Понятията синус, косинус, тангенс и котангенс са основните категории на тригонометрията, клон на математиката, и са неразривно свързани с определението за ъгъл. Собственост на това математическа наукаизисква запаметяване и разбиране на формули и теореми, както и развито пространствено мислене. Ето защо ученици и студенти тригонометрични изчислениячесто създават затруднения. За да ги преодолеете, трябва да се запознаете по-добре с тригонометричните функции и формули.
Понятия в тригонометрията
Да разбера основни понятиятригонометрия, първо трябва да решите какво представляват правоъгълен триъгълник и ъгъл в окръжност и защо всички основни тригонометрични изчисления са свързани с тях. Триъгълник, в който един от ъглите е 90 градуса, е правоъгълен. В исторически план тази фигура често се използва от хора в областта на архитектурата, навигацията, изкуството и астрономията. Съответно, изучавайки и анализирайки свойствата на тази фигура, хората стигнаха до изчисляването на съответните съотношения на нейните параметри.
Основните категории, свързани с правоъгълните триъгълници, са хипотенузата и катетите. Хипотенуза - противоположната страна на триъгълник прав ъгъл. Краката, съответно, са останалите две страни. Сборът от ъглите на всеки триъгълник винаги е 180 градуса.
Сферичната тригонометрия е раздел от тригонометрията, който не се изучава в училище, а в Приложни наукикато астрономия и геодезия, учените го използват. Характеристика на триъгълник в сферична тригонометрияе, че винаги има сбор от ъгли, по-голям от 180 градуса.
Ъгли на триъгълник
В правоъгълен триъгълник синусът на ъгъл е съотношението на катета срещу желания ъгъл към хипотенузата на триъгълника. Съответно косинусът е отношението съседен краки хипотенуза. И двете стойности винаги имат величина, по-малка от единица, тъй като хипотенузата винаги е по-дълга от крака.
Тангенс на ъгъл е стойност, равна на отношението срещуположния краккъм съседната страна на желания ъгъл или синус към косинус. Котангенсът от своя страна е съотношението на съседната страна на желания ъгъл към противоположната страна. Котангенсът на ъгъл може да се получи и чрез разделяне на едно на стойността на тангенса.
Единична окръжност
Единична окръжност в геометрията е окръжност, чийто радиус равно на едно. Такъв кръг е конструиран в Декартова системакоординати, докато центърът на окръжността съвпада с началната точка, и начална позицияРадиус векторът се определя от положителната посока на оста X (абсцисната ос). Всяка точка от окръжността има две координати: XX и YY, тоест координатите на абсцисата и ординатата. Избирайки която и да е точка от окръжността в равнината ХХ и пускайки перпендикуляр от нея към абсцисната ос, получаваме правоъгълен триъгълник, образуван от радиуса към избраната точка (означен с буквата C), перпендикулярът, прекаран към оста X (пресечната точка е означена с буквата G), а сегментът е абсцисната ос между началото (точката е означена с буквата A) и пресечната точка G. Полученият триъгълник ACG е правоъгълен триъгълник, вписан в окръжност, където AG е хипотенузата, а AC и GC са катетите. Ъгълът между радиуса на окръжността AC и сегмента на абсцисната ос с обозначение AG се определя като α (алфа). И така, cos α = AG/AC. Като се има предвид, че AC е радиусът единична окръжност, и е равно на едно, се оказва, че cos α=AG. По същия начин sin α=CG.
Освен това, знаейки тези данни, можете да определите координатата на точка C върху окръжността, тъй като cos α=AG и sin α=CG, което означава, че точка C има дадени координати(cos α; sin α). Знаейки, че допирателната равно на съотношениетосинус към косинус, можем да определим, че tan α = y/x и cot α = x/y. Като разглеждате ъгли в отрицателна координатна система, можете да изчислите, че стойностите на синуса и косинуса на някои ъгли могат да бъдат отрицателни.
Изчисления и основни формули
Стойности на тригонометрична функция
След като разгледахме същността на тригонометричните функции през единичната окръжност, можем да извлечем стойностите на тези функции за някои ъгли. Стойностите са посочени в таблицата по-долу.
Най-простите тригонометрични тъждества
Уравнения, в които знакът на тригонометричната функция съдържа неизвестна стойност, се наричат тригонометрични. Идентичности със грях стойност x = α, k — всяко цяло число:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, няма решения.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Идентичности със стойност cos x = a, където k е всяко цяло число:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, няма решения.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Идентичности със стойност tg x = a, където k е всяко цяло число:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Идентичности със стойност ctg x = a, където k е всяко цяло число:
- cot x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Формули за намаляване
Тази категория постоянни формулиобозначава методи, чрез които можете да преминете от тригонометрични функции на формата към функции на аргумент, тоест да намалите синуса, косинуса, тангенса и котангенса на ъгъл с произволна стойност до съответните индикатори на ъгъла на интервала от 0 до 90 градуса за по-голямо удобство на изчисленията.
Формулите за намаляване на функциите за синуса на ъгъл изглеждат така:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
За косинус от ъгъл:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Използването на горните формули е възможно при спазване на две правила. Първо, ако ъгълът може да бъде представен като стойност (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), стойността на функцията се променя:
- от грях към защото;
- от cos към грях;
- от tg до ctg;
- от ctg до tg.
Стойността на функцията остава непроменена, ако ъгълът може да бъде представен като (π ± a) или (2π ± a).
Второ, знакът на намалената функция не се променя: ако първоначално е бил положителен, той остава такъв. Същото с отрицателните функции.
Формули за добавяне
Тези формули изразяват стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс на сумата и разликата на два ъгъла на завъртане чрез техните тригонометрични функции. Обикновено ъглите се обозначават като α и β.
Формулите изглеждат така:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Тези формули са валидни за всякакви ъгли α и β.
Формули за двоен и троен ъгъл
Тригонометричните формули за двоен и троен ъгъл са формули, които свързват функциите съответно на ъглите 2α и 3α с тригонометричните функции на ъгъла α. Изведено от формули за добавяне:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3 α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Преход от сума към произведение
Като се има предвид, че 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), опростявайки тази формула, получаваме идентичност гряхα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. По същия начин sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Преход от произведение към сбор
Тези формули следват от идентичностите на прехода на сума към продукт:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Формули за намаляване на степента
В тези идентичности, квадрат и кубичен градуссинус и косинус могат да бъдат изразени чрез синус и косинус на първа степен на кратен ъгъл:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Универсално заместване
Формулите за универсално тригонометрично заместване изразяват тригонометричните функции по отношение на тангенса на половин ъгъл.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), като x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), където x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), където x = π + 2πn;
- cot x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), като x = π + 2πn.
Особени случаи
Специални случаи на протозои тригонометрични уравненияса дадени по-долу (k е всяко цяло число).
Коефициенти за синус:
| Sin x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk или 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk или -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk или 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk или -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk или 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk или -2π/3 + 2πk |
Коефициенти за косинус:
| cos x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Коефициенти за тангенс:
| tg x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Коефициенти за котангенс:
| ctg x стойност | x стойност |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Теореми
Теорема за синусите
Има две версии на теоремата - проста и разширена. Проста теоремасинуси: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. В този случай a, b, c са страните на триъгълника, а α, β, γ са противоположните ъгли, съответно.
Разширена синусова теорема за произволен триъгълник: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. В това тъждество R означава радиуса на окръжността, в която е вписан дадения триъгълник.
Косинусова теорема
Идентичността се показва, както следва: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Във формулата a, b, c са страните на триъгълника, а α е ъгълът срещу страната a.
Теорема за допирателната
Формулата изразява връзката между тангентите на два ъгъла и дължината на противоположните им страни. Страните са означени с a, b, c, а съответните противоположни ъгли са α, β, γ. Формула на теоремата за допирателната: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Теорема за котангенса
Свързва радиуса на окръжност, вписана в триъгълник, с дължината на страните му. Ако a, b, c са страните на триъгълника и съответно A, B, C са ъглите срещу тях, r е радиусът на вписаната окръжност и p е полупериметърът на триъгълника, следното самоличността е валидна:
- детско легло A/2 = (p-a)/r;
- легло B/2 = (p-b)/r;
- легло C/2 = (p-c)/r.
Приложение
Тригонометрия - не само теоретична наукасвързан с математически формули. Неговите свойства, теореми и правила се използват на практика от различни индустрии. човешка дейност- астрономия, въздушни и морска навигация, теория на музиката, геодезия, химия, акустика, оптика, електроника, архитектура, икономика, машинно инженерство, измервателна работа, компютърна графика, картография, океанография и много други.
Синус, косинус, тангенс и котангенс са основните понятия на тригонометрията, с помощта на които могат да се изразят математически връзките между ъглите и дължините на страните в триъгълник и да се намерят необходимите величини чрез тъждества, теореми и правила.
Няма да се опитвам да ви убеждавам да не пишете измамници. пишете! Включително мамят листове по тригонометрия. По-късно планирам да обясня защо са необходими измамни листове и защо измамните листове са полезни. А ето и информация как да не учим, а да помним някои тригонометрични формули. Така че - тригонометрия без измама използва асоциации за запаметяване.
1. Формули за добавяне:
Косинусите винаги „идват по двойки“: косинус-косинус, синус-синус.
И още нещо: косинусите са „неадекватни“. За тях „не всичко е наред“, затова сменят знаците: „-“ на „+“ и обратно.
Синусите - "микс": синус-косинус, косинус-синус.
2. Формули за сбор и разлика:
косинусите винаги „идват по двойки“. Добавяйки два косинуса - „колобок“, получаваме чифт косинус - „колобок“. И като извадим, определено няма да получим колобки. Получаваме няколко синуси. Също с минус напред.
Синусите - "микс" :
3. Формули за превръщане на произведение в сбор и разлика.
Кога получаваме двойка косинус? Когато добавяме косинуси. Ето защо
Кога ще получим няколко синуси? При изваждане на косинуси. Оттук:
„Смесване“ се получава както при събиране, така и при изваждане на синуси. Какво е по-забавно: добавяне или изваждане? Точно така, фолд. И за формулата те вземат допълнение:
В първата и третата формула сумата е в скоби. Пренареждането на местата на членовете не променя сумата. Редът е важен само за втората формула. Но за да не се объркаме, за по-лесно запомняне, и в трите формули в първите скоби вземаме разликата
и второ - сумата
Листовете за измама в джоба ви дават спокойствие: ако забравите формулата, можете да я копирате. И те ви дават увереност: ако не успеете да използвате измамника, можете лесно да запомните формулите.
Синусът и косинусът първоначално възникват от необходимостта да се изчисляват количества в правоъгълни триъгълници. Беше забелязано, че ако градусната мярка на ъглите в правоъгълен триъгълник не се промени, тогава съотношението на страните, независимо колко тези страни се променят по дължина, винаги остава същото.
Така бяха въведени понятията синус и косинус. синусите остър ъгълв правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата, а косинусът е отношението на страната, съседна на хипотенузата.
Теореми за косинуси и синуси
Но косинусите и синусите могат да се използват за нещо повече от правоъгълни триъгълници. За да намерите стойността на тъп или остър ъгъл или страна на всеки триъгълник, достатъчно е да приложите теоремата за косинусите и синусите.
Косинусовата теорема е доста проста: „Квадратът на страната на триъгълник равно на суматаквадратите на другите две страни минус два пъти произведението на тези страни по косинуса на ъгъла между тях.”
Има две интерпретации на синусовата теорема: малка и разширена. Според малкия: „В триъгълника ъглите са пропорционални противоположни страни». Тази теоремачесто се разширява поради свойството на описаната окръжност на триъгълник: „В триъгълник ъглите са пропорционални на противоположните страни и тяхното съотношение е равно на диаметъра на описаната окръжност.“
Деривати
Производната е математически инструмент, който показва колко бързо се променя функция спрямо промяна в нейния аргумент. Производните се използват в геометрията и в редица технически дисциплини.
Когато решавате проблеми, трябва да знаете табличните стойности на производните на тригонометричните функции: синус и косинус. Производната на синус е косинус, а косинусът е синус, но със знак минус.
Приложение в математиката
Синусите и косинусите се използват особено често при решаване правоъгълни триъгълниции свързаните с тях задачи.
Удобството на синусите и косинусите се отразява и в технологията. Беше лесно да се оценят ъгли и страни, като се използват теоремите за косинусите и синусите, разбивайки сложни фигурии обекти в „прости“ триъгълници. Инженерите често се занимават с изчисления на пропорциите и степенни мерки, прекара много време и усилия, за да изчисли косинусите и синусите на нетабличните ъгли.
Тогава на помощ дойдоха таблиците на Bradis, съдържащи хиляди стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси различни ъгли. IN съветско временякои учители принуждаваха учениците си да запомнят страници от таблиците на Брадис.
радиан - ъглова величинадъги, дължина равен на радиусаили 57.295779513° градуса.
Градус (в геометрията) - 1/360 част от окръжност или 1/90 част от прав ъгъл.
π = 3,141592653589793238462… ( приблизителна стойностПи числа).
Таблица на косинусите за ъгли: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Ъгъл x (в градуси) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ъгъл x (в радиани) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3 x π/4 | 5 x π/6 | π | 7 x π/6 | 5 x π/4 | 4 x π/3 | 3 x π/2 | 5 x π/3 | 7 x π/4 | 11 x π/6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Решаване на прости тригонометрични уравнения.
Решаването на тригонометрични уравнения с всякакво ниво на сложност в крайна сметка се свежда до решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И в това най-добър помощникотново се оказва тригонометрична окръжност.
Нека си припомним дефинициите на косинус и синус.
Косинусът на ъгъл е абсцисата (т.е. координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.
Синусът на ъгъл е ординатата (т.е. координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.
Положителната посока на движение върху тригонометричния кръг е обратно на часовниковата стрелка. Завъртане от 0 градуса (или 0 радиана) съответства на точка с координати (1;0)
Използваме тези определения за решаване на прости тригонометрични уравнения.
1. Решете уравнението
Това уравнение се удовлетворява от всички стойности на ъгъла на завъртане, които съответстват на точки от окръжността, чиято ордината е равна на .
Нека отбележим точка с ордината върху ординатната ос:
Нека изпълним хоризонтална линияуспоредна на оста x, докато се пресече с окръжността. Получаваме две точки, лежащи на окръжността и имащи ордината. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани:
Ако напуснем точката, съответстваща на ъгъла на въртене с радиани, заобиколим пълен кръг, тогава ще стигнем до точка, съответстваща на ъгъла на завъртане на радиан и имаща същата ордината. Тоест, този ъгъл на завъртане също удовлетворява нашето уравнение. Можем да направим толкова „неактивни“ обороти, колкото желаем, връщайки се към същата точка и всички тези ъглови стойности ще задоволят нашето уравнение. Броят на оборотите на празен ход ще бъде обозначен с буквата (или). Тъй като можем да направим тези революции както в положителна, така и в отрицателна посока, (или) можем да приемем всякакви цели числа.
Тоест, първата серия от решения на оригиналното уравнение има формата:
, , - набор от цели числа (1)
По същия начин втората серия от решения има формата:
, Където , . (2)
Както може би се досещате, тази поредица от решения се основава на точката от окръжността, съответстваща на ъгъла на въртене от .
Тези две серии от решения могат да бъдат комбинирани в един запис:
Ако сме в това нека си вземем бележките(тоест дори), тогава получаваме първата поредица от решения.
Ако вземем (т.е. нечетно) в този запис, тогава получаваме втората серия от решения.
2. Сега нека решим уравнението
Тъй като това е абсцисата на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на ъгъл, отбелязваме точката с абсцисата на оста:
Нека изпълним вертикална линияуспоредна на оста, докато се пресече с окръжността. Ще получим две точки, лежащи на окръжността и имащи абциса. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани. Спомнете си, че при движение по посока на часовниковата стрелка получаваме отрицателен ъгъл на въртене:
Нека запишем две серии от решения:
,
,
(Стигаме до желаната точка, като тръгнем от основния пълен кръг, т.е.
Нека комбинираме тези две серии в един запис:
3. Решете уравнението
Допирателната минава през точката с координати (1,0) на единичната окръжност, успоредна на оста OY
Нека отбележим точка върху него с ордината равна на 1 (търсим тангенса на кои ъгли е равна на 1):
Нека свържем тази точка с началото на координатите с права линия и да отбележим пресечните точки на правата с единичната окръжност. Пресечните точки на правата и окръжността съответстват на ъглите на завъртане на и :
Тъй като точките, съответстващи на ъглите на завъртане, които удовлетворяват нашето уравнение, лежат на разстояние радиани една от друга, можем да запишем решението по следния начин:
4. Решете уравнението
Правата на котангенсите минава през точката с координати на единичната окръжност, успоредна на оста.
Нека отбележим точка с абсцисата -1 на котангенса:
Нека свържем тази точка с началото на правата линия и я продължим, докато се пресече с окръжността. Тази права линия ще пресича окръжността в точки, съответстващи на ъглите на въртене в и радиани:
Тъй като тези точки са разделени една от друга на разстояние, равно на , тогава общо решениеМожем да напишем това уравнение така:
В дадените примери, илюстриращи решението на най-простите тригонометрични уравнения, са използвани таблични стойности на тригонометрични функции.
Ако обаче дясната страна на уравнението съдържа нетаблична стойност, тогава заместваме стойността в общото решение на уравнението:
СПЕЦИАЛНИ РЕШЕНИЯ:
Нека отбележим точките на окръжността, чиято ордината е 0:
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято ордината е 1:
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято ордината е равна на -1:
Тъй като е обичайно да се посочват стойности, най-близки до нула, ние записваме решението, както следва:
Нека отбележим точките на окръжността, чиято абциса е равна на 0:
5.
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято абциса е равна на 1:
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято абциса е равна на -1:
И малко по-сложни примери:
1.
Синусът е равен на едно, ако аргументът е равен на
Аргументът на нашия синус е равен, така че получаваме:
Нека разделим двете страни на равенството на 3:
Отговор:
2.
Косинус равен на нула, ако аргументът косинус е равен на
Аргументът на нашия косинус е равен на , така че получаваме:
Нека изразим , за да направим това, първо се преместваме надясно с противоположния знак:
Нека опростим дясната страна:
Разделете двете страни на -2:
Обърнете внимание, че знакът пред члена не се променя, тъй като k може да приеме произволна цяло число.
Отговор:
И накрая, гледайте видео урока „Избор на корени в тригонометрично уравнение с помощта на тригонометричен кръг"
Това приключва нашия разговор за решаването на прости тригонометрични уравнения. Следващият път ще говорим как да решим.
В тази статия ще разгледаме изчерпателно. Основните тригонометрични идентичности са равенства, които установяват връзка между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл и позволяват да се намери всяка от тези тригонометрични функции чрез известна друга.
Нека веднага изброим основните тригонометрични идентичности, които ще анализираме в тази статия. Нека ги запишем в таблица, а по-долу ще дадем резултата от тези формули и ще предоставим необходимите обяснения.
Навигация в страницата.
Връзка между синус и косинус на един ъгъл
Понякога те не говорят за основните тригонометрични идентичности, изброени в таблицата по-горе, а за едно единствено основна тригонометрична идентичностмил 
. Обяснението на този факт е съвсем просто: равенствата се получават от основното тригонометрично тъждество след разделяне на двете му части съответно на и и равенствата 
И 
следват от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Ще говорим за това по-подробно в следващите параграфи.
Това е, специален интереспредставлява именно равенството, което получи името на основното тригонометрично тъждество.
Преди да докажем основната тригонометрична идентичност, даваме нейната формулировка: сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл е идентично равна на единица. Сега нека го докажем.
Основното тригонометрично тъждество се използва много често, когато трансформация тригонометрични изрази . Позволява сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл да бъде заменена с единица. Не по-малко често се използва основната тригонометрична идентичност в обратен ред: единицата се заменя със сумата от квадратите на синуса и косинуса на всеки ъгъл.
Тангенс и котангенс през синус и косинус
Тъждества, свързващи тангенс и котангенс със синус и косинус на един зрителен ъгъл и 
следват непосредствено от дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс. Наистина, по дефиниция, синус е ординатата на y, косинусът е абсцисата на x, тангенсът е отношението на ординатата към абсцисата, т.е. 
, а котангенсът е отношението на абсцисата към ординатата, т.е. 
.
Благодарение на такава очевидност на тъждествата и Тангенсът и котангенсът често се определят не чрез съотношението на абсцисата и ординатата, а чрез съотношението на синус и косинус. Тангенсът на ъгъл е отношението на синуса към косинуса на този ъгъл, а котангенсът е отношението на косинуса към синуса.
В заключение на този параграф трябва да се отбележи, че идентичностите и се извършват за всички ъгли, при които тригонометричните функции, включени в тях, имат смисъл. Така че формулата е валидна за всяко , различно от (в противен случай знаменателят ще има нула и не сме дефинирали деление на нула), и формулата - за всички, различни от , където z е всяко.
Връзка между тангенс и котангенс
Още по-очевидно тригонометрична идентичностот предишните две, е идентичността, свързваща тангенса и котангенса на един ъгъл на формата . Ясно е, че се извършва за всякакви ъгли, различни от , в в противен случайтангенс или котангенс не е дефиниран.
Доказателство на формулата много просто. По определение и откъде 
. Доказателството можеше да се проведе малко по-различно. От , Че 
.
Тангенсът и котангенсът на един и същ ъгъл, при който имат смисъл, са .