нелинейни уравнения", постигнах поставените във въведението цели. Методите за рафиниране на корените бяха обсъдени подробно. За всяка дефиниция и теорема бяха дадени няколко примера. Всички теореми са доказани.
Използването на различни източници направи възможно пълното изследване на темата.
Метод на акордите (метод известен също като Метод на секущата ) един от методите за решаване на нелинейни уравнения и се основава на последователното стесняване на интервала, съдържащ единствения корен на уравнението. Итеративният процес се извършва, докато се постигне определената точност.
За разлика от метода на половин разделяне, методът на акордите предполага, че разделянето на разглеждания интервал ще се извърши не в средата му, а в точката на пресичане на хордата с абсцисната ос (ос X). Трябва да се отбележи, че акордът се разбира като сегмент, начертан през точките на разглежданата функция в краищата на разглеждания интервал. Разглежданият метод осигурява по-бързо определяне на корена от метода на половинките, при условие че е посочен същият разглеждан интервал.
Геометрично методът на хордата е еквивалентен на замяната му с извита хорда, минаваща през точките и (виж Фиг. 1.).
Фиг. 1. Построяване на отсечка (хорда) към функция.
Уравнението на права линия (хорда), която минава през точки A и B, има следния вид:
Това уравнение е типично уравнение за описване на права линия в декартова координатна система. Наклонът на кривата се определя по ординатата и абсцисата, като се използват съответно стойностите в знаменателя и .
За точката на пресичане на правата с абсцисната ос уравнението, написано по-горе, ще бъде пренаписано в следната форма:
Като нов интервал за преминаване през итеративния процес избираме един от двата или , в края на които функцията приема стойности с различни знаци. Противоположните знаци на стойностите на функцията в краищата на сегмент могат да бъдат определени по много начини. Един от многото от тези методи е да се умножат стойностите на функцията в краищата на сегмента и да се определи знакът на продукта чрез сравняване на резултата от умножението с нула:
или 
.
Итеративният процес на прецизиране на корена завършва, когато условието за близост на две последователни приближения стане по-малко от определената точност, т.е.
Фиг.2. Обяснение на определението за изчислителна грешка.
Трябва да се отбележи, че конвергенцията на метода на хордата е линейна, но по-бърза от конвергенцията на метода на бисекция.
Алгоритъм за намиране на корена на нелинейно уравнение по метода на хордите
1. Намерете началния интервал на несигурност, като използвате един от методите за разделяне на корена. Здайте грешката в изчислението (малко положително число) И стъпка на начална итерация () .
2. Намерете пресечната точка на хордата с абсцисната ос:
3. Необходимо е да се намери стойността на функцията в точки , и . След това трябва да проверите две условия:
Ако условието е изпълнено 
, тогава желаният корен се намира вътре в левия сегмент put, ;
Ако условието е изпълнено 
, тогава желаният корен се намира в десния сегмент accept , .
В резултат на това се намира нов интервал на неопределеност, на който се намира желаният корен на уравнението:
4. Проверяваме приблизителната стойност на корена на уравнението за определената точност, в случай на:
Ако разликата между две последователни приближения стане по-малка от определената точност, тогава итеративният процес приключва. Приблизителната стойност на корена се определя по формулата:
Ако разликата между две последователни приближения не достигне необходимата точност, тогава е необходимо да продължите итеративния процес и да преминете към стъпка 2 от разглеждания алгоритъм.
Пример за решаване на уравнения по метода на акордите
Като пример, разгледайте решаването на нелинейно уравнение с помощта на метода на акордите. Коренът трябва да бъде намерен в разглеждания диапазон с точност до .
Възможност за решаване на нелинейно уравнение в софтуерен пакетMathCAD.
Резултатите от изчислението, а именно динамиката на промените в приблизителната стойност на корена, както и грешките на изчислението в зависимост от стъпката на итерация, са представени в графичен вид (виж фиг. 1).
Фиг. 1. Резултати от изчислението по метода на акордите
За да се осигури зададената точност при търсене на уравнение в диапазон, е необходимо да се извършат 6 итерации. На последната стъпка на итерация приблизителната стойност на корена на нелинейното уравнение ще бъде определена от стойността: .
Забележка:
Модификация на този метод е метод на фалшива позиция(Метод на фалшивата позиция), който се различава от метода на секущата само по това, че всеки път не се вземат последните 2 точки, а онези точки, които са разположени около корена.
Трябва да се отбележи, че ако втората производна може да бъде взета от нелинейна функция, алгоритъмът за търсене може да бъде опростен. Нека приемем, че втората производна поддържа постоянен знак и разгледаме два случая:
Случай #1:
От първото условие се оказва, че фиксираната страна на сегмента е странатаа.
Случай #2:
Числени методи 1
Решаване на нелинейни уравнения 1
Постановка на проблема 1
Локализация на корена 2
Коренно усъвършенстване 4
Методи за рафиниране на корени 4
Метод на разделяне на половина 4
Метод на акордите 5
Метод на Нютон (тангентен метод) 6
Числено интегриране 7
Постановка на проблем 7
Правоъгълен метод 8
Метод на трапец 9
Метод на парабола (формула на Симпсън) 10
Числени методи
На практика в повечето случаи не е възможно да се намери точно решение на възникналия математически проблем. Това се случва, защото търсеното решение обикновено не се изразява в елементарни или други известни функции. Следователно числените методи са придобили голямо значение.
Числени методи означават методи за решаване на задачи, които се свеждат до аритметика и някои логически операции с числа. В зависимост от сложността на задачата, определената точност и използвания метод може да са необходими огромен брой действия и тук не можете да правите без високоскоростен компютър.
Решението, получено чрез числения метод, обикновено е приблизително, т.е. съдържа известна грешка. Източниците на грешки при приблизителното решение на задачата са:
грешка на метода на решение;
грешки при закръгляване при операции с числа.
Грешката в метода е причинена оттъй като численият метод обикновено решава друг, по-прост проблем, който приближава (доближава) първоначалния проблем. В някои случаи численият метод е безкраен процес, който в лимитаводи до желаното решение. Процесът, прекъснат на някаква стъпка, дава приблизително решение.
Грешка при закръгляванезависи от броя на аритметичните операции, извършени в процеса на решаване на задачата. Могат да се използват различни числени методи за решаване на една и съща задача. Чувствителността към грешки при закръгляване зависи значително от избрания метод.
Решаване на нелинейни уравнения Постановка на задача
Решаването на нелинейни уравнения с едно неизвестно е един от важните математически проблеми, които възникват в различни клонове на физиката, химията, биологията и други области на науката и технологиите.
Като цяло, нелинейно уравнение с едно неизвестно може да бъде написано:
f(х) = 0 ,
Където f(х) – някаква непрекъсната функция на аргумента х.
Всеки номер х 0 , при което f(х 0 ) ≡ 0, се нарича корен на уравнението f(х) = 0.
Методите за решаване на нелинейни уравнения се делят на прав(аналитичен, прецизен) и итеративен. Директните методи ви позволяват да напишете решението под формата на определена връзка (формула). В този случай стойностите на корените могат да бъдат изчислени с помощта на тази формула в краен брой аритметични операции. Подобни методи са разработени за решаване на тригонометрични, логаритмични, експоненциални, а също и прости алгебрични уравнения.
Въпреки това, по-голямата част от нелинейните уравнения, срещани в практиката, не могат да бъдат решени с директни методи. Дори за алгебрично уравнение, по-високо от четвърта степен, не е възможно да се получи аналитично решение под формата на формула с краен брой аритметични операции. Във всички такива случаи е необходимо да се обърнете към числени методи, които позволяват да се получат приблизителни стойности на корените с всякаква точност.
При числения подход проблемът за решаване на нелинейни уравнения се разделя на два етапа: локализация(отделяне) на корени, т.е. намиране на такива сегменти на оста х, в който има един единствен корен, и изясняване на корените, т.е. изчисляване на приблизителните стойности на корените с определена точност.
Локализация на корените
За разделяне на корените на уравнението f(х) = 0, е необходимо да има критерий, който позволява да се провери, първо, на разглеждания сегмент [ а,b] има корен и, второ, че този корен е единственият на посочения сегмент.
Ако функцията f(х) е непрекъснат на интервала [ а,b], а в краищата на сегмента стойностите му имат различни знаци, т.е.
f(а) f(b) < 0 ,
тогава има поне един корен на този сегмент.
Фиг. 1. Разделяне на корените. функция f(х) не е монотонен на интервала [ а,b].
Това условие, както се вижда от фигура (1), не гарантира уникалността на корена. Достатъчно допълнително условие, гарантиращо уникалността на корена върху сегмента [ а,b] е изискването функцията да бъде монотонна на този интервал. Като знак за монотонност на функция можем да използваме условието за постоянство на знака на първата производна f′( х) .
Така, ако на интервала [ а,b] функцията е непрекъсната и монотонна и нейните стойности в краищата на сегмента имат различни знаци, тогава има един и само един корен на разглеждания сегмент.
Използвайки този критерий, можете да отделите корените аналитиченначин, намиране на интервали на монотонност на функция.
Може да се извърши отделяне на корените графично, ако е възможно да се построи графика на функцията г=f(х) . Например, графиката на функцията на фигура (1) показва, че тази функция на интервал може да бъде разделена на три интервала на монотонност и на този интервал тя има три корена.
Може да се направи и отделяне на корените табличенначин. Да приемем, че всички корени на уравнение (2.1), които ни интересуват, са разположени на интервала [ А, Б]. Изборът на този сегмент (интервал на търсене на корен) може да бъде направен например въз основа на анализ на конкретен физически или друг проблем.
Ориз. 2. Табличен метод за локализиране на корена.
Ние ще изчислим стойностите f(х), започвайки от точката х=А, движейки се надясно с няколко стъпки ч(фиг. 2). Веднага щом бъде открита двойка съседни стойности f(х) с различни знаци, така че съответните стойности на аргумента хмогат да се считат за границите на сегмента, съдържащ корена.
Надеждността на табличния метод за разделяне на корените на уравненията зависи от естеството на функцията f(х) и на избрания размер на стъпката ч. Наистина, ако за достатъчно малка стойност ч(ч<<|Б−А|) на границите на текущия сегмент [ х, х+ч] функция f(х) приема стойности със същия знак, тогава е естествено да се очаква, че уравнението f(х) = 0 няма корени в този сегмент. Това обаче не винаги е така: ако условието за монотонност на функцията не е изпълнено f(х) на сегмента [ х, х+ч] могат да се окажат корените на уравнението (фиг. 3а).
Фигура 3a Фигура 3b
Има и няколко корена на сегмента [ х, х+ч] също може да се появи, ако условието е изпълнено f(х) f(х+ ч) < 0 (фиг. 3b). Предвиждайки такива ситуации, трябва да изберете сравнително малки стойности ч.
Като разделяме корените по този начин, ние по същество получаваме техните приблизителни стойности до избраната стъпка. Така например, ако вземем средата на сегмента за локализация като приблизителна стойност на корена, тогава абсолютната грешка на тази стойност няма да надвишава половината от стъпката на търсене ( ч/2). Чрез намаляване на стъпката в близост до всеки корен е възможно по принцип да се увеличи точността на разделянето на корена до всяка предварително определена стойност. Този метод обаче изисква голямо количество изчисления. Следователно, когато се провеждат числени експерименти с вариране на параметрите на проблема, когато е необходимо многократно търсене на корени, такъв метод не е подходящ за прецизиране на корените и се използва само за разделяне (локализиране) на корените, т.е. определяне на начални приближения към тях. Усъвършенстването на корена се извършва с други, по-икономични методи.
Итерационен метод
Прост итерационен метод за уравнение f(х) = 0 е както следва:
1) Оригиналното уравнение се трансформира във форма, удобна за повторения:
х = φ (х). (2.2)
2) Изберете първоначалното приближение х 0 и изчислете следващите приближения, като използвате итеративната формула
x k = φ
(x k -1), к =1,2, ... (2.3)
Ако има граница на итерационната последователност, тя е коренът на уравнението f(х) = 0, т.е. f(ξ ) =0.
г = φ (х)
a x 0 х 1 х 2 ξ b
Ориз. 2. Конвергентен итерационен процес
На фиг. Фигура 2 показва процеса на получаване на следващото приближение с помощта на итерационния метод. Последователността от приближения се сближава към корена ξ .
Теоретичната основа за прилагане на итерационния метод е дадена от следната теорема.
Теорема 2.3. Нека са изпълнени условията:
1) корен на уравнението х= φ(x)принадлежи към сегмента [ А, b];
2) всички стойности на функцията φ (х) принадлежат на сегмента [ А, b],T. д. А ≤ φ (х)≤b;
3) има такова положително число р< 1, каква е производната φ "(х) във всички точки на отсечката [ А, b] удовлетворява неравенството | φ "(х) | ≤ р.
1) итерационна последователност x p= φ (x p- 1)(n = 1, 2, 3, ...) се сближава за всяко х 0 Î [ А, b];
2) границата на итерационната последователност е коренът на уравнението
x = φ(х), т.е. ако x k= ξ, тогава ξ= φ (ξ);
3) неравенството, характеризиращо скоростта на сходимост на итерационната последователност, е вярно
| ξ -x k | ≤ (б-а)×q k.(2.4)
Очевидно тази теорема поставя доста строги условия, които трябва да бъдат проверени преди прилагането на итерационния метод. Ако производната на функцията φ (х) е по-голямо от единица по абсолютна стойност, тогава процесът на итерация се отклонява (фиг. 3).
г = φ
(х) г = х
 |
Ориз. 3. Различен итерационен процес
Като условие за сходимостта на итеративните методи неравенството
|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)
Метод на акордитее да замени кривата при = f(х) отсечка, минаваща през точки ( А, f(а)) И ( b, f(b)) ориз. 4). Абсцисата на пресечната точка на правата с оста ОХсе приема като следващ подход.
За да получим формулата за изчисление за метода на хордата, записваме уравнението на правата линия, минаваща през точките ( а, f(а)) И ( b, f(b)) и приравняване придо нула, ще намерим х:
Þ 
Алгоритъм на метода на акорда :
1) нека к = 0;
2) изчислете следващия номер на итерация: к = к + 1.
Да намерим следващия к-e приближение с помощта на формулата:
x k= а- f(а)(b - а)/(f(b) - f(а)).
Нека изчислим f(x k);
3) ако f(x k)= 0 (коренът е намерен), след това преминете към стъпка 5.
Ако f(x k) × f(b)>0, тогава b= x k, в противен случай а = x k;
4) ако |x k – x k -1 | > ε , след това преминете към стъпка 2;
5) показва стойността на корена x k ;
Коментирайте. Действията на третия параграф са подобни на действията на метода на разделяне на половината. Въпреки това, в метода на хордата, на всяка стъпка един и същ край на сегмента (надясно или наляво) може да бъде изместен, ако графиката на функцията в близост до корена е изпъкнала нагоре (фиг. 4, А) или вдлъбнат надолу (фиг. 4, b).Затова разликата между съседните приближения се използва в критерия за сходимост.
Ориз. 4. Метод на акордите
4. Метод на Нютон(допирателни)
Нека се намери приблизителната стойност на корена на уравнението f(х)= 0 и го означете x p.Формула за изчисление Метод на Нютонза определяне на следващия подход x n+1 може да се получи по два начина.
Първият метод изразява геометричния смисъл Метод на Нютони се състои в това, че вместо пресечната точка на графиката на функцията при= f(х) с ос отърси точката на пресичане с оста одопирателна, начертана към графиката на функцията в точката ( x n,f(x n)), както е показано на фиг. 5. Уравнението на допирателната има вида y - f(x n)= е"(x n)(х- x n).
Ориз. 5. Метод на Нютон (тангенти)
В точката на пресичане на допирателната с оста опроменлива при= 0. Приравняване придо нула, изразяваме хи получаваме формулата метод на допирателната :
(2.6)
Втори метод: разширете функцията f(х) в ред на Тейлър в близост до точка x = x n:
Нека се ограничим до линейни термини по отношение на ( х- x p), зададен на нула f(х) и изразяване на неизвестното от полученото уравнение х, обозначавайки го с x n+1 получаваме формула (2.6).
Нека представим достатъчни условия за сходимост на метода на Нютон.
Теорема 2.4. Нека върху сегмента [ А, b] са изпълнени условията:
1) функция f(х) и неговите производни е"(х)И е ""(х) непрекъснато;
2) производни е"(x) и f""(х) са различни от нула и запазват определени постоянни знаци;
3) f(а)×f(b) <
0 (функция f(х)сменя знака на сегмента).
След това има сегмент [ α
, β
], съдържащ желания корен на уравнението f(х) =
0, при което итерационната последователност (2.6) се събира. Ако като нулево приближение х 0 изберете тази гранична точка [ α
, β
], в която знакът на функцията съвпада със знака на втората производна,
тези. f(х 0)× е"(х 0)>0, тогава итерационната последователност се сближава монотонно
Коментирайте. Обърнете внимание, че методът на акордите идва от обратната посока и двата метода могат да се допълват взаимно. Възможна е и комбинация метод на хорда-тангенс.
5. Метод на секущата
Методът на секанса може да се получи от метода на Нютон чрез заместване на производната с приблизителен израз - формулата на разликата:
, 
,
. (2.7)
Формула (2.7) използва две предишни приближения x pИ x n - 1. Следователно за дадено начално приближение х 0 е необходимо да се изчисли следващото приближение х 1 , например по метода на Нютон с приблизителна замяна на производната по формулата
, 
Алгоритъм на секущия метод:
1) първоначалната стойност е зададена х 0 и грешка ε . Нека изчислим
;
2) за n = 1, 2, ... докато условието е изпълнено | x n – x n -1 | > ε , изчисли x n+ 1 по формула (2.7).